impresso_LMAT_MatematicaFundamental

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Disciplina 
Matemática Fundamental 
 
 
Coordenador da Disciplina 
Prof. Gabriel Paillard 
 
 
12ª Edição
 
Copyright © 2010. Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, 
transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, dos autores. 
 
Créditos desta disciplina 
 
Realização 
 
 
Autor 
 
Prof. Plácido Francisco de Assis Andrade 
 
Colaborador 
 
 
 Prof. José Othon Dantas Lopes/ Prof. José Valter Lopes Nunes 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Aula 01: Conjuntos e Números ................................................................................................................ 01 
 Tópico 01: Cardinalidade ....................................................................................................................... 01 
 Tópico 02: Número e Numeral ............................................................................................................... 04 
 Tópico 03: Contagem ............................................................................................................................. 06 
 Tópico 04: Ordem .................................................................................................................................. 08 
 
Aula 02: Operações ................................................................................................................................... 10 
 Tópico 01: Adição .................................................................................................................................. 10 
 Tópico 02: Propriedades da Adição ....................................................................................................... 13 
 Tópico 03: Multiplicação ....................................................................................................................... 16 
 Tópico 04: Subtração ............................................................................................................................. 20 
 Tópico 05: Divisão ................................................................................................................................. 22 
 Tópico 06: Notação Exponencial ........................................................................................................... 24 
 
Aula 03: Sistema Decimal e Algoritmo ................................................................................................... 26 
 Tópico 01: Sistema Decimal e Contagem .............................................................................................. 26 
 Tópico 02: O Algoritmo da Adição ........................................................................................................ 29 
 Tópico 03: O Algoritmo da Subtração ................................................................................................... 31 
 Tópico 04: O Algoritmo da Multiplicação ............................................................................................. 35 
 Tópico 05: O Algoritmo da Divisão ...................................................................................................... 37 
 
Aula 04: Fatoração .................................................................................................................................... 42 
 Tópico 01: Divisibilidade ....................................................................................................................... 42 
 Tópico 02: Propriedades da Divisão ...................................................................................................... 45 
 Tópico 03: Reconhecendo Divisores ..................................................................................................... 47 
 Tópico 04: Fatoração e Números Primos ............................................................................................... 51 
 Tópico 05: MDC .................................................................................................................................... 55 
 Tópico 06: MMC ................................................................................................................................... 58 
 
Aula 05: Sistema de Numeração .............................................................................................................. 61 
 Tópico 01: Base Decimal ....................................................................................................................... 61 
 Tópico 02: Bases Não Decimais ............................................................................................................ 62 
 Tópico 03: Mudança de Base ................................................................................................................. 65 
 Tópico 04: Algoritmo de Mudança de Base .......................................................................................... 67 
 
 
Matemática Fundamental 
Aula 01: Conjuntos e Números 
Tópico 01: Cardinalidade
Boa parte do que hoje chamamos de Matemática originou-se de ideias que estão associadas aos 
conceitos de número, grandeza e forma.
A ideia da qual trataremos nessa disciplina, Matemática Fundamental, diz respeito ao conceito de 
número e de como eles surgem no processo de contagem de conjuntos. Numa criança, a ideia “conjunto” 
é apreendida antes da ideia “número”, ou seja, o primeiro conceito é mais primitivo que o segundo.
Todos nós já ouvimos a história do pastor que, ao recolher seu rebanho no final do dia, relacionava os 
carneiros com pedras guardadas no seu farnel. A relação que o pastor estabelecia era simples: cada 
carneiro correspondia a uma única pedra e cada pedra correspondia a um único carneiro. Com isso, o 
pastor sabia quando algum carneiro tinha se extraviado ou quando existia um novo carneiro no rebanho.
Um número cardinal é uma idealização que guarda a comparação feita 
mecanicamente, ou seja, um número cardinal é uma ideia que apreende a 
quantidade de elementos de um conjunto. 
Elaboramos essa ideia comparando dois conjuntos através de uma relação biunívoca.
RELAÇÃO BIUNÍVOCA
Uma relação entre dois conjuntos A e B é biunívoca quando cada elemento do conjunto A está 
associado a um único elemento do conjunto B e cada elemento de B está associado a um único 
elemento de A.
Se tomarmos o farnel do pastor como referência, entendemos que qualquer conjunto, não apenas o 
conjunto de carneiros, admitindo uma relação biunívoca com as pedras do seu farnel tem a mesma 
cardinalidade, fato que pode ser dito de outras maneiras.
• Têm a mesma quantidade de elementos;
• Têm igual número de elementos; 
• Têm o mesmo número cardinal;
• Têm a mesma cardinalidade.
Subconjuntos próprios
1
Dado um conjunto A. Diz-se que um subconjunto B de A é próprio quando B não é o conjunto vazio e 
nem é igual ao conjunto A. O conjunto vazio, ∅ = { }, é subconjunto de qualquer conjunto e um conjunto A é 
sempre um subconjunto de A. Recordamos que ∅ é a letra minúscula grega fi.
Exemplo 1
O conjunto de todos os números naturais pares é um subconjunto próprio do 
conjunto dos números naturais, pois existe número natural que não é par. Dê 
exemplo.
Exemplo 2
O conjunto das vogais é um subconjunto próprio do conjunto das letras do 
nosso alfabeto.
Nesse texto iremos contar apenas conjuntos com uma quantidade finita de elementos, ou mais 
simplesmente, contar conjuntos finitos. Embora todos nós entendamos, intuitivamente, qual o significado 
do termo conjunto finito a sua definição matemática não é óbvia, mas é simples.
Conjuntos finito e infinito
Um conjunto A é infinito se existe uma relação biunívoca de A em um seu subconjunto próprio. Caso 
contrário, diz-se que o conjunto A é finito.
Exemplo 3
O conjunto A={a,b,c,d} é um conjunto finito pois não podemos construir uma 
relação biunívoca entre A e um subconjuntopróprio de A. 
Exemplo 4
O conjunto dos números naturais é infinito, pois podemos construir uma relação 
biunívoca entre ele conjunto dos números naturais pares. Verifique que a relação que 
associa cada número natural ao seu dobro, nos dá uma relação biunívoca.
• A cardinalidade de um conjunto é a quantidade de elementos de um conjunto. A quantidade 
de elementos é chamada de número cardinal.
• Quando o conjunto é finito, o número cardinal que indica a sua quantidade de elementos 
recebe o nome de número natural. 
•Quando o conjunto não é finito, o número cardinal que indica a sua quantidade de elementos 
recebe o nome de número transfinito. Os números transfinitos não serão estudados nesta 
disciplina.
2
EXERCITANDO 1
Escolha um livro do Ensino Fundamental utilizado na Escola Pública e escreva uma crítica 
analítica sobre como o autor desenvolveu a apresentação desse tópico. No máximo, uma lauda, 
citando autor, título e série.
EXERCITANDO 2
Sejam A e B dois conjuntos e x um elemento de A. Quais dos registros são válidos?
(a) A ∈ B. (b) A ⊂ B. (c) x ∈ B.
(d) x ⊂ A. (e) A ∪ B ∈ B. (f) A ∩ B ⊂ A.
(g) A ⊂ B. (h) x ∉ B.
MULTIMÍDIA
Assista ao vídeo:
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 1, com os colegas ou com o professor tutor, as dúvidas sobre os 
exercícios ou sobre a matéria da Aula 1. Lembre que sua participação no Fórum vale presença e nota 
de avaliação.
3
Matemática Fundamental 
Aula 01: Conjuntos e Números 
Tópico 02: Número e Numeral
VERSÃO TEXTUAL 
Este tópico diz respeito à forma pela qual comunicamos a cardinalidade de um conjunto 
finito.
Suponha que um outro pastor utiliza o mesmo processo de controle do rebanho e que tem 
um farnel com uma quantidade diferente de pedras, isto é, não existe uma relação biunívoca entre 
as pedras dos dois farnéis. Como comunicar esse fato? Como deixar claro quantos carneiros um 
deles tinha a mais?
Uma das qualidades do ser humano é a capacidade de comunicar suas ideias. Para isso, 
normalmente, ele utiliza o som oral ou registra esses sons numa escrita, embora existam outras formas. 
De qualquer modo, é preciso dar nome aos objetos.
"Casa" é o registro escrito de um som que expressa uma idéia de lar, de 
local de habitação. Para registrar a palavra ”casa” utilizamos um alfabeto, ou 
seja, um conjunto de letras (símbolos).
No caso da nossa língua, o alfabeto utilizado é o conjunto de símbolos 
{a, b, c, ..., z}. Cada símbolo corresponde a um som absoluto, pelo qual, 
quando agrupados respeitando-se determinadas regras, recuperamos uma 
seqüências de sons que formam o nome de algo (objeto, ação, qualidade, 
etc.).
Portanto, precisamos também dar nome a cada número natural para comunicar a quantidade de 
elementos de um conjunto finito. Primeiro, fixemos uma terminologia.
Um numeral é o nome de um número.
EXEMPLO
O numeral "três mil setecentos e oitenta e um" é o nome de um número natural. Mas, escrever em 
português, ou em qualquer outra língua, o numeral correspondente ao número natural no qual estamos 
pensando, nunca deu bons frutos.
Sistema decimal e numeral
Para comunicar por escrito o nome do número natural, dito de outra forma, para escrever a 
quantidade de elementos de um conjunto finito, utilizaremos, nesse texto, um alfabeto com dez símbolos,
{0, 1, 2, ..., 9}. Uma letra desse alfabeto é chamada de algarismo, ou dígito.
4
Esses dígitos e algumas poucas regras para seu emprego formam o chamado sistema de numeração 
Hindu-Arábico, ou sistema de numeração decimal, ou simplesmente sistema decimal. Tal sistema de 
numeração é adotado universalmente e tem enormes vantagens sobre todos outros, como, por exemplo, o 
sistema numérico Romano.
OLHANDO DE PERTO
Para ilustrar a vantagem do sistema decimal quando da escrita, veja a seguir o nome de um 
número natural registrado de três formas diferentes. Observe que os sons produzidos ao lermos cada 
um deles são iguais:
1. dois mil trezentos e oitenta e quatro;
2. MMCCCLXXXIV;
3. 2384.
Num capítulo futuro, examinaremos a construção do sistema decimal. Para continuar, temos 
absoluta certeza que o leitor tem familiaridade com esse sistema.
Para deixar claro a distinção entre número e numeral, encontramos em livros didáticos do Ensino 
Fundamental, brincadeiras como a que segue, nas quais é pedido ao aluno unir duas peças 
correspondentes de forma a relacionar os numerais.
MULTIMÍDIA
Assista ao vídeo:
5
Matemática Fundamental 
Aula 01: Conjuntos e Números 
Tópico 03: Contagem
VERSÃO TEXTUAL 
Na prática, surge um problema. O conjunto precisa ser muito ”pequeno” para, numa rápida 
avaliação, termos a ideia sobre quantos elementos ele possui. Para determinar a cardinalidade de 
muitos conjuntos finitos precisamos de um processo chamado contagem.
Nem de longe pensamos que o leitor não saiba contar. O que segue é o modo pelo qual a Matemática 
formaliza esse processo. O conhecimento dessa formalização permite que sejam criadas situações 
concretas envolvendo conjuntos para ensinar o processo de contagem numa sala de aula dos primeiros 
anos do Ensino Fundamental.
Primeiro, consideramos o conjunto formado por todos os números naturais, conjunto esse indicado 
por
N = {0,1,2,3,4,5,...}.
Segundo, destacamos subconjuntos convenientes de N que servirão de referência para a contagem. 
Chamaremos de subconjunto de contagem a um subconjunto do tipo Cn = {1,2,3,4,5,...,n}. 
A terminologia subconjunto de contagem tem uma justificativa.
Vamos supor que desejemos contar o conjunto formado pelas vogais, A = {a,e,i,o,u}. Formalmente, a 
contagem é a construção de uma relação biunívoca entre A e um dos subconjuntos de contagem. Nesse 
caso, a relação biunívoca é entre A e o conjunto de contagem C5. Dentre as várias possibilidades para 
essa relação biunívoca vejamos duas delas.
É claro, somente podemos realizar o processo de contagem (construir a relação biunívoca) quando 
escolhemos o conjunto C5.
Feito isso, diremos que A contém cinco elementos, ou a quantidade de elementos de A é 5 ou a 
cardinalidade de A é 5.
6
O conjunto vazio contém zero elementos, por definição.
OBSERVAÇÃO
Ao escrever 475 todos nós sabemos em qual número estávamos pensando naquele momento. O 
processo pensar - falar - escrever é tão natural que identificamos:
1. o número que pensamos, no caso, um número natural;
2. com o numeral quatrocentos e setenta e cinco;
3. e o seu registro no sistema decimal.
Não há pecado algum na identificação número - numeral - registro. Isso também ocorre quando 
identificamos a pessoa, com o nome dessa pessoa e o registro escrito do seu nome. Por isso, de 
agora em diante diremos, simplesmente, o número 475, ficando subentendido toda essa identificação.
O processo de contagem surge nos livros do Ensino Fundamental respeitando a construção acima. 
Em geral, é apresentado um conjunto de figuras, seja de frutas, ou coelhos, ou bombons, etc., e é 
solicitado ao aluno que enumere as figuras. Por exemplo, enumerar as figuras abaixo significa estabelecer 
a relação biunívoca entre os conjuntos dos quadrados e o conjunto de contagem C6. O problema 
apresentado não utiliza linguagem de conjuntos, mas ela está sugerida no diagrama.
MULTIMÍDIA
Assista ao vídeo:
7
Matemática Fundamental 
Aula 01: Conjuntos e Números 
Tópico 04: Ordem
Está implícito na ideia de números naturais a noção de ordem. Quando tentamos relacionar 
biunivocamente dois farnéis contendo pedras e que não possuem o mesmo número de elementos, no 
final, um deles terá pedras que não estarão associados a uma pedra do outro farnel.
Dizemos, naturalmente, que um conjunto de pedras é menor que o outro. Esse conceito, transfere-se 
aos números naturais postulando que 5 é menor que 7, ou, simbolicamente, 5 < 7, desde que as pedras de 
um farnel estão relacionadas biunivocamente com um subconjunto próprio do outro farnel.
VERSÃO TEXTUAL 
A ideia de número natural surge acompanhada de dois conceitos,quantidade e ordem. Na 
verdade, é comesses dois conceitos que concretizamos uma contagem.
Existem várias formas de representar geometricamente os números naturais. Uma delas é identificá-
los com pontos de uma reta. Essa visualização tem grandes conveniências. A principal delas é a 
possibilidade de estabelecer uma relação entre Geometria e Álgebra.
Números naturais e pontos de uma reta
1. fixamos uma reta geométrica;
2. fixamos um segmento de reta para ser a unidade de medida;
3. escolhemos um ponto da reta, chamado de origem, que será identificado com o número 
natural 0;
4. a partir da origem e seguindo para a direita, a cada intervalo de comprimento unitário 
escolhido, associamos aquele ponto com um cardinal seguindo a ordem 1,2,3, etc.
5. Esta identificação é tão natural que não há inconveniente algum ao pensarmos no número 5, 
por exemplo, como o ponto da reta ao qual ele foi identificado. Tecnicamente falando, dizemos 
8
que 5 é a abscissa do ponto ao qual ele foi associado. A noção de ordem nos cardinais fica 
descrita pela posição relativa entre pontos da reta. Se um cardinal p foi identificado a um 
ponto à esquerda do ponto cuja abscissa é q, significa que p é menor que q, fato registrado 
simbolicamente por p < q.
EXERCITANDO 3
Números transfinitos não serão tratados nessa disciplina, como já ressaltamos. Essa 
generalização do conceito de número foi uma das grandes criações intelectuais no século XIX. Nem 
de longe eles devem ser tratados numa sala de aula do Ensino Básico, pois é necessário 
amadurecimento matemático para compreendê-los. Para tomar conhecimento sobre tais tipos de 
números leia um texto em:Seara da Ciência [1],e faça um breve resumo do que você entendeu sobre o 
texto, sobre a cardinalidade dos naturais, irracionais e reais e a aritmética transfinita.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolva os exercitando 2 e 3 e os exercícios (que estão no material de apoio): 5 do tópico 1; 4 e 8 
do tópico 2; 6 do tópico 3 e poste no portfólio Aula 01..
Fontes das Imagens
1 - http://www.searadaciencia.ufc.br/especiais/matematica/transfinitos/transfinitos3.htm
9
Matemática Fundamental 
Aula 02: Operações 
Tópico 01: Adição
VERSÃO TEXTUAL 
Nessa aula, apresentaremos as quatro operações Aritméticas e suas propriedades. O 
processo de contagem é o ponto em torno do qual desenvolveremos a apresentação. 
Insistiremos na utilização de conjuntos para deixar claro que as propriedades dessas operações 
decorrem de situações concretas. Isso permite experiências em sala de aula que ilustrem os 
conceitos.
Desejamos que ao final dessas aulas, você tenha percebido que a abstração e o formalismo 
Matemático coloca sob o mesmo ponto de vista situações que, à primeira vista, são díspares. Nos quatro 
primeiros anos do Ensino Fundamental, a abstração nunca deve estar dissociada da realidade, ao 
contrário, ela serve para o estudante adquirir um maior conhecimento sobre o concreto, ao permitir uma 
síntese com a qual podemos tirar muitas conclusões.
Ao desenvolver qualquer teoria, é comum fixar alguns símbolos para tornar a leitura menos 
redundante e mais clara. No nosso caso, fixaremos uma notação que expresse o número de elementos de 
um conjunto.
Indicaremos por η(A) o número de elementos de A.
Η
n é a letra minúscula grega chamada eta.
Para o conjunto A = {a,b,c} temos η(A) = 3.
Quando B = {d,e,f,g,h} temos η(B) = 5.
Como o conjunto vazio ∅ = { } não contém elementos, diremos que η
(∅) = 0.
O número de elementos do conjunto D = {Pedro, Paulo} é η(D) = 2.
Discutiremos, agora, como a operação adição de dois números naturais, surge de experiências 
concretas. Normalmente, a adição é indicada pelo sinal +. O ponto principal é como se apreende o 
significado da adição utilizando conjuntos.
10
Teoria de conjuntos e Adição
Considere os conjuntos disjunto A = {a,b,c} e B = {d,e,f,g,h}. Observe que existe uma estreita relação 
entre o número de elementos da união dos conjuntos,
A ∪ B = {a,b,c,d,e,f,g,h},
é 3 + 5, qual seja,
3 + 5 = η (A) + η (B)= η (A
B) = 8.
Esse exemplo, simples, motiva a definição da adição no Ensino Fundamental.
Sejam A e B dois conjuntos finitos disjuntos tais que η (A) = p e η (B) = q. Definimos p + q = η(A ∪B).
Dois conjuntos, A e B, são disjuntos quando a interseção é vazia, fato indicado por
A ∩ B = { }
Comentários sobre a definição de soma
Observação 1
Valem as igualdades p + q = η(A) + η(B) = η(A∪B)somente quando A e B são 
conjuntos disjuntos.
Observação 2
O número natural p + q não depende dos conjuntos escolhidos. O importante 
é que os conjuntos sejam disjuntos.
Observação 3
Ao exigirmos que a adição de dois números naturais p, q ∈ N seja um outro 
número natural p + q ∈ N, tecnicamente, estamos afirmando que o conjunto N é 
fechado em relação à adição.
Observação 4
O resultado obtido com a operação de adição é chamado de soma. Por 
exemplo, 7 é a soma da adição 5 + 2.
Em geral, nos textos para o Ensino Fundamental, a operação de adição é introduzida na forma 
definida acima, utilizando conjuntos. É claro, a operação de adição é trabalhada, concreta e 
numericamente, evitando o uso da linguagem de Teoria de Conjuntos, embora os diagramas utilizados 
induzam e preparam a apresentação posterior da linguagem. Examinemos um exemplo ilustrativo 
coletado num livro didático.
Questão. Junte os triângulos e os quadrados na caixa S. Quantas figuras ficam na caixa S?
Resposta: 2 + 3 são... figuras.
11
Examinemos, criticamente, o exemplo sob o ponto de vista da definição de operação de adição. A 
autora está sugerindo com o diagrama que a criança faça a união (junte) de dois conjuntos, quais sejam, T
= { Δ, Δ} e Q = {∎,∎,∎}. A utilização de figuras geométricas distintas, triângulos e quadrados, sugere que 
os conjuntos são disjuntos. A caixa S (de adição) imita um diagrama de Venn. A palavra quantas significa 
a soma, como explicitado no local da resposta, e a palavra são substitui o símbolo de igualdade. Aqui, no 
nosso contexto resumiríamos, simbolicamente, toda essa construção subjetiva na forma
2 + 5 = η (T) + η (Q) = η (T ∪ Q) = 5.
É conveniente ressaltar que toda a estrutura lógica contida na definição de adição está representada, 
gráfica e concretamente, nesse exemplo.
EXERCITANDO 1
Considere o conjunto A = {1,2,3,4}. Responda se a afirmação é falsa ou verdadeira
( )   η (A) = {4}
( )   η(A) = 4
( )   η( A) = {1,2,3,4}
EXERCITANDO 2
Dados os conjuntos A = {a}, B = {x, y, z} e C = {α ,β ,γ}.
a) Complete com símbolos o membro esquerdo da igualdade.
A B C = 1 + (3 + 3)
b) Responda se a sentença é verdadeira ou falsa
( ) η(A) + η(B) = {a, x, y, z} ( ) η(A η B) = {a, x, y, z}
( ) {a} + {x, y, x} = 5 ( ) A < C
( ) η(A) ∪ η (B) = 4 ( ) η(A) ∈ A
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 2, com os colegas ou com o professor tutor, as dúvidas sobre os 
exercícios ou sobre a matéria da Aula 2. Lembre que sua participação no Fórum vale presença e nota 
de avaliação.
12
Matemática Fundamental 
Aula 02: Operações 
Tópico 02: Propriedades da Adição
Quando efetuamos operações aritméticas utilizamos propriedades que, muitas vezes, não foram 
nomeadas e, geralmente, não foram justificadas. Você já procurou alguma explicação para a igualdade 3 + 
5 = 5 + 3 (comutatividade), isto é, a ordem das parcelas de uma adição não altera a soma? Ou uma 
justificativa para a igualdade 3 + 0 = 3 (elemento neutro)? Utilizando a definição de soma dada na seção 
anterior essas propriedades podem ser justificadas.
Propriedade comutativa. Para quaisquer dois números naturais p e q
vale a igualdade
p + q = q + p
Escolha dois conjuntos disjuntos A e B cujos números de elementos são p e q respectivamente, ou 
seja, η(A) = p e η(B) = q. Como vale a igualdade de conjuntos A η B = B ∪ A temos
p + q = η(A) + η(B)
η(A ηB)
η(B η A)
η(B) + η(A)
q + p
Logo, na adição, a ordem das parcelas não altera o resultado.
Exemplo recolhido de um livro didático. Faça um exame crítico da figura representada pelas pedras do 
dominó. Ela ilustra qualpropriedade da adição?
Elemento neutro. Para qualquer natural p vale a igualdade p + 0 = p.
Escolha um conjunto A cuja cardinalidade seja η(A) = p. Considerando a união desse conjunto com o 
conjunto vazio ∅= { } temos A ∪ ∅= A. Observamos que o conjunto vazio é disjunto de qualquer outro por 
definição, isto é, A ∩ ∅ = ∅. Voltemos ao nosso problema. Como η(∅) = 0 seguem as igualdades
p + 0 = η(A) + η(∅) = η (A ∪ ∅) = η(A) = p
A propriedade do elemento neutro é visualizada nos textos do Ensino Fundamental por diagramas. 
Dentre muitos exemplos, escolhemos um apresentado em [Mor]. Dado um prato com três biscoitos e outro 
prato vazio, são feitas duas perguntas.
Questão: Quantos biscoitos em cada prato? Quantos biscoitos ao todo?
13
Novamente a idéia de união de dois conjuntos surge no concreto. Cada conjunto é representado por 
um prato sendo que um deles está vazio. A união fica subtendida e não é explicitada. Observe que a figura 
é a ilustração da propriedade p + 0 = p.
Colocando na linguagem utilizada neste texto. Se P é o conjunto formado pelos biscoitos que estão 
no prato à esquerda e ∅ é o conjunto vazio, isto é, o conjunto formado pelos biscoitos do segundo prato, 
temos 
p + 0 = η(P) + η(∅) = η(P ∪ ∅ ) = η(P) = p.
Também é comum depararmos com expressões do tipo 5 + 2 + 7. Qual o significado de uma adição 
com três parcelas? A definição de adição diz respeito a dois números naturais. Podemos então adotar o 
seguinte procedimento: somamos 5 + 2 e o resultado é somado com 7. Registramos essa seqüência de 
operações por (5 + 2) + 7. Mas poderíamos efetuar a operação em outra ordem: 5 somado com o 
resultado de 2 + 7, ou seja, 5 + (2 + 7). Até este momento, nada garante que as somas obtidas sejam 
iguais. Na verdade a adição tem uma propiedade que garante a igualdade e então muitas vezes omitimos 
os parênteses. Justifiquemos essa propriedade.
Propriedade associativa. Para quaisquer números naturais p, q e r vale a 
igualdade: (p + q) + r = p + (q + r).
Dados os conjuntos A, B e C. A união A ∪ B unida com C é informada por (A ∪ B) ∪ C. O conjunto 
resultante é igual ao conjunto construído fazendo a união de A com B ∪ C, isto é, A ∪ (B ∪ C). Em resumo, a 
propriedade que desejamos verificar decorre de uma propriedade sobre união de conjuntos, a saber,
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
Justifiquemos a propriedade associativa. Se η (A) = p, η(B) = q e η(C) = r e os três conjuntos são 
conjuntos disjuntos dois a dois (a interseção de quaisquer dois deles é vazia) temos por definição
(p + q) + r = (η( A) + η(B)) + η(C)
η(A η B) + η(C)
η((A η B) ∩ C)
η(A ∩ (B ∩ C))
η(A) +η(B ∩ C)
η (A) + (η(B) + η (C))
p + (q + r)
EXERCITANDO 3
Identifique as propriedades utilizadas na seguinte seqüência de igualdades,
(8 + 25) + 47 =
=
=
=
47 + (8 + 25) 
(47 + 8) + 25
55 + 25
80.
Fixado uma representação do conjunto dos números naturais por pontos duma reta, a operação de 
adição pode ser visualizada graficamente utilizando segmentos orientados da reta.
14
Suponhamos que desejemos representar graficamente a soma 2 + 3. Primeiro desenhamos um 
segmento orientado (seta horizontal) com início no ponto de abscissa 0 e final no ponto de abscissa 2. 
Para representar o natural 3 consideramos um segmento orientado com início na origem e final no ponto 
com abscissa 3.
A soma 2 + 3 é representada por um segmento orientado obtido ao fazermos o transporte do 
segmento que representa 3 até que seu ponto inicial coincida com ponto final do segmento que 
representa 2. Com isto, obtemos um segmento orientado com início na origem e final no ponto cuja 
abscissa é 5, isto é 2 + 3 = 5. Convencionamos que o natural 0 é representado por um ponto, um segmento 
orientado degenerado.
EXERCITANDO 4
Considere a seguinte tabela:
Time Vitórias Empates Derrotas Pontos
Gols a 
favor
Gols 
contra Saldo
Aliança 2 0 1 6 9 8 +1
Liberdade 2 0 1 x 6 5 +1
Esperança y 1 1 4 z 5 +1
Confiança 0 1 2 1 5 w -3
A tabela representa a primeira fase de um quadrangular de Futsal, onde cada equipe fez três 
jogos, enfrentando cada adversário uma única vez. Sabe-se que:
* Cada vitória vale três pontos;
* Cada empate vale um ponto;
* Cada derrota vale zero ponto;
* Saldo é a diferença entre número de gols a favor e número de gols contra.
Determine x, y, z e w.
15
Matemática Fundamental 
Aula 02: Operações 
Tópico 03: Multiplicação
Examinemos a operação de multiplicação de números naturais com uma apresentação do ponto de 
vista de conjuntos.
PARADA OBRIGATÓRIA
Recordamos que a operação de multiplicação é indicada pelos sinais . ou × (em programas de 
computação é utilizado o sinal *.
O resultado da operação chamamos de produto.
Antes de apresentar a operação multiplicação vejamos diferentes maneiras intuitivas de defini-la. 
Essencialmente todas estão relacionadas à idéia de soma. Comecemos com um exemplo envolvendo 
conjuntos.
Dados os seguintes três conjuntos de quatro elementos, disjuntos dois a dois,
A = { a, b, c, d}, B = {e, f, g, h} e C = {i, j, k , l}.
Uma questão natural é saber quantos elementos existem na união desses conjuntos. Pela regra de 
adição temos
η((A
B)
C)
=
=
=
η(A) + η(B) + η(C)
4 + 4 + 4
12.
A soma de 4+4+4 será denotada por 3 . 4 ou 3 x 4.
Mas poderíamos organizar a união dos conjuntos representando os elementos por linhas, como na 
figura abaixo, obtendo três linhas de quatro elementos cada. Os elementos contidos na união dos 
conjuntos corresponde ao total de elementos contidos nesse arranjo por empilhamento.
i j k l ↔ C
e f g h ↔ B
a b c d ↔ A
Dados p, q em N. Definimos
16
Reescrevamos essa definição com a linguagem de Teoria de conjuntos. 
p . q é o número de elementos obtidos pela união de p conjuntos dois a dois disjuntos onde cada 
conjunto contém q elementos.
VERSÃO TEXTUAL 
Observe que a multiplicação associa dois elementos p, q , ∈ N a um outro elemento p . q ∈ N. 
Tecnicamente, diz-se que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à multiplicação.
Aqui, valem comentários semelhantes àqueles feitos para a adição. Ao multiplicar números naturais, 
muitas vezes, utilizamos propriedades operacionais sem uma justificativa. Você já procurou alguma 
justificativa para 3 . 5 = 5 . 3 (comutatividade)? Porque 3 . 1 = 3 ? Essas propriedades são justificadas 
concretamente com Teoria de conjuntos.
Propriedade comutativa. Sejam p e q dois números naturais. Vale a 
igualdade 
p . q = q . p
Escolhamos p conjuntos disjuntos dois a dois, digamos,
A1, A2, ... , Ap,
onde cada um tem q elementos, isto é, η(Ai) = q. Representemos a união dos conjuntos por uma figura 
obtida empilhando-os por linha (figura abaixo). Sendo assim, obtemos um conjunto representado por p
linhas com q elementos em cada linha, Por definição de produto de naturais, o total de elementos da união 
é
Rotacionando a figura em noventa graus, obtemos
Essa é uma representação da união de q conjuntos, digamos B1, B2, ..., Bq, cada um com p elementos. 
Portanto, o total de elementos da união é:
17
É claro, o total permaneceu o mesmo, em outras palavras, p . q = q . p.
strong>Elemento identidade. Para qualquer natural p vale a igualdade p . 1 
= p.
Recordando a construção feita para justificar a comutatividade, quando tivermos p linhas com um 
elemento em cada, p . 1. É claro, o total será de p elementos, significando que p . 1 = p.
Já sabemos multiplicar dois números naturais. Por outro lado temos lido dezenas de vezes a 
multiplicação de três números naturais, como 5 . 2 . 7. Formalmente, não temos um significado para essa 
expressão. Na verdade, isso é uma simplificação da escrita que não causa nenhum transtorno, pois 
estamos apenas omitindo a informação contida na seguinte sequência de operações: multiplicamos 5 . 2 
e o resultado é multiplicado por 7, simbolicamente, (5 . 2) . 7. Se efetuarmos a operação em outra ordem: 5 
multiplica o produto de 2 . 7, simbolicamente, 5 . (2 . 7), obteremos o mesmo resultado. Isto é oque 
garante a seguinte propriedade.
Propriedade associativa. Para quaisquer p, q, r ∈ N, vale a igualdade.
p . (q . r) = (p . q) .r
A justificativa segue a mesma ideia, a diferença fica por conta de termos que trabalhar com uma 
figura tridimensional e não bidimensional.
Propriedade multiplicativa do zero. Para qualquer número natural p
vale a igualdade
p . 0 = 0
A verificação dessa propriedade está baseada numa informação conhecida e muito simples, qual 
seja, a união de p conjuntos vazios, A1 = ∅, A2 = ∅,..., Ap = ∅ é também o conjunto vazio, então
Até o momento tratamos separadamente as propriedades das operações de adição e de 
multiplicação. Mas existe uma propriedade operatória relacionando-as, chamada de distributividade, 
bastante útil nos cálculos.
Propriedade distributiva. Para quaisquer números naturais p, q e r vale 
a igualdade
18
p . (q + r) = (p . q) + (p . r)
Novamente, utilizaremos conjuntos para justificar a propriedade.
Compare as figuras abaixo. Na primeira, temos representado a operação 2 . 5 + 2 . 3 e na segunda 
figura, 2 .(5 + 3).
Examinemos a multiplicação 3 . 2 = 6 em termos de segmento orientado. Esta multiplicação na ordem 
apresentada significa a soma de três segmentos representando o natural 2. A fim de verificar a 
comutatividade da multiplicação, registremos também graficamente o produto 2 . 3 = 3 + 3.
EXERCITANDO 5
Utilize empilhamento para ilustrar os produtos.
a) 5 . 2
b) 2 . 5
, c) 1 .5 
EXERCITANDO 6
Suponha que sua máquina de calcular esteja com a tecla 7 com defeito. Como você efetuaria a 
multiplicação 7 . 7 ?
19
Matemática Fundamental 
Aula 02: Operações 
Tópico 04: Subtração
Sejam p e q dois números naturais. Então:
p = q + r.
A subtração de 8 - 5 é o natural 3, pois 8 = 5 + 3.
Em termos de conjunto, a subtração de dois naturais p - q significa eliminar de um conjunto com p
elementos um subconjunto com q de elementos. Nesse sentido, como a soma corresponde a considerar a 
união, podemos apreender a subtração como a operação contrária da adição.
Faça um exame crítico da seguinte situação apresentada em [Mor]. Um colar deveria ter 10 contas 
mas 3 delas soltaram-se do fio.
Quantos restaram?
Não necessariamente a subtração de dois naturais existe.
EXEMPLO
Não podemos efetuar a subtração de 3 - 8, pois não podemos retirar de um conjunto com três 
elementos um subconjunto com oito elementos.
A subtração em N não é comutativa pois 8 - 4 existe e 4 - 8 não faz sentido com naturais. 
Portanto, não podemos escrever 8 - 4 = 4 - 8 com naturais.
A subtração de números naturais não é associativa, pois (7 - 3) - 2 = 2. Por outro lado 7 - (3 - 2) 
= 6.
O zero não é o elemento neutro da subtração, pois 5 - 0 = 5 e 0 - 5 não faz sentido com 
números naturais.
Posteriormente, com a definição de números inteiros teremos a liberdade de efetuar 
subtrações do tipo 5 - 8. Por enquanto, como estamos trabalhando com conjuntos, essa 
diferença não faz sentido.
20
A subtração p - q é registrada fazendo o transporte do segmento orientado que representa q
invertendo a direção. Por exemplo, para 6 - 4 temos
EXERCITANDO 7
Faça um planejamento de aula para apresentar o tópico Subtração (uma lauda no máximo).
21
Matemática Fundamental 
Aula 02: Operações 
Tópico 05: Divisão
Iniciamos essa seção fixando o conceito de divisão.
VERSÃO TEXTUAL 
Sejam p e q dois números naturais com q ≠ 0. Então p : q é o natural s, se existir, tal que p = 
s . q.
Teoria de conjuntos e divisão
A operação de divisão também pode ser justificada com a teoria de conjuntos.
Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e, f}. Neste caso temos η (A) = 6.
O conjunto A pode ser decomposto em dois conjuntos disjuntos, A = B ∪ C cada um com o mesmo 
número de elementos, quais sejam, B = {a, b,c} e C = {d, e, f} . Portanto, pelas regras já conhecidas temos
6 = η(A)
= η(B) + η(C)
= 3 + 3
= 2 . 3
Portanto, 6 : 3 = 2, um conjunto com seis elementos foi dividido em dois subconjuntos com 3 
elementos cada. Esse é o significado de divisão apresentado nos livros iniciais do Ensino Fundamental. 
Em geral, a transposição didática do conceito de divisão vem acompanhada do processo de 
empilhamento. Ela convence que a divisão é o processo contrário à multiplicação.
Acompanhe a informação acima registrada por empilhamento.
Dividir um natural p por um natural q
0, se for possível, é decompor um conjunto A com p elementos em s subconjuntos disjuntos com q
elementos cada.
A seguir, observações sobre a operação da divisão: 
Observação 1
22
A operação de divisão responde a seguinte questão: dado um conjunto A 
com p elementos, quantos subconjuntos desjuntos, de q elementos, podemos 
formar usando todos os elementos de A?
Observação 2
Na definição ficou explicitado que não podemos dividir um natural p por 0. 
Existe um forte argumento para essa restrição. Se aceitarmos o absurdo 6 : 0 = s, 
então devemos aceitar o absurdo 6 = s . 0 = 0, pois já vimos que qualquer natural 
multiplicado por zero é igual a zero.
Observação 3
A divisão não é comutativa. Podemos dividir 6 : 2, mas não podemos 
decompor um conjunto A com η (A) = 2 como uma união de 6 subconjuntos 
disjuntos. Em outras palavras 6 : 2 ≠ 2 : 6, pois o segundo membro não faz 
sentido. Isto explica a outra restrição da definição. A divisão de dois naturais 
pode não existir.
Observação 4
Deixaremos ao leitor a tarefa de encontrar um argumento para mostrar que 
a divisão não é associativa.
Observação 5
p : 1 = p para qualquer número natural p, pois um conjunto A com p
elementos só pode ser decomposto em um único subconjunto (ele próprio) com 
p elementos.
EXERCITANDO 8
Efetue graficamente (por empilhamento) a divisão indicada.
a) 12 : 4
b) 8 : 2
c) 5 : 5
EXERCITANDO 9
Faça um exame crítico de cada uma das figuras.
23
Matemática Fundamental 
Aula 02: Operações 
Tópico 06: Notação Exponencial
Fixemos uma notação conveniente para o desenvolvimento das próximas aulas.
• Sejam p e n dois números naturais com n > 0. A n-ésima potência de p é o número natural pn
definido por
O número natural n recebe o nome de expoente.
EXEMPLO
a) 74 = 7 . 7 . 7 . 7
b) 103 = 10 . 10 . 10
c) 51 = 5
d) 14 = 1 . 1 . 1 . 1
As regras decorrentes da notação são operacionalmente simples e podem ser resumidas em três 
propriedades. Observe que, nessa altura do texto, abandonaremos as justificativas utilizando conjuntos, 
aplicaremos apenas as regras operacionais já deduzidas anteriormente.
Multiplicação de potências com mesma base.
Sejam p, m, n números naturais não nulos. Então:
pm
pn = pm+n
Prova
A verificação dessa propriedade é imediata
pm . pn = (p . p ... p) . (p . p ... p .p) = pm+n
Na definição da n-ésima potência de p, foi exigido que o expoente n seja diferente de zero. Da regra 
demonstrada acima, podemos inferir qual seria uma boa definição para p0 (p . 0). Sejam p e m dois 
naturais não nulos. Se desejamos definir qual um valor para a expressão p0 é natural que desejemos que a 
regra acima seja satisfeita, isto é,
pm. p0 = pm+0 = pm
Portanto, para que essa identidade seja verificada é suficiente fixar a seguinte definição.
• Definimos p0 = 1 para qualquer natural p diferente de zero.
24
Apresentamos uma regra envolvendo duas potências com mesma base e expoentes quaisquer. 
Vejamos qual a regra do produto de potências com bases distintas e mesmo expoente.
Multiplicação de n- ésimas potências.
Para quaisquer números naturais p, q e n, vale a igualdade:
pn. qn = (p . q)n.
Prova
Pelas regras conhecidas, entre as quais, a comutatividade, temos
pn . qn = (p . p ... p) . (q . q ... q . q) = (p . q) . (p . q) ... (p . q) = (p. q)n
EXEMPLO
Multipliquemos p = 74 e q = 73 + 54. Utilizando os resultados desse parágrafo temos
p . q =
=
=
=
74 (73 + 54)
74 . 73 + 74 b>. 54
77 + (7 . 5)4
77 + 354
Potência de uma potência.
Para quaisquer naturais p, m e n (com p ≠ 0) vale a igualdade
(pm)n = pmn
Prova
Deixaremos aos cuidados do leitor a verificaçãodesta fórmula.
EXERCITANDO 10
Calcule o valor de m.
a) 24 . 54 = 10m
b) 25 . 35 = m5
EXERCITANDO 11
Simplifique a expressão 251 - 250 - 249.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolva os exercitandos 7 e 10 e os exercicios (que estão no material de apoio): 4 do tópico 1 ; 6 
do tópico 2; 6 do tópico 3; 2 do tópico 5 e poste no portfólio Aula 02.
25
Matemática Fundamental 
Aula 03: Sistema Decimal e Algoritmo 
Tópico 01: Sistema Decimal e Contagem
A relação número – numeral - registro, não deixa transparecer de imediato uma série de convenções 
estabelecidas historicamente e que devem ser obedecidas quando pretendemos expressar o número 
imaginado sem deixar dúvidas. É sobre essas regras (algoritmos) que faremos comentários. Fazer com 
que o aluno entenda aquilo que está resumido num algoritmo é a primeira grande dificuldade no ensino da 
Matemática nos primeiros anos da escola.
Desejamos contar um conjunto A com um número grande de elementos. Por motivos até biológicos, o 
impulso inicial é agrupar os elementos do conjunto em subconjuntos de dez elementos. Um processo de 
contagem seria o seguinte. 
Começaríamos a formar grupos de dez elementos. Algumas vezes pode ocorrer que reste alguns 
elementos e não podemos formar um grupo de dez com os mesmos.
A seguir, agrupamos os grupos em caixas contendo dez grupos de dez. Novamente, algumas caixas 
podem não conter dez grupo de dez.
O diagrama abaixo transmite de forma precisa a cardinalidade η(A). 
A questão é: como guardar ou transmitir essa informação de modo sucinto? O sistema de numeração 
decimal é uma técnica de registrar o número de elementos de um conjunto finito. Apresentemos sua 
descrição. 
Utiliza-se um alfabeto com apenas dez símbolos chamados algarismos ou dígitos. A saber, δ =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (δ é a letra grega minúscula delta).
Cada um dos algarismo representa um número natural entre zero e nove chamado de valor 
absoluto do dígito.
26
Cada palavra escrita com algarismos representa uma soma de múltiplos de potências de 10 
onde o coeficiente de 10m é o cardinal que ocupa a (m + 1)-ésima casa decimal.
Para esclarecer melhor a relação entre a potência e o coeficiente deixemos alguns exemplos.
OBSERVAÇÃO
O registro de um cardinal feito como no lado esquerdo das igualdades acima é chamado de 
notação decimal e o do lado direito de notação expandida
Voltemos ao início da seção. Ao contarmos o conjunto A procedemos do seguinte modo. 
Decompomos o conjunto em três subconjuntos disjuntos A = CDU com as seguintes propriedades.
Propriedade 1
O subconjunto C corresponde às duas caixas onde cada caixa tinha dez 
grupos de dez elementos. Logo, das propriedades operatórias temos:
η(C) = 2 . 102 = 200.
Propriedade 2
O subconjunto D, corresponde à sete grupos de dez elementos:
η(D) = 7 . 101 = 70.
Propriedade 3
O subconjunto U corresponde aos seis restantes. Então:
η(D) = 6 . 100 = 6
Propriedade 4
Como os subconjuntos são disjuntos seguem as igualdades
η(A) = η(C) + η(D) = η(U)
= 2 . 102 + 7 . 101 + 6 100
= 276
Reciprocamente, quando registramos 475, o sistema decimal nos induz a pensar que um conjunto A
contendo quatrocentos e setenta e cinco elementos foi separado em três subconjuntos disjuntos, A = C ∪
D ∪ U, onde as cardinalidades de cada parcela da união são:
η(C) = 4 . 102;
η(D) = 7 . 10;
η(U) = 5
27
Adiante, iremos explorar essa relação entre o registro de um número e uma decomposição de um 
conjunto para explicar como surgem as contas de somar, subtrair, multiplicar e dividir.
Efetuemos uma soma utilizando a notação expandida para, posteriormente, entendermos como surge 
o algoritmo da adição. Calculemos 25 + 133. Escrevendo os dois números na notação expandida decimal 
e somando temos, pelas propriedades operatórias,
É claro, é impraticável somar utilizando esse processo. Na próxima seção apresentaremos um 
método mais eficiente.
Nos livros textos para o Ensino Fundamental, vários diagramas são utilizados para descrever o 
sistema numérico decimal. Todos eles apresentam agrupamentos dos elementos de um conjunto para 
fazer a contagem e transcreve o resultado da contagem no sistema decimal. Vejamos um exemplo que 
descreve pictoricamente o raciocínio empregado na contagem.
EXERCITANDO 1
Transforme para a notação expandida, some e transcreva o resultado para a notação decimal.
a) 72 + 38
b) 43 + 68
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 3, com os colegas ou com o professor tutor, as dúvidas sobre os 
exercícios ou sobre a matéria da Aula 3. Lembre que sua participação no Fórum vale presença e nota 
de avaliação.
28
Matemática Fundamental 
Aula 03: Sistema Decimal e Algoritmo 
Tópico 02: O Algoritmo da Adição
O sistema decimal oferece outras vantagens além da simplicidade de escrita. Uma delas é a 
facilidade de criar algoritmos para operações algébricas. Devemos examinar nessa seção como surge o 
primeiro algoritmo que aprendemos, a conta de somar, 
Para efetuarmos a conta acima, somente precisamos conhecer a tabuada da soma que nos fornece a 
adição de poucos números, a saber, soma de números de 0 a 9. Em termos de conjuntos a adição 
responde à pergunta: se η(A) = 475 e η(B) = 48, qual a cardinalidade de A ∪ B, sabendo-se que A ∩ B = ∅?
Façamos a decomposição de cada cardinal seguindo as regras do Sistema decimal e as propriedades 
das operações com cardinais já aprendidas no tópico anterior, 
OLHANDO DE PERTO
A operação foi efetuada somando separadamente unidades, dezenas, e centenas apenas com o 
auxílio da tabuada e as propriedades distributiva, comutativa e associativa. Entretanto a resposta não 
pode ser transposta para o sistema decimal, pois na unidade surgiu 13 que não é um número escrito 
com um dígito. O mesmo ocorreu com a casa das dezenas, 11.10 . Se fizéssemos a transposição para 
o sistema decimal obteríamos algo totalmente esdrúxulo, "411113" , certamente um registro errado, 
se considerado como sendo a soma 475 + 48. 
Regras do sistema decimal
Como na casa das unidades só deve ter um dígito e as regras do Sistema decimal nos diz que 13 = 
1.10 +3, surge o famoso vai um, neste caso, vai um para a casa da dezena,
475 + 48= 4.100 + 12.10 +3. 
Novamente, vai um para a casa das centenas, pois, 
12.10= 1.100 + 2.10 
475+48 = 5.100 + 2.10 + 3
29
Finalizando, temos 
475 + 48 = 5.100 + 2.10 + 3 = 523
Um algoritmo para a operação de soma reproduz sinteticamente todas 
essas operações de forma eficiente.
Se, por um lado, o processo de somar utilizando a notação expandida é impraticável, por outro lado, 
ele nos dá todas as informações necessárias para construirmos o algoritmo da soma. Examinemos, agora, 
as seguintes contas de somar (três algoritmos diferentes), 
O algoritmo à esquerda está reproduzindo a conta feita no início da solução anterior de forma 
sintética,
O algoritmo do centro é semelhante ao anterior, apenas omitimos os zeros para facilitar a escrita.
Uma simplificação maior do algoritmo está apresentada à direita com 
mais economia de espaço, mas, essencialmente, é igual. Em lugar de 
escrever 13 como o total da soma das unidades, escrevemos apenas a 
unidade 3 e acrescentamos 10 unidades na soma indicando esse fato pelo 
vai um. O mesmo ocorre com a soma das dezenas. 
Calculemos 3759 + 527 + 430. Utilizemos os dois algoritmos descritos acima. 
EXERCITANDO 2
Determine os dígitos x, y e z, sabendo-se que 
30
Matemática Fundamental 
Aula 03: Sistema Decimal e Algoritmo 
Tópico 03: O Algoritmo da Subtração
VERSÃO TEXTUAL 
A subtração de naturais corresponde a retirar de um conjunto uma quantidade determinada 
de elementos. É assim que a operação de subtração é introduzida no Ensino Fundamental. Por 
isso, nesse nível, só faz sentido considerar a subtração de um natural maior por um menor. 
Vejamos um exemplo simples que ilustra como surge o algoritmo da subtração:
EXEMPLO
3.3.1: De um conjunto A com 38 elementos retirarmos 15 elementos. Quanto resta? Em outras 
palavras, qual a diferença 38 − 15?SOLUÇÃO 
Solução Como η(A) = 38, podemos decompor o conjunto em uma união disjunta A = D 
∪ U , onde η(D) = 30 e η(U) = 8. Se queremos retirar 15 elementos de A, retiramos 10 de D e 5 
de U, sobrando 20 no primeiro e 3 no segundo. Logo,
Coloquemos algebricamente essa mesma ideia,
Vejamos como fica o algoritmo da subtração que na é uma síntese desse processo.
O algoritmo que registra essa situação é bem simples, na verdade é o tomando 
emprestado ou o vem um para a posição da casa das unidades,
31
PROBLEMA 1 
Problema 3.3.2 : Calcule a diferença 379 − 237.
Solução Repetindo o mesmo raciocínio anterior temos,
A situação para a criança pode ser um pouco mais complicada, como nos 
exemplos a seguir. Como você utilizaria conjuntos para explicar as operações 
realizadas nas operações pedidas?
PROBLEMA 2 
Problema 3.3.3: De um conjunto A com 35 elementos retiramos 18 
elementos. Quantos restam?
Nesse caso não podemos repetir exatamente a construção anterior. Se não, 
vejamos. Primeiro, decompomos o conjunto em dois conjuntos disjuntos, 
A = D ∪ U, onde η(B) = 30 e η(U) = 5. 
Como 18 = 10 + 8 não podemos retirar 8 elementos do conjunto U pois 
esse só tem 5 elementos. 
A solução é decompor o conjunto A em dois conjuntos disjuntos,
A = X ∪ Y, onde η(X) = 20 e η(Y) = 15. 
Aqui, está a ideia do tomar emprestado, transferindo 10 elementos do 
conjunto D para o conjunto U. Queremos registrar essas ideias num algoritmo. 
Antes apresentemos a solução algébrica, 
onde, por problema de espaço, o símbolo 15 está significando 15 . 
32
PROBLEMA 3 
Problema 3.3.4: Calcule a subtração 662 − 478. 
Observe que a unidade não pode ser subtraída nem a dezena. No algoritmo 
de subtração podemos tomar emprestado duas vezes.
Os significados dos símbolos são 12 = 12 e, respeitando a regra posicional 
no Sistema decimal, 1 50 = 150.
PROBLEMA 4 
Problema 3.3.5: Calcule a subtração 602 − 478. 
Nesse caso o algoritmo também funciona desde que utilizemos mais de 
um vem um. Veja a solução. 
Outro algoritmo. Nesses últimos exemplos, podemos não assinalar na 
conta o vem um e substituí-lo por outro processo semelhante. A seguir 
apresentaremos o algoritmo normalmente ensinado nas escolas. Aqui faremos 
o registro gráfico de todas as passagens do processo. 
EXEMPLO
Exemplo 3.3.6: Calcule a subtração 692 − 478.
A ideia é somar potências de 10 a ambas parcelas da subtração e não transferi-la com o vem um. 
Sejamos claro. 
33
Observe que 12 = 12 , portanto aumentamos em 10 unidades o número 662, ele não veio da casa da 
dezena. Para não alterar a subtração devemos somar 10 unidades ao natural 478, isto fica indicado por 
47+18 = 478 + 10 = 488 . 
Utilize o mesmo processo acima para a operação a seguir.
EXEMPLO
Problema 3.3.7: Calcule a subtração 332 − 278.
Repitamos o processo.
34
Matemática Fundamental 
Aula 03: Sistema Decimal e Algoritmo 
Tópico 04: O Algoritmo da Multiplicação
VERSÃO TEXTUAL 
O algoritmo da multiplicação utiliza o algoritmo da soma. Nessa altura, o estudante do 
Ensino Fundamental deve conhecer a tabuada de multiplicação. Vejamos como surge o algoritmo 
de multiplicação.
Algoritmo da multiplicação
Efetue a multiplicação 3.49
Solução: Examinemos as seguintes contas de multiplicar com as propriedades que já conhecemos, 
depois construimos o algoritmo correspondente,
3 . 49 = 3 . (4 . 10 + 9)
= (3 . 4) . 10 + 3 . 9
= 12 . 10 + 27
Novamente, a resposta não permite transcrevermos o numeral na notação decimal pois a casa 
correspondente à unidade não tem um dígito nem o numeral que acompanha 10 é escrito com um 
algarismo. Devemos aplicar a ideia do vai um, 
3 . 49 = 1 . 102 + 2 . 10 + 2 . 10 + 7
= 1 . 102 + 4 . 10 + 7
= 147
Utilizando o algoritmo, a economia de papel e de esforço é enorme, além de evitar possíveis erros. 
Acompanhemos a reordenação das operações observando a utilização do algoritmo da soma no estágio 
final da multiplicação, 
Primeiro, multiplicamos 3.9, depois, multiplicamos 3.40 , como feito por 
extenso, anteriormente.
EXEMPLO
Efetue a multiplicação 13.29.
35
EXERCITANDO 3
Se x tem 12 dígitos e y tem 5 dígitos então:
1. 1. x.y tem no máximo ........dígitos;
2. 2. x.y tem no mínimo ........dígitos;
36
Matemática Fundamental 
Aula 03: Sistema Decimal e Algoritmo 
Tópico 05: O Algoritmo da Divisão
Dado um conjunto A contendo p elementos. Quantos subconjuntos 
disjuntos com q > 0 elementos pode ser formado usando todos os elementos 
de A?
É dessa forma que a operação de divisão é introduzida em linguagem de conjuntos no Ensino 
Fundamental. O algoritmo para efetuarmos uma divisão é o mais complexo, pois envolve todas as 
operações anteriores, entretanto, é fácil explicá-lo utilizando conjuntos.
A divisão de 12 por 4 responde à seguinte pergunta: quantos subconjuntos disjuntos de 4 elementos 
estão contidos num conjunto de 12 elementos?
A divisão 12 : 4 = 3 pode ser obtida como no gráfico abaixo, pois conseguimos empilhar o conjunto 
contendo 12 elementos em 3 fileiras de 4 elementos, onde cada fileira horizontal representa um conjunto.
Nem sempre a resposta é exata. De um conjunto A contendo 13 elementos podemos formar 3 
subconjuntos disjuntos com 4 elementos cada e restar ainda 1 elemento. Pela nossa definição 4 não 
divide 13.
Algoritmo da divisão
Quantos conjuntos de 8 elementos cabe num conjunto A com η(A) = 296? Em outras palavras, divida 
296 por 8, ou com a nossa notação, calcule 296:8.
Para compreender o algoritmo, fazemos a seguinte pergunta.
Podemos formar 20 conjuntos com 8 elementos de A?
A resposta é sim! pois 20 . 8 = 160 e o conjunto A tem mais elementos que isso. Então formamos os 
20 conjuntos com 8 elementos cada e o restante fica sendo 296 - 8 . 20 = 136. Registremos essas 
informações no gráfico abaixo,
Portanto, o conjunto que restou de A tem cardinalidade 136.
37
Continuando. Do conjunto que restou, podemos formar 10 conjuntos com 8 elementos cada? A 
resposta é sim! pois 10 . 8 = 80 e o conjunto restante tem mais elementos, na verdade 136 elementos. 
Formemos esses 10 subconjuntos e o restante fica sendo 136 - 8 . 10 = 56. Registremos essa informação 
no gráfico abaixo.
Mais uma pergunta. Dos 56 elementos restantes podemos formar 7 conjuntos de 8 elementos cada? 
A resposta é sim! pois 7 . 8 = 56 e o restante tem, precisamente, esse número de elementos. Ao 
formarmos esses 7 novos conjuntos de 8 elementos, o restante fica sendo um conjunto vazio, com zero 
elementos, 56 - 8 . 7 = 0. Registremos essas informações no gráfico.
Finalmente, quantos conjuntos de 8 elementos cada formamos com os elementos de A? A resposta é 
20 + 10 + 7 = 37. Em outras palavras 296 : 8 = 137. Registremos.
A apresentação inicial do algoritmo da divisão no Ensino Fundamental deve evitar o um algoritmo 
mais complexo. É conveniente que seja apresentado nas etapas como a seguir, utilizando conjuntos.
Em lugar da questão, divida 412 por 13, é mais fácil e claro fazer a pergunta: quantos conjuntos de 13 
elementos cabe num conjunto A com 412 elementos?
Solução Iremos direto ao algoritmo sem utilizar a linguagem de Teoria de Conjuntos. Deixaremos ao 
leitor essa leitura.
Cabe 5? Sim! Registremos.
Cabe 20? Sim! Registremos.
38
Cabe 6? Sim! Registremos.
Cabe mais algum? Não. Registremos.
Sendo assim, 412dividido por 13 são 31 com resto 9. Portanto, 412 não é divisível por 13.
O algoritmo utilizado nas escolas é essencialmente o apresentado acima. A única diferença fica por 
conta da resposta ao cabe quantos. A escolha é sempre o maior múltiplo de 10 possível.
Divida 873 por 31.
Solução Cabe quantos?
Para o algoritmo ser mais eficiente, devemos escolher o maior múltiplo de 10 possível. Nesse caso, 
cabe 20,
Agora, devemos escolher a maior unidade possível para responder ao cabe quanto,
Finalmente temos
Ou mais sucintamente,
Portanto, 873 dividido por 31 é igual a 28 com resto 5.
39
Terminaremos este capítulo com o Teorema do resto. Como vimos a divisãode cardinais pode não 
ser exata, isto é, pode sobrar restos.
Teorema do resto
Sejam p e q dois números naturais com q ≠ 0. Existem cardinais r e s com 
0 ≤ r ≤ q tais que p = s . q + r. 
p é chamado de dividendo;
q é chamado de divisor;
s é o quociente;
r é o resto da divisão.
Os naturais citados no teorema recebem as seguintes denominações:
Quando o resto r é igual a zero dizemos que a divisão é exata
Efetuando a divisão de 45 por 6 obtemos 7 com resto 3. Isso significa que vale a igualdade 45 = 7 . 6 + 
3. Em linguagem de conjuntos podemos fazer a releitura desta última igualdade afirmando que ao 
dividirmos um conjunto com p = 45 elementos em subconjunto com q = 6 elementos cada, obtemos s = 7 
subconjuntos e ainda restam r = 3 elementos.
EXERCITANDO 4
Examine criticamente os empilhamentos utilizando o Teorema do resto
EXERCITANDO 5
Um aluno escreveu as seguintes contas de divisão. Estão corretas?
40
EXERCITANDO 6
Numa pequena localidade de 2750 habitantes, de cada 25 pessoas 8 eram fumantes. Após uma 
campanha contra o tabagismo, de cada 11 fumantes, 3 deixaram de fumar. Quantas pessoas ainda 
permaneceram com o vício?
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolva os exercitandos 2 e 4 e os exercicios (que estão no material de apoio): 2 do tópico 2 ; 3 
do tópico 3; 2 do tópico 4; 6 do tópico 5 e poste no portfólio Aula 03.
Fontes das Imagens
41
Matemática Fundamental 
Aula 04: Fatoração 
Tópico 01: Divisibilidade
VERSÃO TEXTUAL 
As duas primeiras seções desta aula são aplicações dos tópicos vistos até o momento. 
Iremos explorar a ideia de um número natural ser divisível por um outro tendo como objetivo 
apresentar o Teorema Fundamental da Aritmética. Para isso, necessitaremos dos conceitos de 
números primos e fatoração. Iniciemos com uma definição conhecida.
Dados os números naturais p e q com q ≠ 0. Diremos que q divide p se existe um número natural s tal 
que p=s.q.
(a) 2 divide 8, pois 8=4.2.
(b) 7 divide 84, pois 84=12.7.
(c) 1 divide qualquer natural p, pois p=p . 1.
(d) Se p ≠ 0, então p divide p, pois p=1 . p.
Divisibilidade e conjuntos
Utilizando a linguagem de Teoria de conjuntos, podemos reescrever a definição acima da seguinte 
forma. 
Um natural q ≠ 0 divide p se um conjunto A com n(A) = p pode ser decomposto numa união disjunta 
de s subconjuntos, cada um contendo q elementos. 
Terminologia e notação
Nos livros didáticos encontramos diversas formas para afirmar que q ≠ 0 divide p. Na listagem a 
seguir, todas as afirmações são equivalentes. 
1. q divide p.
2. p é divisível por q.
3. q é um divisor de p.
42
4. p é um múltiplo de q.
5. q é um fator de p.
6. q | p.
7. p : q = s.
Para determinar quando um natural diferente de zero divide um outro natural é suficiente aplicar o 
algoritmo da divisão, embora isso seja laborioso. 
31 divide 868? A resposta é sim, pois:
Divisibilidade e conjuntos
No exemplo antrior, pelo Teorema do resto temos 868 = 28 . 31, ou seja, 31|868. Em linguagem de 
Teoria de conjuntos diz-se que um conjunto com 868 elementos pode ser decomposto em 28 conjuntos 
disjuntos de 31 elementos cada.
Da mesma forma, podemos verificar se 479 é divisível por 23, ou não é, aplicando o algoritmo da 
divisão.
Portanto, pelo Teorema do resto temos 679 = 29 . 23 + 12. Logo, 23 não divide 679.
EXERCITANDO 1
Quando dividimos um natural p por 13 resta 5. Qual o resto da divisão de p - 5 por 13?
EXERCITANDO 2
Mostre que para qualquer número natural n temos que 6|n(n+1)(2n+1).
EXERCITANDO 3
Mostre que para qualquer número natural n temos que 6|n(n + 1 )(2n + 1).
43
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 4, com os colegas ou com o professor tutor, as dúvidas sobre os 
exercícios ou sobre a matéria da Aula 4. Lembre que sua participação no Fórum vale presença e nota 
de avaliação.
44
Matemática Fundamental 
Aula 04: Fatoração 
Tópico 02: Propriedades da Divisão
VERSÃO TEXTUAL 
Apresentaremos quatro proposições que serão importantes no desenvolvimento do texto.  
Ressaltamos que as suas demonstrações podem ser acompanhadas com um exemplo numérico.
Como 2|6 e 6|24 , então 2|24 .
De fato. 2|6 , pois 6 = 3 . 2 . Da mesma forma, 6 divide 24, pois podemos escrever esse número como 
24 = 4 . 6. Substituindo o produto 2 . 4  nessa última igualdade temos 24 = 4 . 6 = 4 . (3 . 2)= 12 . 2.  Pela 
definição de divisibilidade temos 2|24.
Esse caso particular pode ser generalizado, basta seguir o mesmo roteiro feito acima para 
demonstrar a proposição. 
Proposição Sejam m ≠ 0, q ≠ 0  e p  números naturais. Se m|q  e q|p, então 
m|p. 
Prova
Por hipótese, m|q. Logo, podemos escrever q = r . m . Da mesma forma, como q|p podemos escrever 
p =s . q. Substituindo o produto m . r nessa última igualdade chegamos a p = (s . r) . m.
Logo, pela definição de divisibilidade, segue que m|p.
Examinemos outro exemplo que ilustra a próxima proposição. 
Como 3|36 e 3|24 , então 3|(36 + 24) .
É claro, 3|36 , pois 36 = 12 . 3 e 3|24, desde que 24 = 8 . 3. Sendo assim, 36 + 24 = 12 . 3 + 8 . 3 = (12 
+ 8) . 3 = 20 . 3.  Logo, por definição de divisibilidade, segue que 3|(36 + 24).
Proposição Se m 
0 divide p e divide q, então m|(p+q). Em outras palavras, se m 
0  divide cada parcela de uma soma, então m divide a soma.
Prova
Por hipótese, p = r.m e q = s . m . Sendo assim, p + q = r . m + s . m = (r + s) . m .
45
Logo, por definição de divisibilidade, segue que m|(p + q).
Proposição Se m ≠ 0 divide p, então m|(p . q) para qualquer natural q. Em 
outras palavras, se  m ≠ 0 divide p, então m divide qualquer múltiplo de p. 
Prova
Por hipótese, temos m|p. Logo, p = s . m. Multiplicando p por um natural q seguem as igualdades, q . 
p = q . (s . m) = (q . s) . m. Logo, por definição, concluímos que m|(p . q).
Proposição  Se m ≠ 0 divide p e m divide m|(p + q), então m|q. Em outras 
palavras, se m ≠ 0 divide uma soma e divide uma de suas parcelas, então 
m divide a outra parcela.
Prova
Por hipótese, temos as igualdades p= r . m e p + q = s . m. De um conjunto contendo p + q elementos 
podemos tirar um conjunto com p elementos. Logo, existe a subtração (p + q) - p. Sendo assim, q = (p + q) 
- p = s . m - r . m = (r - s) . m . Por definição de divisibilidade, segue que m|q.
EXERCITANDO 4
Responda se as afirmações são verdadeiras ou falsas justificando a resposta com alguma 
proposição vista no texto ou exibindo um contra-exemplo.
1. 14|p ⇔ 7|(p + 42).
2. Se p não é divisível 2 por então p não é divisível por 8 .
3. q|p ⇔ q|p2, onde q ≠ 0.
46
Matemática Fundamental 
Aula 04: Fatoração 
Tópico 03: Reconhecendo Divisores
Além do algoritmo da divisão existe um modo prático para saber quando 
um natural q ≠ 0 divide p?
Em geral, a resposta é não. Somente para alguns valores de q é possível 
encontrar um critério rápido e eficiente que nos indique que q|p.
Essa seção é dedicada a esse estudo de divisibilidade e os algoritmos aqui apresentados são 
consequências da notação expandida e das proposições demonstradas na aula anterior. Na seqüência do 
texto utilizaremos as letras a, b, c, etc. para indicar algarismos, mais precisamente, a,b,c,..., ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9}. Quando nos referirmos ao natural p = abcd ficará subentendido que estaremos considerando 
o natural cuja notação expandida é p=a . 103 + b . 102 + c .10 + d.
VERSÃO TEXTUAL 
Divisibilidade por 2.
Recordamos que um número natural divisível por 2 é chamado de número par e que os 
únicos naturais escritos nos Sistema decimal com um dígito e divisíveis por 2 são 0, 2, 4, 6, ou 8. 
Inicialmente, sabemos que 2|10, pois 10 = 5 . 2. Por uma proposição da aula anterior, concluímos 
que 2 divide qualquer potência de 10, isto é, 2|102, 2|103, etc.
Examinemos como podemos concluir que o natural 236 é divisível por 2. Escrevendo esse número na 
notação expandida obtemos 236 = 2. 102 + 3 . 10 + 6. Como 2 divide cada parcela dessa soma, por uma 
proposição anterior concluímos que 2 divide a soma, isto é, 2|236.
Com esse exemplo, temosuma indicação de como podemos estabelecer um critério de divisibilidade 
por 2.
Divisibilidade por 2:
Um natural p é divisível por 2 se, e somente se, a casa da unidade na sua 
representação decimal contiver um dos dígitos 2, 4, 6 ou 8.
Prova
Por conveniência, vamos supor que p seja escrito no sistema decimal com quatro dígitos, digamos 
p=abcd (a demonstração geral é semelhante). Na notação expandida temos p=a . 103 + b . 102 + c . 10 + d. 
Suponha que 2|p. Como 2|a . 103 + b. 102 + c . 10 podemos garantir que 2 divide a outra parcela, d. Logo, d
deve ser um dos dígitos 0, 2, 4, 6, ou 8.
Reciprocamente. Suponha que a representação decimal de p termina por d, onde d é um dos dígitos 0, 
2, 4, 6 ou 8. Então d é divisível por 2. Como cada parcela da notação expandida de p é divisível por 2 segue 
que a soma p também o é.
47
O natural 36578 é divisível por 2, pois o seu registro decimal termina por 8.
O natural 3765 não é divisível por 2, pois o dígito da casa das unidades não é um dos algarismos 0, 2, 
4, 6 ou 8. 
Divisibilidade por 3:
O número 525 é divisível por 3? Antes de responder a essa pergunta façamos 
algumas observações.
Observações sobre divisibilidade por 3
Observação 1
1º. Não é difícil verificar que 3|9, 3|99, 3|999,..., portanto, qualquer múltiplo de 9, 
99, 999, etc. é também divisível por 3.
Observação 2
2º. As potências de 10 são obtidas desses números por adição de 1. Por 
exemplo, 10=9+1, 102=99+1, 103=999 + 1, etc.
Voltemos a nossa questão inicial. Escrevamos na notação expandida,
525 = 5 . 102 + 2 . 10 + 5
= 5 . (99 + 1) + 2 . (9 + 1) + 5
= 5 . 99 + 2 . 9 + (5 + 2 + 5)
Como cada uma das parcelas da soma é divisível por 3, por uma proposição da aula anterior segue 
que 525 também o é. 
OBSERVAÇÃO
Nesse caso, a divisibilidade ocorreu por que a soma dos valores dos dígitos de 525 é divisível por 
3. Esse exemplo ilustra o seguinte critério.
Divisibilidade por 3:
Um natural p é divisível por 3 se, e somente se, a soma dos valores dos 
dígitos de sua representação decimal é divisível por 3.
Por clareza, vamos supor que seja escrito no sistema decimal com quatro dígitos, digamos p=abcd (a 
demonstração geral é semelhante). Sendo assim, a notação expandida de p é:
p = abcd
= a . 103 + b . 102 + c . 10 + d
= a . (999 + 1) + b . (99 + 1) + c .(9 + 1) + d
48
= a . 999 + b . 99 + c . 9 + (a + b + c + d)
Portanto, se 3 |p então 3| a + b + c + d.
Reciprocamentem, se 3 | a + b + c + d , então 3| p.
1. O natural 3456 é divisível por 3 pois 3|3 + 4 + 5 + 6.
2. 3 não divide 8746 pois 3 não divide 8 + 7 + 4 + 6.
Divisibilidade por 5:
Antes de tudo, observamos que os únicos números naturais representados 
por um dígito que são divisíveis por 5 são 0 ou 5. Como 10 = 2.5 divide 10, e 
daí 5 divide todas as potências 10n.
O natural p é divisível por 5 se, e somente se, a casa das unidades na 
representação decimal de p contiver um dos dígitos 0 ou 5.
Considere um natural p. Novamente, por conveniência, vamos assumir que p seja escrito no sistema 
decimal com quatro dígitos, digamos, p=abcd (a demonstração geral é semelhante). A notação expandida 
nos dá, 
p = abcd
= a . 103 + b . 102 + c . 10 + d
= 10 (a . 102 + b . 10 + c) + d 
Se 5| p, como 5| 10 . (a . 102 + b . 10 + c), então 5| d . logo , d ∈ {0,5}.
Reciprocamente, se d ∈ {0,5} , como 5|d e 5|10 . (a . 102 + b . 10 + c) concluimos que 5|p. 
1. O natural 760 é divisível por 5.
2. 9863 não o é divisível por 5.
Divisibilidade por 9:
Para demonstrar um critério de divisibilidade por 9 usamos os mesmos 
procedimentos utilizados para mostrar o critério de divisibilidade para 3. Por 
isso, deixamos como exercício a seguinte afirmação. 
Um natural p é divisível por 9 se, e somente se, a soma dos valores dos 
dígitos de sua representação decimal é divisível por 9.
1. O natural 9504 é divisível por 9 pois 9|(9 + 5 + 0 + 4) .
49
2. O natural 111 não é divisível por 9, pois 9 não divide a soma 1 + 1 + 1 = 
3.
50
Matemática Fundamental 
Aula 04: Fatoração 
Tópico 04: Fatoração e Números Primos
Essa seção tem a finalidade de apresentar o Teorema Fundamental da Aritmética. Para isso 
precisaremos do conceito de número primo.
Um natural p maior que 1 é chamado de primo se, e somente se, seus únicos 
divisores são 1 e p.
OBS.: Por definição, os números 0 e 1 não são primos.
Os números primos sempre foram alvos de atenção pelos matemáticos desde a Grécia Antiga. Várias 
perguntas podem ser feitas sobre eles. 
1. Existe um modo prático para sabermos se um número é primo? 
2. O conjunto dos número primos é finito? 
3. Todo número pode ser fatorado em produto de primos? 
Essas e outras questões serão tratadas nessa seção. 
É fácil exibir números primos. Por exemplo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 são primos. Um algoritmo para 
determinar os primos menores que um dado natural foi imaginado pelo matemático grego Eratóstenes, é o 
conhecido crivo de Eratóstenes.
DICA
Veja a página: O Crivo de Eratóstenes (Números Primos) [1]
Apresentemos a segunda definição desse tópico.
Fatorar um natural p é escrevê-lo como produto de dois ou mais naturais 
maiores que 1. Cada parcela do produto é chamado fator.
Um número natural pode ter várias fatorações distintas. Veja as possíveis fatorações de 90:
90 = 18 . 5
= 15 . 6 
= 45 . 2
= 10 . 9 
Não existe uma regra geral para fatorar (decompor) qualquer número natural, entretanto, os tópicos 
anteriores indicam como devemos proceder quando o número considerado não é grande. Determinar se 
existe uma fatoração para um número natural escrito em 10.000 páginas A4 e terminando com o dígito 1 é 
praticamente impossível, até com o uso de um supercomputador de última geração. Entretanto a 
Matemática pode afirmar muitas coisas sobre ele. Um teorema crucial na teoria é o seguinte.
Teorema Fundamental da Aritmética:
51
Um número natural maior que 1 ou é primo ou é fatorado num produto de potências de primos. Essa 
fatoração é única a menos das ordens dos fatores. 
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Fatoremos o natural 1290 em fatores que são potências de primos. 
SOLUÇÃO 
Pelo critério demonstrado na seção anterior, ele é divisível por 2. Fazendo as contas 
obtemos 1290 = 645 . 2. Se examinarmos o primeiro fator desse produto vemos que é 
divisível por 3. Portanto, temos 1290 = 645 . 2 = 215 . 3 . 2. Novamente, podemos verificar 
que o primeiro fator da última igualdade, 215, é divisível por 5. Se continuarmos a fatoração 
chegamos a um produto do tipo 1290 = 43 . 5 . 3 . 2. Observe que os fatores obtidos são 
primos (potência 1 de primos). 
Existe um algoritmo para registrar esse processo de modo fácil e com economia de 
espaço. O procedimento feito acima é registrado num algoritmo descrito à direita, cujo 
significado está registrando a seqüência de fatorações à esquerda.
Um número que está na coluna esquerda é dividido pelo número na mesma linha logo à 
direita e a divisão é posta na linha abaixo na primeira coluna. Dessa conta obtemos uma 
fatoração para 1290 como descrita acima. 
Fatoramos o natural 1290 em fatores primos, isto é, num produto de fatores primos. 
Segundo o Teorema Fundamental da Aritmética, ela é única, a menos das ordem dos 
fatores. 
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Fatoremos o natural 1902 em produto de potências de primos. 
SOLUÇÃO 
Utilizando o algoritmo da fatoração com a ajuda dos critérios de divisibilidade 
apresentados anteriormente temos:
52
Logo, 1092 = 22 . 3 . 7 . 13. Todos os fatores são primos ou potências de primos e 
qualquer outra fatoração por primos difere desta apenas pela ordem dos fatores.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Calculemos a fatoração por primos de 83.
SOLUÇÃO 
Como o natural dado é primo ele não pode ser fatorado em duas ou mais parcelas 
distintas de 1.
Respondamos a uma pergunta feita no início da seção sobre a quantidade de primos. A quantidade de 
primos não é finita. A demonstração desse teorema, creditado a Euclides, é considerada uma das mais 
elegantes da Matemática. A técnica dedemonstração é por redução ao absurdo (ou indireta).
a = 2 . 3 +1 + 7
b = 2 . 3 . 5 + 1 = 31
c = 2 . 3 . 5 . 7 + 1 = 211
etc.
Teorema: Existem infinitos números primos
Por absurdo, suponhamos que exista um número finito de primos. Seja 
Ω = {2, 3, 5, 7, 11, ..., p0}
o conjunto formado por todos os primos, onde P0 é o maior deles. Examinemos o natural. 
q = 2 . 3 . 5 . 7 . 11 ... P0 + 1
Como q > po, então q ∉ Ω e, portanto, q não é primo. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, existe 
um primo m ∈ Ω com m|q. Como m|2 . 3 . 5 . 7 . 11...po pois m é um dos fatores, e m|q, segue que ele 
divide a outra parcela da soma, ou seja, m|1 , uma contradição. Portanto, o conjunto dos números primos 
não é finito.
EXERCITANDO 5
Fatore em produto de potências de primos.
(a) 15.000.000.000
(b) (7+9)3 . 75.
53
EXERCITANDO
Calcule o resto da divisão de 22 . 34 . 56 . 78. 1112+11 por 3, por 5 e por 11.
54
Matemática Fundamental 
Aula 04: Fatoração 
Tópico 05: MDC
Coloquemos a seguinte questão. Quais são os divisores de 42?
Calcular todos os divisores primos de 42 é fácil, para isso temos o algoritmo da fatoração por primos,
Dessa fatoração podemos calcular os divisores, basta efetuar todos produtos possíveis dos fatores 2, 
3 e 7. Feito isso, obtemos o conjunto de todos divisores do natural quando incluímos o número 1, pois 1 
divide qualquer outro número natural.
D42={1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
Vejamos agora quais os divisores de 231. Pelo mesmo processo, obtemos a fatoração por primos 
231 = 3 . i7 . 11. Sendo assim, o conjunto de divisores de 231 é o conjunto 
D231 = {1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231}
O conjunto interseção D42 ∩D231={1, 3, 7, 21} contém todos divisores comuns dos dois números e 21 é 
o maior divisor comum de ambos. Esses comentários nos levam à seguinte definição. 
Definição de mdc
O máximo divisor comum, ou maior divisor comum, de dois naturais p e q é o número natural 
denotado por mdc(p, q) e definido como sendo o maior elemento da interseção dos conjuntos dos 
divisores DP ∩ Dq.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcule o maior divisor comum de 858 e 220.
SOLUÇÃO 
O cálculo de mdc(858, 220) é uma aplicação do Teorema Fundamental da Aritmética. 
Os procedimentos realizados nesse exemplo são aplicáveis em todos outros exemplos.
1º. Determinamos a fatoração por primos dos dois naturais, 
858 = 2 . 3 . 11 . 13
e 220 = 22 . 5 . 11
2º. Determinemos os fatores primos do mdc(858, 220). Como p|mdc(858, 220) e, por 
sua vez, o mdc(858, 220)|858 e mdc(858, 220)|220, então p|858 e p|220.
55
Logo, p ∈ {2, 3, 11, 13} ∩ {2, 5, 11}.
3º. A potência do fator primo p do mdc(858, 220) deve ser a menor das potência com a 
qual ele surge nas fatorações, pois mdc(858, 220)|858 e mdc(858, 220)|220. Nesse caso 
temos p = 11 ou p = 2 , ambos com potência 1.
Conclusão: mdc(858, 220} = 2 .11.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Verifiquemos que mdc(924, 420) = 84.
SOLUÇÃO 
1º. Calculemos a fatoração em primos dos naturais dados,
924=22 . 3 . 7 . 11
e 420 = 22 . 3 . 5 . 7
2º. Os únicos primos comuns em ambas as fatorações são os elementos do conjunto 
{2, 3, 7}.
3º. Escolhendo as menores potências com as quais cada um desses primos surge nas 
fatorações temos mdc(924, 420) = 22 . 3 . 7 = 84.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
O máximo divisor comum pode ser generalizado para três ou mais números, o procedimento é o 
mesmo. Calculemos mdc(100, 924, 2100).
SOLUÇÃO 
1º. Efetuemos a fatoração por primos,
100 = 25 . 52, 924 = 22 . 3 . 7 . 11 e 2100 = 22 . 3 . 52 . 7
2º. O único primo comum nas fatorações é 2.
3º. Escolhendo as menores potências com as quais 2 surge nas fatorações temos mdc
(100, 924, 2100)=22=4.
56
Um caso especial pode ocorrer. Quando encontramos a fatoração por primos dos naturais, 77 e 48 
temos 77 = 11 . 7 e 48 = 24 . 3. Logo, não existe divisores comuns, exceto 1.
Diremos que dois naturais p e q são relativamente primos, ou primos entres si, quando mdc(p, q) = 1. 
Em outras palavras, p e q são relativamente primos quando Dp ∩ Dq = {1} .
EXERCITANDO 7
No ponto de ônibus em que uma moça estava, só passavam duas linhas de ônibus: uma de três 
em três minutos e a outra de quatro em quatro minutos. Um observador percebeu que, às 10h, os 
ônibus das duas linhas chegaram juntos ao ponto. A moça chegou ao ponto às 10h:48min e pegou o 
seu ônibus quando os dois ônibus chegaram juntos ao ponto.
1. Quantos minutos a moça esperou para pegar o ônibus?
2. Quantas vezes, após às 10h, os ônibus chegaram juntos ao ponto, até o instante que a moça 
pegou o seu?
EXERCITANDO 8
A soma de dois números maiores que 20 é 216. Determine esses números sabendo que o mdc 
dos dois números é 18.
EXERCITANDO 9
Determine o maior natural p tal que ao dividirmos 427 e 322 por p resta 7.
57
Matemática Fundamental 
Aula 04: Fatoração 
Tópico 06: MMC
VERSÃO TEXTUAL 
Iniciemos com nomenclatura e notação.
Um múltiplo de um natural p é um número do tipo p.q onde q é outro natural.
Os múltiplos de p formam um conjunto que denotaremos por Mp. 
Os múltiplos de 2, chamados de números pares, formam o conjunto 
M2={0,2,4,6,8,...}
Os múltiplos de 3 formam o conjunto
M3={0,3,6,9,12,...}
Ao considerarmos a interseção desses dois conjuntos obtemos os múltiplos de 6,
M2 ∩ M3 ={0,6,12,...}
Considerações acerca de MP
Consideração 1
1.  Se p 
0  então 0, p 
Mp, pois ambos são múltiplos de p 
0, basta ver que 0 = p.0
  e  p = p.1 . 
Consideração 2
2.  Se p = 0, o conjunto dos múltiplos do 0 reduz-se a um único elemento 
M0={0} pois 0= 0.q para qualquer natural q. 
58
O mínimo múltiplo comum de dois naturais p ≠ 0  e q ≠ 0 é o número denotado por mmc(p,q) e 
definido como sendo o menor elemento diferente de 0 da interseção
Mp ∩ Mq
Antes de tudo observamos que o mmc(p,q) de dois números diferentes de zero sempre existe pois 0
≠ p.q ∈Mp ∩ Mq, isto é, Mp ∩ Mq contém outro elemento diferente de 0.
A seguir daremos um exemplo de como devemos proceder para encontrar o mínimo múltiplo comum 
de dois naturais não nulos.  Os procedimentos são semelhantes aos utilizados para o cálculo do máximo 
divisor comum. 
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calculemos o mínimo múltiplo comum de 858 e 220.
SOLUÇÃO 
1º. Determinamos a fatoração por primos,
858 = 2 . 3 . 11 .13 e 220 = 22 . 5 .11.
2º. Determinemos os fatores potências de primos de mmc(858, 220). Observe que se 
pm|858 e pm|220 como 858 e 220 dividem o mmc(858, 220), então pm|mmc(858, 220). 
Sendo assim, p ∈ {2, 3, 11, 13, 5}.
3º. A potência do fator primo do mmc(858, 220) deve ser a maior das potências com a 
qual o fator primo surge nas fatorações dos números. Nesse caso temos mmc(858, 220)
=22 . 3 . 5 . 11 . 13 = 8580.
O algoritmo para o cálculo do mínimo múltiplo comum de dois números é a 
generalização daquele utilizado para a fatoração:
EXERCITANDO 10
Determine o menor natural que dividido por cada um dos números, 10 , 12  e 15 deixa resto 7.
EXERCITANDO 10
59
Duas pessoas, uma andando e outra correndo, fazem uma volta completa numa pista de 
atletismo em 7 min e 5 min, respectivamente. Se as duas partem juntas da linha de chegada, quantas 
voltas depois elas estarão juntas, novamente, na linha de chegada?
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolva os exercitandos 2 e 8 e os exercicios (que estão no material de apoio): 5 do tópico 1 ; 8 
do tópico 3; 7 do tópico 4; 16 do tópico 6 e poste no portfólio Aula 04.
DICA
Se você deseja uma calculadora para  mmc e mdc clique aqui [2].
Fontes das Imagens
1 - http://massarandubamathematics.blogspot.com.br/2013/05/o-crivo-de-eratostenes-numeros-primos.html
2 - http://www.profcardy.com/calculadoras/aplicativos.php?calc=3
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Matemática Fundamental 
Aula 05: Sistema de Numeração 
Tópico 01: Base Decimal
Nesta aula detalharemos a construção do sistema de numeração decimal e posicional, uma das 
maiores criações do intelecto humano, que possibilitou o desenvolvimento de parte da Matemática, no 
mínimo, da parte que diz respeito à álgebra. 
Aplicando a mesma ideia, descreveremos como