Microeconomia - Pindyck & Rubinfeld_CAP 04_Apendice

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Capítulo 4: Demanda Individuale Demanda de Mercado, Apêndice
CAPÍTULO 4
DEMANDA INDIVIDUAL E DEMANDA DE MERCADO,
APÊNDICE
EXERCÍCIOS
1. Quais das seguintes funções de utilidade são coerentes com as curvas de
indiferença convexas e quais não são?
a. U(X, Y) = 2X + 5Y
b. U(X, Y) = (XY)
0,5
c. U(X, Y) = Min(X, Y), em que Min corresponde ao mínimo de ambos os
valores de X e Y
As três funções de utilidade são apresentadas nas Figures 4A.1.a,
4A.1.b, e 4A.1.c. A primeira pode ser representada como um conjunto
de linhas retas; a segunda, como um conjunto de hipérboles; e a
terceira, como um conjunto de “Ls". Apenas a segunda função de
utilidade satisfaz a definição de curva de indiferença estritamente
convexa.
Para representar graficamente as curvas de indiferença que
representam as preferências dadas por U(X,Y)=2X+5Y, considere a
utilidade U0 e resolva para Y a fim de obter
Sendo esta a equação para uma linha reta, as curvas de indiferença
são lineares com o intercepto e inclinação .
Figura 4A.1.a
Para representar graficamente as curvas de indiferença que representam as preferências
dadas por , considere a utilidade U0 e resolva para Y a fim de obter
.
Inserindo alguns valores para X nessa equação e resolvendo para Y,
você será capaz de representar a curva de indiferença U0, ilustrada na
figura Figure 4A.1.b junto com a curva de indiferença U1.
Figura 4A.1.b
Para representar graficamente as curvas de indiferença que
representam as preferência dadas por , observe, primeiramente, que as
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funções de utilidade desse tipo resultam nas curvas de indiferença com
formato de L e representam uma relação complementar entre X e Y.
Neste caso, para qualquer nível de utilidade U0, o valor de X e de Y
também será igual a U0. À medida que X aumenta e Y não muda, a
utilidade também não mudará. Se tanto X como Y mudarem, a
utilidade mudará e nós teremos uma outra curva de indiferença. Veja
a tabela a seguir.
X Y U
10 10 10
10 11 10
10 9 9
11 10 10
9 10 9
9 9 9
Figura 4A.1.c
2. Mostre como as duas funções de utilidade, apresentadas a seguir,
produzem idênticas funções de demanda para as mercadorias X e Y:
a. U(X, Y) = log(X) + log(Y)
b. U(X, Y) = (XY)
0,5
O apêndice discute como derivar funções de demanda a partir de
funções de utilidade. Se mostrarmos que as duas funções de utilidade
são equivalentes, então, saberemos que as funções de demanda delas
derivadas são idênticas. A equivalência das duas funções pode ser
provada mostrando-se que uma função é uma transformação da outra
que preserva a ordem de qualquer conjunto de números.
Tomando o logaritmo de U(X, Y) = (XY)
0,5
obtemos:
logU(X, Y) = 0,5log(X) + 0,5log(Y).
Agora, multiplicando os dois lados por 2:
2 logU(X,Y) = log(X) + log(Y).
Portanto, as duas funções de utilidade são equivalentes e resultarão
em funções de demanda idênticas. Entretanto, nós resolveremos para
as funções de demanda em ambos os casos para mostrar que elas são
as mesmas.
a. Para encontrar as funções de demanda para X e Y, correspondentes
a U(X, Y) = log(X) + log(Y), dada a restrição orçamentária usual,
escreva o Lagrangeano:
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Φ = log(X) + log(Y) - λ(PXX + PYY - I)
Derivando em relação a X, Y, λ, e considerando as derivadas iguais a
zero:
As duas primeiras condições implicam que e .
A terceira condição implica que , ou .
A substituição desta expressão em e nos fornece as
funções de demanda:
e .
Observe que a demanda para cada bem depende apenas do preço desse
bem e da renda, não do preço do outro bem.
b. Para encontrar as funções de demanda para X e Y, correspondentes
a U(X,Y) = (XY)
0,5
dada a restrição orçamentária usual, primeiro
escreva o Lagrangeano:
Φ = 0,5(logX) + (1 - 0,5)logY - λ(PXX + PYY - I)
Derivando com relação a X, Y, λ, e considerando as derivadas iguais a
zero:
As duas primeiras condições implicam que e .
A combinação destas com a restrição orçamentária gera:
ou
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A substituição desta expressão em e nos fornece as
funções de demanda:
e
3. Suponha que uma determinada função de utilidade seja obtida por meio
de Min(X, Y), como no exercício 1(c). Qual equação de Slutsky decompõe a
variação da demanda de X em resposta a uma variação ocorrida em seu
preço? Qual será o efeito renda? Qual será o efeito substituição?
A equação de Slutsky é ,
Onde o primeiro termo representa e efeito substituição e o segundo
termo representa o efeito renda. Com esse tipo de função de utilidade,
o consumidor não substitui um bem pelo outro quando os preços
variam e, portanto, o efeito substituição é zero. O efeito renda é o
deslocamento de U1 para U2.
Figure 4A.3
4. Sharon tem a seguinte função de utilidade:
onde X é seu consumo de balas, com preço PX=$1, e Y é seu consumo de café
expresso, com PY=$3.
a. Derive a demanda de Sharon por balas e café expresso.
Utilizando o método de Lagrange, a equação do Lagrangeano é
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Para encontrar as funções de demanda, é necessário maximizar a
equação de Lagrange em relação a X, Y, e λ, que é o mesmo que
maximizar a utilidade sujeito à restrição orçamentária. As condições
necessárias para um ponto de máximo são:
A combinação das condições necessárias (1) e (2) resulta em
Você pode, agora, substituir (4) em (3) e resolver para Y. Uma vez
resolvido para Y, pode-se substituir Y em (4) e resolver para X.
Observe que, algebricamente, há várias maneiras de se resolver esse
tipo de problema e não é necessário que se resolva exatamente como foi
feito aqui. As funções de demanda são
b. Suponha que sua renda seja I=$100. Quantas balas e cafés
expresso Sharon consumirá?
Insira os valores dos dois preços e da renda nas funções de demanda a
fim de descobrir que ela consome X=75 balas e Y=8,3 cafés expresso.
c. Qual é a utilidade marginal da renda?
Pelo item (a), sabemos que . Usando os valores obtidos no item
anterior, obtemos λ=0,058. Esse valor representa quanto a utilidade
aumentaria se Sharon tivesse mais um dólar para gastar.
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