Gabarito Autoatividades Trigonometria e Números Complexos

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Gabarito das Autoatividades
TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS
(MATEMÁTICA)
2011/1
Módulo III
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Escreva o que representam as letras a, b, c, h, s e t no triângulo retângulo 
abaixo. 
R.:
a e b são medidas dos catetos;
c é a medida da hipotenusa; 
h é a medida da altura relativa à hipotenusa;
s é a medida da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa;
t é a medida da projeção ortogonal do cateto BC .
2 Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles (possui 
dois lados de mesma medida), com catetos de 1 cm.
R.:
R.: A hipotenusa mede √2 cm.
3 A área de um terreno quadrangular é igual a 128 m². Quanto mede a diagonal 
desse terreno? (Lembrando que a área de uma região quadrangular é dada 
por: AQ = ℓ
2
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R: A diagonal desse terreno quadrangular mede 16 m.
4 As raízes da equação x² - 10x + 24 = 0 expressam, em cm, as medidas 
dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa 
desse triângulo. 
R.: x2 - 10x + 24 = 0 
Utilizando a fórmula de Bháskara, obtemos:
Teorema de Pitágoras:
R: A hipotenusa desse triângulo retângulo mede, aproximadamente, 7,2cm.
5 Um triângulo STU, retângulo em Ŝ, tem catetos com medidas iguais a 5 
cm e 12 cm. Calcule: 
a) a medida da hipotenusa;
R.: 
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b) a medida da altura relativa à hipotenusa;
R.:
c) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
R.: 
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6 Determine num triângulo retângulo ABC, de catetos com medidas iguais a 
3 e 4, a medida da hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa.
R.:
R: A hipotenusa mede 5 unidades de medida e a altura relativa à hipotenusa 
mede 2,4 u. m. 
7 Calcule, em cada figura, a medida de y. 
a) b) 
c) d)
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R.: 
8 Dois navios partem de um mesmo ponto, no mesmo instante, e viajam 
em direções que formam um ângulo reto. Depois de uma hora de viagem, a 
distância entre os dois navios é de 13 milhas. Se um deles é 7 milhas mais 
rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio.
R.:
Como estamos nos referindo à medida, x = 5 
R.: Um dos navios viaja a uma velocidade de 5 milhas por hora e o outro 
viaja a 12 milhas por hora. 
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9 No triângulo retângulo da figura a seguir temos que m = x, n = x + 5,6 e 
a = 20. Sabendo que as medidas são dadas em centímetros, determine as 
medidas b, c e h indicadas.
Portanto, m = 7,2 e n = 7,2 + 5,6 = 12,8 
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10 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e a área é de 54 
cm². Calcule a medida da altura relativa à hipotenusa.
R.:
Considerando a hipotenusa como base do triângulo, temos:
2
alturabaseA ⋅=
Assim, a altura do triângulo relativa à hipotenusa mede 7,2 cm.
TÓPICO 2
1 Um barco encontra-se a 200 m de um farol. Sabendo que o farol é visto do 
barco em um ângulo de 10º, calcule sua altura.
R.:
R.: A altura do farol é de 35,2 m.
2 Uma tábua está apoiada numa árvore, formando um ângulo de 60º. 
Determine o comprimento da tábua, sabendo que ela se apoia na árvore a 
uma distância de 1,5 m do chão.
R.:
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R.: A tábua tem 3 metros de comprimento.
3 Para alcançarmos o primeiro pavimento de um prédio, subimos uma rampa 
de 5 m que forma com o solo um ângulo de 25º. Qual é a distância do solo 
ao primeiro pavimento?
R.: 
R.: O primeiro pavimento está a 2,115 m de distância do solo.
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4 Uma pipa se encontra empinada a 18 m de altura do solo. Sabendo que 
o ângulo formado pela linha esticada com a horizontal é de 60º, calcule o 
comprimento da linha.
R.:
R.: A linha mede 12 √3 m.
5 Determine a sombra projetada por um poste de 3,75 m quando os raios de 
sol que incidem sobre ele formam, com a rua, um ângulo de 77º. 
R.:
R.: A sombra projetada pelo poste mede aproximadamente 0,866 metros.
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6 (CASTRUCCI, GIOVANNI. 2009, p. 279) Deseja-se construir uma estrada 
ligando as cidades A e B, separadas por um rio de margens paralelas, como 
nos mostra o esquema abaixo. 
R:
FIGURA 1 – ESTRADA LIGANDO AS CIDADES
A E B, SEPARADAS POR UM RIO DE MARGENS PARALELA
 FONTE: Castrucci, Giovanni (2009, p. 279)
Sabe-se que a cidade A está distante 30 km da margem do rio, a B está a 18 
km da margem do rio, e a ponte tem 3 km de extensão. Qual a distância de 
A a B, pela estrada, em quilômetros? 
R: 
Distância da cidade A até o rio:
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Distância da cidade B até o rio:
7 Uma escada rolante de 11.000 cm de comprimento liga dois andares de 
um shopping e tem inclinação de 45º. Qual é, em metros, a altura h entre um 
andar e outro desse shopping?
R.: 
R.: A altura entre um andar e outro desse shopping é de 55 √2m 
8 Calcule o valor de x em cada triângulo retângulo: 
a)
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b) c) 
R.: 
9 (FACCHINI, 1996, p. 285) Quando o Sol se encontra a 54° acima da linha 
do horizonte, a sombra de uma árvore, projetada no chão, mede 12 m. Qual 
é a altura dessa árvore?
R.: A árvore tem, aproximadamente, 16,5 metros.
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10 (CASTRUCCI, GIOVANNI, 2009 p. 280) A escada de um carro de 
bombeiros pode estender-se a um comprimento de 30 m, quando levantada 
a um ângulo de 70º. Sabe-se que a base da escada está sobre um caminhão, 
a uma altura de 2 m do solo. Qual é a maior altura que essa escada poderá 
alcançar em relação ao solo? 
FIGURA 2 - A ESCADA DE UM CARRO DE BOMBEIROS
FONTE: Castrucci e Giovanni. (2009 p. 280)
R.: 
R.: a altura da escada é dada por x + 2, ou seja, 30,2 metros.
TÓPICO 3
1 (CASTRUCCI, GIOVANNI. 2009, p. 286) São cada vez mais frequentes 
construções de praças cujos brinquedos são montados com materiais rústicos. 
A figura abaixo mostra um brinquedo simples que proporciona à criançada 
excelente atividade física.
R.:
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FIGURA 3 - BRINQUEDO SIMPLES QUE PROPORCIONA
À CRIANÇADA EXCELENTE ATIVIDADE FÍSICA
FONTE: Castrucci e Giovanni (2009, p. 286)
Sabendo que as distâncias AB e AC São iguais a 2 m, e o ângulo BÂC 
corresponde a 120º, calcule a distância B a C.
R.:
R.: A distância entre B e C é de 2√3 metros.
2 Use os dados da Tabela Trigonométrica (no quadro 7) e calcule os valores 
aproximados de x.
a) b) 
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R.: 
3 (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI, 2002, p. 55) Um barco de pescadores 
A emite um sinal de socorro queé recebido por dois radioamadores, B e C, 
distantes entre si 70 km. Sabendo que os ângulos AB̂ C e AĈB medem, 
respectivamente, 64º e 50º, determine qual radioamador se encontra mais 
próximo do barco. A que distância ele está do barco? 
R.: 
a = distância entre os radioamadores B e C 
x = distância entre o radioamador B e o barco A
y = distância entre o radioamador C e o barco A
(distância do radioamador C ao barco A)
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x = 58,67 km (distância do radioamador B ao barco A)
R: O radioamador mais próximo do barco é o B e ele está a 58,67 km de 
distância.
4 O ângulo agudo de um losango mede 20º e seus lados medem 6 cm. Calcule 
as medidas das diagonais (maior e menor) do losango. 
R.: Se cada ângulo agudo mede 20º, logo cada ângulo obtuso mede 160º.
A diagonal menor dividirá os ângulos obtusos ao meio (bissetriz), formando 
dois triângulos iguais.
A diagonal principal dividirá os ângulos agudos ao meio. 
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R.: A diagonal menor mede, aproximadamente, 2,08 cm e a diagonal maior 
mede, aproximadamente, 11,79 cm.
5 Num triângulo ABC, são dados A = 45º, B = 30º e a + b = √ 2 + 1. Determine 
o valor de a.
R.: 
R.: A mede √2 unidades de medida.
6 (CASTRUCCI, GIOVANNI. 2009, p. 286) Numa fazenda o galpão fica 50 m 
distante da casa. Considerando que x e y são, respectivamente, as distâncias 
da casa e do galpão ao transformador de energia, conforme mostra a figura 
abaixo, calcule as medidas x e y indicadas. 
R.:
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FIGURA 4 – CALCULANDO AS MEDIDAS X E Y DA FIGURA
 FONTE: Castrucci e Giovanni (2009, p. 286)
R.: As medidas de x e y são, respectivamente, 97,8 m e 95,1 m.
7 No triângulo ABC abaixo, sabe-se que cos  = 1. Nessas condições, calcule 
o valor de x. 5
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R.: 
R.: Como estamos nos referindo à medida, x mede, aproximadamente, 3,75 
unidades de medida.
TÓPICO 4
1 Converta em radianos: 
a) 1040º
b) 156º 
c) 210º
d) 15º 52’ 
R.: 
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2 Determine a medida, em graus, equivalente a:
R.:
a) π rad 
 2 
b) 11π rad 
 6
c) 5π rad 
 4
d) 8π rad 
 3
R.: Sabendo que π = 180º podemos escrever:
3 Calcule, em graus, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, 
nos seguintes casos: 
a) 2h 15min
b) 9h 10min
R.: a) Vamos considerar:
ɑ → medida do ângulo pedido 
x → medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 15 minutos, a 
partir das 2 horas.
O mostrador do relógio é dividido em 12 partes iguais. Por isso, o arco 
compreendido entre dois números consecutivos mede 360 = 30º.
Assim, ɑ = 30º - x 12 
Como a cada 60 minutos de tempo o ponteiro das horas percorre 30º:
Tempo ângulo descrito 
60 min 30º 
15 min x
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b) Vamos considerar:
ɑ → medida do ângulo pedido 
x → medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 10 minutos, a 
partir das 9 horas.
O mostrador do relógio é dividido em 12 partes iguais. Por isso, o arco 
compreendido entre dois números consecutivos mede 360º = 30º.
Assim, ɑ = 150º - x 12
Como a cada 60 minutos de tempo o ponteiro das horas percorre 30º: 
Tempo ângulo descrito 
60 min 30º
10 min x
4 Determine, em radianos, a medida de um arco de circunferência cujo 
comprimento mede 60m e o diâmetro dessa circunferência, 40m.
R.: 
R.: O arco mede 3 rad.
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5 Determine os quadrantes a que pertencem as extremidades dos seguintes 
arcos:
a) 20º
b) 1430º
c) - 550º
d) 25π rad
 4
e) - 11π rad
 4
a) R.: 1º quadrante, pois 0º < 20º < 90º. 
b) 1430º = 360º . 3 + 350 
R.: 4º quadrante, pois 270º < 350º < 360º. 
c) -550º = 360º . (-1) - 190 
-190 + 360 = 170º 
R.: 2º quadrante, pois 90º < 170º < 180º. 
d) 25 π rad = 3 . 2π + π 
 4 4
R.: 1º quadrante, pois π < 5π rad < 3π rad. 
 4 2
e) -11 π rad = - 2 π - 3 π 
 4 4
2π - 3π = 5π
 4 4
R.: 3º quadrante, pois π < 5π rad < 3π rad
 4 2
6 Identifique se os seguintes arcos são congruentes:
a) 19 π e 55 π
b) 3 645º e 5 445º
a) 19π = π + 9 . 2 π
55π = π + 27 . 2 π 
R.: São congruentes.
b) 3 645º = 45º + 10 . 360º
5 445º = 45º + 15 . 360º
R.: São congruentes.
7 Calcule a determinação principal dos arcos de medida: 
a) 4 120º
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b) - 4 550º
c) 47 π
 6 
d) - 67 π
 6
a) 4120º = 160º + 11 . 360º 
R: A determinação principal é 160º.
b) - 4450º = - 230º - 12 . 360º 
- 230º + 360º = 130º 
R.: A determinação principal é 130º. 
c) 47 π = 11 π + 3 . 2 π 
R.: 11 π rad é a primeira determinação positiva de 47 π. 
 6 6
d) - 67 π = 7 π - 5 . 2 π
 6 6 
- 7 π + 2 π = 5 π rad 
 6 6 
R.: 5π rad é a primeira determinação positiva de - 67π
 6 6
 
8 Dê os valores de seno e cosseno dos seguintes arcos: 
a) 390º
b) 10 305º
c) 3 π
d) 15π 
 2 
R.: 
a) 390º = 30º + 1 . 360º 
sen 390º = sen 30º = 1
 2 
cos 390º = 30º = √3
 2
b) 10 305º = 225º + 28 . 360º 
sen 10 305º = sen 225º = - √2
 2
cos 10 305º = cos 225º = - √2
 2
c) 3π = π + 2π
sen 3π = sen π = 0 
cos 3π = cos π = -1 
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d) 15π = 3π + 3 . 2 π
sen 15π = sen 3π = -1 
 2 2
cos 15π = cos 3π = 0 
 2 2
9 Simplifique a expressão , com sen ≠ 0. 
R.:
Sabemos que:
Substituindo na expressão:
10 Determine o valor da tangente dos seguintes arcos:
a) tg 135º
b) tg 210º
c) tg 5π
 6
d) tg 4π 
 3 
R.: 
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UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Indique o valor de: 
a) cotg 60º b) sec 180º c) cossec 30º 
d) cotg 225º e) sec 210º f) cossec 270º 
g) cotg 330º h) sec 120º i) cossec 225º 
RESOLUÇÃO: 
a) b) c) 
d) e) f) 
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g) h) i) 
2 Calcule o valor das expressões (FACHINI, 1996):
a) 
b) 
RESOLUÇÃO:
a) b) 
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3 Verifique se são verdadeiras ou falsasas igualdades:
a) tg 60º = tg 120º b) cotg π = cotg 3π
c) cossec 0º = cossec 2π 2 2
e) tg π = tg 7π d) tg 3π = tg 5π 
 3 3 4 4
g) sec π = sec 5π f) sec 45º = sec 765º 
 4 h) cotg 0º = cotg 180º 
i) sec 90º = sec 270º j) cossec π = cossec 3π 
 4 2
RESOLUÇÃO:
a) b) c) 
 
Resposta: Falsa Resposta: Verdadeira Resposta Verdadeira 
d) e) f) 
Resposta: Falsa Resposta: Verdadeira Resposta: Verdadeira 
g) h) i) 
 
Resposta: Falsa Resposta: Verdadeira Resposta: Verdadeira 
j) 
Resposta: Falsa 
30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
T
R
I
G
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N
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M
E
T
R
I
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R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
4 Determine o domínio das seguintes funções: 
a) f(x) = cotg 2x + 30º 
b) f(x) = cossec (x + π) 
 6
c) f(x) = sec x + π 
 3
RESOLUÇÃO:
a) A condição de existência é: 
b) A condição de existência é: 
c) A condição da existência é: 
5 Para que valores reais de m a equação sen x = 2m + 1 admite solução?
RESOLUÇÃO: 
Devemos ter - 1 ≤ sen x ≤ 1 
Substituindo: - 1 ≤ 2m + 1 ≤ 1 
I) -1 ≤ 2m +1 II) 2m + 1 ≤ 1 
-2 ≤ 2m 2m ≤ 1 -1 
-1 ≤ m 2m ≤ 0 
 m ≤ 0 
R.: S = {m Є | - 1 ≤ m ≤ 0} 
31UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
T
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X
O
S
6 Calcule B = sen 2x +cos 4x – tg 3x, para x = π
 3
RESOLUÇÃO:
R.: B = √3 - 1 
 2 
7 Que número é maior: sen 70º ou sen 760º?
RESOLUÇÃO: 
sen 70º = 0,940
O ângulo 760° é congruente ao ângulo 40°, então sen 760º = sen 40º = 
0,643
R.: sen 70º é maior que sen 760º. 
8 Determine , tal que 
RESOLUÇÃO:
R.: x = - 1 .
 2
32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
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C
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E
X
O
S
9 Construa o gráfico, dê o domínio, a imagem e o período das funções:
a) f(x) = cos (x - π)
 4
b) f(x) = 4 . sen x 
 3
c) f(x) = - tg 2x 
RESOLUÇÃO:
a) 
33UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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X
O
S
b)
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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P
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X
O
S
c)
TÓPICO 2
1 Encontre o valor de y, sendo y um número real, tal que sen2 y – 3 sen 
y = – 2, para 0 ≤ y ≤ π. 
RESOLUÇÃO:
sen2y - 3 sen y = - 2 
sen2y - 3 sen y + 2 = 0 
Fazendo sen y = x, temos:
x2 - 3x + 2 = 0 
35UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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X
O
S
Reescrevendo em função de y:
x’ = 2 → sen y = 2
Mas o valor máximo do seno no ciclo trigonométrico é 1. Portanto, x = 2 
não é uma solução.
Assim, y = π 
 2
2 Resolva as equações trigonométricas abaixo:
a) sen 3x = 1 
b) cos (x + π) = - 1 
 6
c) tg 5x = 0 
d) 2 sen 2x - 1 = 0 
e) cos (2x - π) = - √3 
 2
f) tg(2x - π) - √3 = 0 
RESOLUÇÃO:
a)
36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
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b)
c) 
d) 
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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X
O
S
e) 
f) 
3 Sabendo que x Є calcule as seguintes inequações:
a) tg x ≤ 1
b) cosx ≥ - 1 
 2
c) sen x > 0 
d) sen x ≥ - √3 
 2
e) - √3 < tg x ≤ √3 
 3
38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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X
O
S
RESOLUÇÃO:
a) 
Solução geral: 
b)
Solução geral: 
c) 
Solução geral: 
d) 
Solução geral: 
39UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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e)
Solução geral: 
TÓPICO 3
1 Dado sen x = 3, com, 0 < x < π, calcule cos x.
 4 2 
RESOLUÇÃO: 
Usando a relação sen2x + cos2x = 1 temos:
Como 0 < x < π, o cosseno é positivo. 
 2
Logo: 
cos x = √7
 4
40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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S
2 Dado cosx = - √3, com π < x < π, calcule tg x.
 3 2
RESOLUÇÃO: 
Para calcular a tg x devemos conhecer o valor de sen x.
Como π < x < π , o seno é positivo. 
 2
E assim, 
41UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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S
3 Sabendo-se cotg x = √3 e π < x < 3π, calcule:
a) cossec x 2
b) sen x
c) tg x
d) cos x 
e) sec x 
RESOLUÇÃO: 
cotg x = √3 e π < x < 3π
 2
a)
Como π < x < 3π e a cossec x tem o mesmo sinal de sen x. 
 2
Então: cossec x = - 2 
b) 
c) 
42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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S
d)
Como π < x < 3π, temos cos x = - √3
 2 2
e) 
4 Qual o valor numérico da expressão M = 4+2 sen x, para 3 π < x < 3π. 
 cos2x 2
RESOLUÇÃO:
43UNIASSELVI
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X
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S
Como π < x 3π e cossec x tem o mesmo sinal de sen x. 
 2 
Então: 
5 Quais são os valores de sen x e cos x, sendo sen x = -2 cosx e π < x < π? 
 2
44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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S
RESOLUÇÃO:
Como π < x < π, então: 
 2
Obs.: Existem outras maneiras de obter a solução. Aqui se apresenta apenas 
uma sugestão.
6 Essa questão pode ser vista como um ótimo quebra-cabeça trigonométrico!
Demonstre que as seguintes igualdades são identidades:
a) tg2 x . sen2 x = tg2 x - sen2 x
b) (1 + cotg x)2 + (1 cotg x)2 = 2 cossec2 x 
c) cos x . tg x . cossec x = 1 
d) (tg x + 1)(1 tg x) = 2 sec2 x
45UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
T
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X
O
S
RESOLUÇÃO: 
a) 
Como sen2x + cos2x = 1, então sen2x = 1 - cos2x.
Substituindo, temos:
b) Utilizando os produtos notáveis, temos:
Como cossec2x = 1 + contg2x, podemos escrever Resolução: 
c) Sabemos que: tg x = sen x e cosses x = 1 
 cosx sen x 
Substituindo esse valores em cos x . tg x . cossec x = 1, temos:
46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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S
TÓPICO 4
1 Utilizando as fórmulas de adição ou subtração de arcos, calcule:
a) sen 135º b) cos 15º
c) tg 75º d) cos 225º
e) sen 195º f) tg 105º
RESOLUÇÃO:
a) 
b) 
c) 
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S
d)
e) 
f) 
2 Sabendo que cosx = 1 e x Є 1º quadrante, calcule:
 5
a) sen 2x
b) cos 2x
c) tg 2x
RESOLUÇÃO: 
a) 
48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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S
Como x Є 1º quadrante, então:
b) 
c) 
49UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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S
3 Sabendo que sen x = - 4 e x Є 3º quadrante, determine:
 5
a) sen 2x
b) cos 2x
c) tg 2x
RESOLUÇÃO: 
Como e x Є 3º Q, cosx = - 3 
 5
a) c) 
b) 
50 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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4 Dado cos a = 1, com 0 < a < π, calcule a.
 2’ 2’ 2’
RESOLUÇÃO: 
Como x Є 1º Q então:
cos a = 1
 2 2
5 Sabendo que sen a = 1 com 0 < a < π, determine sen a. 
 2’ 2’ 2’
RESOLUÇÃO: 
51UNIASSELVI
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6 Transforme em produto:
a) sen 90º + sen 30º
b) sen 80º - sen 40º
c) cos 35º - cos 25º
d) 1 + cos 40°
RESOLUÇÃO:
a) 
b) 
52 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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c) 
d) Sabemos que 1 = cos 0º, logo:
53UNIASSELVI
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UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Para cada número complexo a seguir, qual o valor da parte real e da parte 
imaginária?
a) z = 7 - 5i 
b) z = - 1 + 3i 
 4 
c) z = √3 - √5i 
d) z = 0 
RESOLUÇÃO: 
a) Parte real: 7 
Parte imaginária: - 5 
b) Parte real: - 1 
 4
Parte imaginária: 3 
c) Parte real: √3
Parte imaginária: - √5 
d) Parte real: 0
Parte imaginária: 0
2 Resolva as seguintes equações, sabendo que :
a) x2 - 4x + 8 = 0 
b) x2 - 2x + 5 = 0 
RESOLUÇÃO:
a) 
54 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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b)
3 Determine o valor de x e y nas igualdades:
a) 3 + 5yi = x - 10i 
b) (1-x) + (3 - y)i = 4 + 6i 
RESOLUÇÃO: 
a + bi = c + di ↔ a = c e b = d 
a) 3 = x 
5y = 10 
y = 2 
55UNIASSELVI
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b) 
4 Dados os números complexos z1= 3 + 4i e z2 = a + bi, sendo que z1 = z2, 
defina o valor de a e b. 
RESOLUÇÃO:
5 Escreva o conjugado dos seguintes números complexos:
a) z = – i – 3
b) z = 5i + 8
c) z = – 12i 
d) z = 6i – 4 
RESOLUÇÃO:
a) 
b) 
c) 
d) 
6 Qual o oposto do conjugado do número complexo z = 3 + 10i?
RESOLUÇÃO:
56 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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7 Considerando o número complexo z = (a – 5) + (b2 – 36)i, determinar os 
números reais a e b de modo que z seja:
a) um número real 
b) um número imaginário puro
RESOLUÇÃO: 
a) Para que z seja um número real, devemos ter:
b) Para que z seja imaginário puro, devemos ter: 
a - 5 = 0 
a = 5
8 Seja z = a + bi, com {a, b} , demonstre que 
RESOLUÇÃO:
TÓPICO 2
1 Realize as seguintes operações e calcule o inverso em cada uma delas:
a) (4 + 3i) + (3 - i) 
b) (-2 + 12i) - (6 + 11i) 
c) (9 - 7i) + (14 - 8i) - (- 2 - 10i) + (-15 + 4i) 
RESOLUÇÃO: 
a) 
57UNIASSELVI
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b) 
c) 
2 Considerando os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, prove as seguintes 
propriedades do conjugado:
a) 1ª propriedade: o conjugado da soma é igual à soma dos conjugados: 
2121 zzzz +=+
b) 2ª propriedade: o conjugado do produto é igual ao produto dos conjuga-
dos: xzz 21 =⋅
c) 3ª propriedade: o produto de um número complexo pelo seu conjugado 
é um número real não negativo: xzz 21 =⋅ , com x ∈ R. (Dica: x = a² + b²).
RESOLUÇÃO:
a) 
Portanto: 
58 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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S
b)
c)
3 Efetue as multiplicações com números complexos: 
a) (4 + i) (2 - i)
b) 
c) (- 5 + 2i)2 
d) (√5 + i) (√2 - i) (3 + 2)
RESOLUÇÃO: 
a) 
b) 
59UNIASSELVI
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c)
d)
4 Calcule os seguintes quocientes:
a) 
b) 
c) 
RESOLUÇÃO:
a) 
b) 
60 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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c)
5 Sendo calcular: 
a) 2z1 - 3z2 + z3 
b) z1 . z2 . z3 
c) 31
2 + 2z3
 z2
2
RESOLUÇÃO:
a) 
b) 
c) 
61UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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6 Resolva as potências de i:
a) i5 + 5i10 + 2i3 - i4
b) - 3382 + i281 - (3i)3 + 51180 
c) i32 + i98 - 3i57
 i92 - i310
RESOLUÇÃO:
a) 
b) 
c) 
62 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
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7 Efetue:
a) (2 + 5i)2
b) (4 - i)3
RESOLUÇÃO: 
a) 
b) 
8 Sendo i a unidade imaginária calcule (1 – i)44. 
RESOLUÇÃO:
TÓPICO 3
1 Determine os números complexos correspondentes aos afixos A, B, C, D, 
E, F e G no plano de Argand-Gauss a seguir:
63UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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S
RESOLUÇÃO: 
A = (-2,0) = - 2 
B = (2,3) = 2 - 3i 
C = (3,2) = 3 + 2i 
D = (-3,4) = 3 + 4i
E = (-4, -1) = - 4 - i 
F = (0, -2) = - 2i 
G = (1,3) = 1 + 3i 
2 Determine o módulo e o argumento dos seguintes números com-
plexos:
a) z = 3 + 4i 
b) z = -1 - √3i 
c) z = √2 + i 
d) z = 4i 
e) z = (1 - i) (2 + 3i)
64 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
RESOLUÇÃO: 
a)
Como os valores de seno e cosseno são positivos, o ângulo encontra-se no 
1° quadrante. Consultando as tabelas trigonométricas encontramos Ɵ = 53º.
b) 
~
65UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
Como os valores de seno e cosseno são negativos, o ângulo encontra-
se no 3° quadrante. Consultando as tabelas trigonométricas encontramos 
Ɵ = 240º.
c) 
~
Como os valores de seno e cosseno são positivos, o ângulo encontra-se no 
1° quadrante. Consultando as tabelas trigonométricas encontramos Ɵ = 35º.
d) 
~
Como o seno é 1 e o cosseno é o, temos Ɵ = 90º.~
66 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
e)
Como os valores de seno e cosseno são positivos, o ângulo encontra-se no 
1° quadrante. Consultando as tabelas trigonométricas encontramos Ɵ = 11º.
3 Represente graficamente os afixos dos seguintes números complexos:
z1 = - 3 + 2i 
z2 = 5 + 6 
z3 = -1 + 4i 
z4 = 5 - i 
z5 = - 3i 
z6 = 4 
RESOLUÇÃO:
~
67UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
4 Determine o módulo de z = 2 + √2i
 3 + √2i 
RESOLUÇÃO:
5 Encontre o valor de z, sabendo que, 1 e 1 - z possuem o mesmo módulo.
 z
RESOLUÇÃO: 
68 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
69UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
Logo a2 + b2 = 1 
a2 + b2 = 1 
( 1 ) + b2 = 1 
 2 
b2 = 1 - 1 
 4
b2 = 3
 4
b = ± √3 
 2 
6. Calcular o módulo, o argumento e fazera representação geométrica do 
complexo: 
z = √3 + i 
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO: 
70 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
TÓPICO 4
1 Escreva na forma trigonométrica os seguintes números complexos:
a) z = 3 + 3i
b) z = √3 - i 
c) z = - 5 
d) z = 8i 
RESOLUÇÃO: 
Forma trigonométrica
a) 
b) 
71UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
c)
d) 
2 Represente na forma algébrica os complexos:
a) z = 4 
b) z = 6 
c) z = 3 
d) z = 2 
72 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
RESOLUÇÃO: 
a) 
b) 
c) 
d) 
3 Sabendo que , 
obtenha z1 . z2.
RESOLUÇÃO:
73UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
4 Dados os complexos e 
 , calcule: 
a) z2 
 z3
b) z1. z2 
 z3
RESOLUÇÃO:
a)
b) 
5 Calcule na forma trigonométrica o produto z1 . z2, sabendo que
RESOLUÇÃO:
74 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
6 Dado o número , determine z5. 
RESOLUÇÃO:
7 Determine o produto z1 . z2 e o quociente z1 para 
 z2 
 .
RESOLUÇÃO:
8 Usando a fórmula de Moivre calcule as potências:
a) (1 - i)3
b)
RESOLUÇÃO:
a) 
75UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
 
E
 
N
Ú
M
E
R
O
S
 
C
O
M
P
L
E
X
O
S
b)
9 Calcule as raízes quadradas de
RESOLUÇÃO:
Aplicando a 2ª Lei de Moivre, temos:
76 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
T
R
I
G
O
N
O
M
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I
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E
 
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M
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C
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M
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X
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S
10 Calcule as raízes cúbicas de 27. 
RESOLUÇÃO: 
Logo, as raízes cúbicas de 27 são: