Intervalos de Confianza y Muestra (10) (2) (2)

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Intervalos de Confianza. Tamaño de la muestra
Al finalizar la sesión, el estudiante calcula los intervalos de confianza y calcula el tamaño de la muestra usando la fórmula adecuada.
RESULTADO DE APRENDIZAJE DE LA SESIÓN
REFLEXIÓN DESDE LA EXPERIENCIA
El consumo regular de cereales preendulzados contribuye a la caída de los dientes, enfermedades del corazón y otros procesos degenerativos. En una muestra aleatoria de 20 porciones sencillas de un cereal el contenido promedio de azúcar fue de 11.3 gr con desviación estándar de 2.45 gr. Suponiendo que los contenidos de azúcar están distribuidos normalmente. Determine un intervalo de confianza del 95% para el contenido promedio de azúcar en porciones sencillas de dicho cereal. 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Procedimiento que permite estimar resultados poblacionales a partir del análisis de una muestra.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
Estimación 
Puntual (parámetro puede ser un número) 
Intervalos (parámetro se encuentra entre 2 números)
ESTIMADOR
Es un estadístico usado para estimar un parámetro desconocido de una población. 
Ejemplo:
La es un estimador de la media de la población µ.
El valor numérico que resulta de esta fórmula se conoce como estimación del parámetro .
Características del estimador: 
Debe ser insesgado. Si la media de la distribución del estimador es igual al parámetro.
Debe ser consistente. Si se aproxima al valor del parámetro cuanto mayor es n (tamaño de la muestra).
Eficiente: Es más eficiente que otro si la Varianza de la distribución muestral del estimador es menor a la del otro estimador. 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN
Estimación por intervalos
 0,95 o 95% « nivel de confianza » 
 
Coeficientes de confiabilidad:
	0.90 = 1.645
	0.95 = 1.96
	0,98 = 2.33
	0.99 = 2.58
Casos: 
1. CUANDO LA MUESTRA PROVIENE DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON σ2 CONOCIDA
 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
Ejemplo:
Un director de producción sabe que la cantidad de impurezas contenida en los envases de cierta sustancia química sigue una distribución normal con una desviación estándar de 3.8 gr. Se extrae una muestra aleatoria de 9 envases cuyos contenidos de impurezas son los siguientes:
	
Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media
 16.68 ± 1,96(3,8/√9)
 16.68 ± 2.48
= <14.2 , 19.16>
Solución: 
Podemos afirmar con un 95% de confiabilidad que la cantidad media de impurezas contenida en los envases es de 16.68 con un margen de error de 2.48
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
Ejemplo:
Suponga que un investigador interesado en obtener una estimación del nivel promedio de alguna enzima en cierta población de seres humanos, toma un muestra de 10 individuos. Determina el nivel de la enzima en cada uno de ellos, si la media de la muestra =22. Además, se sabe que la variable de interés sigue una distribución aproximadamente normal, con una varianza de 45. Se desea evaluar el valor de µ 
Solución:
El intervalo de confianza aproximadamente 95% para µ está dado por: 
 22 ± 1,96(6.7082/√10)
 22 ± 4.2
= <17.8 , 26.2>
Podemos afirmar con un 95% de confiabilidad que el nivel promedia de dicha enzima en la población estaría entre 17.8 y 26.2 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
2.CUANDO LA MUESTRA PROVIENE DE UNA POBLACIÓN NORMAL CON σ2 DESCONOCIDA 
 
Propiedades:
Tiene una media igual a cero.
Es simétrica respecto a la media.
Tiene una varianza mayor que 1, tendiendo a 1 a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Es necesario calcular los grados de libertad (df) = n-1
- La variable t va de - 
- Existe un valor diferente para cada valor de la muestra n-1.
Comparada con distribución normal, la distribución t es menos espigada en el centro y tiene colas mas largas.
La distribución t se aproxima a la normal a medida que n-1 se aproxima al infinito.
DISTRIBUCION T DE STUDENT 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
INTERVALOS DE CONFIANZA QUE UTILIZA LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
En el departamento de personal de una compañía grande se requiere estimar los gastos familiares en odontología de sus empleados para determinar la factibilidad de proporcionarles un plan de seguro dental. Una muestra aleatoria de 10 empleados reveló los siguientes gastos (en dólares) durante el año anterior:
						
Establezca un intervalo de confianza del 90% para el gasto promedio familiar en odontología
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
Solución: 
En este caso como la varianza σ2 es desconocida utilizaremos la fórmula t de Student:
Aplico la fórmula:
n = 10 
 = 261.4
S = 138.8
gl= 9 
= 261.4 ± 1.8331(
= 261.4 ± 80.46
= <180.9, 341.9>
Se puede decir con 90% de confianza que el gasto promedio anual (μ) de los familiares de los empleados en odontología se encuentra entre 181 y 342 dólares aproximadamente.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
 
Error estándar estimado de la media muestral
Ejemplo:
Una compañía emplea 200 agentes de ventas; en una muestra aleatoria de 25, los auditores encontraron un gasto promedio de $220 con una desviación estándar de $20 en sus cuentas de gasto de representación en una semana. Establezca un intervalo de confianza del 98% para el gasto promedio semanal
 
Cuando el muestreo es sin reemplazo en una población finita
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓN
El intervalo de confianza se obtiene : 
Estimador ± coeficiente de confiabilidad x error estándar
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
En cierta ciudad, se entrevistó a una muestra de 500 bebedores de cerveza, hallándose que 114 de ellos preferían la marca X a la de Y. Hállese el intervalo de confianza del 98% para la fracción de bebedores de cerveza de esa ciudad que prefieren la marca X.
Ejemplo: 
Solución: 
 p = 114/500 = 0.228
 z = 98% = 2.33
= 0.228 ± 2.33*
= 0.228 ± 0.0437
< 0.1843 , 0.2717>
 
Podemos afirmar con un 98% de confianza que el porcentaje (P) de bebedores que prefieren la marca de cerveza X es de 22.8% con un margen de error de 4.37%
SECCIÓN DE REFERENCIA
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Ejemplo: 
En una muestra de 591 pacientes internados en un hospital psiquiátrico, se encontró que 204 admitieron haber consumido marihuana al menos una vez durante su vida. Se pretende construir un intervalo de confianza de 95%, para la proporción de individuos que consumieron marihuana durante su vida en la población muestreada de los internos del hospital psiquiátrico.
Solución: 
 p = 204/591
 n = 591
1.96(
= 0.345
=<0.307, 0.383>
Se puede decir con un 95% de confianza que el porcentaje (P) de pacientes en dicho hospital psiquiátrico, que consumieron marihuana durante su vida se encuentra entre 30.7% y 38.3% . 
SECCIÓN DE REFERENCIA
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REFLEXIÓN DESDE LA EXPERIENCIA
Un investigador está interesado en conocer la opinión en una población conformada por 3176 padres de familia de una región, con respecto a la aceptación de los programas de planificación familiar y para ello desea aplicar una encuesta, por lo que necesita saber la cantidad de padres de familia que se deben entrevistar; para tener una información adecuada con un error de muestreo de 0.025, al 95% de confiabilidad.
¿Cómo debería proceder esta persona encargada de llevar a cabo dicho estudio?
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
MUESTREO
Conjunto de técnicas que se aplican para la extracción de una muestra.
Muestra: Es una colección de unidades de muestreo (unidades de análisis) obtenidas a partir de un marco muestral.
Marco muestral: Totalidad de las unidades de muestreo, entre las cuales se seleccionará la muestra.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
TIPO DE MUESTREO
Muestreo probabilístico:
Toda unidad de muestreo tiene una probabilidad conocida depertenecer a la muestra y está sujeta a una aleatoriedad. 
Permite obtener indicadores de mayor confiabilidad, además medir y controlar el error de muestreo
Entre estos tipos de muestreo probabilístico tenemos:
 Muestreo aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo 
 estratificado y muestreo por conglomerados.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
TIPO DE MUESTREO
b. Muestreo no probabilístico:
No están sujetas a una aleatoriedad. ejemplo: el muestreo por cuotas, utilizado en estudios de mercadeo y encuestas de opinión. Se fija un prototipo de personas para ser entrevistadas. 
Cuando los encuestadores cumplen la cuota de personas con ciertas características (sexo, ocupación, diferentes niveles de estudio, edad etc.) se completa la muestra.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
TIPOS DE MUESTREO PROBABILÍSTICO
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
TIPOS DE MUESTREO PROBABILÍSTICO
El muestreo aleatorio simple es el que más se utiliza en la estadística inferencial, la propiedad fundamental es que todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. Este muestreo es menos eficaz cuando la población es heterogénea, en estos casos se recomienda utilizar otro tipo de muestreo.
1. Aleatorio simple:
SECCIÓN DE REFERENCIA
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TIPOS DE MUESTREO PROBABILÍSTICO
2. Estratificado:
El muestreo aleatorio estratificado consiste en dividir la población en estratos; un ejemplo de esto sería estudiar la relación entre el ingreso mensual promedio y el nivel socioeconómico. A continuación, se extrae un número determinado de sujetos de cada uno de los estratos socioeconómicos con la finalidad de mantener la proporción de la población de referencia.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
TIPOS DE MUESTREO PROBABILÍSTICO
En estadística inferencial los conglomerados son conjuntos de elementos poblacionales, como pueden ser los distritos, urbanizaciones o sectores de alguna localidad. Al llevar a cabo este tipo de muestreo se divide la población en conglomerados. Los conglomerados que formarán parte de muestra para ser estudiados se eligen de forma aleatoria.
3. De conglomerados
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
TIPOS DE MUESTREO PROBABILÍSTICO
En este caso se empieza dividiendo el número total de sujetos u observaciones que conforman la población, entre el tamaño de la muestra que se quiere utilizar; obteniendo un valor k. Posteriormente se escoge un número al azar de entre los k primeros datos; y a partir de allí se van eligiendo las unidades de análisis que formarán parte de la muestra cada cierto valor k.
4. Sistemático
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
Procedimiento mediante el cual se selecciona una muestra de tamaño n a partir de una población de tamaño N; tal que cada muestra posible de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser seleccionada. 
Es recomendable cuando la población es relativamente homogénea.
Procedimiento:
Se enumeran las unidades de 1 a N, posteriormente se extrae una serie de n números aleatorios entre 1 y N, ya sea por sorteo, utilizando una tabla de números aleatorios o a través de un software estadístico.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
Ejemplo 1
Supóngase que N = 1000 registros de pacientes, de los cuales se selecciona una muestra aleatoria n = 20
Consideremos una parte de los dígitos de cierta tabla de números aleatorios. Determinar qué registros se incluirán en la muestra de tamaño 20. 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
SOLUCIÓN
Consideremos que los números asignados a cada uno de los registros son:
001,	 002, 003,…………………..999,	000 donde 001 representa el primer registro, 999 el registro del paciente 999 y 000 el milésimo registro. 
Teniendo en cuenta la siguiente Tabla de Números Aleatorios:
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS
	Línea/
Col (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
	1 10480 15011 01536 02011 81647 91646 69179 14194 62590
2 22368 46573 25595 85393 30995 89198 27982 53402 93965
3 24130 48360 22527 97265 76393 64809 15179 24830 49340
4 42167 93093 06243 61680 07856 16376 39440 53537 71341
5 37570 39975 81837 16656 06121 91782 60468 81305 49684
 
6 77921 06907 11008 42751 27756 53498 18602 70659 90655
7 99562 72905 56420 69994 98872 31016 71194 18738 44013
8 96301 91977 05463 07972 18876 20922 94595 56869 69014
9 89579 14342 63661 10281 17453 18103 57740 84378 25331
10 85475 36857 53342 53998 53060 59533 38867 62300 08158
 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
PROCEDIMIENTO
Elegir cualquier número de la tabla como punto de partida, continuar hacia cualquier lado. En este caso partiremos de la primera columna, considerando los tres primeros dígitos; los registros elegidos serían:
104	 223 241	421 y así sucesivamente hasta completar los 20 números
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
REFLEXIÓN DESDE LA EXPERIENCIA
En algunas situaciones nos preguntamos ¿Cómo podemos determinar el tamaño óptimo de muestra para una investigación de mercado. ¿Bastará con aplicar un cuestionario a 100 personas? O realmente es necesario encuestar a 450? ¿Cómo influye la variabilidad de las respuestas de cada encuestado? ¿Qué margen de error tendrán los resultados hallados en la encuesta?.
Las respuestas a cada una de estas interrogantes lo veremos a continuación 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
ESTIMACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA
Depende de dos factores:
De la variabilidad de la población, a mayor variabilidad entre los elementos de la población, se requiere una muestra relativamente grande.
Del costo que implica analizar cada una de las unidades de muestreo.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
ESTIMACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA PARA LA MEDIA
 
Cuando N es desconocido
 Cuando N es conocido
 
 
 
 
Similar resultado se obtiene con:
Ejemplo 1
Se desea estimar el consumo promedio diario de agua en cierta comunidad. Por estudios anteriores se sabe . De qué tamaño tendrá que ser la muestra para que con un 95% de confiabilidad, ésta nos proporcione una media muestral; cuyo valor difiera del valor verdadero µ a lo más en 4 galones.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
SOLUCIÓN
 
 
 
 
Ahora suponiendo que N es conocido: N = 7,000
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
UTILIZANDO LA OTRA FÓRMULA
 
 
 
 
 
Se necesitará una muestra de 289 viviendas como mínimo para lograr dicho objetivo 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
Ejemplo 2
Se desea estimar la cantidad promedio de dinero μ para las cuentas por cobrar de un hospital. Aunque no se cuentan con datos anteriores para estimar la varianza poblacional, se sabe que la mayoría de las cuentas caen dentro de una amplitud de variación (rango) de $100. Existen N = 1000 cuentas abiertas. Encuentre el tamaño de muestra necesario para la estimar μ con un 98% de confiabilidad y un error de estimación de ± 3 dólares.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
SOLUCIÓN
 
 
 
Amplitud de variación (Rango) es aproximadamente igual a 4σ (según la regla empírica) es decir R = 4σ. Luego 
Pero como N = 1000
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
ESTIMACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA PARA LA PROPORCIÓN
 
 
 
 
 
 
Cuando N es desconocido:
Cuando N es conocido:
 Si p y q fueran desconocidos entonces p = q = 0.5 
SECCIÓN DE REFERENCIASECCIÓN DE REFERENCIA
Ejemplo 3
En una determinada región se desea estimar la proporción de individuos que padecen de afecciones pulmonares. ¿De qué tamaño tendrá que ser la muestra para obtener una proporción muestral; con margen de error del 4% y con un 95% de confiabilidad; si se sabe por estudios anteriores que dicha proporción era de 0,096.?
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
SOLUCIÓN
 
 
Es decir la muestra tendrá que ser de 209 personas
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
SOLUCIÓN
 Si p y q fueran desconocidos
Es decir si no hubieran sido estimados a partir de una muestra preliminar y N fuera desconocido; el tamaño de muestra sería:
Es decir la muestra tendrá que ser de 601 personas
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
APLIQUEMOS LO APRENDIDO
EJERCICIO N°1
1.- Se pretende estimar el número promedio de latidos por minuto para cierta población. Se encontró que el número promedio de latidos por minuto para 49 personas era de 90. Considere que esos 49 pacientes constituyen una muestra aleatoria y que la población sigue una distribución normal, con una desviación estándar de 10. Use α = 0.02 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
EJERCICIO N°2
2.- En una muestra al azar de 127 niños de guarderías infantiles se han diagnosticado 7 niños con sintomatología autista y 12 niños con enuresis nocturna. Utilizando α = 0.05.
Determine un intervalo de confianza para la proporción de niños autistas que hay en la población, origen de la muestra. 
b) Determine un intervalo de confianza para la proporción de niños con enuresis nocturna que hay en la población, origen de la muestra. 
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
EJERCICIO N°3
3.- El departamento de personal de una compañía grande requiere estimar los gastos familiares en odontología de sus empleados para determinar la factibilidad de proporcionarles un plan de seguro dental. Por estudios realizados anteriormente se determinó que dichos gastos tenían una desviación estándar de 130 dólares. ¿Qué tamaño tendría que ser la muestra para estimar la media con un 95% de confiabilidad y con un margen de error de 30 dólares?
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
EJERCICIO N°4
4.- Solo una parte de los pacientes que sufren de un determinado síndrome neurológico consiguen una curación completa. Si de 65 pacientes observados se han curado 41.
¿Qué número de pacientes habría que observar para estimar la proporción de pacientes curados con un margen de error igual a 0.04 y una confianza del 95%?.
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
EJERCICIO N°5
5.- ¿A cuántas familias tendríamos que encuestar para conocer la preferencia del mercado en cuanto a las marcas de shampoo para bebé, si se desconoce la población total?. 
Seguridad = 99%, Precisión = 3%. Proporción esperada; asumamos que puede ser próxima al 5%.
SECCIÓN DE REFERENCIA
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EJERCICIO N°6
6.- Se van a realizar elecciones para elegir al Rector de cierta universidad, que consta de 8 facultades, el total de alumnos es de 10,100. Se quiere llevar a cabo una encuesta para saber cual es la tendencia del voto entre los alumnos. Se requiere tener una confianza del 95% y un porcentaje de error del 3%.
a)¿Cuál es la población de estudio?
b) De qué tamaño es la población de estudio?
c) ¿Cuál es la variable a analizar?
d) Determinar el tamaño de la muestra
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
INTEGREMOS LO APRENDIDO
¿Qué mide el error de estimación o margen de error o grado de precisión?
¿Qué ventajas presenta el muestreo probabilístico? ¿Y el no probabilístico?
¿Qué valores asumen p y q cuando estos no hubieran sido estimados anteriormente?
SECCIÓN DE REFERENCIA
SECCIÓN DE REFERENCIA
Actividad Asincrónica (virtual)
Resolver el cuestionario virtual de la semana 12
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Anderson, D. (2008). Estadística para administración y economía. México, D. F.: Cengage Learning. 10ª edición. Disponible en Biblioteca: https://grupoeducad-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/malvarez_cientifica_edu_pe/EfmckGutuRVEmTlp_PFA2sgBe6-Gdu3J7-Ct0rYCLZSK8Q
Johnson, R. (2004). Estadística elemental: lo esencial. México, D. F.: International Thomson. Disponible en Biblioteca: 519.5 / J67 / 2004.
 
Martínez, C. (2012). Estadística y muestreo. Bogotá: Ecoe Ediciones. Disponible en Biblioteca: 519.52 / M26 / 2012.
 
Palacios C., Severo. (2010). Estadística experimental. Aplicada a ciencia e ingeniería. 1ª. Edición. Concytec. Disponible en Biblioteca: https://grupoeducad-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/ehinostrozar_cientifica_edu_pe/EejSxiCIZo5Mmz284-ZjriEB5JkTJwJPoZ7JkAqOVg8X9A?e=ZTN4Ey
 
Salazar, C. Del Castillo, S. (2018). Fundamentos básicos de estadística. 1ª edición. Disponible en Biblioteca: https://grupoeducad-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/malvarez_cientifica_edu_pe/EX7CejlZbBZKukecWJpvRaIBy06W6cs1qX2fG0CxlWcwSQ
Triola, M. (2018). Estadística. México, D. F.: Pearson Educación. 12ª edición. Disponible en Biblioteca: https://grupoeducad-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/malvarez_cientifica_edu_pe/EWWDv2kMz_NOsnHN6OaNyVYBOCVZIFLGBFaQqmrXUGmg3Q
 
 Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S; Ye, K. (2012) Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. 9ª edición. Disponible en Biblioteca: https://grupoeducad-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/ehinostrozar_cientifica_edu_pe/ESqzEQPTJSNCiWzRQ3xtcxsBhDRarSKofShxY9d5uLyyVQ?e=CyCmyl
 
SECCIÓN DE REFERENCIA
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