Introdução à Cinemática

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Introdução ao estudo
dos movimentos
Cinemática
A cinemática é o ramo da física que procura descrever matematicamente os movimentos sem se preocupar com as forças que originam estes movimentos. 
Móvel
É qualquer corpo que pode se movimentar em relação a um referencial adotado. Por exemplo: um automóvel em relação à Terra. É importante salientar que um móvel não é um objeto que efetivamente se desloque, ou seja, que não esteja fixo no chão. 
Ponto Material:
Um corpo é considerado como um ponto material quando as suas dimensões forem desprezíveis em relação à sua trajetória ou ao local onde ele se encontra.
Corpo Extenso:
Um corpo é considerado como um corpo extenso quando as suas dimensões não forem desprezíveis em relação à sua trajetória ou ao local onde ele se encontra.
Por exemplo: um carro. Se o local de referência for a garagem de sua casa, ele será um corpo extenso. Se o local de referência for a extensão da Linha Verde (BA), ele será um ponto material.
Móvel
REFERENCIAL:
O estudo do movimento de um corpo depende sempre do referencial escolhido. Chamamos de referencial a todo ponto que adotamos como referência para estudar o movimento dos corpos. Podemos associar esse ponto a um corpo ou local do espaço. Em princípio podemos adotar qualquer referencial para descrever um movimento. 
Para definirmos se um móvel está ou não em movimento precisamos comparar sua posição com a posição de um referencial. 
Não há como saber se um corpo está ou não em movimento se não houver um ponto de referência para a comparação. Esse ponto de referência é chamado simplesmente de referencial. 
REFERENCIAL:
Por exemplo: a Terra está em movimento em relação ao Sol (nesse caso, a Terra é o móvel e o Sol é o referencial adotado). 
REFERENCIAL:
Quando dois referenciais não aceleram nem giram um em relação ao outro, são chamados de referenciais inerciais. Caso contrário, serão chamados de referenciais não inerciais. 
Quando a situação não especificar o referencial a ser utilizado, considere sempre a Terra ou o solo. Por exemplo, se em uma situação genérica for feita uma afirmação do tipo “um corpo se movimenta com velocidade de 80 km/h”, considere que essa velocidade é medida em relação à Terra ou ao solo. 
REFERENCIAL:
Movimento e Repouso
Dizemos que um corpo se encontra em movimento, sempre que a sua posição se modificar, no decorrer do tempo, em relação a um certo referencial.
Dizemos que um corpo se encontra em repouso, sempre que a sua posição se mantiver (for a mesma), no decorrer do tempo, em relação a um certo referencial. 
Um corpo pode, num determinado instante, estar em repouso em relação a um certo referencial e, em movimento, em relação a outro referencial.
PORTANTO, NÃO EXISTE MOVIMENTO OU REPOUSO ABSOLUTO, SEMPRE SÃO RELATIVOS AO REFERENCIAL.
Por exemplo: considere uma pessoa sentada na poltrona de um avião que está em pleno vôo. Podemos dizer que a pessoa está em repouso em relação às poltronas do avião, por outro lado, podemos dizer também que ela está em movimento em relação ao solo. 
 
Movimento e Repouso
 
Trajetória
A trajetória mostra o caminho pelo qual um móvel irá passar ou o caminho no qual ele passou à partir do momento em que entrou em movimento em relação a um referencial. 
A TRAJETÓRIA TAMBÉM É RELATIVA AO REFERENCIAL.
 
Num mesmo movimento, adotando-se referenciais diferentes podemos encontrar trajetórias diferentes. 
Por exemplo: um avião em movimento retilíneo e com velocidade constante abandona uma bomba. Desprezando-se o efeito da resistência do ar, a trajetória dessa bomba será retilínea para um observador localizado no interior do avião e parabólica para um observador em repouso na Terra. 
Trajetória
Chamamos de posição ao local ocupado pelo corpo em relação a um dado referencial, num dado instante.
 
Posição (ou espaço)
Se um veículo está no km 37 da Rodovia Cândido Portinari, não sabemos em que sentido ele está se movendo ou mesmo se ele está em movimento, pois ele pode inclusive estar parado. 
Placa quilométrica no km 37 de uma rodovia. Ela está a 37 km do marco zero dessa rodovia.
 
Deslocamento
O deslocamento escalar é a variação de posição sofrida por um móvel sobre uma trajetória. Trata-se de uma simples comparação entre a posição final e a posição inicial do móvel em um trajeto qualquer. 
Neste exemplo, o deslocamento entre os pontos B e J é de 8 metros.
 
 DS = S – So
DS = Deslocamento escalar
S = Posição final do móvel
S0 = Posição inicial do móvel
No exemplo anterior, vemos que:
DS = 6 – (-2)
DS = 6 + 2
DS = 8 m
Deslocamento
É importante ressaltar que deslocamento escalar e distância percorrida são conceitos diferentes. Enquanto o deslocamento escalar é uma simples comparação entre a posição inicial e a posição final, a distância percorrida é a soma de todos os espaços percorridos pelo móvel. 
 
Deslocamento
 
Veja este outro exemplo:
A partícula sai da posição B, vai até J e retorna a G.
Qual seu deslocamento total? Qual sua distância percorrida total?
Qual o deslocamento entre J e G? É possível um deslocamento negativo?
Deslocamento
- O deslocamento escalar será positivo quando o móvel se deslocar mais no sentido positivo do que no sentido negativo da trajetória; 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
- O deslocamento escalar será negativo quando o móvel se deslocar mais no sentido negativo do que no sentido positivo da trajetória; 
- O deslocamento escalar será nulo em duas situações: quando o móvel permanecer em repouso e quando ele retornar à posição inicial; 
- A distância percorrida somente será igual ao deslocamento escalar em duas situações: quando o móvel permanecer em repouso e quando o móvel caminhar somente no sentido positivo da trajetória, sem voltar. 
P.11 - Você está viajando, sentado na poltrona de um ônibus, pela Rodovia dos Bandeirantes, que liga São Paulo a Campinas. Cite um referencial em relação ao qual você está em repouso e outro referencial em relação ao qual você está em movimento.
Repouso: dentro do avião.
Movimento: fora do avião.
P.12 - Na foto ao lado você observa um avião reabastecendo outro em pleno voo. Pode-se afirmar que os aviões estão em repouso?
Não, depende do referencial.
P.13 - Um aluno, ao ler este livro, está em sua sala de aula, sentado em uma cadeira. O aluno está em repouso ou em movimento? Explique.
Depende do referencial.
P.14 - Considere três objetos A, B e C. Analise a afirmativa abaixo e indique se está certa ou errada: “Se A está em movimento em relação a B e B está em movimento em relação a C, então A está em movimento em relação a C”.
Está errada. A pode estar em repouso em relação a C. Exemplo, um ônibus deslocando-se numa avenida, transportando um passageiro, sentado em uma poltrona. Sejam: A o passageiro, B um poste situado na avenida e C o ônibus. Temos: A em movimento em relação a B; B em movimento em relação a C e A em repouso em relação a C.
P.15 - Um avião monomotor voa retilínea e horizontalmente, paralelamente ao solo, com velocidade constante. Observe o ponto P na extremidade de uma hélice da aeronave.
a) Qual é a forma da trajetória descrita pelo ponto P em relação a um referencial ligado ao avião?
b) Qual é a forma da trajetória descrita pelo ponto P em relação a um referencial ligado ao solo?
P.16 - Um avião voa horizontalmente e com velocidade constante. No instante indicado na figura ao lado, o piloto aciona um dispositivo e deixa cair uma caixa com alimentos destinada a náufragos que se encontram numa ilha de difícil acesso. Despreze a resistência do ar. Qual é a trajetória descrita pela caixa em relação:
a) ao avião?
b) à Terra?
 
Velocidade Média
É a relação entre o deslocamento escalar e o tempo gasto na sua realização. Pode ser dada em m/s, km/h, cm/s etc. A velocidade escalar média não depende da forma da trajetória (retilínea ou curvilínea). Só depende das condições no início e no final do movimento considerado, e do tempo gasto na sua realização.
Vm = Velocidade escalar média
DS = Deslocamento escalarDt = Tempo gasto
 
Unidades de Velocidade
No Sistema Internacional de Unidades (SI) a unidade de velocidade é m/s (metros por segundo). Entretanto, estamos mais acostumados a utilizar o km/h (quilômetros por hora). Então, é importante saber transformar de uma unidade para a outra. Para fazer esta transformação adotamos a seguinte regra:
Por exemplo:
72 km/h = 20 m/s (dividir 72 por 3,6)
30 m/s = 108 km/h (multiplicar 30 por 3,6)
x 3,6
Km/h
 m/s
 3,6
Movimento PROGRESSIVO  o móvel caminha a favor da orientação positiva da
trajetória. 
Movimento RETRÓGRADO  o móvel caminha contra a orientação positiva da trajetória. 
Seus espaços crescem no decorrer do tempo e sua velocidade escalar é positiva.
Seus espaços decrescem no decorrer do tempo e sua velocidade escalar é negativa.
Obs.: O sinal atribuído à velocidade escalar indica apenas o sentido do movimento.
 
Movimento Progressivo e retrógrado
S > 0, então Vm > 0. O móvel se desloca a favor da orientação da trajetória. Movimento Progressivo. 
S  0, então Vm  0. O móvel se desloca contra a orientação da trajetória. Movimento Retrógrado. 
S = 0, então Vm = 0. O móvel permaneceu parado ou o móvel se deslocou e retornou ao ponto inicial. 
 
Considerações
P.17. Um jovem realiza uma caminhada em uma pista de 1,0 . 103 m, completando uma volta em 10 minutos. Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pelo jovem? Dê a resposta em km/h e em m/s.
vm = ΔS
Δt
60 seg
1 min
X
10 min
X = 600 s
vm = 1000
600
vm ≌ 1,7 m/s
x 3,6
Km/h
 m/s
 3,6
vm = 1,7 x 3,6
vm ≌ 6 km/h
P.18. (UFRJ) A Pangea era um supercontinente que reunia todos os continentes atuais e que, devido a processos geológicos, foi se fragmentando. Supõe-se que, há 120 milhões de anos, a África e a América do Sul, que faziam parte da Pangea, começaram a se separar e que os locais onde hoje estão as cidades de Buenos Aires e Cidade do Cabo coincidissem. A distância atual entre as duas cidades é de aproximadamente 6.000 km.
Calcule a velocidade escalar média de afastamento entre a África e a América do Sul em centímetro por ano.
vm = ΔS
Δt
vm = 6 . 108
1,2 . 108
Dados:
ΔS = 6 . 108 cm 
Δt = 1,2 . 108 anos 
Δt = 120000000 
1000 m
1 km
x
6000 km
x = 6000000 m
100 cm
1 m
x
6000000 m
x = 600000000 m
vm = 5 . 108 . 10-8 
vm = 5 cm/ano
P.19. Na rodovia dos Bandeirantes, os limites de velocidade para os automóveis e caminhões são, respectivamente, 120 km/h e 90 km/h.
a) Se um automóvel e um caminhão mantiverem durante 1 minuto a respectiva velocidade limite, quantos quilômetros cada um percorrerá nesse intervalo de tempo?
b) Imagine que um automóvel e um caminhão saiam de São Paulo no mesmo instante em direção a Campinas (distante 90 km). Se eles desenvolverem durante todo o trajeto, respectivamente, as velocidades médias de 100 km/h e 60 km/h, quantos minutos o automóvel chegará a Campinas antes do caminhão?
vA = ΔS
Δt
120 km/h = ΔS
1 min
120 km
h
120 km
60 min
=
2 km/min
2 km/min = ΔS
1 min
ΔS = 2 km
a)
P.19. Na rodovia dos Bandeirantes, os limites de velocidade para os automóveis e caminhões são, respectivamente, 120 km/h e 90 km/h.
a) Se um automóvel e um caminhão mantiverem durante 1 minuto a respectiva velocidade limite, quantos quilômetros cada um percorrerá nesse intervalo de tempo?
b) Imagine que um automóvel e um caminhão saiam de São Paulo no mesmo instante em direção a Campinas (distante 90 km). Se eles desenvolverem durante todo o trajeto, respectivamente, as velocidades médias de 100 km/h e 60 km/h, quantos minutos o automóvel chegará a Campinas antes do caminhão?
vC = ΔS
Δt
90 km/h = ΔS
1 min
90 km
h
90 km
60 min
=
1,5 km/min
1,5 km/min = ΔS
1 min
ΔS = 1,5 km
a)
P.19. Na rodovia dos Bandeirantes, os limites de velocidade para os automóveis e caminhões são, respectivamente, 120 km/h e 90 km/h.
a) Se um automóvel e um caminhão mantiverem durante 1 minuto a respectiva velocidade limite, quantos quilômetros cada um percorrerá nesse intervalo de tempo?
b) Imagine que um automóvel e um caminhão saiam de São Paulo no mesmo instante em direção a Campinas (distante 90 km). Se eles desenvolverem durante todo o trajeto, respectivamente, as velocidades médias de 100 km/h e 60 km/h, quantos minutos o automóvel chegará a Campinas antes do caminhão?
vA = ΔS
Δt
100 = 90
Δt
100 . Δt = 90
100
b)
Δt = 90
Δt = 0,9 h
vC = ΔS
Δt
60 = 90
Δt
60 . Δt = 90
60
Δt = 90
Δt = 1,5 h
tdiferença = 0,9 – 1,5
tdiferença = 0,6 h
60 min
1 h
X
0,6 h
X = 36 min
P.20. Um atleta passa no instante t1 = 10 s por uma posição cujo espaço é s1 = 50 m e no instante t2 = 20 s pela posição de espaço s2 = 120 m, conforme a figura abaixo. Determine a velocidade escalar média do atleta no intervalo de t1 a t2.
vm = ΔS
Δt
S – S0
t – t0
vm = 120 - 50
20 - 10
vm = 70
10
vm = 7 m/s
P.21. Um carro viaja de Atibaia (SP) a Cambuí (MG), que dista 90 km, parando durante 30 min num posto à beira da estrada, para refeição e abastecimento. De Atibaia até o posto gasta 1 h 30 min, fazendo o percurso do posto a Cambuí em mais 30 min. Calcule a velocidade escalar média do carro nessa viagem.
vm = ΔS
Δt
vm = 90
2,5
vm = 36 km/h
ΔS
Atibaia
Cambuí
posto
30 min
1 h 30 min
30 min
+
+
Δt = 2,5 h
Δt = ?
P.22. (UFRJ) João fez uma pequena viagem de carro de sua casa, que fica no centro da cidade A, até a casa de seu amigo Pedro, que mora bem na entrada da cidade B. Para sair de sua cidade e entrar na rodovia que conduz à cidade em que Pedro mora, João percorreu uma distância de 10 km em meia hora. Na rodovia, ele manteve uma velocidade escalar constante até chegar à casa de Pedro. No total, João percorreu 330 km e gastou quatro horas e meia.
a) Calcule a velocidade escalar média do carro de João no percurso dentro da cidade A.
b) Calcule a velocidade escalar constante do carro na rodovia.
a)
vm = ΔS
Δt
vm = 10
0,5
vm = 20 km/h
DADOS:
ΔS = 10 km
Δt = 0,5 h
P.22. (UFRJ) João fez uma pequena viagem de carro de sua casa, que fica no centro da cidade A, até a casa de seu amigo Pedro, que mora bem na entrada da cidade B. Para sair de sua cidade e entrar na rodovia que conduz à cidade em que Pedro mora, João percorreu uma distância de 10 km em meia hora. Na rodovia, ele manteve uma velocidade escalar constante até chegar à casa de Pedro. No total, João percorreu 330 km e gastou quatro horas e meia.
a) Calcule a velocidade escalar média do carro de João no percurso dentro da cidade A.
b) Calcule a velocidade escalar constante do carro na rodovia.
DADOS:
ΔS = 10 km
Δt = 0,5 h
b)
ΔStotal
Δttotal
vm = ΔS
Δt
vm = 320
4
vm = 80 km/h
= 330 – 10
= 320 km 
= 4,5 – 0,5
= 4 h
P.23. Uma moto passa pelo km 60 de uma rodovia às 8 h 30 min. Durante a viagem a moto para 10 min para reabastecimento. A que horas a moto chegará à próxima cidade situada no km 180 dessa rodovia? Sabe-se que durante o percurso a moto desenvolveu uma velocidade escalar média de 60 km/h.
vm = ΔS
Δt
60 = 180 - 60
Δt = 2 h
DADOS:
S0 = 60 km
S = 180 km
Δt = ?
vm = 60 km/h
Δt
60 = 120
Δt
60 . Δt = 120
Δt = 120
60
chegará à cidade, situada no km 180, às 10 h 30 min.
P.24. (Vunesp) Sentado em um ponto de ônibus, um estudante observa os carros percorrerem um quarteirão (100 m). Usando o seu relógio de pulso, ele marca o tempo gasto por 10 veículos para percorrerem essa distância. Suas anotações mostram:
Com os dados colhidos, determine:
a) os valores da maior e da menor velocidade média;
b) quais veículos tiveram velocidade média acima da velocidade máxima permitida de 60 km/h.
P.25. Três cidades A, B e C estão situadas ao longo de uma rodovia, respectivamente, nas posições km 30, km 60 e km 120. Um carro parte da cidade A e vai para a cidade C, sempre no mesmo sentido, com velocidade escalar média de 45 km/h. Ao chegar em C, volta imediatamente até a cidade B, com velocidade escalar média de módulo 60 km/h. Calcule, desde a partida de A até chegar em B:
a) a distância total percorrida pelo carro;
b) a variação de espaço;
c) a velocidade escalar média.
DADOS:
ΔSA = 30 km
a)
vAC = 45 km/h
ΔSB = 60 km
ΔSC = 120 km
vCB = 60 km/h
ΔSAC+ ΔSCB 
S – S0
120 – 30
90 km
S – S0
60 – 120
-60 km
90 + 60
dtotal = 
dtotal = 
150 km
dtotal = 
b)
ΔS = SB - SA
ΔS = 60 - 30
ΔS = 30 km
Em módulo
vm = ΔS
Δt
P.25. Três cidades A, B e C estão situadas ao longo de uma rodovia, respectivamente, nas posições km 30, km 60 e km 120. Um carro parte da cidade A e vai para a cidade C, sempre no mesmo sentido, com velocidade escalar média de 45 km/h. Ao chegar em C, volta imediatamente até a cidade B, com velocidade escalar média de módulo 60 km/h. Calcule, desde a partida de A até chegar em B:
a) a distância total percorrida pelo carro;
b) a variação de espaço;
c) a velocidade escalar média.
c)
vAC = ΔS
Δt
?
DADOS:
ΔSA = 30 km
vAC = 45 km/h
ΔSB = 60 km
ΔSC = 120 km
vCB = 60 km/h
45 = 90
ΔtAC
ΔSAC + ΔSCB 
S – S0
120 – 30
90 km
S – S0
60 – 120
-60 km
45 . ΔtAC = 90
ΔtAC = 90
45
ΔtAC = 2 h
vm = ΔS
Δt
vCB = ΔS
Δt
60 = 60
ΔtCB
60 . ΔtCB = 60
ΔtCB = 60
60
ΔtCB = 1 h
39
P.25. Três cidades A, B e C estão situadas ao longo de uma rodovia, respectivamente, nas posições km 30, km 60 e km 120. Um carro parte da cidade A e vai para a cidade C, sempre no mesmo sentido, com velocidade escalar média de 45 km/h. Ao chegar em C, volta imediatamente até a cidade B, com velocidade escalar média de módulo 60 km/h. Calcule, desde a partida de A até chegar em B:
a) a distância total percorrida pelo carro;
b) a variação de espaço;
c) a velocidade escalar média.
DADOS:
ΔSA = 30 km
vAC = 45 km/h
ΔSB = 60 km
ΔSC = 120 km
vCB = 60 km/h
O intervalo de tempo total será:
Δttotal = ΔtAC + ΔtCB 
Δttotal = 2 + 1
Δttotal = 3 h
vm = ΔS
Δt
vm = 30
3
vm = 10 km/h
®
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