Produto escalar

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Geometria Analítica
Lista de Exercícios - Produto escalar
Profa Rosemeire Aparecida Rosa
Exercício 1. Dados os vetores ~u = (2,−3,−1) e ~v = (1,−1, 4), calcular:
(a) 2~u · (−~v) (b) (~u+ 3~v) · (~v − 2~u)
(c) (~u+ ~v) · (~u− ~v) (~u+ ~v) · (~v − ~u).
Exercício 2. Sejam os vetores ~u = (2, a,−1), ~v = (3, 1,−2) e ~w = (2a −
1,−2, 4). Determinar a de modo que ~u · ~v = (~u+ ~v) · (~v + ~w).
Exercício 3. Dados os pontos A(4, 0,−1), B(2,−2, 1) e C(1, 3, 2) e os
vetores ~u = (2, 1, 1) e ~v = (−1,−2, 3), obter o vetor x tal que
(a) 3~x+ 2~v = ~x+ ( ~AB · ~u)~v
(b) ( ~BC · ~v)~x = (~u · ~v)~v − 3~x.
Exercício 4. Determinar o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (2,−1, 3), tal que
~v · ~u = −42.
Exercício 5. Determinar o vetor ~v, sabendo que |~v| = 5, ~v é ortogonal ao
eixo Ox, ~v · ~w = 6 e ~w =~i+ 2~j.
Exercício 6. Determinar o vetor ~v, ortogonal ao eixo Oy, ~v · ~v1 = 8 e
~v · ~v2 = −3, sendo v1 = (3, 1,−2) e ~v2 = (−1, 1, 1).
Exercício 7. Dados os vetores ~u = (1, 2,−3), ~v = (2, 0,−1) e ~w = (3, 1, 0),
determinar o vetor ~x tal que ~x · ~u = −16, ~x · ~v = 0 e ~x · ~w = 3.
Exercício 8. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e ~u · ~v = −1, calcular
(a) (~u− 3~v) · ~u (b) (2~v − ~u)(2~v)
(c) (~u+ ~v) · (~v − 4~u) (d) (3~u+ 4~v) · (−2~u− 5~v)
Exercício 9. Qual o valor de α para que os vetores ~a = α~i + 2~j − 4~k e
~b = 2~i+ (1− 2α)~j + 3~k sejam ortogonais?
Exercício 10. Dados os pontos A(−1, 0, 5), B(2,−1, 4) e C(1, 1, 1) determi-
nar x tal que ~AC e ~BP sejam ortogonais, sendo P (x, 0, x− 3).
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Exercício 11. Provar que os pontos A(−1, 2, 3), B(−3, 6, 0) e C = (−4, 7, 2)
são vértices de um triângulo retângulo.
Exercício 12. Dados os pontos A(m, 1, 0), B(m − 1), 2m, 2) e C(1, 3,−1),
determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular
a área do triângulo.
Exercício 13. Determinar o vetor ~u tal que |~u| = 2, o ângulo entre ~u e
~v = (1,−1, 0) é 45◦ e ~u é ortogonal a ~w = (1, 1, 0).
Exercício 14. Calcule o valor de m de modo que seja 120◦ o ângulo entre
os vetores ~u = (1,−2, 1) e ~v = (−2, 1,m+ 1).
Exercício 15. Calcular n para que seja de 30◦ o ângulo entre os vetores
~v = (−3, 1, n) e ~k.
Exercício 16. Se |~u| = 4, |~v| = 2 e 120◦ o ângulo entre os vetores ~u e ~v,
determinar o ângulo entre ~u+ ~v e ~u− ~v.
Exercício 17. Para cada um dos pares de vetores ~u e ~v, encontrar a projeção
ortogonal de ~v sobre ~u e decompor ~v como soma de ~v1 com ~v2, sendo ~v1 q ~u
e ~v2⊥~u.
(a) ~u = (1, 2,−2) e ~v = (3,−2, 1)
(b) ~u = (1, 1, 1) e ~v = (3, 1,−1)
(c) ~u = (2, 0, 0) e ~v = (3, 5, 4)
(d) ~u = (3, 1,−3) 3 ~v = (2,−3, 1).
Exercício 18. Sejam A(2, 1, 3), B(m, 3, 5) e C(0, 4, 1), vértices de um
triângulo.
(a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
(b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
(c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
(d) Mostrar que ~AH⊥ ~BC.
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Exercício 19. Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de
vetores
(a) ~u = (2, 1) e ~v = (4,−2)
(b) ~u = (1,−1) e ~v = (−4,−2)
(c) ~u = (1, 1) e ~v = (−1, 1).
Exercício 20. Determinar o valor de a para que seja 45◦ o ângulo entre os
vetores ~u = (2, 1) e ~v = (1, a).
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