Trabalho de Cálculo3

Prévia do material em texto

Trabalho de Cálculo 3 
Foi proposto a criação de um problema com aplicações 
práticas a ser resolvido por meio de integrais duplas ou 
triplas. 
 
Problema Resolvido: 
Foi criado um problema utilizando o cálculo do volume e da massa a partir 
de integrais duplas, foram utilizadas as seguintes fórmulas: 
Para calcular o volume: 
Se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 0 , então o volume V do sólido que está acima do retângulo R 
e abaixo da superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é: 𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 1 
 
Para calcular a massa: 
Para determinarmos a massa total m da lâmina, dividimos o retângulo R 
contendo D em sub-retângulos Rij , todos do mesmo tamanho e 
consideramos 𝜌 (𝑥, 𝑦) como 0 fora de D. Se escolhermos um 
ponto(𝑋∗𝑖𝑗, 𝑌∗𝑖𝑗) em Rij, então a massa da parte da lâmina que ocupa Rij é 
aproximadamente 𝜌(𝑋∗𝑖𝑗, 𝑌∗𝑖𝑗) , onde é a área de . Se somarmos todas 
essas massas, obteremos uma aproximação do valor da massa total:2 
 
 
𝑚 ≈ ∑ ∑ 𝜌(𝑋∗𝑖𝑗, 𝑌∗𝑖𝑗)
𝑙
𝑗=1
𝑘
𝑖=1
∆𝐴 
Aumentando o número de sub-retângulos, obtemos a massa total m da 
lâmina como o valor- -limite das aproximações: 
𝑚 ≈ lim
𝑘,𝑙→∞
∑ ∑ 𝜌(𝑋∗𝑖𝑗, 𝑌∗𝑖𝑗)
𝑙
𝑗=1
𝑘
𝑖=1
∆𝐴 = ∬ 𝜌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 
 
 
1 calculo-james-stewart-7-edic3a7c3a3o-volume-2.pdf. 
2 Ibid. 
Essas aplicações são importantes em diversas áreas da engenharia e até 
mesmo da física, a partir delas é possível calcular o volume e massa sob 
uma superfície não simétrica, sem a aplicação de integrais seria muito 
difícil de se obter esses dados, pois tais superfícies são muito irregulares. 
 
Problema: 
 
a) Uma empresa de escavação precisando saber qual o volume de terra 
seria retirado de uma região de formato irregular, contratou uma 
engenheira para calcular o volume correspondente região onde seria 
feito o corte de aterro. A empresa forneceu a engenheira os seguintes 
dados: o sólido se encontra abaixo do plano 4x+6y -2z +15= 0 e 
acima do retângulo: R={(𝑥, 𝑦)|−3 ≤ 𝑥 ≤ 2, −3 ≤ 𝑦 ≤ 1 } . 3 
 
Resolução: 
 
Z= 4𝑥 + 6𝑦 +
15
2
 ou Z = 2𝑥 + 3𝑦
15
2
 
 
V=∫ ∫ (2𝑥 + 3𝑦 +
2
−3
1
−3
15
2
)𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
𝑉 = ∫ [𝑥2 + 3𝑥𝑦 +
15
2
𝑥]
1
−3
𝑥 = 2
𝑥 = −3
 dy 
 
V=∫ [( (2)2 + 3 ∗ (2)y + 
15
2
∗ 2 ) – ( (−3)2 + 3 ∗ (−3)y + 
15
2
∗ −3)]
1
−3
dy 
 
V=∫ [(
1
−3
19 + 6𝑦) − (- 
27
2
 - 9y)]dy 
 
V=∫ [
1
−3
65
2
 − 15𝑦]dy 
 
V=[
 65
 2
 𝑦 +
15𝑦2
2
 ]
𝑦 = 1
𝑦 = −3
 
 
V=[(
 65
 2
∗ (1) +
15(1)2
2
) − (
 65
 2
∗ (−3) +
15(−3)2
2
)] 
 
V= (
80
2
+
60
2
)= 70 u.v. (unidade de volume) 
 
 
3 Ibid. 
 
 
B) Também foi requisitado que a engenheira calculasse a massa da lâmina 
que ocupa a região retangular previamente fornecida, sendo informada que 
a densidade da carga dessa lâmina retangular em (x,y) é 𝜎(𝑥, 𝑦) = 1 +
+𝑥2 + 𝑦2.4 
 
 
Resolução, calculando a massa da carga distribuída na região delimitada 
pelo triângulo: 
 
𝑄 = ∫ 𝜎(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∬ (1 + 𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
1 2
−3−3
 
 
Q = ∫ (𝑥 +
𝑥3
3
+ 𝑥𝑦2)]
2
−3
𝑑𝑦
1
−3
 
Q =∫ [(2 +
23
3
+ 2𝑦2) − (−3 +
−33
3
+ (−3)𝑦2)]𝑑𝑦
1
−3
 
Q = ∫ [(
14
3
+ 2𝑦2) − (
−36
3
−3𝑦2)]𝑑𝑦
1
−3
 
Q=∫ (
50
3
+ 5𝑦2) 𝑑𝑦
1
−3
 
Q= [( 
50𝑦
3
+
5𝑦3
3
)]
1
−3
𝑑𝑦 
Q= [( 
50∗1
3
+
5(1)3
3
) − ( 
50∗(−3)
3
+
5(−3)3
3
) ] 
Q= 
55
3
− ( 
−285
3
)= 340/3 = 113.333u.m. (unidade de massa) 
 
 
Utilizei alguns exemplos e exercícios do livro de Cálculo James Stewart 
para elaborar o exercício, utilizei uma equação de superfície do plano 
encontrada na sessão (15.2), mudando os intervalos de integração do 
exercício. Também me referenciei em alguns exercícios de determinação 
de massa, aplicando-o ao exercício de volume. Dessa forma aproveitei 
ambas as aplicações de integral dupla para uma mesma superfície. 
 
 
 
 
 
4 Ibid. 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
Stewart, James, Cálculo, Vol. 2, Editora Thomson, 5a. edição, 2006. 
calculo-james-stewart-7-edic3a7c3a3o-volume-2.pdf. Disponível em: 
<https://profmcruz.files.wordpress.com/2019/03/calculo-james-stewart-7-
edic3a7c3a3o-volume-2.pdf>. Acesso em: 12 jun. 2020.