MODULO 2 FISICA I - CAPS 7 e 8

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 Mecânica 
1 
Movimento Circular uniforme- CAP.8 
I. Dizemos que uma partícula está em movimento circular quando sua trajetória é uma 
circunferência como, por exemplo, a trajetória descrita por uma válvula do pneu de uma 
bicicleta em movimento igual a da imagem. Se, além disso, o valor da velocidade permanecer 
constante, o movimento é denominado circular uniforme. Então, neste movimento, o vetor 
velocidade tem módulo constante, mas a direção deste vetor varia continuamente. 
A figura abaixo mostra a variação de direção do vetor velocidade em alguns pontos. 
 
O tempo que a partícula gasta para efetuar uma volta completa é denominada período do movimento e é representado por T. O espaço 
percorrido pela partícula, durante um período, é o comprimento da circunferência que, vale 2πR ( R é o raio da trajetória). Como o movimento é 
uniforme, o valor da velocidade será dado por: 
 
 v = 
T
Rπ2
 
 
I.a - Freqüência do movimento circular – suponha que observando a válvula mostrada na imagem, verificássemos que ela 
efetua 30 voltas completas em um tempo igual a 10 segundos. A freqüência, f desse movimento é, por definição, o quociente 
entre o número de voltas e o tempo gasto para efetuá-las. Logo, a freqüência da válvula será: 
f =
segundos10
voltas30 ou f = 3,0 voltas/segundo 
Observe que esse resultado significa que a válvula efetuou 3.0 voltas em cada 1 seg. A unidade de freqüência,1 volta/seg, é 
denominada 1 hertz, em homenagem ao cientista alemão H.Hertz ( 1857 – 1894). Portanto, podemos destacar: 
 
 
A freqüência e o período de um movimento estão relacionados. Para relacionar f e T, basta perceber que essas grandezas são 
inversamente proporcionais e, assim podemos estabelecer a seguinte proporção: 
No tempo T (um período) é efetuada uma volta. 
Na unidade de tempo serão efetuadas f voltas (freqüência) 
 Ou, esquematicamente: 
 
 
 f = T
1
 
 Portanto, a freqüência é igual ao inverso do período e reciprocamente. Por exemplo: se o período de um movimento circular é 
T = 0,5 s, sua freqüência será: 
 
I.b - Velocidade Angular (ω) – Consideremos a válvula do pneu de bicicleta em movimento circular, passando pela posição P1 
representada na figura abaixo. Após um intervalo de tempo Δt, a válvula estará passando pela posição P2. Neste intervalo de 
tempo Δt, o raio que acompanha a válvula em seu movimento descreve um ângulo Δθ. 
 
 
 A relação entre o ângulo descrito pela válvula e o intervalo de tempo gasto para descrevê-lo é denominado velocidade angular 
da partícula.Representando a velocidade angular por w temos 
 ω = tΔ
θΔ
 
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 A velocidade definida pela relação v = 
tΔ
SΔ , que já conhecemos, costuma ser denominada velocidade linear, para distingui-la da velocidade 
angular que acabamos de definir. Observe que as definições de V e ω são semelhantes: a velocidade linear se refere à distância percorrida na 
unidade de tempo, enquanto a velocidade angular se refere ao ângulo descrito na unidade de tempo. 
 A velocidade angular nos fornece uma informação sobre a rapidez com que a válvula está girando. De fato, quanto maior for a velocidade 
angular de um corpo, maior será o ângulo que ele descreve por unidade de tempo,isto é , ele estará girando mais rapidamente. 
 Lembrando que os ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos, concluímos que ω poderá ser medida em grau/s ou em rad/s. 
 Uma maneira de calcular a velocidade angular é considerar a válvula ( ou uma partícula qualquer) efetuando uma volta completa. Neste caso, 
o ângulo descrito será Δθ =2π rad e o intervalo de tempo será um período, Istoé, Δt = T. Logo, 
 ω = 
T
π2
 
 I.c - Relação entre V e ω - Sabemos que, no movimento circular uniforme, a velocidade linear pode ser obtida pela relação: 
Como 2π/T é a velocidade angular, concluímos que 
 
 Esta equação nos permite calcular a velocidade linear v, quando conhecemos a velocidade angular ω e o raio R da trajetória. 
Observe que ela só é válida se os ângulos estiverem medidos em radianos. 
 I.d - Aceleração centrípeta – No movimento circular uniforme, o módulo da velocidade da válvula permanece constante e, então, a válvula não 
possui uma aceleração tangencial. Entretanto, como a direção do vetor velocidade varia continuamente, a válvula (ou uma partícula qualquer 
nas mesmas condições) possui uma aceleração centrípeta Na figura abaixo estão representados os vetores e em quatro posições 
diferentes da válvula do pneu de bicicleta. Observe que o vetor tem a direção do raio e aponta sempre para o centro da circunferência. 
 
 Podemos deduzir, matematicamente, que o valor da aceleração centrípeta no movimento circular é dado por: 
 
 Observe que o valor de é proporcional ao quadrado da velocidade e inversamente proporcional ao raio da circunferência. Portanto, se 
um automóvel faz uma curva “fechada” (R pequeno) com grande velocidade, ele terá uma grande aceleração centrípeta. Estes fatos estão 
relacionados com a possibilidade de o automóvel conseguir ou não fazer a curva. 
 
 
 
 
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ACOPLAMENTO DE POLIAS : TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO. 
 
a) Mesmo Eixo : Sólidos em rotação em torno do mesmo eixo: todos os pontos do sólido apresentam a mesma velocidade angular. 
 
 
BA =  BA
ff =
 
 
 
 
b) Eixos Diferentes : Polias acopladas por correia ou girando em contato direto todos os pontos periféricos da polia apresentam a mesma 
velocidade linear. 
 
ou 
 ( Engrenagens ) 
Em ambos os casos temos: 
 
BA VV =  BBAA
R.R. =
  BBAA
R.fR.f =
 
 
I.e – função horária do movimento (aspecto angular). 
Considere uma partícula em movimento circular uniforme. Como a velocidade angular é constante, a velocidade angular média entre dois 
 instantes t0 e t também o será. Dessa maneira podemos escrever: 
 
ωm = ω = Δθ ; θ – θ0 = ω(t – t0) ; θ = θ0 + ω.(t – t0) Fazendo t0 = 0, vem: θ = θ0 + ω.t 
 Δt 
 
II – NOTAS: 
 
a.1 - A unidade do período pode ser qualquer unidade de tempo, porém no SI a unidade de período será sempre segundos. Quanto a unidade de 
freqüência, ela dependerá da unidade de tempo. Sempre que o tempo estiver em segundos (unidade do SI) a unidade de freqüência estará em 1/s 
que é equivalente a s-1 que recebe o nome de Hertz (Hz). 
 
a.2 - Fazendo uma simples troca de variáveis equivalentes poderemos chegar facilmente a equação ω = 2πf. Essa equação poderá ser muito útil 
em algumas questões. 
 
Composição de Movimentos 
Definição: 
Princípio da Independência dos Movimentos simultâneos (Galileu)- CAP.7 
Quando um corpo se encontra sob ação simultânea de vários movimentos, cada um deles se processa como se os demais não 
existissem. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. (ITA) Um barco, com motor em regime constante desce um trecho de um rio em duas horas e sobe o mesmo trecho em 4,0 
horas. Quanto tempo levará o barco para percorrer o mesmo trecho rio abaixo com motor desligado. 
 
a) 3,5 h 
b) 6,0 h 
c) 4,5 h 
d) 4,0 h 
e) 8,0 h 
 
2. Um rio de margens retilíneas e largura constante igual a 2,5 km tem águas que correm paralelamente as margens com 
velocidade de intensidade 15 km/h. um barco, cujo motor lhe velocidade de intensidade sempre igual a 25 km/h em relação 
as águas, faz a travessia do rio. 
a) Qual o mínimo intervalo de tempo possível para que o barco atravesse o rio. 
 
b) Na condição de atravessar o rio no intervalo de tempo mínimo, que distancia o barco percorre paralelamente às 
margens? 
 
 
c) Qual o intervalo de tempo necessário para que o barco atravesse o rio no menor intervalo de tempo possível? 
 
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3. A velocidade de um carroA vale VA = 6i + 4j e a de um carro B vale VB = 2i – j. calcule o vetor velocidade relativa entre eles. 
 
 
 
 
4. (AFA) Um avião voa na direção leste a 120 km/h para ir da cidade A a cidade B. Havendo vento para o sul com velocidade 
de 50 km/h, para que o tempo de viagem seja o mesmo, a velocidade do avião deverá ser: 
 
a) 145 km/h b) 130 km/h c) 170 km/h d) 185 km/h 
 
 
5. (AFA) Sob a chuva que cai verticalmente a 10 3 m/s, um carro se desloca horizontalmente com 
velocidade de 30 m/s. Qual deve ser a inclinação do vidro traseiro (em relação à horizontal) para 
que o mesmo não se molhe? 
 
a) 300. 
b) 450. 
c) 600. 
d) 900. 
 
GABARITO: 
1. E 
2. a) 6,0 min; b) 1,5 km; c) 7,5 min 
3. VA/B = 4i + 5j 
4. B 
5. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I – MOVIMENOT CIRCULAR - EXERCICIOS 
01 - (FATEC-SP) Uma roda gira com freqüência 1.200 rpm. A freqüência e o período são respectivamente: 
 
a) 1.200 Hz; 0,05 s 
b) 60 Hz; 1 min 
c) 20 Hz; 0,05 s 
d) 20 Hz; 0,5s 
 
(U.E Londrina-PR) Instruções para as questões 02 e 03 - Um móvel M parte de um ponto P percorrendo, no sentido 
horário, uma trajetória circular de raio R igual a 2m, como representa a figura. A velocidade escalar do móvel é 
constante e igual a 3 m/s. 
 
02 - Qual é o intervalo de tempo, em segundos, gasto pelo móvel M para percorrer o trecho de P a Q? 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
 
 
 
 
03 - Qual é o valor da velocidade angular do móvel M em radianos por segundo? 
 
P 
R Q 
M 
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5 
a) 0,5  
b) 1,5  
c) 2,0  
d) 3,0  
 
04 - (PUC-RS) Os ponteiros de um relógio realizam movimento circular que pode ser considerado uniforme. A 
velocidade angular do ponteiro de segundos vale: 
 
a) srad /
30

 
b) srad /
20

 
c) srad /
2

 
d)  rad/s 
 
05 - (UNIMEP-SP) Uma partícula em MCU obedece à função horária s = 3 + 8t (SI). Sendo 2 m o raio da trajetória, qual a 
velocidade angular dessa partícula em rad/s? 
 
a) 4 
b) 8 
c) 3 
d) 1,5 
 
06 – (UFSE) Uma pedra descreve um movimento circular uniforme, de raio 2,0 m. Se a pedra descreve um arco de 1,0m 
em 0,25 s sua aceleração dirigida para o centro da curva tem módulo, em m/s2: 
 
a) 16 
b) 8,0 
c) 4,0 
d) 2,0 
 
07 - (U. F. Uberlândia-MG) Um disco de 78 rpm tem um arranhão reto do centro para a borda, o que provoca, ao ser 
tocado, um ruído periódico consecutivo. Pontos diferentes do arranhão têm em comum: 
 
a) A velocidade escalar. 
b) A aceleração centrípeta. 
c) A velocidade escalar e a velocidade angular. 
d) A velocidade angular. 
 
08 - (UNISINOS-RS) Um corpo executa MCU em torno de um eixo fixo. Em função da distância R de um ponto ao eixo 
de rotação, as grandezas A, B e C representam, respectivamente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Velocidade angular; aceleração tangencial; aceleração centrípeta. 
b) Aceleração centrípeta; velocidade angular; aceleração tangencial. 
c) Aceleração centrípeta; aceleração tangencial; velocidade angular. 
d) Velocidade angular; aceleração centrípeta; aceleração tangencial. 
 
09 – (E.E. Bragança-SP) Para que um satélite artificial em órbita ao redor da Terra seja visto parado em relação a um 
observador fixo na Terra é necessário que: 
 
a) Sua velocidade angular seja a mesma que a da Terra. 
b) Sua velocidade escalar seja a mesma que a da Terra. 
c) A sua órbita não seja contida no plano do equador. 
d) A sua órbita esteja contida num plano que contém os pólos da Terra. 
 
10 – (F. E. Santos-SP) Em duas pistas circulares e concêntricas, com raios rA = 3 m e rB = 6 m, dois móveis executam 
movimentos circulares e uniformes com freqüências iguais a 0,5 Hz. Nessa situação, a relação entre as velocidades 
tangenciais VA/VB tem módulo: 
 
A 
R 
0 0 0 
B C 
R R 
VA 
VB 
r
A
 
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6 
a) 1,0 
b) 1,5 
c) 2,0 
d) 0,5 
 
 
 
11 – (UFSE) A polia A, de raio 8 cm, é ligada por uma correia à polia B, de raio 20 cm. Não havendo deslizamento 
enquanto giram, se o período de rotação da polia A é de 0,50 s, o período de rotação da polia B é de: 
 
a) 1,5 s 
b) 1,25 s 
c) 1,0 s 
d) 0,75 s 
 
 
 
 
12 – (FEI-SP) Um dispositivo mecânico apresenta três polias (1), (2) e (3) de raios R1 = 6 cm, R2 = 8 cm e R3 = 2 cm, 
respectivamente, pelas quais passa uma fita que se movimenta, sem escorregamento, conforme indicado na figura. Se 
a polia (1) efetua 40 rpm, qual, em segundos, o período do movimento da polia (3)? 
 
a) 0,5 
b) 1,2 
c) 2,0 
d) 2,5 
 
 
 
 
13 – (UCBA) Dois discos giram sem deslizamento entre si, como mostra a figura. A velocidade escalar do ponto x é 2 
cm/s. Qual a velocidade escalar do ponto y em cm/s? 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
14 – (Fesp-SP) Uma esfera oca, de raio R = 5 m, gira em torno de seu eixo vertical, conforme a figura. Seu movimento é 
uniforme, efetuando 120 rpm. Um projétil lançado contra essa esfera a perfura em A, passando, então, pelo seu centro. 
Supondo que o movimento do projétil no interior da esfera seja uniforme e retilíneo, calcule sua velocidade máxima 
para que o projétil saia pelo ponto A. 
 
a) 10 m/s 
b) 20 m/s 
c) 30 m/s 
d) 40 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
15– (Fuvest-SP) Um disco tem seu centro fixo no ponto O do eixo fixo x da figura, e possui uma marca no ponto A de 
sua periferia. O disco gira com velocidade angular constante  em relação ao eixo. Uma pequena esfera é lançada do 
ponto B do eixo em direção ao centro do disco, no momento em que o ponto A passa por B. A esfera desloca-se sem 
atrito, passa pelo centro do disco e após 6 s atinge sua periferia exatamente na marca A, no instante em que esta 
passa pelo ponto C do eixo x. Se o tempo gasto pela esfera para percorrer o segmento BC é superior ao necessário 
para que o disco dê uma volta, mas é inferior ao tempo necessário para que o disco dê duas voltas, o período de 
rotação do disco é de: 
 
a) 2 s 
b) 3 s 
c) 4 s 
d) 5 s 
 
16 – Duas partículas partem, no mesmo instante, de um mesmo ponto de uma circunferência, com movimentos 
uniformes de períodos 3 s e 7 s, respectivamente, no mesmo sentido. As partículas estarão novamente juntas na 
mesma posição de partida após um intervalo de tempo de: 
a) 3 s 
(2) 
(3) 
(1) 
R1 
R2 
R
3
 
Fita 
V 
10 cm 
5 cm 
x 
y 
A 
A 
R 
Eixo fixo 
A 
B C x 
 
0 
A 
B 
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7 
b) 7 s 
c) 10 s 
d) 21 s 
 
17 – (UFRN) Duas partículas percorrem uma mesma trajetória em movimentos circulares uniformes, uma em sentido 
horário e a outra em sentido anti-horário. A primeira efetua 1/3 rpm e a segunda 1/4 rpm. Sabendo-se que partiram do 
mesmo ponto, em uma hora encontrar-se-ão: 
 
a) 45 vezes 
b) 35 vezes 
c) 25 vezes 
d) 15 vezes 
 
18 - (EEAR) A figura abaixo mostra três engrenagens "A", "B" e "C", executando movimentos circulares uniformes, 
que giram acopladas e sem deslizamento. Sabe-se que a engrenagem "A" gira a 120 rotações por minuto e que os 
raios das engrenagens "A", "B" e "C" são, respetivamente, iguais a 4, 2 e 8cm. Nesse caso, pode-se garantir que a 
freqüência, em hertz, da engrenagem "C" vale. 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
 
 
 
19 – (EEAR ) Quando, num MCU, o raio trajetória for numericamente igual ao período, o valor numérico da velocidade 
linear do móvel será igual a 
 
a)  b) 2  c) 3 d) 4 
 
20 - (EEAR) O esquema abaixo representa uma polia que gira em torno do seu eixo, ponto “O”. As velocidades 
tangenciais dos pontos A e B valem, respectivamente, 50 cm/s e 10 cm/s. A distância AB vale 20 cm. A velocidade 
angular da polia, em rad/s, será de 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
 
 
 
 
 
21 – (EEAR) Durante o movimento de rotação de um disco de 36 cm de diâmetro, um ponto desenhado em sua periferia 
descreve arcos de 120º a cada 2s. Então, um ponto situado a 6 cm do eixo de rotação do disco terá uma velocidade linear, em 
 cm/s, igual a 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
22 - (EEAR) Uma partícula percorre uma trajetória circular de raio igual a 5 m,com velocidade linear de módulo 
constante. Entre os instantes 1 s e 5 s, seu percurso é de 80 m; o período, em segundos, do movimento apresentado será 
de 
a) 
2

. b) 
4

. c) 
6

. d) 
8

. 
23 - (EEAR ) Um móvel descreve um movimento circular uniforme obedecendo à função horária  = 
2

 + t, sendo as 
unidades dadas no Sistema Internacional de Unidades. Com a trajetória de raio igual a 0,5 m, qual o comprimento do 
arco descrito pelo móvel, em metros, no intervalo de tempo de 2s? 
a)  c) 2,00 
b) 1,25 d) 2,50 
24 - (EEAR) A velocidade linear da extremidade do ponteiro das horas de um relógio é de 
2700

cm/s. Sabendo que este 
ponteiro tem 10cm de comprimento e comparando este relógio com outro convencional que funciona corretamente 
(não adianta e nem atrasa), podemos afirmar que, após 48 horas, 
 
a) ocorre um atraso de 8 h. 
b) ocorre um atraso de 9,6 h. 
A 
• 
B 
• 
C 
• 
O 
B A 
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8 
c) ocorre um atraso de 12 h. 
d) os dois apresentam o mesmo tempo decorrido. 
25 - (EEAR) Um móvel apresentará aceleração centrípeta não nula, desde que a 
a) a velocidade linear varie somente em intensidade. 
b) a velocidade linear varie somente em sentido. 
c) a trajetória seja curvilínea. 
d) a trajetória seja retilínea. 
 
26 - (EEAR) Os ponteiros de um relógio realizam movimento circular que pode ser considerado uniforme. Qual será, em rad/s, 
a velocidade angular do ponteiro dos segundos? 
a) 
2

 b) 2 c)
20

 d)
30

 
27 - (EEAR) Que aceleração existe no movimento circular uniforme? 
a) Centrípeta c) Deslizante 
b) Tangencial d) Curvilínea 
 
28 - (EEAR) O raio médio da Terra é de 6.400 km, aproximadamente. A Terra gira em torno de seu próprio eixo, realizando uma 
rotação completa em 24 h. Considerando-se dois pontos, um na superfície da Terra e outro a 3.200 km de seu centro, 
podemos afirmar corretamente que 
a) os dois pontos terão velocidades angulares diferentes, que os dados fornecidos não permitem calcular. 
b) a velocidade linear do ponto a 3.200 km do centro será maior que a do ponto na superfície. 
c) o ponto da superfície terá uma velocidade angular duas vezes maior que o outro. 
d) os dois pontos terão a mesma velocidade angular. 
 
29 - (EEAR) Se um móvel executa um movimento circular uniforme, de modo que percorra meia volta em 4 s, qual será 
sua freqüência em Hz? 
a) 0,0125 b) 0,125 c) 1,25 d) 12,5 
 
30 - (EEAR) As rodas de um automóvel, que podem ser consideradas circunferências, possuem um comprimento de 2,10 m. Se estas 
efetuarem 240 rpm, calcule a velocidade de um ponto na periferia da roda, em m/s, admitindo que a rotação das rodas constitua um 
movimento circular uniforme. 
a) 8,4 b) 16,8 c) 84,0 d) 168,0 
 
31 - (EEAR) Dois móveis A e B percorrem a mesma pista circular com movimentos uniformes, partindo do mesmo 
ponto e caminhando no mesmo sentido. A velocidade angular de A é o triplo da velocidade angular de B e 0,5 s após a 
partida eles se encontram pela primeira vez. A velocidade angular de B, em rad/s, vale 
Dado:  = 3,14 
a) 2,00. b) 3,00. c) 3,14. d) 6,28. 
 
32 – (AFA) Duas partículas partem da mesma posição, no mesmo instante, e descrevem a mesma trajetória circular de raio R. Supondo que 
elas girem no mesmo sentido a 0,25 rps e 0,2 rps, após quantos segundos estarão juntas novamente na posição de partida? 
a. 5 
b. 10 
c. 15 
d. 20 
 
33 – (AFA) Considere um corpo em movimento uniforme numa trajetória circular de raio 8 m. Sabe-se 
que, entre os instantes 5 s e 8 s, ele descreveu um arco de comprimento 6 m. O período do 
movimento do corpo, em segundos, é: 
a) 2 
b) 3 
c) 6 
d) 8 
 
34 - (AFA) As figuras abaixo apresentam pontos que indicam as posições de um móvel, obtidas em intervalos de tempos iguais. 
 
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I II
III IV
 
 
Em quais figuras o móvel apresenta aceleração NÃO nula? 
a) Apenas em I, III e IV. 
b) Apenas em II e IV. 
c) Apenas I, II e III. 
d) Em I, II, III e IV. 
 
35 – (AFA) Dois corpos A e B giram em movimento circular uniforme presos aos extremos de cordas de comprimentos, respectivamente, r e 
2r. Sabendo que eles giram com a mesma velocidade tangencial, pode-se dizer que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ambos desenvolverão mesma velocidade angular. 
b) ambos estarão submetidos à mesma força centrípeta. 
c) num mesmo intervalo de tempo o corpo A dará maior número de voltas que o B. 
d) o corpo A desenvolve menor aceleração centrípeta que o B. 
36 – (AFA) Analise as afirmativas abaixo sobre movimento circular uniforme. 
 
I – A velocidade vetorial tem direção variável. 
II – A resultante das forças que atuam num corpo que descreve esse tipo de movimento não é nula. 
III – O módulo da aceleração tangencial é nulo. 
Está(ao) correta(s): 
 
a) I e III apenas 
b) I, II e III; 
c) II e III apenas; 
d) I apenas. 
 
 
GABARITO: 
 
a) 02, 04, 05, 09, 12, 18, 22, 23, 27, 30, 35 
b) 03, 06, 11, 13, 17, 19, 20, 21, 24, 29, 36 
c) 01, 15,25, 34 
d) 07, 08, 10, 14, 16, 26, 28, 31, 32,33, 
 
I.a - Lançamento oblíquo – CAP . 7 
O movimento após um lançamento horizontal ou oblíquo pode ser analisado como a composição de 2 movimentos simultâneos, um 
horizontal e outro vertical. Na direção vertical o movimento é retilíneo uniformemente variado, pois atua uma aceleração vert ical 
constante (gravidade g). Na direção horizontal não há aceleração e o movimento é retilíneo uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV 
r 2r 
A B 
→
v
 
→
v
 
Vx 
V0y 
V0 Vx 
V1y 
Vx 
 V2y 
V3y = 0 
Vx 
Vx 
 V4y 
x 
y 
  
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I.b – Equações do movimento: 
eixo x: Temos MU - 




=
+=
cosVV
.tVSS
0x
x0x x eixo y: MUV - 









=
−=
−+=
senVV
g.tVV
2
gt
tVSS
00y
0yy
2
00y yy
 
I.c – CALCULO DO TEMPO DE SUBIDA (Ts), DE DESCIDA(TD) E TOTAL (TT): 
Para calcularmos o tempo de subida utilizaremos o fato de que no ponto mais alto da trajetória a componente vertical da veloc idade é 
nula, assim: 
vy = v0senθ – gt 
0 = v0senθ - gts ; Ts = v0senθ/g 
Tt = Ts + Td = 2v0senθ/g 
I.d – CALCULO DA ALTURA MÁXIMA HMÁX. 
Para calcularmos a altura máxima utilizaremos a equação de Torricelli segundo o eixo – oy e lembrando que quando a partícula atinge 
sua altura máxima vy = 0, assim: 
Hmáx = v0
2sen2θ/2g 
I.e – ALCANCE HORIZONTAL (A) 
O alcance Horizontal é a distancia horizontal entre o ponto de partida da partícula e o ponto de retorno ao solo. Para calcularmos o 
valor do alcance horizontal, utilizaremos o fato de que A é o valor de x quando o instante de tempo vale TT, assim: 
A = v0
2sen2θ/g 
. Notas: 
a.1 – o alcance será máximo quando valor do sen2θ for máximo, logo: sen2θ = 1 ; 2θ = 900; θ = 450 
II – EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA – Demonstração em sala de aula. 
II.A – QUESTÕES DESAFIO!!! 
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11 
E.1) Quando lançado em um ângulo α com a horizontal, um projétil cai a uma distancia a antes do alvo, enquanto, quando lançado em 
um ângulo β, ele cai a uma distancia b antes do alvo. Qual o ângulo θ Com o qual ele deve ser lançado para que atinja o alvo? 
E.2) Um canhão está montado sobre uma rampa inclinada de inclinação 450 com a horizontal e dispara projéteis numa direção que 
forma um ângulo β com a superfície da rampa. Determine o valor da tgβ a fim de que os projeteis colidam com a rampa 
horizontalmente. 
 
 
Lançamento Horizontal - CAP - 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
eixo x 




=
+=
tetanconsV
.tVSS
x
x0x x eixo y 





=
+=
gtV
2
gt
SS
y
2
y0y 
 
As equações que permitem resolver problemas que envolvem lançamento horizontal ou oblíquo são as mesmas já estudadas na 
cinemática escalar, sem esquecer que na direção horizontal (eixo Ox) o movimento é retilíneo uniformee na direção vertical (eixo Oy) o 
movimento é retilíneo uniformemente variado, com aceleração constante a = -g (se o eixo Oy for orientado para cima ou a = +g se o 
eixo Oy for orientado para baixo). 
 
 LANÇAMENTO DE PROJETEIS 
01 - (PUC/RS) Quando, de um avião que voa com velocidade constante, em trajetória reta e horizontal, é solto um 
objeto suficientemente pesado para que se possa desprezar a resistência do ar, podemos observar que o objeto 
cai (para uma pessoa em repouso na superfície da Terra): 
 
a) verticalmente em trajetória retilínea. 
b) em trajetória parabólica com a componente horizontal da velocidade constante. 
c) em trajetória parabólica com velocidade constante. 
d) em trajetória parabólica com a componente vertical da velocidade constante. 
 
02 – (F.Getulio Vargas – SP) Dois blocos A e B são lançados sucessivamente, na horizontal, de uma plataforma de 
altura h com velocidades VA e VB, atingindo o solo nos pontos A e B, como indica a figura. Os tempos decorridos 
desde que cada bloco abandona a plataforma até atingir o solo são tA e tB. Pode-se afirmar que: 
 
a) tB = tA e VA = VB 
b) tA = tB e VA = 2VB 
c) tB = tA e VB = 2VA 
d) tA = 2tB e VA = VB 
 
 
 
 
 
 
 
03 – (UFMG) Uma pessoa observa o movimento parabólico de uma pedra lançada horizontalmente com velocidade V0. 
A pessoa poderia ver a pedra cair verticalmente se deslocasse: 
 
a) com velocidade V’ = 2V0, paralela a V0 e no mesmo sentido 
b) com velocidade V’ = V0, paralela a V0 e no sentido oposto 
c) com velocidade V’ = V0, paralela a V0 e no mesmo sentido 
2d 
h 
A B 
d 
Vx  0 
 Voy = 0 
 Vx 
 x 
 V1y 
 Vx 
 V2y 
 y 
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d) com velocidade V’ = 2V0, paralela a V0 e no sentido oposto 
 
04 – (UCPR) De um lugar situado a 125m acima do solo lança-se um corpo, horizontalmente, com velocidade igual a 
10m/s e g = 10m/s2. Podemos afirmar que o alcance e o tempo gasto para o corpo atingir o solo valem 
respectivamente: 
 
a) 100m e 10s 
b) 50m e 5s 
c) 100m 5s 
d) 150m 20s 
 
05 – (PUC-MG) A figura desta questão mostra uma esfera lançada com velocidade horizontal de 5,0 m/s de uma 
plataforma de altura 1,8m. Ela deve cair dentro do pequeno frasco colocado a uma distância x do pé da 
plataforma. A distância x deve ser de, aproximadamente: 
 
a) 1,0m 
b) 2,0m 
c) 2,5m 
d) 3,0m 
 
 
 
 
 
 
 
06 – (VUNESP) Uma pequena esfera, lançada com velocidade horizontal V0 do parapeito de uma janela a 5,0m do solo, 
cai num ponto a 10m da parede. Considerando g = 10 m/s
2
 e desprezando a resistência do ar, podemos afirmar 
que a velocidade V0 em m/s é igual a: 
 
a) 5/10 
b) 10/5 
c) 5 
d) 10 
 
 
 
07 – (UFGO) Uma esfera rola sobre uma mesa horizontal, abandona essa mesa com uma velocidade horizontal V0 e 
toca o solo após 1 s. Sabendo-se que a distância horizontal percorrida pela bola é igual à altura da mesa, a 
velocidade V0, considerando-se g = 10m/s
2
, é de: 
 
 
a) 1,25 m/s 
b) 10,00 m/s 
c) 20,00 m/s 
d) 5,00 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08 – Para que todo o minério caia dentro do recipiente, a velocidade v da correia, dada em m/s, deve satisfazer a 
desigualdade: 
 
a) 2 < v < 3 
b) 2 < v < 5 
c) 1 < v < 3 
d) 1 < v < 4 
 
09 – Se for aumentando o desnível entre a correia transportadora e o recipiente R, o intervalo de variação das 
velocidades-limite para que todo o minério caia em R: 
 
(PUC-SP) Testes 08 e 09 – O esquema apresenta abaixo uma correia que transporta minério, lançando-o no recipiente R. A 
velocidade da correia é constante e a aceleração local da gravidade é 10 m/s
2
. 
 
1m 
4m 
5m 
R 
h 
x 
V0 
10m 
5m 
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13 
 
a) permanece o mesmo, assim como os valores das velocidades-limite 
b) permanece o mesmo, mas os valores das velocidades-limite aumentam 
c) permanece o mesmo, mas os valores das velocidades-limite diminuem 
d) diminui 
 
10 – (U. Mackenzie-SP) Arremessa-se obliquamente uma pedra, como mostra a figura. Nessas condições, podemos 
afirmar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) a componente horizontal da velocidade da pedra é maior em A do que nos pontos B, C, D e E. 
b) a velocidade da pedra no ponto A é a mesma que nos pontos B, C e D. 
c) a componente horizontal da velocidade tem o mesmo valor nos pontos A, B, C, D e E. 
d) a componente vertical da velocidade é nula no ponto E. 
 
11 – (Unisinos - RS) Nos jogos da Copa do Mundo, foram cobradas muitas faltas e tiros de meta. Nos chutes de uma 
bola para o ar, ela descreve uma trajetória característica antes de atingir o solo. A respeito do movimento de um 
corpo, acima do solo, lançado obliquamente num terreno plano, se desconsiderarmos a resistência do ar, afirma-
se que: 
 
I – a aceleração do corpo é constante 
II – a trajetória descrita pelo corpo, em relação à Terra, é uma parábola. 
III – a velocidade do corpo, no ponto mais alto de sua trajetória, em relação à Terra, é nula. 
 
Dessas afirmativas: 
 
a) somente I é correta. 
b) somente II é correta 
c) somente I e II são corretas. 
d) Somente I e III são corretas. 
 
(F.M.Itajubá-MG) Testes 12 e 13 – Uma pedra é lançada para cima, fazendo ângulo de 60º com a horizontal e com uma 
velocidade inicial de 20 m/s, conforme a figura. (considere g = 10 m/s2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 – Qual o gráfico que melhor representa a variação do módulo de sua aceleração vetorial com o tempo enquanto ela 
permanece no ar? Despreze a resistência do ar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 – A que distância x do ponto de lançamento, na horizontal, a pedra tocou o solo 
 
a) 35m 
b) 40m 
C 
X 
60º 
V
0
 
a 
0 
t a) 
a 
0 
t b) c) 
a 
0 
t 
a 
0 
t d) 
B 
A 
D 
E 
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14 
c) 17,3m 
d) 17m 
 
14 – (FEI-SP) Um projétil é lançado com velocidade V0, formando um ângulo  com um plano horizontal, em uma região 
onde a aceleração da gravidade é g. O projétil atinge a altura h e retorna ao plano horizontal de lançamento, à 
distância d do ponto em que foi lançado. Pode-se afirmar que: 
 
a) o alcance d será tanto maior quanto maior for . 
b) no ponto de altura h a velocidade e a aceleração do projétil são nulas 
c) no ponto de altura h a velocidade do projétil é nula, mas a sua aceleração não o é 
d) nenhuma das afirmativas anteriores é correta. 
 
15 – (UECE) Num lugar em que g = 10 m/s2, lançamos um projétil com a velocidade inicial de 100 m/s formando com a 
horizontal um ângulo de elevação de 30º. A altura máxima será atingida após: 
 
a) 3s 
b) 4s 
c) 5s 
d) 10s 
 
16 – (FESP-SP) Lança-se um projétil com velocidade de 40 m/s, formando um ângulo de 30º com a horizontal. 
Desprezando a resistência do ar, ele atingirá a altura máxima após: 
 
a) 1s 
b) 2s 
c) 3s 
d) 4s 
 
17 – (E.F.O. Alfenas-MG) Um corpo é lançado obliquamente do solo, atingindo a altura máxima igual a 10m e 
realizando alcance horizontal igual a 40m. Podemos afirmar que o ângulo de tiro é: 
 
a) 30º 
b) 45º 
c) 60º 
d) 65º 
 
18 – Um projétil é lançado do solo com velocidade inicial cuja direção forma um ângulo de 60º com a horizontal 
(cos 60º = 0,5). A velocidade do projétil no ponto mais alto da trajetória vale 20 m/s. Desprezando-se a resistência 
do ar e adotando-se g = 10 m/s2, a velocidade inicial do projétil é: 
 
a) 40 m/s 
b) 20 m/s 
c) 10 m/s 
d) 5 m/s 
 
19 – (UERJ) Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30º com a horizontal e com uma velocidade de 200 m/s. 
Supondo a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar, concluímos que o menor 
tempo gasto por ele para atingir a altura de 480m acima do ponto de lançamento será de: 
 
a) 8s 
b) 10s 
c) 9s 
d) 14s 
 
20 – (U. Mackenzie-SP) Seja T o tempo total de vôo de um projétil disparado a 60º com a horizontal, e seja v0
y
 = 200 m/s 
o valor da componente vertical da velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar e considerandoa 
aceleração da gravidade g = 10 m/s2, os valores da componente vertical da velocidade nos instantes t = T e t = T/2 
são respectivamente: 
 
a) zero; zero 
b) zero; 200 m/s 
c) 200 m/s; zero 
d) 200 m/s; 200 m/s 
 
21 – (UNIP-SP) Em uma região onde o efeito do ar é desprezível e o campo de gravidade é uniforme, dois projéteis A e 
B são lançados a partir de uma mesma posição de um plano horizontal. O intervalo de tempo decorrido desde o 
lançamento até o retorno ao solo horizontal é chamado de tempo de vôo. 
 
 
Projétil A 
Projétil B H 
→ 
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Sabendo que os projéteis A e B atingem a mesma altura máxima H e foram lançados no mesmo instante, podemos 
concluir que: 
 
a) os projéteis foram lançados com velocidades de mesma intensidade 
b) as velocidades dos projéteis no ponto mais alto da trajetória são iguais 
c) os ângulos de tiro (ângulo entre a velocidade de lançamento e o plano horizontal) são complementares 
d) a cada instante os projéteis A e B estavam na mesma altura e o tempo de vôo é o mesmo para os dois 
 
22 – (PUC-SP) Um projétil é lançado em certa direção com velocidade inicial V0, cujas projeções vertical e horizontal 
têm módulos, respectivamente, de 100 m/s e 75 m/s. A trajetória descrita é parabólica e o projétil toca o solo 
horizontal em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desprezando a resistência do ar: 
 
a) no ponto de altura máxima, a velocidade do projétil é nula 
b) o projétil chega a B com velocidade nula 
c) a velocidade vetorial do projétil ao atingir B é igual à de lançamento 
d) durante o movimento apenas a componente horizontal da velocidade é conservada. 
 
Ainda sobre a questão anterior. 
 
23 - Quanto ao módulo da velocidade, tem valor mínimo igual a: 
 
a) 125 m/s 
b) 100 m/s 
c) 75 m/s 
d) zero 
 
24 – (U. Mackenzie - SP) Um corpo A é lançado obliquamente para cima de um ponto P do solo horizontal, com 
velocidade que forma 60º com o solo. No mesmo instante, outro corpo, B, apoiado no solo, passa por P com 
velocidade constante de 10 m/s. despreze todas as forças resistivas e adote g = 10 m/s2. Para que o corpo A se 
encontre novamente com o B, a sua velocidade inicial deve ter módulo igual a: 
 
a) 20 m/s 
b) 15 m/s 
c) 10 m/s 
d) 8 m/s 
 
 
 
25 – A figura representa um projétil que é lançado do ponto A segundo um ângulo de 30º com a horizontal, com uma 
velocidade V0 = 100 m/s, atingindo o ponto D. (Dados: AB = 40m; BC = 55m;g = 10 m/s2; sen 30º = 0,50; cos 30º = 
0,866.) 
 
 
 
100 m/s 
0 
y 
75 m/s B x 
V0 
30º 
A 
B 
V0 
A 
P B 
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O tempo que o projétil levou para atingir o ponto D, em segundos, vale: 
 
a) 5,3 
b) 7,8 
c) 11 
d) 12,6 
 
Ainda sobre a questão anterior 
 
26 – A distância CD, em metros, vale: 
 
a) 418,98 
b) 458,98 
c) 692,86 
d) 912,60 
 
27 – (UNIP-SP) Em um local onde o efeito do ar é desprezível e g= 10m/s2, uma bola de tênis é goleada por um 
tamboréu adquirindo uma velocidade de módulo 10 m/s quando estava a uma altura de 1,0m acima do chão. A 
altura máxima atingida pela bola, medida a partir do chão, foi de 4,75m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade da bola, no ponto mais alto de sua trajetória, tem módulo igual a: 
 
a) 5,0 m/s 
b) 10 m/s 
c) zero 
d) 2,5 m/s 
 
28 -(EEAR 2/2000 "B") Durante um ataque pirata a um navio cargueiro, os canhões de ambos acertarem-se 
mutuamente. Admitindo que não houvesse movimento relativo entre os dois navios, ou seja, que estivessem em 
repouso e que a resistência do ar fosse desprezível, qual seria o valor aproximado, em graus, do ângulo entre 
cada canhão e a horizontal (convés) do navio? Considere a distância entre os navios de 80 3 m, g = 10m/s2, 
velocidade inicial do projétil (bala) 40m/s e utilize a relação sen  cos  = 1/2 sen (2), em que  é o ângulo entre 
o canhão e o convés. 
 
a) 90 
b) 60 
c) 45 
d) 30 
 
29 - (EEAR 2/2001 "A") O lançamento de foguetes tornou-se, desde a Segunda Grande Guerra Mundial, uma tecnologia 
bastante difundida. Em relação ao lançamento oblíquo no vácuo, pode-se afirmar que o alcance é máximo 
quando, necessariamente 
 
a) A velocidade e o ângulo de lançamento com a horizontal são máximos. 
b) A velocidade e o ângulo de lançamentos são mínimos. 
c) O ângulo de lançamento com a horizontal é qualquer. 
d) O ângulo de lançamento com a horizontal vale 45º. 
30 - (EEAR 2/2002 "A") Um projétil foi disparado em um local onde se admite que qualquer tipo de atrito seja 
desprezível e que a aceleração da gravidade seja igual a 10 m/s2 (constante). A direção do disparo formou um ângulo 
com a superfície horizontal de 30º, e a velocidade inicial do projétil valia V0. A distância horizontal percorrida pelo 
projétil, 2 segundos após o disparo, vale, em metros, 
D C 
A 
1,0 m 
4,75 m 
B 
V0 
SOLO 
OBS: esta questão admite duas respostas. 
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a) 3 V0 b)
2
1
 V0 c) 
2
3
V0 d) 
4
1
 V0 
 
31 – (AFA) Duas armas são disparadas simultaneamente, na horizontal, de uma mesma altura. Sabendo-se que os projéteis possuem 
diferentes massas e desprezando a resistência do ar, pode-se afirmar que 
a) a bala mais pesada atinge o solo em um tempo menor. 
b) o tempo de queda das balas é o mesmo. 
c) a bala que foi disparada com maior velocidade atinge o solo em um tempo maior. 
d) nada se pode dizer a respeito do tempo de queda, porque não se sabe qual das armas é mais possante. 
 
32 – (AFA) Um audacioso motociclista deseja saltar de uma rampa de 4 m de altura e inclinação 300 e passar sobre um muro (altura igual a 
34 m) que está localizado a 350 m do final da rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para conseguir o desejado, a velocidade mínima da moto no final da rampa deverá ser igual a 
a) 144 km/h. 
b) 72 km/h. 
c) 180 km/h. 
d) 50 km/h. 
 
33 - (AFA) Um objeto é lançado obliquamente ao ar com ângulo de lançamento . Sabendo-se que o alcance máximo foi 122,5 m, qual sua 
velocidade inicial de lançamento, em m/s? 
(considerar g = 10 m/s2) 
 
 
a) 10 
b) 12,5 
c) 35 
d) 49,5 
 
34-(AFA) Um projétil é disparado com velocidade de 250 m/s em uma direção que faz um ângulo  com a horizontal. Após um intervalo de 
tempo, o projétil choca-se com um obstáculo a 5250 m do ponto de disparo. Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se 
g = 10 m/s2, sen  = 0,7, a velocidade do projétil, em m/s, no instante do choque, é 
e. 125. 
f. 175. 
g. 215. 
h. 250. 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
 
a) 13, 18, 19, 24, 27 e 30 
b) 01, 04, 12, 16, 17 e 28,31, 
c) 02, 03, 10, 11, 15, 20, 23 e 25, 32,33,34 
d) 05, 06, 07, 08, 09, 14, 21, 22, 26, 28 e 29 
 
 
 
 
 
 
 
4 m 
350 m 
300 
obs.: o desenho está fora de escala. 
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