PLANIMETRIA SLIDE 1

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Prof. Marcos Lima
Ângulos Horizontais e Verticais
Uma das operações básicas em Topografia é a
medição de ângulos horizontais e verticais. Na
realidade, no caso dos ângulos horizontais,
direções são medidas em campo, e a partir destas
direções são calculados os ângulos (figura 1). Para
a realização destas medições emprega-se um
equipamento denominado de teodolito.
Figura 1 - Leitura de direções e cálculo do ângulo.
Ângulo horizontal: ângulo formado por dois
planos verticais que contém as direções formadas
pelo ponto ocupado e os pontos visados. É
medido sempre na horizontal, razão pela qual o
teodolito deve estar devidamente nivelado.
Ângulo vertical (V): é o ângulo formado entre a
linha do horizonte (plano horizontal) e a linha de
visada, medido no plano vertical que contém os
pontos (figura 2). Varia de 0º a + 90º (acima do
horizonte) e 0º a - 90º (abaixo do horizonte).
Figura 2 - Ângulo vertical.
Ângulo zenital (Z): ângulo formado entre a
vertical do lugar (zênite) e a linha de visada (figura
3). Varia de 0º a 180º, sendo a origem da contagem
o zênite.
Figura 3 - Ângulo zenital.
CÁLCULO DE COORDENADAS NA 
PLANIMETRIA
 Nesta fase, será detalhado o desenvolvimento necessário 
para a determinação das coordenadas planas, ou seja, as 
coordenadas x e y. De uma forma mais simples, pode-se 
dizer que a projeção em “X” é a representação da 
distância entre os dois vértices do alinhamento sobre o 
eixo das abscissas e a projeção em “Y” a representação da 
mesma distância no eixo das ordenadas.
Representação da projeção da distância D 
em X (ΔX) e em Y (ΔY)
ΔX = D . sen Az 
ΔY = D . cos Az
Representação de uma poligonal e suas 
respectivas projeções
Logo:
Xi = Σ X’i
Yi = Σ Y’i
TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO 
PLANIMÉTRICO
 A poligonação é um dos métodos para determinar 
coordenadas de pontos em Topografia, principalmente para a 
definição de pontos de apoio planimétricos. Uma poligonal 
consiste em uma série de linhas consecutivas onde são 
conhecidos os comprimentos e direções, obtidos através de 
medições em campo. O levantamento de uma poligonal é 
realizado através do método de caminhamento, percorrendo-
se o contorno de um itinerário definido por uma série de 
pontos, medindo-se todos os ângulos, lados e uma orientação 
inicial. A partir destes dados e de uma coordenada de partida, 
é possível calcular as coordenadas de todos os pontos.
Durante um levantamento topográfico, normalmente são
determinados pontos de apoio ao levantamento (pontos
planimétricos, altimétricos ou planialtimétricos), e a partir
destes, são levantados os demais pontos que permitem
representar a área levantada. A primeira etapa pode ser
chamada de estabelecimento do apoio topográfico e a
segunda de levantamento de detalhes.
TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO 
PLANIMÉTRICO
NBR 13133 (ABNT 1994) defini os pontos de 
apoio por:
 “pontos, convenientemente distribuídos, que 
amarram ao terreno o levantamento topográfico 
e, por isso, devem ser materializados por estacas, 
piquetes, marcos de concreto, pinos de metal, 
tinta, dependendo da sua importância e 
permanência.”
Levantamento de uma poligonal
Método de irradiação
 A NBR 13133 (ABNT, 1994) classifica as poligonais em 
principal, secundária e auxiliar:
 Poligonal principal: poligonal que determina os pontos de 
apoio topográfico de primeira ordem;
 Poligonal secundária: aquela que, apoiada nos vértice da 
poligonal principal determina os pontos de apoio 
topográfico de segunda ordem;
 Poligonal auxiliar: poligonal que, baseada nos pontos de 
apoio topográfico planimétrico, tem seus vértices 
distribuídos na área ou faixa a ser levantada, de tal forma que 
seja possível coletar, direta ou indiretamente, por irradiação, 
interseção ou ordenadas sobre uma linha de base, os pontos 
de detalhes julgados importantes, que devem ser 
estabelecidos pela escala ou nível de detalhamento do 
levantamento.
As poligonais levantadas em campo poderão ser 
fechadas, enquadradas ou abertas
Poligonal fechada: parte de um ponto com coordenadas 
conhecidas e retorna ao mesmo ponto. Sua principal 
vantagem é permitir a verificação de erro de fechamento 
angular e linear.
Poligonal enquadrada: parte de dois pontos com 
coordenadas conhecidas e acaba em outros dois pontos 
com coordenadas conhecidas. Permite a verificação do erro 
de fechamento angular e linear.
Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas conhecidas e 
acaba em um ponto cujas coordenadas deseja-se determinar. Não é 
possível determinar erros de fechamento, portanto devem-se tomar 
todos os cuidados necessários durante o levantamento de campo 
para evitá-los.
NBR 13133 (ABNT, 1994 p.7)
 Como visto anteriormente, para o levantamento de uma 
poligonal é necessário ter no mínimo um ponto com coordenadas 
conhecidas e uma orientação. Segundo a NBR 13133 (ABNT, 
1994 p.7), na hipótese do apoio topográfico vincular-se à rede 
geodésica (Sistema Geodésico Brasileiro – SGB), a situação 
ideal é que pelo menos dois pontos de coordenadas conhecidas 
sejam comuns .Neste caso é possível, a partir dos dois pontos 
determinar um azimute de partida para o levantamento da 
poligonal.
Dois pontos com 
coordenadas conhecidas e 
vinculadas ao SGB 
comuns a poligonal.
Pontos com coordenadas conhecidas entre 
pontos da poligonal
 Estes dois pontos não necessitam ser os primeiros de 
uma poligonal.
 Um vértice de apoio pertencente a poligonal e 
observação a um segundo vértice.
Transporte de coordenadas utilizando uma 
poligonal de apoio
 Nenhum ponto referenciado ao SGB faz parte da 
poligonal, porém existem pontos próximos a poligonal 
de trabalho. Neste caso efetua-se o transporte de 
coordenadas através de uma poligonal de apoio.
LEVANTAMENTO E CÁLCULO DE 
POLIGONAIS FECHADAS
 Como visto anteriormente, a vantagem de utilizar uma 
poligonal fechada é a possibilidade verificar os erros 
angular e linear cometidos no levantamento da 
mesma.
LEVANTAMENTO DA POLIGONAL
 Um dos elementos necessários para a definição de uma 
poligonal são os ângulos formados por seus lados. A 
medição destes ângulos pode ser feita utilizando técnicas 
como pares conjugados, repetição ou outra forma de 
medição de ângulos. Normalmente são determinados os 
ângulos externos ou internos da poligonal. Também, 
é comum realizar a medida dos ângulos de deflexão 
dos lados da poligonal.
Estação Ré e Estação Vante
O sentido de caminhamento para o levantamento da 
poligonal será considerado o sentido horário. No 
sentido de caminhamento da poligonal, a estação 
anterior denomina-se de estação RÉ e a estação 
seguinte de VANTE.
Ângulo=leitura vante – leitura ré
 Neste caso os ângulos determinados são chamados de ângulos 
horizontais horários (externos) e são obtidos da seguinte 
forma: estaciona-se o equipamento na estação onde serão 
efetuadas as medições, faz-se a pontaria na estação ré e depois 
faz-se a pontaria na estação vante.
 Os comprimentos dos lados da poligonal são obtidos 
utilizando-se trena, teodolito ou estação total, sendo este 
último o método mais empregado atualmente. Não se 
deve esquecer que as distâncias medidas devem ser 
reduzidas a distâncias horizontais para que seja possível 
efetuar o cálculo das coordenadas. A orientação e as 
coordenadas de partida da poligonal serão obtidas 
conforme visto anteriormente.
CÁLCULO DA POLIGONAL
A partir dos dados medidos em campo (ângulos e 
distâncias), orientação inicial e coordenadas do 
ponto de partida, é possível calcular as 
coordenadas de todos os pontos da poligonal. 
Inicia-se o cálculo a partir do ponto de partida 
(costuma-se empregar a nomenclatura OPP para 
designar o ponto de partida).
VERIFICAÇÃO DO ERRO DE 
FECHAMENTO ANGULAR
 Para a poligonal fechada, antes de calcular o azimute das 
direções, é necessário fazer a verificação dos ângulos 
medidos. Uma vez que a poligonal forma um polígono 
fechado é possível verificar se houve algum erro na medição 
dos ângulos.Em um polígono qualquer, o somatório dos 
ângulos externos deverá ser igual a:
 Somatório dos ângulos medidos = (n + 2) . 180º
 Onde “n” é o número de estações da poligonal
 O erro angular (Ɛa) cometido será dado por:
 Ɛa = Somatório dos ângulos medidos – 180º(n+2).
 Para ângulos internos o somatório dos mesmos deverá ser igual ao número 
de estações menos dois, multiplicado por 180º.
Tolerância angular (ea)
 Este erro terá que ser menor que a tolerância 
angular (εa), que pode ser entendida como o erro 
angular máximo aceitável nas medições. Se o erro 
cometido for menor que o erro aceitável, deve-se 
realizar uma distribuição do erro cometido entre as 
estações e somente depois realizar o cálculo dos 
azimutes. É comum encontrar a seguinte equação 
para o cálculo da tolerância angular:
 onde n é o número de ângulos medidos na 
poligonal e p é precisão nominal do equipamento 
de medição angular.
ea max= p. n
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