CINEMATICA VETORIAL - CAP 6 - MODULO I FIS I AFA-EFOMM

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CINEMÁTICA VETORIAL – PROFESSOR ALEXANDRE VARGAS GRILLO 
 
1. Variação do Vetor Velocidade 
 
Sabemos que a velocidade possui uma intensidade 
associada a uma direção (tangente à trajetória) e 
sentido . Quando analisamos o vetor velocidade 
de um móvel, no decorrer do tempo, observamos que 
podem ocorrer mudanças tanto em sua intensidade 
quanto em sua direção. Eventualmente é seu sentido 
que se altera. 
 
Existe apenas um tipo de movimento em que a 
velocidade vetorial permanece constante. Isso ocorre 
no movimento retilíneo uniforme, em que a 
velocidade tem intensidade constante (uniforme) e 
sempre a mesma direção (pois a trajetória é 
retilínea). 
 
 
 
Há dois critérios básicos para se notar alterações na 
velocidade : 
a) a intensidade de varia, ou seja, o movimento é 
acelerado ou retardado; 
b) a direção de varia, ou seja, o movimento tem 
trajetória curvilínea. 
 
Combinando esses critérios, podemos elencar cinco 
tipos de movimentos em que ocorre variação do 
vetor velocidade: 
 
Movimento Retilíneo Acelerado 
 
 
 
Movimento Retilíneo Retardado 
 
 
 
Movimento Curvilíneo Uniforme 
 
 
Movimento Curvilíneo Acelerado 
 
 
 
Movimento Curvilíneo Retardado 
 
 
 
Exceto o MRU, todos os demais movimentos terão 
sua velocidade variando, seja em intensidade 
(movimentos acelerados e retardados) e/ou em 
direção (movimentos em trajetórias curvilíneas). 
 
Para indicar a variação do vetor velocidade, ocorrida 
entre dois instantes, definimos o vetor: 
 
 
 
Por exemplo, 1 e 2 representam na figura abaixo as 
velocidades de uma partícula nos instantes t1 e t2. O 
vetor mostra a variação ocorrida em sua velocidade 
entre t1 e t2. 
 
 
 
2. Aceleração Vetorial Média 
 
Com o objetivo de estimar a rapidez com que o vetor 
velocidade de um móvel varia entre dois instantes, 
foi criada a grandeza aceleração vetorial média . 
Aceleração vetorial média é a relação entre a 
variação da velocidade vetorial e o correspondente 
intervalo de tempo. 
 
 onde 
Como o intervalo de tempo é sempre positivo, o 
vetor aceleração média possui a mesma direção e o 
mesmo sentido que o vetor que representa a 
variação da velocidade vetorial . Vejamos: 
 
javascript:popAnimacao('../animation.htm#2002-31-121-21-i002')
javascript:popAnimacao('../animation.htm#2002-31-121-21-i003')
javascript:popAnimacao('../animation.htm#2002-31-121-21-i005')
 2 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
01. Uma partícula move-se em trajetória circular, 
com velocidade escalar constante de 10 m/s. A figura 
a seguir mostra suas passagens pelos pontos A e B, 
quando cumpre um quarto de volta em 2,0 segundos. 
 
 
 
a) Essa partícula possui velocidade constante? 
b) Determine o módulo do vetor que indica a 
variação de sua velocidade entre os pontos A e B. 
c) Qual o módulo de sua aceleração vetorial média 
entre os pontos A e B? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Verifique se as afirmações abaixo são corretas 
(C) ou erradas (E) de acordo com o caráter vetorial 
da grandeza velocidade. 
I. Em qualquer movimento circular há variação de 
velocidade. 
II. Movimento uniforme sempre possui velocidade 
constante. 
III. A direção da velocidade será constante quando a 
trajetória for uma reta. 
Resolução 
 
 
 
 
 
3. Aceleração Vetorial Instantânea 
Sabemos que a velocidade ( ) pode variar em 
intensidade e em direção. Por esta razão, o vetor 
aceleração ( ) de um móvel num certo instante é 
decomposto em duas acelerações perpendiculares: a 
aceleração tangencial , que indica a variação da 
intensidade de e a aceleração centrípeta , que 
indica a variação da direção de . Desse modo, a 
aceleração instantânea ( ) fica definida pela adição 
vetorial dessas componentes: 
 
 
A aceleração tangencial possui as seguintes 
características: 
 
 
 
 
 
Nos movimentos uniformes, a intensidade da 
velocidade não varia e, portanto a aceleração 
tangencial é nula. A aceleração tangencial só existe 
em movimentos variados (acelerados ou retardados) 
e independe do tipo de trajetória (retilínea ou 
curvilínea). 
A aceleração centrípeta possui as seguintes 
características: 
 
 
javascript:popAnimacao('../animation.htm#2002-31-121-21-i009')
javascript:popAnimacao('../animation.htm#2002-31-121-22-a001')
 3 
 
 
Nos movimentos retilíneos, a direção da velocidade 
não varia e, portanto, a aceleração centrípeta é nula. 
A aceleração centrípeta só existe em movimentos de 
trajetórias curvas e independe do tipo de movimento 
(uniforme ou variado). 
 
4. Análise Vetorial de Movimentos 
Vamos, agora, identificar a aceleração vetorial em 
certos tipos de movimento e sua orientação com o 
vetor velocidade. 
 
Movimento Retilíneo Uniforme 
É o único movimento que não possui aceleração 
vetorial, pois sua velocidade mantém-se constante 
em intensidade (uniforme) e em direção (trajetória 
retilínea). Ou seja: 
 
 
 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 
 
A velocidade varia apenas em intensidade, pois é 
variado em trajetória retilínea. Logo, não possui 
aceleração centrípeta, ou seja, sua aceleração 
vetorial é tangencial (apenas para acelerar ou 
retardar). 
 
 
 
 
 
Movimento Circular Uniforme 
A velocidade tem intensidade constante, pois o 
movimento é uniforme. Logo, não possui aceleração 
tangencial. Entretanto, sua velocidade varia em 
direção (pois a trajetória é curva), ou seja, sua 
aceleração vetorial é centrípeta. 
 
 
 
 
Mov. Circular Uniformemente Variado 
Pelo fato de a velocidade variar tanto em intensidade 
quanto em direção, esse movimento possui 
aceleração tangencial e aceleração centrípeta, sendo 
a aceleração vetorial do movimento a resultante de 
e . Ou seja: 
 
Como é perpendicular a , temos: 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
01. Uma partícula move-se em trajetória circular de 
raio 2 m, com velocidade angular constante de 2 
rad/s. 
a) Qual o ângulo entre os vetores velocidade e 
aceleração da partícula num certo instante? 
b) Quais as intensidades dos vetores velocidade e 
aceleração da partícula? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
02. Um ponto material move-se em trajetória circular 
de raio igual a 20 m, em movimento uniformemente 
acelerado. No instante t = 0, o módulo de sua 
velocidade vale 5,0 m/s e, 1,0 s após, vale 10 m/s. 
Determine o módulo do vetor aceleração no instante t 
= 1,0 s. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Com relação à aceleração vetorial de uma 
partícula, assinale verdadeiro (V) ou falso (F) para as 
frases abaixo. 
01 – Num movimento com trajetória retilínea, a 
aceleração é constante. 
02 – Nos movimentos retilíneos e uniformemente 
variados, a aceleração é nula. 
04 – Nos movimentos circulares e uniformes, o vetor 
aceleração é constante. 
08 – Nos movimentos curvos, a aceleração é nula 
16 – Quando o módulo da aceleração centrípeta é 
constante, o movimento é retilíneo. 
32 – Todo movimento uniforme é desprovido de 
aceleração. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
01. (VUNESP) Nas provas dos 200 m rasos, no 
atletismo, os atletas partem de marcas localizadas 
em posições diferentes na parte curva da pista e não 
podem sair de suas raias até a linha de chegada. 
Dessa forma, podemos afirmar que, durante a prova, 
para todos os atletas, o: 
(A) espaço percorrido é o mesmo, mas o 
deslocamento e a velocidade vetorial média são 
diferentes. 
(B) espaço percorrido e o deslocamento são os 
mesmos, mas a velocidade vetorial média é 
diferente. 
(C) deslocamento é o mesmo, mas o espaço 
percorrido e a velocidade vetorial média são 
diferentes. 
(D) deslocamento e a velocidade vetorial média são 
iguais, mas o espaço percorrido é diferente. 
(E) espaço percorrido, o deslocamento e a velocidade 
vetorial média são iguais. 
 
02. (UEFS) Uma partícula vai do ponto X ao ponto Y, 
distantes 30 m, em 10 segundos. Se ela leva 5 
segundos para retornar ao ponto X, pode-se afirmar 
que suas velocidades médias escalar e vetorial, são, 
respectivamente, iguais a: 
(A) 3 m/s e 3 m/s (B) 2 m/s e 4 m/s 
(C)4 m/s e zero (D) zero e zero 
(E) 6 m/s e 4 m/s 
 
03. Um ponto material possui movimento uniforme 
na trajetória circular de raio R = 3 cm representada 
abaixo. 
 
 
No instante t = 0, o móvel se encontra no ponto A e, 
a partir daí, desloca-se em sentido anti-horário 
completando uma volta a cada 8 segundos. 
Determine o deslocamento escalar (Δs) e o 
deslocamento vetorial (Δr) nos seguintes intervalos 
de tempo: 
a) de 0 a 4 s. 
b) de 4 a 6 s. 
 
04. Um móvel executa um movimento circular de raio 
r = 10 m. No instante t = 0 s ele se encontra no 
ponto A da figura e no instante t’ = 4 s passa pelo 
ponto B. 
 
Determine: 
a) a velocidade escalar média no intervalo de tempo 
considerado. 
b) o vetor velocidade média no mesmo intervalo de 
tempo. 
 
05. Uma partícula movimenta-se ao longo de uma 
trajetória circular com velocidade escalar constante. 
A figura representa a partícula no instante em que 
passa pelo ponto P. 
 
 
 
 5 
A seta que representa a velocidade vetorial da 
partícula em P é: 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 6 
 
06. Um móvel percorre uma trajetória circular de raio 
R = 6 cm completando meia volta em 24 s. 
Determine: 
a) a variação de espaço e a velocidade escalar média 
do móvel. 
b) o módulo do vetor deslocamento e da velocidade 
vetorial média do móvel. 
 
07. (OSEC) Dois móveis X e Y saem do mesmo ponto 
A e deslocam-se até o ponto B (diametralmente 
oposto) de uma circunferência de raio R. O móvel X 
vai pelo diâmetro e Y pelo arco da circunferência. Os 
movimentos são efetuados com velocidades escalares 
constantes e os móveis gastam o mesmo tempo no 
percurso. 
 
É FALSO que: 
(A) o módulo da velocidade vetorial média de X é 
igual ao de Y. 
(B) o módulo do vetor deslocamento de X é igual à 
distância percorrida por X. 
(C) os dois móveis deslocam-se com a mesma 
velocidade vetorial. 
(D) o módulo do vetor deslocamento de X é igual ao 
de Y. 
 
08. (EFEI) Uma partícula descreve um movimento 
circular uniforme com velocidade v. Determine o 
módulo da variação do vetor velocidade em um 
quarto de ciclo. 
 
09. Em 4 segundos, uma partícula percorre a quarta 
parte de uma circunferência de raio R = 4 m. 
Determine o módulo: 
 
a) da variação de espaço. 
b) do vetor deslocamento. 
c) da velocidade vetorial média. 
 
10. (UFU) A figura a seguir mostra um equipamento 
para empacotar balas, composto de uma esteira que 
se move horizontalmente com velocidade vx, 
contendo os pacotes distribuídos de forma 
eqüidistante a uma distância d = 0,20 m entre eles. 
Um recipiente contendo as balas é colocado acima da 
esteira, a uma altura H desta. Deseja-se que cada 
pacote contenha apenas uma única bala. O sistema 
está ajustado inicialmente com os valores vx = 1 m/s 
e H = 0,20 m, para que cada bala caia no centro de 
cada pacote. 
 
 
 
Considere que cada bala é abandonada a partir do 
repouso e que a aceleração gravitacional é g = 10 
m/s2. 
a) Calcule o intervalo de tempo em que as balas 
devem ser abandonadas do recipiente. 
b) Utilize os eixos coordenados (x, y, z) desenhados 
e determine o vetor velocidade da bala em relação à 
esteira, no instante em que ela é abandonada do 
recipiente. 
 
 
01. (UFSCAR) Nos esquemas estão representadas a 
velocidade v e a aceleração a do ponto material P. 
Assinale a alternativa em que o módulo da velocidade 
desse ponto material permanece constante. 
 
 
 
 
 
 
 
02. (FDC) Analise as afirmações: 
I - Em trajetória curva, uma partícula que está se 
movendo possui aceleração. 
II - Em trajetória reta, uma partícula que está se 
movendo possui aceleração. 
III - Se o módulo da velocidade de uma partícula está 
diminuindo com o passar do tempo, existe um 
componente da aceleração da partícula na direção e 
no sentido da sua velocidade. 
 6 
Dentre elas, somente: 
(A) III é correta. 
(B) II é correta. 
(C) I é correta. 
(D) I e II são corretas. 
(E) II e III são corretas. 
 
 
03. (UESB) A velocidade escalar de um móvel varia 
no tempo segundo a função v = at + b, em que a e b 
são constantes. Se a trajetória é retilínea, é correto 
afirmar: 
(A) A aceleração escalar é zero. 
(B) A aceleração tangencial é zero. 
(C) A aceleração centrípeta tem módulo constante, 
diferente de zero. 
(D) A aceleração tangencial tem módulo constante, 
diferente de zero. 
(E) O módulo da aceleração total é a soma do módulo 
da aceleração tangencial com o módulo da aceleração 
centrípeta. 
 
Texto para as questões 04 e 05. 
Desprezando-se a força de resistência do ar, a 
aceleração de queda de um corpo nas proximidades 
da superfície terrestre é, aproximadamente, igual a 
10 m/s2. Nessas condições, um corpo que cai durante 
3 segundos, a partir do repouso, atinge o solo com 
velocidade igual a v, após percorrer, no ar, uma 
distância h. 
 
04. (UESC) Das grandezas físicas citadas, têm 
natureza vetorial: 
(A) Aceleração, velocidade e força. 
(B) Força, aceleração e tempo. 
(C) Tempo, velocidade e distância. 
(D) Distância, tempo e aceleração. 
(E) Velocidade, força e distância. 
 
05. (UESC) Com base na informação, os valores da 
velocidade v, em m/s, e da distância h, em m, são 
iguais, respectivamente, a: 
(A) 45 e 10 (B) 10 e 20 
(C) 10 e 30 (D) 20 e 45 
(E) 30 e 45 
 
06. (UEL) Um corpo descreve um movimento circular 
uniforme, no sentido A → B → C. 
 
Ao passar por B, o vetor aceleração é melhor 
representado por: 
 
 
 
07. (UEL) Na figura abaixo, o vetor que pode 
representar a aceleração no movimento circular 
uniforme é: 
 
(A) I (B) II (C) III 
(D) IV (E) V 
 
08. (UEL) Um corpo se desloca com velocidade 
escalar constante, sobre um plano horizontal, ao 
longo de uma trajetória representada na figura a 
seguir, onde os arcos PR, RT e TV são semi-
circunferências. 
 
Em qual das alternativas seguintes estão melhor 
representados os vetores aceleração centrípeta nos 
pontos Q, S e U? 
 
 
 
 
 
 
 
09. (UERJ) Uma mangueira esguicha um jato de água 
como ilustra a figura. 
 
Desprezando a resistência do ar, a aceleração 
tangencial e a aceleração centrípeta de uma partícula 
de água são representadas no ponto P assinalado 
respectivamente por: 
 
 
 7 
 
 
 
 
 
 
10. (PUCMG) Uma pedra, amarrada num barbante, é 
posta a girar num plano vertical, executando o 
movimento circular, mostrado na figura. 
 
Leia atentamente as afirmativas abaixo: 
I - Se o instante considerado na figura corresponder 
a um movimento retardado, então os vetores 
velocidade e aceleração tangencial poderão ser 
representados por c e a, respectivamente. 
II - O vetor aceleração centrípeta poderá ser 
representado pelo vetor f qualquer que seja o tipo de 
movimento. 
III - Se o instante considerado na figura corresponder 
a um movimento acelerado, a aceleração tangencial 
poderá ser representada por a, a força centrípeta por 
e a velocidade por b. Assinale: 
(A) se as afirmativas I, II e III estiverem corretas. 
(B) se apenas a afirmativa I estiver correta. 
(C) se apenas a afirmativa II estiver correta. 
(D) se apenas a afirmativa III estiver correta. 
(E) se apenas as afirmativas I e II estiverem 
corretas. 
 
11. (UEL) Uma pista é constituída por três trechos: 
dois retilíneos AB e CD e um circular BC, conforme 
esquema a seguir. 
 
Se um automóvel percorre toda a pista com 
velocidade escalar constante, o módulo da sua 
aceleração será (A) nulo em todos os trechos. 
(B) constante, não nulo, em todos os trechos. 
(C) constante, não nulo, nos trechos AB e CD. 
(D) constante, não nulo, apenas no trecho BC. 
(E) variável apenas no trecho BC. 
 
12. (UEL) Das afirmativas abaixo: 
I - Quando a velocidade de um corpo é nula, sua 
aceleração é também nula. 
II - Quando a aceleração de um corpo é nula, sua 
velocidade é também nula. 
III - Os vetores velocidade e aceleração podem ser 
perpendiculares entre si. 
(A) Somente I é correta. 
(B) Somente II é correta. 
(C) Somente III é correta. 
(D) Apenas II e III são corretas. 
(E) I, II e III são corretas.13. (FATEC) Na figura representa-se um corpo em 
movimento sobre uma trajetória curva, com os 
vetores velocidade v e aceleração a e suas 
componentes, tangencial at e centrípeta ac. 
 
Analisando a figura podemos concluir que 
(A) o módulo da velocidade está aumentando. 
(B) o módulo da velocidade está diminuindo. 
(C) o movimento é uniforme. 
(D) o movimento é necessariamente circular. 
(E) o movimento é retilíneo. 
 
14. Uma partícula move-se em trajetória circular de 
raio R = 2,5 m com velocidade escalar constante e 
igual a 5 m/s. Calcule: 
a) o módulo da aceleração tangencial. 
b) o módulo da aceleração centrípeta. 
c) o módulo da aceleração resultante. 
 
15. A figura representa a velocidade vetorial v e a 
aceleração vetorial a, de uma partícula que se move 
em trajetória circular de centro O, num determinado 
instante t. Sabendo que θ = 30º, |v| = 6,0 m/s e |a| 
= 4,0 m/s2, calcule: 
 
a) o raio da trajetória. 
b) os módulos da aceleração centrípeta e tangencial. 
 
16. (FESP) Em determinado instante, a velocidade 
vetorial v e a aceleração vetorial a de um partícula 
estão representados na figura a seguir. Qual dos 
pares oferecidos representa, no instante considerado, 
 8 
os valores da aceleração escalar a e do raio de 
curvatura R da trajetória? 
 
 
 
 
17. (UNIRIO) Uma esfera de massa M, suspensa por 
um fio, é abandonada do ponto S, conforme a figura 
abaixo. 
 
Os vetores velocidade (v) e aceleração (a) no ponto 
Q estão corretamente representados em: 
 
 
 
 
18. (PUC-RIO) Dois corpos estão em movimento 
circular; o corpo A está em movimento circular 
uniforme e o corpo B em movimento circular 
uniformemente acelerado. Indique, por meio de 
setas, a aceleração e a velocidade de cada um deles, 
identificando-as. 
 
19. (FDC) A velocidade escalar de uma partícula, que 
percorre uma circunferência de raio 64 m, varia de 
acordo com a função horária: v = 1,0 + 3,0.t (v em 
m/s e t em s). O módulo da aceleração resultante da 
partícula no instante t = 5 s, em m/s2, vale: 
(A) 3,0 (B) 4,0 (C) 5,0 
(D) 8,0 (E) 16 
 
20. (UEL) Considere as seguintes afirmativas: 
I - No movimento circular uniforme, os vetores 
velocidade e aceleração são perpendiculares entre si. 
II - Objetos de mesma forma e dimensões, mas com 
massas diferentes, quando soltos de uma mesma 
altura, por estarem sob a influência da mesma 
aceleração gravitacional, chegam ao solo no mesmo 
instante. 
III - Do ponto de vista microscópico, as forças 
responsáveis pelo atrito entre duas superfícies são as 
forças gravitacionais que atuam nas regiões em que 
as duas superfícies estão em contato. Assinale a 
alternativa correta. 
(A) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 
(B) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
(C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
(D) Apenas a afirmativa III é verdadeira. 
(E) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
21. (UFU) O gráfico, abaixo, mostra a posição (s) de 
uma partícula em função de t2/2. 
 
A inclinação do gráfico representa 
(A) o módulo da velocidade. 
(B) o módulo da aceleração tangencial. 
(C) o módulo da aceleração total. 
(D) o módulo da aceleração centrípeta. 
 
GABARITO 
1. A 2. C 
3. a) Δs = 3 cm Δr = 6 cm; ) Δs = 3/2 cm Δr = 
3 2 cm 
4. a) vm = 5/4 m/s; b) smvm /
2
25
= 5. A 
6. a) Δs = 18,8 cm, vm = 0,78 cm/s; b) Δr = 12 cm, 
vm = 0,5 cm/s 7. C 8. 2vvm = 9. a) Δs = 2 m; 
b) 4 2 m; c) 2 m/s 10. a) 0,2 s;b) Módulo = 1 
m/s, Direção = eixo x, Sentido = negativo do eixo x 
11. C 12. C 13. D 14. A 15. E 16. A 17. B 
18. A 
19. D 20. E 21. D 22. C 23. B 24. a) at = 0; b) 
ac = 10 m/s2, c) a = 10 m/s2 25. a) R = 18 m, b) ac 
= 2,0 m/s2 e at = 2 3 m/s2 
26. C 27. E 
28. 
 9 
 
29. C 
30. C 
31. B