AULA 9-10 PRODUTO ESCALAR

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GEOMETRIA ANALÍTICA
PROFESSOR: SANDER BERNARDI
E-MAIL:sanderbernardi@unipampa.edu.br
AULA: 9-10
DATA: 28/03/2019
UNIDADE 1 - VETORES NO PLANO E 
NO ESPAÇO
• PRODUTO ESCALAR
PRODUTO ESCALAR
❑ Definição Algébrica
O produto escalar de dois vetores 𝒖 = 𝒙𝟏Ԧ𝒊 + 𝒚𝟏 Ԧ𝒋 + 𝒛𝟏𝒌 e 𝒗 =
𝒙𝟐Ԧ𝒊 + 𝒚𝟐 Ԧ𝒋 + 𝒛𝟐𝒌 é um número real obtido por:
𝒖 . 𝒗 = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐
O produto escalar de 𝒖 por 𝒗 pode
ser representado por < 𝒖 . 𝒗 > .
Se lê 𝒗 escalar 𝒗
PRODUTO ESCALAR
▪ Exemplos:
i. Dados 𝒖 = 𝟑Ԧ𝒊 − 𝟓Ԧ𝒋 + 𝟖𝒌 e 𝒗 = 𝟒Ԧ𝒊 − 𝟐Ԧ𝒋 − 𝒌, calcular 𝒖 . 𝒗:
ii.Tendo os vetores 𝒖 = 𝟑, 𝟐, 𝟏 𝒆 𝒗 = −𝟏,−𝟒,−𝟏 , calcular:
a. 𝒖 + 𝒗 . 𝟐𝒖 − 𝒗
b. 𝒖 .𝒖
c. 𝒖 . 𝟎
iii.Dados 𝒖 = 𝟒, 𝜶,−𝟏 𝒆 𝒗 = 𝜶, 𝟐, 𝟑 e os pontos A (4,-1,2) e B
(3,2,-1), determinar α tal que 𝒖 . 𝑽 + 𝑩𝑨 = 𝟓.
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❑ Propriedades do Produto Escalar
I. 𝒖 . 𝒗 = 𝒗 . 𝒖
II. 𝒖 . 𝒗 + 𝒘 = 𝒖 . 𝒗 + 𝒖 .𝒘 e 𝒖 + 𝒗 .𝒘 = 𝒖 .𝒘 + 𝒗 .𝒘
III. 𝜶 𝒖 . 𝒗 = 𝜶𝒖 . 𝒗 = 𝒖 . 𝜶𝒗
IV. 𝒖 . 𝒖 > 𝟎 𝒔𝒆 𝒖 ≠ 𝟎 e 𝒖 . 𝒖 = 𝟎 𝒔𝒆 𝒖 = 𝟎 = 𝟎, 𝟎, 𝟎
V. 𝒖 . 𝒖 = 𝒖 2
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▪ Exemplos:
i. Sendo 𝒖 = 𝟒, 𝒗 = 𝟐 e 𝒖 . 𝒗 = 𝟑 calcular 𝟑𝒖 − 𝟐𝒗 . −𝒖 + 𝟒𝒗 :
ii.Mostrar que 𝒖 + 𝒗 2 = 𝒖 2 + 𝟐𝒖 . 𝒗 + 𝒗 2
iii.Provar que 𝒖 + 𝒗 . 𝒖 − 𝒗 = 𝒖 2 − 𝒗 2
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❑ Definição Geométrica
Sendo 𝒖 e 𝒗 dois vetores não nulos e θ o ângulo entre eles:
𝒖 . 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽, 𝟎° ≤ 𝜽 ≤ 𝟏𝟖𝟎°
A definição surge a partir da comparação de duas equações.
1. Aplicação da lei do cosseno Em um triângulo ABC.
𝒖 − 𝒗 2 = 𝒖 2 + 𝒗 2 − 𝟐 𝒖 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽
2. Resolução de 𝒖 − 𝒗 2.
𝒖 − 𝒗 2 = 𝒖 2 + 𝒗 2 − 𝟐𝒖 . 𝒗
A
B
C
θ
𝒖
𝒗 𝒖 − 𝒗
Conclusão: O produto escalar de dois vetores ≠ 𝟎
é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno
do ângulo entre eles.
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❑ Exemplo:
Sendo 𝒖 = 𝟐, 𝒗 = 𝟑 𝒆 𝜽 = 𝟏𝟐𝟎°, calcular:
i. 𝒖 . 𝒗
ii. 𝒖 + 𝒗
iii. 𝒖 − 𝒗
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❑ Observações
I. Considerando as expressões obtidas nas definições Algébrica e
Geométrica, Para um caso particular em que:
𝒖 = 𝟏, 𝟏, 𝟎 𝐞 𝒗 = 𝟎, 𝟏, 𝟎
II. Analisando o exemplo anterior é possível constatar que:
i. 𝒖 . 𝒗 ≤ 𝒖 𝒗
ii. 𝒖 + 𝒗 ≤ 𝒖 + 𝒗
III. O sinal do produto escalar sempre será definido por 𝒄𝒐𝒔 𝜽.
I. 𝒖 . 𝒗 > 𝟎 ⇔ 𝟎° ≤ 𝜽 < 𝟗𝟎°
II. 𝒖 . 𝒗 < 𝟎 ⇔ 𝟗𝟎° < 𝜽 ≤ 𝟏𝟖𝟎°
III. 𝒖 . 𝒗 = 𝟎 ⇔ 𝜽 = 𝟗𝟎°
Haverá igualdade quando 𝒖 𝐞 𝒗 forem
paralelos e de mesmo sentido.
Vetores ortogonais.
Obs.: O vetor 𝟎 é ortogonal a todo vetor.
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❑ Exemplos:
I. Mostrar que os vetores são ortogonais:
i. 𝒖 = 𝟏,−𝟐, 𝟑 𝒆 𝒗 = 𝟒, 𝟓, 𝟐
ii. Ԧ𝒊 𝒆 Ԧ𝒋
II.Considerando o triângulo definido pelos vértices 
A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2,-2) prove que é um 
triângulo retângulo:
III.Encontrar um vetor ortogonal a 𝒗𝟏 = 𝟏,−𝟏, 𝟎 𝒆
𝒗𝟐 = 𝟏, 𝟎, 𝟏
IV.Provar, através do produto escalar, que o ângulo 
inscrito em uma semicircunferência é reto.
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❑ Ângulo de Dois Vetores
Da definição Geométrica, temos que:
𝒖 . 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽
Resolvendo para θ.
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔
𝒖 . 𝒗
𝒖 𝒗
❑ Exemplos:
I. Calcular o ângulo entre os vetores.
𝒖 = 𝟏, 𝟏, 𝟒 𝒆 𝒗 −𝟏, 𝟐, 𝟐
II.Sabendo que o vetor 𝒖 = 𝟐, 𝟏,−𝟏 forma um ângulo de 60° com o
vetor 𝑨𝑩 limitado pelos pontos A(3,1,-2) e B(4,0,m), calcular
m.
III.Determinar ao ângulos internos ao triângulo ABC, onde:
A(3,-3,3), B(2,-1,2) e C(1,0,2).
Obs.: 𝒖 𝒆 𝒗 não nulos.
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❑ Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor
Ângulos Diretores são os ângulos α, β e γ que um determinado vetor
forma com os vetores Ԧ𝒊, Ԧ𝒋 𝒆 𝒌.
Os Cossenos Diretores são os cossenos dos ângulos diretores de
um determinado vetor.
X
Y
Z
Ԧ𝑖
Ԧ𝑗
𝑘
β
γ
α
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
𝒗 . Ԧ𝒊
𝒗 Ԧ𝒊
=
𝒙, 𝒚, 𝒛 . 𝟏, 𝟎, 𝟎
𝒗 𝟏
=
𝒙
𝒗
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝒗 . Ԧ𝒋
𝒗 Ԧ𝒋
=
𝒙, 𝒚, 𝒛 . 𝟎, 𝟏, 𝟎
𝒗 𝟏
=
𝒚
𝒗
𝒄𝒐𝒔 𝜸 =
𝒗 . 𝒌
𝒗 𝒌
=
𝒙, 𝒚, 𝒛 . 𝟎, 𝟎, 𝟏
𝒗 𝟏
=
𝒛
𝒗
Obs.: Os cossenos diretores de 𝒗 são as componentes do seu versor.
Ԧ𝑣
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❑ Exemplos:
I. Calcular os ângulos diretores de 𝒖 = 𝟏,−𝟏, 𝟎
II.Sendo α, 45° e 60° os ângulos diretores de um vetor. 
Determinar α.
III.Um determinado vetor do espaço forma ângulos de 60°
e 120° com os vetores Ԧ𝒊 𝒆 Ԧ𝒋 respectivamente. 
Determinar o vetor, sabendo que seu módulo é 2.
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❑ Projeção de um Vetor sobre Outro
Considerando que dois vetores 𝒖 e 𝒗 (ñ nulos) formam um ângulo
θ. Para projetar um vetor sobre o outro, devemos decompô-lo em
duas componentes de forma que tenhamos uma paralela e outra
perpendicular ao outro vetor.
Vamos supor que 𝒗 seja decomposto, de forma que: 𝒗 = 𝒗𝟏+𝒗𝟐
Onde, 𝒗𝟏 ∥ 𝒖 𝒆 𝒗𝟐 ⊥ 𝒖.
𝒖
𝒗
θ
𝒗𝟏
𝒗𝟐
𝒖
𝒗
θ
𝒗𝟏
𝒗𝟐
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❑ Projeção de um Vetor sobre Outro
O vetor 𝒗𝟏 é chamado projeção ortogonal de 𝒗 sobre 𝒖 , sendo
indicado por:
𝒗𝟏 = 𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖 𝒗
Como 𝒗𝟏 ∥ 𝒖, é possível representa-lo como: 𝒗𝟏 = 𝜶𝒖
Já 𝒗𝟐 = 𝒗 − 𝒗𝟏 ou 𝒗𝟐 = 𝒗 − 𝜶𝒖 que é perpendicular ao vetor 𝒖 , ou
seja, 𝒗𝟐 . 𝒖 = 𝟎.
Assim, 𝒗 − 𝜶𝒖 .𝒖 = 𝟎 ou 𝒗 . 𝒖 − 𝜶𝒖 .𝒖 = 𝟎 e 𝜶 =
𝒗 .𝒖
𝒖 .𝒖
Por fim, a projeção ortogonal de 𝒗 sobre 𝒖 pode ser escrita da
seguinte forma:
𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖 𝒗 =
𝒗 .𝒖
𝒖 . 𝒖
𝒖
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❑ Interpretação Geométrica do Módulo do Produto 
Escalar
Se considerarmos que o vetor 𝒖 , na expressão da projeção
ortogonal de 𝒗 sobre 𝒖, é unitário, ou seja, 𝒖 = 𝟏. Teremos que:
𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖 𝒗 =
𝒗 .𝒖
𝒖 . 𝒖
𝒖 = 𝒗 . 𝒖 𝒖
Portanto, o módulo da projeção ortogonal de 𝒗 sobre 𝒖 poderá ser
expresso por:
𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖 𝒗 = 𝒗 . 𝒖 𝒖 𝒐𝒖 𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖 𝒗 = 𝒗 . 𝒖
𝒖 . 𝒖 = 𝒖 2 = 𝟏
Quando 𝒖 for unitário, o comprimento
do vetor projeção de 𝒗 sobre 𝒖 é igual
ao módulo do produto escalar de 𝒗 por 𝒖.
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❑ Exemplos:
I. Determinar o vetor projeção de 𝒗 = 𝟐, 𝟑, 𝟒 sobre 𝒖 = 𝟏,−𝟏, 𝟎 .
II.Dados os vetores 𝒗 = 𝟏, 𝟑,−𝟓 e 𝒖 = 𝟒,−𝟐, 𝟖 , decompor 𝒗 como 𝒗 =
𝒗𝟏 + 𝒗𝟐, sendo 𝒗𝟏 ∥ 𝒖 𝒆 𝒗𝟐 ⊥ 𝒖.
III.Considerando os pontos A(-1,-1,2), B(2,1,1) e C(m,-5,3).
I. Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
II. Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
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❑ Para que serve??
Uma aplicação muito comum do produto escalar é no cálculo do
trabalho realizado por uma força constante.
𝑭
𝑭𝒙
𝑭𝒚
𝒅A B
θ
Referências Bibliográficas
❑ WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. Makron 
Books, 2000.
❑ Vídeos:
https://www.youtube.com/watch?v=8X6e1vggouk
https://www.youtube.com/watch?v=OtGMHiOmMGE
https://www.youtube.com/watch?v=gtR5eUxemUo
https://www.youtube.com/watch?v=8X6e1vggouk
https://www.youtube.com/watch?v=OtGMHiOmMGE
https://www.youtube.com/watch?v=gtR5eUxemUo