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APOSTILAS
0 melhor caminho para a conquista da aprova•6o.
iiiii • '•,•i•i•,•,•,•
MATEMATICA
AZUL - VERDE - AMARELO
Mi]DULO AZUL
TEORIA DE CONJUNTOS
CONJUNTOS NUMI•RICOS
PRODUTOS NOTAVEIS E FATORAQAO
EQUAQOES, INEQUAQOES E SISTEMAS DE 1 ° E 2° GRAU
FUNQ(T)ES E GRAFICOS DE 1 ° E 2° GRAU
MI)DULO VERDE
EXPONENCIAL E LOGARITMO
SEQ0#NClAS E PROGRESSOES
RAZAO E PROPORQAO
REGRA DE TRI•S E PORCENTAGEM
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
MI)DULO AMARELO
ANALISE COMBINAT01RIA
NOQOES DE PROBABILIDADE
NOQOES DE ESTATiSTICA
GEOMETRIA BASICA
RACIOCiNIO L(•GICO
Matematica - M6dulo Azul
.......... M•........................................... Illlllllm• I....... .....
MATEMATICA
f .
MODULO AZUL
SUMARIO
1. TEORIA DE CONJUNTOS ...................................................................................................... 02
2. CONJUNTOS NUMC:RICOS .................................................................................................... 06
3. PRODUTOS NOTAVEIS E FATORA(•AO ...............................................................................43
4. EQUA(•6ES, INEQUA•;6ES E SISTEMAS DE 1 ° E 2° GRAU ................................................49
5. FUN(•6ES E GRAFICOS DE 1 ° E 2° GRAU ............................................................................ 59
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Matematica - Modulo Azul
TEORIA DE CONJUNTOS
ALGUNS CONCEITOS PRIMITIVOS |
CONJUNTO
Representa uma coleg•o de objetos.
a. O conjunto de todos os brasileiros.
b. O conjunto de todos os nOmeros naturais.
c. O conjunto de todos os nOmeros reais tal que x2-4=0.
Em geral, um conjunto • denotado por urea letra maiOscula do alfabeto: A, B, C..... Z.
ELEMENTO
I• um dos componentes de um conjunto.
a. Jos• da Silva • um elemento do conjunto dos brasileiros.
b. 1 • um elemento do conjunto dos nOmeros naturals.
c. -2 • um elemento do conjunto dos nt•meros reais que satisfaz • equaq•o x2-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, • denotado por uma letra min5scula do alfabeto: a, b, c..... z.
•J PERTINENCIA
I• a caracterfstica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
a. Jos• da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
b. 1 pertence ao conjunto dos nOmeros naturais.
c. -2 pertence ao conjunto de nOmeros reais que satisfaz • equag•o x2-4=0.
•-nj SIMBOLO DE PERTINENCIA
Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o sfmbolo •E que se I•: "pertence".
Para afirmar que 1 • um n0mero natural ou que 1 pertence ao conjunto dos nOmeros naturals, escrevemos:
1EN
Para afirmar que 0 n•o • um nOmero natural ou que 0 n•o pertence ao conjunto dos nOmeros naturais,
escrevemos:
0• N
Um sfmbolo matem•tico muito usado para a negag•o • a barra / tragada sobre o sfmbolo normal.
NOTAq6ES ...........................ALG U MAS PARA CONJ UNTOS ...........
Muitas vezes, um conjunto • representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } por meio
de duas formas b•sicas e de uma terceira forma geom•trica:
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Matematica - M6dulo Azul
•J APRESENTA¢.AO
Os elementos do conjunto est•o dentro de duas chaves { e }.
a. A={a,e,i,o,u}
b. N={1,2,3,4,...}
c. M ={Jo•o,Maria,Jos•}
DESCRZ•.•O
O conjunto • descrito por uma ou mais propriedades.
a. A={x: x 6 uma vogal}
b. N={x: x 6 um nfimero natural}
c. M={x: x • urea pessoa da familia de Maria}
DIAGRAMA DE VENN-EULER:(I•-se: "Ven-6iler")
Os conjuntos s•o mostrados graficamente.
A Jo•,o MMaria
i Jos•
•J SUBCONJUNTOS
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A est• contido em B, denotado por A C B, se todos os elementos de
A tamb•m est•o em B. AIgumas vezes diremos que um conjunto A est:• propriamente contido em B, quando o
conjunto B, alum de conter os elementos de A, cont•m tamb6m outros elementos. O conjunto A • denominado
subconjunto de B e o conjunto B 6 o superconjunto que cont•m A.
• ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS
Conjunto vazio: I• um conjunto que n•o possui elementos. I• representado por { } ou por 0. O conjunto
vazio est• contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: I• um conjunto que contain todos os elementos do contexto no qual estamos
trabalhando e tamb6m cont•m todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo • representado por uma
letra U. Na seqQ6ncia n•o mais usaremos o conjunto universo.
•iJ REUNIAO DE CONJUNTOS
A reuni•o dos conjuntos A e B • o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao
conjunto B.
AUB={x:xEAouxEB}
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} ent•o A U B={a,e,i,o,3,4}.
INTERSE•AO DE CONJUNTOS
A interse(•o dos conjuntos A e B • o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao
conjunto B.
Ai"IB = {x:xEAexE B}
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} ent•o A i•l B=•.
Quando a intersec•o de dois conjuntos A e B 6 o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos s•o disjuntos.
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Matem&tica - M6dulo Azul
PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS
1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reuni•o de A e B, denotada por AM B e a
interseq•o de A e B, denotada por A i•1 B, ainda s•o conjuntos no universo.
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
AUA=A e Ai•IA=A
3. Inclus•o: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
ACAUB, BCAUB, AI"IBCA, Ai"IBCB
4. Inclus•o relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AC B equivale a AU B = B
A C B equivale a A i•1B = A
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
AU (B U c) = (A U B) U C
AA(BAC) (ANB) NC
6. Comutativa: QuaJsquer que s•am os conjuntos A e B, tem-se que:
AUB=BUA
.A.AB=B•A
7. Elemento neutro para a reuni•o: 0 conjunto vazio • • o elemento neutro para a reuni•o de conjuntos,
tal que para todo conjunto A, se tern:
AUo = A
8. Elemento "nulo" para a interse(;•o: A interseq•o do conjunto vazio £1 com qualquer outro conjunto A,
fornece o pr6prio conjunto vazio.
AnO=o
9. Elemento neutro para a interse•o: 0 conjunto universo U 6 o elemento neutro para a interse•o de
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tern:
AnU =A
10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
AN(BUC) = (A i"I B) U (A i• C)
A U (B i•1 C) = (A U B) I"iI (A U C)
Os gr•ficos abaixo mostram a distributividade.
DIFEREN(•A DE CONJUNTOS
A diferencsa entre os conjuntos A e B 6 o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e
n•o pertencem ao conjunto B.
A- B = {x: xEAe x• B}
Do ponto de vista gr•fico, a diferencsa pode ser vista como:
A
B
A-B "•.........."
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........................... !iii
-
W---•• I
COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, • a diferenqa entre os conjuntos A
e B, ou seja, 6 o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e n•o pertencem ao conjunto B.
CAB = A- B = {x: x•Aex• B}
Graficamente, o cornplemento do conjunto B no conjunto A, • dado por:
A-B
Quando n•o h• dOvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c
posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra
complementar no lugar de complemento.
Exemplos: •c=U e UC=•.
LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN
1. O complementar da reuni•o de dois conjuntos A e B • a interse•o dos complementares desses conjuntos.
(AU B)c = Ac•l Bc
2. O complementar da reuni•o de uma colec•o finita de conjuntos • a interse•o dos complement"ares desses
conjuntos.
(A1 U A2 U...U An)c = A1c i•l A2c I•l...("l A,c
3. O complementar da interse•o de dois conjuntos A e B • a reuni•o dos complementares desses conjuntos.
(A I'• B)c = Ac U B•
4. O complementar da interse¢•o de uma cole¢•o finita de conjuntos • a reuni•o dos complementares desses
conjuntos.
(A1 i•1 A2 ("1...('•1 A.)c = A•c U Azc U...U Anc
DIFEREN•A SIMETRICA
A diferen(•a sim•trica entre os conjuntos A e B • o conjunto de todos os elementos que pertencem
reuni•o dos conjuntos A e B e n•o pertencem • interseq•o dos conjuntos A e B.
AA B = {x: xEAU B ex•.AN B }
O diagrama de Venn-Euler para a diferenc•a sirn•trica •:
Exercicio: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:1. A=• se, e somente se, B=A 1% B.
2. O conjunto vazio 6 o elemento neutro para a operaq•o de diferencja sim6trica. Usar o ftem anterior.
3. A diferencja sim6trica 6 cornutativa.
4. A diferenqa sim6trica 6 associativa.
5. A/% A=• (conjunto vazio•.
6. A interse(•o entre A e B • C • distributiva, isto •:
A ("(B A C) =(A I•I B)• (A i•I C)
7. A/% B est• contida na reuni•o de A• C e de B A C, mas esta inclus•o • pr6pria, isto •:
A/k B(Z (A AC) U (B AC)
Matematica - M6dulo Azul
¯ | •Jti•;•........•....................................
f
CONJUNTOS NUMERICOS
NUMEROS NATURAIS •••ii•iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii•iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii•ii•i•i•ii•ii•ii•i i i • !il i l
•J INTRODU•:•.O AOS NOMEROS NATURAIS
O conjunto dos n•meros naturais • representado pela letra mai•scula N e estes n•meros s•o constru[dos
corn os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que tamb6m s•o conhecidos como algarismos indo-ar•bicos. No
s•culo VII, os •rabes invadiram a India, difundindo o seu sistema num•rico.
Embora o zero n•o seja um nOmero natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens
naturais, iremos consider•-Io como um nOmero natural uma vez que ele tern as mesmas propriedades alg•bricas
que os nOmeros naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de
numeraq•o para suprir a defici6ncia de algo nulo. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o bel[ssimo livro:
"Hist6ria Universal dos AIgarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.
Na seqiJ&ncia consideraremos que os naturais t&m in[cio corn o nOmero zero e escreveremos este conjunto
como:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos nOmeros naturals com a letra N. As retic6ncias (tr•s pontos) indicam que
este conjunto n•o tem tim. N • um conjunto corn infinitos nOmeros.
Excluindo o zero do conjunto dos nOmeros naturais, o conjunto ser• representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A CONSTRU•,O DOS NUMEROS NATURAIS
1. Todo n•rnero natural dado tern um sucessor (n•mero que vem depois do n•mero dado), considerando
tamb•m o zero.
Exemplos: Seja m um nQmero natural.
(a) O sucessor de m • m+l.
(b) O sucessor de 0 • 1.
(c) O sucessor de 1 • 2.
(d) O sucessor de 19 • 20.
2. Se um nQmero natural • sucessor de outro, ent•o os dois nOmeros juntos s•o chamados nOmeros
consecutivos.
Exemplos:
(a) 1 e 2 s•o n•meros consecutivos.
(b) 5 e 6 s•o nOmeros consecutivos.
(c) 50 e 51 s•o nQmeros consecutivos.
3. V•rios nOmeros formam uma cole(•o de nOmeros naturais consecutivos se o segundo • sucessor do
primeiro, o terceiro • sucessor do segundo, o quarto • sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 s•o consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 s•o consecutivos.
(c) 50, 51, 52 e 53 s•o consecutivos.
4. Todo nOmero natural dado n, exceto o zero, tern um antecessor (nOmero que vem antes do nOmero dado).
Exemplos: Se m • um n•mero natural finito diferente de zero.
(a) O antecessor do nOmero m • m-1.
(b) O antecessor de 2 • 1.
(c) O antecessor de 56 • 55.
(d) O antecessor de 10 • 9.
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Matem&tica - M6dulo Azul
O conjunto abaixo • conhecido como o conjunto dos nSmeros naturais pares. Embora uma seqLi•ncia real
seja um outro objeto matem•tico denominado funq•o, algumas vezes utilizaremos a denominag•o sequ•ncia
dos nSmeros naturals pares para representar o conjunto dos n5meros naturais pares:
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo 4 conhecido como o conjunto dos n5meros naturais fmpares, •s vezes tamb4m
chamado, a seq(J•ncia dos n5meros impares.
I={1,3,5,7,9,11,13.... }
IGUALDADE E DESIGUALDADES
Diremos que um conjunto A • igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A est• contido no
conjunto B e o conjunto B est• contido no conjunto A. Quando a condic•o acima for satisfeita, escreveremos
A=B (l•-se: A • igual a B) e quando n•o for satisfeita denotaremos tal fato por:
(l•-se: A • diferente de B). Na definic•o de igualdade de conjuntos, vemos que n•o • importante a ordem
dos elementos no conjunto.
Exemplo corn igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A s•o os
mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.
Consideraremos agora uma situa(•o em que os elementos dos conjuntos A e B ser•o distintos.
Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A est•o no conjunto B e nero
todos os elementos do conjunto B est•o no conjunto A. Tarnb•m n•o podemos afirmar que um conjunto • maior
do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A 6 diferente do conjunto B.
Exercicio: H• um espac•o em branco entre dois nOmeros em cada linha. Qual • o sinai apropriado que
deve ser posto neste espa(•o: <, > ou =?
i58 i
..................
Exercicio: Representar analiticamente
extens•o, apresentando os elementos:
a. Conjunto N dos nOmeros Naturais
b. Conjunto P dos numeros Naturais Pares
c. Conjunto I dos numeros Naturais Impares
d. Conjunto E dos numeros Naturais menores que 16
e. Conjunto L dos numeros Naturais maiores que 11
f. Conjunto R dos numeros Naturais maiores ou iguais a 28
g. Conjunto C dos numeros Naturais que est•o entre 6 e 10
cada conjunto, isto •, a partir de alguma propriedade e depois por
•J OPERA•()ES COM NUMEROS NATURAIS
Na seq(J•ncia, estudaremos as duas principais operables possiveis no conjunto dos n•meros naturais.
Praticamente, toda a Matem•tica 6 construfda a partir dessas duas opera•6es: adi•o e multiplica•;•o.
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Matematica - M6dulo Azul
A ADI•AO DE NOMEROS NATURAIS
A primeira operaq•o fundamental da Aritm•tica tem por finalidade reunir em um s6 n6mero, todas as unidades
de dois ou mais n0meros. Antes de surgir os algarismos indo-ar•bicos, as adic•Ses podiam ser realizadas por
meio de t•buas de calcular, com o auxflio de pedras ou por meio de fibacos.
ruj PROPRIEDADES DA ADI(•AO
1. Fechamento: A adic•o no conjunto dos n•meros naturais • fechada, pois a soma de dois n[imeros naturals
ainda um n0mero natural. O fato que a opera•o de adic•o 6 fechada em N 6 conhecido na literatura do
assunto como: A adk;•o 6 uma lei de composi•o interna no conjunto N.
2. Associativa: A adic•o no conjunto dos n[imeros naturais 6 associativa, pois na adic•o de tr6s ou mais
parcelas de n[imeros naturais quaisquer • possfvel associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, corn tr&s
n[imeros naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos
um resultado que • igual & soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
i ] J
3, Elemento neutro: No conjunto dos n6meros naturais, existe o elemento neutro que 6 o zero, pois tomando um
nOmero natural qualquer e somando corn o elemento neutro (zero), o resultado ser• o pr6prio nOmero natural.
4. Comutativa: No conjunto dos nOmeros naturais, a adic•o 6 comutativa, pois a ordem das parcelas n•o
altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se
somando a segunda parcela com a primeira parcela.
•-,,J CURIOSIDADE" TABELA DE ADI•AO
Para somar dois n6meros, corn a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um nt•mero na 1°
coluna e um segundo n6mero na 1° linha. Na intersec•o da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos nt•meros.
Por exemplo, se tomarmos o n6mero 7 na linha horizontal e o n6mero 6 na linha vertical, obteremos a soma
13 que est• no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.
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Matematica - M6dulo Azul
•.... m m Mm
ij MULTIPLICA•AO DE NUMEROS NATURALS
1• a operaq•o que tem por finalidade adicionar o primeiro n(Jmero denominado multiplicando ou parcela,
tantas vezes quantas s•o as unidades do segundo nOmero denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 • somar o nOmero 9 quatro vezes:
4x9=9+9+9+9=36
O resultado da multiplicac•o • denominado produto e os n6meros dados que geraram o produto, s•o
chamados fatores. Usamos o sinai x ou ¯ ou x, para representar a multiplicaq•o.
• PROPRIEDADES DA MULTIPLICA(•AO
1. Fechamento: A multiplicac•o • fechada noconjunto N dos nOmeros naturals, pois realizando o produto de
dois ou mais nOmeros naturais, o resultado estar• em N. O fato que a operaq•o de multiplicaq•o • fechada em
N • conhecido na literatura do assunto como: A multiplica•o • uma lei de composic•o interna no conjunto N.
2. Associativa: Na multiplica(•o, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se
multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois mulUplicarmos por um terceiro nEmero natural, teremos
o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
(m.n).p = m.(n.p)
(3.4).5 = 3.(4.5) = 60
3. Elemento Neutro: No conjunto dos nOmeros naturals existe um elemento neutro para a multiplicaq•o que
o 1. Qualquer que seja o nL•mero natural n, tem-se que:
!.n =n.l= n
1.7 = 7.1 = 7
4. Comutativa: Quando multiplicamos dois nOmeros naturals quaisquer, a ordem dos fatores n•o altera o
produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que
multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.
m.n = n.m
3.4=4.3= 12
•m• PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA
Multiplicando um n•mero natural pela soma de dois n•meros naturals, • o mesmo que multiplicar o fator,
por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
/[o_+!i
m,(p+q) = m.p + m.q
6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48
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Matematica - M6dulo Azul
.....................
-.......u ¯ ....
DIVIS•,O DE NOMEROS NATURALS
Dados dois n•meros naturais, •s vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo est• contido no primeiro.
O primeiro nOmero que • o maior • denominado dividendo e o outro n5mero que • menor • o divisor. O
resultado da divis•o • chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos nOmeros naturais, a divis•o n•o • fechada, pois nero sempre • possivel dividir um nOmero
natural por outro nOmero natural e na ocorr•ncia disto a divis•o n•o • exata.
RELAI•6ES ESSENCIAIS NUMA DIVIS•,O DE NOMEROS NATURAIS
1. Em uma divis•o exata de n•meros naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
35:7=5
2. Em uma divis•o exata de nQmeros naturais, o dividendo • o produto do divisor pelo quociente.
35=5x7
3. A divis•o de um nOmero natural n por zero n•o • possfvel pois, se admitfssemos que o quociente fosse q,
ent•o poderfamos escrever:
n+0=q
e isto significaria que:
n=0xq=0
o que n•o • correto! Assim, a divis•o de n por 0 n•o tem sentido ou ainda • dita impossivel.
Exercicio: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual 6 o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y.
•j POTENCIA(•.•IO DE NOMEROS NATURAIS
Para dois n0meros naturais m e n, a express•o m" • um produto de n fatores iguais ao nOmero m, ou seja:
m"=m.m.m...m.m
m aparece n vezes
O n0mero que se repete como fator • denominado base que neste caso 6 m. O n•mero de vezes que a
base se repete • denominado expoente que neste caso • n. O resultado • denominado pot•ncia.
Esta operaq•o n•o passa de uma multiplicaq•o corn fatores iguais, como por exemplo:
23=2x2x2=8
43=4x4x4=64
PROPRIEDADES DA POTENCIA(•AO
1. Uma pot•ncia cuja base • igual a 1 e o expoente natural • n, denotada por i n, ser• sempre igual a 1.
Exemplos:
in -- lxlx...xl (n vezes) = 1
13 = 1xlx1 = 1
17 = 1xlxlxIxlxlxl = 1
2m Se n • um nOmero natural n•o nulo, ent•o temos que n°=l. Por exemplo:
(a) n° = I
(b) 5° = I
(c) 49° = 1
¯ . :
ll•ll
Matematica - Modulo Azul
..............................T"--•
..........
i I I
...........................
I I ........
3, A pot&ncia zero elevado a zero, denotada por 0°, • carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental.
4. Qualquer que seja a pot&ncia em que a base • o nOmero natural n e o expoente • igual a 1, denotada por
n1, • igual ao pr6prio n. Pot exemplo:
(a) n 1 = n
(b) Sl = 5
(c) 641 = 64
5. Toda pot•ncia 10n • o n0mero formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
Exemplos:
103 = 1000
108 = 100.000.000
10° = 1
• EXERCICIOS
11 Na figura abaixo, insira os nt•meros 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos cfrculos, de tal modo que a soma de cada lado seja
sempre igual a 10.
J Um gavi•o viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:
O1• minhas 100 pombinhas.
Urea delas respondeu:
N•o somos 100 n•o meu caro gavi•o, seremos 100, n6s, mais dois tantos de n6s e mais voc• meu caro
gavi•o.
Quantos pombos h• neste grupo?
3. Tr&s homens querem atravessar um rio. 0 barco que eles possuem suporta no m•ximo 150 kg. Um deles
pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual ser• o processo para eles atravessarem o
rio sem afundar?
4. Forme um quadrado m•gico corn os nOmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos nOmeros de
qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal dever• ser sempre igual a 15.
11
Matern&tica - M6dulo Azul
....... l• ...................... ¯
MOLTIPLOS DE NOMEROS NATURAIS
Diz-se que um n6mero natural a 6 m61tiplo de outro natural b, se existe um n6mero natural k tal que:
a=kxb
Exemplos:
(a) 15 • m61tiplo de 5, pois 15=3x5.
(b) 24 • m61tiplo de 4, pois 24=6x4.
(c) 24 • m61tiplo de 6, pois 24=4x6.
(d) 27 • m61tiplo de 9, pois 27=3x9.
Se a=kxb, ent•o a • m61tiplo de b, mas tamb•m, a • mt•ltiplo de k, como • o caso do n6mero 35 que
m61tiplo de 5 e de 7, pois:
35=7x5
Se a=kxb, ent•o a • m61tiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus m01tiplos, basta
fazer k assumir todos os n6meros naturals possfveis. Para obter os m61tiplos de 2, isto •, os nOmeros da forma
a=kx2 onde k • substitufdo por todos os nOmeros naturals possfveis. A tabela abaixo nos auxiliarY:
0=0X2, 2=1X2, 4=2X2, 6=3X2, 8=4X2, 10=5X2, 12=6X2
O conjunto dos n6meros naturals • infinito, assim existem infinitos m61tiplos para qualquer n6mero natural.
Se y • um n6mero natural, o conjunto de todos os m61tiplos de y, ser• denotado por M(y). Por exemplo:
M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... }
M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... }
Observa(•o: Como estamos considerando 0 como um nOmero natural, ent•o o zero ser• mOltiplo de todo
nL•mero natural. Tomando k=0 em a=k.b obternos a=0 para todo b natural. Por exemplo:
0=0x2, 0=0x5, 0=0x12, 0=0x15
Observa(•o: Um nOmero b • m61tiplo dele mesmo.
a= Zx b se, esomentese, a= b
Por exernplo, basta tomar o mesmo n6mero multiplicado por 1 para obter um m61tiplo dele pr6prio, como:
3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15.
DIVISORES DE NOMEROS NATURAIS
A definic•o de divisor est• relacionada com a de m61tiplo. Um n6mero natural b • divisor do n6mero natural a,
se a • mt•ltiplo de b.
Exemplo: 3 • divisor de 15, pois 15=3x5, logo 15 • mOltiplo de 3 e tamb•m • m61tiplo de 5.
Um nOmero natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o nL•mero 6 poder• ter no m•ximo 6
divisores, pois trabalhando no conjunto dos nt•meros naturals n•o podemos dividir 6 por um n6mero maior do
que ele.
Os divisores de um n6mero y tamb•m formam um conjunto finito, aqui denotado por D(y).
Exemplos:
(a) Divisores de 6: D(6)={1,2,3,6}
(b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18}
(c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15}
Observaq•o: O nL•mero zero • m61tiplo de todo n6mero natural e alum disso, zero n•o divide qualquer n6mero
natural, exceto ele pr6prio.
Se aceitarmos que 6-0=b, ent•o teremos que admitir que:
6=Oxb
mas n•o existe um n6mero b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divis•o de 6 por 0
impossl'vel.
12
Matem•tica - M6dulo Azul
......................... i
......
II
-- .........
I1 mm ,
A divis•o de 0/0 (zeroporzero) • indeterminada, o que significa que pode existir uma situaq•o que ela passe a
ter significado, no sentido seguinte:
Se aceitarmos que 0+0=X, ent•o poderemos escrever que:
0+0=X+I
Como temos uma igualdade de frac•6es, gerando uma proporq•o, deveremos aceitar que o produto dos meios
igual ao produto dos extremos nesta proporq•o e assim:
0xl=0xX=0
que n•o • contradit6rio e isto pode ser realizado para todo X real, raz•o pela qual a express•o da forma 0+0
dita indeterminada.
SOBRE A DIVISIBILIDADE
Em algumas situaq6es precisamos apenas saber se um n6mero natural • divisfvel por outronOmero natural, sem
a necessidade de obter o resultado da divis•o. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como crit•rios de
divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, tl, 13, 16, 17, 19, 23, 29,
31 e 49.
ALGUNS CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE
Divisibilidade por 2 - Um nL•mero • divisfvel por 2 se ele • par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos: O nL•mero 5634 • divisivel por 2, pois o seu L•ltimo algarismo • 4, mas 135 n•o • divis[vel por 2,
pois • um n0mero terminado corn o algarismo 5 que n•o • par.
Divisibilidade por 3 - Um nL•mero • divisfvel por 3 se a soma de seus algarismos • divisivel por 3.
Exemplos: 18 • divisfvel por 3 pois 1+8=9 que • divis•vel por 3, 576 • divisfvel por 3 pois: 5+7+6=18 que
divisfvel pot 3, mas 134 n•o • divisfvel por 3, pois 1+3+4=8 que n•o • divisfvel por 3.
Divisibilidade por 4 - Um n6mero • divisivel por 4 se o nOmero formado pelos seus dois Oltimos algarismos
divisfvel por 4.
Exemplos: 4312 d divisfvel por 4, pois 12 6 divisfvel por 4, mas 1635 n•o • divisfvel por 4 pois 35 n•o
divis•vel por 4.
Divisibilidade por 5 - Um nL•mero • divisivel por 5 se o seu Oltimo algarismo • 0 (zero) ou 5.
Exemplos: 75 6 divisivel por 5 pois termina corn o algarisrno 5, mas 107 n•o 6 divisivel por 5 pois o seu Oltimo
algarismo n•o 6 0 (zero) nem 5.
Divisibilidade por 6 - Um n6mero • divis[vel por 6 se • par e a soma de seus algarismos • divis[vel por 3.
Exernplos: 756 d divisivel por 6, pois 756 • par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 • divis[vel por 3, 527
n•o d divis[vel por 6, pois nc•o • par e 872 • par mas n•o • divis[vel por 6 pois a soma de seus algarismos:
8+7+2=17 n•o • divisfvel por 3.
Divisibilidade por 7 - Um n6mero • divisivel por 7 se o dobro do 61timo algarismo, subtraido do nOmero sem
o 61timo algarismo, resultar um n6mero divis•vel por 7. Se o nL•mero obtido ainda for grande, repete-se o
processo at• que se possa verificar a divis•o pot 7.
Exernplo: 165928 • divisivel por 7 pois:
16592 !Numero sem o ulbmo algansmo
'• :.J:.6 .. !.-..-l•°b.[•-d•:--•...•!•im-• •.!.•f•ri•m•) i
Repete-se o processo com este 61timo n6mero.
13
•)-57 N•mero-semo-61t moa gafism-o•
i-i2 i Dobro de 6 (61ti
Matematica - M6dulo Azul
Repete-se o processo corn este 01timo n6mero.
164[l••mero sem o ult mo algansmo
-10/ Dobro de 5 (ultimo algansmo) ,
154 i Diferenga
Repete-se o processo com este 61timo nOmero.
i !N6mero sere o Olt mo aigar smo
Diferenqa: i
A diferenqa • divisfvel por 7, logo o n6mero dado inidalmente tamb•m 6 divisivel por 7.
Exem[Io: 4261 n•o • divisivel por 7, pois:
'4261i••me:rose:m o 61timo algadsmol
f.•:•--,i--, .,.-:o,.,.,.,.,.,.,."••, "-•'.•-" ....................... •'---'-•o-'• •'"T-:-'-.....................t-2 1
" Dobro doL•ltimo a!garismo I
:42• i Diferenqa 1
Repete-se o processo com este 61timo n0mero.
i42fN mero sem o
=
, i;cimoaigarismo
i-81 Dobro doulbmo algansmo
i34T
......
Diferenc__,a ,
A 61tima diferen(;a • 34 que n•o • divisivel por 7, logo o n6mero 4261 dado inicialmente n•o @ divisivel por 7.
Divisibilidade por 8 - Um n6mero • divisfvel por 8 se o nL•mero formado pelos seus tr•s L•ltimos algarismos
divis{vel por 8.
Exemplos: 45128 • divis[vel por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 n•o 6 divis[vel por 8 pois
321 n•o • divis•vel por 8.
Divisibilidade por 9 - Um n6mero 6 divisivel por 9 se a soma dos seus algarismos @ um n6mero divisivel por 9.
Exemplos: 1935 • divis[vel por 9 pois: 1+9+3+5=18 que • divisivel por 9, mas 5381 n•o • divisivel por 9 pois:
5+3+8+1=17 que n•o • divisivel por 9.
Divisibilidade por 10 - Um n6mero • divisivel por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 • divisivel por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 n•o termina em 0 (zero).
NOMEROS PRIMOS
Um n6mero primo • um n6mero natural corn exatamente dois divisores naturais distintos.
Exemplos:
(a) 1 n•o 6 primo
(b) 2 6 primo pois
(c) 3 • primo pois
(d) 5 • primo pois
pois D(1)={1}
D(2)={1,2}
D(3)={1,3}
D(5)={1,5}
(e) 7 6 primo pois D(7)={1,7}
(f) 14 n•o • primo pois D(14)={1,2,7,14}
Observa•o: 1 n•o • primo pois tern apenas 1 divisor e todo n6mero natural pode ser escrito como o produto
de nt•meros primos, de forma 6nica.
14
Matem&tica - M6dulo Azul
........................................| ......
........
•J CRIVO DE ERATOSTENES
I• um processo para obter n•meros primos menores do que um determinado ndmero natural n. Devemos
construir urea tabela contendo os primeiros n nOmeros naturals. Para determinar os nOmeros primos nesta
tabela, basta seguir os seguintes passos.
1. Antes de iniciar, lembramos que 1 n•o • um nOmero primo.
2. Marcamos o nOmero 2, que • o primeiro nSmero primo e eliminamos todos os mOltiplos de 2 que
encontrarmos na tabela.
3. Marcamos o nOmero 3 e eliminamos todos os mOltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.
4. Determinamos o pr6ximo nOmero primo, que ser• o pr6ximo nOmero n•o marcado da tabela e
eliminamos todos os mOltiplos desse nOmero primo que encontrarmos na tabela.
5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com
6. Os nSmeros que n•o foram eliminados s•o os nOmeros primos.
...........
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!51 52 i53)54 55 56 5758 60
•I2 72 •3i74/75 76 77i78 t•• 80
.........................)• ............ I
....................... r .......................:•"• ................ :
i81 82)8• 84 85 86 87 88i8 90
o 9rdximo nOmero primo.
Na tabela, listamos os 100 primeiros nfimeros naturals, indicando com a cor mais forte os n5meros primos
e com a cor clara os nOmeros que n•o s•o prlmos. Como exemplo, 2 • primo, enquanto 25 n•o • primo, pois
mOltiplo de 5.
No quadro abaixo, mostramos os nOmeros primos menores do que 100, obtidos pelo crivo de Erat6stenes.
P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}
MINIMO MI•ILTIPLO COMUM
Diz-se que um n•mero m • m•ltiplo comum dos n•mero a e b se m • m•ltiplo de a e tamb•m • m•ltiplo de
b, ou seja.
rn=kxa e m=wxb
onde k e w n•meros naturais.
Exemplos: M•ltiplos comuns
(a) 24 • mOltiplo comum de 6 e 8.
(b) 15 • m5ltiplo comum de 3 e 5.
Determinaremos agora todos os nSmeros que tern 18 como m01tiplo comum, o que • o mesmo que obter
todos os divisores naturais de 18.
18 • m•ltiplo comum de I e 18 pois 18=1x18
18 b rnEItiplo cornurn de 2 e 9 pois 18=2x9
18 • mOltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6
O n•mero 18 • m•ltiplo comum de todos os seus divisores, logo:
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }
15
Matematica - Modulo Azul
............. l I ,,
Agora obteremos os mSItiplos comuns dos n5meros a e b. Para isso denot•remos por N(a) o conjunto dos
mSItiplos de a, pot N(b) o conjunto dos mSItiplos de b e tomaremos a interse•o entre os conjuntos M(a) e M(b).
Exemplo: MQltiplos comuns de 3 e 5.
M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}
M(3) (• M(5)={0,15,30,45,...}
Como estamos considerando 0 (zero) como n•mero natural, ele ir• fazer parte dos conjuntos de todos os
m•ltiplos de n6meros naturais e ser• sempre o menor mt•ltiplo comum, mas por definiq•o, o Mfnimo MOltiplo
Comum (MMC) de dois ou mais n6meros naturais • o menor mOltiplo comum a esses n6meros que • diferente
de zero. Logo, no conjunto:
M(3) (• M(5)={O, 15, 30, 45, ...}
O N(nimo MQltiplo Comum entre 3 e 5 • igual a 15.
Ao trabalhar com dois n0meros a e b, utilizamos a notaq•o MHC(a,b) para representar o M[nimo M5ltiplo
Comum entre os nQmeros naturais a e b, lembrando sempre que o menor mQltiplo comum deve ser diferente de
zero. Pot exemplo:
M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...}
M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...}
MMC(4,6)=min {12,24,36,...}= 12
O conjunto dos m•ltiplos do MMC(a,b) • igual ao conjunto dos m•ltiplos comuns de a e b.Por exemplo, se
a=3 e b=5:
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}
M(3) • M(5)={0,15,30,45,...}
M(15)={0,15,30,45,60,...}
Observe que M(15)=M(3) • M(5)
MI=TODO PRATICO PARA OBTER O MMC
Do ponto de vista did•tico, o processo acima • excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um
m•todo pr•tico para realizar tal tarefa sere trabalhar corn conjuntos.
1. Em um papel fac_,a um tTaqo ver•cal, de forma que sobre espa¢o livre tanto • direita como • esquerda do traqo.
I
I
I
2. •, esquerda do trac•o escreva os n•meros naturais como uma list-a, separados por virgulas, para obter o
MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do tra•o vertical e do lado direito do traqo
poremos o menor nSmero primo que divide algum dos n0meros da lista que est• • esquerda. Aqui usamos o 2.
1222 28 I 2
I
I
3. Dividimos todos os nOmeros da lista da esquerda, que s•o m6Itiplos do nSmero primo que est• • direita do
traqo, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divis6es (possiveis) e com
os nOmeros que n•o foram divididos.
12 22 28 I 2
6 11 141
I
16
Matem•tica - M6dulo Azul
4. Repetimos a partir do passo 3 at• que os valores da lista que est• do lado esquerdo do traqo se tornem
todos iguais a um.
12
6
3
1
1
1
22 28 2
11 14 2
11 7 3
11 7 7
11 1 11
1 1 924
5. O MMC • o produto dos nL•meros primos que colocamos do lado direito do traqo e neste caso:
MMC(12,22,28)=924.
Exemplo: Obtemos o MMC dos n6meros 12 e 15, com a tabela:
12 15 I
I
I
e depois dividimos todos os n0meros da lista da esquerda pelos n6meros primos (quando a divis•o for possfvel),
criando novas listas sob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 • o produto de todos os n0meros primos que
colocamos do lado direito do trac•o.
i2 15 I 2
6 151 2
3 iSl 3
1 s l Si
i i 16o
M/•O{IMO DIVISOR COMUM
Para obter o M•ximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a v•rios n0rneros
naturais. Um nOmero d • divisor comum de outros dois n0meros naturais a e b se, d divide a e d divide b
simultaneamente. Isto significa que devem existir kl e k• naturais tal que:
a=klxd e b=k2xd
Exemplos: Divisores comuns.
(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8.
(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3.
Observa•,io: Um nSmero d • divisor de todos os seus m01tiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois
n0meros • finito, pois o conjunto dos divisores•de um n0mero • finito. O conjunto dos divisores de um r•mero
natural y, ser& denotado por D(y).
Obteremos agora os divisores comuns aos nOmeros 16 e 24, isto •, obterernos a interse•o entre os
conjunto D(16) e D(24).
D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 }
D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
D(16) (• D(24)={1, 2, 4, 8}
Ocorre que o menor divisor comum entre os n0meros 16 e 24, • 1, assim n•o interessa o menor divisor comum
mas sire o maior divisor que pertence si.rnultaneamente aos dois conjuntos de divisores.
Denotaremos pot MDC(a,b), o M•ximo Divisor Comum entre os nOrneros naturais a e b. Pot exemplo, tomemos
os conjuntos de divisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, ent•o:
MDC(16,24)=max(D(16) • D(24))=8
17
Matematica - M6dulo Azul
METODO PRATICO PARA OBTER O MDC
De forma similar ao c•lculo do MMC(a,b), temos tamb4m um procedimento pr•tico para determinar o
MDC(a,b) entre dois n0meros naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada n0mero pode ser
trabalhoso. Para introduzir este m4todo, determinaremos o MDC entre os nL•meros 30 e 72, a tftulo de exemplo.
1. Construfmos uma grade corn 3 linhas e algumas colunas, pondo os n•meros dados na linha do meio. Na
primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.
 7213o i f
2. Realizamos a divis•o do maior pelo menor colocando o quociente no espa•o sobre o n0mero menor na
primeira linha e o resto da divis•o no espa(5o logo abaixo do maior n0mero na terceira linha.
........
T-Ti "
3. Passamos o resto da divis•o para o espa¢o Iocalizado • direita do menor n6mero na linha central.
12 l ! I ,_i
4. Realizamos agora a divis•o do n•mero 30, pelo resto obtido anteriormente que 4 12. Novamente, o
quociente ser• colocado sobre o nSmero 12 e o resto da divis•o ficar• Iocalizado. abaixo do nSmero 30.
5. Realizamos agora a (01tima!) divis•o do n0mero 12, pelo resto obtido anteriormente que 4 6. De novo, o
quociente ser• posto sobre o n0mero 6 e o resto da divis•o ficar6 Iocalizado abaixo do n6mero 12.
2 T T -T-?i
I ';
6. Como o resto da 01tima divis•o • 0 (zero), o 01timo quociente obtido representa o MDC entre 30 e 72, logo
denotamos tal fato por:
MDC(30,72) = 6
Exercicios:
a. Se a diferenqa entre dois n6meros naturais 4 126 e o m•ximo divisor comum entre eles 4 18, quais s•o esses
nOmeros?
Soluq•o: Se X e Y s•o os nOmeros procurados, eles devem ser m01tiplos de 18 e podem ser escritos na forma
X=18a e Y=18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a-18b=126, de onde segue que 18(a-b)=18x7,
o que • equivalente a: a-b--7. Tomando a=8 e b=l teremos X=144 e Y=18.
b. Se a soma de dois nL•meros naturais 4 420 e o m•ximo divisor comum entre eles • 60, quais s•o esses
n0meros?
Soluc•o: Sejam X e Y os n0meros procurados. Se MDC(X,Y)=60, os n0meros X e Y devem ser m01tiplos de 60,
logo podem ser escritos na forma X=60a e Y=60b onde a e b s•o n0meros inteiros positivos. Assim:
60a+60b=420, o que garante que a+b=7. Devemos escolher n6meros naturais tal que a+b=7, e assim, temos
v•rias opq6es.
Se a=6 e b=l ent•o X=360 e Y= 60
Se a=5 e b=2 ent•o X=300 e Y=120
Se a=4 e b=3 ent•o X=240 e Y=180
Se a=3 e b=4 ent•o X=180 e Y=240
Se a=2 e b=5 ent•o X=120 e Y=300
Se a=l e b=6 ent•o X= 60 e Y=360
18
Matem&tica - M6dulo Azul...................
lm• ......... mm m. .
c. Se a divis•o entre dois nQmeros naturais • igual a 6/5 e o m&ximo divisor comum entre eles 6 15, quais s•o
esses nSmeros?
Solu(•o: Sejam X e Y os n0meros procurados. Se MDC(X,Y)=15, ent•o X e Y devem ser m•ltiplos de 15, logo
podem ser escritos na forma X=15a e Y=15b. Assim: (15a)/(15b)=6/5, logo a/b=6/5. AIgumas soluq6es para o
problema, s•o:
Se a= 6 e b= 5 ent•o X= 90 e Y= 75
Se a=12 e b=10 ent•o X=180 e Y=150
Se a=18e b=15 ent•o X=270 e Y=225
• RELA•AO ENTRE O MMC E MDC
Uma rela(•o importante e bastante •til entre o MMC e o MDC • o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo
MMC(a,b) 6 iguat ao produto de a por b, isto 6:
MDC(a,b) x MMC(a,b) = a x b
MDC(12,15) x MMC(12,15)=12 x 15
Esta relaq•o 6 •til quando precisamos obter o MMC e o MDC de dois n•meros, basra encontrar um deles e usar
a relaq•o acima.
Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o MDC(15,20), o primeiro passo • obter o que for possivel. Se
MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300, basta lembrar que MDC(15,20)xMMC(15,20)=15x20 e fazer:
5 X MMC(15,20) = 300
de onde se obt•m que MMC(15,20)=60.
Exercicio: Se a soma de dois n5meros 6 320 eo mfnimo m5ltiplo comum entre eles 6 600, quais s•o esses
nOmeros? Qual • o m•ximo divisor comum entre eles?
Soluq•o: Se X e Y s•o os nOmeros procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem pertencer ao
conjunto D(600):
{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600}
Pares de n•meros deste conjunto que somam 320, s•o: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par n•o serve pois
MMC(300,20)=300. Os nOmeros que servem s•o X=200 e Y=120 pois MMC(200,120)=600 e MDC(200,120)=40.
PRIMOS ENTRE SI
Dois n•meros naturais s•o primos entre si quando o MDC entre eles • igual a 1. Por exemplo, 16 n•o • um
nOmero primo, 21 tamb•m n•o • um nOmero primo mas 16 e 21 s•o primos entre si pois MDC(16,21)=1.
RADICIA(•AO DE NOMEROS NATURAIS
Radiciaq•o de ordem n 6 o processo pelo qual dado um n•mero natural a devemos determinar um n•mero
natural b tal que:
bn = a
Onde n 6 um n•mero natural. I• o processo Jnverso da potenciaq•o.
Neste trabalho, representaremos a operaq•o de radiciaq•o por
R"[a], a l/n, pot(a,l/n), pow(a,l/n), .•ia
que se 16: raiz n-6sima de a. Uma notac•o simples e muito comum no meio cientifico 6 aquela que usa o acento
circunflexo: a^(1/n).
19
Matem&tica- M6dulo Azul
................. iN in
Raiz quadrada: A raiz quadrada de um nOmero n•o negativo (n•o somente natural) • um outro nOmero n•o
negativo b tal que:
b•= a
A raiz quadrada de um n•mero a>0 pode ser denotada por a1/2.
Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valor num•rico de b de forma que:
b2=bxb=36
Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores at• que o divisor seja igual
ao quociente
36-2=18, 36-3=12, 36-4=9, 36-6=6
Portanto 6 • a raiz quadrada de 36.
Raiz c0bica: A raiz cObica de um nQmero (n•o somente natural) a • um nL•mero b tal que:
b3=b.b.b=a
A raiz c0bica de um nL•rnero a pode ser denotada por a 1/3,
Exemplo: Para determinar a raiz c•bica de 64, deve-se obter um n(3rnero b de forma a obter
b3=bxbxb=64
Por tentativa, temos: .
1xlx1=1, 2x2x2=8, 3x3x3=27, 4x4x4=64
Portanto 4 • raiz c•bica de 64.
Em estudos mais avancados, pode-se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz ct•bica de um n0mero n•o
necessariamente natural, corn qualquer precis•o que se queira.
NI)MEROS INTEIROS
INTRODU(•AO AOS NUMEROS INTEIROS
Na •poca do Renascimento, os matem•ticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de
n•mero, que pudesse ser a soluc•o de equac•6es t•o simples como:
x+2=0,2x+10=0,4y+4=0
As Ci•ncias precisavam de s(mbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0o C, por exemplo.
Astr6nomos e fisicos procuravam urea linguagem matem•tica para expressar a atra•o entre dois corpos.
d O
rn
Quando um corpo age com uma forc•a sobre outro corpo, este reage com uma forc•a de mesma intensidade
e sentido contr•rio. Mas a tarefa n•o ficava somente em criar um novo nt•mero, era preciso encontrar um
simbolo que permitisse operar com esse nOmero criado, de modo pr•tico e eficiente.
•J SOBRE A ORIGEM DOS SINAIS
A id•ia sobre os sinais vem dos comerciantes da •poca. Os matem•ticos encontraram a melhor nota(•o
para expressar esse novo tipo de nt•mero. Veja como faziam tais comerciantes:
Suponha que um deles tivesse em seu armaz•m duas sacas de feij•o com 10 kg cada. Se esse comerciante
vendesse num dia 8 Kg de feij•o, ele escrevia o nQmero 8 corn um trac•o (semelhante ao atual sinai de menos)
na frente para n•o se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feij•o.
1 m
2O
Matem&tica - M6dulo Azul.....................
,
, -•..........nine•mmmllll/u
Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o nSmero 2 corn dois traqos
cruzados (semelhante ao atual sinai de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feij•o a
mais que a quantidade inicial.
Com essa nova notac•o,os matem•ticos poderiam, n•o somente indicar as quantidades, mas tamb•m
representar o ganho ou a perda dessas quantidades, atrav•s de nOmeros, corn sinai positivo ou negativo.
O CONJUNTO Z DOS NLIMEROS INTEIROS
Definimos o conjunto dos n•meros inteiros como a reuni•o do conjunto dos nOmeros naturais, o conjunto
dos opostos dos nOmeros naturais e o zero. Este conjunto 6 denotado pela letra Z (Zahlen=nOmero em alem•o).
Este conjunto pode ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z
(a) Conjunto dos nOmeros inteiros exclufdo o nOmero zero:
Z* = {..., -4, -3, -2, "1, 1, 2, 3, 4,...}
(b) Conjunto dos n•meros inteiros n•o negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
(c) Conjunto dos nt•meros inteiros n•o positivos:
Z. = {..., "4, -3, -2, -1, 0}
Observa•o: N•o existe padroniza(•o para estas notaqSes.
RETA NUMERADA
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z • construir uma reta numerada, considerar o
nt•mero 0 como a origem e o nt•mero 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a dist•ncia entre 0 e
1 e por os nSmeros inteiros da seguinte maneira:
Z
4- -I $ 4- ÷ -4 ÷ ÷ •- 3,
3 -2 -1 0 1 2 3 4
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os nOmeros inteiros obedecem 6 crescente da
esquerda para a direita, raz•o pela qual indicamos com urea seta para a direita. Esta consideraq•o • adotada
por convenc•o, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, n§o haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada poclemos afirmar que todos os nSmeros inteiros possuem um e
somente um antecessor e tamb•m um e somente um sucessor.
ORDEM E SIMETRIA NO CONJUNTO Z
0 sucessor de um nOmero inteiro 6 o nOmero que est• imediatamente • sua direita na reta (em Z) e o
antecessor de um nOmero inteiro 6 o n6mero que est• imediatamente • sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
(a) 3 6 sucessor de 2
(b) 2 6 anLecessor de 3
(c) -5 6 antecessor de -4
(d) -4 6 sucessor de -5
(e) 0 • antecessor de 1
(0 1 6 sucessor de 0
(g) -1 • sucessor de -2
(h) -2 • antecessor de -1
Todo nL•rnero inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado sim6trico ou oposto-z e ele • caracterizado
pelo fato geom•trico que tanto z como -z est•o • mesma dist•ncia da origem do conjunto Z que • O.
Exemplos:
(a) O oposto de ganhar 6 perder, logo o oposto de +3 6 -3.
(b) O oposto de perder • ganhar, logo o oposto de -5 6 +5.
I
21
Matem&tica - M6dulo Azul
/m.__..-- ............
• MODULO DE UM NOMERO INTEIRO
O m6dulo ou valor absoluto de um nfimero Inteiro • definido como sendo o maior valor (mfiximo) entre um
n6mero e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais I I. Assim:
Ix I = max{-x,x}
Exemplos:
(a) I01 = 0
(b) 181 = 8
(c) 1-61 = 6
Observa•;•o: Do ponto de vista geom•trico, o m6dulo de um n6mero inteiro corresponde • dist•ncia deste
nfimero at• a origem (zero) na reta num•rica inteira.
SOMA (ADI(•AO) DE NOMEROS INTEIROS
Para melhor entendimento desta operaq•o, associaremos aos nOmeros inteiros positivos a id•ia de ganhar
I (+3) + (+4) = (+71
T
I (-31 + (-4) = (-71
1 (+81 + (-51 = (+3)
I (-8) + (+5) = (-3)
e aos nOmeros inteiros negativos a id•ia de perder.
ganhar3 + ganhar 4 = ganhar7
perder3 + perder 4 = perder 7
ganhar8 + perder5 = ganhar3
peter8 + ganhar 5 = perder 3
1
!
Aten(•o: 0 sinai (+) antes do nfimero positivo pode ser dispensado, mas o sinai (-) antes do n6mero negativo
nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
(a) -3 + 3 = 0
(b) +6 + 3 = 9
(c) +5 - 1 = 4
PROPRIEDADES DA ADII•AO DE NUMEROS INTEIROS
Fechamento: O conjunto Z • fechado para a adic•o, isto •, a soma de dois n6meros inteiros ainda • um
nfimero inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a+(b+c)=(a+b)+c
2+(3+7)=(2+3)+7
a+b=b+a
3+7=7+3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o pr6prio z, isto •:
Z+0=Z
7+0=7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = o
9 + (-9) = 0
MULTIPLICAI•AO (PRODUTO) DE NUMEROS INTEIROS
A multiplicaq•o funciona como uma forma simplificada de uma adic•o quando os n6meros s•o repetidos.
Poderfamos analisar tal situaq•o como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como
22
Matematica - MOdulo Azul
711111•l JlllI II
......
Ill
pot exemplo, ganhar 1 objeto pot 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetiq•o pode ser
indicada por um x, isto •:
1+ 1+ 1+ ... + 1+ 1= 30x1= 30
Se trocarmos o nSmero 1 pelo nQmero 2, obteremos'.
2 +2 + 2 +... + 2 + 2 = 30x2= 60
Se trocarmos o n•mero 2 pelo n•mero -2, obteremos:
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos que a multiplicaq•o • um caso particular da adic;•o onde os valores s•o repetidos.
Na multiplica(;•o o produto dos nQmeros a e b, pode ser indicado pot axb, a.b ou ainda ab sem nenhum.
sinai entre as letras.
Para realizar a multiplica(•o de nOmeros inteiros, devemos obedecer • seguinte regra de sinais:
(+1) x (+i) = (+1)
(+i) x (-I) = (-i)
(-i) x (+i) = (-i)
(-i) x (-I) = (+i)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
...............................
guasi
........................
I
..............................
positvo
...............................
i
diferentes ,! negativo i
•J PROPRIEDADES DA MULTIPLICA(•,O DE NUMEROS INTEIROS
Fechamento: O conjunto Z • fechado para a multiplica(•o, isto •, a multiplicac•ode dois nL•meros inteiros
ainda 6 um nOmero inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
Comutativa: Para todos a,b em Z:
ax(bxc)=(axb)xc
2x(3x7)=(2x3)x7
axb=bxa
3x7=7x3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o pr6prio z, isto 6:
zxl---z
7X1=7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso zl=l/z em Z, tal que
zxz"1 = z x (l/z) = 1
9x9"1=9x(119)=1
PROPRIEDADE MISTA (DISTRIBUTIVA)
Distributiva: Para todos a,b,¢ em Z:
ax(b+c)=(axb)
3x(4+5)=(3x4)
+(axc)
+(3x5)
POTENCIA(•,O DE NOMEROS INTEIROS
A pot•ncia a n do nSmero inteiro a, • definida como um produto de n fatores iguais. 0 nOmero a • denominado a
base e o n•mero n • o expoente.
an=axaxaxax...xa
a b multiplicado por a n vezes
Matematica - M6dulo Azul
m iN
Exemplos:
a. 2S=2x2x2x2x2=32
b. (-2) 3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8
c. (-5) 2 = (-5) x (-5) = 25
d. (+5) 2 = (+5) x (+5) = 25
Com os exemplos acima, podemos observar que a pot•ncia de todo n0mero inteiro elevado a um expoente
par 6 um nGmero positivo e a pot•ncia de todo n0mero inteiro elevado a um expoente [mpar 6 um nOmero que
conserva o seu sinai.
Observa•o = Quando o expoente 6 n=2, a pot6ncia a 2 pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e
quando o expoente 6 n=3, a pot6ncia a 3 pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras s•o
provenientes do fato que •rea do quadrado pode ser obtida por A=a 2 onde a 6 6 a medida do lado e o volume
do cubo pode ser obtido por V=a 3 onde a 6 a medida do lado do cubo.
ELEMENTOS HISTORICOS SOBRE FRA(•I•ES
H• 3000 antes de Cristo, os ge6metras dos fara6s do Egito realizavam marcac•o das terras que ficavam •s
margens do rio Nilo, para a sua popula•o. Mas, no perfodo de junho a setembro, o rio inundava essas terras
levando parte de suas marcag6es. Logo os propriet•rios das terras tinham que marc•-Ias novamente e para isso,
eles utilizavam uma marcaq•o com cordas, que seria uma esp6cie de medida, denominada estiradores de cordas.
As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida
estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto 6, n•o cabia um
nOmero inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo
de nOmero - o n•mero fracion•rio, onde eles utilizavam as fraq6es.
• ZNTRODU(•.O AO CONCEITO DE FRA(•.•.O
•,s vezes, ao tentar partir algo em pedaqos, como por exemplo, uma pizza, n6s a cortamos em partes que
n•o s•o do mesmo tamanho.
Logo isso daria uma grande confusEo, pois quem ficaria com a parle maior? Ou quem ficaria com a parte
menor? I• 16gico que algu6m sairia no prejuizo.
Pensemos neste exemplo: Dois irm•os foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de
chocolate iguais, uma para cada urn. lam comec•ar a comer quando chegou urea de suas melhores amigas e
vieram as perguntas: Quem daria um pedago para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do peda(•o? Eles
discutiram e chegaram • seguinte conclus•o:
Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.
¯ Voc• concorda corn esta divis•o? Por qu6?
¯ Como voc• poderia resolver esta situaq•o para que todos comessem partes iguais?
¯ 0 que voc• acha desta frase: Quem parte e reparte e n•o fica corn a melhorparte, ou d bobo ou n•o
tern arte.
ELEMENTOS GERAIS PARA A CONSTRU•AO DE FRAI•I•ES
Para representar os elementos que n•o s•o tornados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o
objeto matem•tico denominado frag•o.
0 conjunto dos nOmeros naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes n•o, tendo em vista que zero
foi um nOmero criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N ser• representado por:
N={1,2,3,4,5,6,7,...}
Logo, todos os n•meros naturais representam partes inteiras.
24
Matematica - M6dulo Azul
................ mmllmmlml ill m m
Os nQmeros que n•o representam pares inteiras, mas que s•o pares de inteiros, constituem os nQmeros
racionais n•o-negativos, aqui representados por Q,;, onde esta letra Q significa quociente ou divis•o de dois
nL•meros inteiros naturals.
Q+ = { 0,..., 114,..., 112,..., 1,...,2,... }
Numeral: Relativo a nL•mero ou indicativo de nL•mero.
NOmero: Palavra ou simbolo que expressa quantidade.
•! DEFINI(•AO DE FRA•:•,O
Os numerais que representam nL•meros.racionais•.n•o-negativos s•o chamados fra•es e os nL•meros
inteiros utilizados na fraq•o s•o chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou
tra#o de fra#•$o.
Numerador
Denominador
¯ Onde Numeradorindica quantas partes s•o tomadas do inteiro, isto •, o nOmero inteiro que • escrito sobre
o traqo de fraq•o e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este nOmero inteiro
deve necessariamente ser diferente de zero.
Observa•o: A linguagem HTML (para construir p•ginas da Web) n•o proporciona ainda um m•todo simples
para a implementar a barra de fraq•o, raz•o pela qual, •s vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinai +, para
entender a divis•o de dois nOmeros.
Exemplo: Consideremos a fra(•o 1/4, que pode ser escrita como:
1
4
Em linguagem matem•tica, as fraq6es podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como
1/4, considerada mais comum.
A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fraq•o pode ser visualizada atrav•s da figura anexada,
sendo que foi sombreada uma dessas partes.
• LEITURA DE FRA•I)ES
a) O numerador • 1 e o denominador b um inteiro 1<d<10
A leitura de uma frac•o da forma l/d, onde d • o denominador que • menor do que 10 • feita como:
iLeitura um meioium terc•oium quartoium quintoium sextoium setimo!um oitavoium nono I
b) O numerador • I e o denominador • um inteiro d>lO
Quando a frac•o for da forma l/d, com d maior do que 10 lemos: 1, o denominador e acrescentamos a pa/awa
avos.
Avos • um substantivo masculino usado na leitura das frag•es, designa cada uma das partes iguais
em que foi dividida a unidade e se cujo denominador • maior do que dez.
25
Matematica - MOdulo Azul
c) 0 numerador • I e o denominador • um m61tiplo de 10
Se o denominador for mSItiplo de 10, lemos:
Observa¢•o: A frac•o 1/3597 pode ser lida como: um, tr•s mil quinhentos e noventa e sete avos.
TIPOS DE FRA(•(•ES
A representac•o gr•fica mostra a fra(•o 3/4 que • uma fra(•o cujo numerador • um n•mero natural menor
do que o denominador.
A frac•o cujo numerador • menor que o denominador, isto •, a parte • tomada dentro do inteiro,
chamada fra•o pr6pria. A fraq•o cujo numerador • major do que o denominador, isto •, representa mais do
que um inteiro dMdido em partes iguais • chamada fraG•o imprdpria.
26
zz.......... IlUlml lal llm
3/3 2/3 5/3=1+2/3
liiii
iiii iiiii •iii •iiiiiiiiiiiiiiii •i iii
Matem&tica - Modulo Azul
1 .........
Frag•o aparente: • aquela cujo numerador • um mOltiplo do denominador e aparenta ser uma fra•o mas n•o•, pois representa um nOmero inteiro. Como um caso particular, o zero • mSItiplo de todo nOmero inteiro, assim
as fraq6es 0/3, 0/8, 0/15 s•o aparentes, pois representam o nOmero inteiro zero.
Fra•6es Equivalentes: S•o as que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos
(numerador e denominador) de uma fra¢•o sucessivamente pelos nOmeros naturais, teremos um conjunto
infinito de fra¢Ses que constitui um conjunto que 6 conhecido como a classe de equival6ncia da fra•o dada.
1/2 2/4 3/6 4/8
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS
(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma frac•o por um mesmo n•mero natural,
obteremos uma frac•o equivalente • frac•o dada:
1 lx2 2
2 2x2 4
(2) Se • possivel dividir os termos (numerador e denominador) de uma fra¢•o pot um mesmo n0mero natural,
obteremos uma frac•o equivalente • fra¢•o dada:
12 12+2 6 6+2 3
16 16+2 8 8+2 4
•! A FRA(•AO COMO UMA CLASSE DE EQUIVALENCIA
A classe de equival•ncia de uma fra¢•o • o conjunto de todas as fra¢6es equivalentes • fra(;•o dada. Ao
inv•s de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemostomar a fra¢•o
mais simples deste conjunto que ser• a representante desta classe. Esta fra(•o ser• denominada um nOmero
racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das fra¢6es equivalentes a 1/3,
como:
C(1/3) = { 1/3, 216,319,4112,5115,6118,...}
27
Matem&tica - M6dulo Azul
.......................
,----
• ! ............... -• - - ..
NUMERO MISTO
Quando o numerador de uma fraq•o • maior que o denominador, podemos realizar uma operac•o de
decomposiq•o desta fra(•o em uma parte inteira e urea parte fracion•ria e o resultado • denominado nOmero
misto.
Transforma(•o de uma fra(•o impr6pria em um n•mero misto
17 16+1 16 1 1 1
= - +-=4+-=4•
4 4 4 4 4 4
Transformag•o de um nOmero misto em uma frag•o impr6pria
1 1 16 1 17
4-=4+-=--+ ......
4 4 4 4 4
• SIMPLIFICA(•,O DE FRA(•C)ES "
Simplificar fraq6es • o mesmo que escrev6-1a em uma forma mais simples, para que a mesma se tome
mais f•cil de ser manipulada.
O objetivo de simplificar uma fraq•o • torn•-Ia uma fraq•o irredut/vel, isto •, uma fraq•o para a qual o
M•ximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador
devem ser primos entre si. Essa simplificaq•o pode ser feita atrav•s dos processos de divis•o sucessiva e pela
fatoraq•o.
A divis•o sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fra(7•o por um mesmo nOmero (fator comum )
at• que ela se torne irredutfvel.
36 36+2 18 18+2 9 9+3 3
60 60+2 30 30+2 15 15+3 5
Respectivamente, dividimos os termos das fraq6es por 2, 2 e 3.
Observaq•o" Outra maneira de divis•o das fraq6es • obter o M•ximo Divisor Comum entre o Numerador e
o Denominador e simplificar a fraq•o diretamente por esse valor.
Exemplo: Simplificarernos a fraq•o 54/72, usando o M•ximo Divisor Comum. Como MDC(54,72)=18, ent•o
54:18=3 e 72:18=4, logo:
54 54+18 3
72 72+18 4
• COMPARA(•AO DE DUAS FRA(•C)ES
1) Por reduG•o ao mesmo denominador
Se duas fra•6es possuem denominadores iguais, a maior fraq•o • a que possui maior numerador. Por exemplo:
3 4
5 5
2) Tanto os numeradores como os denominadores das duas fraG•es s•o diferentes
Devemos reduzir ambas as fraq6es a um denominador comum e o processo depende do c•lculo do Minimo
M01tiplo Cornum entre os dois denorninadores e este ser• o denominador comum •s duas fraq6es. Na seqiJ•ncia,
divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fraq•o e multiplica-se o resultado obtido pelo
respectivo numerador.
¯ . m
28
Matematica - M6dulo Azul
"-•............ I • I
Exemplo: Vamos comparar as frac•6es 2/3 e 3/5. Como os denominadores s•o 3 e 5, temos que MNC(3,5)= 15.
Reduzindo ambas as frac•6es ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador
comum pelo denominador de cada frac•o e na seq•i6ncia multiplica-se esse respectivo nL•mero pelo numerador.
2 3
3 5
Multiplicandoostermosda primeirafraq•o por5e multiplicandoostermosdasegundafrag•o por3, obteremos:
2 2x5 3x3 3
3 3x5 5x3 5
Temosent•o os mesmosdenominadores, logo:
e podemos garantir que
2 10 9 3
•=• ?•
3 15 15 5
2 10 9 3
3 15 15 5
3) As fra(;6es possuem um mesmo numerador
Se os numeradores de duas fraqSes forem iguais, ser• maior a frac•o cujo denominador for menor.
Exemplo" Uma representac•o gr•fica para a desigualdade
3 3
4 8
pode ser dada geometricamente por:
3/4=6/8 3/8
Observe que a •rea amarelada • maior na primeira figura.
• DTVISAO DE FRA¢(•ES
Consideremos inicialmente uma divis•o D de duas fracases, denotada por:
1 2
D=•-•
2 3
Um modo f•cil para explicar esta divis•o • tomar as duas fra•es corn o mesmo denominador e realizar a
divis•o do primeiro numeradorpelo segundo numerador, isto •:
1 2 3 4
D=
2 3 6 6
Pois 1/2 • equivalente a 3/6 e 2/3 • equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as fraqSes 1/2 e 2/3, a
partir de suas respectivas fraqSes equivalentes: 3/6 e 4/6.
29
Matematica - M6dulo Azul
,w•m•---•F
• :,: =====================........
3/6 4/6
Realizar a divis•o entre dois nt•meros fracion•rios ou n•o A e B, • o mesmo que procurar saber quantas
partes de Best•o ocupadas por A. Quantas partes da fra¢•o 4/6 est•o ocupadas pela fra•o 3/6?
No desenho, os numeradores das fra•6es est•o em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na
primeir'a fra•o e 4 partes em amarelo na segunda fra(•o, a divis•o corresponde • fra(•o 3/4, ou seja, em cada
4 partes amarelas, 3est•o ocupadas.
Este argumento justifica a divis•o de duas frac•6es pela multiplicac•o da primeira fra¢•o pelo inverso da
segunda frac•o e observamos que de fato isto funciona neste caso:
1 2 3 6 18 3
D= -" - x - -
' 2 3 6 4 24 4
Na verdade, h8 um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divis•o de um n•mero real a/b
pelo n•mero real c/d •, por definic•o, a multiplicac•o do nOmero a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o
inverso de c/d • a fra(;•o d/c, assim:
a c a d a.d
.z_" -- X --
b d b c b.c
O PAPEL DAS FRA•OES E NOMEROS DECIMAIS
Esta p•gina trata do estudo de frac•6es e n•meros decimais, bem como seus fatos hist6ricos, propriedades,
opera¢6es e aplicac•6es. As frac•6es decimais e nOmeros decimais possuem not6ria import&ncia cotidiana. Tais
conceitos s•o usados em muitas situac•6es pr•ticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.
Indo ao supermercado comprar 1/2 Kg de caf• por R$ 2,80 e pagando a compra corn uma nota de R$ 5,00,
obt•m-se R$ 2,20 de troco. Neste exemplo, podemos observar o uso de fra(•6es e nt•meros decimais. Por meio,
deste tipo de compra, usamos o conceito de fra•o decimal juntamente corn o sistema de pesagem (112 Kg),
nOmeros decimals juntamente corn o sistema monet•rio. Muitas outras situa•6es utilizam de frac•6es e nOmeros
decimais.
Observa(•o: Para dividir um nL•mero X por outro n•mero n•o nulo Y, usaremos freqQentemente a notac•o
X/Y, por ser mais simples.
• ELEMENTOS HISTORICOS SOBRE OS NtJMEROS DECIMAIS
Hoje em dia • comum o uso de frac•6es. Houve tempo, por•m que as mesmas n•o eram conhecidas. O
homem introduziu o uso de frac•6es quando comec•ou a medir e representar medidas.
Os egipcios usavam apenas frac•6es que possuiam o nQmero 1 dividido por um n0mero inteiro, como por
exemplo: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... Tais frac•6es eram denominadas frac•6es eg[pcias e ainda hoje t&m muitas
aplicac•6es pr•ticas. Outras frac•6es foram descobertas pelos mesmos egipcios as quais eram expressas em
termos de frac•6es egipcias, como: 5/6=1/2+ i/3.
Os babil6nios usavam em geral frac•6es com denominador 60. I• prov•vel que o uso do nOmero 60 pelos
babil6nios se deve ao fato que • um nQmero menor do que 100 com maior quantidade de divisores inteiros. Os
romanos, por sua vez, usavam constantemente fra¢6es corn denominador 12. Provavelmente os romanos
usavam o n0mero 12 por ser um nQmero que embora pequeno, possui um nOmero expressivo de divisores
inteiros. Corn o passar dos tempos, muitas notac•6es foram usadas para representar frac•6es. A atual maneira de
representac•o data do s•culo XVI.
3O
Matematica - M6dulo Azul
....................• .... i _l•m
_
II Illil ll lira ii
Os nQmeros decimals t&m origem nas fraqSes decimals. Por exemplo, a frag•o 1/2 equivale • fraq•o 5/10
que equivale ao nQmero decimal 0,5.
Stevin (engenheiro e matem•tico holand•s), em 1585 ensinou um m•todo para efetuar todas as operag6es
por meio de inteiros, sem o uso de fraq6es, no qual escrevia os nL•meros naturals ordenados em cima de cada
algarismo do numerador indicando a posiq•o ocupada pela vfrgula no numeral decimal. A nota(•o abaixo foi
introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matem•tico escoc6s.
1437 1 2 3
- 1,437
1000
A representagSo dos. algarismos decimals, .provenientes de fragSes decimals, recebia um traqo no numerador
indicando o nt•mero de zeros existentes no denominador.
437
• = 4,37
100
Este m6todo foi aprimorado e em 1617 Napier prop6s o uso de um ponto ou de uma virgula para separar a
parte inteira da parLe decimal.
Por muito tempo os n•meros decimals foram empregados apenas para c•lculos astron6micos em virLude da
precis•o proporcionada. Os n0meros decimals simplificarammuito os c•lculos e passaram a ser usados corn
mais 6nfase ap6s a criac•o do sistema m6trico decimal.
FRAqOES E NIJMEROS DECIMAIS
Dentre todas as fraq•es, existe um tipo especial cujo denominador • uma pot•ncia de 10. Este tipo
denominado frac•o decimal.
Exemplos de fraq6es decimals, s•o:
1/10, 31100, 23/100, 111000, 11103
Toda frag•o decimal pode ser represenLada por um nL•mero decimal, isto 6, um nOmero que tern uma parle
inteira e uma parte decimal, separados pot urea v[rgula.
A frag•o 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:
127
---. = 1,27
100
onde 1 representa a parle inteira e 27 representa a parle decimal. Esta notaq•o subentende que a fraq•o
127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
127 100+27 100 27
- - + 1+0,27 = 1,27
100 100 100 100
A frag•o 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 6 a parle inteira e 8 6 a parte decimal. Aqui observamos
que este nL•mero decimal 6 menor do que 1 porque o numerador 6 menor do que o denominador da frag•o.
LEITURA DE NIJMEROS DECIMAIS
Para ler nOmeros decimais 6 necess•rio primeiramente, observar a localizac•o da vfrgula que separa a parle
inteira da parle decimal.
Um nOmero decimal pode ser colocado na forma gen6rica:
Centenas Dezenas i Unidades I' i D6cimos I Cent6simos i Mil6simo._.._S_•
Por exemplo, o n0mero 130,824, pode ser escrito na forma:
1 Centena • 3 dezenas i0 unidades , i8 d•cimos i 2 cent6simos 14 miL6simos I
.............................................!........................................ ................................. i ..............................I
Exemplos:
Matematica - M6dulo Azul
lUl•--- m m
0,6 Seis d6cimos
0,37 Trinta e sere centesimos
0,189 Cento e oitenta e nove milesimos
i 3,7 Tr•s inteiros e sete d•cimos
i 13,45 Treze inteiros e quarenta e cinco centesimos
130,824 Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milesimos
TRANSFORMANDO FRA•6ES DECIMAIS EM NIJMEROS DECIMAIS
Podemos escrever a frac;•o decimal 1/10 como: 0,1. Esta frac;•o • lida "um d•cimo". Notamos que a v{rgula
separa a parte inteira da parte fracion•ria:
•...... •.•'•!•'•"° • • •:•'il•e !ntei• parte t[•|•naria!
0 i, i 1
Urea outra situa(•ao nos mostra que a fra•:ao decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se I• da
seguinte maneira: "dois inteiros e trinta e um centesimos", Novamente observamos que a v{rgula separa a parte
inteira da parte fracion;•ria:
..........
2 T;i
.......
3i
....
I
Em geral, transforma-se uma fra(;•o decimal em um nOmero decimal fazendo com que o numerador da
fraq•o tenha o mesmo mimero de casas decimals que o nOmero de zeros do denominador. Na verdade, realiza-
se a divis•o do numerador pelo denominador. Por exemplo:
(a) 130/100 = 1,30
(b) 987/1000 = 0,987
(c) 5/1000 = 0,005
• TRANSFORMANDO NUMEROS DECIMAIS EM FRA(•()ES DECIMAIS
Tamb•m 6 possivel transformar um n•mero decimal em uma fra•o decimal. Para isto, toma-se como
numerador o n•mero decimal sem a virgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas
forem as casas decimals do n6mero dado. Como exemplo, temos:
(a) 0,5 = 5/10
(b) 0,05 = 51100
(c) 2,41 = 241/100
(d) 7,345 = 7345/1000
PROPRIEDADES DOS NUMEROS DECIMAIS
Zeros apbs o 01timo algarismo significativo: Um n•mero decimal n•o se altera quando se acrescenta ou se
retira um ou mais zeros • direita do Oltimo algarismo n•o nulo de sua parte decimal. Por exemplo:
(a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
(b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200
(c) 3,1415926535 = 3,141592653500000000
Multiplica•o per uma pot•ncia de 3.0: Para multiplicar um nSmero decimal por 10, por 100, por 1000,
basta deslocar a v•rgula para a direita uma, duas, ou tr•s casas decimals. Por exemplo:
(a) 7,4x 10 = 74
(b) 7,4x100 =740
(c) 7,4 x 1000 = 7400
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Matemdtica - M6dulo Azul
•wL---- ,•,B• in 1.. u ...........
Divis•o por uma pot•ncia de 10: Para dividir um nSmero decimal por 10, 100, 1000, etc, basra deslocar a
vfrgula para a esquerda uma, duas, tr•s, ... casas decimais. Por exemplo:
(a) 247,5 + 10 = 24,75
(b) 247,5 + 100 = 2,475
(c) 247,5 + 1000 = 0,2475
OPERA•6ES COM NOMEROS DECIMAIS
Adi•o e Subtra•o: Para efetuar a adi•o ou a subtra•o de n•meros decimais temos que seguir alguns
passos:
(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos nSmeros decimals a serem somados ou subtra/dos
acrescentando zeros • direita de suas partes decimals. Por exemplo:
a) 2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723
b) 2,4- 1,723 = 2,400 - 1,723
(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:
I. o algarismo das unidades de um nOmero dever• estar embaixo do algarismo das unidades do outro nOmero,
II. o algarismo das dezenas de um nOmero dever& estar em baixo do algarismo das dezenas do outro nSmero,
111. o algarismo das centenas dever• estar em baixo do algarismo das centenas do outro nOmero, etc),
IV. a vfrgula dever• estar debaixo da outra vfrgula, e
V. a parte decimal (d•cimos, centesimos, milesimos, etc) de forma que d•cimos sob d•cimos, centesimos sob
centesimos, milesimos sob milesimos, etc.
Dois exemplos:
2,400 2,400
+ 1,723 - 1,723
(c) Realizar a adig•o ou a subtraq•o.
Multiplica(;•o de nOmeros decimais: Podemos multiplicar dois nOmeros decimais transformando cada um
dos nOmeros decimais em fraq6es decimais e realizar a multiplica¢•o de numerador por numerador e
denominador por denominador. Por exemplo:
225 35 225x35 7875
2,25x3,5 = x - - - 7,875
100 10 100x10 1000
Podemos tamb•m multiplicar os nOmeros decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas
quantas forem as casas do multiplicando somadas •s do multiplicador. Por exemplo:
Y 1 2125 i2 casas decimaisimultiplicandol
3,s lcaso dedmal imoltip,ca or!
$•i+1675
..................................................................................................i
i •ii .......................................................•i
, , 7875i
i71875i3 casas decimais i Produto l
Divis•o de ndmeros decimals: £omo visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor
de uma divis•o por 10, 100 ou 1000, o quociente n•o se alterar•. Utilizando essas informac•Ses poderemos
efetuar divisSes entre nSmeros decimals como se fossem divisSes de n•meros inteiros. Por exemplo: 3,6+0,4=?
Aqui, dividendo e divisor t6m apenas uma casa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o
quociente n•o se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor ser•o nSmeros inteiros. Na pr•tica, dizemos
que "cortamos" a virgula.
3,6 36×10 36
3,6+0,4.... 9
0,4 4x10 4
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Matematica - MOdulo Azul
¯ •T,7 ::_
._ • •....•...• : ...................... ..
Um outro exemplo:
0,35 0,35x 100 35 35+7 5
0,35+7= - .... 0,05
7 7x 100 700 700+7 100
Neste caso, o dividendo tern duas casas decimais e o divisor • um inteiro, logo multiplicamos ambos por
100 para que o quociente n•o se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor ser•o inteiros.
Exercicio: Uma pessoa de bom coraq•o doou 35 alqueires paulistas de terra para 700 pessoas. Sabendo-se que
cada alqueire paulista mede 24.200 metros quadrados, qual ser• a •rea que cada um receber•?
Divis•o com o dividendo menor do que o divisor: Vamos considerar a divis•o de 35 (dividendo) por 700
(divisor). Transforma-se o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, ..., para obter 350 d&imos, 3500
cent4simos, ... at• que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divis•o se tome possivel.
Neste caso, h• a necessidade de multiplicar por 100.
Assim a divis•o de 35 por 700 ser• transformada numa divis•o de 3500 por 700. Como acrescentamos dois
zeros ao dividendo, iniciamos o quociente corn dois zeros, colocando-se uma vfrgula ap6s o primeiro zero. Isto
pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficar• dividido por 100.
idwldendoi3500] 7001 divisor
Realiza-se a divis•o de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7=35/700=0,05.
Divis•o de n0meros naturais com quociente decimal: A divis•o de 10 por 16 n•o fornecer• um inteiro no
quociente. Como 10 < 16, o quociente da divis•o n•o ser• um inteiro,assim para dividir o nL•mero 10 por 16,
montamos uma tabela semelhante & divis•o de dois nQmeros inteiros.
io T 16 i
' .................................................................................I........................................................ i
I ?
1) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficar• dividido por 10. Isto
seguido de urea vfrgula no quociente.
I00 1 16 !................................................................................................
!
.............................< ..................................!
justifica a presen(;a do algarismo 0
2) Realizamos a divis•o de 100 por 16. O resultado ser• 6 e o resto ser• 4.
100 i 16
-96 0,6 i
3) O resto 4 corresponde a 4 d4cimos = 40 centesimos, raz•o pela qual colocamos um zero (0) & direita do
nOmero 4.
100 i 16
-96 i 0,6 i
40 .i
4) Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto ser• 8.
..............................................................................
19•0 •f
........................................................................................
16 i
-96 l1 0,62 ii i
: 1 ,
-32 i i
......................................................................... i .................................................................................... i
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Matem&tica - M6dulo Azul
n.m--m., m .......
5) O resto 8 corresponde a 8 cent4simos = 80 mil4simos, raz•o pela qual inserimos um 0 • direita do nSmero 8.
Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0.
IOO ( 16 !
-96 o,62s
............................
!.....................................................i40 !
.........................................................................................i-32 .i
80
...........................
:88
...........................
I
................................................................
,
, i
0
A divis•o 10/16 4 igual a 0,625. O quociente 4 um nt•mero decimal exato, embora n•o seja um inteiro.
COMPARA•.O DE NOMEROS DECIMAIS
A compara(;•o de nOmeros decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses
n5meros. Para isso, faremos uso dos sinais: > (que se I•: maior); < (que se I•: menor) ou = (que se I•: igual).
N0meros com partes inteiras diferentes: O maior n•mero 4 aquele que tern a parte inteira major. Por
exemplo:
(a) 4,1 > 2,76, pois 4 4 maior do que 2.
(b) 3,7 < 5,4, pois 3 4 menor do que 5.
NOmeros com partes inteiras
quantos forem necess•rios. Ap6s
partes decimais diferentes. Basra
exemplos, s•o:
(a) 12,4 > 12,31 pois 12,4=12,40
(b) 8,032 < 8,47 pois 8,47=8,470
(c) 4,3 = 4,3 pois 4=4 e 3=3.
iguais: Igualamos o nOmero de casas decimais acrescentando zeros tantos
esta operac•o, teremos dois ndmeros corn a mesma parte inteira mas corn
comparar estas partes decimais para constatar qual • o maior deles. Alguns
e40> 31.
e 032 < 470.
RELACIONANDO NUMEROS RACIONAIS COM FRA(•6ES
Um n•mero racional 4 o que pode ser escrito na forma
m
n
onde m e n s•o ndmeros inteiros, sendo que n deve ser nEo nulo, isto 6, n deve ser diferente de zero.
FreqOentemente usamos m/n para significar a divis•o de m por n. Quando n•o existe possibilidade de divis•o,
simplesmente usamos uma letra corno q para entender que este n5mero 4 um nOrnero racional.
Como podemos observar, nOmeros racionais podem ser obtidos atrav4s da raz•o (em Latim:
ratio=razEo=divis•o=quociente) entre dois ndmeros inteiros, razEo pela qual, o conjunto de todos os ndmeros
racionais 4 denotado por Q. Assim, 4 comum encontrarmos na literatura a notaq•o:
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}
Quando h• interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos n•meros racionais positivos e Q_ o
conjunto dos n6meros racionais negativos. 0 n6mero zero 4 tamb4m um nOmero racional.
J• detalhamos o estudo de fraq6es e como todo ndmero racional pode ser posto na forma de uma fraq•o,
ent•o todas as propriedades v•lidas para fraq6es s•o tamb•m v•lidas para n6meros racionais. Para simplificar a
escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos nOmeros racionais.
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Matem&tica - M6dulo Azul
...... : , II "•,"777_..___•.._....•
.....
• DIZIMA PERIODICA
Uma d[zima peri6dica • um ndmero real da forma:
m,npppp...
onde m, n e p s•o n0meros inteiros, sendo que o n•mero p se repete indefinidamente, raz•o pela qual
usamos os tr•s pontos: ... ap6s o mesmo. A parle que se repete • denominada per[odo.
Em alguns livros • comum o uso de uma barra sobre o per[odo ou uma barra debaixo do periodo ou o
per[odo dentro de par•nteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta p•gina, usaremos o
per[odo sublinhado.
Exemplos: D[zimas peri6dicas
1. 0,3333333.... 0,3
2. 1,6666666... = 1,6
3. 12,121212... = 12,12
4. 0,9999999... = 0,9
5. 7,1333333.... 7,13
Uma d[zima peri6dica • simples se a parle decimal • formada apenas pelo per[odo. Alguns exemplos s•o:
1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3
2. 3,636363... = 3,(63) = 3,6--3
Uma d[zima peri6dica • composta se possui uma parle que n•o se repete entre a parte inteira e o per[odo. Por
exemplo:
1. 0,83333333... = 0,83
2. 0,72535353... = 0,7253
Urea d[zima peri6dica 4 uma soma infinita de n6meros decimais. Alguns exemplos:
1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...
3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...
A CONEXAO ENTRE NIJMEROS RACIONAIS E NIJMEROS REAIS
Um fato importante que relaciona os ndmeros racionais com os n6meros reais 4 que todo n0mero real que
pode ser escrito como urea d[zima peri6dica 4 um nOmero racional. Isto significa que podemos transformar uma
d[zima peri6dica em urea fraq•o.
O processo para realizar esta tarefa ser& mostrado na sequ•ncia corn alguns exemplos num4ricos. Para
pessoas interessadas hum estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequ•ncia,
deve-se aprofundar o estudo de s@ries geom4tricas no •mbito do Ensino M4dio ou mesmo estudar n6meros
racionais do ponto de vista do C•lculo Diferencial e Integral ou da An•lise na Reta no •mbito do Ensino
Superior.
•! A GERATRIZ DE UMA DiZIMA PERIODICA
Dada uma dizima peri6dica, qual ser• a fraq•o que d• origem a esta d[zima? Esta fraq•o • de fato um
nOmero racional denominado a geratriz da d[zima peri6dica. Para obter a geratriz de uma d[zima peri6dica
devemos trabalhar corn o n0mero dado pensado como uma soma infinita de nOmeros decimais. Para mostrar
como funciona o m•todo, utilizaremos diversos exemplos num•ricos.
36
Matemfitica - M6dulo Azulm,m,,m--• m .i ma
1. Seja S a dfzima peri6dica 0,3333333..., isto •, S=0,3, Observe que o perfodo tern apenas 1 algarismo.
Iremos escrever este n•mero como uma soma de infinitos n6meros decimals da forma:
S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o periodo tem 1 algarismo), obteremos:
10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +.,.
Observe que s•o iguais as duas Qltimas express6es que aparecem em cor vermelha!
Subtraindo membro a membro a pen61tima express•o da t•ltima, obtemos:
10S-S=3
donde segue que
9S=3
Simplificando, obtemos:
1
S =- = 0,33333... = 0,3_
3
Exercicio: Usando o mesmo argumento que antes, voc6 saberia mostrar que:
0,99999,,, = 0,9 = &
2. Vamos tomar agora a dfzima peri6dica T=0,313131..., isto 6, T=0,31. Observe que o periodo tem agora 2
algarismos. Iremos escrever este nOmero como uma soma de infinitos nOmeros decimais da forma:
T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 102=100 (0 per[odo tem 2 algarismos), obteremos:
100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Observe que s•o iguais as duas filtimas express6es que aparecem em cor vermelha, assim:
100 T = 31 + T
de onde segue que
99 T = 31
e simplificando, temos que
31
T = -- = 0,31313131... = 0,31
99
3. Um terceiro tipo de dizima peri6dica • T=7,1888..., isto 6, T=7,18. Observe que existe um nOmero com 1
algarismo ap6s a virgula enquanto que o periodo tern tamb4m 1 algarismo. Escreveremos este nOmero como
uma soma de infinitos nfimeros decimais da forma:R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Manipule a soma "infinita" como se fosse um nfimero comum e passe a parte que n•o se repete para o primeiro
membro para obter:
R-7,1 = 0,08 + 0,008 ÷ 0,0008 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o perfodo tem 1 algarismo), para obter:
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +,..
Observe que s•o iguais as duas Oltimas express6es que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a pen61tima express•o da 61tima para obter:
10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8
Assi m:
10R-71-R+7,1=0,8
Para evitar os n[imeros decimais, multiplicamos toda a express•o por 10 e simplificamos para obter:
90 R = 647
37
Obtemos ent•o:
647
T- - 7,1888... = 7,18
90
Matematica - M6dulo Azul
I II Illl Illl ll
4. Um quarto tipo de dfzima peri6dica • T=7,004004004.... isto •, U=7,004_. Observe que o perfodo tem 3
algarismos, sendo que os dois primeiros s•o iguais a zero e apenas o terceiro • n•o nulo. Decomporemos este
nOmero como uma soma de infinitos nQmeros decimals da forma:
U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +.,.
Manipule a soma "infinita" como se fosse um nOmero comum e passe a parte que n•o se repete para o primeiro
membro para obter:
U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por 103=1000 (o perfodo tem 3 algarismos), para obter:
1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0f004004 + 0,004004004 +...
Observe que s•o iguais as duas 61timas express6es que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penOltima express•o da Oltima para obter:
1000(U-7) - (U-7) = 4
Assim:
1000U-7000-U +7=4
Obtemos ent•o
que pode ser escrita na forma:
999 U = 6997
6997
T ..... 7,004004... = 7,004
999
N U M EROS IRRACIONAIS
Um nOmero real • dito um n6mero irracional se ele n•o pode ser escrito na forma de uma fra(;•o ou nem
mesmo pode ser escrito na forma de uma dfzima peri6dica.
I:xemplo: O n6mero real abaixo • um nOmero irracional, embora pareqa uma dfzima peri6dica:
x=0,10100100010000100000...
Observe que o n•mero de zeros ap6s o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos n•meros reais que
n•o s•o dfzimas peri6dicas e dois nOmeros irracionais muito importantes, s•o:
e = 2,718281828459045...,
Pi = 3,141592653589793238462643...
que s•o utilizados nas mais diversas aplicaq6es pr•ticas como: c•lculos de •reas, volumes, centros de gravidade,
previs•o populacional, etc...
Exercicio: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado num•rico
um nOmero irracional e pocle ser obtido atrav•s da rela(•o de Pit•goras. O resultado • a raiz quadrada de 2,
denotada aqui por R[2] para simplificar as notaqSes estranhas.
38
Matem&tica - M6dulo Azul
•m II .......... ..,_, m
N REPRESENTA(•AO, ORDEM E SIMETRIA DOS RACIONAIS
Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos ndmeros racionais por meio de uma reta
numerada. Consideramos o ndmero 0 como a origem e o ndmero 1 em algum lugar e tomamos a unidade de
medida como a dist•ncia entre 0 e 1 e por os ndmeros racionais da seguinte maneira:
Q
4 •- -I- F F f F "I + •---: •-
3-2-101234
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os ndmeros racionais obedecem 6 crescente da
esquerda para a direita, raz•o pela qual inclicamos corn urea seta para a direita. Esta considera(•o 6 adotada
por convenq•o, o que nos permite pensar em outras possibilidades.
Dizemos que um ndmero racional r 6 menor do que outro ndmero racional s se a diferen(•a r-s 6 positiva•
Quando esta diferenga r-s • negativa, dizemos que o ndmero r 6 maior do que s. Para indicar que r 6 menor do
que s, escrevemos:
r<s
Do ponto de vista geom6trico, um ndmero que est• • esquerda • menor do que um ndmero que est•
direita na reta numerada.
Todo ndmero racional q exceto o zero, possui um elemento denominado sim6trico ou oposto -q e ele
caracterizado pelo fato geom6trico que tanto q como -q est•o • mesma dist•ncia da origem do conjunto Q que
0. Como exemplo, temos que:
(a) O oposto de 3/4 6 -3/4.
(b) O oposto de 5 6 -5.
Do ponto de vista geom•trico, o sim6trico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de
um espelho que est• Iocalizado na origem. A dist•ncia do ponto real q ao espelho 6 a mesma que a dist•ncia do
ponto virtual -q ao espelho.
MODULO DE UM NOMERO RACIONAL
O m6dulo ou valor absoluto de um ndmero racional q 6 major valor entre o ndmero q e seu elemento oposto
-q, que 6 denotado pelo uso de duas barras verticals I I, por:
I q I = max{-q,q}
Exemplos: 101=0, 12/71=2/7 e I-6/71=617.
Do ponto de vista geom6trico, o m6dulo de um ndmero racional q 6 a dist•ncia comum do ponto q at6 a
origem (zero) que 6 a mesma dist•ncia do ponto -q • origem, na reta num6rica racional.
ru• A SOMA (ADI•AO) DE NOMEROS RACIONAIS
Como todo ndmero racional 6 uma fra•o ou pode ser escrito na forma de uma fra•o, definimos a adi•o entre
os ndmeros racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de fraqSes, atrav6s de:
a c ad+bc
+ -
b d bd
PROPRIEDADES DA ADII•AO DE NOMEROS RACIONAIS
Fechamento: O conjunto Q 6 fechado para a opera•o de adi(•o, Jsto 6, a soma de dois ndmeros racionais
ainda 6 um ndmero racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a+(b+c)=(a+b)+c
39
Matem•tica - M6dulo Azul
i............ m m
....
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a+b=b+a
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o pr6prio q, isto •:
q+0=q
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que
q + (-q) = 0
Subtra(•o de n•meros racionais: A subtraq•o de dois nL•meros racionais p e q • a pr6pria operac;•o de
adiq•o do nL•mero p corn o oposto de q, isto •:
p-q=p+(-q)
Na verdade, esta • uma operaq•o desnecess•ria no conjunto dos n5meros racionais.
A MULTIPLICA(•AO (PRODUTO) DE NUMEROS RACIONAIS
Como todo n•mero racional • uma fraq•o ou pode ser escrito na forma de uma fra(;•o, definimos o produto
de dois nOmeros racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de fraq6es, atrav•s de:
a c ac
•X•
b d bd
0 produto dos nOmeros racionais a e b tamb•m pode ser indicado por a x b, axb, a.b ou ainda ab sere
nenhum sinai entre as letras.
Para realizar a multiplica(•o de nOmeros racionais, devemos obedecer • mesma regra de sinais que vale
em toda a Matem•tica:
(+1) x (+1) = (+1)
(+i) x (-i) = (-i)
(-i) x (+i) = (-I)
(-I) x (-i) = (+I)
Podemos assim concluir que o produto de dois nOmeros com o mesmo sinai • positivo, mas o produto de
dois nt•meros com sinais diferentes • negativo.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICA•AO DE NIJMEROS RACIONAIS
Fechamento: O conjunto Q • fechado para a multiplica(;•o, isto •, o produto de dois n•meros racionais ainda
um nSmero racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
ax(bxc)=(axb)xc
Esta OItima propriedade pode ser escrita como:
a b
_x_=l
b a
Divis•o de n0meros radonais: A divis•o de dois nOmeros racionais
multiplicaq•o do nOmero p pelo inverso de q, isto •:
p+q=pxq -1
4O
p e q • a pr6pria operaq•o de
Comutativa: Para todos a, b em Q:
axb=bxa
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o pr6prio q, isto •:
qxl=q
Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q'l=b/a em Q, tal que
qxq-l=l
Matematica - M6dulo Azul,.•w............• • lllllll
Provavelmente voc• j• deve ter sido questionado: Porque a divis•o de uma frac•o da forma a/b por outra
da forma c/d • realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?
A divis•o de n0meros racionais esclarece a quest•o:
a c a d ad
•,,• •'•--•X•= ......
b d b c bc
Na verdade, a divis•o • um produto de um n6mero racional pelo inverso do outro, assim esta operaq•o
tamb•m desnecess•ria no conjunto dos nOmeros racionais.
PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA (MISTA)
Distributiva: Para todos a, b, c em Q:
ax(b+c)=(axb)+(axc)
•J POTENCIAI•AO DE NOMEROS RACIONAIS
A pot6ncia qn do nOmero racional q • um produto de n fatores iguais. O n6mero q • denominado a base e o
n0mero n • o expoente.
qn=q xqxq xq x...xq, (qaparecenvezes)
Exemplos:
(a) (2/5) 3 =(2/5) (2/5)x(2/5) = 8/125
(b) (-1/2)3=(-1/2)x(-1/2)x(-1/2) = -1/8
(c) (-5) 2 =(-5)x(-5) =25
(d) (+5) 2 =(+5)x(+5) = 25
Observaq•o: Se o expoente • n=2, a pot•ncia q2 pode set lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente
n=3, a pot6ncia q3 pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto • proveniente do fato que •rea do quadrado
pode set obtida pot A=q 2 onde q • a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por
V=q 3 onde q • a medida da aresta do cubo.
RAIZES DE NOMEROS RACIONAIS
A raiz n-6sima (raiz de ordem n) de um nOmero racional q 6 a opera(•o que resulta em um outro nOmero
racional r que elevado • pot•ncia n fornece o nOmero q. O nOmero n • o [ndice da raiz enquanto que o nOmero
q • o radicando (que fica sob o estranho sinai de radical),
Leia a observaq•o seguinte para entender as raz6es pelas quais evito usar o sfmbolo de radical neste trabalho.
Assim:
r = Rn[q] equivale a q = r"
Por defici•ncia da linguagem HTML, que ainda n•o implementou sinais matem•ticos, denotarei aqui a raiz n-
•sima de q pot R"[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um nOmero
racional q por R[q].
A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um nOmero racional q • a operac•o que resulta em um outro nOmero
racional r n•o negativo que elevado ao quadrado seja igual ao nOmero q, isto •, r2=q.
N•o tem sentido R[-1] no conjunto dos nSmeros racionais.
Exemplos:
(a) R31125] = 5 pois 53=125.
(b) R3[-125] = -5 pois (-5)3=-125.
(c) R[144] = 12 pois 122=144.
(d) R[144] n•o • igual a -12 embora (-12)2=144.
................• m
41
Matematica - MSdulo Azul
................. •l nun n
Observa•;•o: N•o existe a raiz quadrada de um n6mero racional negativo no conjunto dos n6meros racionais.
A exist•ncia de um nSmero cujo quadrado seja igual a um n6mero negativo s6 ser• estudada mais tarde no
contexto dos NSmeros Complexos.
Erro comum: Freq•ientemente lemos em materiais did•ticos e at• mesmo ocorre em algumas aulas o
aparecimento de:
R[9] = +3
mas isto est• errado. 0 certo 6:
R[9] = +3
N•o existe um n•mero racional n•o negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um nt•mero
negativo.
A raiz cObica (de ordem 3) de um nOmero racional q • a operac•o que resulta na obtenc•o de um um outro
nOmero racional que elevado ao cubo seja igual ao n6rnero q. Aqui n•o restringirnos os nossos c•lculos s•o
v•lidos para nOmeros positivos, negativos ou o pr6prio zero.
Exemplos:
(a) R318] = 2, pois23=8.
(b) R3[-8] = -2, pois (-2) 3 = -8.
(c) R3127] = 3, pois 33 = 27.
(d) R3[-27]= -3, pois (-3) 3 = -27.
Observa(•o: Obedecendo • regra dos sinais para a multiplicaq•o de nOmeros racionais, concluimos que:
(1) Se o fndice n da raiz for par, n•o existe raiz de nOmero racional negativo.
(2) Se o fndice n da raiz for fmpar, 6 possfvel extrair a raiz de qualquer nSmero racional.
42
Matem&tica - MSdulo Azul
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PRODUTOS NOT EIS E FATORA AO
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•! O USO DAS EXPRESS(•ES ALGEBRICAS
No cotidiano, muitas vezes usamos express6es sem perceber que as mesmas representam express6es
alg•bricas ou num•ricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preqo de um caderno somado ao prec•o de duas canetas, usamos
express6es como lx+2y, onde × representa o pre(•o do caderno e y o preqo de cada caneta.
Num col•gio, ao comprar um lanche, somarnos o preqo de um refrigerante com o preqo de um salgado,
usando express6es do tipo lx+ly onde x representa o preqo do salgado e y o preqo do refrigerante.
Usamos a subtraq•o para saber o valor do troco. Por exemplo, se V • o valor total de dinheiro dispon•vel e
T • o valor do troco, ent•o temos urea express•o alg•brica do tipo V-(lx+ly)=T.
As express6es alg6bricas s•o encontradas muitas vezes em f6rmulas matem•ticas. Pot exemplo, no c•lculo
de •reas de ret•ngulos, tri•ngulos e outras figuras planas.
iExpress•o alg•brica Objeto matem•tico
A=bxh /•rea do ret&ngulo
Figura i/
l
2 •,rea do tri&nguloA=bxh
P=4a Perfmetro do quadradc
ELEMENTOS HISTORICOS
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representaq•o de nOmeros e relacj6es. De acordo com
fontes hist6ricas, os gregos Euclides e Arist6teles (322-384 a.C), usaram as letras para representar nOmeros. A
partir do s•culo XIII o matem•tico italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre LiberAbaci
(o livro do •baco) sobre a arte de calcular, observamos alguns c•lculos alg•bricos.
O grande uso de letras para resurnir mais racionalmente o c•lculo alg•brico passou a ser estudado pelo
matem•tico alern•o Stifel (1486-1567), pelos matem•ticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de
A/gebra publicada em 1572), por•m, foi com o matem&tico franc6s Franqois Vi•te (1540-1603), que introduziu o
uso ordenado de letras nas analogias matem•ticas, quando desenvolveu o estudo do c•lculo alg•brico.
EXPRESS(•ES NUMERICAS
S•o expressSes matem•ticas que envolvem opera(•6es corn nOmeros. Por exemplo:
a = 7+5+4
b = 5+20-87
c = (6+8)-10
d = (5x4)+15
43
Matematica - M6dulo Azul
..............
.............
...... IiU1.11 ..jmr•
•J EXPRESSOES ALGEBRICAS
S•o expressSes matem•ticas que apresentam letras e podem conter n•meros. S•o tamb•m denominadas
expressSes literais. Por exemplo:
A = 2a+7b
B = (3c+4)-5
C = 23c+4
As letras nas expressSes s•o chamadas vari•veis o que significa que o valor de cada letra pode ser
substitufda por um valor num•rico.
• PRIORIDADE DAS OPERA(•(•ES NUMA EXPRESS•,O ALGi:BRICA
Nas opera•6es em uma e×press•o alg•brica, devemos obedecer a seguinte ordem:
1. Potenciaq•o ou Radiciaq•o
2. Multiplica(;•o ou Divis•o
3. Adiq•o ou Subtraq•o
Observa(•6es quanto • prioridade:
1. Antes de cada urea alas tr•s operac•6es citadas, deve-se realizar a operaq•o que estiver dentro dos
par•nteses, colchetes ou chaves.
2. A multiplicaq•o pode ser indicada por x ou por um ponto ¯ ou •s vezes sem sinai, desde que fique
clara a intenq•o da express•o.
3. Muitas vezes devemos utilizar par•nteses quando substitu[mos vari•veis por valores negativos.
Exemplos:
1. Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A • a vari•vel da express•o, 5 • o valor num•rico da vari•vel e 20 • o valor num•rico da
express•o indicada pot P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A=2.9+10= 18+10= 28
Se A=9, o valor num•rico de P=2A+10 • igual a 28.
2. Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor num•rico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
3. Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=I. Ent•o:
Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14
Se C=-2 e D=I, o valor num•rico de Y=18-C+9+D+8C, • 14.
Conclus•o: O valor num•rico de uma express§o alg•brica • o valor obtido na express•o quando substitu[mos a
vari•vel por um valor num•rico.
•J EXEMPLOS:
1. Um tri•ngulo eqiJil•tero possui os tr•s lados com mesma medida. Calcular o per[metro de um tri•ngulo
eqLiil•tero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perimetro de um triangulo equil•tero pode ser representado
por uma express•o alg•brica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta express•o, obtemos
P--3 x 5cm= 15cm.
44
Matem•tica - MOdulo Azul
_•
....•m Im m m
2. Para obter a 6rea do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a express•o algfibrica para a 6rea do
quadrado de lado L que • A=LxL=L2. Assim, se L=Tcm, ent•o A=7x7=49cm 2.
Observa•,•o: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da •rea mudar& para A=8x8-64cm2.
3. Escreva expressSes algfibricas para representar o perfmetro de cada uma das figuras abaixo:
m
x ka
t
x
4. Se a letra y representa um nOmero natural , escreva a e•.press•o atg•brica que representa cada um dos
seguintes fatos:
a. O dobro desse n6mero.
b. Osucessor desse n5mero.
c. O antecessor desse nSmero (se existir).
d. Um ter(•odo nSmero somado corn seu sucessor.
5. Como caso particular do exerdcio anterior, tome y=9 e calcule o valor num•rico:
a. dodobrodey
b. do sucessor de y
c. do antecessor de y
d. da terra parte de y somado corn o sucessor de y
6. Calcular a •rea do trap•zio ilustrado na figura, sabendo-se que esta •rea pode ser calcu]ada pela express•o
alg@brica A=(B+b)xh/2,onde B @ a medida da base maior, b • a medida da base menor e h @ a medida da
altura.
MONOMIOS E POLINOMIOS
S•o express6es matem•ticas especiais envolvendo valores num•ricos e literais, onde podem aparecer
somente opera¢6es de adi¢•o, subtra¢•o ou multiplicac•o. Os principais tipos s•o apresentados na tabela:
i mon6mio
'• bin6mio
i trin6mio
polin6mio
um i! m(x,y) = 3 xy
¯ b(x,y) - 6 x2y 7y
tr•s f(x) = a x2 + bx + c
v•rios p(x)=aoxn÷alxn•+a2xn'2÷...+a..•x+a.
IDENTIFICA•.•O DAS EXPRESSOES ALGF:BRICAS
Com muita freq•ncia, as express6es alg•bricas aparecem na forma:
3x•y
onde se observa que ela depende das vari•veis literais x e y, mas • importante identific•-las corn homes
como:
p(x,y) = 3xZy
para deixar claro que esta • uma express•o alg•brica que depende das vari•veis x e y.
Esta forma de nota¢•o • muito 5til e nos leva ao conceito de funq•o de v•rias vari•veis que • um dos
conceitos mais importantes da Matem6tica.
45
Matematica - M6dulo Azul
VALOR NUMI=RICO DE UMA EXPRESSAO ALGEBRICA IDENTIFICADA
I• o valor obtido para a express•o, ao substituir as vari•veis literais por valores num•ricos.
Exemplo: Tomando p(x,y)=3x2y, ent•o para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2)=3X72 X 2= 294
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-I e y=5, teremos outro valor num4rico:
p(-1,S)=3x(-1) 2 x 5=3x5= 15
mas dependendo da mudanqa de x e de y, podeffamos ter o mesmo valor num•rico que antes. Se x=-7 e y=2,
teremos:
p(7,2) = 3 x (-7) 2 x 2 = 294
• A REGRA DOS SINAIS (MULTIPLICAI•AO OU DIVISAO)
(+1) x (+1) = +1
(+I) x (-i) = -i
(-i) x (+i) = -I
(-I) x (-I) = +I
(+i) ÷ (+i) = +i
(+i) + (-i) = -i
(-i) + (+i) = -I
(-I) + (-I) = +i
•j REGRAS DE POTENCIA•AO
Para todos os n•meros reais x e y diferentes de zero, e, m e n n•meros inteiros, tem-se que:
•j ELIMINAI•AO DE PARENTESES EM MONOMIOS
Para eliminar os par•nteses em uma express•o alg4brica, deve-se multiplicar o sinai que est• fora (e antes)
dos par•nteses pelo sinai que est• dentro (e antes) dos par•nteses com o uso da regra dos sinais. Se o
mon6mio n•o tem sinai, o sinai • o positivo. Se o mon6mio tem o sinai +, o sinai • o positivo.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = - 11x
B=-(4x)+(+7x) =-4x+7x= 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = - 3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
46
Matem•tica - MOdulo Azul
OPERA(;(•ES COM EXPRESSOES ALGI•BRICAS DE MONOMIOS
1. Adi•o ou Subtra•o de Monbmios
Para somar ou subtrair de mon6mios, devemos primeiramente eliminar os par•nteses e depois realizar as
opera(;6es.
Exemplos:
1. A=-(4x)+(-7x)=-4x-7x=-11x
2. B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
3. C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x
4. D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
2. Multiplica•;•o de Monbmios
Para multiplicar mon6mios, deve-se primeiramente multiplicar os valores num•ricos observando com muito
cuidado a regra de multiplica(;•o dos sinais, multiplicar as pot6ncias literais de mesma base e escrever a
resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1. A = -(4x2y).(-2xy) = +8x3y 2
2. B=-(4x2y).(+2xy) =-8x3y2
3. C = +(4x2y).(-2xy) = -8x3y 2
4. D = +(4x2y).(+2xy) = +Sx3y2
3. Divis•o de Mon6mios
Para dividir mon6mios, deve-se primeiramente dividir os valores num•ricos observando com muito cuidado a regra de
divis•o dos sinais, dividir as pot6ncias literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1. A = -(4x2y)+(-2xy) = 2x
2. B =-(4x2y)+(+2xy)=-2x
3. C = +(4x2y)+(-2xy) = -2x
4. D = +(4x2y)+(+2xy) = 2x
4. Potencia(•o de Mon6mios
Para realizar a potencia(;•o de um mon6mio, deve-se primeiramente realizar a potenciac;•o do valor
num•rico levando em considera(;•o o sinai, tomar as pot6ncias literais e escrever a resposta de urea forma
simplificada:
Exemplos:
1. A =(+4x2y) 3= 43 x2y x2y 2y = 256 xe y3
2. B =(-4x2y) 3 = -43x2y x2y x2y = -256x6 y3
ALGUNS PRODUTOS NOTAVEIS
1. Quadrado da soma de dois termos
Sabemos que x2=x.x, y2=y.y, mas n•o • verdade que
x2 + y2 = (x+y)2
a menos que um dos dois termos seja nulo. Este • um erro muito comum, mas o correto •:
(x+y) 2 = x2 + 2xy + y2
Isto significa que o quadrado da soma de dois n•meros sem sempre • igual • soma dos quadrados desses
nt3meros.
Existe um algoritmo matem•tico que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo
semelhante •quele que permite obter o quadrado de um nOmero corn dois digitos. Por exemplo, o nOmero 13
10+3
10-3
+10.3+32
102+10.3
102+2.10.3+•j
m •
pode ser decomposto em 10+3:
x+y
x+v
+xy+y2
x2+x¢
x2+2xy+y2
47
Matematica - M6dulo Azul
Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, 4 a soma do quadrado do primeiro termo com
o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo polo segundo termo. Em resumo:
(x+y) 2 = x 2 + 2xy + y2
Exemplos:
(x+8) 2 = x2+2.x.8+82 = x2+16x+64
(3k+y) 2 = (3k)2+2.3k.y+y 2 = 9k2+6ky+y 2
(1+x/5) 2 = 1+ 2x/5 +x2/25
Exercicios: Desenvolver as express6es:
(a+8)2 =
(4y+2) 2 =
(9k/8 +3) 2 =
Pensando um pouco:
1. Se (x+7)2=x2+[ ]+49, qual 4 o termo que dove ser colocado no lugar de [ ]?
2. Se (5a+[ ])2 = 25a2+30a+[ ], quais s•o os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
3. Se ([ ]+9) 2 = x2+[ ]+81, quais s•o os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
4. Se (4b+[ ])2 = 16b2+36b+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
5. Se (c+8)2=c2+[ ]+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
2, quadrado da diferen•;a de dois termos
Como um caso particularda situaq•o anterior, o quadrado da diferen•a de x e y 4 igual ao quadrado de x
somado corn o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
(x-y) z = x2 - 2xy + y=
Exemplos:
(x-4) 2 = x2-2.x.4+42 = x2-8x+16
(9-k)2 = 92-2.9.k+k2 = 81-18k+k2
(2/y-x) 2 = (2/y)2-2.(2/y).x+x2
Exercicios: Complete o que falta.
(5x-9) 2 =[ ]
(k-6s) 2 =[ ]
(p_[ ])2 = p2_10p+ [ ]
3. Produto da soma pela diferen(;a de dois termos
Vamos utilizar o mesmo algoritmo j• usado para o produto da soma de dois termos.
.......
[•.-.-• •TT•.. 7-=-•,•-•.T • .................................................
/ 10 +3
•#iiiiiiii• iiiiiii •i iiiii •ii!#!!!!•i/iiiiiiiiiii!ll!//•iiiii• i•iiii•i•i•
X-V •1 10 3
-xy-y z •! -10,3-3• 2X2"J"X• • •e• • •l 10 "['10 ••iiiii•ii•iiiiiiiiiiii;iii•iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii;i•ii•!i•iiiiiiiiii!•!i•!• •iiiil•iiiiiiiiii/•. 1 -- *'•
X2 _y2 102 _ 32
•i!iiiiiii•iii•i•iii•iiiiii•iii•iiiiiiiiiiiiiiii;iiiii•ii•ii•i•ii•ii•!!!!•I•i•••ii•ii/iiiii/i•i•i• t
Em geral, o produto da soma de x e y •la diferen• entre x e y • igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.
(x+y)(x-y) = x¯ - yZ
Exemplos:
(x+2)(x-2) = x•-2x+2x-4 = x2-4
(g-8)(g+8) = g2-8g+8g-64 = g2-64
(k-20)(k+20) = k2-400
(9-z)(9+z) = 81-z2
Exercicios: Complete as express6es:
(6-m)(6+m) =
(b+6)(b-6) =
(6+b)(b-6) =
(6+b)(6-b) =
(lO0-u)(lOO+u) =
.
(u-lOO)(lOO+u) =
u m
48
Matem•tica - MSdulo Azul
EQUAI 6ES, INEQUAI bES E
SISTEMAS DE 1° E 2° GRAU
EQUA( AO DE PRIMEIRO GRAU ......'...................................
Para resolver um problema matem•tico, quase sempre devemos transformar urea senten(•a apresentada
corn palavras em urea sentenc_,a que esteja escrita em linguagem matem•tica. Esta • a parte mais importante e
talvez seja a mais diffcil da Matem•tica.
Senten(•a corn palavras ! Sentenqa matem•tica I
Norrnalmente aparecem letras conhecidas como vari•veis ou inc6gnitas. A partir daqui, a Matem•tica se
posiciona perante diferentes situac•Ses e ser• necess•rio conhecer o valor de algo desconhecido, que • o
objetivo do estudo de equac•6es.
ij EQUAI•OES DO PRIMEIRO GRAU EM 1 VARIAVEL
Trabalharemos corn uma situaq•o real e dela tiraremos algumas informaq6es importantes. Observe a
balan•a:
A balanc,a est• equilibrada. No prato esquerdo h• um "peso" de 2Kg e duas melancias corn "pesos" iguais.
No prato direito h• um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?
2 melancias + 2Kg = 14Kg
Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equa(•o
poder• ser escrita, do ponto de vista matem•tico, como:
2x + 2 = 14
Este • um exemplo simples de uma equag•o contendo uma vari•vel, mas que • extremamente •til e
aparece na maioria das situaqSes reais. Valorizeeste exemplo sirnples.
Podemos ver que toda equaq•o tern:
¯ Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que s•o denominadas vari&veis ou inc6gnitas;
¯ Um sinai de igualdade, denotado por =.
¯ Uma express•o • esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;
¯ Uma express•o • direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.
Nas ExpressSes AIg•bricas, estudamos v•rias situaq6es contendo vari•veis. A letra x 6 a inc6gnita da
equaq•o. A palavra incdgnita significa desconhecida e equa•o tem o prefixo equa que prov•m do Latim e
significa igua/.
lo. membro sinai de igualdade l 2o. membro
As express6es do primeiro e segundo membro da equaq•o s•o os termosda equaq•o.
........................
-
I m
49
Matematica - MSdulo Azul
Para resolver essa equaq•o, utilizamos o seguintE obter o valor d• x.
•o original
s 2 dos dois membros
por 2 os dois membros
Observa(•Eo: Quando adicionamos (ou subtrafmos) valores iguais em ambos os membros da equa•o, ela
permanece em equilfbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equaq•o pot
um valor n•o nulo, a equaq•o permanece em equilfbrio. Este processo nos permite resolver uma equaq•o, ou
seja, permite obter as rafzes da equaq•o.
Exemplos:
1. A soma das idades de Andr• e Carlos • 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que
Andr• 6 4 anos mais novo do que Carlos.
Soluq•o: Primeiro passamos o problema para a linguagem matem•tica. Vamos tomar a letra c para a idade de
Carlos e a letra a para a idade de Andr6, logo a=c-4. Assim:
c+a=22
c+(c-4)=22
2c- 4 = 22
2c-4+4=22+4
2c = 26
c= 13
Resposta: Carlos tem 13 anos e Andr• tem 13-4=9 anos.
2. A populaq•o de uma cidade A • o triplo da popula•o da cidade B. Se as duas cidades juntas t•m uma
populaq•o de 100.000 habitantes, quantos habitantes tern a cidade B?
Soluc•o: Identificaremos a populaq•o da cidade A com a letra a e a populaq•o da cidade com a letra b.
Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:
a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
Resposta: Como a=3b, ent•o a populaq•o de A corresponde a: a=3x25.000=75.000 habitantes.
3. Uma casa com 260m2 de •rea construida possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual • a •rea de cada
quarto, se as outras depend6ncias da casa ocupam 140mZ?
Soluc•o: Tomaremos a •rea de cada dormit6rio com letra x.
3x+ 140=260
3x = 260 -140
3x = 120
x=40
Resposta: Cada quarto tern 40m 2.
Exercicios: Resolver as equaq6es
1.2x+4= 10
2.5k-12 =20
3.2y+ 15-y=22
4.9h-2= 16+2h
5O
Matem•tica - M6dulo Azul
m• I I m
DESIGUALDADES DO PRIMEIRO GRAU EM 1 VARIAVEL
Relacionadas com as equaq6es de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (tamb•m
denominadas inequa•6es) que s•o express6es matem•ticas em que os termos est•o ligados per um dos quatro
sinais:
< I menor
!
......................................
T:> t maior
i '•-
...............
-I menor ou igual
::•---•-! major ou igual
Nas desigualdades, o objetivo • obter um conjunto de todas os possfveis valores que pode(m) assumir uma
ou mais inc6gnitas na equa(•o proposta.
Exemplo: Determinar todos os nOrneros inteiros positives para os quais vale a desigualdade:
2x + 2 < 14
Para resolver esta desigualdade, seguirernos os seguintes passes:
Passe 1 •" Escrever a equable original¯
...j
Passe 2 • •:!! Subtrair o n•mere 2 dos dois membros t
Passe 3 •2,•' •;•• Oividir pelo n0mero 2 ambos os membros l.......................................................................................
:
Passe 4 ×!•i< • •!• Solu•;•o•iii•i•i!•iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!i•!i•iiiiiiiiiiiiiiiiii•Ji•ii!i!•iiiiiiiiiiiiiiiiiiii•iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!i/iiiiiiiiiiiiiiiiiii••iiiiiiiiii: • j
Concluimos que o conjunto soluc•o • formado per todos os n•meros inteiros positives menores do que 6:
S = {1, 2, 3, 4, 5}
Exemplo: Para obter todos os n•meros pares positives que satisfazem • desigualdade
2x + 2 < 14
obteremos o conjunto solu(;•o:
Observa•o: Se h• mais do
"disfarc;adas" em uma.
Exemplo: Para determinar todos os nOmeros inteiros positives para os quais valem as (duas) desigualdades:
12<2x+2<20
poderemos seguir o seguinte processo:
..........................................................................
Equable original i
Subtraimos 2 de todos os membros
Dividimos per 2 todos os membros
S = {2, 4}
que um sinai de desigualdade na express•o, temos v,•rias desigualdades
Solu•.•o
0 conjunto solu£:•o •:
S = {6, 7, 8, 9}
Exemplo: Para obter todos os nOmeros inteiros negatives que satisfazem •s (duas) desigualdades
12<2x+2<20
obteremos apenas o conjunto vazio, corno soluq•o, isto •:
s=o={}
51
Matematica - Modulo Azul
• DESIGUALDADES DO PRIMEIRO GRAU EM 2 VARIAVEIS
Uma situa•o comum em aplica•6es • aquela em que temos urea desigualdade envolvendo uma equaq•o
corn 2 ou mais inc6gnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 inc6gnitas x e y. Uma forma geral
t[pica, pode ser:
ax+by<c
onde a, b e c s•o valores dados.
Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de nOmeros reais para os quais:
2x + 3y>0
observamos que o conjunto soluq•o cont•m os pares:
(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...
H• infinitos pares ordenados de nSmeros reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna imposs[vel
exibir todas as soluqSes. Para remediar isto, utilizaremos um processo geom•trico que permitir• obter uma
soluq•o geom•trica satisfat6ria.
Processo geombtrico:
1) Tra•mos a reta 2x+3y=0;
2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;
3) Se (1,1) satisfaz & desigualdade 2x+3y>0, colorimos a regi•o que cont•m este ponto, caso contr•rio,
colorimos a regi•o que est• do outro lado da reta.
4) A regi•o colorida • o conjunto solu(•o para a desigualdade.
I
i
i li.-
X
SISTEMAS LINEAR DE EQUA•(•ES DO PRIMEIRO GRAU
Uma equac•o do primeiro grau, • aquela em que todas as inc6gnitas est•o elevadas • pot•ncia 1. Este tipo
de equaq•o poder• ter mais do que urea inc6gnita.
Um sistema de equac•6es do primeiro grau em duas inc6gnitas x e y, • um conjunto formado por duas
equac•6es do primeiro nessas duas inc6gnitas.
Exernplo: Seja o sistema de duas equa(•6es:
2x+3y=38
3x-2y=18
Resolver este sistema de equa(•6es • o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem
simultaneamente a ambas as equac•6es.
x=10 e y=6 s•o as soluq6es deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de nOmeros
reais:
S = { (10,6) }
•! MI=TODO DE SUBSTITUI•AO PARA RESOLVER ESTE SISTEMA
Entre muitos outros, o m6todo da substitui•o, consiste na id•ia b•sica de isolar o valor alg•brico de uma
das vari•veis, por exemplo x, e, aplicar o resultado & outra equaq•o.
52
Matem&tica - M6dulo Azul
Para entender o m•todo, consideremos o sistema:
2x+3y=38
3x-2y=18
Para extrair o valor de x na primeira equag•o, usaremos o seguinte processo:
Primeira equag•o
SubtraJmos 3y de ambos os membros
Dividimos ambos os membros por 2 i
Este b o valor de x em fun•o de y t
Substituimos agora o valor de x na segunda equaq•o 3x-2y=18:
multiplicamos os termos por 2
reduzimos os termos semelhantes
separamos vari6veis e nOmeros
simp|ificamos a equag•o
Valor obtido para y
...............
Substituindo y=6 na equaq•o x=19-(3y/2), obtemos:
x = 19- (3x6/2) = 19- 18/2 = 19-9 = 10
Exercicio: Determinar a solu•o do sistema:
x+y=2
x-y=O
Cada equac•o do sistema acima pode ser visto como reta no piano cartesiano. Construa as duas retas no
piano e verifique que, neste caso, a solug•o • um par ordenado que per•ence • intersec•o das duas retas.
Problemas com sistemas de equag6es:
1. A soma das idades de Andr• e Carlos • 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que
Andr• • 4 anos mais novo do que Carlos.
Soluc•o: A idade de Andr• ser• tomada corn a letra A e a idade de Carlos corn a letra C. O sistema de equaq6es
ser•:
C+A=22
C-A=4
Resposta: C = 13 eA = 9
2. A populac•o de urea cidade A • o triplo da populac;c•o da cidade B. Se as duas cidades juntas t•m uma
populag•o de 100.000 habitantes, quantos habitantes tern a cidade B?
Solug•o:Identificando a populag•o da ¢idade A corn a letra A e a populag•o da cidade B com B, o sistema de
equag6es ser•:
A+B= 100000
A = 3B
Resposta: A = 75000, B-- 25000.
53
Matematica - M6dulo Azul
....................
I I....[I/
-- -
.
3. Uma casa corn 260m z de •rea constru[da tem 3 dormit6rios de mesmo tamanho. Qual • a •rea de cada
dormit6rio se as outras depend•ncias da casa ocupam 140mZ?
Soluq•o: [dentificaremos a •rea de cada dormit6rio com a letra D e a •rea das outras depend&ncias corn a letra
O. Assim, o sistema ser•:
3D + O = 260
O = 140
Resposta: D = 40
T-iJ DESIGUALDADES COM 2 EQUA•OES EM 2 VARIAVEIS
Outra situac;•o bastante comum • aquela em que existe uma desigualdade com 2 equac;6es em 2 ou mais
inc6gnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equac•6es e 2 inc6gnitas x e y. Uma forma geral
pode ter a seguinte forma tfpica:
ax+by<c
dx+ey>f
onde as constantes: a, b, c, d, e, f; s•o conhecidas.
Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de nOmeros reais para os quais:
2x + 3y > 6
5x + 2y < 20
H• infinitos pares ordenados de n•meros reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossivel
exibir todas as soluc•6es. Para remediar isto, utilizaremos um processo geom•trico que permitir• obter uma
soluc;•o geom•trica satisfat6ria.
Processo geom•trico:
1) Trac•ar a reta 2x+3y=6 (em vermelho);
2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz • primeira desigualdade;
3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);
4) Trac;ar a reta 5x+2y=20 (em azul);
5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o pr6prio par j• usado antes (2,2) (n•o • necess•rio que seja o
mesmo) e observamos que ele satisfaz & segunda desigualdade;
6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a pr6pria reta. (cor azul)
7) Construir a intersec;•o (em vermelho) das duas regi6es coloridas.
8) Esta intersec•o • o conjunto solu¢•o para o sistema com as duas desigualdades.
Esta situa•o gr•fica • bastante utilizada em aplicac•6es da Matem•tica a estudos de Economia e Processos
de otimizac•o.
A FORMULA QUADRATICA DE SRIDHARA (BHASKARA)
Mostraremos na seqQ•ncia como o matem•tico Sridhara, obteve a F6rmula (conhecida como sendo) de
Bhaskara, que • a f6rmula geral para a resoluc•o de equac;6es do segundo grau. Um fato curioso • que a
F6rmula de Bhaskara n•o foi descoberta por ele mas pelo matem•tico hindu Sridhara, pelo menos um s•culo
antes da publicac;•o de Bhaskara, fato reconhecido pelo pr6prio Bhaskara, embora o material construido pelo
pioneiro n•o tenha chegado at• n6s.
O fundamento usado para obter esta f6rmula foi buscar uma maneira de reduzir a equac;•o do segundo
grau a urea do primeiro grau, por meio da extrac;•o de raizes quadradas de ambos os membros da mesma.
54
Matern&tica - MSdulo Azul
I 1
..... l=
Seja a equa(•o:
axZ+bx+c=O
corn a n•o nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x2 + (b/a) x + c/a = 0
Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
x• + (b/a) x = -c/a
Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equaq•o seja um quadrado perfeito e para isto somaremos
o quadrado de b/2a a ambos os membros da equa(•o para obter:
x= + (b/a) x + (b/2a)z = -c/a + (b/2a)2
Simplificando ambos os lados da equa(;•o, obteremos:
[x+(b/2a)] 2 = (b2 - 4ac) / 4a 2
Nota•o: Usaremos a nota•o R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representar• a raiz
quadrada de 5. Esta nota•o est• sendo introduzida aqui para fazer corn que a p•gina seja carregada mais
rapidamente, pois a linguagem HTML ainda n•o permite apresentar nota•6es matem•ticas na Internet de urea
forma f•cil.
Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equa(•o e lembrando que a raiz quadrada de todo nOmero
real n•o negativo • tamb•m n•o negativa, obteremos duas respostas para a nossa equa(•o:
x + (b/2a) = + R[(b=-4ac) / 4a 2]
ou
x + (b/2a) = - R[(bZ-4ac) / 4a =]
que alguns, por pregui•a ou descuido, escrevem:
-b 2 - 4ac
x---
2a
contendo um sinai + que • lido como mais ou menos. Lembramos que este sinai ± n•o tern qualquer significado
em Matem•tica.
Como estamos procurando duas razzes para a equa¢•o do segundo grau, deveremos sernpre escrever:
x' = -b/2a + R[bL4ac]/2a
ou
x" = -b/2a- R[b2-4ac]/2a
A f6rmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:
-b :E ,#rD
2a
onde D (•s vezes usamos a letra maifiscula "delta" do alfabeto grego) fi o discriminante da equaggo do segundo
grau, definido por:
D = b2 - 4ac
EQUA O DO SEGUNDO GRAU i" i'i", +
Uma equaq•o do segundo grau na inc6gnita x • da forma:
aX2 + bx + c= 0
onde os n•meros reals a, b e c s•o os coeficientes da equa•o, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa
equa(j•o • tamb•m chamada de equa•go quadrgtica, pois o termo de major grau est• elevado ao quadrado.
55
Matematica - M6dulo Azul
EQUA(•AO COMPLETA DO SEGUNDO GRAU
Uma equac•o do segundo grau 6 completa, se todos os coeficientes a, b e c s•o diferentes de zero.
Exemplos:
1. 2x2+7x+5=0
2. 3x2+x+2=0
7-a• EQUA(•,O INCOMPLETA DO SEGUNDO GRAU
Uma equac3•o do segundo grau 6 incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equa•o incompleta o
coeficiente a • diferente de zero.
Exemplos:
1. 4.x2÷6x=0
2..3xZ+9=0
3. 2x2 =0
RESOLUI•AO DE EQUA(•OES INCOMPLETAS DO 2° GRAU
Equa96es do tipo ax2=0: Basta dividir toda a equa(•o por a para obter:
xz=O
significando que a equaq•o possui duas raizes iguais a zero.
Equa•6es do tipo ax2+c=O: Novamente dividimos toda a equaq•o por a e passamos o termo constante para
o segundo membro para obter:
x2 = -c/a
Se -c/a for negativo, n•o existe soluq•o no conjunto dos n6meros reais.
Se -c/a for positivo, a equa(•o ter• duas raizes corn o mesmo valor absoluto (m6dulo) mas de sinais contr•rios.
Equa(•6es do tipo ax2+bx=O: Neste caso, fatoramos a equaq•o para obter:
x (ax + b) = 0
e a equaq•o ter• duas ra[zes:
x'=0 ou x"=-b/a
EXEMPLOS GERAIS
1. 4x2=0 tem duas rafzes nulas.
2. 4x2-8=0 tern duas rafzes: x'=R[2], x"= -R[2]
3. 4x2+5=0 n•o tem rafzes reais.
4. 4x2-12x=O tern duas rafzes reais: x'=3, x"=O
Exercicios: Resolver as equac•6es incompletas do segundo grau.
I. x2+6x=O
2. 2x2=0
3. 3x2+7=0
4. 2x2+5=0
5. 10 x 2 = 0
6. 9 x 2 - 18 = 0
• RESOLU(•,O DE EQUA(•I)ES COMPLETAS DO 2° GRAD
Como vimos, uma equaq•o do tipo: ax2+bx+c=0, e uma equaq•o completa do
segundo grau e para resolv•-Ia basta usar a f6rmula quadr•tica (atribufda a Bhaskara),
que pode ser escrita na forrna:
X
56
....m i
oncle D=b2-4ac • o discriminante da equac•o.
Para esse discriminante D h• tr•s possfveis situac•6es:
1. Se D<0, nfio h• soluc•o real, pois n•o existe raiz quadrada real de n6mero negativo.
2. Se D=-0, h• duas soluc•6es iguais:
x' = x" = -b I 2a
3. Se D>0, h• duas solug6es reais e diferentes:
x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a
Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equac•fio do segundo grau,
analisando os tipos de rafzes da equa(•o.
Matematica - Modulo Azul
-I--TX2-10x+25=0 • i l ! /
x2+2x+7=0 -••I•. "--•
x2+2x+1=0 i I
TT i i
•J O USO DA FORMULA DE BHASKARA
Voc• pode realizar o C•lculo das Rafzes da Equa•fio do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e
c em um formul•rio, mesmo no caso em que D • negativo, o que forc•a a exist•ncia de ra[zes complexas
conjugadas.
Mostraremos agora corno usar a f6rmula de Bhaskara para resolver a equa(•o:
x2-5x+6=0
1. Identificar os coeficientes: a=l, b= -5, c=6
2. Escrever o discriminante D = b2-4ac.
3. Calcular D=(-5)2-4xlx6=25-24=1
4. Escrever a f6rmula de Bhaskara:
-b 4- • - 4ac
X•
2a
5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na f6rmula:
x'= (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3
x"= (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2
EXERCICIOS
1. Calcular o discriminante de cada equacfio e analisar as rafzes em cada caso:
a. x2+9x+8=0
b. 9x2-24x+ 16=0
c. x2-2x+4=0
d. 3x2-15x+ 12=0
e. 10x2+72x-64=0
2. Resolver as equa¢6es:
a. x2+6x+9=0
b. 3x2-x+3=0
C. 2X 2 -2X- 12 = 0
d. 3x2-10x+3=0
l nm
57
Matematica - M6dulo Azul
l•ll m m mmm
EQUA¢()ES FRACIONARIAS DO SEGUNDO GRAU
S•o equaq6es do segundo grau corn a inc6gnitaaparecendo no denominador.
Exemplos:
1. 3/(x2-4)+ 1/(x-3)=O
2. 3/(x2-4)+ 1/(x-2)=0
Para resolver este tipo de equa(•o, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os
denominadores, uma vez que tais valores n•o servir•o para as rafzes da equaq•o, pois n•o existe frac•o corn
denominador igual a O. Na seq(3•ncia extrafmos o mfnimo m61tiplo comum de todos os termos dos
denominadores das frac•6es, se houver necessidade.
1. Consideremos o primeiro exemplo:
3/Cx2 - 4) + 1/(x- 3) = 0
x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o minimo m•ltip/o comum
entre os termos como:
MMC(x) = (x2 - 4)(x - 3)
Reduzindo as fracases ao mesmo denominador que dever• ser MMC(x), teremos:
[3(x-3) + 1(x2-4)] / (xZ'4)(x"3) = 0
o que significa que o numerador dever• ser:
3(x-3)+1(x2-4)=0
que desenvolvido nos d•:
x2"l" 3x- 13 = 0
que • uma equaq•o do segundo grau que pode ser resolvida pela f6rmula de Bhaskara. N•o existir•o n6meros
reais satisfazendo esta equaq•o.
2. Consideremos agora o segundo exemplo:
(x+3)/(2x-1) = 2x/(x+4)
0 mfnimo m61tiplo comum entre 2x-1 e x+4 • MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente
se anular• se x=1/2 ou x=-4. Multiplicando os termos da equaq•o pelo MMC, teremos uma seqO•ncia de
expressSes como:
(x+3)(x+4)=2x(2x-1)
x2+7x+ 12=4x2-2x
-3x2+9x+ 12=0
3x2-9x- 12=0
x 2 - 3x - 4 = 0
(x-4)(x+l) = 0
Soluc•o: x'=4 ou x"= -1
3. Estudemos outro exemplo:
31 (x2-4) + 11 (x-2) =0
0 m[nimo m61tiplo comum • MMC=x2-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anular• se x=2 ou x=-2.
Multiplicando os termos da equaq§o pelo MMC, obteremos:
3 + (x+2)=O
cuja solu(•o • x= -5
Exercicios: Resolver as equaq6es do segundo grau fracion•rias:
1. x+6/x=-7
2. (x+2)/(x+l) = 2x/(x-4)
3. (2-x)/x + 1Ix 2 = 3Ix
4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1
58
Matem•tica - M6dulo Azul
................... m Ill.•'r
FUN OES E GRAFICOS DE 1° E 2° GRAU
APLICA•OES DAS RELAqOES E FUN•OES NO COTIDIANO
Ao lermos urn jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gr&ficos, tabelas e ilustrac;6es.
Estes, s•o instrumentos muito utilizados nos meios de comunicac•o. Um texto corn ilustraq6es, • muito mais
interessante, chamativo, agrad•vel e de f•cil compreens•o. N•o 6 s6 nos jornais ou revistas que encontramos
gr•ficos. Os gr•ficos est•o presentes nos exames laboratoriais, nos r6tulos de produtos alimentfcios, nas
informac;Ses de composi(;•o qufmica de cosm•ticos, nas bulas de rem•dios, enfim em todos os lugares. Ao
interpretarmos estes gr•ficos, verificamos a necessidade dos conceitos de piano cartesiano,
O Sistema ABO dos grupos sangCifneos • explicado pela recombinaq•o gen•tica dos alelos (a,b,o) e este
um bom exemplo de urea aplica(•o do conceito de produto cartesiano. Uma aplica(;•o pr•tica do conceito de
relacgo • a discuss•o sobre a intera(;•o de neur6nios (c•lulas nervosas do c•rebro).
Ao relacionarmos espaqo em funq•o do tempo, n6mero do sapato em funq•o do tamanho dos p•s,
intensidade da fotossfntese realizada por uma planta em fun(;•o da intensidade de luz a que ela • exposta ou
pessoa em func;•o da impress•o digital, percebemos qu•o importantes s•o os conceitos de fun•6es para
compreendermos as relac;6es entre os fen6menos fisicos, biol6gicos, sociais...
Observamos ent•o que as aplicaq6es de piano cartesiano, produto cartesiano, relaq6es e func;6es est•o
)resentes no nosso cotidiano.
21
20
19
18
17
16
15
14
13
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
Valores assumidos por uma aq•o numa Bolsa de Valores
0 PLANO CARTESIANO
Referbncia hist6rica: Os nomes Piano Cartesiano e Produto
Cartesiano s•o homenagens ao seu criador Ren• Descartes (1596-1650),
fil6sofo e matem•tico franc•s. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius,
dai veto o nome cartesiano.
O piano cartesiano ortogonal d constitufdo por dois eixos x e y
perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal • o eixo
das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical • o eixo das ordenadas (eixo OY).
Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os n6meros reais, obt•m-
se o piano cartesiano ortogonal.
Cada ponto P=(a,b) do piano cartesiano • formado por um par
ordenado de nOmeros, indicados entre par•nteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado
representa as coordenadas de um ponto.
59
Matematica - M6dulo Azul
O primeiro nSmero indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou
para a esquerda (se negativo).
,y
b
O b x
O segundo nOmero indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se
negativo). Observe no clesenho que: (a,b) =• (b,a) se a =• b.
Os dois eixos dividem o piano em quatro regi6es denominadas quadrantes sendo que tais eixos s•o
retas concorrentes na origem do sistema formando um •nguloret0 (90 graus). Os nomes dos quadrantes s•o
indicados no sentido anti-hor•rio, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil.
i Primeiro
i Segundo
Terceiro
-Qua_.rt°
!iiiiiiiiiiiii +i
I nSo iem•o tem f(0,0) i
"1
i + i + I(2,4) i
!- + +
PRODUTO CARTESIANO
Dados dois conjuntos A e B n•o vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB,
como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao prirneiro conjunto A e y
pertence ao segundo conjunto B.
AxB = { (x,y): xEAeyE B }
Observe que AxB • BxA, se A • n•o vazio ou B • n•o vazio. Se A=O ou B=•, por definic•o: AxO=•=•xB.
Se A possui m elementos e B possui n elementos, ent•o AxB possui mxn elementos.
Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, ter& 12 pares ordenados e ser• dado por:
AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}
RELA(•(•ES NO PLANO CARTESIANO
Sejam A e B conjuntos n•o vazios. Uma relaq•o em AxB • qualquer subconjunto R de AxB.
2 +
1
-l• + •-•
6O
Matern&tica - M6dulo Azul
A relaq•o mostrada na figura acima •:
R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }
Uma relag•o R de A em B pode ser denotada por R:A-->B.
Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano • AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, ternos
algurnas relac•6es em AxB:
1. R1={(1,3),(1,4)}
2. R2={(1,3)}
3. R3={(2,3),(2,4)}
•t DOMINIO E CONTRADOMINIO DE UMA RELA(•AO
As rela•6es mais importantes s•o aquelas definidas sobre conjuntos de n6meros reais e nem sempre
uma relac•o est• definida sobre todo o conjunto dos nOmeros reais. Para evitar problemas como estes,
costuma-se definir uma relac•o R:A--)B, onde A e B s•o subconjuntos de R, da seguinte forma:
O conjunto A • o domfnio da rela¢•o R, denotado por Dom(R) e B • o contradomfnio da relaq•o,
denotado por CoDom(R).
Dom(R) = { x E A: existe y em B tal que (x,y) • R}
Im(R)={ y (= B" existe x E A tal que (x,y) E R}
P ,].ooo+ .....
-+i+O0 +O ,+
Dominio j
RepresentaqSes gr•ficas de relac•6es em AxB:
RI= {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}
R2= {(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}
R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}
61
Matem&tica - M6dulo Azul
•J RELA(•6ES QUE NAO SAO FUN(•6ES
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A rela•o
R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }
n•o • uma fun•;•o em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que s•o 1 e 3.
ii!i
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A rela¢•o
R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }
n•o • uma fun(;•o em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A est•o associados a elementos
do segundo conjunto B.
Na seq06ncia, apresentaremos alguns exemplos importantes de fun¢6es reais
iJ FUN(•(•ES AFIM E LINEARES
Fun¢;•o afim: Sejam a e b n0meros reais, sendo a n•o nulo. Uma func;•o afim • uma func;•o f:R---)R que para
cada x em R, associa f(x)=ax+b.
Y
O X
Exemplos:
1. f(x)=-3x+l
2. f(x)=2x+7
3. f(x)=(l/2)x+4
Se b • diferente de zero, o gr•fico da fun¢•o afim • uma reta que n•o passa pela origem (0,0).
Fun¢•o linear: Seja a um n0mero real. Uma fun¢•o linear • uma fung•o f:R--->R que para cada x em R, associa
f(x)=ax.
0.5•
-1 1
62
Matematica - M6dulo Azul
........
•11 mr I1 •llmM•,I•1• •l j
Exernplos:1. f(×)=-3x
2. f(x)=2x
3. f(x)=x/2
0 gr•fico da func•o linear • uma reta que sempre passa pela origem (0,0).
• FUN(•.•O IDENTIDADE
t• uma func•o f:R--')R que para cada x em R, associa f(x)=x. O gr•fico da Identidade • uma reta que divide o
primeiro quadrante e o terceiro quadrante em duas partes iguais.
•! FUN(•0ES CONSTANTES
Seja b um n0mero real. A fun(•o constante associa a cada xER o valor f(x)=b.
y•
3
Exemplos:
i.
2.
3.
-@
-1 0 1 2 x
f(x) = 2
f(×)=1
f(x) =-7
f(×)=O
0 gr•fico de urea funq•o constante • urna reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).
•J FUN(•(•ES QUADRATICAS
Sejam a, b e c n•meros reais, com a n•o nulo. A funq•o quadr•tica • uma funq•o f:R---)R que para cada x em R,
f(×) =ax2 +bx+c.
-2 -1 ol 1 2 x
63
Matematica - M6dulo Azul
Exemplos:
1.
2.
3.
4.
f(x) =ו
f(x)=-4 x2
f(x)=x2-4x+3
f(×)=-x2+2x+7
O gr•fico de uma funq•o quadr•tica • uma curva denominada parabola.
DOMINIO, CONTRADOMINIO E IMAGEM DE UMA FUN(•,O
Como nem toda relac•o • uma fun(•o, •s vezes, alguns elementos poder•o n•o ter correspondentes associados
para todos os n6meros reals e para evitar problemas como estes, costuma-se definir o Dominio de uma func•o
f, denotado por Dom(f), como o conjunto em que esta rela(•o f tern significado.
Consideremos a funq•o real que calcula a raiz quadrada de um n6mero real. Deve estar claro que a raiz
quadrada de -1 n•o • um n6mero real, assim como n•o s•o reais as rafzes quadradas de quaisquer n6meros
negativos, dessa forma o domfnio desta funq•o s6 poder• ser o intervalo [0,CK•), onde a raiz quadrada tem
sentido sobre os reais.
Como nem todos os elementos do contradomfnio de uma funq•o f est•o relacionados, define-se a Imagem de f,
denotada por Im(f), como o conjunto de todos os elementos do contradomfnio que est•o relacionados com
elementos do domfnio de f, isto •:
Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }
Observe que, se uma relaq•o R • uma func•o de A em B, ent•o A • o domfnio e B • o contradomfnio da func•o
e se x • um elemento do dominio de uma funq•o f, ent•o a imagem de x • denotada por f(x).
Exemplos: Cada funq•o abaixo, tem caracterfsticas distintas.
1. f: R---)R definida por f(x)=x 2
Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,OC))
2. f: [0,2]---)R definida pot f(x)=x2
Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]
3. A funq•o modular • definida por f:R---)R tal que f(x)=lxl, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,OO) e
seu gr•fico • dado por:
•y
4 x
4. Uma semi-circunfer•ncia • dada pela funq•o real f:R--)R, definida por
Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gr•fico 6 dado por:
2
64
Matem&tica - M6dulo Azul
--
I n•uImml gn ...................... uli
•J FUN(•6ES INJETORAS
Uma funq•o f:A-->B • injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas
em B, isto 6:
[ xl=•'•x2 implica que f(xl)•f(x2) 1
ou de forma equivalente
{ f(x,)=f(x2) implica que x,=x2 ]
Exemplos:
1. A func•fio f:R--->R definida por f(x)=3x+2 • injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x,
obtemos dois valores diferentes para f(x).
2. A fun•o f:R•R definida por f(x)=x2+5 n•o • injetora, pois para x=l temos f(1)=6 e para x=-i temos f(-1)=6.
•! FUN(•OES SOBREJETORAS
Uma func•o f:A---)B • sobrejetora se todo elemento de B • a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto
equivale a afirmar que a imagem da funq•o deve ser exatamente igual a B que • o contradominio da funq•o, ou
seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x).
Exemplos:
1.
2.
3.
• FUN¢OES BIJETORAS
Urea func•o f:A•13 • bijetora se ela • ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo: A fung•o f:R--->R dada por f(x)=2x 6 bijetora, pois 6 injetora e bijetora.
•J FUN(•OES PARES E IMPARES
A fung•o f:R--')R definida por f(x)=3x+2 6 sobrejetora, pois todo elemento de R 6 imagem de um
elemento de R pela fungfio.
A funq•o f:R--->(0,OO) definida pot f(x)=x= 6 sobrejetora, pois todo elemento pertencente a (0,OO)
imagem de pelo menos um elemento de R pela fung•o.
A funq•o fiR---)R definida por f(x)=2x n•o 6 sobrejetora, pois o n6mero -1 6 elemento do
contradom{nio R e n•o 6 imagem de qualquer elemento do dom•nio.
Funqfio par: Uma func•fio real f 6 par se, para todo x do dom[nio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma func•fio par
possui o grcifico sim•trico em relac•fio ao eixo vertical OY.
//-I•
1 2x
Exemplo: A fun(•o f(x)=x2 • par, pois f(-x)=x2=f(x).
a
Observe o gr•fico de f! outra funqfio par • 10
g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).
Funq•o •mpar: Uma func•o real f • impar se, para 5
todo x do dominio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Urea
fun(•o [mpar possui o gr•fico sim•trico em rela(•o fi
origem do sistema cartesiano. -•'• -" •"
Exemplo: As funq6es reais f(x)=Sx e g(x)=sen(x) s•o
(mpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-
x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gr•fico para observar a "/ -1•
simetria em rela¢•o fi origem.
0.6
0.4
0.2
X051 x
65
Matematica - M6dulo Azul
FUN•I•ES CRESCENTES E DECRESCENTES
Funq•o crescente: Urea funq•o f • crescente, se quaisquer que sejam x e y no Dominio de f, corn x<y, tivermos
f(x)<f(y). Isto •, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela funq•o tamb•m aumenta.
Exernplo: Seja a func;•o f:R•R definida por f(x)=8×+2. Para os valores: a=l e b=2, obtemos f(a)=10 e
f(b)=18. Como o gr•fico de f • uma reta, a<b e f(a)<f(b) ent•o a funq•o • crescente.
y k
•o . y aumenta
5
--5 • Xy o•m• Ul
Func;•o decrescente: Uma funq•o f • decrescente, se para quaisquer x e y do Dominio de f, com x<y, tivermos
f(x)>f(y). Isto •, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela funq•o f diminuem.
Exemplo: Seja a func;•o f:R--)R definida por f(x)=-8x+2. Para a=l e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o
gr•fico de f • uma reta, a<b e f(a)>f(b), a funq•o • decrescente.
•J FUNC•OES COMPOSTAS
Dadas as funq6es f:A---)B e g:B--)C, a composta de f com g, denotada por g©f, • a fun(;•o definida por
(g©f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f'. Para que a composi•o ocoFra o CoDom(f)=Dom(g).
A B
C
-I1,
gof
Exemplo: Sejam as funq6es reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composiq6es fog e gof s•o poss[veis
e neste caso ser•o definidas por:
(f©g)(x)=f(g(x))=g(7x-4) =4(7x-4)+2=28x-14
(g©f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+ 10
Como a vari•vel u n•o • importante no contexto, ela pode ser substituida por x e teremos:
(g©f)(x) =g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4= 28x+ 10
Observac;•o:Em geral, f©g • diferente de g©f.
Exemplo: Consideremos as fun¢6es reais definidas por f(x)=x2+l e g(x)=2x-4. Ent•o:
(f©g)(x) =f(g(x))=f(2x-4)= (2x-4) 2 + 1--4x2-16x+ 17
(g©f)(x)=g(f(x))=g(x2+1)=2(x2+1)-4=2x2-2
• FUN•OES INVERSAS
Dada uma funq•o bijetora f:A---)B, denomina-se func;•o inversa de f • fun(;•o g:B•A tal que se f(a)=b, ent•o
g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a func;Eo inversa de f pot f-1.
Observaq•o importante: Se g • a inversa de f e f • a inversa de g, valem as relac;6es:
g©f=IA e f©g=IB
66
Matematica - M6dulo Azul............
•l
...............
I
onde IA e IB S•O, respectivamente, as fun(•6es identidades nos conjuntos A e B. Esta caracterfstica aig•brica
permite afirmar que os gr•ficos de f e de sua inversa de g s•o sim•tricos em relaq•o • funq•o identidade (y=x).
Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a fun(;•o f:A---)B definida por f(x)=2x e g:B---)A definida por
g(x)=x/2. Observemos nos gr•ficos as situag6es das setas indicativas das ac;6es das fun(•6es.
Obtenq•o da inversa: Seja f:R•R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y e y
por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 • a fun(•o inversa de f(x)=x+3. Assim
fog=gof=Identidade. Com o gr•fico observamos a simetria em rela•o • reta identidade.
Y /
/) -
/
OPERA(;OES COM FUNI•I•ES
Dadas as func•6es f e g, podemos realizar algumas operac•6es, entre as quais:
¯ (f+g)(x) = f(x)+g(x)
¯ (f-g)(x) = f(x)-g(x)
¯ (f.g)(x) = f(x).g(x)
¯ (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x)=#0.
FUNI•OES POLINOMIAIS
Uma func•o polinomial real tem a forma
f(x) = anxn + an.1xn'l + ... + alx+ ao
sendo Dom(f)=R, CoDom(0=R e Im(f) dependente de f.
Observa(•o: A •rea de um quadrado pocle ser representada pela funq•o real
f(x)=x 2 em que x • a medida do lado do quadrado e o volume de um cubo
pode ser dado pela fun(;•o real f(x)=x 3 onde x • a medida da aresta do cubo.
Esta • a raz•o pela qual associamos as palavras quadrado e cubo &s fun(;6es
com as pot&ncias 2 e 3.
Aplica(•o: As fun(•6es polinomiais s•o muito Oteis na vida. Uma aplica(;•o
simples pode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa
(sem tampa) na forma de paralelepipedo que se pode construir com uma
chapa met•lica quadrada corn 20 cm de lado, com a retirada de pequenos
quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da chapa. Concluimos que
V(x)=(20-2x)x2 e com esta func•o • poss[vel obter valores 6timos para
construir a caixa. P0 crn
3
mu m
67
Matem&tica - M6dulo Azul
_._o................................................................... .
EXERCIClOS
01. Observe a seguinte opera¢•o: 648D
- AB53
38C2
As letras dessa operac•o representam algarismos. O valor de A + B + C + D •:
A() 16
B() 18
C() 20
D() 22
02. Um professor de MatemStica prop6s a seus alunos o seguinte desafio: "Qual • o n0mero?
¯ I• um n0mero de dois algarismos
¯ O algarismo das dezenas • o dobro do algarismo das unidades
¯ Trocando-se os dois algarismos de lugar, obtenho urn segundo nOmero. Se do primeiro nOmero subtraio
o segundo, o resultado • 27."
O n6mero procurado •:
A() 21
B( ) 42
C() 63
D() 84
03. De uma esta¢•o rodovi•ria partem, para S•o Paulo, 6nibus de 3 em 3 horas, e para o Rio de Janeiro, de 4
em 4 horas. Um dos horSrios de partida simult•nea para esses destinos • 8s 11h30min.
Ent•o, o pr6ximo horSrio de partida simultSnea para essas cidades ser8 &s:
A ( ) 14h30min.
B ( ) 15h30min.
C ( ) 22h30min.
D ( ) 23h30min.
04. O
A()
B()
c()
D()
valor relativo do algarismo 5 no numeral 25438 •:
5 unidades simples
5 dezenas de unidades simples
5 centenas de unidades simples
5 unidades de milhar
05. Na divis•o abaixo, o valor do divisor • :
Dividendo11584 Divisor.... l Qu°c'ente[26 Resto24
A( )31
B( )59
C( )60
D( )61
06. Na divis•o abaixo, o valor do divisor • :
O'v'dend°11661 O,v,sor...... H Qu°c'enteH63 Resto23
A( )59
B( )30
C( )28
D( )26
m m
68
Matematica - M6dulo Azul
07. Na divis•o abaixo, o valor de x 4 :
A ( ) 65 1422 [ x
B ( ) 66 082 21
C( )67 15
D( )68
08. Com relaq•o • divis•o 4 incorreto dizer que:
A ( ) o resto deve ser major que o divisor.
B ( ) o resto deve ser menor que o divisor.
C ( ) o resLo pode set menor que o quocienLe.
D ( ) o quociente pode ser menor que o divisor.
09. O valor desta express•o •:
A() 12
B ( ) -i0
c() io
D() 18
35+ 15 : 5 - 20
10. O valor da express•o abaixo @:
A() 9
B() II
C() 13
D() i0
20- 62 : 4 + 2 x 13
11. Efetuando-se essa express•o obt4m-se:
A()0
B( ) 1 50:(72 + Is ) - 32 :
C()2
D()3
(23 + 1)
12. A respeito de potenciac•o, pode-se afirmar:
A()b°= 0
B()0b= b
C ( ) bm + bn = bm+n
D( ) bm x bn = bm + n
13. O resultado desta operac•o • :
A()5
B() 5•
C() 54
D() 56
58 : 5 2
14. O resultado desta operac•o 4 :
A( ) 2s x32
B ( ) 21°x 3
C ( ) 21°X 3 2
D ( ) 225X 32
(2Sx3) 2
15. O resultado dessa operac•o 4 :
A() 33
B() 3 s
C() 39
D() 3-I
( 32 : 3 )3
69
16. O resultado da opera•o abaixo 6:
A( ) 26x 3
B( ) 23x 32 (23x3)2
C( ) 2Sx33
D( ) 26x32
Matematica - M6dulo Azul
Ililm IrM .................• "
17. A soma de tr6s nOmeros pares consecutivos 6 372, ent•o o maior dos tr•s 6 divisfvel por:
A() 3
B() 4
C() S
D() 8
18. Com relaq•o aos ndmeros primos 6 ¢orreto afirmar que:
A ( ) o ndmero 1 6 primo.
B ( ) os nOmeros impares s•o primos.
C ( ) o conjunto dos n6meros primos 6 finito.
D ( ) o n0mero que tem apenas dois divisores distintos 6 primo.
19. I• incorreto afirmar que:
A ( ) O nOmero 2 6 o 5nico par que 6 primo.
B ( ) Os n6meros 2, 3,5 e 7 s•o todos os primos com um s6 algarismo.
C ( ) O ndmero 129 6 primo.
D ( ) O nSmero 97 6 o maior nOmero primo corn dois algarismos.
20. A decomposic•o correta do nOmero 600 em fatores primos 6:
A( ) 22x 6 x 52
B( ) 2 x12 x 52
C( ) 23x 3 x 25
D( ) 23x 3 x 52
21. A decomposiq•o correta do n0mero 540 em fatores primos 6:
A( ) 2 x 27 xl0
B ( ) 22 x 33x 5
C ( ) 22 x 5 x 27
D( ) 22 x 3 x45
22. A representaq•o do n0mero 1260 em fatores primos 6:
A( ) 22 x 9 x 5 x 7
B( ) 22 x 32x 5 x7
C() 4x 9x 5 x 7
D ( ) 4 x 32 x 35
23. A decomposic•§o do n0mero 900 em fatores primos 6:
A( ) 9x100
B ( ) 22 x 32x 52
C ( ) 32 x 100
D( ) 32 xl0
24. Decompondo 30240 em fatores primos temos:
A( ) 2x32x53x7
B( ) 22x33x53x7
C( ) 23x34x5x72
D( ) 25x33x5x7
25. O maior fator primo do ndmero 2310 6:
A() 3
B() 5
c() 1o
D() 11
7O
26. O maior fator primo do n0mero 208 •:
A() 11
B() 13
C() 15
D() 17
27. S•o divisores de 8:
A( ) 1-2-3-4
B( ) 1-2-4-6
C( ) 1-2-4-8
D( ) 8-16-24-32
28. S•o divisores de 30:
A( ) 1-2-3-4-5-6•15-30
B( ) 1-2-3-5-6-9-15-30
C( ) 1-2-3-5-6-10-15-30
D( ) 0-1-2-3-5-6-10-15-30
29. S•o divisores de 120:
A( ) 1, 2, 3, 4, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 60, 120
B()
c()
D()
30. #
A()
B()
C()
D()
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 20, 30, 40, 60, 120
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,10,12,15, 20, 24, 30, 40, 60,120
1, 2, 3, 4, 6, 9, 10, 12, 30, 40, 60, 120
correto afirmar que:
O n0mero 42 • mOltiplo de 6
Os nOmeros 3 e 9 s•o divisores de 3171
Os nOmeros 7, 9 e 21 s•o nOmeros primos
O conjunto dos divisores de um nOmeros • infinito.
31. A
A()
B()
c()
O()
respeito de m01tiplos e divisores, • correto afirmar que:
O maior divisor de um nOmero natural • o pr6prio nOmero.
O zero • divisor de todos os n•meros.
O numeral 1 tern apenas dois divisores.
O numeral 4 tem apenas tr•s m61tiplos.
32. O
A()
B()
c()
D()
MMC dos nOmeros 24 e 240 •:
23x3
23 x 32
24x3x5
24 x 32 x 5
33. O mfnimo mOltiplo comum entre a e b •:
A() 2O
B ( ) 30 a = 22 x 5
C( ) 150 b=2 x 3 x 52
D( ) 300
34. O
A()
B()
C()
O()
MMC de 140,60 e 90 •:
180
630
890
1260
35. O
A()
B()
C()
D()
minimo m6Itiplo comum de a, b e c •:
2x3x5
22 X 32X 52 a " 2 2 X 3 X 5
2 x 32 x 5 b = 2 x 3 2
22 X 3 x 52 c = 22 x 3 x 52
Matematica - MOdulo Azul
.. In illlllm m Ja•IL_ q
III36. O m•ximo divisor comum dos nOmeros 72 e 240 6:
A ( ) 23 x 32
B()23 x3
C ( ) 24 x 32
D()24x3x5
Matematica - Modulo Azul11 W....... I I i Imlllomm
37. O m•ximo divisor comum entre os nSrneros 16, 24, e 268
A()I
B()2
C()4
D( )16
38. O MDC dos nSmeros abaixo 6:
A( ) 23
B( ) 22x5
C( ) 23x3x5
D( ) 2x3
120, 90 e 108
39. O MDC entre os nOmeros abaixo 6:
A( ) 23
B( ) 22x3
C( ) 2x32x5
D( ) 22x32
80, 24 e 16
40. O menor divisor comum entre os nOmeros 24 e 240 6:A( ) 4 C( ) 1
B()2 D()0
41. S•o primos entre si os nOmeros:
A()9e 16
B( ) 3 e222
C()2e64
D( ) 2 e222
42. S•o primos
A() 3e60
B() 5e75
C() 8e27
D( ) 16e 64
entre si os nQmeros:
43. Com relaq•o aos nOmeros abaixo, todos s•o primos entre si, exceto:A( ) 12 e175
B ( ) 20 e 63
C ( ) 45 e 28
D ( ) 12 e 27
44. S•o primos entre si, os n5meros da oporto:
A ( ) 12 e 18
B ( ) 45 e 245
C ( ) 56 e 45
D( ) 40 e120
45. O menor n0mero que dividido por 3, 5 e 7, apresenta sempre resto 1 6:A() 36
B( ) 106
C( ) 212
D( ) 319
72
Matematica - M6dulo Azul
46. Tr6s viajantes visitam periodicamente uma cidade. O primeiro, de 15 em 15 dias, o segundo de 18 em 18
dias, e o terceiro de 20 em 20 dias. Se os tr•s se encontrarem hoje, nessa cidade, voltar•o a se encontrar
novamente daqui a:
A ( ) 90 dias
B( ) 100dias
C( ) 120dias
D( ) 180dias
47. Tr•s pessoas est•o jantando juntas em um restaurante. A primeira janta nesse restaurante de 8 em 8 dias,
a segunda, de 15 em 15 dias e a terceira, de 10 em 10 dias. O pr6ximo encontro dessas tr•s pessoas
acontecer• ap6s:
A( ) 120dias
B ( ) 90 dias
C ( ) 60 dias
D ( ) 40 dias
48. Repartindo duas pe•as de tecido com 40 m e 36 m de comprimento em pedaqos iguais, de maior tamanho
possfvel, o total de pedaq0s que ser•o encontrados 6:
A() 4
B() 9 .. ....
c() 1o
D() 19
49. Dividindo-se dois terrenos de •reas 6.000 m 2
•rea possfvel, obt•m-se:
A ( ) 600 Iotes
B( ) 191otes
C( ) 231ores
D( ) 131otes
e 7.800 m 2, respectivamente, em Iotes iguais coma maior
50. A partir das 6 horas, as safdas de 6nibus de Po(•os de Caldas para Varginha, Tr6s Pontas e Tr6s Coraq6es
obedecem aos seguintes hor&rios: para Varginha de 25 em 25 minutos; para Tr•s Pontas, de 40 em 40
minutos e para Tr&s Coraq6es, de 50 em 50 minutos. Os tr•s 6nibus, ap6s as 6 horas, saem
simultaneamente, pela primeira vez, depois de:
A( ) 2h30
B( ) 2h50
C ( ) 3h10
D( ) 3h20
1. a 2. c 3. d 4. d
11. a 12. d 13. d 14. c
21. b 22. b 23. b 24. d
31. a 32. c 33. d 34. d
41. a 42. c 43, d 44. c
5, C
15. a
25. d
35. b
45. b
GABARITO
6. d 7, c
16. d 17. a
26. b 27. c
36. b 37. c
46. d 47. a
8. a
18. d
28. c
38. d
48. d
9. d 10. c
19. c 20. d
29. c 30. a
39. a 40. c
49. c 50. d
EXERCICIOS II
01. A maior fraq•o abaixo •:
A()2
5
B ( ) ._.6_6
15
- ¯ ------
•l•••iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiill ii•ii!ili•ii•!ili!ii!ii•iiiiiiiiiiiiii•i i ; • •
C()6
8
D( ) _Z_7
9
Matem&tica - Modulo Azul
INN• .............. IIIOmI
02. A seqiJ6ncia de sinais que substitui os pontilhados abaixo 6:
A()>,>,=
B( ) > , < , = • ....... 2. 3. ....... • 12 ...... 9
C() >,<, > 2 5 2 3 8 6
D()=,>,<
03. O valor da express•o abaixo 6:
A()9
10
B() 5
2
c()!
2
D ( ) ..Z_7
10
04. I• correto afirmar que :
A()!> __4
4 5
B() 2_ <__i
3 2
c()__3 < _4
8 9
D()__2 > _3
5 7
05. Est• correta a seguinte afirma(•o:
A( ) __2 6major que _3.
3 7
B( ) __1 6menorque 0,5.
2
C ( ) __1 equivale a 1,8.
8
D ( ) __2 equivale a 0,2.
5
06. O valor da express•o abaixo 6:
A() 4
c()-4
- +
D( ) _1_1
4
42 .07. A fraq•o equivalente a •-• e:
A( ) __S
3
B() 3
5
c() 20
35
D ( ) __4_4
7
08. Efetuando-se
encontra-se:
]
A() -
2
as opera•6es
B()
indicadas
2
3
C()7 D() 9
na [express•o 1+ 0,5+ -•+0,33331. + +•
m
74
Matem&tica -- M6dulo Azul
.................... II "-3"ZZ _L•'•
......
09. 0 resultado da expressgo abaixo 4:
A( ) ]_1
2
B() 2__Z
40
c() 11
6o
D ( ) 143
6O
_3:9+ 3__x6
5 2 8
10. 0 valor
A()
15
B() 6
13
c( ) _Z_7
•o
D() 27
34
da express•o 4 :
3:9
25
11.0 valor dessa express•o 4 :
A() 18
B() • 1+2
3 2 3
c()•
s
D() 18
12. 2_ de uma hora correspondem a:
3
A ( ) 45 minutos C ( ) 20 minutos
B( ) 40minutos D( ) 15minutos
13. Em !de uma hora h•:
5
A ( ) 30 minutos
B ( ) 32 minutos
C ( ) 36 minutos
D ( ) 38 minutos
14. Observe a tabela:
Considerando os valores de x, y e z da tabela, o resultado da express•o x - y + 3z •:
A ( ) 183
B ( ) 221
C( ) 295
D( ) 337
15. 0 valor correspondente a 5 de R$ 320,00 4 :
A ( ) RS 200,00 8
B ( ) RS 278,00
C ( ) RS 512,00
D ( ) RS 250,00
.i
75
Matematica - M6dulo Azul
16. Em 12 horas, Geraldo pintou 2 de sua casa.
7
Para pintar a casa toda, ele gastar•:
A( )28horas
C( )84horas
B( )42horas
D( )84horas
17. Um autom6vel percorreu ! de uma estrada e ainda faltam 216 km. O percurso total •:
A ( ) 200 km 5
B ( ) 216 km
C( ) 324 km
D ( ) 540 km
18. Carlos comprou 23 cadernos, a R$ 3,00 cada,
preqo de cada borracha foi:
A ( ) ¼ do preqo de cada caderno
B ( ) • do preqo de cada caderno
C ( ) • do preqo de cada caderno
D ( ) • do preqo de cada caderno
e 35 borrachas. Se o valor total foi de R$ 111,00, o
19. Adicionando-se a um n6mero o dobro da soma de
A() 2
3
B() 7
15
C() 1
3
D( ) -2
20. Considereos n6meros 10 , 11 e
54 60
A( )___7
3O
B()_ 17
9O
C()_7
45
D() 3
2O
21. Considere o nQmero
_1 e _1 obt•m-se __2. O valor desse n6mero •:
3 5 5
9. A diferenga entre o dobro do maior e o triplo do menor •:
45
p= 2m.Osvaloresdemn =I•-]
12 + 0'3 e n=4-[•---] 2"
O valor de p • tal que:
A( ) 0<p<l
B( ) 1<p<2
C( ) 2<p<3
D( ) 3<p<4
22. O valor da express•o A = Ill -2
A() 1 L3J
B( ) __1
3
c()!
2
D() 17
12
76
Matematica - M6dulo Azul
23. O nfimero 2,04 est& representado corretamente na oporto:
A ( ) Dois inteiros e quatro unidades
B ( ) Dois inteiros e quatro d6cimos
C ( ) Dois inteiros e quatro cent6simos
D ( ) Dois inteiros e quatro mil6simos
24. O n6mero decimal
32
A()¥6
B( ) 1.•
C() 32-•5
4
D ( ) "lO0
32,04 est• corretamente escrito sob a forma de frac•o era:
25. 0 nOmero decimal 1,5 corresponde a:
A( ) _2 C( )15
3 2
B( ) 3__ D( ) 15
2 100
26. 0 resultado da express•o abai×o 6:
A ( ) 9,32
B ( ) 9,35
C ( ) 12,05
D ( ) 10,62
8,32 + 43 0,3 x 10
100
27. O valor dessa express•o 6:
A( ) 4,18
B( ) 7,18
C ( ) 3,88
D( ) 1,18
2,15 + 2 3 . 0,3 X 10
100
28.0 resultado desta expressEo 6:
A( ) 3750
B ( ) 3,75
C ( ) 37,5
D( ) 4,35
6 x 0,25 : 0,4
29. O valor
A() 6
B() 60
C ( ) 600
D() 0,6
dessa express•o 6:
6 x 0,4 x 2,5
30. 0 resultado da express•o 6:
A ( ) 2,87
B ( ) 28,7
C ( ) 14 743
D ( ) 1474,3
32,05 : 0,5 x 23
77
Matematica - M6dulo Azul
31. O resultado desta express•o 6:0,03 - 1,24 : 0,2 + 0,4 x 1,05 •:
A ( ) 14,22
B ( ) 199,8
C ( ) 194,22
D ( ) 101,58
32. O resultado dessa opera¢•o[O,O2Jz"
•
A() 0,4
B ( ) 0,04
C ( ) 0,004
D ( ) 0;0004
33. O valor de 1 + 0,999... + 2 •:
A() 3,9
B( ) 3,999
C( ) 3,9999
D( ) 4,0
34. O valor exato de 0,2929... - 0,222... •:
0,555... + 0,333...
A() 3
25
B()!
28
c() 8
67
D() 7
88
35. Numa cesta havia laranjas. Deu-se 2/5 a uma pessoa, a terca parte do resto a outra pessoa e ainda
restaram 10 laranjas. Quantas laranjas havia no cesto?
A() 15
B() 12
C() 30
D() 25
36. Retira-se de um barril 1/4 de seu volume e, em seguida, 21 litros. Se o que restou corresponde a 2/5 de sua
capacidade, o volume total, em litros, •:
A() 25
B() 28
C() 30
D() 60
GABARITO
01. d 02. b
07. b 08. c
13. c 14. b
19. a 20. d
25. b 26. b
31. c 32. d
03. a
09. d
15. a
21. b
27. d
33. d
04. C
10. c
16. b
22. a
28. b
34. d
05. a
11. a
17. d
23. c
29. a
35. d
06. a
12. b
18. d
24. c
30. d
36. d
EXERCICIOS III
01. Fatorando esta express•o a 2 - 6a obtemos:
.......................... m
78
A ( ) (a - 3)2
B( ) (a - 6) 2
C( ) a(a - 6)
D() (a + 3)(a - 3)
Matematica - Modulo Azul
| IF ...................... lU im lira m
02. Desenvolvendo os produtos not•veis abaixo encontramos respectivamente:
A( ) a 2 + 10a + 25 e x2 _ y2
B( ) a 2 + 10a + 25 e x2 + y2 (a+5) 2 e (x + y) . (x - y)
C( ) a 2 + 25 e x2 _ y2
D( ) a 2 + 25 e x2 + y2
03. Desenvolvendo 0 produto not•vel abaixo encontramos:
A( ) 3x 2 - xy + y2
B( ) 9x2 _ 6xy + y2
C( ) 3x2 _ 6xy + y2
D( ) 9xZ +3xy + y2
04. Fatorando a express•o x 2- y2 obt•m-se:
A( ) (x - y)2
B ( ) (x + y)2
C( ) (x + y)(x - y)
D( ) (x - y)(x - y)
(3x - y)2
05. O segundo termo no desenvolvimento deste bin6mio •:
A()4x
B( ) 4x2 (2x + 1) 2
C ( ) 2x2
D() 2x
,, 06. O terceiro termo no desenvolvimento deste bin6mio 6:
A() 4
B ( ) 25x2 (5x + 4)2
c ( ) 4Ox
D() 16
07. O primeiro termo no desenvolvimento deste bin6mio •:
A() 6a
B( ) 36a 2 (6a + 5) 2
C ( ) 60a
D() 25
08. O segundo termo no desenvolvimento do produto not•vel abaixo
A ( ) 8x3
B( ) -60X2 (2X -5)3
c ( ) i5ox
D ( ) - 125
09. O terceiro elemento do desenvolvimento do bin6mio 6:
A() 8
B ( ) x3 (X + 2) 3
C( ) 12x
D ( ) 6X2
GABARITO
[01. c IO2. a J_o3. b J04. c [O5. a 106. d 107. b 108. b ]09. c
EXERCICIOS lVllllllllm - " ,•-:• •
79
01. O conjunto soluq•o da equac•o •:
A( ) S= {x = 5}
B( ) s= {x = 6} 2x-±O = o
C( ) S= {x = 2}
D( ) S= {x = i0}
Matem&tica - M6dulo Azul
02. A soluq•o para a equaq•o •:
A()x = 12
B()x = -12
C()x= 4
D(.) x = -40
3x + 5 = 17
03. A soluq•o para a equaq•o abaixo •:
A()x=6
B()x=8
C()x=12
D( ) x =24
04. O conjunto soluq•o da equaq•o abaixo •:
A( ) S={x =-2}
B( ) S={× =-3}
C( ) S={x = 2}
D( ) S={x = 3}
4x+9 = 3x+15
2x-3 = 5x-9
05. A soluq•o da equaq•o ser•:
A()x= 12
B()x =-3
c()x= 3
D( ) x =-5
x-lO = 5x+2
06. A soluq•o para a equaq•o abaixo ser•:
A()!
4
B() 4
3
c()•
5
D()!
4
X= 1
3 4
07. A soluq•o para a equaq•o abaixo •:
A()x= 21
B( ) x = -21
c()x = -11
D()x= 11
x+l = x-4
4 5
08. A soma de um n0mero com 3 6 igual a 11. Este n0mero 6:
A() 11
B() 3
C()33
D() 8
09. A diferenqa entre um nt3mero e 7 • igual a 3. Este n6mero •:
A() 10
8O
Matem•tica - MSdulo Azul
B() 11
c( ) -4
D ( ) -10
10. A soma da metade de um n0mero com 5 6 igual a 9. Podemos afirmar que o nOmero 6:
A() 4
B() 8
C() 14
D() 7
11. A soma da terga parte de um n6mero corn 4 6 igual a 8. o valordeste n6mero 6:
A() 12
B() 8
C() 4
D() 32
12. Somando-se 3 ao dobro de um n6mero obt6m-se 21. Este nSmero certamente ser•:
A( ) 24
B() 18
C() 12
D() 9
13. Somando-se um n6mero com 12 obtemos o triplo deste nOmero. O n6mem 6:
A() 6
B() 12
C() 36
D() 9
14. Somando-se o dobro de um n6mero com seu triplo obt6m-se 35. Esse n0mero 6:
A()9
B()7
C()5
D()3
15. Maria tern o dobro da idade deJo•o. Sabendo-se que os dois juntos t6m 36 anos, a idade de Jo•o 6:
A() 24
B() 18
C() 12
D() 9
16. O dobro de um nOmero, menos sete, 6 igual a 51 mais esse n0mero. Este problema est• representado pela
seguinte equag•o:
A( ) 2x-7=51×
B( ) 2x-7=51+x
C( ) ×2-7= 51+×
D( ) x2=51-7+x
17. O valor de x nesta equaq•o 6:
A( ) -4
B( ) -1
C() 1
D() 10
5x-14 = 3(x+2)
18. Pedro tem R$ 39,00. Corn essa quantia ele poder• ir 4 vezes ao cinema e ainda sobrar•o R$ 3,00. Isso
significa que o preqo do ingresso 6
A ( ) R$ 6,50
81
Matematica - Modulo Azul
B ( ) R$ 7,00
C ( ) R$ 8,00
D( ) R$ 9,00
19. Mauro tern 19 anos. Lucas 6 7 anos mais novo do que Mauro e 4 anos mais velho do que Beatriz. A idade
de Beatriz •:
A ( ) 8 anos.
B ( ) 9 anos.
C( ) 10anos.
D( ) 12anos.
20. Ovalordessaexpress•oparax--3 e y=-2 6:
A ( ) -12
B( ) 0 2x-3y2+xy
C() 12
D() 24
21. O valor num6rico dessa express•o alg6brica onde a - - 3 6:
A ( ) -25
B( ) -23
.
-3az - 2a - 4.
C() 17
D() 29 . ¯ .... -.- .,
22. O valor de x nessa equaq•o 6 :
A() 4
B( ) -4
C()-5
D() 5
7(x-1) = 4x+8
." ,• ¯
..
23. Nessa
A() 16
B() 12
C() i0
D() 4
equaq•o o valor de x 6 :
3(x--9) = -5X+5
24. Nessa
A() 5
B( ) -5
C() 11
O() ½
equa(•o, o valor de x 6 :
2 (x--9) = 5x-3
25. Na equa(•o acima o valor de x 6 :
A() 1
B() 2
C( ) -i
D( ) -2
15-6x = 9-25(x-1)
26. Na equa(•o, o valor de x 6:
A() 20
B( )-20
C() 30
D( )-30
3(x+2) = 2(x-7)
27. Na equag•o, o valor de x 6:
A( )-2
B( )-1 3(x+2)-1 = 2(x+3)
82
Matem&tica - M6dulo Azul
mR N I I
c()o
D()I
28. Na equag•o, o valor de x 6:
A() 0
B() i
C()-Z
D( ) -2
3(x+1)+2 = 5+2(x--1)
29. Na equac•o, o valor de x 6:
A()2
B()5
c()7
D( )10
2(x--1)+3(x+ 1) = 4(x+2)
30. Na equaq•o, o valor de x •:
A()0
B()I
c()2
D()3
2x-3 x-1 = 3x-5
6 8 12
GABARITO
01. a 02. c 03. a 04. c 05. b 06. a 07. b 08. d 09. a 10. b
11. a 12. d 13. a 14. b 15. c 16. b 17. d 18. d 19. a 20. a
21. a 22. d 23. d 24. b 25. a 26. b 27. d 28. d 29. c 30. b
EXERCICIOS V
01. As rafzes da equac•o abaixo s•o:
A( ) 4 e -4
B( ) 2 e -2
C( ) 1 e -1
n()0e 4
2X2- 8 = 0
02. As raizes da equac•o abaixo s•o:
A() 5e-5
B( ) 25 e -25
C() 0e 5
D() 0e 25
3x2- 75 = 0
03. As rafzes da
A() 0 e 4
B() 4e-4
C() 0e 5
D() 0e-5
equag•o abaixo s•,o:
3x2- 12x = 0
04. As rafzes da
A() 0 e 4
B() 4e-4
C() Oe 5
D() 5e-5
05. As rafzes da
A() i e 2
B() 2 e 3
equac•o abaixo s•o:
2X2- lOx = 0
equac;•o abaixo s•o:
2x•-lOx+ 12 = 0
83
Matem&tica - Modulo Azul
1 .......•....
C() 1 e 3
D() 2 e 4
06. As rafzes da
A() 2 e 3
B() 2 e 4
C() 3 e 4
D() 3 e 5
equag•o abaixo s•o:
x2-8x+15 = 0
07. As rafzes da equac•§o abaixo s•o:
A( ) i e -2
B()-2 e 5
C( ) i e -3
D() 2 e-5
x2- 3x-- 10 = 0
08. As rafzes da equaq•o abaixo s•o:
A() 0 e 3
B() 3 e 3
C( ) 3 e -3
D() 2 e 3
X2--6X+9 = 0
09. As rafzes da equa(•o abaixo s•oi
A() 0 e 0
B ( ) N•o existem rafzes reais.
C() 2 e 5
D() 2 e-3
3X2--4X+9 = 0
I0. 0
A()
B()
C()
D()
produto e a soma das rafzes da equac•o abaixo s•o, respectivamente:
6 e 2
30 e i0 5x2-10x+30 = 0
-6 e -2
6e-2
11. O produto e a soma das raizes da equa(•o abaixo s•o:
A()-12 e 2
B( ) 12 e 4 3x2--12x+36 = 0
C( ) -12 e -4
D( ) 12 e -4
12. Calcule o valor de K para que as rafzes sejam sim4tricas:
A() 0
B( ) 8 3x2- (2K-8)x + 6 = O
C() 4
D()-4
GABARITO
01, b 02. a 03. a • 04. c 05. b 06. d
07. b 08. b 09. b I 10. a 11. b 12. c
EXERCICIOS VI - --
• ill
84
01.
A ( ) o conjunto Y @ um subconjunto de B.
B ( ) o conjunto B & a imagem da fung•o.
C ( ) o conjunto Y @ a imagem da fung•o.
D ( ) o conjunto A • o domfnio da fung•o.
Matem&tica - M6dulo Azul
-'-W•--qll•l !•.
......
lmll ..........
Corn base no diagrama abaixo, • incorreto afirmar que
f: A•B
02. Uma relag•o representada por uma letra minOscula determina uma fun•o quando n•o hfi repetiq•o de
abscissas. E uma funq•o a seguinte relag•o:
A ( ) a: { (2,3), (1,2), (2,1) }
B ( ) b: { (0,1), (0,2), (0,3) }
c ( ) c: { (1,o), (2,o), (1,o) }
D ( ) d: { (1,2), (2,2), (3,2) }
03.
A 0•\
/•0•
Todas as op(•6es representam fun(•6es, exceto em:
"(A)•.
04.
7
A 0"\ /-I B
Marque a opq•o que apresenta uma funq•o bijetora:
B()•
o ¯
05. Estfi representando uma funq•o constante o seguinte gr•fico:
A()
c()
06. Com base na funq•o abaixo o valor de f(-2) •:
A( ) 0 f(x)= 5x + 12
B() 22
C() 2
D ( ) -22
07.
85
Matem&tica - Modulo Azul
Com base na tabela acima, est• correta a seguinte relaq•o:
A( ) y = 3x
B()y=2x+ 1
C()y= x+2
D()y= x+3
08. Marque a opc•o correta:
A ( ) Sempre que- b = 0, ent•o a funq•o afim • chamada constante.
B ( ) Caso a funq•o seja constante, ent•o a > 0.
C ( ) Se a funq•o afim • decrescente, ent•o o coeficiente a • menor que zero.
D ( ) O coeficiente a • positivo para a funq•o afim.
09. Para que a funq•o linear seja afire, o valor de K deve ser:
A()0
B( ) 1 f(x)=2x+K-3
C( )-3
D()3
10. 0 dominio da re•a(•o apresentada abaixo
/y
3 i
i '
1 5 x
A( ) [1,5]
B( ) ]1,5]
C ( ) [1,5[
D( ) ]1,5[
11. Est• representando uma funq•o decrescente o seguinte gr•fico:
A()
c()
y,
y
/
/
B(). /
12. O gr•fico cartesiano que melhor representa a func•o y : 5x + 4 6:
A() x+ c() /•
.• D().
expressa uma funq•o de A em B no seguinte diagrama:
86
Matem&tica - Modulo Azul
Ill • ................... .
A()
A B
A B A B
B()•
A B
14. Os valores da tabela abaixo foram obtidos da seguinte fun(•o:
A() y=3x
B() y= x +6
C() y= x +3
D() y=3x+ 1
x _•
0 3
3 6
6 9
15. O gr•fico cartesiano que melhor representa a fun(•o ¥ = - 3x + 2 •:
16. Seja a fun(•o abaixo. O dominio da func•o •:
A( ) x>28
B( ) x • 9 y= 2x-56
C( ) x < 2 2x-18
D()x= 9
17. 0 dominio da fun(•o abaixo •:
A()x= 2
B( ) x . 2 y=•3x-6
C()x_>2
D( ) x< 2
18. O dominio da fun(•o abaixo •:
A( ) x> 2 ¥ = 3x + 15
B( ) x< 2 •/4x-8
C()x= 2
D( ) x •2
19. A fun•o representada neste gr•fico •:
87
t
I
L
Matemfitica - M6dulo Azul
ma,,tM • --:-- ....m....llrTT•-- -
A( ) y= x+ 1
B( ) y=-x+l
C( ) y= x -1
D( ) y=-x-1
x
GABARITO
01. b 02. d
11. d 12. b
o,.o to,.c tos.o o°.c o,.b o8.c tO,.d t,O.d13. d 14. c 15. a 16. b 17. c 18. a 19. b
EXERCICIOS VII m!
01. A funq•o quadrfitica onde A > 0 estfi representada no seguinte grfifico:
A()Y•
*x
 ')YY
,
I x I • x'x
02. Com relaq•o • func•o quadrfitica, • incorreto afirmar que a parfibola
A ( ) corta o eixo y no ponto (0, ¢).
B ( ) 6 impossivel de ser traqada, se b=0.
C ( ) n•o corta o eixo x, se A for menor que 0.
D ( ) • voltada para cima, se a for maior que 0.
03. Analisando
A( ) -i e 4
B( ) -I e 0
c() ie4
o() OeZ
o grfifico abaixo podemos dizer que as rafzes da funq•o nele representadas s•o:
Y
04. A funq•o que deu origem ao grfifico abaixo •:
A( ) y = x2 - 5x + 6
B( ) y = x2 + 5x - 6
C( ) y = -x2 - 6x + 6
D( ) y = -x2 +5x - 6
05. A funq•o que deu origem ao grfifico abaixo •:
A( ) y = x2 - 2x - 8
B( ) y = x2 + 2x + 8
C( ) y = -x2 +2x + 8
D( ) y = -x2 +2x - 8
x
x
06. A funq•o que deu origem ao grfifico abaixo d: •L
Matem&tica - M6dulo Azul
..........
1 III I! llll
.....
, , ,Y
A ( ) y = x2 - 8x - 15 \ /
B( ) y = x2 - 8x + 15 15
C( ) y = -x2 -8x + 15
D( ) y = -x2 -Sx - 15 *x
07. Para a fun(•o quadr•tica f (x) = x2 - 3x - 10
1 - f(x)=O parax=-2 ou x=5
2 - f(×)> 0 parax<-2 ou x>5
3 - f(x)<0 para -2 < x < 5
um aluno fez o seguinte estudo de sinah
Pode-se dizer que esse aluno acertou:
A ( ) as 3 afirmativas.
B ( ) apenas a afirmativa 1.
C ( ) apenas as afirmativas 1 e 2.
D ( ) apenas as afirrnativas 2 e 3.
[01. d L02. b J03. c
GABARITO
•.04. a ] 05. c •.06. b I 07. a
89
Matem•ltica - Modulo Verde•"
IIII• I!lillllll lira ill I I
MATEMATICA
MODULO VERDE
SUMARIO
1. EXPONENCIAL E LOGARITMO .............................................................................................. 02
2. SEQUENCIASE PROGRESS(SES ......................................................................................... 09
3, RAZAO E PROPOR•AO ......................................................................................................... 16
4. REGRA DE TRES E PORCENTAGEM ....................................................................................25
5. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ......................................................................................... 30
1
Matematica - Modulo Verde
.... ii .i.•. I....
EXPONENCIAL E LOGARITMO
........................./
.........
i- _ , m ............. •............................
• EXPON ENCIA•:•,O
Potbncia
I• um produto de fatores iguais.
Exemplo:
Temos:
23=2.2.2=8
2 6 a base
3 6 o expoente
8 6 a pot6ncia
Sendo a um nSmero real e n_ um nOmero inteiro, maior que 1, define-se:
an=a.a.a...a (nfatores)
Exemplos:
1) 32=3.3=9
2) 53=5.5.5= 125
4) (-2)3= (-2).(-2).(-2)=-8
5) (-7)2 = (-7). (-7) = 49
1
8
Observag6es:
¯ Pot6ncia corn a base positiva e com expoente par (ou impar): a pot6ncia 6 positiva.
¯ Pot6ncia com base negativa e com expoente par: a pot6ncia 6 positiva.
¯ Pot6ncia com base negativa e com expoente fmpar: a pot•ncia 6 negativa.
¯ Toda pot•ncia de expoente 1 6 igual • base (a I = a).
Exemplos:
1) 21 = 2
¯ Toda pot•ncia de expoente negativo 6 igual ao inverso da pot•ncia de expoente positivo.
a-°= __i (a•O)
a n
Exemplos:
1) 2-3= 1= 1
23 8
2
Matem&tica - M6dulo Verde
PROPRIEDADES DAS POTENCIAS
Ia. Multiplica•o de Potbncia de mesma base:
Conserva-se a base e soma-se os expoentes.
a m , a n -- am+n
Exemplos:
1) 23.2.22=23 ÷1+2=26
2) 53.54=53 +4=57
2a. Divis•o de Pot•ncia de mesma base:
Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.
am'a" =a m-" (a•O)
am=a m-" (a•O)
a n
Exemplos:
1) 26:2 4 =2 6-4 =22
2) 3 lo = 3 10- (-4) : 31o + 4 = 314
3-4
3a. Pot•ncia de uma pot•ncia:
Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
(am) n = a mxn
Exemplos:
1) (34)s=34×s=320
2) (2-3) -2= 2-3 x (-2) = 20
4a. Pot•ncia de um produto:
Eleva-se ao expoente a cada fator.
(a.b) n =an.b n
Exemplos:
1) (2.3)2 = 22 " 32
2) (52 . 2) 3 = (52)3. 23 = 56 . 23
RAIZ
Sendo a_ e _b.b nOmeros reais positivos e _n um nOmero inteiro positivo, podemos escrever:
•-=b <=> bn=a
n -• [ndice (n > 2)
a --> radicando
b --> raiz
Exemplos:
1) • = 3,porque32=9
2) •= 5,porque53= 125
3) 5• = 1,porquels= 1
3
Matem&tica - M6dulo Verde
•............... . :::::::::::::::::::::::::-__:................................
RADICAIS SEM ELHANTES:
Radicais semelhantes s•o os que t&m o mesmo indice e o mesmo radicando.
Exemplos:
•J" fndice: 2
1) 3• e -5 •/2 L_ radicando: 2
2) _3• e 2 3• .•J'-indice: 3
I..radicando: 5
Operac;6es:
ADX AO E SUBTRA(;AO
$6 podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes.
Exemplos:
1) 2•-5 + 4•,/5 = (2 + 4)•/-5 = 6•f-5
2) 73• - 33• = (7-3)3• = 43•
3)-2•/3 - •/3 = (-2- i) • = -3•13
4) 5•Ir7 - 7•I• = (5- 7) • = -2•/•
MULTIPLICA ,O
Propriedade do radical de um produto:
n n n
•/a •/ b : 4a.b
produto de radical de
radicals urn produto
Para multiplicar radicais de indices iguais, aplicamos a propriedade do radical de um produto.
Exemplos:
1) •/3-. •/ 2 : •/3.2 : •/6--
3 3 3 3
2) 2•/--5-.3•/3 = 2.3•/5.3 = 6•/15
DIVIS ,O
Propriedade do radical de um quociente:
quociente radical de
de radicais um quociente
Para dividir radicais de indices iguais, usamos a propriedade do radical de um quociente.
wl m • • ............................
4
Matem•tica - Mbdulo Verde
................................. m mmm i ....... m .,
Exemplos:
2
2) •!,•4-6-- = 2•/3-
5 q-Z
1
POTENCIA(•AO
n p n __
(•/ a) = 4 a p
Conservar o [ndice e elevar o radicando • pot•ncia indicada.
Exemp!os:
5 3 5
z) (•2) =
3 2 3__
2) (•/-•F) = •/34
RADICIA(•.•.O
n,m
= •/a
Conservar o fndice e elevar o radicando • pot•ncia indicada,
Exemplos:
•/ 61) •/5 = •/5
2) 43 = 43
Observa•;•o:
Se o [ndice ([mpar) for igual ao expoente do radicando, a raiz ser• igual 8 base do radicando.
Exemplos:
I) q-2• = 2
5
2) q-(T3--• =-3
Caso o [ndice (par) e o expoente do radicando sejam iguais, a raiz ser• dada pelo m6dulo do radicando.
n
Van = lal =a
J
5
Matematica - Modulo Verde
I! ! JI Iiill-lnl---
Exemplos:
4
1) •= 121 --2
2) •/•2-= 1-31 =3
Toda pot&ncia com expoente fracionfirio pode ser escrita em forma de radical.
n m
a m = •/a n (m•0)
Exemplos:
2 3
1) 5 • =
1
2) 3
q-
= "4 3
SIMPLIFICAI•AO DE RADICAIS
Simplificar um radical significa escrev&-Io com termos mais simples, aplicando as propriedades.
Exemplos:
3 3 3 3
1) •/x-•. = s/7"•-z = x .•z
2) q-8-= q-• = •2z•2-.2 = q-•2-. 2x/2---= 2x/2
Fatorando o 8 obtemos:
8 2
4 2
2 2 8=23
1
RACIONALIZA•AO DE DENOMINADORES
Racionalizar o denominador de uma fra(;•o
denominador.
Exemplos (1° case):
3 3.•J5 3•/5 3V•1)
/'5
-- •.•- -- j52 --
J,
fator racionalizante
significa eliminar os radicais que aparecem nesse
2 2.•/-2 2•- 2•/2_ •/•2) V_•-•.•j-•- j•-•
fator radonalizante
Exemplos (2° case):
1) 3 = 3. 3•r• =33-v/-•=3
2
fator racionalizante
6
fator racionalizante
Matem&tica - M6dulo Verde
•J DEFINI•AO DE LOGARITMO
1
a • =b <=> x=log.b / sendo b>0 ,a>0 e a•I
Na igualdade x = log. b obtemos ¯
a= base do Iogaritmo
b= Iogaritmando ou antilogaritmo
x= Iogaritmo
Exemplos :
¯ 1)1og232=5 pois 2 s =32
2) log 416=2 pois 42 =16
3) logsl=O pois 5 o =1
CONSEQOENClAS DA DEFINI•:•,O
Sendo b>O ,a>O e a•l e m um n6mero real qualquer, temos a seguir algumas conseqO•ncias da defini9•o de
Iogaritmo:
],ego,--01 IlOgaa='l l'ogaa°=m] lal° ob--bj
log a b = log• c <=>b =c I
PROPRIEDADES OPERATORIAS DOS LOGARITMOS
1) Logaritmo do produto: [log a (x.y) = log a x+log a y] (a>O, a¢l, x>O e y>O)
2) Logaritmo do quociente: (a>O, a�1, x>O e y>O)
3) Logaritmo da pot&ncia: [lOga Xm =m.logax] (a>O,a¢I,x>Oem•gl)
m
Caso particular: como ,
= x n
m m
log a n•xm = log • x; = n'l°g • x
temos:
7
Matem&tica - MSdulo Verde
COLOGARITMO
Chamamos de cologaritmo de um n6mero positivo b numa base a (a>O, a•l) e indicamos cologa b
o Iogaritmo inverso desse nfirnero b na base a
1
Como log • 7
b
= log. l - log • b = 0 - log. b = - log. b, podemos tamb•m escrever
[colog. b -- -log• b
MUDAN•A DE BASE
Em algumas situa(;6es podemos encontrar no cfilculo vfirios Iogaritmos em bases diferentes. Como as
propriedades Iogaritmicas s6 valem para Iogaritmos numa mesma base, • necess•rio fazer, antes, a
convers•o dos Iogaritmos de bases diferentes para uma finica base conveniente. Essa convers•o chama-se
mudan•a de base. Para fazer a mudanga de uma base a para uma outra base b usa-se:
log b Xlog X=--
log b a
8
Matem&tica - M6dulo Verde.......m II lllmm mm ,
....
,
A
SEQUENCIAS E PROGRESS()ES
SEQOENCIAS REAIS
Func;•o real: Uma func;•o f sobre um conjunto X corn imagem no conjunto Y, denotada por f:X•Y, associa a
cada xEX um t•nico elemento yl•y, para todos os elementos de X. O que caracteriza o nome da func;•o • o
contradominio Y da mesma. Se Y • um conjunto de:
1. n0meros reais, temos uma func;•o real.
2. vetores, temos uma func;•o vetorial.
3. matrizes, temos uma fun(;•o matricial.
4. n0meros complexos, a fun•o • complexa.
Neste trabalho, o conjunto dos n0meros naturais ser• indicado por:
N={1,2,3,4,5,...}
Seq0encias reais: Urea seqLi•ncia ream (ou sucess•o) • uma func;•o f:N OR que associa a cada n0mero
natura| n um nt•mero real f(n). O valor num•rico f(n) • 0 termo de ordem n da seq0•ncia. Do modo como
definimos a seqLi•ncia, 0 domfnio de f • um conjunto infinito, mas 0 contradominio poder• ser finito ou infinito.
O dominio de urea seq0•ncia • indicado por Dom(f)=N e a imagem de uma seqLi•ncia por Im(f)={al,a2,a3, ...}.
Muitas vezes, a seqLi•ncia (fun�o) • confundida corn a Imagem da fun•o (conjunto de n0meros), no
entanto, esta confus•o at• mesmo colabora para 0 entendimento do signiflcado de uma seq0•nda no •mbito do
Ensino M•dio.
SEQOENCIAS FINITAS E INFINITAS
Quanto ao nOmero de elementos da imaqern, uma seq0•ncia poder• ser finita ou infinita.
Seq•J•ncia Finita: Urea seq0•ncia • finita se, oseu conjunto imagem • um conjunto finito.
Exemplos: As seqiJ•ncia f:N•R definidas por f(n)=0, g(n)=(-1)n e h(n)=cos(ntT/3) s•o finitas e as suas
imagens s•o, respectivamente:
Im(O={O}, Im(g)={-1,1}, Im(h)={112,-112,-1,1}
Seq0•ncia Infinita: Uma seq0•ncia • infinita se, o seu conjunto imagem • um conjunto infinito.
Exemplos: As seq0•ncia f:N--•R definidas por f(n)=2n, g(n)=(-1)nn, h(n)--sin(n) e k(n)=cos(3n) s•o
infinitas, pois suas imagens possuem infinitos termos.
Exemplo: Seja a seq•J•ncia infinita f:N--•R, cujo conjunto imagem • dado por Ira(t-)={5,10,15,20,...}.
Observamos que
f(1)=S=Sxl, f(2)=10=5×2, f(3)=15=5×3, ..., f(n) = 5n
Este • um exemplo de uma seq0•ncia aritm•tica, o que garante que ela possui urea raz•o r=5, o que
permite escrever cada termo como
f(n)=f(1)+(n-1).r
No fimbito do Ensino M•dio, esta express•o • escrita como:
an=al+(n-1).r
SEQOENCIAS ARITMETICAS E PA
Uma seq0•ncia muito Otil • a seqLi•ncia aritm•tica, que possui dominio infinito. Esta seqCi•ncia
conhecida no •mbito do Ensino M•dio, como uma Progress•o Aritm•tica infinita, mas o objeto matem•tico
denominado Progress•o Aritm•tica finita n•o • uma seq0•ncia, uma vez que o dominio da func;•o que define a
progress•o, • um conjunto finito {1,2,3.... ,m} contido no conjunto N dos n0meros naturais.
9
Matematica - MSdulo Verde
Progress•o Aritm•tica finita: Surge aqui o conceito de Progress•o Aritm•tica finita, que • uma c01eq•o
finita de n6meros reais com as mesmas caracterfsticas que uma seq0&ncia aritm•tica. As Progress6es
Aritm•ticas s•o denotadas por PA e s•o ¢aracterizadas pelo faro que, cada termo a partir do segundo, • obtido
pela soma do anterior com um n6mero fixo r, denominado raz•o da PA.
Na seqiJ6ncia, apresentamos os elementos b•sicos de uma Progress•o Aritm•tica da forma:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
C = { al, az, a3, ...1 an, ..., am-it am }"
m • o n6mero de termos da PA.
n indica uma posiq•o na seqe6ncia, n • o indice para a ordem do termo geral an no conjunto C.
an • o n-•sim0 termo da PA, que se 16 a fndice n.
al • o primeiro termo da PA, que se I• a fndice 1.
a2 • o segundo termo da PA, que se 16 a indice 2.
am • o 61timo elemento da PA.
r • a raz•o da PA e • possfvel observar que
az=al+r, a3=a2+r, ..., an=an.l+,, ...1 am=am.l+r
A raz•o de uma Progress•o Aritm•tica, pode ser obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) do
termo posterior (conseqiJente), ou seja:
a2-al = a3-a2 = a4-a3 = ... an-an-1 = r
E×emplos de ProgressSes Aritm•ticas (finitas)
1. A PA definida pelo conjunto C={2,5,8,11,14} possui raz•o r=3, pois:
2+3=5, 5+3=8, 8+3=11, 11+3=14
2. A PA definida pelo conjunto M={1,2,3,4,5} possui raz•o r=l, pois:
1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5
3. A PA definida por M(3)={3,6,9,12,15,18} possui raz•o r=3, pois:
6-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3
4. A PA definida por M(4)= {0,4,8,12,16 } possui raz•o r=4, pois:
4-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 4
M•dia aritm•tica: Dados n n6meros reais x1, x2, x3..... Xn, definimos a m6dia aritm•tica entre estes
n6meros, denotada pela letra x corn um tra(;o sobre a mesma, como a divis•o entre a soma desses n6meros e o
n6mero de elementos:
x z + x g, + ... +
X--
T•
Na Progress•o Aritm6tica, cada termo 6 a m•dia aritm•tica entre o antecedente e o conseqiJente do
termo tomado, daf a raz•o de tal denominaq•o para este tipo de seqLi•ncia.
FORMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA
Consideremos a PA com raz•o r, definida por
P = { al, a2j a3, ...1 an-l, an }
Observamos que:
e obtemos a f6rmula do termo geral da PA:
a• = al = al + Or
a2 = al + r = al + lr
a3 = az + r = a• + 2r
a4 = a3 + r = al + 3r
iii iii iii iii
a. = an.l+r -- a•+(n-1)r
an = a• + (n-l) r
10
Matematica - Modulo Verde. ................../I I/
Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma Progress•o Aritm6tica (PA), sem
precisar escrev&-Ia completamente.
Exemplo: Seja a PA com raz•o r=5, dada pelo conjunto C={3,8,...,a3o,...,aloo}. 0 trig6simo e o cent6simo
termos desta PA podem ser obtidos, substituindo os dados da PA na f6rmula do termo geral a.=al+(n-1)r.
Assim:
a30=3+(30-1)3=90 e " aloo=3+(100-1)3=300
Qual 6 o termo de ordem n=22° desta PA?
Exemplo: Para inserir todos os mOltiplos de 5, que est•o entre 21 e 623, montaremos uma tabela.
30 ... 615 620 623 !
i
l! ial a2 an-1 i an
Aqui, o primeiro m•ltiplo de 5 • a•=25, o Ultimo mOltiplo de 5 6 a.=620 e a raz•o 6 r=5. Substituindo os dados
na f6rmula an=a•+(n-1)r, obteremos
620 = 25 + (n-1)5
de onde segue que n=120, assim o n0mero de m01tiplos de 5 entre 21 e 623, 6 igual a 120 e podemos observar
que o conjunto de tais nOmeros
Cs = { 25, 30, 35, ..., 615, 620 }
• PROGRESSIVES ARITMETICAS MONOTONAS
Quanto • monotonia, uma PA pode ser:
1. crescentese para todo n>_l: r>0 e a.<a,+l.
2. constantese para todo n>l: r=0 e an+l=an.
3. decrescentese para todo n>l: r<0 e a.+l<a..
Exemplo: A PA definida pelo conjunto C={2,4,6,8,10,12} • crescente, pois r=2 e al6m disso a•<a2<...<as<a•.
4- .....@
i I
i
Exemplo: A PA finita G={2,2,2,2,2} 6 constante.
'f(n)
-•- -O- - ¯ - -O - -O
i i ! i i
i i i i i
i i i | i
i
I
I
i
1
I i i i
I I I I
, , , , (n)
:2 3 4 5 6
11
Matem•tica - M6dulo Verde
-•--m Rm ............. ........
Exemplo: A PA definida pelo conjunto Q={2,0,-2,-4,-6} • decrescente com raz•o r=-2 e al>az>...>a,>as.
b
', 3 4 5 6(n)
i
i i
i ,
;. i
i
i
i
1
EXTREMOS E MEIOS EM UMA PA
Em uma Progress•o Aritm•tica (finita) dada pelo conjunto:
C = { all a2a a31 ...I anl..lram-lr am ]"
os termos al e am s•o denominados extremos enquanto os demais: a2, a3, ..., am-2, am-1 s•o os meios
aritm•ticos.
•la2, a3r ..., am-2, am-l••n•os--aar•t-m-•;dcos i
Exemplo: Na PA definida por C={1,3,5,7,9,11}, os nOmeros 1 e 11 s•o os extremos e os nOmeros 3, 5, 7 e 9
s•o os meios aritm•ticos.
Termos eq0idistantes dos extremos: Em uma PA com m termos, dois termos s•o eqiJidistantes dos
extremos se a soma de seus fndices • igual a m+l e sob estas condic;6es, s•o eqiJidistantes dos extremos os
pares de termos
al e aml a2 e am-ll a3 e am-zz Ill
Se a PA possui um nOmero de termos m que • par, temos m/2 pares de termos equidistantes dos
extremos.
Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20,24}, possui um ndmero par de termos e os extremos s•o a1=4 e
a6=24, assim:
a2+as= 8+20 --- 28=a1+a6
a3+a4= 12+16 = 28=a1+a6
a4+a3= 16+12 = 28=al+a6
as+a2= 20+ 8 = 28=a1+a6
Se o nOmero m de termos • impar, temos (m-1)/2 pares de termos eqiJidistantes e ainda teremos um
termo isolado (de ordem (m+1)/2) que • eqiJidistante dos extremos.
Exemplo: Na PA de C={1,3,5,7,9} os ndmeros 1 e 9 s•o os extremos da PA e os nOmeros 3, 5 e 7 s•o os meios
da PA. O par de termos eqLiidistante dos extremos • formado por 3 e 7, e alum disso o nOmero 5 que ficou
isolado tamb•m • eqOidistante dos extremos.
Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20}, possui um nOmero impar de termos e os extremos s•o a•=4 e
%=20, logo
a2+a4 = 8+16 =24=al+a5
a3 + a3 = 12 + 12 = 24 = al + as
a4+a2=16+ 8 =24=al+as
INTE RPOLA•AO ARITM ETICA
Interpolar k meios aritm6ticos entre os ndmeros a e b, significa obter uma PA com k+2 termos cujos
extremos s•o a e b, sendo que a • o primeiro termo e b • o (Oltimo) termo de ordem k+2. Para realizar a
interpolac;•o, basta determinar a raz•o da PA.
12
Matem&tica - M6dulo Verde
.................................. Jl• m "!!.....
Exemplo: Para interpolar 6 meios aritm•ticos entre a=-9 e b=19, • o mesmo que obter uma PA tal que a1=-9,
am=19 e m=8. Como r=(am-al)/(m-1), ent•o r=(19-(-9))/7=4 e assim a PA ficar• na forma do conjunto:
C = { -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19 }
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA (FINITA)
Em uma PA (finita), a soma de dois termos eqiJidistantes dos extremos • igual • soma dos extremos desta PA.
Assim:
a 2ara rn.l=a 3-I-a m.2= a4-1- am.3= ,,, = an-I- a rn.n+ 1= ..."al ar arn
Seja a soma S. dos n primeiros termos da PA, dada por
Sn "-- al + a2 ar a3 + .,. -I- an-2 + an-1 + an
Como a soma de n0meros reais • comutativa, escrevemos:
Sn = an -I- an-1 -I- an-2 + ,., + a3 + a2 + al
Somando membro a membro as duas 01timas expressSes acima,obtemos:
2Sn "" (al+an) + (a2+a,-1) +...+ (a,-l+a2) + (an-l-a1)
Como todas as n expressSes em par•nteses s•o somas de pares de termos eqiJidistantes dos extremos, segue
que a soma de cada termo, sempre ser• igual a (al+an), ent•o:
2Sn = (al + an) n
Assim, temos a f6rmula para o c•lculo da soma dos n primeiros termos da PA.
Sn = (al + a.)n/2
Exemplo: Para obter a soma dos 30 primeiros termos da PA definida por C={2,5,8,...,89}. Aqui a•=2, r=3 e
n=30. Aplicando a f6rmula da soma, obtida acima, temos:
Sn -" (a•+an)n/2 = (2+89)x30/2 = (91x30)/2 = 1365
SEQUENCIAS GEOMI=TRICAS E PG
Outra seqLi•ncia muito importante • a seqiJ•ncia geom•trica, que possui dominio infinito. Esta seq0•ncia
conhecida no •mbito do Ensino M•dio, como uma Progress•o Geom•trica infinita, mas o objeto matem•tico
denominado Progress•o Geom•trica finita n•o • urea seqiJ•ncia, uma vez que o dominio da fun•o • um
conjunto finito {1,2,3.....m} que • um subconjunto pr6prio de N.
As seq0•ncia geom•tricas s•o aplicadas a estudos para a obtenq•o do montante de um valor
capitalizado periodicamente, assim como em estudos de Taxas de juros, Financiamentos e Presta•6es. Tais
seqCi•ncias tamb•m aparecem em estudos de decaimento radioativo (teste do Carbono 14 para a an•lise da
idade de um f6ssil ou objeto antigo).
No Ensino Superior tais seqiJencias aparecem em estudos de SeqOencias e S•ries de n0meros e de
funqSes, sendo que a s•rie geom•trica (um tipo de seqiJ•ncia obtida pelas somas de termos de uma seqiJ•ncia
geom•trica) • muito importante para a obtenq•o de outras s•ries num•ricas e s•ries de func;Ses.
Progress•o Geom6trica finita: Uma Progress•o Geom•trica finita, • uma coleq•o finita de n0meros reais
que possui as mesmas caracteristicas que uma seqe•ncia geom•trica, no entanto, possui um n0mero finito de
elementos. As ProgressSes Geom•tricas s•o denotadas por PG e s•o caracterizadas pelo fato que a divis•o do
termo seguinte pelo termo anterior • um quociente q fixado.
Se este conjunto possui m elementos, ele • denotado por:
G = { al, a2, a3, ..., an•...•am-l,am }
13
Matematica - M6dulo Verde
No caso de uma Progress•o Geom•trica finita, temos os seguintes termos t•cnicos.
1,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
m • 0 n0mero de termos da PG.
n indica uma posig•o na sequ•ncia, n • 0 fndice para a ordem do termo geral a, no con/unto G.
an • 0 n-•simo termo da PG, que se I• a indice n.
al • 0 primeiro termo da PG, que se I& a fndice 1.
a2 • 0 segundo termo da PG, que se I& a fndice 2.
am • 0 01timo elemento da PG. : .
q • a raz•o da PG, que pode ser obtida pela divis•o do terrno posterior pelo termo anterior, ou seja na
PG definida por G={al,a2,a3,...,an.l,an}, temos que
a2/al = a3/a2 = a4la3 =...= an/an-1 = q
M•dia geom•trica: Dados n n•meros reais positivos Xl, x2, x3, ..., Xn, definimos a m•dia geom•trica entre estes
n0meros, denotada pela letra g, como a raiz n-Ssima do produto entre estes n0meros, isto •:
g- xlx2...x, 
Na Progress•o Geom•trica• cada termo • a m•dia geom•trica entre o antecedente e o consequente do termo
tornado, daf a raz•o de tal denomina•o para este tipo de sequSncia.
"
2"
FORMULA DO TERMO GERAL"DA PG
Observamos que:
al=al=alq°
a2 = al q = al ql
a3 " al q = a• q2
a4 -• a3 q = al q3
mn nm nl
an = an-1 q = al qn-1
E temos a f6rmula para o termo geral da PG, dada por:
an = al qn-1
Exemplos corn progressSes geom•tricas finitas
1. Seja a PG finita, definida por G={2,4,8,16,32}. Obtemos a
conseqL•ente pelo antecedente, pois:
2,
pois:
3,
4,
5,
a2=16. Assim
obtemos:
raz•o q=2 da PG com a divis•o do
32+16 = 16+8 = 8+4 = 4+2 = 2
Para a PG definida por G={8,2,1/2,1/8,1/32}, a divis•o de cada termo posterior pelo anterior • q=1/4,
1/32+1/8 = 118+1/2 = 1/2+2 = 2+8 = 1/4
Para a PG definida por T={3,9,27,81}, temos:
q = 9/3 = 27/3 = 81/3 = 3
Para a PG A={10,100,1000,10000}, temos:
q = 100110 = 1000/100 = 1000011000 = 10
Para obter o termo geral da seqLiencias geom•trica definida por E={4,16,64,...}, tomamos a1=4 e
q=16/4=4. Substituindo estes dados na f6rmula do termo geral da seq(J•ncia geom•trica,
f(n) = al.qn'l = 41.4n'1--4(n'1)+1 = 4n
6. Para obter o termo geral da PG tal que a•=5 e q=5, basta usar a f6rmula do termo geral da PG, para
escrever:
an = al.qn'l = 5,5n'l "" 51,5n'l -' 5(n'1)+1 '- 5n
14
INTERPOLA•AO GEOMETRICA
Matem&tica - M6dulo Verde
Interpolar k meios geom6tricos entre dois n0meros dados a e b, significa obter uma PG com k+2 termos, cujos
extremos s•o a e b, sendo que a • o primeiro termo da PG e b • o Oltimo termo da PG, que possui ordem k+2.
Para realizar a interpolac•o geom•trica, basta determinar a raz•o da PG.
Exemplo: Para interpolar tr•s meios geom6tricos entre 3 e 48, basra tomar a1=3, an=48, k=3 e n=5 para obter
a raz•o da PG. Como an=alq"'1, ent•o 48=3q4 e segue que q4=16, garantindo que a raz•o • q=2. Temos ent•o
a PG:
R = { 3, 6, 12, 24, 48 }
FORMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA
Seja a PG finita, Y={al,alq,alq2,...,a•qn•}. Indicamos a soma dos n termos dessa PG, por:
¯ Sn "-- al 4" al q + al q2 + ... + al qn-1
Se q=l, temos:
Se q • diferente de 1, temos
Sn -'- at + al + al + ... + al =n al
Sn ---- al -I- alq + alq2 + alq3 + ... + alqn'l
Multiplicando ambos os membros da igualdade acima pela raz•o q, obteremos
q Sn -- alq + alq 2 + alq3 + alq4 + ,,. + alqn'l + alqn
Dispondo estas expressSes de uma forma alinhada, obteremos:
Sn II al + alq +..,+ alqn'l
q Sn = alq +...+ alqn-1 + alq n
Subtraindo membro a membro, a segunda express•o da primeira, obteremos
que pode ser simplificada em
Sn " q Sn = al - al qn
Sn(l'q) = al (1 - qn)
ou seja
S. = al(1-qn)/(1-q) = al(q"-l)/(q-1)
Fsta • a f6rmula para a soma dos n termos de uma PG finita de raz•o q, sendo -1<q<1.
Exemplos
1. Para obter os termos da PG W={3,9,27,81}, devemos obter a raz•o desta PG e como esta • obtida pela
divis•o do termo posterior pelo termo anterior, temos que q=9/3=3. Como a1=3 e n=4, substituimos os dados
na f6rmula da soma dos termos de uma PG finita, obtemos:
$4=3 (34-1)/(3-1)=3(81-1)/2= 3x80/2=120
2. Para obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PG cuja raz•o • q=l e a1=2, podemos identificar a
PG com o conjunto X={2,2,2,2,2}. Como a raz•o da PG • q=l, temos que a soma dos seus termos • obtida por
Ss=2x5=10.
15
Matem&tica - M6dulo Verde
RAZOES
RAZ. O E PROPOR( AO
A palavra raz•o vem do latim tahoe significa a divis•o ou o quociente entre dois nOmeros A e B, denotada por:
Exemplo: A raz•o entre 12 e 3 • 4, porque:
12
•:4
3
e a raz•o entre 3 e 6 • 0,5, pois:
3
= 0,5
6
A
B
A raz•o tamb•m pode ser expressa na forma de divis•o entre duas grandezas de algum sistema de
medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco
concentrado corn B litros de •gua. A relaq•o entre a quantidade de litros de suco concentrado e de •gua • um
nOmero real expresso como uma fraq•o ou raz•o (que n•o tem unidade), • a raz•o:
A
.• = A/B
B
Exemplo: Tomemos a situaq•o apresentada na tabela abaixo.
Suco puro t 3
Agua •[ 8
iSuco pronl•o! 11 ]
6 ! 8 I 30j
16 ! 32 •---80 i
Na Situaq•ol, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de •gua, perfazendo o total de 11 litros
de suco pronto.
Na Situac;•o2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de •gua, perfazendo o total de 24 litros
de suco pronto.
Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.
Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o n•mero de arremessos que ele acertou
pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que tamb•m
pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.
10:20= 1:2=0,5
•! PROPOR(•6ES
Proporc;•o • a igualdade entre duas razSes. A propor(;•o entre A/B e C/D • a igualdade:
A C
B D
Notas hist6ricas: A palavra proporq•o vem do latim proportione e significa urea relac;•o entre as partes
de urna grandeza, ou seja, • uma igualdade entre duas razSes. No s•culo XV, o matem•tico •rabe AI-Kassadi
• | lllll ! •,--
16
Matem&tica - M6dulo Verde
empregouo sfmbolo "..." para indicar as proporqSes e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por
Tartaglia, escreveu uma propor(;•o na forma
6:3::8:4.
Regiomontanus foi um dos matem•ticos italianos que mais divulgou o emprego das proporq6es durante
o perfodo do Renascimento.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPOR•OES
Numa proporq•o:
A C
B D
0s n6meros A e D s•o denominados extremos enquanto os n6meros B e C s•o os meios e vale a propriedade: o
produto dos meios 6 igual ao produto dos extremos, isto 6:
A'D=B'C
Exemplo: A fraq•o 3/4 est• em proporq•o com 6/8, pois:
3 6
4 8
Exerdcio: Determinar o valor de X para que a raz•o X/3 esteja em proporq•o com 4/6.
Soluq•o: Deve-se montar a propor(•o da seguinte forma:
x 4
3 6
Para obter X=2.
RAZOES E PROPOR•OES DE SEGMENTOS
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas s•o dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.
A B, C D
Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma raz•o entre as suas medidas.
m(AB) 2
m(CD) 4
Podemos tarnb•m afirmar que AB est• para CD na raz•o de 1 para 2 ou que CD est• para AB na raz•o de 2 para 1.
•J POLIGONOS SEMELHANTES
Dois polfgonos s•o semelhantes se
correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os tri•ngulos ABC e RST.
t6m •ngulos correspondentes congruentes e os lados
c T
•iiiiiiiiiiiiiiiiiii!iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!i!i!iii!iii!iii!iiiiiiiiiii
R 2,5 8A 5 B
Observamos que os •ngulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, ANR, B•S,
C•T e os lados correspondentes s•o proporcionais.
AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2
17
Matem•tica - M6dulo Verde
Afirmamos que os polfgonos (tri•ngulos) ABC e RST s•o semelhantes e indicamos isto por :
ABC • DEF
FIGURAS SEMELHANTES
Duas figuras s•o semelhantes quando elas t6m a mesma forma corn medidas correspondentes
congruentes, ou seja, quando uma • uma ampliaq•o ou reduc•o da outra. Isto significa que existe uma
proporc•o constante entre elas sem ocorr•ncia de deformaq•o. A figura final e a figura original s•o chamadas
figuras semelhantes.
As figuras geom•tricas s•o semelhantes quando existe uma igualdade entre as raz6es dos segmentos
que ocupam as correspondentes posiq6es relativas nas figuras.
Exemplo: Nos tri•ngulos
T
 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiii
R 2,5 SA 5 B
observamos que os •ngulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados
correspondentes s•o proporcionais.
AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2
Assim, os tri•ngulos ABC e DEF s•o semelhantes e indicamos por:
ABC • DEF
Exemplo: O mapa do Brasil est• em duas escalas diferentes.
Os dois mapas possuem a mesma forma mas t•m tamanhos diferentes. O mapa verde • uma ampliaq•o do
mapa amarelo ou o mapa amarelo • uma reduq•o do mapa verde.
i• APLICA•OES PRATICAS DAS RAZOES
Existem algumas raz6es especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade m•dia,
escala, densidade demogr•fica e densidade de um corpo.
1. Velocidade M•dia: A "velocidade m•dia", em geral, • uma grandeza obtida pela raz•o entre uma
dist•ncia percorrida (expressa em quil6metros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas,
minutos ou segundos).
Vm•dia -- dist•ncia percorrida / tempo gasto
Exemplo: Suponhamos que um carro de F6rmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade m•dia do
vefculo nesse percurso?
A partir dos dados do problema, teremos:
18
Vm•dia -- 328 Km / 2h = 164 Km/h
Matem&tica - M6dulo Verde
ll
............... m m .
o que significa que a velocidade m•dia do vefculo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora
percorrida o carro se deslocou 164 Km.
2. Escala: Uma das aplicaq6es da raz•o entre duas grandezas se encontra na escala de reduc•o ouescala de ampliaq•o, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho • raz•o entre
o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma
unidade.
escala = comprimento no desenho / comprimento real
Usamos escala quando queremos representar um esboqo gr•fico de objetos como m6veis, plantas de
uma casa ou de uma cidade, fachadas de pr•dios, mapas, maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
.1
L:l'L ]
8 unidades
Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4
Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
AItura do barco azul/AItura do barco vermelho = 3/6
O barco vermelho • uma ampliaq•o do barco azul, pois as dimens6es do barco vermelho s•o 2 vezes
maiores do que as dimens6es do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos • metade na
mesma proporc•o.
3. Densidade Demogr•fica: O c•lculo da densidade demogr•fica, tamb•m chamada de popula(•o
relativa de uma regi•o • considerada uma aplicaq•o de raz•o entre duas grandezas. Ela expressa a raz•o entre
o nOmero de habitantes e a •rea ocupada em uma certa regi•o.
Exemplo: Em um jogo de v61ei h• 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da
quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expuls•o de 1 jogador de um time, sendo que n•o pode haver
substituiq•o, observa-se que sobra mais espac•o vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso.
Neste caso, afirmamos que a densidade demogr•fica • menor na quadra que tern um jogador expulso e maior
na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a •rea de 200.000 Km 2. De acordo corn o censo realizado, o estado tem
urea populac•o aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:
dens.demogr•fica=12.000.000 habitantes/200.000 Km 2
densidade demogr•fica = 60 habitantes/Km 2
Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.
4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo • mais urea aplicaq•o de raz•o entre duas
grandezas. Assim, a densidade (volum•trica) de um corpo • a raz•o entre a massa desse corpo, medida em Kg
ou gramas e o seu volume, medido em m 3, dm 3 ou qualquer outra unidade de volume.
Exemplo: Se uma est•tua de bronze possui uma densidade volum•trica de 8,75 kg/dm 3 ent•o para cada dm 3 h•
uma massa de 8,75 kg.
Curiosidade:Devido • exist•ncia de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em
um recipiente corn •gua, alguns afundam e outros flutuam.
19
Matem&tica - M6dulo Verde
Uma bolinha de isopor flutuar• na •gua enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundar•.
Isso ocorre porque a densidade do chumbo • maior que a densidade do isopor. AIgumas subst•ncias e suas
densidades est•o na tabela abaixo:
as •de [gl• ::•
madeira i 0,5
gasolina i 0,7
' •lcool ! 0,8
.......
aiuminio:I
...................................
2i 
...................................
.............. rro..............I
................................. ...................................
r mercSrio i 13,6
5. Pi: Uma raz•o muito famosa: Os egfpcios trabalhavam muito corn certas razSes e descobriram a
raz•o entre o comprimento de uma circunfer•ncia e seu di•metro. Este • um fato fundamental pois esta raz•o
a mesma para toda circunfer•ncia. 0 nome desta raz•o • Pi e seu valor • aproximadamente:
Pi = 3,1415926535
Exemplo: Se C • o comprimento da circunfer•ncia e D a medida do di•metro da circunfer•ncia, temos uma
raz•o not•vel:
C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...
significando que
C=Pi.D
Exemplo: Se a medida do raio de uma circunfer•ncia tem 1,5cm ent•o o perimetro da circunfer•ncia • igual a
9,43cm.
PROPOR•OES COM NOMEROS
Quatro nOmeros racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporq•o quando:
A C
B D
1. Os nOmeros A, B, C e D s•o denominados termos
2. Os nOmeros A e B s•o os dois primeiros termos
3. Os n6meros C e D s•o os dois Oltimos termos
4. Os n6meros A e C s•o os antecedentes
5. Os n6meros B e D s•o os conseqi3entes
6. A e D s•o os extremos
7. B e C s•o os meios
8. A divis•o entre A e B e a divis•o entre C e D, • uma constante K, denominada constante de
proporcionalidade K dessa raz•o.
PROPRIEDADES DAS PROPOR(•OES
Para a proporq•o
valem as seguintes propriedades:
A C
B D
2O
Matematica - M6dulo Verde
! l ill I
O produtodos meios 6 igual ao produto dos extremosi isto 6:1°
A'D=B'C
2. A soma (diferen(;a) dos dois primeiros termos est• para o primeiro termo, assim como a soma
(diferenqa) dos dois Oltimos est• para o terceiro termo, isto 6:
A+B C+D A-B C-D
-- e -
A C A C
3. A soma (diferen(•a) dos dois primeiros termos est• para o segundo termo,
(diferenqa) dos dois 51timos est• para o quarto termo, isto 6:
assim como a soma
A+B C+D A-B C-D
B D B D
4. A soma (diferenqa) dos antecedentes est• para a soma (diferen(•a) dos conseq0entes, assim como cada
antecedente est• para o seu conseq0ente, isto 6:
A+C A A-C A+C A-C C
e - -
B+D B B-D B+D B-D D
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas s•o diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra tamb6m
aumenta na mesma propor(;•o, ou, diminuindo uma delas, a outra tamb6m diminui na mesma proporq•o.
Se duas grandezas X e Y s•o diretamente proporcionais, os nOmeros que expressam essas grandezas
variam na mesma raz•o, isto 6, existe uma constante K tal que:
X
•=K
Y
Exemplos:
1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com •gua azul. A cada 15 minutos 6 medida a altura do nfvel
de •gua. (cm=centimetros e min=minutos)
..............
l5minui:os
........................
36"minutos
...........
45minu;cos I
50 cm i 100 cm 150 cm i
2. Construfmos uma tabela para mostrar a evoluq•o da ocorr6ncia:
Tempo (min) / Altura (cm)
15 50
.................................
30
......................................
I
.................
10o
................... i
21
Matematica - M6dulo Verde
........... Im_!
----
.
3. Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nfvel da •gua tamb6m duplica e quando o
intervalo de tempo 6 triplicado, a altura do nfvel da •gua tamb6m 6 triplicada.
ObservaqSes: Usando razSes, podemos descrever essa situaq•o de outro modo.
(a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na raz•o
15/30, enquanto que a altura da •gua varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na raz•o 50/100.
Observamos que estas duas razSes s•o iguais:
15 50 1
30 100 2
(b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso,
o tempo varia na raz•o 15/45 e a altura na raz•o 50/150. Ent•o, notamos que essas razSes s•o iguais:
15 50 1
45 150 3
Conclufmos que a raz•o entre o valor num6rico do tempo que a torneira fica aberta e o valor num6rico
da altura'atingida pela •gua • sempre igual, assim dizemos ent•o que a altura do nfvel da •gua 6 diretamente
proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.
4. Em m6dia, um autom6vel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas.
(Km=quil6metro, h=hora). Construfmos uma tabela da situa(•o:
5. Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica tamb6m a dist•ncia percorrida e quando o
intervalo de tempo 6 triplicado, a dist•ncia tamb6m 6 triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta,
a dist•ncia percorrida tamb6m aumenta na mesma proporq•o.
ObservaqSes: Usando raz6es e propor(•Ses, podemos descrever essa situa(•o de outro modo.
(a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a dist•ncia percorrida varia de 80 Km para
160 Km, ou seja, o tempo varia na raz•o de 1/2 enquanto a dist•ncia percorrida varia na raz•o 80/160. Assim
temos que tais raz6es s•o iguais, isto 6:
1 80 1
2 160 3
b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a dist•ncia percorrida varia de 160 Km para 240
Km. Nesse caso, o tempo varia na raz•o 2/3 e a dist•ncia percorrida na raz•o 160/240 e observamos que essas
raz6es s•o iguais, isto 6:
2 160 1
3 240 3
Concluimos que o tempo gasto e a dist•ncia percorrida, variam sempre na mesma raz•o e isto significa
que a dist•ncia percorrida 6 diretamente proporcional ao tempo gasto para percorr•-Ia, se a velocidade m6dia
do autom6vel se mantiver constante.
22
Matem•tica - M6dulo Verde...........................
•I • llm/lll lilllll
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas s•o inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na
mesma proporc•o, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporq•o. Se duas grandezas X e Ys•o inversamente proporcionais, os n5meros que expressam essas grandezas variam na raz•o inversa, isto 6,
existe uma constante K tal que:
X'Y=K
Exernplos:
1. A professora de um col•gio, tern 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma
quantidade de livros para cada aluno.
o melhor aluno receber• 24 livros
cada um dos 2 melhores alunos receber• 12 livros
cada um dos 3 melhores alunos receber& 8 livros
cada um dos 4 melhores alunos receber& 6 livros
cada um dos 6 melhores alunos receber& 4 livros
Alunos escolhidos --i---- Livros par•cada aluno
1 I 24
2 i 12
3 • 8
4 i 6
6 ! 4 _.j
2. De acordo corn a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno
receber•, s•o grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:
¯ Se o nSmero de alunos dobra, o n0mero de livros que cada um vai receber cai para a metacle.
¯ Se o n•mero de alunos triplica, o n•mero de livros que cada aluno vai receber cai para a teresa parte.
¯ Se o nSmero de alunos quadruplica, o nOmero de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.
¯ Se o nOmero de alunos sextuplica, o nSmero de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.
Sob estas condiqSes, as duas grandezas envolvidas (nOmero de alunos escolhidos e nOmero de livros
distribufdos) s•o grandezas inversamente proporcionais.
Quando a quantidade de alunos varia na raz•o de 2 para 4, a quantidade de livros distribufdos varia de
12 para 6.
Notemos que essas raz6es n•o s•o iguais, mas s•o inversas:
2 1 1 12 1
- - e - 2
4 12/6 2 6 214
Se a quantidade de alunos varia na raz•o de 2 para 6, a quantidade de livros distribufdos varia de 12
para 4. Observemos que essas raz6es n•o s•o iguais, mas s•o inversas:
2 1 12 1
•e
6 12/4 4 2/6
Representamos tais grandezas inversamente proporcionais corn a funq•o f(x)=24/x, apresentada no gr•fico
24
22
20
?-..
2 4 8
•
8 10 '12
23
Matematica - M6dulo Verde
............ WUm. |•l_
3. Um autom6vel se desloca de uma cidade at• uma outra Iocalizada a 120 Km da primeira. Se o percurso
realizado era:
1 hora, velocidade m6dia de 120 Km/h
2 horas, velocidade m•dia de 60 Km/h
3 horas, velocidade rn6dia de 40 Km/h
A unidade • Km/h=quil6metro por hora e uma tabela da situa•o 6:
IIIIIIIIIIIIZI,III
4o I 3
De acordo com a tabela, o autom6vel faz o percurso em 1 hora com velocidade m•dia de 120 Km/h.
Quando diminui a velocidade • metade, ou seja 60 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra
e quando diminui a velocidade para a ter(•a parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso
triplica.
Para percorrer uma mesma dist•ncia fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, s•o inversamente
proporcionais.
24
Matem&tica - M6dulo Verde•" wAwmm•i • fill ......ll 1 m
REGRA DE TRES E PORCENTAGEM
ELEMENTOS HISTORICOS SOBRE A REGRA DE TRES
Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporc•6es, n•o Chegaram a aplic•i-las na resolu•o deproblemas. Na Idade M•dia, os •rabes revelaram ao mundo a "Regra de Tr6s". No s•culo XIII, o italiano
Leonardo de Pisa difundiu os princfpios dessa regra em seu LiberAbaci (o livro do •baco), com o nome de Regra
dos tr#s ndmeros conhecidos.
•J REGRA DE TRES SIMPLES DIRETA
Uma regra de tr•s simples direta • uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.
Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas
grandezas W e Z tamb•m diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de
proporcionalidade K.
assim
X W
•.=K e .•-=K
Y Z
X W
Y Z
Exemplo: Na extremidade de uma mola (te6rica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa
de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um
corpo corn 15Kg de massana extremidade dessa mola, qual ser• o deslocamento no comprimento da mola?
(Kg=quilograma e cm=centfmetro).
Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:
Massa do corpo (Kg) Deslocamento da mola (cm) •]
i
..............................................................
iO
.....................................................
!
............................................................................... .............................
..........................................i
.................................................................. ..................................................................
" x J
As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, s•o diretamente proporcionais. Conhecidos tr•s dos valores no
problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a propor•o:
10 54
15 X
Observamos que os n6meros 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os
n6meros 54 e X tamb•m aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo
10"X=15"54, logo 10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola ser• de 81cm.
• REGRA DE TRES SIMPLES INVERSA
Uma regra de tr•s simples inversa • uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais
para obter uma proporc;•o.
Na resoluc;•o de problemas, considerernos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras
duas grandezas tarnb•m inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de
proporcionalidade K.
A'B=K e C'D=K
25
Matematica - M6dulo Verde
segue que
logo
A'B=C'D
A D
C B
Exemplo: Ao participar de um treino de F6rmula 1, um corredor imprimindo a velocidade m6dia de 180
Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade m•dia fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no
mesmo percurso? (Km/h=quil6metro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T.
De acordo com os dados do problema, temos:
..................................... .....................................................
i
.............................. ...............................
18o ! 2o
' 200 T ,I
Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espa($o
percorrido. Conhecidos tr&s valores, podemos obter um quarto valor T.
180 T
200 20
Os nOmeros 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os
nOmeros 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.
Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do
corredor for de 200 Km/h ele gastar• 18s para realizar o mesmo percurso.
: •..
•J REGRA DE TRF:S COMPOSTA ......
Regra de tr•s composta 6 um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais,
inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situaq6es.
O m•todo funcional para resolver um problema dessa ordem 6 montar uma tabela corn duas linhas, sendo que a
primeira linha indica as grandezas relativas • primeira situaq•o enquanto que a segunda linha indica os valores
conhecidos da segunda situa¢•o.
Se A1, B1, C1, D1, El, ... s•o os valores associados &s grandezas para uma primeira situa¢•o e A2, B2,
C2, D2, E2, ... s•o os valores associados •s grandezas para uma segunda situag•o, montamos a tabela abaixo
lembrando que estamos interessados em obter o valor num•rico para uma das grandezas, digamos Z2 se
conhecemos o correspondente valor num•rico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.
iSitua•:•o IGrandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 !Grandeza 4
iSituaq•o 1 A1 i B1 / C1 • D1, i
l ! i
Grandeza 5 Grand... I Grandeza ? i
E1 "'" 1 Z1 i
E2 ... Z2 i
Quando todas as grandezas s•o diretamente proporcionais • grandeza Z, resolvemos a propor•o:
Z1 AI"BI'CI" DI"EI" FI...
Z2 A2"B2"C2" D2"E2"F2...
Quando todas as grandezas s•o diretamente proporcionais & grandeza Z, exceto a segunda grandeza
(com a letra B, por exemplo) que • inversamente proporcional • grandeza Z, resolvemos a propor¢•o com B1
trocada de posiq•o com B2:
Z1 AI"B2"CI" DI"EI" F1...
Z2 A2"BI"C2" D2'E2" F2...
.......................................................... -
Matern&tica - M6dulo Verde
.......
i lii li ......
As grandezas que forem diretamente proporcionais • grandeza Z s•o indicadas na mesma ordem
(direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais • grandeza
Z aparecer•o na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C
diretamente proporcionais • grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais • grandeza Z,
deveremos resolver a proporc;•o:
Z1 AI"B2"CI'D2
Z2 A2"BI"C2"D1
ObservaqSo: O problema dif[cil • analisar de um ponto de vista 16gico quais grandezas sSo diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais. Como • muito dif[cil realizar esta an•lise de um ponto de vista
geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situac•o.
Exemplos:
1. Funcionando durante 6 dias, 5 m•quinas produziram 400 peqas de uma mercadoria. Quantas pet;as
dessa mesma mercadoria ser•o produzidas por 7 m•quinas iguais •s primeiras, se essas m•quinas funcionarem
durante 9 dias?
Vamos representar o n0mero de pe(•as pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos
organizar a tabela:
No. de mSquinas (A) i No. de dias (B) l No. de peqas (C)
, I × i
A grandeza N0mero de peqas (C) servir• de refer•ncJa para as outras grandezas. Analisaremos se as
grandezas NOmero de m•quinas (A) e NOmero de dias (B) s•o diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais • grandeza C que representa o NOmero de pec•as. Tal an•lise deve ser feita de uma forma
independente para cada par de grandezas.
Vamos considerar as grandezas N6mero de peqas e NOmero de m•quinas. Devemos fazer uso de 16gica para
constatar que se tivermos mais m•quinas operando produziremos mais peqas e se lJvermos menos m•quinas operando
produziremos menos peqas. Assim temos que estas duas grandezas s•o diretamente proporcionais.
Vamos agora considerar as grandezas N0mero de peqas e N•mero de dias. Novamente devemos usar a
16gica para constatar que se tivermos maior nOmero de dias produziremos maior nOmero de peqas e se tivermos
menor nOmero de dias produziremos menor n6mero de pe(•as. Assim temos que estas duas grandezas tamb•m
s•o diretamente proporcionais.
Concluimos que todas as grandezas envolvidas s•o diretamente proporcionais, logo, basta resolver a
proporq•o:
400 5×6
que pode ser posta na forma
x 7x9
400 30
x 63
Resolvendo a proporc•o, obtemos X=840, assim, se as 7 m•quinas funcionarem durante 9 dias ser•o
produzidas 840 pec•as.
2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em m•dia 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse
motociclista ir• percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quil6metro).
Vamos representar o nOmero de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos
organi7ar a tabela:
Quil6metros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C) i
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................!
200 4 2 I
500 5 X
27
Matem•tica - M6dulo Verde
A grandeza N5mero de dias (C) • a que servir• como refer6ncia para as outras grandezas. Analisaremos
se as grandezas Quil6metros (A) e Horas por dia (B) s•o diretamente proporcionais ou inversamente
proportionals • grandeza C que representa o NGmero de dias. Tal an•lise deve ser feita de uma forma
independente para cada par de grandezas.
Consideremos as grandezas NOmero de dias e Quil6metros. Usaremos a 16gica para constatar que se
rodarmos maior nOmero de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor nOmero de dias
percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezass•o diretamente proporcionais.
Na outra an•lise, vamos agora considerar as grandezas NOmero de clias e Horas por dia. Verificar que
para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior nOmero de dias utilizaremos menor nOmero de horas por dia
e se tivermos menor nOmero de dias necessitaremos maior nOmero de horas para p mesmo percurso. Logo,
estas duas grandezas s•o inversamente proporcionais e desse modo:
2 200x5
i
que pode ser posta como
X 500x4
2 1000
X 2000
Resolvendo esta proporq•o, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h pordia,
o motociclistalevar• 4 dias.
PORCENTAGEM
Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunica(•o, expressSes matem•ticas
relacionadas com porcentagem. 0 termo por cento • proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem.
Toda raz•o da forma a/b na qual o denominador b=lO0, • chamada taxa de porcentagem ou simplesmente
porcentagem ou ainda percentagem.
Historicamente, a express•o por cento aparece nas principais obras de aritm•tica de autores italianos do
s•culo XV. 0 sfmbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas opera(•Ses mercantis.
Para indicar um fndice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de
algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto •:
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
Em geral, para indicar um fndice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um nOmero N,
realizamos o produto:
Produto = MO/o.N = M.N / 100
Exemplos:
1. Um fich•rio tern 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas est•o etiquetadas com um nOmero par.
Quantas fichas t•m a etiqueta com nOmero par? Quantas fichas t•m a etiqueta corn n6mero fmpar?
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13
Nesse fich•rio h• 13 fichas etiquetadas corn nOmero par e 12 fichas com nOmero fmpar.
2. Num torneio de basquete, uma determinada sele(;•o disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a
porcentagem de vit6rias obtida por essa sele(•o nessa fase?
Vamos indicar por X% o nOmero que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da
seguinte forma:
X°/o de 4 = 3
28
Assim:
(X/100).4 = 3
4X/100 = 3
4X - 300
X=75
Na primeira fase a porcentagem de vit6rias foi de 75%.
Matem&tica - M6dulo Verde
....
1 u ......
3. Numa indL•stria h• 255 empregadas. Esse n0mero corresponde a 42,5% do total de empregados da
indL•stria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indOstria?
Vamos indicar por X o nL•rnero total de empregados dessa indL•stria. Esse problema pocle ser representado por:
42,5% de X = 255
Assi m:
42,5%.X = 255
42,5 / IO0.X -- 255
42,5.X / 100 = 255
42,5.X = 25500
425.X = 255000
X = 255000/425 = 600
Nessa indOstria trabalham 600 pessoas, sendo que h• 345 homens.
4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preqo marcado na etiqueta. Se paguei R$
690,00 pela mercadoria, qual o prec•o original dessa mercadoria?
Seja X o preqo original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preqo da etiqueta, o pre(•o que paguei
representa 100%-8%=92% do pre(•o original e isto significa que
92% deX=690
logo
92°/o.X = 690
92/100.X = 690
92.X/ 100 = 690
92.X = 69000
X = 69000 / 92 = 750
O preqo original da mercadoria era de R$ 750,00.
29
Matematica - M6dulo Verde
lilt ll .
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
ELEMENTOS BASICOS EM MATEMATICA FINANCEIRA
A Matem•tica Financeira • uma ferramenta 6til na an•lise de algumas alternativas de investimentos ou
financiamentos de bens de consumo. A id•ia b&sica • simplificar a operac;•o financeira a um Fluxo de Caixa e
empregar alguns procedimentos matem•ticos.
Capital: O capital • o valor aplicado por meio de alguma operaq•o financeira. Tamb•m conhecido como:
Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em Ifngua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas
calculadoras financeiras pela tecla PV.
Juros: Juros representam a remunerac•o do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os
juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou at• mesmo, com algumas
condiqSes mistas.
Simples
r
Corn postos
Somente o principal rende juros. !
p6s cada periodo, os juros-s•o incorporados ao Capital,
oporcionando juros sobre juros. ,j
Notac•Ses comuns que ser•o utilizadas neste material
== I Capital
nOmero de periodos
taxa percentual de juros
taxa unit&ria de juros (i = r I 100) J
Principal ou valor atual i]
I%f Montante de capitaliza•o simples
tr•+<-.........T
Montante de capitaliza•:•o composta
• COMPATIBILIDADE DOS DADOS
Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os periodos dever•o ser respectivamente, mensais,
trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e perfodos sejam compativeis, coerentes ou
homog•neos. SituaqSes onde isto n•o ocorre, ser•o estudadas • parte e dever•o ser feitas conversSes de
unidades.
Exemplo: Na f6rmula
F(i,n) = 1 + i n
a taxa unit•ria de juros i dever• estar indicada na mesma unidade de tempo que o n•mero de periodos n, ou
seja, se a taxa • i=0,05 ao m•s, ent•o n dever• ser um nOmero indicado em meses.
•! JUROS SIMPLES
1. Se n • o numero de perfodos, i 6 a taxa unit•ria ao per[odo e P • o valor principal, ent•o os juros
simples s•o calculados por:
j=Pin
3O
Matem•tica - M6dulo Verde
.............................................
llll I1•....
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos • taxa de 14% ao ano s•o dados por:
j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00
2. Se a taxa ao perfodo • indicada percentualmente, substitufmos i por r/100 e obtemos a f6rmula:
j=Prn/100
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos • taxa de 14% ao ano s•o dados por:
j = 1.250,00 X 14 X 4 / 100 = 700,00
3. Se a taxa • r % ao m•s, usamos m como o n•mero de meses e a f6rmula:
j=Prm/lO0
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) • taxa de 2% ao m•s
s•o dados por:
j - 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00
4. Sea taxa • r% ao dia, usamos d como o n•mero de dias para obter os juros exatos (n•mero exato de
dias) ou comerciais simples corn a f6rmula:
j=Prd/100
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) • taxa de 0,02% ao
dia s•o dados por:
j = 1.250,00 x 0,02 X 180 / 100 = 45,00
Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de
1999 (181 dias), • taxa de 0,2% ao dia, s•o dados por:
j = 1.250,00 x 0,2 X 181 / 100 = 452,50
MONTANTE SIMPLES
Montante • a soma do Capital com os juros. O montante tamb•m • conhecido como Valor Futuro. Em Ifngua
inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante • dado por urea
das f6rmulas:
M=P+j=P(I+in)
Exemplo a: Se a taxa de uma aplicaq•o • de 150% ao ano, quantos meses ser•o necess•rios para dobrar um
capital aplicado por meio de capitaliza(•o simples?
Objetivo: M=2P
Dados: i=150/100=1,5; F6rmula: M=P(l+in)
Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), ent•o 2=1+1,5 n, logo
n = 2/3 ano = 8 meses
Exemplo b: Qual • o valor dos juros simples pagos • taxa i=100% ao ano se o valor principal • P=R$1.000,00 e
a dfvida foi contrafda no dia 10 de janeiro, sendo que dever• ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?
Contagem do tempo:
De 10/01 at• 31/01 21 dias
De 01/02 at• 28/02 28 dias
De 01/03 at• 31/03 31 dias
De 01/04 at• 12/04 12 dias
.........................................................................................................................................................................................................................................................................!
Total 92 dias i
F6rmula para o c•lculo dos juros exatos:
j = P r (d / 365) / lOO
C•lculo:
j = (1000x10ox92/365)/100 = 252,05
31
Matematica - MOdulo Verde
FLUXO DE CAIXA
Apresentaremos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa. 0 internauta interessado em obter
mais detalhes, poder• acessar outrolink que construfmos sobre Fluxo de caixa. Em nossa P•gina, existem
muitos outros links sobre Matem•tica Financeira que construfmos para dar suporte a este curso.
Fluxo de Caixa • um gr•fico contendo informac•Ses sobre Entradas e SaMas de capital, realizadas em
determinados periodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de
tempo) corn os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela corn estas mesmas
indicaqSes.
A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema banc•rio poder• ser indicada por uma seta para :
baixo enquanto que o indMduo que pagou a conta dever• colocar uma seta para cima. A invers•o das setas
uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.
Consideremos uma situac•o em que foi feito um dep6sito inicial de R$5.000,00 em uma conta que rende
juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de R$1.000,00
durante os 5 meses seguintes. No 6°. m•s quer-se conhecer o Valor Futuro da reuni•o destes dep6sitos.
i=[4% a.m.]]l 2 T
10 3 4
l
5000
1 2
"1
1000 1000
!
1000 IOO0
5
!
1000
Valor
Futuro
Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em v•rios meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos
matem•ticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.
i• J U ROS COM POSTOS
Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela
aplicaq•o de um 0nico valor principal P no instante t=0, • taxa i de juros (por periodo) durante n periodos.
Exemplo preparat6rio: Consideremos uma situa(•o hipot•tica que, em 1994 a correc•o da caderneta de
poupanqa tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em
01/01/94, poderfamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.
0 lO1/01/94/
1 1°1/°2/94T
IOl/O / 4
3
100,00 0 i 100,00
100,00 50,00 150,00
1 o,o0
iOl/O4/94i 225,00 337,50
4 io1/o5/94i 337,50 t168,75i 50620
Observamos que os juros foram calculados sobre os principais nos in•cios dos meses que correspondiam aos
montantes dos finais dos meses anteriores.
Juros Compostos s•o juros sobre juros (anatocismo)
32
Matem&tica - M6dulo Verde
A situac•o apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matem&tico, com P=100,00 e
i=50%=0,5. Assim:
Em gerah
onde
Sn = P (l+i)n
•Som---a ou montante i
i,,•-°-itValor Principal aplicado inicialmente I
i•n•mero de periodos da aplica•:•o j
Observaq•o: Relembramos que a taxa e o nOmero de periodos devem ser compativeis ou homog•neos
com respeito • unidade de tempo.
MONTANTE COMPOSTO
A f6rmula para o c•lculo do Montante, em fun¢•o do valor Principal P, da taxa i ao periodo e do nOmero
de periodos n, • dada por:
S = P (1+i)"
Exemplo: Se a taxa de uma aplica¢•o • de 150% ao ano, quanto tempo ser• necess•rio para dobrar o
capital aplicado por meio de capitaliza(•o composta?
Objetivo: S=2P
Taxa anuah i=150/100=1,5. A f6rmula • dada por:
S=P(I+i)n
S01uq•o: 2P=P(1+1,5)", logo
(2,5)" = 2
Para resolver esta Oltima equac;•o, aplicamos Iogaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:
n = log(2) / Iog(2,5) = 0,7564708 de 1 ano
;-•M CALCULO DE JUROS COMPOSTOS
J = P [(l+i)n-1]
Exemplo: Qual • o valor dos juros compostos pagos • taxa i=100% ao ano se o Principal • R$1.000,00 e
a divida foi contraida no dia 10/01/94 e dever• ser paga em 12/04/94?
Soluc•o: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.
DOvida: Qual ser• a f6rmula para juros compostos quando a taxa • anual e o per•odo est• indicado em
urea unidade diferente de 1 ano? A id•ia • transformar 92 dias em unidades anuais para obter:
n = 92/365 de lano = • 0,252055 = 1/4 ano
Principal: P=1000; Taxa anuah i=100/100=1. A f6rmula empregada •:
Solu¢•o:
J = P [(l+i)n-1]
J= 1000[(1+1)1/4-1] = 1000(1,189207-1)= 189,21
Teste: Voc• saberia obter a raiz quarta de um nOmero com uma calculadora que s6 extrai a raiz quadrada? E a
raiz oitava de um nOmero que s6 extrai a raiz quadrada?
T•! TAXAS
Taxa 6 um [ndice num6rico relativo cobrado sobre um capital para a realiza¢•o de alguma opera¢•o
financeira.
Taxas: (Matem•tica Financeira, Introduq•o ao Cap.6, ]os• Dutra Vieira Sobrinho: "No mercado
financeiro brasileiro, mesmo entre os t•cnicos e executivos, reina muita confus•o quanto aos conceitos de taxas
33
Matem&tica - M6dulo Verde
de juros principalmente no que se refere •s taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado
desses conceitos tem dificultado o fechamento de neg6cios pela consequente falta de entendimento entre as
partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matem•tica Financeira existe uma verdadeira 'poluiq•o' de
taxas de juros."
N•o importando se a capitalizaq•o • simples ou composta, existem tr•s tipos principals de taxas:
Taxa Nominal: A taxa Nominal • quando o perfodo de forma•o e incorpora(•o dos juros ao Capital n•o coincide
com aquele a que a taxa est• referida.
Exemplos:
1. 1200% ao ano com capitalizaq•o mensal.
2. 450% ao semestre corn capitalizaq•o mensal.
3. 300% ao ano com capitalizaq•o trimestral.
Taxa Efetiva: A taxa Efetiva • quando o perfodo de formaq•o e incorporaq•o dos juros ao Capital coincide com
aquele a que a taxa est• referida.
Exemplos:
1. 120% ao m•s com capitalizaq•o mensal.
2. 450% ao semestre com capitaliza(•o semestral.
3. 1300% ao ano com capitalizaq•o anual.
Taxa Real: Taxa Real • a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacion•ria do periodo da operaq•o.
Conex•o entre as taxas real, efetiva e de infla•o: A taxa Real n•o • a diferenqa entre a taxa efetiva e a taxa da
inflac•o. Na realidade, existe uma ligaq•o fntima entre as tr•s taxas, dadas por:
l+iefeuva = (l+i•al) (l+ii...•o)
Exemplo: Se a taxa de infla•:•o mensal foi de 30% e um valor aplicado no infcio do m•s produziu um rendimento
global de 32,6% sobre o valor aplicado, ent•o o resultado • igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monet&ria
aplicada. Assim, a variaq•o real no final deste m•s, ser• definida por:
Vreal : 1 + ireal
que pode ser calculada por:
v•= = resultado / (1 + iinfla•o)
isto •:
V•_al = 1,326 / 1,3 = 1,02
0 que significa que a taxa real no periodo, foi de:
i•j = 2O/o
Aplica(•o em caderneta de poupanqa: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupanqa proporciona
um rendimento real de 0,5% ao m•s (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da
inflac•o ii.fla¢•o, isto •, deve ser multiplicado por 1 + iinfl.¢•o e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.
Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupanqa o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a
taxa da inflaq•o desde esta data at• 30/05/93 foi de 35,64% entao ele ter• em sua conta no dia 30/05/93, o
valor de:
V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas il e i2 sao equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo periodo de
tempo, por meio de diferentes sistemas de capitaliza•;•o, produzem o mesmo montante final.
Exemplo: A aplicaq•o de R$1.000,00 • taxa de 10% ao m•s durante 3 meses equivale a uma L•nica
aplicaq•o corn a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de cai×a da situaq•o.
34
Matem&tica - M6dulo Verde
,r-,.. .
1080 1100 lZP1 1331
1 I I I
! ! 1 !
100O -••.....--•'•1•331
10% a,m.
33,1% a.t.
Tomando P=I.000,00; ix=0,1 ao m•s e nx=3 meses, seguir• pela f6rmula do Montante composto, que :
$11 P(l+il)3= 1000(1+0,1)3-- 1000.(1,1)3= 1331,00
Tomando P=I.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a f6rmula do Montante composto,
teremos:
$2= C(1 + i z) 1 = 1000(1+0,331)= 1331,00
Logo $1=$2 e a taxa de 33,1% ao trimestre • equivalente • taxa capitalizada de 10% ao m•s no mesmo
trimestre.
Observa(;•o sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicaq•o • de 300% ao
ano capitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa • de 25% ao m•s e que est• sendo aplicadam•s a m•s, porque:
i -- 300/12 = 25
Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao
trimestre, aplicada a cada trimestre, porque:
i = 300/4 = 75
I• evidenteque estas taxas n•o s•o taxas efetivas.
C•lculos de taxas equivalentes: Como vireos, taxas equivalentes s•o aquelas obtidas por diferentes
processos de capitaliza•o de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.
Consideraremos ia urea taxa ao ano e ip uma taxa ao perfodo p, sendo que este perfodo poder• ser: 1
semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 m•s, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que
tomamos 1 ano como o perfodo integral e que o nOmero de vezes que cada perfodo parcial ocorre em 1 ano
indicado por Np.
Exemplo: lano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4trimestres = 12 meses = 24 quinzenas =
360 dias.
A f6rmula b•sica que fornece a equival•ncia entre duas taxas •:
1 + i. = (l+ip)Np
onde
iia taxa anual
i• i taxa ao periodo j
nt•mero de vezes em 1 ano i
SituaqSes possfveis corn taxas equivalentes
....
".......
s mestre '
.........................
2
......................
I
' i+i•- = il+iauadi• ;iauad'quacirimes;cre;
...............................
3
..........
l+ia= il+itrlmi• it..1
..................
trimest:re
.............................
4
...................
+- _ ¯ 12 ! ¯ ^1 I a -- (l+Imes) i tmes mes I 12
l+ia = (l+i,,uinz) •4 ; iauinz quinzena 24
1 -F }a = (14isemanai24 '[semana ! semana t 52 '
1+i• = (l+idia•)3•s iai., dia 365
35
Matematica - MSdulo Verde
==1• ,.... ..............
Exemplo: Qual ser• a taxa efetiva que equivale • taxa de 12% ao ano capitalizada m•s a m6s?
Vamos entender a frase: "12% ao ano capit•lizada m•s a m6s". Ela significa que devemos dividir 12% por 12
meses para obter a taxa que • aplicada a cada 1 m•s. Se estivesse escrito "12% ao ano capit•lizada tdmestralmente"
deveriamos entender que a t•xa ao b-imestre seria igual a 12% dividido por 4 (n0mero de •mest•es de i ano) que • 3%.
Vamos observar o fluxo de caixa da situaq•o:
I 1 . ¯
I I I I
0 1 2 3 4
-,-,._,_
1
I
5
I I I I I [
I I I I I I I
6 7 8 9 10 11 1S
Soluq•o: A taxa mensal • i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por
1+i2 = (1,01)12 = 1,1268247
logo
i2 = 0,1268247 = 12,68247%
Observaq•o: Se Jinfla•o=0, a taxa real equivale • taxa efetiva.
Exemplo: Qual • a taxa mensal efetiva que equivale • taxa de 12% ao ano? Neste caso, a f6rmula a set usada •:
l+ia = (1 + imes) 12
Como ia=12% =0,12 basta obter i(m•s) corn a substituiq•o dos valores na f6rmula acima para obter:
1,12 = [1 + i(mes)] lz
Existem outras maneiras para resolver esta equaq•o exponencial mas aplicaremos o Iogaritmo na base
10 a ambos os lados da igualdade para obter:
Iog(1,12) = 12 Iog[l+i(mes)]
Iog(1,12)/12 = log[1 + i(mes)]
0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)]
0,004101501889182 = Iog[l+i(mes)]
assim
Desenvolvendo a pot•ncia obtemos:
1,009488792934 = 1 + i(mes)
0,009488792934 = i(mes)
i(mes) = 0,9488792934°/o
100,00410150188918Z .. lOIOg[l+i(mes)]
Se voc• n•o estiver lembrando ou tem interesse em estudar o assunto, o link Logaritmos nesta mesma
P•gina, possui coisas interessantes sobre o assunto.
Observaq•o: Interprete os filtimos exemplos com muito cuidado!
DESCONTOS
Nota¢6es comuns na •rea de descontos:
• •Valor Atual de um t,tulo
Valor Nominal de um titulo
de desconto
NOmero de periodos para o desconto
Desconto • a diferenqa entre o Valor Nominal de um t[tulo (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo titulo.
D=N-A
H• dois tipos b•sicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (pot dentro).
36
Matem&tica - M6dulo Verde
TIPOS DE DESCONTOS
Descontos simples s•o obtidos com c•lculos lineares, mas os Descontos compostos s•o obtidos com
c•lculos exponenciais.
Desconto Simples Comercial (por fora): 0 c•lculo deste desconto • an•logo ao c•lculo dos juros simples,
substituindo-se o Capital P na f6rmula de juros simples pelo Valor Nominal N do tftulo.
0 valor atual no desconto por fora, • calculado por:
A = N-D = N-N.i,n = N(1-i.n)
Desconto Simples Racional (por dentro): O c•lculo deste desconto funciona an•logo ao c•lculo dos juros
simples, substituindo-se o Capital P na f6rmula de juros simples pelo Valor Atual A do tftulo.
O c•lculo do desconto racional 6 feito sobre o Valor Atual do tftulo.
D=Ain I j = P.i.n
N = Valor Atual I P = Principal
................................................................................................................................
"T
i = taxa de desconto i i = taxa de juros
n = no. de periodos I n = no. de periodos
O valor atual, no desconto por dentro, • dado por:
A=N/(l+in)
Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto n•o • usado no Brasil e • an•logo ao
c•lculo dos 3uros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do t[tulo.
A = N(1-i)n
A = Valor Atual
i = taxa de desconto negativa
n = no. de perfodos
S = P(l+i)" j
P = Principal j
i = taxa de juros I
n = no. de per[odos
Apenas para fins did•ticos, iremos obter a f6rmula para o c•lculo deste desconto. Ela • obtida por
aplicac•6es repetidas do desconto simples para 1 peffodo.
Para n=l, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo:
A1 " N(1-i)
onde A1 • o valor atual do t[tulo corn valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo,
substituindo agora N por A1, para obter A2, isto •:
A2 = Al(l-i) = N(1-i)2
Por este raciocinio, temos que, para cada n6mero natural n:
An = N(1-i) n
Esta f6rmula • similar • formula do montante composto, dada por:
S = P(l+i)n
Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto • muito utilizado no Brasil.
ComoD=N-AecomoN =A(l+i)",ent•o
D = N-N(I+i)'" = N.[1-(l+i)'"]
37
Matematica - M6dulo Verde
O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto 6 considerar o Valor •,tual A
como o capital inicial de uma aplicaq•o e o Valor Nominal N como o montante desta aplicaq•o, levando em
considera¢•o que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.
Exemplo a: Qual 6 o desconto racional composto de um t[tulo cujo valor nominal 6 R$10.000,00, se o
prazo de vencimento 6 de n=5 meses e a taxa de desconto 6 de 3,5% ao m•s.
Solu¢•o:
D = 10.000,00 [(1,035)s-1]/1,035s = 1.580,30
Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que dever• ser pago l•no ap6s em um 6nico pagamento de R$
18.000,00 • taxa de 4,5% ao m•s. Cinco meses ap6s ter feito o empr•stJmo a empresa j• tern condiqSes de resgat•r o
b'tulo. Se a empresa river um desconto racional composto calculado a urea taxa equivalente • taxa de juros cobrada na
operac•o do empr6stimo, qual ser• o valor I[quido a ser pago pela empresa?
Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045
N6mero de per[odos para o desconto: n=12-5=7
F6rmula: D = N.[(l+i)"-l]/(l+i)n
EXERCICIOS I
A()
B()
c()
D()
02. O
5x _-
A()
B()
c() 15
D() 25
03. Se
A( ) _5_5
2
B( ) _5_5
01. Nesta equaq•o exponencial, o valor de x 6:
-4
4 3x = 81
9
27
valor de x nesta equaq•o exponencial, 6:
125
3
5
9x = 243, ent•o, x 6 igual a:
3
c( ) __2
s
D() 27
04. O valor de x nesta equa¢•o exponencial 6:
A() 4
B( ) -4 1 = 81
C( ) _!_1 3x
4
D ( )-_!_1
4
05, O valor de x na equa(s:•o exponencial abaixo 6:
A()-I
B( )-2 102x-4 = 1
c() 1
D() 2
06. A equa¢•o exponencial abaixo tem como soluc;•o:
A() 5
B( ) 4 3x = s•/81
c( ) _5_5
4
D()_!
5
38
........
m
07, Na equag•o exponencial abaixo, o valor de x •:
A( ) __1
2
B()_3 4x- 8=0
2
c() 2
D() 3
08. O valor de x nesta func•o exponencial •:
A()2
B( ) 3 9x+3=81x
C()4
D()5
09, O valor de x nessa func•o exponencial •:
A( ) __1
2
B() 2
C() 6
B( ) __1
6
2•+s = 64
10. Esta equacj•o tem seu conjunto soluc•o igual a:
A( ) S={7}
B( ) S--{5}
C( ) S={4}
D( ) S=.{ 1}
11.0 valor de x nesta funq•o exponencial •:
A() 2
B() 3
c( ) __i
2
D()_L
3
2x-3 " 16
5 z•+ 3 = 125•
12. 0 valor de x nesta equa•o exponencial •:
A()2
c()6
D()8
13.0 valor de x nesta equag•o exponencial •:
A() 0
B( ) 1 55x-4 --S=O
C() 2
D()-I
14. O valor de x nesta equa(•o exponencial •:
A()2
B()3 3x-2-
C()4
D()8
32x-4 • 0
= 16
81
Matematica - Modulo Verde
Ill
............
l l lll
15. 0
A()
B()
C()
D()
valor de x nesta equa(;•o exponencial •:
1
2 83x+ 1 1 8x ___• 0
-2
-1
2
39
Matem&tica - M6dulo Verde
•°l•ltl...........7Z Z 77ZZL_.'k_'•--" i
16, A soluq•o da equaq•o exponencial abaixo @:
A( ) +4
B( ) +3
c()0
D( ) +2
3x•-I = 27
17. 0 valor de x na equac•o abaixo @:
A() 1
B( ) 2 5 x-1 =__
C() 4
D( )-2
1
125
18. O valor de x nesta equa(•o exponencial @:
A()2
B( ) 3 8.22x+1
C()6
D()7
= 1024
19.0 valor de x que satisfaz a equag•o abaixo em IR @:
A() 3
5
B( ) 2 3x =sq27
5
C( ) -3
5
D() !
3
20. A soluq•o da equag•o em IR @
A() 3
5
B() 2_
3
c( )-2
3
D( )- 3_!
2
52x-1 : 1
625
21.0 valor de x na equac•o exponencial abaixo @:
a3X = ax-lo
A() 2
B() 5
C( )-2
D( )-5
22.0 valor de x nesta equag•o @:
A() 3
C() 2
D() 5
= 125
8
GABARITO
01. b 02. a 03. a
09. a lO.a 11. b
17. d 18. b 19. a
04. b
12. b
20. d
05. d
13. b
21. d
4O
06. d
14. a
22. b
07, b
15, d
08. b
16. d
EXERCICIOS II
01. Sendo a•5=27 e
A ( ) 482
B( ) 698
C( ) 744
D ( ) 812
Matem&tica - M6dulo Verde
a l°=9,ovalorde A=(a12+a2)+a3°-a5+(a4.a6) •:
02. Calculando-se 9342872 - 9342862 , obt•m-se:
A) 1868573 -
8) 1868574
C) 1868572
D) 1
03. O produto 2 •'222''' . 2°'1333"- 4 igual a:
A( ) 2. s1•/ 29
B( ) 2.49•/ 211
C( ) 2.4s•/•
D( ) 2.3%[ 2
04. Considere as afirmativas:
I - O n0mero 2z999 ... • exatamente igual a 3.
II - On6mero•/ 4 podevaler2 ou-2.
III - O n6mero 3 -4•-8 n•o • um n6mero real.
IV- •/.1-1-6•--• = 4+b.
O n6mero de afirmativas falsas •:
A()0
B()I
C()2
D()3
05, Racionalizando-se o denominador dessa fraq•o obt•m-se:
A( ) 2•
B()
5
c()•
2
D() 2
06. Efetuando as operac;6es indicadas acima encontramos:
A( ) 18,/5
B( ) 41,/•
C() 4•
D()
07. Racionalizando-se a express•o
A( ) 8-3•/ 7
B( ) 16-6# 7
c()1
D()8
3-#7
3+•/ 7
obt•m-se:
41
Matematica - M6dulo Verde
.... ¯, i....."..m• 1_ " - .......
igual a:08. A fraqSo •/15 - 1
•/15 + 1
A( ) 7-•/15
8
B( ) 8-•15
7
C( ) 16-•/15
14
D( ) 14-•/15
16
01. c J 02. a 03. C
GABARITO
04. d 1 05. b l 06. c I 07. a J 08. b
EXERCICIOS III •,• ,:• • .•,,•:• ...................... ....
01. Com relaq•o • proporg•o abaixo • incorreto afirmar que:
3 = 6
5 10
A ( ) os conseqQentes s•o 5 e 10.
B ( ) proporq•o 6 uma igualdade entre duas razSes.
C ( ) o produto dos exLremos 6 igual ao produto dos meios.
D ( ) o produto dos antecedentes 6 igual ao produto dos conseqQentes.
02. Na propor(•o abaixo o valor de x 6:
A() 9
B ( ) 16 i0 = 80
C( ) 24 3 x
O() 30
03. Se x, y, z, q formam, na ordem indicada, uma proporg•o, pode-se afirmar que:
A( ) x.y = z.q
B( ) x.q = y.z x = __z
C( ) x.z = y.q y q
D( ) x.y = q.z
04. O valor de x nesta proporc•o •:
A()2
B()3 3_ =
C()4 4
D()5
x+l
8
05. O valor de x na proporq•o abaixo 6:
A() 4
B() 9 3=9
C() 21 7 x
D()42
06, Dividindo-se 192 em partes proporcionais aos n6meros 2, 3 e 7, obt6m-se, respectivamente:
A( ) 14, 21, 167
B( ) 16, 24, 142
C( ) 18, 27, 147
D ( ) 32, 48, 112
42
Matem&tica - M6dulo Verde
•-- m ram,,,, m n .........
07. Tr•s pessoas fizeram uma sociedade. Duas entraram corn R$ 15.000,00 cada uma e a outra com R$
20.000,00. Tiveram um lucro de R$ 180.000,00. Na partilha proporcional do lucro, o s6cio que investiu mais
recebeu a import•ncia de:
A( ) R$ 54.000,00
B ( ) R$ 72.000,00
C ( ) R$108.000,00
D ( ) R$120.000,00
08. Um carro, com velocidade m4dia de 80 km/h, percorre a dist•ncia entre duas cidades
velocidade m4dia fosse 90 km/h, o tempo gasto para percorrer a mesma dist•ncia seria de
Aten(•o: o resultado est• aproximado
A( ) 7h
B( ) 6h
C( ) 4h e 30rain,
D( ) 5h e 30rain.
09. Se 300 gramas de carne custam R$1,40, 1 quilo e meio custar•o:
A ( ) R$ 2,80
B( ) R$ 3,20
c ( ) R$ 3,80
D ( ) R$ 7,OO
I0. 36%
A() 12
25
B( ) __9
25
C() 12
50
D() 27
50
correspondem a
em 5 h. Sea sua
11. Com base nestes dados, pode-se concluir que o fndice de crescimento populacional, no periodo de 1980 a
1990, foi de:
A( ) 20%
B( ) 25%
C( ) 30%
D( ) 40%
12, A raz•o
A( ) 40%
B( ) 60%
C( ) 70%
D( ) 80%
Ano
1980
1990
Populaq i•o Brasileira
Popula•o Absoluta
120 milh6es de habitantes
150 milh6es de habitantes
4 est• corretamente escrita em forma de porcentagem na opq•o:
5
13. Em rela(•o a 600 crianqas, 30 crianqas s•o:
A( ) 5%
B( ) 8%
C( ) 10%
D( ) 20%
43
Matem&tica - M6dulo Verde
14. Uma casa comercial paga a seus vendedores 6% de comiss•o sobre as vendas realizadas. Se no m•s de
novembro, um vendedor recebeu R$180,00 de comiss•o, condui-se que ele vendeu:
A ( ) R$108,00
B ( ) R$ 300,00
c ( ) R$ 3.OOO,OO
D( ) R$ i.500,00
15. Uma betoneira, depois de trabalhar na construq•o de um edificio, sofre uma depreciaq•o de 28% de seu
valor e 6, ent•o, vendida por R$1.080,00. O valor original da betoneira era:
A( ) R$ 150,00
B( ) R$ 302,40
C( ) R$ 750,00
D ( ) R$ i.500,00
16. Se o empr6stimo de R$ 300,00 for por 3 meses, a uma taxa de 18 % ao m•s, os juros ser•o de:
A( ) R$ 54,00
B ( ) R$108,00
C( ) R$162,00
D( ) R$180,00
17. O
A( ) lano
B( ) 2anos
C ( ) 3 anos
D( ) 4anos
tempo necess•rio para que as condic•Ses abaixo indicadas sejam realizadas 6:
1
= R$ 500,00
300 % ao ano
?
R$ 3.000,00
18. Um certo capital foi aplicado • taxa de 18% ao ano e produziu, em 8 meses, R$ 576,00 de juros. O capital
investido foi:
A ( ) R$ 2.400,00
B ( ) R$ 4.000,00
C ( ) R$ 4.800,00
D ( ) R$ 5.000,00
19. Com um grupo de 40 alunos, em 10 aulas pr&ticas de laborat6rio, um col6gio gastou R$ 500,00. Quanto
gastar•, para o mesmo tim, em 18 aulas pr•ticas com 25 alunos?
A ( ) R$ 360,00
B ( ) R$ 562,50
C ( ) R$ 465,80
D ( ) R$ 400,00
GABARITO
10. b 11. b 12. d 13, a 14, c 15. d 16. c 17, b 18. c
19. b
EXERCICIOS IV - :::::::::::::::::::::::::::::::::::=.....................
O1. Se Iogb a = c, ent•o 6 verdadeira a seguinte igualdade:
A()bC=a
B()ab=c
C()aC=b
D() ba = c
44
.................
I mJllI
...............
02, Se Ioga b, para determinar o valor desse logaritmo • necess•rio que:
A ( ) os valores de a e b sejam positivos.
B ( ) os valores de a e b sejam negativos.
C ( ) o valor de b seja positivo e diferente de 1 e o valor de a seja positivo.
D ( ) o valor de a seja positivo e diferente de 1 e o valor de b seja positivo.
03. No logaritmo de a na base b, o resultado •:
A( ) on6meroaoqualseeleva bparaobter a.
B ( ) o n6mero ao qual se eleva a para obter b.
C( ) a pot•ncia de base b eexpoente a.
D( ) a pot&ncia de base a eexpoente b.
04, A condiq•o de exist•ncia do logaritmo log (x + 3) •:
A( ) x = -3
B( ) x > -3
C( ) x < -3
D( ) x < -3
05.0
A()
B()
C()
D()
log.aritmo logx 7 s6 existir• se a base x for qualquer n0mero
positivo
negativo
diferente de zero.
positivo e diferente de 1.
06. 0 resultado da operaq•o log2 64 •:
A() 32
B() 8
C() 6
D() 3
07.0 resultado da opera(•o log4 64 •:
A() 16
B() 4
C() 3
D() 2
08, O Iogaritmo de 125 na base 5 •:
A() 1
B() 3
C() 15
O() 25
09. O resultado da operaq•o abaixo •:
A( )-3
B ( ) 0 log3 1
c() i
D() 3
10. O valor desta express•o • igual a:
A()2
B ( ) 3 log2 32 - log3 27
c()4
D()5
Matematica - M6dulo Verde
111Calculando o valor do Iogaritmo Iogv• 64 obtemos:
A( ) -6
B() 5
C() 32
D( )-32
45
12. Est•i correto o seguinte logaritmo:
A( ) Iog2s5=5
B( ) Iog216=8
C( ) Iog232=5
D ( ) log0,10,01 = 10
13. Est•i correta a afirmativa:
A( ) Iog26 = 3
B (.) logs 25 = 2
C ( ) log10 100 = 10
D( ) Iog223= 3+1og22
14. I• correto afirmar que:
A( ) Iog31 = 0
B( ) Iog24 = -2
C( ) log1/3 9 = 2
D( ) log2 •= 2
4
15, Est• incorreto o seguinte Iogaritmo:
A( ) log2 8 =4
B( ) log3 1 = 0
C( ) log6 6 = 1
D( ) log4 42 = 2
16. Est• incorreto o seguinte Iogaritmo:
A( ) Iog327 =3
B( ) Iog264 = 6
C( ) Iog:00,1=-i
D( ) Iog110 = 10
17. Com relac•o a Iogaritmos est• INCORRETA a seguinte opq•o:
A( ) Iog21 = 0
B( ) logo =•
C( ) Iog28 = 3
D( ) Iog2-2 = -1
18. O valor de x neste Iogaritmo •:
A() 0
B( ) 3 log 0,001=x
C()-3
D ( ) 1/3
19. O valor de x neste Iogaritmo •:
A() 81
B( ) 64 Iog3x = 4
C( ) 27
D() 12
20. NesLa
A ( ) 1/3
B ( ) 2/3
C( )-2
D() 0
equa•o Iogafftmica, o valor de x •:
log2 3x = 0
Matematica - Modulo Verde
46
21. Nesta equac•o Iogarftmica, o valor de x 6:
A() 2
B( ) 1 log2(2x+4) = 1
C()-2
D()-I
Matem•tica - Mbdulo Verde
lt/
.............22. Resolvendo a equaq•o Iogarftmica abaixo , encontra-se o valor de x, que • igual a:
A() 0
B( ) 15 Iog3(x-9) = 2
C() 17
D() 18
23. No Iogaritmo log2 x = 5, o valor de x 6:
A() 64
B() 32
C() 25
D() 10
24. Nesta equac•O Iogarftmica, o valor de x • igual a:
A() 2
B( ) 3 "logsx =1
C( ) J_l 3
2
D() 1.
3
25. 0 valor de x nesta equag•o •:
A() 2
B( )-1 Iogs(3X-6)- Iogsx = 0
C() 1
D() 3
26.0 valor de x na equaq•o Iogafftmica abaixo •:
A()a
B( ) 1 Ioga(5X+2) = Ioga(3X+6)
C()2
D()3
27. Corn relaq•o &s propriedades de Iogaritmos, • INCORRETO afirmar que:
A ( ) 0 Iogaritmo da pr6pria base • igual a 1.
B ( ) 0 Iogaritmo decimal de 1 • igual a zero.
C ( ) Os Iogaritmos decimais de nL•meros iguais s•o iguais.
D ( ) 0 Iogaritmo de um produto • igual ao produto dos Iogaritmos dos fatores.
28. Com relaq•o •s propriedades do Iogaritmo, 6 correto afirmar que:
A( ) Iogyy = y
B( ) Iog×l = x
C( ) Iog(x+y)= Iogx + Iogy
D( ) Iog(x.y) = Iogx + Iogy
29. Se log a = 12 e log b = 4, aplicando-se as propriedades de Iogaritmo temos que:
A( ) Iog(a.b) = 48
B( ) log a_ = 8
b
C( )logb2 = 16
D()log•/a = 24
47
Matematica - M6dulo Verde
30. Com base nos Iogaritmos abai×o pode-se afirmar que:
A( ) Iogx.y = 64
B( ) Iogx.y = 12
C ( ) log x = 4
y 3
D ( ) log • = 1
Y
31, Corn
A ( ) log
B ( ) log
C( ) log
D ( ) log
log x = 4
log y = 3
base nas propriedades dos Iogaritmos, pode-se afirmar que
3 2 = 3 log 2
(2.3) = log 2. log 3
3 = log3 - log4
4
= log3 + log5
5
32, Corn
A() 3
B() 5
C() 7
D() 10
base nos dados abaixo, 4 correto afirmar que log (a. b) 4 igual a:
Dados: Ioga = 5 e Iogb = 2
33. 0 valor de log 6 6:
A ( ) 0,78
B( ) 0,14440
C ( ) - 0,781
D ( ) 0,30
Dados:log3= 0,48 e Iog2=0,30
34, Com base nesses dados, pode-se afirmar que log 15 4 igual a:
A ( ) 0,22
B( ) 0,86 Dados: log5 = 0,70 e log3 = 0,48
C( ) 1,18
D ( ) 1,62
35, Com base nesses dados, pode-se afirmar que log 75 6 igual a:
A( ) 1,18
B( ) 2,18 Dados:log3 = 0,48 e log5 = 0,70
C ( ) 1,78
D ( ) 1,88
36. A express•o que possibilita a mudanqa de Ioga b para a base ¢ 6:
A()•
Logo a
D( ) Ioq_Lc
IOga C
01. a
10. a
19. a
28. d
02. d
11. a
20. a
29. b
GABARITO
03. a
12. c
21. d
30. d
04. b
13. b
22. d
31. c
05. d
14. a
23. b
32. c
06. c 07. c
15. a 16. d
24. a 25. d
33. a 34. c
08. b 09. b
17. d 18. c
26. c 27. d
35. d 36. a
Matem&tica - M6dulo Amarelo
MATEMATICA
MODULO AMARELO
SUMARIO
1. ANALISE COMBINATORIA ..................................................................................................... 02
2. NO•6ES DE PROBABILIDADE .............................................................................................. 06
3. NO(•(SES DE ESTATiSTICA .................................................................................................... 09
4. GEOMETRIA BASICA .............................................................................................................. 12
5. RACIOCiNIO LOGICO ............................................................................................................. 31
1
Matem•,tica - Modulo Amarelo
..... 1 ....]1
.....
......
f f
ANALISE COMBINATORIA
...........................ll Ulllll..............•"
INTRODU AO A ANALISE COMBINATORIA
An•lise Combinat6ria 6 um conjunto de procedimentos que possibilita a constru(•o de grupos diferentes
formados por um nQmero finito de elementos de um conjunto sob certas circunst&ncias.
Na major parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos
de Z ter•o p elementos, isto 6, p ser• a taxa do agrupamento, com p_<m.
Arranjos, PermutaqSes ou CombinaqSes, s•o os tr•s tipos principais de agrupamentos, sendo que eles
podem ser simples, corn repetiq•o ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observa•;•o" I• comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas
todo o cuidado • pouco com os mesmos, pois •s vezes s•o utilizados em concursos em uma forma ambfgua!
ARRANJOS
S•o agrupamentos formados corn p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre
si pela ordem ou pela esp•cie. Os arranjos podem ser simples ou com repetiq•o.
ARRANJO SIMPLES
N•o ocorre a repeti•o de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
F•rmula: A•(m,p) = m!/(m-p)!
C-•lculo para o exemplo: As(4,2) : 4!/2!=24/2:12.
Exemplo: Seja Z=(A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tornados 2 a 2 s•o 12
grupos que n•o podem Ler a repetiq•o de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada.
Todos os aorupamentos est•o no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA, BC, BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
ARRANJO COM REPETI•AO
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fbrmula: Ar(m,p) = mp.
C-•lculo para o exemplo: Ar(4,2) = 4•=16.
Exemplo: Seja C=(A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos corn repetiq•o desses 4 elementos tornados 2 a 2
s•o 16 grupos que aparecem elernentos repetidos em cada grupo. Todos os acjrupamentos est•o no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC, BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
ARRANJO CONDICIONAL
Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condi(•o que deve ser
satisfeita acerca de alguns elementos.
F6rmula: N=A(ml,p•).A(m-m•,p-pl)
C•lculo para o exernplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.
Exemplo: Quantos arranjos corn 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, come,am corn duas letras
escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
2
Matem&tica - M6dulo Amarelo
.......
I
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa • p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa
que este subconjunto ser• formado • pz=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 5 grupos que est•o no
conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que est•o no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED, EF,EG,FD,FE, FG,G D,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junc•o de um elemento do conjunto
PABC corn um elemento do conjunto PDEFG. Um tfpico arranjo para esta situa(•o • CAFG.
UTA SES ' " .................................................................................PERM I - • .........
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre s{
pela ordem. As permuta(•6es podem ser simples, com repeti(•o ou circulares.
•J PERMUTA(•AO SIMPLES
S•o agrupamentos com todos os m elementos distintos.
F6rmula: Ps(m) = m!.
C•lcul0 para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutaqSes simples desses 3 elementos s•o 6 agrupamentos que
n•o podem ter a repetiq•o de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos
os agrupamentos est•o no conjunto:
Ps= {ABC,ACB, BAC, BCA,CAB,CBA}
PERMUTA(•AO COM REPETIqAO
Dentre os m elementos do conjunto C={xl,x2,x3,...,Xn}, faremos a suposi•o que existem m• iguais a xz,
mz iguais a x2, m3 iguais a x3, ..., m, iguais a Xn, de modo que mz+m2+m3+...+mn=m.
f6rmula: Se m=mz+m2+m3+...+mn, ent•o
Pr(m)=C(m,ml).C(m-ml,m2).C(m-ml-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama • uma (outra) palavra construida com as mesmas letras da palavra original
trocadas de posiq•o.
C•lculo para 0 exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo:
Pr(6) =C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1) =C(6,4).C(2,2).C(1,1) = 15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3
vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutaqSes corn repetiq•o desses 3 elementos do
conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos s•o 15 grupos que cont•m a repetiq•o de todos os
elementos de C aparecendo tamb•m na ordem trocada. Todos os agrupamentos est•o no conjunto:
Pr= {AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
• PERMUTA•AO CIRCULAR
Situa(•o que ocorre quando temos grupos corn m elementos distintos formando uma circunfer•ncia de
drculo.
f6rmula: Pc(m)=(m-1)!
C•lculo para o exemplo: P(4)=3! =6
Exemplo: Seja um conjunto corn 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantosmodos distintos estas pessoas
poder•o sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repeti•o
das posi•Ses?
3
Matem•tica - M6dulo Amarelo
•WmMI
.......................
l m
Se consider•ssemos todas as permutaqSes simples possfveis com estas 4 pessoas, terfamos 24 grupos,
apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD, BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD = BCDA= CDAB = DABC
ABDC= BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA= BDAC= DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC= DBCA= BCAD = CADB
ADCB=DCBA=CBAD = BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
COMBINA ( ES ...... ...."l|
..
-
.
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos
entre sf apenas pela esp•cie.
• COMBINA•AO SIMPLES
N•o ocorre a repeti(•o de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
f6rmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p?]
C,ilculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinac•Ses simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 s•o
6 grupos que n•o podem ter a repetiq•o de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos
os agrupamentos est•o no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC, BD,CD}
COMBINA•AO COM REPETI(•AO
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo at• p vezes.
F6rmula: C,(m,p)=C(m+p-l,p)
C-•lculo para o exemplo: Q(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinac•6es com repetic•o desses 4 elementos tomados 2 a
2 s•o 10 grupos que t•m todas as repetiq6es possfveis de elementos em grupos de 2 elementos n•o podendo
aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2
elementos formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA, BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA, DB, DC,DD}
Mas para obter as combinaqSes com repetiq•o, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que j•
apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC--CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinaq6es com
repetiq•o dos elementos de C tornados 2 a 2, s•o:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB, BC,BD,CC,CD,DD}
Matem&tica - M6dulo Amarelo
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REGRAS GERAIS SOBRE A ANALISE COMBINATORIA
Problemas de An•lise Combinat6ria normalmente s•o muito diffceis mas eles podem ser resolvidos por meio
de duas regras b•sicas: a regra da soma e a regra do produto.
•J REGRA DA SOMA
A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode
ser escolhido de n formas, ent•o a escolha de um ou outro elemento se realizar& de m+n formas, desde que
tais escolhas sejam independentes, isto •, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma
escolha do outro.
•J REGRA DO PRODUTO
A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de
cada urea dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par
(H,M) nesta ordem poder• ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob an•lise estejam em
ambas, sendo que a primeira r cont•m m pontos distintos marcados por rl, r2, r3, ..., rm e a segunda $ contem
n outros pontos distintos marcados por sl, s2, s3..... Sn. De quantas maneiras podemos traqar segmentos de
retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?
r'm
I• f•cil ver isto ligando r• a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os
pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos at• o t•ltimo ponto para obter tamb•m n segmentos.
Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possfveis.
5
Matem&tica - M6dulo Amarelo
..............wlfl!lllllltfW[•!..............................
_ •. .
NO( OES DE PROBABILIDADE
IJIl. III I •................
INTRODU•AO A PROBABILIDADE
A hist6ria da teoria das probabilidades, teve in[cio com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse • o
motivo da grande exist•ncia de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da
probabilidade permite que se calcule a chance de ocorr•ncia de um n6mero em um experimento aleat6rio.
EVENTO
I• aquele experimento que quando repetido em iguais condiq6es, podem fornecer resultados diferentes, ou
seja, s•o resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na Ioteria, a
abordagem envolve c•lculo de experimento aleat6rio.
• ESPA•O AMOSTRAL
I• o conjunto de todos os resultados poss[veis de um experimento aleat6rio. A letra que representa o
espaqo amostral, • S.
Exemplo:
Lanc•ando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espago amostral, constitu[do pelos 12
elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos:
A={caras e m n6mero par aparece},
B={um n0mero primo aparece},
C={coroas e um n6mero [mpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C s•o mutuamente exclusivos
Resolu•o:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constitufdos de um K e um nOmero par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constitufdos de nOmeros primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constitufdos de um R e um nOmero fmpar: C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,RS}
(b) BeC=B•C={R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que n•o est•o em A ou C;
B •Ac nCc = {K3,K5,R2}
3. A e C s•o mutuamente exclusivos, porque A • C = Q
6
Matern•tica - M6dulo Amarelo
........................... "..........•i lil lllllll "•m•mmm ll I ....
•! CONCEITO DE PROBABILIDADE
Se em um fen6meno aleat6rio as possibilidades s•o igualmente prov•veis, ent•o a probabilidade de ocorrer
um evento A 6:
nJmero de casos f'avor:veisHA) -
nfmero de casos poss•veis
Por, exemplo, no lanqamento de um dado, um n6mero par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6
igualmente prov•veis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaqo amostral S (finito) • equiprov•vel quando seus eventos elementares t•m
probabilidades iguais de ocorr•ncia.
Num espa•:o amostral equiprov•vel S (finito)i a probabilidade de ocorr•ncia de um evento A d sempre:
nJmero de elementos de A
_
•(A)
P(A) =
n6mero de elementos de S n(S)
PROPRIEDADES IMPORTANTES
1. Se A e A' s•o eventos complementares, ent•o:
P(A ) + P.(A ') = 1 "
2. A probabilidade de um evento d sempre um n0mero entre • (probabilidade de evento impossfvel) e 1
(probabilidade do evento certo).
0 < P(S) • 1
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Antes da realiza•o de um experimento, • necess•rio que j• tenha alguma informa•o sobre o evento que
se deseja observar. Nesse caso, o espago amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de
ocorr•ncia alterada.
F6rmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E.3 e ...e En-1 e E,) @ igual a P(E1).P(EjE1).P(E3,/E1 e E2)...P(E,-/Ei e E2 e ...Ea-1).
Onde P(E2JE1) 6 a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de j• ter ocorrido El;
P(E3/E1 e E2) 6 a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de j• terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E• e E2 e ...En-1) e a probabilidade de ocorrer E., condicionada ao fato de j• ter ocorrido E1 e E2...En-1.
Exemplo:
Uma urna tern 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada
vez e sere reposiq•o, qual ser• a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolu•o:
Seja o espago amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
7
Matematica - M6dulo Amarelo
.........................
........ I lllllllll[
..........
•m• EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que El e E2 e ...En-1, En s•o eventos independentes quando aprobabilidade de ocorrer um deles
n•o depende do fato de os outros terem ou n•o terem ocorrido.
F6rmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(EI e E2 e E3 e ,,.e En-1 e En) = P(EI).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo
a sorteada na urna, qual ser• a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolug•o:
Como os eventos s•o independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na
segunda retirada • igual ao produto das probabilidades de cada condiq•o, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a
probabilidade de sair vermelha na primeira retirada • 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Da[,
usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposiq•o. Assim, P(B/A)
=P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada n•o influenciou a segunda retirada, j• que ela
foi reposta na urna.
PROBABILIDADE DE OCORRER A UNIAO DE EVENTOS
F6rmula da probabilidade de ocorrer a uni•o de eventos:
"
P(EI ou E2) = P(EI) + P(E2).P(EI e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E• e E2, estes eventos estar•o computados no c•Iculo de P(EI) e
P(E2). Para que sejam considerados uma vez s6, subtrafmos P(E• e E2).
F6rmula de probabilidade de ocorrer a uni•o de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lanqados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no
branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaqo amostral de todos os poss[veis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Dai, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 - 1/36 = 11/36
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carLa de baralho corn 52 carLas, qual a probabilidade de ser
um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaqo amostral de todos os resultados possfveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os
eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 - 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carla n•o pode ser 8
e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B s•o mutuamente exclusivos.
8
Matematica - M6dulo Amarelo
NO ES DE ESTATISTICA
•J INTERPRETA•AO E UTILIZACAO DE DADOS
APRESENTADOS EM TABELAS E/OU GRAFICOS
A estatfstica • uma ci•ncia exata que visa fornecer subsfdios ao analista para coletar, organizar, resumir,
analisar e, finalmente, apresentar dados, dos quais podemos extrair informaqSes por meio de certas t•cnicas.
Muitas vezes esses dados s•o incompletos, na medida em que nos d•o informac•o 0til sobre o problema em
estudo, sendo assim, • objetivo da EstaSstica extrair a informaq•o dos dados para obter uma melhor
compreens•o das situa(•Ses que representam.
Os dados podem ser apresentados por meio de tabelas de'freqB•ncia, fornecendo uma informaq•o boa e
ordenada, no entanto, para ter uma vis•o generalizada e r•pida utilizamos gr•ficos estatisticos, que podem ser
o diagrarna de barras, o histograma, o pictograma e o gr•fico de setores.
DIAGRAMA DE BARRAS OU COLUNAS
I• utilizado na apresentaq•o de vari•veis qualitativas. Ele • composto por ret•ngulos dispostos verticalmente
(em colunas) ou horizontalmente (em barras). Caracteriza-se por Ter todos os ret•ngulos de mesma largura e
os comprimentos proporcionais •s freqiJ•.ncias.
Exemplo: Supondo uma pesquisa de prefer•ncia esportiva de um grupo de 30 pessoas, podemos obter o
seguinte gr•fico de colunas:
FreqO6ncia absoluta
Dados FreqO•ncia
absoluta
Futebol 7
V61ei 10
Basquete 8
Nata•o 5
10-
6_
HISTOGRAMA
S•o diagramas de barras utilizados para vari•veis quantitativas. S•o formados por ret•ngulos justapostos.
Exemplo:
7 10 8 5
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Matematica - M6dulo Amarelo
Ill
PICTOGRAMA
Trata-se de um gr•fico em que s•o usados desenhos que t•m relaq•o direta com a •rea que est• sendo
pesquisada. N•o s•o muito precisos e, por isso, s•o pouco utilizados pelos especialistas. Mas eles t6m a
vantagem de serem f•ceis de visualizar e muito simples de interpretar.
•]• Futebo,
••[•[• V61e,
r•l•[• Basquete
•]I• Nataq•°
GRAFICO DE AREAS OU GRAFICO DE SETORES
S•o gr•ficos circulares, utilizados para representar determinada populac•o. Cada caracterfstica dessa
populac•o ocupa um setor circular do gr•fico, proporcional • sua freqCi•ncia. Os cidogramas ou gr•ficos de
setores representam o conjunto de todos os dados expressos pela •rea de um cffculo. Esses gr•ficos s•o
bastante adequados quando os dados s•o classificados em poucas categorias. Costumam ser utilizados quando
h• poucos intervalos e s•o especialmente 6teis para se estabelecerem comparac•Ses.
Exemplo:
•J CONCEITOS
1. Evento: • o resultado de um experimento qualquer.
2, Espa•;o amostral: • o conjunto de todos os eventos possfveis.
3, Freqiibncia absoluta: s•o os nOmeros de elementos da populaq•o ou amostra pesquisada que
correspondem a cada faixa do fen6meno estudado.
4, Freqiibncia relativa: • a raz•o entre a freqO•ncia absoluta correspondente e o nOmero total de pesquisados.
5, Freqiibncia relativa em porcentagem: • o produto da freqO•ncia relativa por 100.
6, Moda: • o valor de uma distribuic•o de freqiJ•ncia que aparece com maior freqO•ncia. Pode existir mais de
urea moda numa distribuiq•o.
7. Mediana: • o valor de uma distribuiq•o que ocupa a posic•o central, quando todos os valores s•o colocados
em ordem. Se o nOmero que aparecem na lista for par, a mediana ser• a m•dia aritm•tica dos dois valores
centrais, quando todos s•o colocados em ordem.
8. M•dia: • a m•dia aritm•tica dos valores da distribui(•o.
9. Desvio: • a diferenqa entre o valor da distribuiq•o e a m•dia.
10. Vari•ncia: • a m•dia aritm•tica dos quadrados dos desvios.
11. Desvio padr•o: • a raiz quadrada da vari•ncia.
12. Amplitude: • a diferenqa entre o maior e o menor valor da distribui(•o.
10
....
¯.....
I
i• MI:DIA ARITMETICA SIMPLES
Matem&tica - M6dulo Amarelo
..........
mmmmlmmm II ....
A m•dia aritm•tica simples de v•rios nSmeros • dada pelo quociente da soma de seus valores e pela
quantidade de parcelas consideradas.
Exemplo: A m•dia aritm•tica simples dos valores dados a seguir 5, 6, 12, 15 e 22 • calculada por:
ma= 5 + 6 + 12 + 15 + 22=60 = 12
5 5
Aten•o: Como s•o cinco valores, divide-se por 5.
MI•DIA ARITMETICA PONDERADA
A m•dia aritm•tica ponderada de v•rios nSmeros, aos quais s•o atribufdos pesos (indica(•o de n0mero de
vezes que esses n•meros figuram) consiste no quociente da soma do produto de cada nOmero pelo seu
respectivo peso, pela soma dos pesos.
¯
Exemplo: A m•dia aritm•tica ponderada das notas relacionadas na tabela abaixo, com seus respectivos pesos, •:
Mat•ria NoLa Peso
Portugu•s 60 5
Matem•tica 40 3
Filosofia 70 2
mp= 60x5 + 40x3 + 70x2=560= 56
5+3+2 10
Aten•o: Divide-se pela soma dospesos.
Exemplo:
Foram colhidas as seguintes idades dos alunos de uma sala de aula:
Rol
20 21 30 18 22
21 29 35 20 32
26 28 20 25 28
33 40 18 20 34
Colocando em ordem crescente de idades temos:
18, 18, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 25, 26, 28, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 40.
A moda • 20, pois • o valor mais freqOente.
Amediana•25+26 =25,5
2
A m•dia aritm•tica • 26, pois somando-se todas as idades temos 520, que dividido por 20 resulta em 26.
A distribuiq•o de freqO•ncia pode ser:
Idades
15 I-- 20
20 .•-- 25
25 I-- 30
30 •-- 35
35 1-- 40
40 I-- 45
FreqLibncia
2
7
5
4
1
1
11
Matem&tica - M6dulo Amarelo
f
GEOMETRIA BASICA
¯
ii ! !!!!!!!!!! iiiii ¯
INTRODU•AO A GEOMETRIA EUCLIDIANA --•i•i•iiI
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que hi v•rios tipos de Geometria. A morte de
Alexandre, o Grande, gerou v•rias disputas entre os generals do ex•rcito grego mas em 306 a.C., o controle da
parte egfpcia do imp•rio passou hs m•os de Ptolomeu I e uma de suas primeiras cria(•6es foi uma escola ou
instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupode s•bios como professores, entre eles
Euclides, o compilador de Os Elementos, que • o texto matem•tico de maior sucesso de todos os tempos. O
grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua
vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides • conhecido como Euclides de Alexandria, pois I& esteve para
ensinar Matem•tica.
PONTO, RETA E PLANO
Ponto, ReLa e Piano s•o nog6es primitivas dentre os conceitos geom•tricos. Os conceitos geom•tricos
s•o estabelecidos por meio de definiq6es. As noq6es primitivas sho adotadas sem definiqho. Como podemos
imaginar ou formar id•ias de ponto, reta e piano, entho ser•o aceitos sere definiqho.
Podemos ilustrar corn as seguintes id•ias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
• PONTO
Uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha....
RETA
Fio esticado, lados de um quadro, ...
v
Tl• PLANO
O quadro negro, a superficie de uma mesa....
12
Matematica - Modulo Amarelo
I I I i.. I IIm
Nota•;6es de Ponto, Reta e Piano: As representa•6es de objetos geom•tricos podem ser realizadas por
letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras mai6sculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minOsculas latinas;
Pianos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minOsculas. Piano Alfa (rosa), Piano Beta (azul
claro) e Piano Gama (amarelo).
4 • r
x
4
p
u
ObservaG•o: Por um Onico ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista pr•tico, imagine o P61o
Notre e todas as linhas meridianas (imagin•rias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora
dela, h• infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma Onica reta. Em um piano e tamb•m fora
dele, hi infinitos pontos.
/
As express6es "infinitos pontos" ou "infinitas retas", significam "tantos pontos ou retas quantas voc•
desejar".
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A r B G
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13
PONTOS COLINEARES E SEMI-RETAS ....................
PONTOS COLINEARES
S•o pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C s•o colineares,
pois todos pertencem • mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T n•o s•o colineares, pois T n•o
pertence a reta s.
F
A "T
• SEMI-RETAS
Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O • a origem comum •s duas
semi-retas que s•o denominadas semi-retas opostas.
40 .r
O ponto A • a origem da semi-reta que cont•m os pontos A e B e tamb•m • a origem da semi-reta que
cont•m os pontos A e C, nas duas figuras ao lado. A semi-reta que cont•m os pontos A e B e a semi-reta que
cont•m os pontos A e C s•o semi-retas opostas. A nota(]§o XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que
cont•m os pontos X e Y.
As semi-retas AB e AC est•o na mesma reta, t•m a mesma origem e s•o infinitas em sentidos contr•rios,
isto •, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.
SEGMENTOS CONSECUTIVOS, COLINEARES, CONGRUENTES E
ADJACENTES
Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos Iocalizados entre
A e B, inclusive os pr6prios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. •,s vezes,
interessante trabalhar com segmentos que tem infcio em um ponto chamado origem e terminam em outro
ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta s•o classificados como: consecutivos, colineares,
congruentes e adjacentes.
s At FB
• SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dois segmentos de reta s•o consecutivos se, a extremidade de um deles • tamb•m extremidade do outro,
ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
I 1AB e BC MN e NP EF e GHs•o consecutivos ) s•o consecutivos 1 n•o s•o consecutivos
( + I i • i
14
-...Matem&tica - M6dulo Amarelo
SEGMENTOS COLINEARES
Dois segrnentos de reta s•o colineares se est•o numa mesma reta.
T
MN e NP EF e FG
s•o colJneares nEo s•o colineares
AB e CD
s•o colineares
l
.%_ c i, , + I
Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situag6es:
Os segmentos AB, I BCe CD s•o consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD n•o s•o consecutivos
embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG s•o consecutivos e n•o s•o colineares
SEGMENTOS CONGRUENTES
S•o aqueles que t6m as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD s•o congruentes. A congru6ncia
entre os segmentos AB e CD • denotada por ABNCD, onde "N" 4 o sfmbolo de congru•ncia.
A 3 cm B
C 3 cm D
SEGMENTOS ADJACENTES
Dois segmentos consecutivos e colineares s•o adjacentes, se possuem em comum apenas uma
extremidade e n•o t6m outros pontos em comum. MN e NP s•o adjacentes, tendo somente N em comum. MP e
NP n•o s•o adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
PONTO MEDIO DE UM SEGMENTO
M 6 o ponto m6dio do segmento de reta AB, se M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes, ou
seja, AMNMB. O ponto m6dio • o ponto de equilfbrio de um segmento de reta.
2 cm 2 cm
A M B
•M• CONSTRU•,•O DO PONTO MEDIO COM REGUA E COMPASSO
Com o compasso centrado no ponto A, trac•amos um arco com o raio igual • medida do i
segmento AB;
Corn o compasso centrado no ponto B, trac•amos um outro arco com o mesmo raio que i
ontes; I
Qs arcos ter•o interseq•o em dois pontos Iocalizados fora do segmento AB;
lraqamos a reta (vermelha) ligando os pontos obtidos na interseq•o dos arcos;
O ponto m6dio M 6 a interse¢•o da reta (vermelha) com o segmento AB.
m
15
Matem&tica - MSdulo Amarelo
"•"o"•L ......•._..•......•'•T'• " .-'." " - - ....
RETAS PARALELAS m
Duas retas s•o paralelas se est•o em um mesmo piano e n•o possuem qualquer ponto em comum. Se as
retas s•o coincidentes ("a mesrna reta") elas s•o paralelas.
I• usual a notag•o allb, para indicar que as retas a e b s•o paralelas.
Propriedade da paralela: Por um ponto Iocalizado fora de uma reta dada, pode ser traqada apenas uma
reta paralela. Este fato • verdadeiro apenas na Geometria Eudidiana, que • a Geometria do nosso cotidiano.
P
I
a
•J CONSTRUt•.•O DE PARALELA COM RI=GUA E COMPASSO
Dada uma reta r e um ponto C fora dessa reta, podemos construir uma reta paralela • reta dada que passa
por C. Este tipo de construq•o gerou muitas controv•rsias e culminou com outras definig6es de geometrias
denominadas "n•o Euclidianas", que embora sejam utilizadas na pr•tica, n•o se comportam da forma usual
como um ser humano olha Iocalmente para um objeto geom•trico.
•entrar o compasso no ponto C, traqar um arco que corta a reta em E.
Corn a mesma abertura do compasso, colocar a ponta seca do mesmo no
iponto E e tragar um outro arco cortando a reta em F.
iDo ponto E, corn abertura igual • corda CF, trac•a r um arco para obter D.
•raqar uma reta ligando os pontos C e D e observar que a reta que passa
em CD • paralela • reta que passa em EF.
•aralela
RETAS CONCORRENTES
Duas retas s•o concorrentes se possuem um •nico ponto em comum. Um exemplo de retas concorrentes
pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa de uma cidade e a concorr6ncia ocorre no
cruzamento das retas (ruas).
m
16
Matem&tica - Mddulo Amarelo
......... rll II Ill.
.......
.....
RETAS PERPENDICULARES m
•! ANGULO RETO:
Um •ngulo que mede
fundamental nas edificaqdes.
90 graus. Todos os •ngulos retos s•o congruentes. Este tipo de •ngulo
a e b s•o perpendiculares.
RETAS PERPENDICULARES:
S•o retas concorrentes que formam •ngulos de 90 graus. Usamos a notaq•o alb para indicar que as retas
Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto Iocalizado fora de uma reta dada, pode ser trac,ada
apenas urea reta perpendicular.
I
•p
I
I
I
I
I
•J CONSTRUIR PERPENDICULAR COM RI•GUA E COMPASSO (1)
Dada uma reta e um ponto fora da reta, podemos construir uma outra reta perpendicular • prlmeira, da
seguinte forma:
Centrar o compasso no ponto P e corn urea abertura maior do que a i
distgncia de P • reta e tragar um arco cortando a reta em dois
ipontos A e B;
i
Gentrar o compasso no ponto A e com um raio igual • medida do
•egmento AB trac•ar um arco;
i
Centrar o compasso noponto B e corn a mesma abertura que antes l"
--
•raqar outro arco cortando o arco obtido antes no ponto C; ! •,
A reta que une os pontos P e C • perpendicular • reta dada, Portantol
AB • perpendicular a PC. j
i i
17
Matematica - MSdulo Amarelo
Ta• CONSTRUIR PERPENDICULAR COM REGUA E COMPASSO (2)
Dada uma reta e um ponto P na reta, podemos obter uma reta perpendicular • reta dada, do seguinte
modo:
Centrar o compasso no ponto P e marcar os pontos A e B sobre a
•reta que est•o & mesma dist•ncia de P;
Centrar o compasso no ponto A e raio igual • medida de AB para
•raqar um arco;
Centrar o compasso no ponto B e com o mesmo raio, traqar um
outro arco;
i
Os arcos cruzam-se em C;
•,ret¯a contendo PC • perpendicular • reta contendo o segmento AB.
RETAS TRANSVERSAIS E ANGULOS ESPECIAIS
Reta transversal a outras retas, • uma reta que tem intersec•o corn as outras retas em pontos diferentes.
Na figura acima, a reta t • transversal •s retas m e n e estas tr•s retas formam 8 •ngulos, sendo que os
&ngulos 3, 4, 5 e 6 s•o •ngulos internos e os •ngulos 1, 2, 7 e 8 s•o •ngulos externos. Cada par destes •ngulos,
recebe nomes de acordo com a Iocalizac•o em relaq•o • reta transversal e as retas m e n.
Est•o do mesmo lado da reta transversal.
i^
Angulos Correspondentes Um deles • interno e o outro • externo.
le5 i 2e6 3e7 4e8
Est•o em lados opostos da reta transversal.
•: A.... In© All-....© Ambos s•o externos ou ambos s•o internos.,
nm,•Nmv• •m•.Hv• ....................................................
I le8 2e7 i 3e6 i 4e5
i Est•o do mesmo lado da reta transversal. I
•.ngulos Colaterais Ambos s•o externos ou ambos s•o internos, i
le7 2e8 i
•,ngulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:
alternos internos
alternos
alternos externos
colaterais internos
3e5 4e6 /
3e6
:•
4e5
tle8 2e7 i
3e5 4e6
colaterais •I
....................
................................................................................................................................... ...................................................
!_ e8
...........
18
Matem&tica - M6dulo Amarelo
PROPRIEDADES DAS RETAS TRANSVERSAIS
Se duas retas paralelas (em cor preta) s•o cortadas por uma reta transversal (era cor vermelha),i __•t
•s gngulos correspondentes sgo congruentes, isto •, t•m as mesmas medidas. •'-
•ongruentes.Seduas retas paralelas s•o cortadas por uma reta transversal, os •ngulos alternos internos s•oi "-•
iNa figura ao lado, o •ngulo 3 tamb•m • congruente aos •ngulos 1 e 2. i
•uando duas retas r e s s•o paralelas e uma reta transversal t • perpendicular a uma das
i r
paralelas, ent•o ela tamb•m ser• perpendicular • outra.
•! •.NGULOS DE LADOS PARALELOS
S•o •ngulos cujos lados s•o paralelos, sendo que tais •ngulos podem ser congruentes ou suplementares.
<<
Congruentes: Quando ambos os •ngulos s:fio agudos, retos ou obtusos.
•e e+f=180°//f
Suplementares: Quando ambos os •ngulos s•o retos ou quando um deles for agudo e o outro obtuso.
• ANGULOS DE LADOS PERPENDICULARES:
S•o •ngulos cujos lados s,•o perpendiculares e tamb•m podem ser congruentes ou suplementares.
Congruentes: Quando os dois •ngulos s•o: agudos, retos ou obtusos.
z•____',
Suplementares: Quando os dois gngulos s•o retos ou um dos gngulos fi agudo e o outm obtuso.
,,
h
b÷d=IBO
° •'.•
19
Matematica - MSdulo Amarelo
................... • m. •.ll.m .. __ Jii.lll'l......................
EXERCICIOS RESOLVIDOS i -
Em todos os exerc[cios abaixo, voc• deve obter as medidas dos •ngulos, levando em considerac•o cada
figura anexada.
1. Calcular a medida do •ngulo x.
Soluc•o: x/2=40graus, pois s•o •ngulos agudos de lados perpendiculares x=80°.
2. Calcular a medida do •ngulo x.
Soluq•o: 2x+40°=180° (•ngulos de lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), logo x=70°.
3. Calcular as medidas dos •ngulos x e y.
Soluc•o: Como x+2x/3=180° (•ngulos colaterais externos), ent•o 3x+2x=540°, logo x=108°. Mas, y=2x/3
(•ngulos opostos pelos v•rtices) e temos que y=72°
4. Calcular as medidas dos •ngulo a, b e c.
Soluq•o: Como b+120°=180° (•ngulos com lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), ent•o
b=60o, mas a=c (•ngulos agudos corn lados perpendiculares) e a+b+90°=180°(soma dos •ngulos de um
tri•ngulo). Assim: a=30° e c=30°.
5. Calcular as medidas dos •ngulos a e b, se as retas r, s e t s•o paralelas.
Soluq•o: Como a=35° (rlls e os •ngulos correspondentes), segue que b-a=70° (silt e os •ngulos
correspondentes). Assim b= 105°.
6. Se as retas r e t s•o paralelas, determinar as medidas dos •ngulos a e b.
Soluc•o: a+125o=180° (•ngulos corn lados paralelos um agudo e outro obtuso) e b+60°=125° (•ngulos agudos
com lados paralelos). Logo a=55° e b=65o.
2O
Matem•tica - M6dulo Amarelo
SEGIVlENTOS DE RETA E SEI•III'-RETAS
Lembramos que um segmento de reta orientado AB • um segmento de reta que tern infcio em A e final em B.
A B
f N
Uma semi-reta orientada AB • a parte de uma reta que tem infcio em A, passa por B e se prolonga
indefinidamente.
A B
F • w÷
ANGULO .....................................................................0 CONCEITO DE =
•,ngulo • a reuni•o de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um
ponto comum.
V••'•ados
V•rtice
A interseq•o entre os dois segrnentos (ou semi-retas) 6 denominada v•rtice do •ngulo e os lados do •ngulo
s•o os dois segmentos (ou semJ-retas).
Observa¢•o: Mostraremos nas notas hist6ricas que n•o existe urea definic•o bern estabelecida de •ngulo.
Podem ser usadas tr•s letras, por exemplo ABC para representar um •ngulo, sendo que a letra do meio B
representa o v•rtice, a primeira letra A representa um ponto do primeiro segmento de reta (ou semi-reta) e a
terceira letra C representa um ponto do segundo segmento de reta (ou serni-reta).
Usamos a notaq•o < para um •ngulo, como por exemplo: <ABC.
O mesmo •ngulo poderia set representado pelas letras CBA, e neste caso, deve ficar claro que foi escolhido
como primeiro segmento (ou semi-reta) aquele que cont@m o ponto C, enquanto que o segundo segmento (ou
semi-reta) foi escolhido como aquele que cont@m o ponto A, sendo o v@rtice do •ngulo o mesmo da situac•o
anterior.
Um •ngulo pode ser orientado da seguinte forma. Centramos um compasso no v•rtice O do •ngulo e com
uma certa abertura positiva (raio) traqamos um arco de circunfer•ncia a partir de um ponto A Iocalizado em um
dos segmentos (ou semi-retas) at• que este arco toque o outro segmento de reta (ou semi-reta) em um ponto B.
O AOB est• orientado positivamente se o arco foi construido no sentido anti-hor•rio enquanto o •ngulo
BOA est• orientado negativamente, isto 6, o arco foi construido no sentido hor•rio, aquele sentido seguido pelos
ponteiros de um rel6gio.
Quando n•o houver dOvida ou necessidade de orientaq•o, podemos indicar o •ngu/o sirnplesmente pela
letra que representa o v•rtice, como por exemplo: C). Uma outra notac•o para •ngulo • AOB, sendo O o v•rtice
do mesmo e as letras A e B Iocalizadas nos lados do •ngulo.
21
Matematica - Modulo Amarelo
NOTAS HISTORICAS SOBRE ANGULOS "
O conceito de •ngulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de relaq6es envolvendo
elementos de um circulo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de
•ngulos centrais ou inscritas em cfrculos, eram conhecidas desde o tempo de Hip6crates e talvez Eudoxo tenha
usado razSes e medidas de •ngulos na determinaq•o das dimensSes do planeta Terra e no c•lculo de dist•ncias
relativas entre o Sol e a Terra. Erat6stenes de Cirene (276 a.C.-194 a.C) j• tratava de problemas relacionados
corn m•todos sistem•ticos de uso de •ngulos e cordas.
Desde os tempos mais antigos, os povos v•m olhando para o c•u na tentativa de encontrar respostas para
a vida tanto na Terra assim como entender os corpos celestes que aparecem • nossa vista. Assim, a Astronomia
talvez tenha sido a primeira ci•ncia a incorporar o estudo de •ngulos. como uma aplicaq•o da Matem•tica.
Na determinaq•o de um calend•rio ou de uma hora dodia, havia a necessidade de realizar contagens e
medidas de dist•ncias. Freqeentemente, o Sol servia como refer•ncia e a determinaq•o da hora dependia da
inclina(•o do Sol e da relativa sombra projetada sobre um certo indicador (rel6gio de Sol).
Para obter a dist•ncia que a Lua estava acima do horizonte, dever-se-ia calcular uma dist•ncia que nunca
poderia ser medida por um ser humano comum. Para resolver este problema, esticava-se o braqo e se calculava
quantos dedos comportava o espa(;o entre a Lua e o horizonte ou ent•o, segurava-se um rio entre as m•os
afastadas do corpo e se media a dist•ncia.
Os braqos deveriam permanecer bem esticados para que a resposta fosse a mais fiel possfvel. A medida era
diferente de uma medida comum e este modo foi o primeiro passo para medir um •ngulo, objeto este que se
tornou importantfssimo no contexto cientffico.
Na verdade, n•o se sabe quando o homem comeqou a medir •ngulos, mas se sabe que estes eram
medidos na Mesopotamia e eram muito bern conhecidos quando Stonehenge foi construfda, 2000 a.C.
Quanto ao conceito de •ngulo, temos algumas definiqSes:
Gr•cia antiga: "Um •ngulo • uma deflex•o ou quebra em uma linha reta".
Euclides: "Um •ngulo piano • a inclinac;•o reciproca de duas retas que num piano t•m um extremo
comum e n•o est•o em prolongamento".
Em 1893, H.Schotten resumiu as definiq6es de •ngulo em tr•s tipos:
1. A diferenqa de direq•o entre duas retas;
2. A medida de rotaq•o necess•ria para trazer um lado de sua posi(•o original para a posi(•o do outro,
permanecendo entrementes no outro lado do •ngulo;
3. A porq•o do piano contida entre as duas retas que definem o •ngulo.
Em 1634, P.Henrigone definiu •ngulo como um conjunto de pontos, definiq•o esta que tem sido usada com
mais frequ•ncia. Neste trabalho, aparece pela primeira vez o simbolo "<" para representar &ngulo.
ANGULOS CONSECUTIVOS E ADJACENTES
ANGULOS CONSECUTIVOS
Dois •ngulos s•o consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro •ngulo.
A
AOC e BOC s•o consecutivos
OC • o lado comum
o i A
AOB e BOC s•o consecutivos AOB e AOC s•o consecutivos
i OB • o lado comum I OA • o lado comum
ANGULOS ADJACENTES
Dois •ngulos consecutivos s•o adjacentes se, n•o t•m pontos internos comuns. Na figura em anexo, AOB e
BOC s•o •ngulos adjacentes.
o
22
Matem&tica - M6dulo Amarelo
"w#tmMl•
.............
ll ! JiB • i I -
•,NGULOS OPOSTOS PELO Vi•RTICE ¯ ..................................................................
Consideremos duas retas concorrentes cuja interseq•o seja o ponto O. Estas retas determinam quatro
•ngulos. Os •ngulos que n•o s•o adjacentes s•o opostos pelo v•rtice.
Na figura acima, AOB e COb s•o •ngulos opostos pelo v6rtice e tamb•m AOD e BOC s•o •ngulos opostos
pelo v6rtice.
ANGULOS CONGRUENTES I []
A congru•ncia entre •ngulos • uma noq•o primitiva. Dizemos que dois •ngulos s•o congruentes se,
superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.
Na figura em anexo, temos que ABC e DEF s•o •ngulos congruentes. Usamos a notac;•o E para denotar
•ngulos congruentes. Dois •ngulos opostos pelo v•rtice s•o sempre congruentes.
.•.NGU - " •MEDIDA DE UM LO ....... ,m m
A medida de um •ngulo indicada por m(AOB) • um n•mero real positivo associado ao •ngulo de tal forma
que satisfaz as seguintes condiq6es:
1. •,ngulos congruentes possuem medidas iguais e reciprocamente &ngulos que possuem medidas iguais
s•o congruentes.
AOB -" DEF equivale a m(AC)B)=m(DI•F)
2. Quando afirmamos que um •ngulo • maior do que outro, sua medida • maior do que a medida deste
outro. Assim: AOB>DI•F, equivale a
m(AOB) > m(Ol•F)
3. A partir de dois •ngulos dados, podemos obter um terceiro •ngulo, cuja medida corresponde • soma
das medidas dos •ngulos dados.
C
A
Se m(AOB) • a medida de AOB e m(B(•C) • a medida de BOC, entgo AOC •- AOB+B6¢. AlUm disso:
m(AOC) = m(AOB) + m(BOC)
23
UNIDADES DE MEDIDA DE ANGULOS
Matematica - M6duto Amarelo
A unidade de medida de •ngulo no Sistema Internacional • o radiano e o processo para obter um radiano
o seguinte:
Tomamos um segmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e abertura OA, traqamos um
arco de circunfer6ncia AB, sendo que B deve pertencer ao outro lado do •ngulo AOB. Se o comprimento do arco
for igual ao comprimento do segmento OA, diremos que este •ngulo tern medida igual a 1 radiano (1 rad).
Uma forma pr•tica de visualizar isto, • tomar uma reta horizontal passando pelo centro de uma
circunfer•ncia (n•o importa a medida do raio). Indicamos o ponto A como uma das intersec•6es da
circunfer•ncia (:ore a reta horizontal. Tomamos um barbante com a mesma medida que o raio OA da
circunfer•ncia. Fixamos uma das extremidades do barbante sobre o ponto A e esticamos o barbante sobre a
circunfer&ncia. O ponto B coincidir• com a outra extremidade do barbante. Traqamos ent•o o segmento de reta
OB, que representa o outro lado do •ngulo AOB. A medida do •ngulo AOB & 1 radiano.
Uma outra unidade • muito utilizada rios primeiros nfveis educacionais & o grau. Ela • obtida pela divis•o
da circunfer•ncia em 360 partes iguais, obtendo-se assim um •ngulo de um grau, sendo que a notaq•o desta
medida usa um pequeno o colocado como expoente do n6mero, como 1o.
Exemplo: Em geral, associa-se um n•mero a um •ngulo estabelecendo a raz•o entre este •ngulo e outro
•ngulo tomado como unidade.
Por exemplo, se um &ngulo 0 com 1 radiano de medida for considerado um •ngulo unit&rio, ent•o o •ngulo
•,=6 tern a medida 6 vezes maior, isto •, •, tern 6 unidades de medida.
Pergunta: Voc• conhece a raz•o pela qual o circulo • dividido em 360 pares? Leia as notas hist6ricas que
seguem.
NOTAS HISTORICAS SOBRE O GRAU E O RADIANO
Acerca de elementos geom6tricos relacionados com a Astronomia pouco se conhece. Sabe-se que Aristarco
prop6s um sistema que tinha o Sol como centro pelo menos 1500 antes de Cop•rnico, no entanto este material
hist6rico se perdeu na noite do tempo. O que ficou, do ponto de vista hist6rico foi um tratado escrito pot volta
de 260 a.C. envolvendo tamanhos e dist•ncia do Sol e da Lua.
A divis•o do circulo em 360 partes iguais aparece mais tarde e n•o existe qualquer raz•o cientifica. Talvez
exista uma raz•o hist6rica que justifique a exist•ncia de tal nOmero no contexto de estudos do povo babil6nio,
que viveu entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de terrenos pantanosos e
construq6es de cidades e tinha interesse pela Astronomia assim como pela sua relac•o corn conceitos religiosos
(eram politeistas) e para viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numeraq•o com base 60 (sistema
hexagesimal).
N•o se sabe ao certo quais as razSes pelas quais, foi escolhido o n0mero 360 para se dividir a
circunfer•ncia, sabe-se apenas que o n•mero 60 • um dos menores n0meros menores do que 100 que possui
uma grande quantidade de divisores distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, raz•o forte pela
qual este nOmero tenha sido adotado.
O primeiro astr6nomo grego a dividir o circulo em 360 partes foi Hipsicles (180 a. C.), seguido pelos
caldeus. Por volta de 150 a. C. encontramos uma generalizaq•o de Hiparco para este procedimento.
24
Matematica - Modulo Amarelo
Dividir um cffculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os especialistas daquela •poca e
possfvel que se tenha usado o nQmero 60 para representar 1/6 do total que passou a ser 360.
Outro fato que pode ter influenciado na escolha do nQmero 360 • que o movimento de translaq•o da Terra
em volta do Sol se realizava em um pefiodo de aproximadamente 360 dias, o que era uma estimativa razo•vel
para a •poca. Hiparco mediu a duraq•o do ano com grande exatid•o ao obter 365,2467 dias, sendo que
atualmente esta medida corresponde a 365,2222 dias.
Nosso entendimento • que o sistema sexagesimal (base 60) tenha influenciado a escolha da divis•o do
cfrculo em 360 partes iguais, assim como a divis•o de cada uma dessas partes em 60 partes menores e tamb•m
na divis•o de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores.Urea garantia para isto • que os babil6nios
usavam fra(•6es corn pot•ncias de 60 no denominador. As fracases sexagesimais babil6nicas, usadas em
traduq6es •rabes de Ptolomeu, eram traduzidas como:
"primeiras menores partes" = sexag•simos
"segundas menores partes" = sexag•simos de sexag•simos ¯ .
Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi a Ifngua internacional dos intelectuais por
muito tempo, passamos a ter:
"primeiras menores partes" = partes minutae primae
"segundas menores partes" = partes minutae secundae
De onde apareceram as palavras minutoe segundo.
De um modo popular, usamos a unidade de medida de •ngulo com graus, minutos e segundos. Na verdade
a unidade de medida de &ngulo do Sistema Internacional • o radiano, que foi uma unidade alternativa criada
pelo matem•tico Thomas Muir e o fisico James T. Thomson, de urea forma independente. Na verdade o termo
radian apareceu pela primeira vez num trabalho de Thomson em 1873.
Em 1884, muitos cientistas ainda n•o usavam este termo. Outros termos para o radiano eram: Pi-medida,
circular ou medida arcual, o que mostra a forma lenta como uma unidade • implementada ao Iongo do tempo.
ALGUNS ,NGULOS ESPECIAIS =II
Com relaq•o •s suas medidas, os •ngulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso.
ix.......................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
•nguloi Caracteristicas Gr•fico
ingulo cuja medida • maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao ladoagudo •emos um &ngulo de 45 graus.
iUm •ngulo reto • um •ngulo cuja medida • exatamente 90o. Assim os seus ladosi [Angule retoreto iest•o Iocalizados em retas perpendiculares. !- 90o
....................................................................................................................................................................................................................................................... i
F• um •ngulo cuja medida est• entre 90 graus e 180 graus. Na figura ao ladoi••1135 ° iobtuso
item°s o exemplo de um •ngulo obtuso de 135 graus. • /•!
T i
18°
o 1
•ngulo que mede exatamente 180°, os seus lados s•o semi-retas opostas. Nesteiraso • 1caso os seus lados est•o Iocalizados sobre uma mesma reta. i
25
Matematica - M6dulo Amarelo
O •ngulo reto (90°) • provavelmente o •ngulo mais importante, pois o mesmo • encontrado em inOmeras
aplicaqSes pr&ticas, como no encontro de uma parede corn o ch•o, os p•s de uma mesa em rela(•o ao seu
tampo, caixas de papel•o, esquadrias de janelas, etc...
Um •ngulo de 360 graus • o •ngulo que completa o cfrculo. Ap6s esta volta completa este •ngulo coincide
com o •ngulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 o).
Observa(•o: I• possfvel obter •ngulos maiores do que 360° mas os lados destes •ngulos coincidir•o com
os lados dos •ngulos menores do que 360° na medida que ultrapassa 360°. Para obter tais •ngulos basta
subtrair 360° do •ngulo at• que este seja menor do que 360o.
Por exemplo um •ngulo de 400° • equivalente a um •ngulo de 40° pois: 4000-3600=40°.
0 TRANSFERIDOR
Para obter a medida aproximada de um •ngulo traqado em um papel, utilizamos um instrumento
denominado transferidor, que cont•m um segmento de reta em sua base e um semicirculo na parte superior
marcado com unidades de 0 a 180. Alguns transferidores possuem a escala de 0 a 180 marcada em ambos os
sentidos do arco para a medida do •ngulo sem muito esfor(•o.
Para medir um •ngulo, coloque o centro do transferidor (ponto 0) no v•rtice do •ngulo, alinhe o segmento
de reta OA (ou OE) com um dos lados do •ngulo e o outro lado do •ngulo determinar• a medida do •ngulo,
como mostra a figura.
13
C
!
N
0 &ngulo AOC mede 70 graus. Na figura acima, podemos ler diretamente as medidas dos seguintes
•ngulos:
m(AOC) =70° im(AOD)= 120O/m(AOE) = 180°
m(EOB)= 153Oim(EOC)= ll0Oi m(EOD)=60o irn(EOA)-- 180oI
Observa•o: Os •ngulos AOB e EOB s•o suplementares, O mesmo acontece corn os pares de •ngulos:
AOC e EOC, AOD e EOD,
Exemplos:
1. O •ngulo BOC pode ser medido mudando a posi(•o do transferidor ou subtraindo dois •ngulos conhecidos.
m(BOC) = m(AOC) - m(AOg) = 70° - 26° = 44°
2. O •ngulo DOB pode ser medido mudando a posic•o do transferidor ou subtraindo dois •ngulos conhecidos.
m(DOB) = m(EOB) - m(EOD) = 154°- 60° = 94°
26
Matem•tica - M6dulo Amarelo
"J'•"I ......IF] m
SUBDIVISOES DO GRAU .... .....................................................................
Em problemas reais, os •ngulos nem sempre possuem medidas associadas a n0meros inteiros, assim
precisamos usar outras unidades menores como minutos e segundos; A nOtac;•o para 1 minuto 6 1' e a notac•o
para 1 segundo 6 1".
iUnidade de Snguio(N-•mero
•
ci• subdiv•s•esiNota•r,o)
1 •ngulo reto )( •90 graus
1 grau ") 60 minutos 60
,
Im, °to
...........
Assim:
1 grau = 1 •ngulo reto dividido por 90.
1 minuto = 1 grau dividido por 60.
1 segundo = 1 minuto dividido por 60.
Exemplo:
Expressar a medida do •ngulo 35° 48' 36" como fra•o decimal do grau.
35048'36 '' = 35° + 48' + 36" =
= 35° + (48160)° + (36/3600)°
= 35° + 0,80° + 0,01o
¯ =35,.81°
EXERCiCI"OS ...................... .........RESOLMIDOS ' ' [ "•i•••,
1. Nos rel6gios desenhad0s, qual 6 a medida do menor •ngulo formado pelos ponteiros de cada rel6gio?
O@
"
Solug•o: No reldgio lilgs, o menor dos gngulos formados pelos ponteiros 6 de aproximadamente 120° enquanto
que no rel6gio verde o menor dos •ngulos formados pelos ponteiros 6 de aproximadamente 150o.
2. Para expressar 2/3 de 1 grau (1°) em minutos, basta tomar:
(2/3)° = 2/3 x 60' = 40'.
3. Para escrever 48' como uma parte fracion•ria do grau, basta tomar:
48'=(48/60)°=(4/5)°=(4/5) de 1° .
4. Para expressar 3/4 de 1' em segundos, tomamos
(3/4)'=(3/4)x60" = 45"
S, De acordo com a figura; complete as medidas dos &ngulos que est•o faltando em cada linha da tabela
abaixo:
i m(AOC) m(AOB) I m(BOC)_• •(
64 18 •45 25 3 • .........
27
Matem&tica - M6dulo Amarelo
.......................... Ii/--
6. Posicione o mouse sobre a palavra "Resposta" e ap6s alguns segundos voc• ver• se acertou a quest•o.
7. Na figura abaixo as retas AC e BD se interceptam no ponto O. Pergunta-se:
C
a. Quais s•o •ngulos agudos?
b. Quais s•o •ngulos obtusos?
c. Quais s•o os nomes de quatro pares de •ngulos suplementares?
d. Quais •ngulos s•o opostos pelo v•rtice?
e. Identifique dois •ngulos que s•o adjacentes ao •ngulo DOA.
Soluc•o:
a. Angulos agudos s•o BOA e COD.
b. Angulos obtusos s•o BOC e DOA.
c. Quatro pares de •ngulos suplementares s•o DOC e COB, COB e BOA, BOA e DOA, BOA e COD.
d. •,ngulos opostos pelo v•rtice: DOC e AOB, AOD e BOC.
e. Dois •ngulos adjacentes ao •ngulo DOA s•o: BOA e DOC.
:1.. Mostre que •ngulos s•o opostos pelo v•rtice s•o congruentes.
Soluc•o." Se m(AOB)=x, m(COD)=y e m(COB)=z, como os pares de •ngulos AOB, B0C e BOC, COD s•o suplementares,
temos que x+z=180° e y+z=180°, portanto x=y, o que implica que os •ngulos AOB e COD s•o congruentes.
:2. A soma de dois •ngulos adjacentes • 120 graus. Calcule a medida de cada •ngulo, sabendo que a medida de
um deles • o triplo da medida do outro menos 40 graus.
Soluc•o: Sejam x e y as medidas dos •ngulos. Assim, temos duas equaq6es: x+y=120° e x=3y-40°. Resolvendo
este sistema, obtemos x=40° e y= 80°.
3. Dois •ngulos s•o suplementares, a medida de um deles • 24 graus menor do que o dobro da medida do
outro.Calcule a medida de cada •ngulo.
Soluc•o: Sejam x e y as medidas dos •ngulos. Desse modo: x+y=180° e x=2y-24°. Assim: x=112° e y=68°.
4. Um entre dois •ngulos complementares tem medida 18° menor do que o dobro da medida do outro. Calcule
as medidas de cada •ngulo.
Soluc,•o: Medidas dos •ngulos:36° e 54°.
5. Dois •ngulos complementares t•m medidas respectivamente iguais a 3x-10 e 2x+10. Determinar a medida
de cada •ngulo.
Solu¢•o: Os •ngulos meclem 44° e 46°.
6. Em quantos graus, a medida do suplementar de um •ngulo agudo excede a medida do complementar deste •ngulo?
Soluc•o: Se x • a medida do •ngulo, ent•o a medida do suplementar de x • igual a (180-x) ° e a medida do
complementar de x 6 igual a (90-x)°, portanto, a medida do suplementar de x que excede a medida do
complementar de x • igual 90o.
7. Se (3x-15) graus • a medida de um •ngulo agudo, que restric•6es devemos ter para o n0mero x?
Soluc•o: O •ngulo agudo mede 3x-15. Temos que um •ngulo agudo deve medir mais do que zero graus e
menos do que 90 graus, assim, 0<(3x-15)<90, logo 5<x<35.
8. A soma das medidas de dois •ngulos complementares • 86° maior do que a diferenqa de suas medidas.
Calcule a medida de cada •ngulo.
Solu•o: As medidas dos •ngulos: 43° e 47%
28
¯.......l_ .1
°•
INTERIOR E EXTERIOR DE UM ANGULO
Matem&tica - M6dulo Amarelo
Jill ..........
...............
i ....
•J INTERIOR DE UM ANGULO
O interior do •ngulo AOB • a intersec;•o de dois semi-pianos. O semi-piano •z 1 com origem na reta OA e
que cont•m 0 ponto B e 0 semi-piano •z 2 com origem em OB e que cont•m 0 ponto A.
Dessa forma, podemos obter 0 interior do &ngulo AOB, como a interse(;•o desse semi-pianos, isto 6:
Interior de AOB = •z 1 It'} a 2
Se um •ngulo for menor do que um •ngulo raso, 0 interior deste •ngulo 6 urea regi•o convexa, 0 que
significa que quaisquer dois pontos contidos no interior do •ngulo s•o extremidades de um segmento de reta
inteiramente contido nesta regi•o.
Os pontos do interior de um •ngulo s•o pontos internos ao •ngulo e a reuni•o de um •ngulo com seu
interior • um setor angular, tamb•m conhecido como &ngulo convexo. AIguns autores definem desta forma um
•ngulo.
EXTERIOR DE UM ANGULO
0 exterior do •ngulo AOB • o conjunto de todos os pontos que n•o pertencem nero ao •ngulo AOB nero ao
interior de AOB.
29
Matem&tica - M6dulo Amarelo
O exterior de AOB • a reuni•o de dois semi-pianos, o semi-piano ,5' z com origem na reta OA e que n•o
cont•m o ponto B e o semi-piano ,8 2 corn origem em OB e que n•o cont•m o ponto A. Assim, basta tomar a
reuni•o desses dois semi-pianos:
Exterior de AOB = /• lU/7 2
Se um •ngulo for menor do que um •ngulo raso, o exterior deste •ngulo • uma regi•o c6ncava, isto quer dizer
que n•o • uma regi•o convexa. Os pontos do exterior de um •ngulo s•o pontos externos ao &ngulo e a reuni•o
do •ngulo corn seu exterior, tamb•m • conhecida como #ngulo c4ncavo.
•,NGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES E REPLEMENTARES• .
Dois •ngulos s•o denominados:
COMPLEMENTARES:
Se a soma de suas medidas • igual a 90° e neste caso, um •ngulo • o complemento do outro.
SUPLEMENTARES:
Se a soma de suas medidas • igual a 180° e neste caso, um •ngulo • o suplemento do outro.
•J REPLEMENTARES:
Se a soma de suas medidas • igual a 360° e neste caso, um •ngulo • o replemento do outro.
)Complemento de x ) Suplemento de x Replemento de x
............................
T i .......................................................................................................
•
......................................................................................
180°- x - •'
!! 90o- x 180o- x ) 360o- x i
30
Matem•tica - M6dulo Amarelo
"•II m_I • ........Wal• i ..
RACIOCINIO LOGICO
•! NO(•(•ES B•,SICAS DE LOGICA: INFERf=NCIAS, IMPLICA(•6ES E NEGAqOES
INTRODU•AO
Proveniente do latim reri, ratus, ratiocinium, o nome racioUnio relaciona-se semanticamente corn o 6timo
contar, contado, conta. Posteriormente passou a significar tamb6m calcular e julgar, referindo-se ao
entendimento da estrutura 16gica de rela•6es arbitr•rias entre pessoas, lugares, coisas ou eventos fictfcios, para
deduzir novas informa(•6es das relaq6es fornecidas e avaliar as condic•Ses usadas para estabelecer a estrutura
claquelas rela•;6es.
Raz•o 6 a Jntelig•ncia e ser capaz de c•lculo 6 raciocinar. Pensar n•o 6 o mesmo que raciocinar, mas sim
exercitar os conhecimentos gerais, formando id6ias que tendem a levar a uma opini•o pessoal.
O aprendizado da 16gica auxilia no raciodnio, na compreens•o de conceitos b:•sicos, na verifica(•o formal
de programas e melhor prepara para o entendimento do contet•do de t6picos mais avan•ados.
• ESTRUTURAS LOGICAS
Uma estrutura 16gJca 6 feita por um conjunto de proposi(•6es que podem ser analisadas como verdadeiras
ou falsas. Proposi•;•o 6 um conjun,to de paiavras ou sfmbolos que exprimem um pensamento de sentido
completo, exprimindo um jufzo. E importante ressaltar que proposi(•6es 16gicas n•o podem ser frases
interrogativas e n•o devem levar em conta opini6es. Resumindo, n•fio podem ser frases que n•o possam ser
julgadas como verdadeiras ou falsas.
S•o proposi•;6es v.•lidas:
Nenhum porco espinho sabe ler.
Adriana 6 brasileira.
O nOmero 7 6 fmpar.
5+3=8.
O jacar6 6 mamffero.
N•o s•o proposi(•6es v&lidas:
Quantos anos voc• tern?
0 dia est• bonito!
Preste aten;•o ao discurso.
7+5x2
Meu Deus!!
As proposiq6es t•m dois principios fundamentals:
N•o Contradiq•o:
N•o pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
•> Terceiro excluido:
Toda proposi(•o 6 verdadeira ou • falsa, n•o existindo uma terceira possibilidade.
31
PROPOSI•6ES
Matematica - M6dulo Amarelo
I I I
.....
As proposig6es podem ser classificadas como:
a) Pr_£p_posir.•_o SirnDles: 6 tamb6m conhecida como proposic•o at6mica, pois n•o 6 possfvel subdividi-la em
partes menores ou extrair dela outra proposi•o.
Exemplo:
Jo•o 6 estudante.
Adriana 6 professora.
b) •o Comoosta: 6 tamb6m chamada de proposiq•o molecular ou f6rmula proposicional, pois 6
possfvel subdividi-la em duas ou mais proposig6es diferentes, ligadas por conectivos.
Exemplo:
Jo•o 6 estudante e Adriana 6 professora. (Temos duas proposig6es: "Jo•o 6 estudante" e "Adriana 6
professora", temos tamb6m o conectivo "e'•
Tkj CONECTIVOS E MODIFICADORES
Na 16gica formal s•o utilizados alguns simbolos especfficos para construir jufzos a partir de jufzos mais
Simbolo
/k ¯
V
/
3
3/
V
simples:
Significado
e (conjunc•o)
ou (disjung•o)
negaq•o da sentenga
se ... ent•o (condicional)
se e somente se (bicondicional)
tal que
existe
existe um e somente um
para todo
Estrutura
a^b
avb
-a
a-->b
a <--• b
/a
3a
3a/
Va
VARIAVEIS PROPOSICIONAIS
As proposig6es simples usualmente s•o indicadas por letras latinas min6sculas: p, q, r, s, ... chamadas
de vari•veis proposicionais.
Exemplos:
p: Paulo 6 mineiro.
q: Marina • brasileira.
r: Joana 6 menor de idade.
As proposig6es compostas s•o usualmente indicadas por letras latinas maiOsculas: P, Q, R, S, ...
chamadas de vari•veis proposicionais.
Exemplos:
P: Paulo 6 mineiro e Marina 6 brasileira.
Q: Joana 6 menor de idade e Paulo 6 funcion•rio p•blico.
R: O nOmero 6 6 par e o nOmero 7 6 impar.
32
..W-"l
• VALOR LOGICO
Matematica - Modulo Amarelo
.I l/
"
O valor 16gico de uma proposiq•o pode ser verdadeiro (V) ou falso (F). Desta maneira, pelos princfpios
da n•o contradiq•o e do terceiro exclufdo, pode-se dizer que toda proposiq•o tern somente um valor 16gico, seja
ele verdadeiro ou falso.
Exemplos:
p: O nSmero 7 • primo. (O valor 16gico dessa proposiq•o • a verdade, ou seja, V(p) = V)
q: Crist6v•o Colombo descobriu o Brasil. (O valor 16gico dessa proposiq•o • a falsidade, ou seja, V(q) = F)
• LOGICA DE ARGUMENTA•AO
A 16gica de argumentac•o • a maneira de interpretar um texto ou um problema, a partir de proposi(•Ses
antecipadamente definidas, podendo-se fazer uma infer•ncia (conclus•o) sobre o assunto.
•o•J INFERENCIAS
As infer•ncias podem ser por:
a) Deduc,•o: quando infere-se alguma coisa que, por an•lise das premissas, tem-se uma conclus•o absoluta.
Exemplo: ¯ ¯
Todo ser humano • um animal.
Eu sou um ser humano.
Logo, eu sou um animal.
b) Indu•o: quando a infer•ncia n•o • absoluta, indicando uma conclus•o como verdade, mas n•o se pode
afirmar corn plena certeza.
Exemplo:
Os lagartos do cerrado possuem comportamento diurnos,pois eles precisam de sol para se
aquecer. (N•o se pode ter certeza absoluta que essa seja a raz•o do h•bito diurno dos lagartos
do cerrado)
•! SOFISMA
A infer•ncia mais comum no cotidiano • a que ocorre fazendo-se comparaq•o entre situaq6es an•logas,
que podem, •s vezes, levar a um sofisma (fal•cia), que 6 a infer•ncia errada.
Exemplo:
Nada 6 melhor do que Deus.
Tomate • melhor que nada.
Ent•o, tomate • melhor do que Deus, (Sofisma)
•J ARGUMENTOS
O principal objetivo ser• a investigac•o da validade de argumentos, que formam um conjunto de
enunciados formados por uma ou mais premissas e uma conclus•o. As premissas e a conclus•o de um
argumento, formuladas em linguagem estruturada, permitem que ele possa ter uma an•lise 16gica apropriada
para a verificaq•o de sua validade.
O argumento pode ser:
a) Dedutivo: • v•lido quando as premissas s•o verdadeiras e a conclus•o tamb•m • verdadeira.
Exemplo:
Premissa: "Todo homem • mortal."
Premissa: "Jo•o • homem."
Conclus•o: "Jo•o • mortal."
33
Matematica - M6dulo Amarelo
b) Indutivo: n•o basta que as premissas sejam verdadeiras para assegurar a verdade da conclus•o.
Exemplo:
Premissa: "l• comum ficar nublado ap6s a chuva."
Premissa: "Est• chovendo."
Conclus•o: "Ficar• nublado."
•J TABELA VERDADE
Pelo princfpio do terceiro exclufdo, toda proposiq•o simples tem valor 16gico V (verdade) ou valor 16gico
F (falsidade). J• o valor 16gico da proposiq•o composta depende dos valores 16gicos das proposiq6es simples
componentes, ficando por eles determinado.
Para a determinaq•o do valor 16gico da proposiq•o composta pode-se recorrer a um dispositivo chamado
de tabela-verdade, no qual devem figurar todos os possfveis valores 16gicos das proposiqSes simples
componentes.
Exemplo:
Paulo • casado e • engenheiro.
p: Paulo • casado.
q: Paulo 6 engenheiro.
Considerando que p seja verdade e que q tamb•m seja verdade, podemos dizer que p ^ q • verdade•
Da mesma forma podemos dizer que p v q • verdade.
Resumindo, temos a tabela-verdade para a conjun•;•o "e" (^), para a disjun(•o "ou" (v) e para o
condicional "se...ent•o" (-->) :
P q p__•q p_ q pvq p q p-• q
V V V V V V V V V
V F F V F V V F F
F V F F V V F V V
F F F F F F F F V
Observa•Ses:
ia) I• importante notar que em proposi(•Ses ligadas por "ou" se uma das duas forem verdadeiras a proposi(•o
composta 6 verdadeira.
Exemplo: Se Afonso passar no vestibular da PUC ou da UFMG ganhar• um carro.
Para Afonso ganhar o carro, ele precisa passar em pelo menos uma das universidades. Mas se passar
nas duas, certamente ganhar• o carro.
2a) Uma conjunq•o s6 • verdadeira quando as duas proposiqSes que a compSe forem verdadeiras.
Exemplo: Se Afonso tirar a carteira de motorista e passar no vestibular ganhara um carro.
Nesse caso, Afonso precisa satisfazer is duas exig&ncias para ganhar o carro.
3a) A proposi(•o composta "se p ... ent•o q ..." s6 6 falsa, quando p 6 verdadeira e q 6 falsa, nos demais
casos a proposi(•o composta ser• sempre verdadeira.
Exemplo: Se Afonso passar no vestibular da PUC, ent•o estar• habilitado para dirigir um carro.
Considerando que a primeira proposiq•o • verdadeira, a segunda • falsa, porque passar no vestibular
n•o habilita a dirigir, portanto a proposiq•o composta • falsa.
34
Matem&tica - M6dulo Amarelo................................
;T-.•-----m i• m.i• - ............... n ll
DIAGRAMAS LOGICOS
Diagramas 16gicos s•o conceitos que trazem a possibilidade de agrupar elementos b•sicos e suas
relaq6es de uma forma 16gica ou de uma forma estrutural.
A teoria de conjuntos • um ramo primitivo da matem•tica que facilita a visualizaq•o do que foi exposto,
reagrupando informaq6es, que inicialmente parecem complexas. Os diagramas 16gicos s•o baseados nessa
teoria.
CONJUNCAO
I• representada pelo conectivo "e', cujo sfmbolo • ^, e exige a simultaneidade de condiq6es, indicada
pela regi•o escurecida no diagrama.
Exemplo:
pnq = p^q
• DISJUNCAO
I• representada pelo conectivo "ou", cujo sfmbolo • v, e n•o exige a simultaneidade das condic;6es, j&
que abrange todo o diagrama, conforme indicado pela parte escurecida.
Exemplo:
puq = pvq
CONDICIONAL OU IMPLICAI•AO
I• representada por "se p ... ent•o q ...", cujo s•mbolo • p --• q, e • falsa somente quando a condic•o p
verdadeira e a conclus•o q • falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isso significa que numa
proposiq•o condicional, a Onica situa•o que n•o pode ocorrer • uma condiq•o verdadeira implicar uma
conclus•o falsa.
Exemplo:
pcq=p-->q
35
Matem&tica - M6dulo Amarelo
IIIIIIIB Illlllllillllllilllm mmmmlmmmmmm III
EXERCICIOS I ............... .
01. Resolvendo esta express•o temos:
A ( ) 720
B() 24
C() 6
D ( ) 738
02. Simplificando-se a express•o obt•m-se:
A() 10
B() 20
C() 3O
D( ) 40
6.I + 4.I _ 3.1
03. Simplificando esta express•o, obteremos:
A() 7
B() 14
C() 21
D()42
sl
3!
7!
5! 2!
04. Simplificando essa express•o, obteremos o numeral:
A ( ) 30 . .': 6-I
B ( ) i0 4-1 3!
C() 6
D() S
05. Simplificando temos:
A()n
B() 02
C() i
n
C() 1
n2
n-1
06. Calcule n tal que:
A() ii
B( ) 144
C ( ) 725
D( ) 715
(n-5)! = 720
07. Uma pessoa possui 5 calqas e 6 camisas. Sendo todas essas peqas de cores distintas, pode-se afirmar que
essa pessoa poder• combin•-Ias de:
A ( ) 11 maneiras diferentes.
B ( ) 25 maneiras diferentes.
C ( ) 30 maneiras diferentes.
D ( ) 36 maneiras diferentes.
08. Observe o enunciado: "Quantos anagramas podem ser formados com a palavra PROBLEMA ?"
Para resolver essa quest•o aplica-se o c•lculo de:
A ( ) arranjo simples
B ( ) combina•o simples.
C ( ) permutag•o simples.
D ( ) arranjo corn repetic•o.
09. De quantos modos podemos dispor 5 livros em uma estante?
A() 10
C ( ) 120
B() S0
D( ) 720
36
Matem&tica- M6dulo Arnarelo
l/
.............
10. Quantos anagramas podemos formar com a palavra CINEMA ?
A( ) 30 B( ) 60 C( ) 120 D( ) 720
11. Quantos anagramas da palavra CINEMA que comecTam por NE ?
A( ) 24 B( ) 120
C( ) 720 D( ) 1024
12. Se selecionarmos uma palavra entre as encontradas no anagrama da palavra AMOR, a probabilidade dessa
palavra se iniciar corn a letra M 6 de:
A( ) 24ve7es. B( ) 12vezes.
C( ) 6vezes. D( ) 3vezes.
13. Quantos nOmeros de 3 algarismos distintos podemos formar com 2, 3, 6, 8 e 9 ?
A( ) 20 B( ) 40
C( ) 50 D( ) 60
14. Usando os algarismos de I a 9, podem-se escrever nOmeros distintos com tr•s algarismos, num total de:
A()
c()
15. O
s•o:
A()
B()
C()
D()
54 B ( ) 84
336 D ( ) 504
n6mero de fraqSes diferentes entre si e diferente de 1 que podem ser formadas corn os nOmeros abaixo
15
30
45
60
2, 3, 5, 7, 9 e 12
16. Com os algarismos de 1 a 7, pode-se formar, corn 3 algarismos distintos, um total de:
A ( ) 160 n6rneros. B ( ) 210 nl3meros.
C ( ) 240 nOmeros. D ( ) 360 n6meros.
17. Os ndmeros de tr•s algarismos distintos que existem no nosso sistema de numeracT•o s•o:
A( ) 27 B( ) 120
C( ) 648 D( ) 720
18. Em uma prova automobilfstica que possua 12 carros como concorrentes, o n6mero de possibilidades de
classificaq•o para os tr@s primeiros lugares 6:
A ( ) 120 B ( ) 132
C( ) 220 D( ) 1320
19. 0 valor de ALO,3 e:
A( ) 600 B( ) 700
C( ) 720 D( ) 800
20. 0 valor de As,2 + A7,4 -- Az,2 6:
A( ) 720 B( ) 20
C( ) 840 D( ) 858
21. Calculando-se a express•o abaixo, obt6m-se:
A ( ) 120
B ( ) 720 Ps -I- Alo,3 - P4
C() 24
D ( ) 816
22. Quantas comiss6es, corn 4 elementos, podem ser formadas numa classe de 20 alunos?
Para resolver esse problema 6 aplicada a seguinte f6rmula:
A( ) P16 B( ) P20
C ( ) A2o,4 D( ) C2o,4
23. Numa sala de 20 alunos, o n6rnero de comissSes que poder•o ser formadas corn 4 elernentos 6:
A( ) 2.574 B( ) 3.426
C( ) 4.845 D( ) 5,628
37
Matematica - M6dulo Amarelo
........................ • "-T" H•• -"
24. O resultado da combinaq•o C4,3 e:
A( ) 4 B( ) 12
C( ) 24 D( ) 48
25. Quantas comissSes de 6 membros s•o poss[veis de se formar com 8 individuos?
A( ) 10 B( ) 20
C( ) 28 D( ) 30
26. Com 5 diretores quantas comiss6es de 3 diretores poderemos formar?
A() 10
B() 5
c() 6
D() 4
27. O
A()
B()
C()
D()
nOmero de maneiras de se retirarem 5 livrosde uma cole(•o formada por 10 exemplares diferentes •:
25
120
252 ... -
504
28. Em um campeonato de futebol c0m 10 times, cada um joga contra todos os outros. O nflmero total
de jogos desse campeonato 6:
A() 30
B() 32
C( ) 42
D()45
29. O nQmero de tri&ngulos que podem ser formados com seis pontos numa circunfer&ncia s•o:
A() 2
B() 20
C ( ) 120
D ( ) 220
30. Resolvendo (:1o,3 obt•m-se:
A5,2
A ( ) 120
B() 20
C() 6
D() 5
31. Resolvendo a equa¢•o abaixo, encontraremos o seguinte n6mero natural:
A()5
B ( ) 4 Cx,2 = 3
C()3
D()2
32. Para preencher 3 vagas existentes em uma firma, 10 candidatos se inscreveram. As possibilidades de
classificac;•o s•o em n6mero de:
A ( ) 720
B ( ) 120
C() 30
D() 3
38
Matematica - Modulo Amarelo
33. Uma linha ferrovi•ria tem 12 estac•6es. Nessa linha, em cada bilhete utilizado pelos passageiros, deve estar
registrada a estac•o de origem e a de destino. O nOmero de diferentes bilhetes a serem impressos 6:
A() 24
B() 66
C ( ) 132
D ( ) 240
34. Suponha que num grupo de "Big Brothers" est•o 14 jovens, sendo 6 cariocas, 5 paulistas e 3 mineiros. A
equipe de limpeza da casa ser• formada por 2 cariocas, 1 paulistae 1 mineiro. O n6mero de maneiras possfveis
para se formar essa equipe de limpeza 4:
A() 23
B ( ) 225
C ( ) 364
D ( ) 450
35. Num vefculo de 4 lugares, viajam 4 pessoas, das quais 2 s•o motoristas. O nSmero de formas diferentes
para acomodar essas pessoas 6.:
A( )6- .."
B() 12
C() 18
D() 24
36. Em um campeonato de futebol com 12 times, cada um joga contra todos os outros. O nOmero total de jogos
desse campeonato 4:
A() 12
B() 24
C() 66
D ( ) 132
37. O nOmero de maneiras que 13 alunos podem sentar-se, ocupando as carteiras fixas de urea sala de aula
corn 15 carteiras 4:
A ( ) 105
B ( ) 195
C ( ) 210
D ( ) 225
38. Numa sala de 10 alunos, o nOmero de comiss6es que poder•o ser formadas corn 3 elementos •:
A( ) 360
B ( ) 120
C() 40
D() 30
39. Simplificando a express•o abaixo, temos:
A() 1
n + 2
B( ) n + 1 •B. -I- 3_.)_I
C( ) n + 2 (n + 2)!
D()n+3
40. Um time disp6e de 6 jogadores de v6lei, entre os quais um jogador A. O nOmero de duplas diferentes que
podem ser formadas, nas quais n•o aparec•a o jogador A, 4:
A() 30
B() 20
C() 15
D() 10
.............................•• . m• n 3w9 ml m
Matematica - M6dulo Amarelo
.............r................ .:__ :-- -- .......
GABARITO
01. d 02. b 03. c 04. d 05. c 06. a 07. c 08. c 09. c 10. d
11. a 12. c 13. d 14. d 15. b 16. b 17. c 18. d 19. c 20. d
21. d 22. d 23. c 24. a 25. c 26. a 27. c 28. d 29. b 30. c
31. c 32. b 33. c 34. b 35. b 36. c 37. a 38. b 39. d 40. d
EXERCICIOS II, I• ••WI•i•i•iiii•iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii•iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii•i•ii•
01 - No lanc_,amento de um dado, qual • a probabilidade de obtermos na face voltada para cima um n0mero par?
02 - Lanqando dois dados, qual • a probabilidade de obtermos nas faces voltadas para cima a soma dos pontos
igual a 6 ?
03 - Uma urna contain exatamente cem etiquetas numeradas de 1 a 100. Retirando uma etiqueta dessa urna,
qual • a probabilidade de obtermos um nQmero menor do que 41 ?
04 - No lan(•amento de tr•s dados, qua! @ a probabiiidade de obtermos n•meros iguais de pontos nos tr•s
lan(•amentos ?
"
05 - Uma moeda • lan(•ada tr6s vezes. Qual a probabilidade de obtermos cara nos dois primeiros langamentos e
coma no terceiro ?
06 - Qual a probabilidade de se obter um n0mero divis[vel por 5 na escolha ao acaso de um nOmero de cinco
algarismos distintos formado pelos algarismos 1, 2, 3, 4, e 5 ?
07 - Uma prova • constituida por dez testes do tipo "verdadeiro ou falso". Um candidato responde ao acaso os
clez testes. Qual • a probabilidade de esse candidato acertar apenas o primeiro teste e errar os outro nove ?
08 - Em uma amostra de quinhentas pegas, existem exatamente quatro defeituosas. Retirando-se ao acaso,
uma peqa dessa amostra, qual • a probabilidade de ela ser perfeita ?
GABARITO
i 1[o2 1211l1111 1L01. • • 03. -5 04. --36 05. --8 06. --5 07. --1024 08. 99,2% 1
EXERCICIOS III
01. Um dado foi lan(•ado 50 vezes. A tabela abaixo mostra os resultados possiveis e as suas freq(J•ncias.
A freqe•ncia de aparecimento de um resultado [mpar foi de:
A() 1
2
B() 2
5
C() 12
25
D() 11
25
4O
Matematica - Modulo Amarelo
................................. ................ m.ll...• J
02. Observe as notas, especificadas por bimestre, de um deterrninado aluno.
1°Bim 2°Bim 3°Bim J 4°Bim
7 8 6 I -
Para que ele alcance, no final, uma m•dia aritm•tica de 7,5, no 4° bimestre ter& que tirar:
A( ) 9 B( ) 8 C( ) 7 D() 7,5
03. O gr•fico abaixo mostra o balanc•o de uma empresa do ramo de importac•o e exportac•o nos 6 primeiros
meses do ano de 2001.
I• correto afirmar que o saldo dessa empresa foi:
•. A ( ) decrescente nos•6 meses.
B ( ) positivo a partir de abril,
04. Observe a tabela das porc•..ntagens de venda de 4
A
B
C
D
O gr•fico de setor que corresponde a essa tabela •:
A()
B()
C()
PRODUTO
3O
20
4O
10
C,(.) negativo em todos os meses.
D ( ) crescente, em todos os meses, a partir de marco.
)rodutos:
VENDAS
D()
41
Matem&tica - M6dulo Amarelo
05. A m•dia da cotaq•o do d61ar nos 5 dias consecutivos abaixo indicados •:
A ( ) R$ 2,78
B ( ) R$ 2,68
C( ) R$2,58
D ( ) R$ 2,48
Dia 02: R$ 2,52
Dia 03: R$ 2,70
Dia 04: R$ 2,78
Dia 05: R$ 2,67
Dia 06: R$ 2,73
[ 01. c _[02. a
GABARITO
[03. b [ 04. d ] 05. b
EXERCICIOS IV ......
As retas r e s s•o
A ( ) paralelas. B ( ) concorrentes. C ( ) coincidentes. D ( ) perpendiculares.
02. A condiq•o para que duas retas, r e s, sejam paralelas •:
A ( ) elas t6m um ponto em comum.
B ( ) elas formam •ngulo de 90°.
C ( ) elas s•o co-planares e n•o se cruzam.
D ( ) elas se cruzam, determinando um ponto.
03. Por dois pontos passa:
A( ) umplano. B( ) umareta. C ( ) um •ngulo. D ( ) um tri•ngulo.
04. Duas retas coincidentes sempre t•m :
A ( ) um ponto em comum.
B ( ) dois pontos em comum.
C ( ) um semi-piano em comum.
D ( ) todos os pontos em comum.
05. Para que duas retas sejam perpendiculares:
A ( ) elas n•o podem ser concorrentes.
B ( ) elas concorrem formando •ngulo de 90°.
06. Associe a 2a coluna de acordo com a ia.
(1) Retas coincidentes
(2) Retas concorrentes.
(3) Retas paralelas.
(4) Retas perpendiculares.
(5) Retas reversas.
( ) S•o co-planares sem ponto comum.
( ) Todos os pontos de uma s•o pontos da outra.
( ) N•o existe piano que as contain simultaneamente.
( ) t6m um Onico ponto em comum.
( ) t•m um 6nico ponto comum e formam •ngulo de 90°.
A seq0•ncia correta •:
A( ) 5,3,2,4,1
B( ) 4,2,3,1,5
C( ) 3,1,5,2,4
D( ) 1,5,4,3,2
42
C ( ) elas s•o paralelas.
D ( ) elas concorrem formando •ngulo de 180°.
07.
A ( ) ortogonais.
B ( ) co-planares.
C ( ) reversas.
D ( ) paralelas.
Com base na figura abaixo, pode-se afirmar que as retas r e s s•o:
r
\
Matematica - Modulo Amarelo
08. No paralelepfpedo abaixo pode-se ver que:
A B
A( ) AB
B()AB
C ( ) "AB
D()CE
09. Leia
e EG s•o retas perpendiculares.
e CD sa0 retas concorrentes.
e FH s•o retas reversas.
e CD s•o retas paralelas.
atentamente as afirmativas abaixo:
1. Por 3 pontos passa uma t•nica reta.
2. Por 3 pontos distintos e n•o alinhados passa um [3nico piano.
3. Por um ponto fora do piano, passa uma •nica reta perpendicular a esse piano.
4. Toda reta paralela a um piano • paralela a qualquer reta desse piano.
S•o corretas:
A( ) le2. B( ) 2e3. C( ) 2,3e4. D( ) 1,2e4.
10. Est• correta a seguinte afirmativa:
A ( ) Tr6s pontos n•o alinhados determinam um Onico piano.
B ( ) Tr•s retas que, duas a duas, n•o t6m ponto comum, s•o paralelas.
C ( ) Se uma reta • paralela a dois pianos, ent•o esses pianos s•o paralelos.
D ( ) Se uma reta • perpendicular a uma reta paralela a um piano, ent•o ela • perpendicular ao piano.
11. Observe estas afirmativas:
I - Por um ponto passam infinitas retas.
II - Por uma reta passa um Onico piano.
III - Dois pontos determinam um piano.
IV - Se dois pontos distintos pertencem a
Considerando V
respectivamente:
A( ) FVVF
B( ) VFFV
C( ) VVFF
D( ) FVFV
como verdadeirae F
um piano, ent•o a reta que passa por eles est• contida no piano.
como falsa, pode-se afirmar que as afirmativas acima s•o
12. S•o suficientes para determinar um piano os seguintes elementos:
A ( ) Duas retas distintas.
B ( ) Uma reta e um ponto.
C ( ) Duas retas reversas.
D ( ) Duas retas concorrentes.
43
Matematica - MSdulo Amarelo
13. Numere a 2a coluna de acordo corn a la:
()
()
()
()
(1) •,ngulos retos
(2) •,ngulos agudos
(3) Angulos obtusos
(4) Angulos complementares
S•o os que medem mais de 90°.
S•o os que medem 90°.
S•o dois •ngulos cujas medidas somam 90°.
S•o os que medem menos de 90°.
A seqd6ncia num•rica correta •:
A( ) 3, 4, 2, 1
B( ) 4, 1, 3, 2
C( ) 3, 1, 4, 2
D( ) 1, 4, 2, 3
14. Leia com atenq•o as afirmativas abaixo:
1 - Um •ngulo 4 reto quando seus lados s•o perpendiculares.
2 - Dois •ngulos s•o congruentes quando t•m a mesma medida.
3 - A bissetriz de um &ngulo o divide em dois •ngulos congruentes.
4-- Os •ngulos ,in.ternos deum tri•ngulo is6sceles t•m a mesma medida.
Corn relac$•o a essas afirmativas, podemos dizer que :
A( ) apenas 1, 2 e 3 s•overdadeiras.
B ( ) apenas 3 e 4 s•overdadeiras.
C ( ) apenas 1 e 3 s•overdadeiras.
D ( ) apenas a 1 • verdadeira.
15. Calcule a hipotenusa de um tri•ngulo ret•ngulo, sabendo que seus catetos t•m 3 metros e 4 metros de
comprimento.
4m
A( ) 7metros
B ( ) 1 metro
C( ) 5metros
D ( ) 12 metros
16. Considere dois pianos paralelos:
Se outro piano cortar os dois pianos dados, as interseq6es ser•o retas:
A( ) reversas
B ( ) paralelas
C ( ) concorrentes
D ( ) perpendiculares
44
17. Observe o galp•o representado na ilustrac•o abaixo:
q
Matematica - Modulo Amarelo
Das retas assinaladas, • correto afirmar que:
A ( ) r e s s•o perpendiculares.
B ( ) r e q s•o concorrentes.
C ( ) p e s s•o paralelas.
D( ) peq s•oreversas.
18. Um piano 6 determinado por:
A ( ) uma reta e um ponto pertencente a ela.
B ()tr&s pontos distintos e n•oalinhad0s.
C. ( ) duas retasquaisquer.
D ( ) uma Onica reta.
19. Dados o piano • e um ponto P n•o pertencente ao piano •.
P I
I• correto afirmar que pelo ponto P:
A ( ) passa apenas uma reta perpendicular a •.
B ( ) passam infinitas retas perpendiculares a •.
C ( ) passa apenas um plano perpendicular a •.
D ( ) passa apenas uma reta paralela a oz.
20. Escreva (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas.
I) Se tr6s pontos s•o co-planares, necessariamente eles s•o colineares. ( )
II) Se a interseq•o de duas retas 6 o conjunto vazio, ent•o elas s•o paralelas. ( )
Ill) Quatro pontos distintos e n•o co-planares determinam exatamente dois planos. ( )
IV) Urea reta e um ponto n•o pertencente a ela determinam um Onico plano que os cont6m. ( )
A seqiJ6ncia correta 6:
A( ) F,V,F,F
B( ) V,V,V, F
C( ) F,F,F,V
D( ) V,F, F,V
21. Corn relaq•o a ponto, reta e plano pode-se afirmar que:
A ( ) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, ent•o a reta est• contida no plano.
B ( ) Dois planos distintos, perpendiculares a um plano dado, s•o paralelos entre si.
C ( ) Se urea reta est& contida hum plano, ent•o ela 6 paralela ao plano.
D ( ) Tr•s pontos determinam um plano.
Matematica - M6dulo Amarelo
22. Observe a figura abaixo:
As retasAg e RS s•o:
A ( ) reversas
B ( ) paralelas
C ( ) co-planares
D ( ) concorrentes
23. Calcule a hipotenusa de um tri•ngulo ret•ngulo, sabendo que seus catetos t•m 3 metros e 4 metros de
comprimento.
A()
B-()
c()
D()
4m
7 metrQs
1 metro ..
5 metros
12 metros
X
24. A medida do lado AB
A( ) 10cm
B( ) 20cm
C( ) 30cm
D( ) lO•13cm
B
,-'k C
25. O valor de b nessa figura •:
A( ) 32cm
B( ) 16cm
C( ) 12cm
D( ) 8cm
GABARITO
01. b 02. c 03. b 04. d 05. b
06. c 07. c 08. c 09. b 10. a
11. b 12. d 13. c 14. a 15. c
16. b 17. d 18. b 19. a 20. c
21. a 22. a 23. c 24. a 25. d
EXERCICIOS V •• •iiii•iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii•i•i!i•iii•ii•iiii!•iiiii•!ii•i!iiii•iii•iiiiiiii•i•!•!•ii•ii•i•i•
01. Urea sala tem forma quadrada e seu perfmetro • 36 m. A •rea da sala •:
A() 9 m 2
B ( ) 18 m 2
C ( ) 36 m 2
D ( ) 81 m 2
46
................ _,
Matem&tica - M6dulo Amarelo................................... i Ulmlll II el........02. Um terreno retangular de 30 metros de frente e 50 metros de compriment0 ser=i cercado corn aramefarpado. Sabendo que ser•o esticados cinco fios de arame, ser•o gastos no total:A( ) 800m B( ) 1.600m C( ) 160m D( ) 80m
03, Um terreno de forma retangular tern •irea de 300 m 2, Sabendo-se que a largura deste terreno 6 de 15 m,conclui-se que o seu comprJmento merle:
A( ) 10m B( ) 20m C( ) 200m D( ) 275m
04.
A ( ) 100• cm 2
B ( ) 16= cm 2
C ( ) 84• cm 2
D ( ) 116• cm •
Se o raio do cfrculo maior • de 10 cm e o do menor 6 4 cm, a •rea sombreada da figura 6:
05. Sabendo que o raio das semi-circunfer•ncias menores vale 2 cm, calcule a •irea escura da figura abaixo:
A( ) 4•cm 2
B ( ) 8• cm 2
C ( ) 16• cm 2
D ( ) 12• cm z
06. Se o lado do quadrado abaixo mede 20 m calcule a •rea escurecida.
A ( ) 400 m 2
B( ) 314m 2
C( ) 86m 2
D ( ) 860 m 2
07. A •rea do terreno triangular abaixo 6:
A ( ) 150 m 2
B ( ) 1.500 m 2
C ( ) 3.000 m 2
D ( ) 4.500 m 2
08. A •rea do terreno irregular abaixo •:
20m
50m
60m
30m
A( ) 570m 2
C ( ) 600 m 2
i 5m6m
B ( ) 275 m 2
D( ) 30m 2
47
Matem•,tica - MSdulo Amarelo
09, Observe a ilustraqfio a seguir:
Sabendo-se que a medida do lado desse quadrado 6 4 cm, pode-se concluir que o raio da circunfer6ncia mede:
A( ) 2•/2 cm
B( ) •/2 cm
2
C ( ) 4•/2-cm
D( ) 16cm
10. A tampa de um reservat6rio cilfndrico 6 um drculo de raio 4 m. A •rea dessa tampa ser• de,
aproximadamente:
.. •---"-'•'-"',-.-•.•..
r=4m
: .
A( ) 25m 2 B( ) 50m 2
C( ) 75m 2 D( ) 500m 2
A ( ) 15 cm2
B ( ) 150 cm 2
C ( ) 1500 cm 2
D ( ) 3000 cm 2
11. A •rea da tampa da caixa d'•gua em formato de paralelepfpedo ret•ngulo, como mostra a figura abaixo 6:
50 cm
•'/ 30cm
12. As paredes laterais internas de um quarto ser•o pintadas de branco. Calcule a •rea que ser• pintada
considerando que o quarto tem 5 metros de comprimento, 4 metros de larcjura e 3 metros de altura.
3m
A( ) 54m 2
B( ) 60m 2
C( ) 70m 2
D( ) 94m 2
GABARITO
01. d 02. a •_ 03. b 04. c 05. a 06. c
07. b 08. a ] 09. a 10. b 11. c 12. a
Ma ........................
48
Matematica - Modulo Amarelo
EXERCICIOS VI -
1. Todos os bons estudantes s•o pessoas atentas.
A) Alguma pessoa atenta n•o • born estudante.
B) O conjunto dos bons estudantes cont•m o conjunto das pessoas atentas.
C) Toda pessoa atenta • um bom estudante.
D) O conjunto das pessoas atentas cont#m o conjunto de bons estudantes.
2. Todo brasileiro gosta de forr6.
A) Todos que gostam de forr6 s•o brasileiros.
B) Todos que n•o s•o brasileiros n•o gostam de forr6.
C) Todo aquele que n•o gosta de forr6, n•o 6 brasileiro.
D) Existe brasileiro que n•o gosta de forr6.
3. Todo carioca gosta de praia, nenhum campestre gosta de praia. Logo, conclui-se que:
A) AIgum carioca 6 campestre.
B) Nenhum carioca 6 campestre.
C) Nenhum carioca gosta de praia.
D) Carioca e campestre s•o os mesmos.
4. Se chove faz frio, ent•o: .
A) Chover 6 condi(•o-•ecess•ria para fazer frio.
B) Fazer frio 6 condiq•o suficiente para chover.
C) Chover 6 condiq•o necess•ria e suficiente para fazer frio.
D) Chover 6 condiq•o suficiente para fazer frio.
5. Considere as proposiq6es abaixo:
I. 5+1=6 ou 4-4 = 0
II. 2+2=5 ou 7>2
I11.3=5 ou 8<6
A) Somente a I 6 verdadeira.
B) Somente a III 6 falsa.
C) Somente a II 6 verdadeira.
D) Todas s•o falsas.
6. Assinale a alternativa incorreta:
A) Se 2 6 par, ent•o 3 6 impar.
B) Se 5 6 inteiro, ent•o 3 6 menor que 5.
C) Se 8 6 fmpar, ent•o 7 6 maior que 3.
D) Se 10 6 par, ent•o 6 6 maior que 20.
7. Numa concentraq•o em que h• 52 atletas, 28 jogam voleibol e 42 jogam basquete. Nessas condi(35es, o
nSmero de atletas que praticam essas duas modalidades esportivas 6:
A) no minimo 18
B) no minimo 70
C) exatamente 18
D) exatamente 70
8. Muitas revistas semanais s•o compostas por folhas duplas, que s•o impressas na frente e no verso,
resultando, cada folha, em 4 p•ginas impressas ques•o, depois, grampeadas umas sobre as outras. Assim, as
p•ginas impressas em cada folha dupla n•o podem ser consecutivas, exceto as folhas que ficam na folha central
da revista. Num determinado exemplar, se uma das folhas duplas corresponder •s p•ginas 31, 32, 85, 86, O
n•mero de p•ginas que esse exemplar tern ao todo 6:
A) !00
B) 116
C) 117
D) 233
49
Matem&tica - M6dulo Amarelo
9. Tenho uma peca de tecido para dividir em cinco partes. Para cortar cada parte, gasto exatamente 7 minutos.
Assim sendo, para dividir a peqa inteira, vou gastar, ao todo,
A) 12 minutos.
B) 14 minutos.
C) 21 minutos.
D) 28 minutos.
10.
correta?
A) Ant6nio • mais alto que Pedro.
B) Ant6nio 6 mais baixo que Pedro.
C) Ant6nio tem a mesma altura que Pedro.
D) I• impossfvel dizer que • mais alto, se Ant6nio ou Pedro.
11. Raul e Cida formam um casal muito estranho: o marido mente has quartas, quintas e sextas-feiras e fala a
verdade no resto da semana; por sua vez, a esposa mente nos domingos, segundas e terc_,as-feiras e fala a
verdade no resto da semana. Certo dia da semana, por•m, ambos 3odem declarar: "Amanh•, • dia de
mentir". Essa declaraq•o s6 pode ser feita, ent•o,
Jo•o • mais alto que Pedro, e Ant6nio e mais baixo que Jo•o. Qual das alternativas abaixo estaria mais
A) Numa ter(;a-feira.
B) Numa quarta-feira.
C) Numa sexta-feira.
D) Num s&bado.
12. Em uma escola, realizou-se um concurso de 16gica. Os cinco finalistas foram Jo•o, Paulo, Daniela, Marta e
Sofia. Ao serem entrevistados sobre o resultado final do concurso, assim se manifestaram:
¯ Jo•o: "A Marta ficou em segundo lugar e eu, em quarto."
¯ Paulo: "Eu fiquei em terceiro lugar e a Sofia, em Ultimo."
¯ Daniela: "A Marta ganhou, mas eu fiquei em segundo lugar."
¯ Marta: "O Paulo foi quem ganhou. Eu fiquei em Ultimo lugar."
¯ Sofia: "Quem ficou em segundo lugar fui eu. A Marta obteve o terceiro lugar."
Sabendo-se que cada um deles fez, nessa oportunidade, urea afirma(•o verdadeira e outra falsa, quem ganhou
o concurso, no caso, foi:
A) Daniela.
B) Jo•o.
C) Marta.
D) Paulo.
13. Laura ganhou algumas maq•s. Voltando para casa, encontrou um amigo, a quem deu, ent•o, metade das
suas maq•s e mais meia maq•. Em seguida, encontrou outro amigo, a quem deu, igualmente, metade das
maq•s que ainda tinha e mais meia ma(;•. Por tim, encontrou um terceiro amigo e, do mesmo modo, deu-lhe
metade das ma(•s que Ihe restavam e mais meia ma•. Ao fazer isso, por•m, ficou sem nenhuma ma(•. Assim
sendo, antes de encontrar o primeiro amigo, Laura tinha:
A) 5 maq•s.
B) 7 maq•s.
C) 9 maq•s.
D) 11 mac•s.
14. Numa cidade existem dois clubes A e B, que t&m, juntos, 6.000 s6cios. O clube A tem 4.000 s6cios e os
dois clubes t&m 500 s6cios comuns. Quantos s6cios tem o clube B?
A) 1.000
B) 1.500
0 2.000
D) 2.500
5O
Matem•tica - M6dulo Amarelo
l ....... '•m m m ,,,,,,,
15. Um estudante em f6rias, numa viagem que durou d dias, observou que:
I. Nesse peffodo, choveu sete vezes, ou pela manh• ou • tarde.
II. Sempre que chovia • tarde, havia feito bom tempo pela manh•.
III.Houve cinco tardes de sol.
IV. Houve seis manh•s de sol.
Nesse caso, tl 6 igual a
A) 7
B) 9
C) 10
D) 11
16. Considere a seguinte sentenqa: "Paulo passar• no exame, pois 6 um aluno estudioso, e os alunos estudiosos
passam no exame". A conclus•o do argumento expresso por esta sentenqa 6:
A) Paulo 6 estudioso;
B) Existem alunos estudiosos;
C) Paulo passar• no exame;
D) Alunos estudiosos passam no exame;
17. Se Carlos 6 mais alto do que Paulo, logo Ana 6 mais alta do que Maria. Se Ana 6 mais alta do que Maria,
Jo•o 6 mais alto do que Carlos. Ora, Carlos 6 mais alto do que Paulo. Logo:
A) .Ana 6 mais alta do que Maria e Jo•o 6 mais alto do que Paulo; -
B) Carlos 6 mais alto do que Maria e Paulo 6 mais alto do que Jo•o;
C) Jo•o 6 mais alto do que Paulo e Paulo 6 mais alto do que Carlos;
D) Ana n•o 6 mais alta do que Maria ou Paulo 6 mais alto do que Carlos;
18. Uma sentenc•a Iogicamente quivalente: Pedro 6 economista, ent•o Luisa 6 solteira 6:
A) Pedro 6 economista ou Lufsa 6 solteira;
B) Pedro 6 economista ou Lufsa n•o 6 solteira;
C) Se Lufsa 6 solteira, Pedro 6 economista;
D) Se Lufsa n•o 6 solteira, ent•o Pedro n•o 6 economista.
19. Das premissas:
A -"Nenhum her6i 6 covarde".
B -"AIguns soldados s•o covardes".
Pode-se corretamente concluir que:
A) alguns her6is s•o soldados;
B) alguns soldados s•o her6is;
C) nenhum her6i 6 soldado;
D) alguns soldados n•o s•o her6is;
20. Considere a seguinte sentenqa:
"A nenhum homem 6 consentido ser juiz em causa pr6pria, porque seu interesse certamente influir• em seu
julgamento e, n•o improvavelmente, corromper• a sua integridade"..1. Madison
A conclus•o do argumento expresso por esta sentenc•a 6:
A) os interesses corrompem a integridade;
B) os interesses influenciam nos julgamentos;
C) os interesses influenciam nos julgamentos e provavelmente corrompem a integridade;
D) a nenhum homem 6 consentido ser juiz em causa pr6pria;
21. Se Ana n•o 6 advogada, ent•o Sandra 6 Secret•ria. Se Ana 6 advogada, ent•o Paula n•o 6 professora. Ora,
Paula 6 professora, portanto:
A) Ana 6 advogada;
B) Sandra 6 secret•ria;
C) Ana 6 advogada ou Paula n•o 6 professora;
D) Ana 6 advogada e Paula • professora;
51
Matematica - M6dulo Amarelo
22. Se n•o • verdade que "Alguma professora universit•ria n•o d• aulas interessantes'; ent•o • verdade que:
A) todas as professoras universit•rias d•o aulas interessantes;
B) nenhuma professora universit•ria d• aulas interessantes;
C) nenhuma aula interessante • dada por alguma professora universit•ria;
D) nem todas as professoras universit•rias d•o aulas interessantes;
23. Seja O um conjunto de objetos e P, Q, R e S propriedades sobre esses objetos. Sabendo-se que para todo
objeto x em O
1. P (x) se verifica
2. Q (x) se verifica
3. Se P(x), Q(x) e R(x) se verificam, ent•o S(x) se verifica.
Pode-se concluir, para todo x em O, que:
A) Se S(x) se verifica, ent•o R(x) se verifica;
B) S(x) e R(x) se verificam;
C) Se R(x) se verifica, ent•o S(x) se verifica;
D) Se P(x) e Q(x) se verificam, ent•o R(x) se verifica;
24. Uma cidade com 60.000 habitantes tem dois clubes de futebol: A e B. Uma pesquisa constata que 12.000
pessoas n•o apreciam nenhum dos dois clubes, 17.000 pessoas apreciam os dois clubes e 23.500 pessoas
apreciam o clube A. O n5mero de pessoas que apreciam apenas o clube B • de:
A) 7.500 B) 14.500 C) 24.500 D) 43.000 . E) 49.000
25. Tr•s am;gas, T•nia, Janete e Angelica, est•o sentadas lado a lado em um teatro. T•nia sempre fala a
verdade; Janete •s vezes fala a verdade; e Angelica nunca fala a verdade. A que est• sentada • esquerda
diz: "T•nia • a quem est• sentada no me;o". A que est• sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente a
que est• sentada • direita diz: "Angelica • quem est• sentada no me;o". A que est• sentada • esquerda, a
que est• sentada no meio e a que est• sentada • direita s•o, respectivamente:
A) 3anete, T•nia e Angelica; C) Angelica, Janete e T•nia,
B) Janete, Angelica e T•nia; D) Angelica, T•nia e Janete;
26. Jos• quer ir ao cinema ass;stir ao filme "Fogo contra Fogo', mas n•o tem certeza se o mesmo est• sendo
exibido. Seus amigos, Maria, Luis e JOlio t•m opiniSes discordantes sobre se o filme est• ou n•o em cartaz.
Se Maria estiver certa, ent•o 351io est• enganado. Se 3Olio estiver enganado, ent•o Luis est• enganado. Se
Luis estiver enganado, ent•o o filme n•o est• sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" est& sendo
exibido, ou Jos• n•o ir• ao cinema. Verificou-se que Maria est• certa. Logo:
A) o filme "Fogo contra Fogo" est• sendo exibido;
B) Luis e JOlio n•o est•o enganados;
C) JOlio est• enganado, mas Lu[s n•o;
D) 3os• n•o ir• ao cinema.
27. Os circulos abaixo representam, respectivamente, como conjunto $ dos amigos de Sara e o Conjunto P
dos amigos de Paula.
Sabendo que a parte sombreada do diagrama n•o possui elemento algum, ent•o:
A) todo amigo de Paula • tamb•m amigo de Sara; C) algum amigo de Paula n•o • amigo de Sara;
B) todo amigo de Sara • tamb•m amigo de Paula; D) nenhum amigo de Sara • amigode Paula;
28. Se Nestor disse a verdade, JUlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a
verdade, h• um le•o feroz nesta sala. Ora, n•o h• um le•o feroz nesta sala. Logo:
A) Nestor e J01ia disseram a verdade;
B) Nestor e Lauro mentiram;
C) Raul e Lauro mentiram;
D) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade;
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Matematica - MSdulo Amarelo
29. Os carros de Artur, Bernardo e Cdsar s•o, n•o necessariamente nesta ordem, uma Brasflia, uma Parati e
um Santana. Um dos carros d cinza, um outro d verde, e o outro d azul. O carro de Artur d cinza; o de Cdsar
d o Santana; o carro de Bemardo n•o d verde e n•o d Brasflia. As cores da Brasflia, da Parati e do Santana
s•o, respectivamente:
A) cinza, verde e azul; B) azul, cinza e verde;
C) azul, verde e cinza; D) cinza, azul e verde;
30. Em um laborat6rio de experi6ndas vetedn•rias, foi observado que um tempo requerido para um coelho percorrer
um labirinto na e-ndsima tentalJva, era dado pela func•o C(n) = (3 + 12/n) minutos. Enl•o, um coelho:
A) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa;
B) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa;
C) percorre o labirinto em quatro minutos na ddcima tentativa;
D) percorre o labirinto numa das tentativas, em tr6s minutos e trinta segundos.
31. Nos sistemas de numera¢•o posicional, cada dfgito da seqiJ6ncia que representa o n6mero pode ser
interpretado como coeficiente de uma pot6ncia da base, onde o valor do expoente depende da posic•o do
digito da seqQ6ncia. Entre tais sistemas, um dos mais importantes d o bin•rio, ou de base 2, que utiliza
apenas os digitos 0 e i na notac•o dos ndmeros. Por exemplo, o ndmero que corresponde ao 11 do sistema
decimal, d indicado por 1011 no sistema bin•rio, pois 11 decimal d igual a:
(1X23) + (0 x 22) + (i x 21) +(lx 20)
Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adic•o dos nt•meros bin•rios 1011 e 101 ser• igual a:
A) 16 B) 13 C) 14 D) 12
32. Uma pesquisa entre 800 consumidores - sendo 400 homens e 400 mulheres - mostrou os seguintes
resultados:
¯ Do total de pessoas entrevistadas:
500 assinam o jornal X
350 t•m curso superior
250 assinam o jornal X e t6m curso superior
¯ Do total de mulheres entrevistadas:
200 assinam o jornal X
150 t•m curso superior
50 assinam o jornal X e t•m curso superior
0 nOmero de homens entrevistados que n•o assinaram o jornal X e n•o t6m curso superior d, portanto,
igual a:
A) 50 B) 200 C) 25 D) 100
33. Se Beto briga com GI6ria, ent•o GI6ria vai ao cinema. Se GI6ria vai ao cinema, ent•o Carla fica em casa. Se
Carla fica em casa, ent•o Raul briga corn Carla. Ora, Raul n•o briga corn Carla. Logo:
A) Carla n•o fica em casa e Beto n•o briga com GI6ria;
B) Carla fica em casa e GI6ria vai ao cinema;
C) Carla n•o fica em casa e GI6ria vai ao cinema;
D) GI6ria vai ao cinema e Beto briga com GI6ria;
34. Tr&s irm•s - Ana, Maria e Claudia - foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a
outra branco e a terceira, preto. Chegando & festa, o anfitri•o perguntou quem era cada uma delas. A de
azul respondeu: "Ana d a que est• de branco". A de branco falou: "Eu sou Maria". E a de preto disse:
"Claudia d quem est• de branco". Como o anfitri•o sabia que Ana sempre diz a verdade; que Maria is vezes
diz a verdade e Claudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada
pessoa. As cores do vestido de Ana, Maria e Claudia eram, respectivamente:
A) preto, branco, azul C) azul, preto, branco
B) preto, azul, branco D) azul, branco, preto
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Matematica - M6dulo Amarelo
35. Se Carlos • mais velho do que Pedro, entgo Maria e J•lia t•m a mesma idade. Se Maria e JSlia t6m a mesma
idade, ent•o Jo•o • mais moqo do que Pedro. Se Jo•o • mais moqo do que Pedro, ent•o Carlos • mais velho
do que Maria. Ora, Carlos n•o • mais velho do que Maria. Ent•o:
A) Calos n•o • mais velho do que JOlia e Jo•o 6 mais moqo do que Pedro;
B) Carlos • mais velho do que Pedro e Maria e JUlia t6m a mesma idade;
C) Carlos e Jo•o s•o mais mo(;os do que Pedro;
D) Carlos n•o • mais velho do que Pedro, e Maria e JOlia n•o t6m a mesma idade.
GABARITO
1. d 2. c 3, b 4. d 5. b 6. d 7. a
8. b 9. d lO.d 11. a 12. d 13. b 14. d
15. b 16. c 17. a 18. d 19. d 20. d 21. b
22. a 23. c 24. c 25. b 26. d 27. a 28. b
29. d 30. d 31. a 32. d 33. a 34. b 35. d
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