Resumo - Cap 10 Wooldridge - Amanda Vargas Lira

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
CÂMPUS DE PALMAS
CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS
ECONOMETRIA II
AMANDA VARGAS LIRA
Resumo: Introdução à Econometria - Uma Abordagem Moderna
(Caṕıtulo X)
Palmas - TO
2021
1 Análise de regressão básica com dados de séries temporais
1.1 A natureza dos dados das séries temporais
Os dados de séries temporais possuem uma ordenação temporal, devemos saber que os dados de
1970 precedem imediatamente os dados de 1971. Para a análise dos dados de séries temporais nas
ciências sociais devemos reconhecer que o passado pode afetar o futuro, mas o contrário não acontece.
As séries econômicas satisfazem aos requisitos intuitivos de serem resultados de variáveis aleatórias,
que por sua vez são variáveis não conhecidas previamente. Por exemplo, não sabemos qual será a
taxa de crescimento anual da produção do Canadá no ano que vem. Formalmente, chamamos essas
variáveis aleatórias indexadas pelo tempo de processo estocástico ou processo de série tempo-
ral. O tamanho da amostra de um conjunto de dados de séries temporais é o número de peŕıodos de
tempo nos quais observamos as variáveis de interesse.
1.2 Exemplos de modelos de regressão de séries temporais
Esta seção apresenta dois exemplos de modelos de séries temporais que tÊm sido úteis na análise
emṕırica e que são facilmente estimados por MQO.
1.2.1 Modelos estáticos
Suponha dados de séries temporais dispońıveis para duas variáveis, y e z, e elas são dotadas
contemporaneamente. O modelo estático que relaciona y a z é:
yt = β0 + β1Zt + ut, t = 1, 2, ..., n. (1)
“modelo estático”vem do fato de estarmos modelando uma relação contemporânea entre y e z.
Normalmente, esse modelo é demandado quando se acredita que uma mudança em z no peŕıodo t
afetará imediatamente y : ∆yt = β1∆zp quando ∆ut = 0. São usados também quando há interesse
em conhecer a relação de trocas entre y e z. Por exemplo, a curva de Phillips estática:
inft = β0 + β1unemt + up (2)
onde:
inft - taxa de inflação anual;
unemt - taxa de desemprego.
Essa forma de curva de Phillips pressupõe uma taxa natural de desemprego e expectativas in-
flacionárias constantes, e pode ser usada para estudar a relação contemporânea entre inflação e
desemprego. Podemos ter diversos variáveis explicativas em um modelo estocástico de regressão, por
exemplo, um modelo estático de regressão múltipla que explica as taxas de homićıdios:
mrdrtet = β0 + β1convrte1 + β2unemt + β3yngmlet + ut (3)
Por este modelo, podemos estimar, por exemplo, o efeito ceteris paribus de um aumento na taxa
de condenações sobre a atividade criminosa.
1.2.2 Modelos de defasagem distribúıda finita
Neste modelo, permitimos que uma ou mais variáveis afetem y com defasagens. Por exemplo,
para observações anuais considere o seguinte modelo:
gfrt = α0 + δ0pet + δ1pet−1 + δ2pet−2 + up (4)
onde:
gfrt - taxa geral de fertilidade;
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pet - valor real em dólares da dedução de impostos pessoais.
A ideia é ver, se em termos agregados, a decisão de ter filhos está relacionada ao valor da dedução
de impostos de ter uma criança. Por esse modelo, pode-se analisar que, tanto por motivos biológicos
como comportamentais, a decisão de ter filhos não resulta imediatamente de mudanças na isenção
de impostos.
1.2.3 Convenção sobre o ı́ndice temporal
Quando os modelos tem variáveis explicativas defasadas, pode surgir alguma confusão relativa ao
tratamento das observações iniciais.
1.3 Propriedades de amostra finita do MQO sob as hipóteses clássicas
1.3.1 Inexistência de viés do MQO
A primeira hipótese estabelece que o processo da série temporal segue um modelo linear em seus
parâmetros.
1ª Hipótese Linear nos parâmetros
O processo estocástico {(Xt1, Xt2, ..., Xtk, Yt) : t = 1, 2, ..., n} segue o modelo linear
yt = β0 + β1Xt1 + ...+ βkXtk + Ut, (5)
Na notação xtj, t é o peŕıodo de tempo e j é o indicador de uma das k variáveis explicativas.
Para estabelecer e discutir muitas das hipóteses restantes, presumimos que xt = (x1, xt2, ..., xtk)
representa o conjunto de todas as variáveis independentes da equação em t. X representa o conjunto
de todas as variáveis independentes de todos os peŕıodos de tempo.
2ª Hipótese Inexistência de colinearidade perfeita
Na amostra, nenhuma variável independente é consistente ou é uma combinação linear perfeita
das outras. Essa hipótese que as variáveis explicativas sejam correlacionadas, mas exclui a correlação
perfeita na amostra
3ª Hipótese Média condicional zero
Pra cada t, o valor esperado do erro ut, dadas as variáveis explicativas de todos os peŕıodos de
tempo, é zero. Matematicamente,
E(ut|X) = 0, t = 1, 2, ..., n. (6)
Essa hipótese é crucial e precisamos de uma compreensão intuitiva de seu significado. Implica o
erro no tempo t, nt, não correlacionado com cada variável explicativa em todos os peŕıodos de tempo.
1.3.2 As variâncias dos estimadores MQO e o teorema de Gauss-Markov
São necessárias duas hipóteses para completar as hipoteses de Gauss-Markov para regressões de
séries temporais
4ª Hipótese Homoscedasticidade
Condicional em X, a variância de ut é a mesma para todo t: V ar(ut|X) = V ar(ut = σ2 t = 1,2,
..., n.
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Esta hipótese significa que V ar(ut|X) não pode depender de X - é suficiente que ut e X sejam
independentes - e que V ar(ut seja constante ao longo do tempo. Quando essa hipótese não se man-
tem dizemos que os erros são heteroscedásticos.
5ª Hipótese Inexistência de Correlação Serial
Condicional em X, os erros em dois peŕıodos de tempo diferentes são não correlacionados Corr(Ut, US|X)
= 0, para todos t 6= s.
A maneira mais fácil de entender essa hipótese é ignorar a condicionalidade em X. Então a
Hipótese 5 passa a ser simplesmente
Corr(ut, us) = 0, para todo t 6= s. (7)
1.3.3 Inferência sob as hipóteses do modelo linear clássico
6ª Hipótese Normalidade
Os erros ut são independentes de X e são idêntica e independentemente distribúıdos como Normal
(0, σ2 Essa hipótese implica que as hipóteses 3, 4 e 5, mas é mais forte em razão das hipóteses de
independência e normalidade.
1.4 Forma funcional, variáveis dummy e números-́ındices
Todas as formas funcionais ja aprendidas nos caṕıtulos anteriores podem ser usadas nas regressões
de séries temporais, sendo o mais importante o logaritmo natural: regressões de séries temporais com
efeitos percentuais constantes aparecem com frequência no trabalho aplicado.
1.5 Tendência e sazonalidade
1.5.1 Caracterização de séries temporais com tendência
Muitas séries temporais econômicas têm uma tendência comum de crescer ao longo do tempo.
Temos de saber reconhecer que algumas séries contêm uma tendência temporal , com o prpósito de
obter inferência causal usando dados de séries temporais. Em muitos casos, dois processos de séries
temporais parecem ser correlacionados somente porque ambos estão apresentando a mesma tendência
ao longo do tempo, por causa de razões relacionadas com outros fatores não observados.
1.5.2 Usando variáveis de tendência na análise de regressão
O fenômeno de descobrir uma relação entre duas ou mais variáveis explicativas com tendência,
simplesmente em razão do fato de cada uma delas estar crescendo ao longo do tempo, é um exemplo
de um problema de regressão espúria. A adição de uma tendência temporal elimina esse problema.
Considere um modelo em que dois fatores observados, xt1 e xt2 afetem yt. Além disso, existem
fatores não observados que estão crescendo ou decrescendo ao longo do tempo. O modelo abaixo
demonstra isso
yt = β0 + β1xt1 + β2xt2 + β3t + ut. (8)
Este modelo se encaixa na estrutura da regressão linear múltipla com xt3 = t. A permissão para
a tendência nessa equação é reconhecer explicitamente que yt, pode estar crescendo ou decrescendo
ao longo do tempo, por razões essencialmente não relacionadas comxt1 e xt2 Se omitirmos t da
regressão e regressando yt sobre xt1 e xt2 geralmente obteremos estimadores viesados de β1 e β2:
efetivamente, omitimos uma variável importante, t, da regressão. Isso é verdade, especialmente se
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xt1 e xt2 apresentarem tendência, pois podem ser altamente correlacionadas com t.
1.5.3 Interpretação sobre a retirada da tendência de regressões com a inclusão de uma
tendência temporal
A inclusão de uma tendência temporal em um modelo de regressão cria uma interpretação inte-
ressante em termos da retirada da tendência da série de dados originais antes de usá-los na análise
de regressão.
Quando regredimos yt sobre xt1, xt2 et, obtemos a equação estimada
ŷt = β̂0 + β̂1xt1 + β̂2xt2 + β̂3t (9)
Se t for omitida da equação, não ocorrerá remoção da tendência, e yt poderá parecer relacionada
com uma ou mais das variáveis xtj simplesmente porque cada uma contém uma tendência. Se o termo
tendência for estatisticamente significante e os resultados mudarem de maneira importante quando
uma tendência temporal for adicionada a uma regressão, os resultados iniciais sem uma tendência
devem ser tratados com desconfiança.
β̂1 e β̂2 mostram que é uma boa ideia incluir uma tendência na regressão se qualquer variável
independente tiver uma tendência, mesmo se a variável yt não tiver. Se yt não tem uma tendência
observável e xt1 está crescendo ao longo do tempo, então a exclusão de uma tendência da regressão
pode fazer parecer que xt1 não tem efeito em yt.
1.5.4 Cálculo do R-Quadrado quando a variável dependente apresenta tendência
Normalmente apresentam valores elevados em regressões de séries temporais. Os R-Quadrados
usuais e ajustados de regressões de séries temporais podem ser artificialmente elevados quando a
variável dependente apresentar uma tendência. Lembre-se de que R2 é uma medida de quão grande
é a variável do erro em relação à variação de y.
1.5.5 Sazonalidade
Quando uma série temporal é observada em intervalos mensais ou trimestrais, ela pode apresentar
sazonalidade. Embora muitas apresentem, nem todas o fazem. Por exemplo, não existe padrão
sazonal observável nas taxas mensais de juros ou de inflação. Séries que apresentam padrão sazonal,
são frequentemente ajustadas sazonalmente antes de serem publicadas.
Algumas vezes trabalhamos com dados não ajustados, e é bom sabermos que existem métodos
simples para o tratamento da sazonalidade em modelos de regressão, geralmente podemos incluir um
conjunto de variáveis dummy sazonais para explicar a sazonalidade nas variáveis.
Séries temporais que exibem padrões sazonais também podem ter tendências, em cujo caso,
devemos estimar um modelo de regressão com uma tendência temporal e variáveis dummy sazonais.
As regressões podem ser interpretadas como regressão cujas séries tiveram tanto uma tendência como
a sazonalidade removidas.
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Referências
[1] Jeffrey M Wooldridge. Introdução à econometria. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
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