Coletânea de provas (Segunda Chamada) de física 3 UFRJ

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Universidade Federal do Rio de Ja-
neiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2015/1 – 2a Prova de Re-
posição: 07/09/2015
Exam, Form: A
Name:
Student Number:
TA:
Date:
Formulário
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V =
1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v , C = ǫ0
A
d
, U =
1
2
CV 2 , u = −~p · ~E
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× r̂
|~r|2
, ~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕ̂
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
LI2 ,
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,7 = 4,9 pontos)
1. Uma corrente estacionária percorre o circuito condu-
tor abaixo. Qual é o módulo do campo magnético no
ponto P?
(a)
17µ0Iθ
24πa
.
(b) 0 .
(c)
7µ0I
12a
.
(d)
17µ0I
12a
.
(e)
µ0Iθ
12πa
.
(f)
7µ0Iθ
24πa
.
2. Três corpos de teste, de mesma carga total Q, estão si-
tuados na região interna de um capacitor ideal de pla-
cas planas e paralelas (muito extensas): (I) uma chapa
circular, com densidade arbitrária; (II) uma part́ıcula
(pontual), e (III) uma chapa triangular, com densi-
dade arbitrária. Assinale a alternativa que melhor
indica a ordem entre os módulos das forças elétricas
sobre esses três corpos.
(a) Nada pode ser afirmado,
sem informar, explicita-
mente, as densidades e
distâncias.
(b) FI > FII > FIII .
(c) FI < FII < FIII .
(d) FI > FIII > FII .
(e) FI < FIII < FII .
(f) FII > FI > FIII .
(g) FII < FI < FIII .
(h) FI = FII = FIII .
1
3. Considere duas distribuições lineares, conforme mos-
tra a figura, com a mesma carga total Q: (I) um
anel circular uniformemente carregado, de raio R,
e (II) um anel semi-circular uniformemente carre-
gado, de raio também R. Assinale a opção que
indica corretamente o campo elétrico e o poten-
cial, de cada distribuição, no centro P. Suponha
que o potencial é tomado como zero no infinito.
(a) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
4π2ǫ0R2
x̂, VII =
Q
4πǫ0R
.
(b) EI =
Q
4πǫ0R2
x̂, VI = 0;
EII = −
Q
2π2ǫ0R2
x̂, VII =
Q
8πǫ0R
.
(c) EI = 0, VI = 0;
EII =
Q
4πǫ0R2
x̂, VII =
Q
4πǫ0R
.
(d) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
8πǫ0R2
x̂, VII =
Q
8πǫ0R
.
(e) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
2π2ǫ0R2
x̂, VII =
Q
4πǫ0R
.
4. Calcule a força magnética resultante sobre o pedaço
de fio, através do qual passa uma corrente elétrica
estacionária de intensidade I, composto por dois seg-
mentos retiĺıneos, de comprimento L, muito grande, e
uma semicircunferência de ćırculo, de raio a, na pre-
sença de um campo magnético constante (estacionário
e uniforme) ~B = Bŷ, B = const > 0 .
(a) 2IaBẑ .
(b) −2IaBẑ .
(c) 2ILBẑ .
(d) −2ILBẑ .
(e) 2I(a+ L)Bẑ .
(f) −2I(a+ L)Bẑ .
(g) 2I(a− L)Bẑ .
(h) −2I(a− L)Bẑ .
5. Considere as seguintes grandezas: (I) fluxo do campo
elétrico; (II) densidade de corrente elétrica; (III) força
eletromotriz. Assinale a opção em que o caráter esca-
lar ou vetorial de cada uma dessas grandezas, respec-
tivamente, está corretamente indicado.
(a) escalar; escalar; escalar.
(b) escalar; vetorial; vetorial.
(c) vetorial; vetorial; escalar.
(d) escalar; vetorial; escalar.
(e) vetorial; escalar; escalar.
(f) vetorial; vetorial; vetorial.
(g) vetorial; escalar; vetorial.
(h) escalar; escalar; vetorial.
2
6. Sejam um fio retilineo infinito, coincidente com o eixo
Z, percorrido por uma corrente estacionária de inten-
sidade I e três espiras condutoras retangulares, C1, C2
e C3, inicialmente coplanares com o fio. A espira C1
move-se em pura translação na direção de Z. A es-
pira C2 move-se em pura rotação ŕıgida, em torno do
eixo Z (permanecendo sempre coplanar com tal eixo).
A espira C3 move-se tambem em pura rotação ŕıgida,
mas em torno do eixo de simetria perpendicular a seu
plano (que passa pelo seu centro). Em qual(is) das
espiras há corrente induzida?
(a) Nenhuma das três
(b) Somente C1
(c) Somente C2
(d) Somente C3
(e) C1 e C2
(f) C1 e C3
(g) C2 e C3
(h) C1, C2 e C3
7. Considere as seguintes afirmativas: (I) a lei de força de
Coulomb vale tanto para part́ıculas como para corpos
extensos, contanto que estejam em repouso em um
referencial inercial; (II) a lei de Gauss só vale para
part́ıculas em repouso em um referencial inercial, e
(III) um campo elétrico criado por part́ıculas em re-
pouso em um referencial inercial é sempre conserva-
tivo. Qua(is) delas é(são) verdadeira(s)?
(a) Nenhuma delas é verdadeira.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas são verdadeiras.
3
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,1 = 5,1 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3 pontos] Considere uma esfera de raio R, carregada com a densidade volumar de carga ρ(r) = αr2, sendo α uma
constante positiva, e uma barra de comprimento ℓ e densidade linear de carga uniforme λ. A barra está orientada
para o centro da esfera e o seu ponto médio está a uma distância a do centro da esfera, sendo a− ℓ/2 > R. Escolha
os eixos cartesianos como indica a figura, isto é, com a origem no centro da esfera e a barra ao longo do eixo OY .
(a) [0,6 ponto] Calcule a carga total da esfera.
q
ρ(r) = αr2
a− ℓ/2 a + ℓ/2
λ
R
Z
Y
X
(b) [1,2 ponto] Utilizando a Lei de Gauss, calcule o campo eletrostático criado apenas pela esfera em um ponto
genérico no interior e no exterior da mesma.
(c) [1,2 ponto] Calcule a força eletrostática exercida pela esfera sobre a haste.
2. [2,1 pontos] Um cabo coaxial é composto por um fio sólido, ciĺındrico, circular, de raio R, envolto por uma casca
espessa, ciĺındrica, também circular, coaxial, de raios a e b, tais que R < a < b. Ambos os cilindros são muito
longos e têm o eixo comum Z. Através do fio interno, passa uma corrente elétrica estacionária, cuja densidade de
corrente é dada por ~Jint = Cr ẑ, onde C = const > 0 e r é a distância até o eixo do fio. Através da casca externa,
passa uma corrente estacionária, cuja densidade de corrente é dada por ~Jext = −J0 ẑ, onde J0 = const > 0.
(a) [0,5 ponto] Qual é a (intensidade de) corrente elétrica na casca externa?
(b) [1,6 ponto] Determine o campo magnético ~B em cada uma das quatro regiões em que o cabo “divide” o espaço.
4
Answer Key for Exam A
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,7 = 4,9 pontos)
1. (f)
2. (h)
3. (e)
4. (b)
5. (d)
6. (d)
7. (d)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,1 = 5,1 pontos)
1. Resolução:
(a) A carga da esfera é dada por
Q =
∫
esfera
ρ dV =
∫ R
0
αr2 4πr2 dr = 4πα
∫ R
0
r4 dr =
4
5
παR5 .
(b) Devido à simetria esférica da distribuição de cargas, podemos escrever E(r) = Er(r) r̂. Desse modo, escolhemos
uma superf́ıcie gaussiana esférica de raio genérico r e com centro coincidente com o centro da esfera, denotada por
S. Utilizando a lei de Gauss, temos
∮
S
Er(r) r̂ · n̂ dA =
Qint(S)
ǫ0
,
onde Qint(S)é a carga no interior de S. Com essa escolha de S, vemos que n̂ = r̂, de modo que r̂ · n̂ = 1. Além
disso, Er(r) é constante nessa superf́ıcie, o que nos permite escrever
4πr2Er(r) =
Qint(S)
ǫ0
=⇒ Er(r) =
Qint(S)
4πǫ0r2
.
Precisamos agora dividir o cálculo em duas partes: na primeira, suporemos o ponto P no qual desejamos calcular
o campo fora da esfera e, na segunda, consideraremos esse ponto dentro da esfera.
Ponto P fora da esfera
Nesse caso, Qint(S) é a carga Q da esfera, calculada no item anterior, de modo que, para pontos fora da esfera, o
campo é o mesmo que o de uma carga puntiforme, de carga Q, localizada no centro da esfera, ou seja,
E(r) =
Q
4πǫ0
r̂
r2
, (r > R) .
Ponto P dentro da esfera
Nesse caso, a carga interna à superćıcie gaussiana é dada por Qint(S) =
4
5
παr5 (o cálculo é análogo ao feito no item
anterior, apenas muda o valor do raio da esfera, R 7→ r). Consequentemente, temos para Er(r):
Er(r) =
4
5
παr5
4πǫ0r2
=
αr3
5ǫ0
=⇒ E(r) =
αr3
5ǫ0
r̂ , (0 ≤ r < R) .
Note que o campo é cont́ınuoem r = R, de modo que podemos trocar (0 ≤ r < R) por (0 ≤ r ≤ R) na ltima
equação.
(c) A força dFh sobre um elemento infinitesimal de carga da haste dq = λdy, localizado entre y e y+dy, é dada por
dFh = dqEesf(0, y, 0), onde Eesf(0, y, 0) é o campo criado pela esfera carregada na posição do elemento de carga
da haste. Substituindo a expressão para o campo produzido pela esfera em um ponto fora da mesma, temos
dFh = dqEesf(0, y, 0) =
Qλdy
4πǫ0y2
ŷ .
Somando sobre todos os elementos de carga da haste, obtemos
Fh =
Qλ
4πǫ0
ŷ
∫ a+ ℓ
2
a− ℓ
2
dy
y2
=
Qλ
4πǫ0
[
1
a− ℓ/2
−
1
a− ℓ/2
]
ŷ
=
Qλ
4πǫ0
ℓ
(a2 − ℓ2/4)
ŷ .
�
2
2. Resolução:
(a) [0,5] Na casca externa, temos
Iext =
∫
Sext
Jext · n̂ dA =
∫
Sext
(−J0 ẑ) · ẑ dA
= −J0
∫
Sext
dA = −J0Aext ,
ou seja,
Iext = −J0π(b
2 − a2) . (1)
�
(b) [1,6] Devido à simetria ciĺındrica da distribuição estacionária de corrente e à lei de Gauss do magnetismo, em
qualquer uma das quatro regiões, o campo magnético, só terá componente azimutal (circular), ou seja,1
~B(r, ϕ) = Bϕ(r) ϕ̂(ϕ) .
Isso tudo sugere, pois, que usemos a lei de Ampère e que tomemos, como curva ampèriana, uma circunferência de
ćırculo, concêntrico com o eixo da distribuição de corrente e perpendicular ao seu eixo, de raio genérico r. Assim,
a expressão funcional para a circulação do campo magnético ao longo da ampériana fica, em qualquer uma das
quatro regiões, igual a
Γ ~B[C] :=
∮
C
~B · dℓ =
∮
C
Bϕ(r) ϕ̂(ϕ) · dℓϕ ϕ̂
=
∮
C
Bϕ(r)dℓϕ = Bϕ(r)
∮
C
dℓϕ ,
ou seja,
Γ ~B[C] = 2πrBϕ(r) .
A intensidade de corrente encerrada pela curva ampèriana dependerá, contudo, da região em questão. De fato,
• 0 ≤ r ≤ R: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) é dada por
Iint =
∫
Sint
Crẑ · ẑ dA
=
∫
Sint
Cr 2πr dr
= 2πC
∫ R
r=0
r2 dr ,
ou seja,
Iint =
2
3
πCR3 . (2)
Eq. (??), contanto que, nela, troquemos R por r, ou seja:
Ienc(r) = Iint(r)
=
2
3
πCr3 .
1A rigor, ainda poderia haver uma componente axial constante, que, suporemos nula, como usual.
3
Então, pela lei de Ampère, vem
Bϕ(r)2πr =
2
3
µ0πCr
3 ,
e, finalmente,
~B =
1
3
µ0Cr
2 ϕ̂ .
• R ≤ r ≤ a: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) é dada pela corrente toda do fio interno, ou seja, pela
Eq. (??):
Ienc(r) = Iint
=
2
3
πCR3 .
Então, pela lei de Ampère, vem
Bϕ(r)2πr =
2
3
µ0πCR
3 ,
e, finalmente, [0,2]
~B =
µ0Iint
2πr
ϕ̂ =
1
3
µ0CR
3
r
ϕ̂ .
• a ≤ r ≤ b: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) é dada pela corrente do fio interno mais a corrente na casca
externa, Eq, (??), contanto que, nessa última, troquemos b por r, ou seja:
Ienc(r) = Iint + Iext(r)
=
2
3
πCR3 − J0π(r
2 − a2) .
Então, pela lei de Ampère, vem
Bϕ(r)2πr = µ0π
[
2
3
πCR3 − J0(r
2 − a2)
]
,
e, finalmente,
~B = µ0
[
1
3
CR3
r
−
1
2
J0
(
r −
a2
r
)]
ϕ̂ .
• b ≤ r < ∞: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) é dada pela corrente total, Eq. (??) + Eq. (??), do fio
interno mais a corrente na casca externa, ou seja:
Ienc(r) = Iint + Iext .
Então, pela lei de Ampère, vem
Bϕ(r)2πr = µ0(Iint + Iext) ,
e, finalmente, [0,2]
~B = µ0
Iint + Iext
2πr
ϕ̂ .
�
4
Universidade Federal do Rio de Ja-
neiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2015/1 – 2a Prova de Re-
posição: 07/09/2015
Exam, Form: B
Name:
Student Number:
TA:
Date:
Formulário
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V =
1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v , C = ǫ0
A
d
, U =
1
2
CV 2 , u = −~p · ~E
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× r̂
|~r|2
, ~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕ̂
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
LI2 ,
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,7 = 4,9 pontos)
1. Calcule a força magnética resultante sobre o pedaço
de fio, através do qual passa uma corrente elétrica
estacionária de intensidade I, composto por dois seg-
mentos retiĺıneos, de comprimento L, muito grande, e
uma semicircunferência de ćırculo, de raio a, na pre-
sença de um campo magnético constante (estacionário
e uniforme) ~B = Bŷ, B = const > 0 .
(a) 2IaBẑ .
(b) −2IaBẑ .
(c) 2ILBẑ .
(d) −2ILBẑ .
(e) 2I(a+ L)Bẑ .
2. Uma corrente estacionária percorre o circuito condu-
tor abaixo. Qual é o módulo do campo magnético no
ponto P?
(a)
17µ0Iθ
24πa
.
(b) 0 .
(c)
7µ0I
12a
.
(d)
17µ0I
12a
.
(e)
µ0Iθ
12πa
.
(f)
7µ0Iθ
24πa
.
1
3. Considere duas distribuições lineares, conforme mos-
tra a figura, com a mesma carga total Q: (I) um
anel circular uniformemente carregado, de raio R,
e (II) um anel semi-circular uniformemente carre-
gado, de raio também R. Assinale a opção que
indica corretamente o campo elétrico e o poten-
cial, de cada distribuição, no centro P. Suponha
que o potencial é tomado como zero no infinito.
(a) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
4π2ǫ0R2
x̂, VII =
Q
4πǫ0R
.
(b) EI =
Q
4πǫ0R2
x̂, VI = 0;
EII = −
Q
2π2ǫ0R2
x̂, VII =
Q
8πǫ0R
.
(c) EI = 0, VI = 0;
EII =
Q
4πǫ0R2
x̂, VII =
Q
4πǫ0R
.
(d) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
8πǫ0R2
x̂, VII =
Q
8πǫ0R
.
(e) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
2π2ǫ0R2
x̂, VII =
Q
4πǫ0R
.
4. Três corpos de teste, de mesma carga total Q, estão si-
tuados na região interna de um capacitor ideal de pla-
cas planas e paralelas (muito extensas): (I) uma chapa
circular, com densidade arbitrária; (II) uma part́ıcula
(pontual), e (III) uma chapa triangular, com densi-
dade arbitrária. Assinale a alternativa que melhor
indica a ordem entre os módulos das forças elétricas
sobre esses três corpos.
(a) Nada pode ser afirmado,
sem informar, explicita-
mente, as densidades e
distâncias.
(b) FI > FII > FIII .
(c) FI < FII < FIII .
(d) FI > FIII > FII .
(e) FI < FIII < FII .
(f) FII > FI > FIII .
(g) FII < FI < FIII .
(h) FI = FII = FIII .
5. Considere as seguintes grandezas: (I) fluxo do campo
elétrico; (II) densidade de corrente elétrica; (III) força
eletromotriz. Assinale a opção em que o caráter esca-
lar ou vetorial de cada uma dessas grandezas, respec-
tivamente, está corretamente indicado.
(a) escalar; escalar; escalar.
(b) escalar; vetorial; vetorial.
(c) vetorial; vetorial; escalar.
(d) escalar; vetorial; escalar.
(e) vetorial; escalar; escalar.
(f) vetorial; vetorial; vetorial.
(g) vetorial; escalar; vetorial.
(h) escalar; escalar; vetorial.
2
6. Sejam um fio retilineo infinito, coincidente com o eixo
Z, percorrido por uma corrente estacionária de inten-
sidade I e três espiras condutoras retangulares, C1, C2
e C3, inicialmente coplanares com o fio. A espira C1
move-se em pura translação na direção de Z. A es-
pira C2 move-se em pura rotação ŕıgida, em torno do
eixo Z (permanecendo sempre coplanar com tal eixo).
A espira C3 move-se tambem em pura rotação ŕıgida,
mas em torno do eixo de simetria perpendicular a seu
plano (que passa pelo seu centro). Em qual(is) das
espiras há corrente induzida?
(a) Nenhuma das três
(b) Somente C1
(c) Somente C2
(d) Somente C3
(e) C1 e C2
(f) C1 e C3
(g) C2 e C3
(h) C1, C2 e C3
7. Considere as seguintes afirmativas: (I) a lei de força de
Coulomb vale tanto para part́ıculas como para corpos
extensos, contanto que estejam em repouso em um
referencial inercial; (II) a lei de Gauss só vale para
part́ıculas em repouso em um referencial inercial, e
(III) um campo elétrico criado por part́ıculas em re-
pouso em um referencial inercial é sempre conserva-
tivo. Qua(is) delas é(são) verdadeira(s)?
(a) Nenhuma delas é verdadeira.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas são verdadeiras.
3
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,1 = 5,1 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3 pontos] Considere uma esfera de raio R, carregada com a densidade volumar de carga ρ(r) = αr2, sendo α uma
constante positiva, e uma barra de comprimentoℓ e densidade linear de carga uniforme λ. A barra está orientada
para o centro da esfera e o seu ponto médio está a uma distância a do centro da esfera, sendo a− ℓ/2 > R. Escolha
os eixos cartesianos como indica a figura, isto é, com a origem no centro da esfera e a barra ao longo do eixo OY .
(a) [0,6 ponto] Calcule a carga total da esfera.
q
ρ(r) = αr2
a− ℓ/2 a + ℓ/2
λ
R
Z
Y
X
(b) [1,2 ponto] Utilizando a Lei de Gauss, calcule o campo eletrostático criado apenas pela esfera em um ponto
genérico no interior e no exterior da mesma.
(c) [1,2 ponto] Calcule a força eletrostática exercida pela esfera sobre a haste.
2. [2,1 pontos] Um cabo coaxial é composto por um fio sólido, ciĺındrico, circular, de raio R, envolto por uma casca
espessa, ciĺındrica, também circular, coaxial, de raios a e b, tais que R < a < b. Ambos os cilindros são muito
longos e têm o eixo comum Z. Através do fio interno, passa uma corrente elétrica estacionária, cuja densidade de
corrente é dada por ~Jint = Cr ẑ, onde C = const > 0 e r é a distância até o eixo do fio. Através da casca externa,
passa uma corrente estacionária, cuja densidade de corrente é dada por ~Jext = −J0 ẑ, onde J0 = const > 0.
(a) [0,5 ponto] Qual é a (intensidade de) corrente elétrica na casca externa?
(b) [1,6 ponto] Determine o campo magnético ~B em cada uma das quatro regiões em que o cabo “divide” o espaço.
4
Answer Key for Exam B
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,7 = 4,9 pontos)
1. (b)
2. (f)
3. (e)
4. (h)
5. (d)
6. (d)
7. (d)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,1 = 5,1 pontos)
1. Resolução:
(a) A carga da esfera é dada por
Q =
∫
esfera
ρ dV =
∫ R
0
αr2 4πr2 dr = 4πα
∫ R
0
r4 dr =
4
5
παR5 .
(b) Devido à simetria esférica da distribuição de cargas, podemos escrever E(r) = Er(r) r̂. Desse modo, escolhemos
uma superf́ıcie gaussiana esférica de raio genérico r e com centro coincidente com o centro da esfera, denotada por
S. Utilizando a lei de Gauss, temos
∮
S
Er(r) r̂ · n̂ dA =
Qint(S)
ǫ0
,
onde Qint(S)é a carga no interior de S. Com essa escolha de S, vemos que n̂ = r̂, de modo que r̂ · n̂ = 1. Além
disso, Er(r) é constante nessa superf́ıcie, o que nos permite escrever
4πr2Er(r) =
Qint(S)
ǫ0
=⇒ Er(r) =
Qint(S)
4πǫ0r2
.
Precisamos agora dividir o cálculo em duas partes: na primeira, suporemos o ponto P no qual desejamos calcular
o campo fora da esfera e, na segunda, consideraremos esse ponto dentro da esfera.
Ponto P fora da esfera
Nesse caso, Qint(S) é a carga Q da esfera, calculada no item anterior, de modo que, para pontos fora da esfera, o
campo é o mesmo que o de uma carga puntiforme, de carga Q, localizada no centro da esfera, ou seja,
E(r) =
Q
4πǫ0
r̂
r2
, (r > R) .
Ponto P dentro da esfera
Nesse caso, a carga interna à superćıcie gaussiana é dada por Qint(S) =
4
5
παr5 (o cálculo é análogo ao feito no item
anterior, apenas muda o valor do raio da esfera, R 7→ r). Consequentemente, temos para Er(r):
Er(r) =
4
5
παr5
4πǫ0r2
=
αr3
5ǫ0
=⇒ E(r) =
αr3
5ǫ0
r̂ , (0 ≤ r < R) .
Note que o campo é cont́ınuo em r = R, de modo que podemos trocar (0 ≤ r < R) por (0 ≤ r ≤ R) na ltima
equação.
(c) A força dFh sobre um elemento infinitesimal de carga da haste dq = λdy, localizado entre y e y+dy, é dada por
dFh = dqEesf(0, y, 0), onde Eesf(0, y, 0) é o campo criado pela esfera carregada na posição do elemento de carga
da haste. Substituindo a expressão para o campo produzido pela esfera em um ponto fora da mesma, temos
dFh = dqEesf(0, y, 0) =
Qλdy
4πǫ0y2
ŷ .
Somando sobre todos os elementos de carga da haste, obtemos
Fh =
Qλ
4πǫ0
ŷ
∫ a+ ℓ
2
a− ℓ
2
dy
y2
=
Qλ
4πǫ0
[
1
a− ℓ/2
−
1
a− ℓ/2
]
ŷ
=
Qλ
4πǫ0
ℓ
(a2 − ℓ2/4)
ŷ .
�
2
2. Resolução:
(a) [0,5] Na casca externa, temos
Iext =
∫
Sext
Jext · n̂ dA =
∫
Sext
(−J0 ẑ) · ẑ dA
= −J0
∫
Sext
dA = −J0Aext ,
ou seja,
Iext = −J0π(b
2 − a2) . (1)
�
(b) [1,6] Devido à simetria ciĺındrica da distribuição estacionária de corrente e à lei de Gauss do magnetismo, em
qualquer uma das quatro regiões, o campo magnético, só terá componente azimutal (circular), ou seja,2
~B(r, ϕ) = Bϕ(r) ϕ̂(ϕ) .
Isso tudo sugere, pois, que usemos a lei de Ampère e que tomemos, como curva ampèriana, uma circunferência de
ćırculo, concêntrico com o eixo da distribuição de corrente e perpendicular ao seu eixo, de raio genérico r. Assim,
a expressão funcional para a circulação do campo magnético ao longo da ampériana fica, em qualquer uma das
quatro regiões, igual a
Γ ~B[C] :=
∮
C
~B · dℓ =
∮
C
Bϕ(r) ϕ̂(ϕ) · dℓϕ ϕ̂
=
∮
C
Bϕ(r)dℓϕ = Bϕ(r)
∮
C
dℓϕ ,
ou seja,
Γ ~B[C] = 2πrBϕ(r) .
A intensidade de corrente encerrada pela curva ampèriana dependerá, contudo, da região em questão. De fato,
• 0 ≤ r ≤ R: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) é dada por
Iint =
∫
Sint
Crẑ · ẑ dA
=
∫
Sint
Cr 2πr dr
= 2πC
∫ R
r=0
r2 dr ,
ou seja,
Iint =
2
3
πCR3 . (2)
Eq. (??), contanto que, nela, troquemos R por r, ou seja:
Ienc(r) = Iint(r)
=
2
3
πCr3 .
2A rigor, ainda poderia haver uma componente axial constante, que, suporemos nula, como usual.
3
Então, pela lei de Ampère, vem
Bϕ(r)2πr =
2
3
µ0πCr
3 ,
e, finalmente,
~B =
1
3
µ0Cr
2 ϕ̂ .
• R ≤ r ≤ a: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) é dada pela corrente toda do fio interno, ou seja, pela
Eq. (??):
Ienc(r) = Iint
=
2
3
πCR3 .
Então, pela lei de Ampère, vem
Bϕ(r)2πr =
2
3
µ0πCR
3 ,
e, finalmente, [0,2]
~B =
µ0Iint
2πr
ϕ̂ =
1
3
µ0CR
3
r
ϕ̂ .
• a ≤ r ≤ b: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) é dada pela corrente do fio interno mais a corrente na casca
externa, Eq, (??), contanto que, nessa última, troquemos b por r, ou seja:
Ienc(r) = Iint + Iext(r)
=
2
3
πCR3 − J0π(r
2 − a2) .
Então, pela lei de Ampère, vem
Bϕ(r)2πr = µ0π
[
2
3
πCR3 − J0(r
2 − a2)
]
,
e, finalmente,
~B = µ0
[
1
3
CR3
r
−
1
2
J0
(
r −
a2
r
)]
ϕ̂ .
• b ≤ r < ∞: nesse caso, a corrente encerrada Ienc(r) é dada pela corrente total, Eq. (??) + Eq. (??), do fio
interno mais a corrente na casca externa, ou seja:
Ienc(r) = Iint + Iext .
Então, pela lei de Ampère, vem
Bϕ(r)2πr = µ0(Iint + Iext) ,
e, finalmente, [0,2]
~B = µ0
Iint + Iext
2πr
ϕ̂ .
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Segunda Chamada: 08/12/2014
Versão: A
Formulário
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V =
1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v , C = ǫ0
A
d
, U =
1
2
CV 2
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× r̂
|~r|2
, ~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕ̂
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
LI2 ,
Seção 1. Múltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. Seja um pentágono regular ABCDE de lado L inscrito
num ćırculo de raio R. Em cada um dos vértices A, C,
E, coloca-se uma part́ıcula de carga q, e em cada um
dos vértices B e D, coloca-se uma part́ıcula de carga
−q. Qual o trabalho W necessário para trazer uma
sexta part́ıcula puntiforme, de carga Q, do infinito até
o centro do pentágono regular?
(a) W = 0
(b) W = 5Qq/(4ǫ0πR)
(c) W = Qq/(4ǫ0πR)
(d) W = (5Qq/(4ǫ0πR)) + (5q
2/(4ǫ0πL))
(e) W = (Qq/(4ǫ0πR)) + (q
2/(4ǫ0πL))
(f) Nenhuma das opções anteriores
2. Seja um capacitor plano de capacitância C1 e carga
Q1, ligado a uma bateria que fornece uma d.d.p. igual
a ∆V . A distância entre as placas inicialmente é d1, e
em um dado momento triplica-se essa distância para
d2 = 3d1, sem jamais desconectar o capacitor da ba-
teria. Quais são os novos valores da capacitância C2,
carga Q2 e energia armazenada U2?
(a) C2 = C1/3, Q2 = Q1, U2 = U1/3
(b) C2 = C1/3, Q2 = Q1/3, U2 = U1/3
(c) C2 = C1, Q2 = Q1/3, U2 = U1/9
(d) C2 = C1/3, Q2 = Q1, U2 = 3U1
(e) C2 = C1, Q2 = Q1, U2 = U1
1
3. Sejam um fio retilineo infinito, coincidente com o eixo
Z, percorrido por uma corrente estacionáriade inten-
sidade I e três espiras condutoras retangulares, C1, C2
e C3, inicialmente coplanares com o fio. A espira C1
move-se em pura translação na direção de Z. A es-
pira C2 move-se em pura rotação ŕıgida, em torno do
eixo Z (permanecendo sempre coplanar com tal eixo).
A espira C3 move-se tambem em pura rotação ŕıgida,
mas em torno do eixo de simetria perpendicular a seu
plano (que passa pelo seu centro). Em qual(is) das
espiras há corrente induzida?
(a) Somente C1
(b) Somente C2
(c) Somente C3
(d) C1 e C2
(e) C1 e C3
(f) C2 e C3
4. Considere as seguintes afirmações:
I - No interior de um condutor perfeito, devido à lei
de Gauss, o campo elétrico é sempre zero.
II - Devido à lei de Gauss, se a carga total Q de um
corpo finito é nula, o campo elétrico em seu exterior
é zero.
III - A lei de Gauss só é valida em situações onde há
alguma simetria.
São verdadeiras as afirmativas:
(a) Nenhuma das três
(b) Somente I
(c) Somente II
(d) Somente III
(e) I e II
(f) I e III
(g) II e III
(h) I, II e III
5. Considere as seguintes afirmações:
I - Diferentemente da d.d.p. entre dois pontos A e B,
a f.e.m. E =
∫
A→B
~E · d~l pode depender do caminho
que liga A a B.
II - A lei de Gauss só é válida para part́ıculas carre-
gadas em repouso.
III - O fluxo de campo magnético através de qualquer
superf́ıcie é sempre zero.
São verdadeiras as afirmativas:
(a) Nenhuma das três
(b) Somente I
(c) Somente II
(d) Somente III
(e) I e II
(f) I e III
(g) II e III
(h) I, II e III
6. Considere um fio retiĺıneo e infinito, perpendicular ao
plano da página, e uma curva amperiana quadrada
orientada C, de lado a, no plano da página. O fio
passa pela espira por um de seus vértices, conforme
mostra a figura. Sabendo-se que pelo fio passa uma
corrente estacionária I, qual é a circulação do campo
magnético ~B gerado pelo fio sobre C?
I
(a) µ0I
(b) µ0I/2
(c) µ0I/(2a)
(d) 0
(e) µ0I/4
(f) µ0I/(4a)
2
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,8 = 5,8 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3 pontos] Um cilindro muito longo, de raio a, possui densidade volumétrica de carga dada por ρ(s) = β/s, onde
β é uma constante e s é a distância de um ponto dentro do cilindro até o seu eixo. Tangenciando esse cilindro
encontra-se um plano infinito com densidade superficial de carga σ = −β/2, como mostrado na figura abaixo.
x
y
O
A
P
(a) [0,4 ponto] Consideremos inicialmente o campo elétrico ~Ecil produzido apenas pelo cilindro. Qual o sistema de
coordenadas mais conveniente para descrevê-lo? Por quê?
(b) [0,4 ponto] Qual é a direção de ~Ecil ? (Justifique!!)
(c) [0,6 ponto] Qual é o módulo de ~Ecil ? (Justifique!!)
(d) [0,6 ponto] Consideremos agora somente o campo elétrico ~Epl produzido pelo plano. Qual é a sua direção e seu
módulo? (Justifique!!)
(e) [0,4 ponto] Determine o campo elétrico total ~ET = ~Ecil + ~Epl no ponto P de coordenadas (x0, 0, 0), vide figura.
(f) [0,6 ponto] Determine a diferença de potencial entre o ponto A e o centro do cilindro ∆V = VA−VO.
2. [2,8 pontos] Uma barra metálica horizontal PQ de comprimento ℓ e resistência R desliza sobre dois trilhos metálicos
verticais que estão unidos em seus extremos superiores por uma haste metálica horizontal fixa AB. O conjunto está
localizado em uma região do espaço à direita de um fio retiĺıneo vertical muito longo, por onde flui uma corrente
estacionária I, para cima. O fio e a espira ABQPA estão no mesmo plano e o trilho vertical mais próximo ao
fio está a uma distância ℓ do mesmo, como indica a figura . No instante considerado, a distância entre as hastes
horizontais é z = |~z| e a velocidade da haste inferior aponta para baixo e possui módulo v. Sabe-se ainda que (i)
todo o sistema está sujeito à um campo gravitacional constante ~g e que (ii) os efeitos de auto-indutância nesse
problema são despréıveis.
~g
ŷ
ẑ
⊗x̂
A B
P Q
~z
×
n̂
~v
ℓ
I
ℓ
3
(a) [1 ponto] Sabendo-se que o campo do fio retiĺıneo é dado (vide formulário), determine a força eletromotriz
induzida pelo fio na espira ABQPA. (Justifique!!)
(b) [0,8 ponto] Determine o vetor força magnética sobre a haste PQ.
(c) [0,5 ponto] Sabendo-se que a haste possui massa M , calcule a sua velocidade terminal ~vt.
(d) [0,5 ponto] Determine a potência dissipada na barra, quando ela está caindo com a velocidade terminal.
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (c)
2. (b)
3. (c)
4. (a)
5. (b)
6. (e)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,8 = 5,8 pontos)
1. Resolução:
(a) O sistema de coordenadas cilindricas, centrado em um ponto arbitrário do eixo de simetria do cilindro, que
chamamos Z. Por convenção , chamamos s a distância ao eixo Z (sendo ŝ o versor correspondente), ϕ o ângulo
azimutal (sendo ϕ̂ o versor correspondente), e z a coordenada no eixo Z (sendo ẑ o versor correspondente) Tal
escolha se impõe devido a simetria ciĺındrica (ou seja, simetria axial + simetria de translação , ambas relativas ao
eixo do cilindro) que o sistema (nesse caso, um cilindro isolado) possui.
(b) Consideremos um plano A que contem o eixo de simetria do cilindro, logo dividindo-o em duas metades.
Consideremos agora um elemento infinitesimal arbitrário do cilindro, e sua imagem por reflexão através do plano
definido na frase anterior (que sempre existe pois o cilindro apresenta simetria de reflexão com relação a esse
plano). Devido à lei de Coulomb e à simetria de reflexão, esses dois elementos infinitesimais produzem campos
(infinitesimais) que possuem componentes idênticas na direção ŝ e componentes que se cancelam na direção ϕ̂.
Podemos agora considerar um plano B perpendicular ao eixo de simetria e fazer um racioćınio análogo, do qual
concluiremos dessa vez que as componentes em ẑ se cancelam (e, como anteriormente, as componentes em ŝ
se somam). Assim sendo, como o campo total do cilindro pode ser pensado como uma integração sobre essas
contribuições “em dupla”, vemos que ~Ecil = Ecilŝ.
(c) Sabendo que o campo é radial (das ciĺındricas), a simetria ciĺındrica garante que o módulo de tal campo
só depende da coordenada s, ou seja, temos ~Ecil = Ecil(s)ŝ. Assim sendo, podemos usar a lei de Gauss para
determinarmos Ecil(s). Tomando por gaussiana uma superf́ıcie ciĺındrica de altura L e raio s, co-axial ao cilindro
carregado, podemos obter tanto o fluxo de campo elétrico
ΦE =
∮
S
~Ecil(~s) · ~dA =
∫
tampas
=0
︷ ︸︸ ︷
~E(s) · ~dA+
∫
SL
E(s) dA
=1
︷ ︸︸ ︷
(ŝ · ŝ) = Ecil(s)
∫
SL
dA = 2πsLEcil(s) (1)
como a carga encerrada
Qenc =
∫
s<a
ρ(r′)d3r′ =
∫
s<a
β
s′
s′ds′dϕ′dz′ = 2πLβ
∫ s
0
ds′ = 2πLβs (2)
donde, igualando (1) e (2)/ǫ0, temos
Ecil(s) =
2πsLβ
2πsLǫ0
=
β
ǫ0
(3)
(d) O campo elétrico produzido pelo plano pode ser encontrado quase inteiramente por considerações de simetria.
A simetria axial em torno de qualquer eixo perpendicular ao plano garante que o campo só tem componente
perpendicular a esse plano, e a simetria de translação paralela ao plano garante que o módulo desse campo só
depende de x, onde x está indicado na figura. Temos, portanto, ~Epl = Epl(x)x̂. Vemos ainda, por simetria de
reflexão sobre o plano, que Epl(a− x) = −Epl(a + x)
Para encontrar Epl(x), podemos usar a lei de Gauss. Traçando uma superf́ıcie gaussiana clíındrica (circular reta)
tendo por geratriz o eixo X , vemos que
ΦE =
∮
S
~Epl(~s) · ~dA =
∫
Sl
=0
︷ ︸︸ ︷
E(s) · ~dA+
∫
Tesq
Epldydz
=1
︷ ︸︸ ︷
(−x̂ · −̂s)+
∫
Tdir
Epldydz
=1
︷ ︸︸ ︷
(x̂ · ŝ)
= Epl
∫
Tesq
dydz + Epl
∫
Tdir
dydz = 2EplAT (4)
e também que
Qenc =
∫
Tpl
σ(r′)d2r′ = −
β
2
∫
Tpl
dxdy = −
β
2
AT (5)
2
donde
Epl = −
βAT
4ǫ0AT
= −
β
4ǫ0
(6)
e portanto
Epl =



β
4ǫ0
x̂ (x < a)
− β
4ǫ0
x̂ (x > a)
(e) No ponto P temos
Etot = Epl + Ecil =
β
4ǫ0
x̂+
β
ǫ0
ŝ(x0, 0, 0) =
(
1
4
+ 1
)
β
ǫ0
x̂ =
5β
4ǫ0
x̂ (7)
(f) A diferença de potencial∆V = VA − VO é dada por
∆V =
∫ O
A
~Etot · ~dl = −
∫ a
0
Etotdx = −Etot
∫ a
0
dx = −
5βa
4ǫ0
(8)
�
2. Resolução:
(a) A força eletromotriz é dada pela lei de Faraday, ou seja, por
E = −
dΦ
dt
(9)
Assim sendo, precisamos da expressão para o fluxo Φ como função do tempo. Sabendo-se o campo magnético
gerado por um fio, podemos escrever
Φ =
∫
S(t)
~Bfio · ~dA =
∫ 2l
l
∫ z(t)
0
µ0I
2πy
ŷ · dAŷ =
µ0I
2π
∫ 2l
l
dy
y
∫ z(t)
0
dz =
µ0I
2π
z(t) log[y]
∣
∣
∣
2l
l
=
µ0I log 2
2π
z(t) (10)
donde
E = −
d
dt
[
µ0I log 2
2π
z(t)
]
= −
µ0I log 2
2π
v(t) (11)
onde v(t) é o módulo da velocidade da barra.
(b) Sabendo-se que a barra metálica tem resistência R, podemos obter a corrente induzida no circuito ABQPA
aplicando-se a lei de Ohm
Iind =
|E|
R
=
µ0I log 2
2πR
v(t) (12)
que, pela lei de Lenz, sabemos estar no sentido anti-horário. A força eletromagnética é então dada por
~FEM = Iind
∫ 2l
l
~dl × ~B =
µ0I log 2
2πR
v(t)
∫ 2l
l
(dyŷ)×
(
µ0I
2πy
)
x̂ =
µ20I
2 log 2
4π2R
v(t)
∫ 2l
l
dy
y
= −
(
µ0I log 2
2π
)2
v(t)
R
ẑ (13)
3
(c) Pela 2a lei de Newton, a velocidade terminal instála-se quando a força eletromagnética equilibra a força gravi-
tacional sofrida pela barra. Temos então
~FEM = − ~Fg ⇒
(
µ0I log 2
2π
)2
vterm
R
= Mg (14)
ou seja
~vterm =
(
2π
µ0I log 2
)2
MgRẑ (15)
(d) A potência dissipada na barra por efeito Joule é dada por
Pd = RI
2
ind = R
(
µ0I log 2
2πR
vterm
)2
=
(
µ0I log 2
2πR
)2
v2term =
R
R2
µ20I
2 2 log 2
4π2
(
4π2MgR
µ20I
2 2 log 2
)2
= R
(
2πMg
µ0I log 2
)2
(16)
que, com a ajuda de (14), podemos escrever
Pd = Mgvterm (17)
ou seja, a potência dissipada na barra é exatamente aquela forncecida pelo campo gravitacional.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Segunda Chamada: 08/12/2014
Versão: B
Formulário
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V =
1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v , C = ǫ0
A
d
, U =
1
2
CV 2
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× r̂
|~r|2
, ~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕ̂
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
LI2 ,
Seção 1. Múltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. Considere as seguintes afirmações:
I - Diferentemente da d.d.p. entre dois pontos A e B,
a f.e.m. E =
∫
A→B
~E · d~l pode depender do caminho
que liga A a B.
II - A lei de Gauss só é válida para part́ıculas carre-
gadas em repouso.
III - O fluxo de campo magnético através de qualquer
superf́ıcie é sempre zero.
São verdadeiras as afirmativas:
(a) Nenhuma das três
(b) Somente I
(c) Somente II
(d) Somente III
(e) I e II
(f) I e III
(g) II e III
(h) I, II e III
2. Sejam um fio retilineo infinito, coincidente com o eixo
Z, percorrido por uma corrente estacionária de inten-
sidade I e três espiras condutoras retangulares, C1, C2
e C3, inicialmente coplanares com o fio. A espira C1
move-se em pura translação na direção de Z. A es-
pira C2 move-se em pura rotação ŕıgida, em torno do
eixo Z (permanecendo sempre coplanar com tal eixo).
A espira C3 move-se tambem em pura rotação ŕıgida,
mas em torno do eixo de simetria perpendicular a seu
plano (que passa pelo seu centro). Em qual(is) das
espiras há corrente induzida?
(a) Somente C1
(b) Somente C2
(c) Somente C3
(d) C1 e C2
(e) C1 e C3
(f) C2 e C3
1
3. Seja um pentágono regular ABCDE de lado L inscrito
num ćırculo de raio R. Em cada um dos vértices A, C,
E, coloca-se uma part́ıcula de carga q, e em cada um
dos vértices B e D, coloca-se uma part́ıcula de carga
−q. Qual o trabalho W necessário para trazer uma
sexta part́ıcula puntiforme, de carga Q, do infinito até
o centro do pentágono regular?
(a) W = 0
(b) W = 5Qq/(4ǫ0πR)
(c) W = Qq/(4ǫ0πR)
(d) W = (5Qq/(4ǫ0πR)) + (5q
2/(4ǫ0πL))
(e) W = (Qq/(4ǫ0πR)) + (q
2/(4ǫ0πL))
(f) Nenhuma das opções anteriores
4. Seja um capacitor plano de capacitância C1 e carga
Q1, ligado a uma bateria que fornece uma d.d.p. igual
a ∆V . A distância entre as placas inicialmente é d1, e
em um dado momento triplica-se essa distância para
d2 = 3d1, sem jamais desconectar o capacitor da ba-
teria. Quais são os novos valores da capacitância C2,
carga Q2 e energia armazenada U2?
(a) C2 = C1/3, Q2 = Q1, U2 = U1/3
(b) C2 = C1/3, Q2 = Q1/3, U2 = U1/3
(c) C2 = C1, Q2 = Q1/3, U2 = U1/9
(d) C2 = C1/3, Q2 = Q1, U2 = 3U1
(e) C2 = C1, Q2 = Q1, U2 = U1
5. Considere as seguintes afirmações:
I - No interior de um condutor perfeito, devido à lei
de Gauss, o campo elétrico é sempre zero.
II - Devido à lei de Gauss, se a carga total Q de um
corpo finito é nula, o campo elétrico em seu exterior
é zero.
III - A lei de Gauss só é valida em situações onde há
alguma simetria.
São verdadeiras as afirmativas:
(a) Nenhuma das três
(b) Somente I
(c) Somente II
(d) Somente III
(e) I e II
(f) I e III
(g) II e III
(h) I, II e III
6. Considere um fio retiĺıneo e infinito, perpendicular ao
plano da página, e uma curva amperiana quadrada
orientada C, de lado a, no plano da página. O fio
passa pela espira por um de seus vértices, conforme
mostra a figura. Sabendo-se que pelo fio passa uma
corrente estacionária I, qual é a circulação do campo
magnético ~B gerado pelo fio sobre C?
I
(a) µ0I
(b) µ0I/2
(c) µ0I/(2a)
(d) 0
(e) µ0I/4
(f) µ0I/(4a)
2
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,8 = 5,8 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3 pontos] Um cilindro muito longo, de raio a, possui densidade volumétrica de carga dada por ρ(s) = β/s, onde
β é uma constante e s é a distância de um ponto dentro do cilindro até o seu eixo. Tangenciando esse cilindro
encontra-se um plano infinito com densidade superficial de carga σ = −β/2, como mostrado na figura abaixo.
x
y
O
A
P
(a) [0,4 ponto] Consideremos inicialmente o campo elétrico ~Ecil produzido apenas pelo cilindro. Qual o sistema de
coordenadas mais conveniente para descrevê-lo? Por quê?
(b) [0,4 ponto] Qual é a direção de ~Ecil ? (Justifique!!)
(c) [0,6 ponto] Qual é o módulo de ~Ecil ? (Justifique!!)
(d) [0,6 ponto] Consideremos agora somente o campo elétrico ~Epl produzido pelo plano. Qual é a sua direção e seu
módulo? (Justifique!!)
(e) [0,4 ponto] Determine o campo elétrico total ~ET = ~Ecil + ~Epl no ponto P de coordenadas (x0, 0, 0), vide figura.
(f) [0,6 ponto] Determine a diferença de potencial entre o ponto A e o centro do cilindro ∆V = VA−VO.
2. [2,8 pontos] Uma barra metálica horizontal PQ de comprimento ℓ e resistência R desliza sobre dois trilhos metálicos
verticais que estão unidos em seus extremos superiores por uma haste metálica horizontal fixa AB. O conjunto está
localizado em uma região do espaço à direita de um fio retiĺıneo vertical muito longo, por onde flui uma corrente
estacionária I, para cima. O fio e a espira ABQPA estão no mesmo plano e o trilho vertical mais próximo ao
fio está a uma distância ℓ do mesmo, como indica a figura . No instante considerado, a distância entre as hastes
horizontais é z = |~z| e a velocidade da haste inferior aponta para baixo e possui módulo v. Sabe-se ainda que (i)
todo o sistema está sujeito à um campo gravitacional constante ~g e que (ii) os efeitos de auto-indutância nesse
problema são despréıveis.
~g
ŷ
ẑ
⊗x̂
A B
P Q
~z
×
n̂
~v
ℓ
I
ℓ
3
(a) [1 ponto] Sabendo-se que o campo do fio retiĺıneo é dado (vide formulário), determine a força eletromotriz
induzida pelo fio na espira ABQPA. (Justifique!!)
(b) [0,8 ponto] Determine o vetor força magnética sobre a haste PQ.
(c) [0,5 ponto] Sabendo-se que a haste possui massa M , calcule a sua velocidade terminal ~vt.
(d) [0,5 ponto] Determine a potência dissipada na barra, quando ela está caindo com a velocidade terminal.
4
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla escolha (6×0,7 = 4,2pontos)
1. (b)
2. (c)
3. (c)
4. (b)
5. (a)
6. (e)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,8 = 5,8 pontos)
1. Resolução:
(a) O sistema de coordenadas cilindricas, centrado em um ponto arbitrário do eixo de simetria do cilindro, que
chamamos Z. Por convenção , chamamos s a distância ao eixo Z (sendo ŝ o versor correspondente), ϕ o ângulo
azimutal (sendo ϕ̂ o versor correspondente), e z a coordenada no eixo Z (sendo ẑ o versor correspondente) Tal
escolha se impõe devido a simetria ciĺındrica (ou seja, simetria axial + simetria de translação , ambas relativas ao
eixo do cilindro) que o sistema (nesse caso, um cilindro isolado) possui.
(b) Consideremos um plano A que contem o eixo de simetria do cilindro, logo dividindo-o em duas metades.
Consideremos agora um elemento infinitesimal arbitrário do cilindro, e sua imagem por reflexão através do plano
definido na frase anterior (que sempre existe pois o cilindro apresenta simetria de reflexão com relação a esse
plano). Devido à lei de Coulomb e à simetria de reflexão, esses dois elementos infinitesimais produzem campos
(infinitesimais) que possuem componentes idênticas na direção ŝ e componentes que se cancelam na direção ϕ̂.
Podemos agora considerar um plano B perpendicular ao eixo de simetria e fazer um racioćınio análogo, do qual
concluiremos dessa vez que as componentes em ẑ se cancelam (e, como anteriormente, as componentes em ŝ
se somam). Assim sendo, como o campo total do cilindro pode ser pensado como uma integração sobre essas
contribuições “em dupla”, vemos que ~Ecil = Ecilŝ.
(c) Sabendo que o campo é radial (das ciĺındricas), a simetria ciĺındrica garante que o módulo de tal campo
só depende da coordenada s, ou seja, temos ~Ecil = Ecil(s)ŝ. Assim sendo, podemos usar a lei de Gauss para
determinarmos Ecil(s). Tomando por gaussiana uma superf́ıcie ciĺındrica de altura L e raio s, co-axial ao cilindro
carregado, podemos obter tanto o fluxo de campo elétrico
ΦE =
∮
S
~Ecil(~s) · ~dA =
∫
tampas
=0
︷ ︸︸ ︷
~E(s) · ~dA+
∫
SL
E(s) dA
=1
︷ ︸︸ ︷
(ŝ · ŝ) = Ecil(s)
∫
SL
dA = 2πsLEcil(s) (1)
como a carga encerrada
Qenc =
∫
s<a
ρ(r′)d3r′ =
∫
s<a
β
s′
s′ds′dϕ′dz′ = 2πLβ
∫ s
0
ds′ = 2πLβs (2)
donde, igualando (1) e (2)/ǫ0, temos
Ecil(s) =
2πsLβ
2πsLǫ0
=
β
ǫ0
(3)
(d) O campo elétrico produzido pelo plano pode ser encontrado quase inteiramente por considerações de simetria.
A simetria axial em torno de qualquer eixo perpendicular ao plano garante que o campo só tem componente
perpendicular a esse plano, e a simetria de translação paralela ao plano garante que o módulo desse campo só
depende de x, onde x está indicado na figura. Temos, portanto, ~Epl = Epl(x)x̂. Vemos ainda, por simetria de
reflexão sobre o plano, que Epl(a− x) = −Epl(a + x)
Para encontrar Epl(x), podemos usar a lei de Gauss. Traçando uma superf́ıcie gaussiana clíındrica (circular reta)
tendo por geratriz o eixo X , vemos que
ΦE =
∮
S
~Epl(~s) · ~dA =
∫
Sl
=0
︷ ︸︸ ︷
E(s) · ~dA+
∫
Tesq
Epldydz
=1
︷ ︸︸ ︷
(−x̂ · −̂s)+
∫
Tdir
Epldydz
=1
︷ ︸︸ ︷
(x̂ · ŝ)
= Epl
∫
Tesq
dydz + Epl
∫
Tdir
dydz = 2EplAT (4)
e também que
Qenc =
∫
Tpl
σ(r′)d2r′ = −
β
2
∫
Tpl
dxdy = −
β
2
AT (5)
2
donde
Epl = −
βAT
4ǫ0AT
= −
β
4ǫ0
(6)
e portanto
Epl =



β
4ǫ0
x̂ (x < a)
− β
4ǫ0
x̂ (x > a)
(e) No ponto P temos
Etot = Epl + Ecil =
β
4ǫ0
x̂+
β
ǫ0
ŝ(x0, 0, 0) =
(
1
4
+ 1
)
β
ǫ0
x̂ =
5β
4ǫ0
x̂ (7)
(f) A diferença de potencial ∆V = VA − VO é dada por
∆V =
∫ O
A
~Etot · ~dl = −
∫ a
0
Etotdx = −Etot
∫ a
0
dx = −
5βa
4ǫ0
(8)
�
2. Resolução:
(a) A força eletromotriz é dada pela lei de Faraday, ou seja, por
E = −
dΦ
dt
(9)
Assim sendo, precisamos da expressão para o fluxo Φ como função do tempo. Sabendo-se o campo magnético
gerado por um fio, podemos escrever
Φ =
∫
S(t)
~Bfio · ~dA =
∫ 2l
l
∫ z(t)
0
µ0I
2πy
ŷ · dAŷ =
µ0I
2π
∫ 2l
l
dy
y
∫ z(t)
0
dz =
µ0I
2π
z(t) log[y]
∣
∣
∣
2l
l
=
µ0I log 2
2π
z(t) (10)
donde
E = −
d
dt
[
µ0I log 2
2π
z(t)
]
= −
µ0I log 2
2π
v(t) (11)
onde v(t) é o módulo da velocidade da barra.
(b) Sabendo-se que a barra metálica tem resistência R, podemos obter a corrente induzida no circuito ABQPA
aplicando-se a lei de Ohm
Iind =
|E|
R
=
µ0I log 2
2πR
v(t) (12)
que, pela lei de Lenz, sabemos estar no sentido anti-horário. A força eletromagnética é então dada por
~FEM = Iind
∫ 2l
l
~dl × ~B =
µ0I log 2
2πR
v(t)
∫ 2l
l
(dyŷ)×
(
µ0I
2πy
)
x̂ =
µ20I
2 log 2
4π2R
v(t)
∫ 2l
l
dy
y
= −
(
µ0I log 2
2π
)2
v(t)
R
ẑ (13)
3
(c) Pela 2a lei de Newton, a velocidade terminal instála-se quando a força eletromagnética equilibra a força gravi-
tacional sofrida pela barra. Temos então
~FEM = − ~Fg ⇒
(
µ0I log 2
2π
)2
vterm
R
= Mg (14)
ou seja
~vterm =
(
2π
µ0I log 2
)2
MgRẑ (15)
(d) A potência dissipada na barra por efeito Joule é dada por
Pd = RI
2
ind = R
(
µ0I log 2
2πR
vterm
)2
=
(
µ0I log 2
2πR
)2
v2term =
R
R2
µ20I
2 2 log 2
4π2
(
4π2MgR
µ20I
2 2 log 2
)2
= R
(
2πMg
µ0I log 2
)2
(16)
que, com a ajuda de (14), podemos escrever
Pd = Mgvterm (17)
ou seja, a potência dissipada na barra é exatamente aquela forncecida pelo campo gravitacional.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Segunda Chamada: 08/12/2014
Versão: C
Formulário
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V =
1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v , C = ǫ0
A
d
, U =
1
2
CV 2
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× r̂
|~r|2
, ~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕ̂
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
LI2 ,
Seção 1. Múltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. Considere as seguintes afirmações:
I - Diferentemente da d.d.p. entre dois pontos A e B,
a f.e.m. E =
∫
A→B
~E · d~l pode depender do caminho
que liga A a B.
II - A lei de Gauss só é válida para part́ıculas carre-
gadas em repouso.
III - O fluxo de campo magnético através de qualquer
superf́ıcie é sempre zero.
São verdadeiras as afirmativas:
(a) Nenhuma das três
(b) Somente I
(c) Somente II
(d) Somente III
(e) I e II
(f) I e III
(g) II e III
(h) I, II e III
2. Considere as seguintes afirmações:
I - No interior de um condutor perfeito, devido à lei
de Gauss, o campo elétrico é sempre zero.
II - Devido à lei de Gauss, se a carga total Q de um
corpo finito é nula, o campo elétrico em seu exterior
é zero.
III - A lei de Gauss só é valida em situações onde há
alguma simetria.
São verdadeiras as afirmativas:
(a) Nenhuma das três
(b) Somente I
(c) Somente II
(d) Somente III
(e) I e II
(f) I e III
(g) II e III
(h) I, II e III
1
3. Sejam um fio retilineo infinito, coincidente com o eixo
Z, percorrido por uma corrente estacionária de inten-
sidade I e três espiras condutoras retangulares, C1, C2
e C3, inicialmente coplanares com o fio. A espira C1
move-se em pura translação na direção de Z. A es-
pira C2 move-se em pura rotação ŕıgida, em torno do
eixo Z (permanecendo sempre coplanar com tal eixo).
A espira C3 move-se tambem em pura rotação ŕıgida,
mas em torno do eixo de simetria perpendicular a seu
plano (que passa pelo seu centro). Em qual(is) das
espiras há corrente induzida?
(a) Somente C1
(b) Somente C2
(c) Somente C3
(d) C1 e C2
(e) C1 e C3
(f) C2 e C3
4. Seja um capacitor plano de capacitância C1 e carga
Q1, ligado a uma bateria que fornece uma d.d.p. igual
a ∆V . A distância entre as placas inicialmente é d1, e
em um dado momento triplica-se essa distância para
d2 = 3d1, sem jamais desconectar o capacitor da ba-
teria. Quais são os novos valores da capacitância C2,
carga Q2 e energia armazenada U2?
(a) C2 = C1/3, Q2 = Q1, U2 = U1/3
(b) C2 = C1/3, Q2 = Q1/3, U2 = U1/3
(c) C2 = C1, Q2 = Q1/3, U2 = U1/9
(d) C2 = C1/3, Q2 = Q1, U2 = 3U1(e) C2 = C1, Q2 = Q1, U2 = U1
5. Seja um pentágono regular ABCDE de lado L inscrito
num ćırculo de raio R. Em cada um dos vértices A, C,
E, coloca-se uma part́ıcula de carga q, e em cada um
dos vértices B e D, coloca-se uma part́ıcula de carga
−q. Qual o trabalho W necessário para trazer uma
sexta part́ıcula puntiforme, de carga Q, do infinito até
o centro do pentágono regular?
(a) W = 0
(b) W = 5Qq/(4ǫ0πR)
(c) W = Qq/(4ǫ0πR)
(d) W = (5Qq/(4ǫ0πR)) + (5q
2/(4ǫ0πL))
(e) W = (Qq/(4ǫ0πR)) + (q
2/(4ǫ0πL))
(f) Nenhuma das opções anteriores
6. Considere um fio retiĺıneo e infinito, perpendicular ao
plano da página, e uma curva amperiana quadrada
orientada C, de lado a, no plano da página. O fio
passa pela espira por um de seus vértices, conforme
mostra a figura. Sabendo-se que pelo fio passa uma
corrente estacionária I, qual é a circulação do campo
magnético ~B gerado pelo fio sobre C?
I
(a) µ0I
(b) µ0I/2
(c) µ0I/(2a)
(d) 0
(e) µ0I/4
(f) µ0I/(4a)
2
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,8 = 5,8 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3 pontos] Um cilindro muito longo, de raio a, possui densidade volumétrica de carga dada por ρ(s) = β/s, onde
β é uma constante e s é a distância de um ponto dentro do cilindro até o seu eixo. Tangenciando esse cilindro
encontra-se um plano infinito com densidade superficial de carga σ = −β/2, como mostrado na figura abaixo.
x
y
O
A
P
(a) [0,4 ponto] Consideremos inicialmente o campo elétrico ~Ecil produzido apenas pelo cilindro. Qual o sistema de
coordenadas mais conveniente para descrevê-lo? Por quê?
(b) [0,4 ponto] Qual é a direção de ~Ecil ? (Justifique!!)
(c) [0,6 ponto] Qual é o módulo de ~Ecil ? (Justifique!!)
(d) [0,6 ponto] Consideremos agora somente o campo elétrico ~Epl produzido pelo plano. Qual é a sua direção e seu
módulo? (Justifique!!)
(e) [0,4 ponto] Determine o campo elétrico total ~ET = ~Ecil + ~Epl no ponto P de coordenadas (x0, 0, 0), vide figura.
(f) [0,6 ponto] Determine a diferença de potencial entre o ponto A e o centro do cilindro ∆V = VA−VO.
2. [2,8 pontos] Uma barra metálica horizontal PQ de comprimento ℓ e resistência R desliza sobre dois trilhos metálicos
verticais que estão unidos em seus extremos superiores por uma haste metálica horizontal fixa AB. O conjunto está
localizado em uma região do espaço à direita de um fio retiĺıneo vertical muito longo, por onde flui uma corrente
estacionária I, para cima. O fio e a espira ABQPA estão no mesmo plano e o trilho vertical mais próximo ao
fio está a uma distância ℓ do mesmo, como indica a figura . No instante considerado, a distância entre as hastes
horizontais é z = |~z| e a velocidade da haste inferior aponta para baixo e possui módulo v. Sabe-se ainda que (i)
todo o sistema está sujeito à um campo gravitacional constante ~g e que (ii) os efeitos de auto-indutância nesse
problema são despréıveis.
~g
ŷ
ẑ
⊗x̂
A B
P Q
~z
×
n̂
~v
ℓ
I
ℓ
3
(a) [1 ponto] Sabendo-se que o campo do fio retiĺıneo é dado (vide formulário), determine a força eletromotriz
induzida pelo fio na espira ABQPA. (Justifique!!)
(b) [0,8 ponto] Determine o vetor força magnética sobre a haste PQ.
(c) [0,5 ponto] Sabendo-se que a haste possui massa M , calcule a sua velocidade terminal ~vt.
(d) [0,5 ponto] Determine a potência dissipada na barra, quando ela está caindo com a velocidade terminal.
4
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (b)
2. (a)
3. (c)
4. (b)
5. (c)
6. (e)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,8 = 5,8 pontos)
1. Resolução:
(a) O sistema de coordenadas cilindricas, centrado em um ponto arbitrário do eixo de simetria do cilindro, que
chamamos Z. Por convenção , chamamos s a distância ao eixo Z (sendo ŝ o versor correspondente), ϕ o ângulo
azimutal (sendo ϕ̂ o versor correspondente), e z a coordenada no eixo Z (sendo ẑ o versor correspondente) Tal
escolha se impõe devido a simetria ciĺındrica (ou seja, simetria axial + simetria de translação , ambas relativas ao
eixo do cilindro) que o sistema (nesse caso, um cilindro isolado) possui.
(b) Consideremos um plano A que contem o eixo de simetria do cilindro, logo dividindo-o em duas metades.
Consideremos agora um elemento infinitesimal arbitrário do cilindro, e sua imagem por reflexão através do plano
definido na frase anterior (que sempre existe pois o cilindro apresenta simetria de reflexão com relação a esse
plano). Devido à lei de Coulomb e à simetria de reflexão, esses dois elementos infinitesimais produzem campos
(infinitesimais) que possuem componentes idênticas na direção ŝ e componentes que se cancelam na direção ϕ̂.
Podemos agora considerar um plano B perpendicular ao eixo de simetria e fazer um racioćınio análogo, do qual
concluiremos dessa vez que as componentes em ẑ se cancelam (e, como anteriormente, as componentes em ŝ
se somam). Assim sendo, como o campo total do cilindro pode ser pensado como uma integração sobre essas
contribuições “em dupla”, vemos que ~Ecil = Ecilŝ.
(c) Sabendo que o campo é radial (das ciĺındricas), a simetria ciĺındrica garante que o módulo de tal campo
só depende da coordenada s, ou seja, temos ~Ecil = Ecil(s)ŝ. Assim sendo, podemos usar a lei de Gauss para
determinarmos Ecil(s). Tomando por gaussiana uma superf́ıcie ciĺındrica de altura L e raio s, co-axial ao cilindro
carregado, podemos obter tanto o fluxo de campo elétrico
ΦE =
∮
S
~Ecil(~s) · ~dA =
∫
tampas
=0
︷ ︸︸ ︷
~E(s) · ~dA+
∫
SL
E(s) dA
=1
︷ ︸︸ ︷
(ŝ · ŝ) = Ecil(s)
∫
SL
dA = 2πsLEcil(s) (1)
como a carga encerrada
Qenc =
∫
s<a
ρ(r′)d3r′ =
∫
s<a
β
s′
s′ds′dϕ′dz′ = 2πLβ
∫ s
0
ds′ = 2πLβs (2)
donde, igualando (1) e (2)/ǫ0, temos
Ecil(s) =
2πsLβ
2πsLǫ0
=
β
ǫ0
(3)
(d) O campo elétrico produzido pelo plano pode ser encontrado quase inteiramente por considerações de simetria.
A simetria axial em torno de qualquer eixo perpendicular ao plano garante que o campo só tem componente
perpendicular a esse plano, e a simetria de translação paralela ao plano garante que o módulo desse campo só
depende de x, onde x está indicado na figura. Temos, portanto, ~Epl = Epl(x)x̂. Vemos ainda, por simetria de
reflexão sobre o plano, que Epl(a− x) = −Epl(a + x)
Para encontrar Epl(x), podemos usar a lei de Gauss. Traçando uma superf́ıcie gaussiana clíındrica (circular reta)
tendo por geratriz o eixo X , vemos que
ΦE =
∮
S
~Epl(~s) · ~dA =
∫
Sl
=0
︷ ︸︸ ︷
E(s) · ~dA+
∫
Tesq
Epldydz
=1
︷ ︸︸ ︷
(−x̂ · −̂s)+
∫
Tdir
Epldydz
=1
︷ ︸︸ ︷
(x̂ · ŝ)
= Epl
∫
Tesq
dydz + Epl
∫
Tdir
dydz = 2EplAT (4)
e também que
Qenc =
∫
Tpl
σ(r′)d2r′ = −
β
2
∫
Tpl
dxdy = −
β
2
AT (5)
2
donde
Epl = −
βAT
4ǫ0AT
= −
β
4ǫ0
(6)
e portanto
Epl =



β
4ǫ0
x̂ (x < a)
− β
4ǫ0
x̂ (x > a)
(e) No ponto P temos
Etot = Epl + Ecil =
β
4ǫ0
x̂+
β
ǫ0
ŝ(x0, 0, 0) =
(
1
4
+ 1
)
β
ǫ0
x̂ =
5β
4ǫ0
x̂ (7)
(f) A diferença de potencial ∆V = VA − VO é dada por
∆V =
∫ O
A
~Etot · ~dl = −
∫ a
0
Etotdx = −Etot
∫ a
0
dx = −
5βa
4ǫ0
(8)
�
2. Resolução:
(a) A força eletromotriz é dada pela lei de Faraday, ou seja, por
E = −
dΦ
dt
(9)
Assim sendo, precisamos da expressão para o fluxo Φ como função do tempo. Sabendo-se o campo magnético
gerado por um fio, podemos escrever
Φ =
∫
S(t)
~Bfio · ~dA =
∫ 2l
l
∫ z(t)
0
µ0I
2πy
ŷ · dAŷ =
µ0I
2π
∫ 2l
l
dy
y
∫ z(t)
0
dz =
µ0I
2π
z(t) log[y]
∣
∣
∣
2l
l
=
µ0I log 2
2π
z(t) (10)
donde
E = −
d
dt
[
µ0I log 2
2π
z(t)
]
= −
µ0I log 2
2π
v(t) (11)
onde v(t) é o módulo da velocidade da barra.
(b) Sabendo-se que a barra metálica tem resistência R, podemos obter a corrente induzida no circuito ABQPA
aplicando-se a lei de Ohm
Iind =
|E|
R
=
µ0I log 2
2πR
v(t) (12)
que, pela lei de Lenz, sabemos estar no sentido anti-horário. A força eletromagnética é então dada por
~FEM = Iind
∫ 2l
l
~dl × ~B =
µ0Ilog 2
2πR
v(t)
∫ 2l
l
(dyŷ)×
(
µ0I
2πy
)
x̂ =
µ20I
2 log 2
4π2R
v(t)
∫ 2l
l
dy
y
= −
(
µ0I log 2
2π
)2
v(t)
R
ẑ (13)
3
(c) Pela 2a lei de Newton, a velocidade terminal instála-se quando a força eletromagnética equilibra a força gravi-
tacional sofrida pela barra. Temos então
~FEM = − ~Fg ⇒
(
µ0I log 2
2π
)2
vterm
R
= Mg (14)
ou seja
~vterm =
(
2π
µ0I log 2
)2
MgRẑ (15)
(d) A potência dissipada na barra por efeito Joule é dada por
Pd = RI
2
ind = R
(
µ0I log 2
2πR
vterm
)2
=
(
µ0I log 2
2πR
)2
v2term =
R
R2
µ20I
2 2 log 2
4π2
(
4π2MgR
µ20I
2 2 log 2
)2
= R
(
2πMg
µ0I log 2
)2
(16)
que, com a ajuda de (14), podemos escrever
Pd = Mgvterm (17)
ou seja, a potência dissipada na barra é exatamente aquela forncecida pelo campo gravitacional.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Segunda Chamada: 08/12/2014
Versão: D
Formulário
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V =
1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v , C = ǫ0
A
d
, U =
1
2
CV 2
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× r̂
|~r|2
, ~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕ̂
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
LI2 ,
Seção 1. Múltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. Seja um pentágono regular ABCDE de lado L inscrito
num ćırculo de raio R. Em cada um dos vértices A, C,
E, coloca-se uma part́ıcula de carga q, e em cada um
dos vértices B e D, coloca-se uma part́ıcula de carga
−q. Qual o trabalho W necessário para trazer uma
sexta part́ıcula puntiforme, de carga Q, do infinito até
o centro do pentágono regular?
(a) W = 0
(b) W = 5Qq/(4ǫ0πR)
(c) W = Qq/(4ǫ0πR)
(d) W = (5Qq/(4ǫ0πR)) + (5q
2/(4ǫ0πL))
(e) W = (Qq/(4ǫ0πR)) + (q
2/(4ǫ0πL))
(f) Nenhuma das opções anteriores
2. Considere as seguintes afirmações:
I - No interior de um condutor perfeito, devido à lei
de Gauss, o campo elétrico é sempre zero.
II - Devido à lei de Gauss, se a carga total Q de um
corpo finito é nula, o campo elétrico em seu exterior
é zero.
III - A lei de Gauss só é valida em situações onde há
alguma simetria.
São verdadeiras as afirmativas:
(a) Nenhuma das três
(b) Somente I
(c) Somente II
(d) Somente III
(e) I e II
(f) I e III
(g) II e III
(h) I, II e III
1
3. Seja um capacitor plano de capacitância C1 e carga
Q1, ligado a uma bateria que fornece uma d.d.p. igual
a ∆V . A distância entre as placas inicialmente é d1, e
em um dado momento triplica-se essa distância para
d2 = 3d1, sem jamais desconectar o capacitor da ba-
teria. Quais são os novos valores da capacitância C2,
carga Q2 e energia armazenada U2?
(a) C2 = C1/3, Q2 = Q1, U2 = U1/3
(b) C2 = C1/3, Q2 = Q1/3, U2 = U1/3
(c) C2 = C1, Q2 = Q1/3, U2 = U1/9
(d) C2 = C1/3, Q2 = Q1, U2 = 3U1
(e) C2 = C1, Q2 = Q1, U2 = U1
4. Sejam um fio retilineo infinito, coincidente com o eixo
Z, percorrido por uma corrente estacionária de inten-
sidade I e três espiras condutoras retangulares, C1, C2
e C3, inicialmente coplanares com o fio. A espira C1
move-se em pura translação na direção de Z. A es-
pira C2 move-se em pura rotação ŕıgida, em torno do
eixo Z (permanecendo sempre coplanar com tal eixo).
A espira C3 move-se tambem em pura rotação ŕıgida,
mas em torno do eixo de simetria perpendicular a seu
plano (que passa pelo seu centro). Em qual(is) das
espiras há corrente induzida?
(a) Somente C1
(b) Somente C2
(c) Somente C3
(d) C1 e C2
(e) C1 e C3
(f) C2 e C3
5. Considere as seguintes afirmações:
I - Diferentemente da d.d.p. entre dois pontos A e B,
a f.e.m. E =
∫
A→B
~E · d~l pode depender do caminho
que liga A a B.
II - A lei de Gauss só é válida para part́ıculas carre-
gadas em repouso.
III - O fluxo de campo magnético através de qualquer
superf́ıcie é sempre zero.
São verdadeiras as afirmativas:
(a) Nenhuma das três
(b) Somente I
(c) Somente II
(d) Somente III
(e) I e II
(f) I e III
(g) II e III
(h) I, II e III
6. Considere um fio retiĺıneo e infinito, perpendicular ao
plano da página, e uma curva amperiana quadrada
orientada C, de lado a, no plano da página. O fio
passa pela espira por um de seus vértices, conforme
mostra a figura. Sabendo-se que pelo fio passa uma
corrente estacionária I, qual é a circulação do campo
magnético ~B gerado pelo fio sobre C?
I
(a) µ0I
(b) µ0I/2
(c) µ0I/(2a)
(d) 0
(e) µ0I/4
(f) µ0I/(4a)
2
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,8 = 5,8 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3 pontos] Um cilindro muito longo, de raio a, possui densidade volumétrica de carga dada por ρ(s) = β/s, onde
β é uma constante e s é a distância de um ponto dentro do cilindro até o seu eixo. Tangenciando esse cilindro
encontra-se um plano infinito com densidade superficial de carga σ = −β/2, como mostrado na figura abaixo.
x
y
O
A
P
(a) [0,4 ponto] Consideremos inicialmente o campo elétrico ~Ecil produzido apenas pelo cilindro. Qual o sistema de
coordenadas mais conveniente para descrevê-lo? Por quê?
(b) [0,4 ponto] Qual é a direção de ~Ecil ? (Justifique!!)
(c) [0,6 ponto] Qual é o módulo de ~Ecil ? (Justifique!!)
(d) [0,6 ponto] Consideremos agora somente o campo elétrico ~Epl produzido pelo plano. Qual é a sua direção e seu
módulo? (Justifique!!)
(e) [0,4 ponto] Determine o campo elétrico total ~ET = ~Ecil + ~Epl no ponto P de coordenadas (x0, 0, 0), vide figura.
(f) [0,6 ponto] Determine a diferença de potencial entre o ponto A e o centro do cilindro ∆V = VA−VO.
2. [2,8 pontos] Uma barra metálica horizontal PQ de comprimento ℓ e resistência R desliza sobre dois trilhos metálicos
verticais que estão unidos em seus extremos superiores por uma haste metálica horizontal fixa AB. O conjunto está
localizado em uma região do espaço à direita de um fio retiĺıneo vertical muito longo, por onde flui uma corrente
estacionária I, para cima. O fio e a espira ABQPA estão no mesmo plano e o trilho vertical mais próximo ao
fio está a uma distância ℓ do mesmo, como indica a figura . No instante considerado, a distância entre as hastes
horizontais é z = |~z| e a velocidade da haste inferior aponta para baixo e possui módulo v. Sabe-se ainda que (i)
todo o sistema está sujeito à um campo gravitacional constante ~g e que (ii) os efeitos de auto-indutância nesse
problema são despréıveis.
~g
ŷ
ẑ
⊗x̂
A B
P Q
~z
×
n̂
~v
ℓ
I
ℓ
3
(a) [1 ponto] Sabendo-se que o campo do fio retiĺıneo é dado (vide formulário), determine a força eletromotriz
induzida pelo fio na espira ABQPA. (Justifique!!)
(b) [0,8 ponto] Determine o vetor força magnética sobre a haste PQ.
(c) [0,5 ponto] Sabendo-se que a haste possui massa M , calcule a sua velocidade terminal ~vt.
(d) [0,5 ponto] Determine a potência dissipada na barra, quando ela está caindo com a velocidade terminal.
4
Gabarito para Versão D
Seção 1. Múltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (c)
2. (a)
3. (b)
4. (c)
5. (b)
6. (e)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,8 = 5,8 pontos)
1. Resolução:
(a) O sistema de coordenadas cilindricas, centrado em um ponto arbitrário do eixo de simetria do cilindro, que
chamamos Z. Por convenção , chamamos s a distância ao eixo Z (sendo ŝ o versor correspondente), ϕ o ângulo
azimutal (sendo ϕ̂ o versor correspondente), e z a coordenada no eixo Z (sendo ẑ o versor correspondente) Tal
escolha se impõe devido a simetria ciĺındrica (ou seja, simetria axial + simetria de translação , ambas relativas ao
eixo do cilindro) que o sistema (nesse caso, um cilindro isolado) possui.
(b) Consideremos um plano A que contem o eixo de simetria do cilindro, logo dividindo-o em duas metades.
Consideremos agora um elemento infinitesimal arbitrário do cilindro, e sua imagem por reflexão através do plano
definido na frase anterior (que sempre existe pois o cilindro apresenta simetria de reflexão comrelação a esse
plano). Devido à lei de Coulomb e à simetria de reflexão, esses dois elementos infinitesimais produzem campos
(infinitesimais) que possuem componentes idênticas na direção ŝ e componentes que se cancelam na direção ϕ̂.
Podemos agora considerar um plano B perpendicular ao eixo de simetria e fazer um racioćınio análogo, do qual
concluiremos dessa vez que as componentes em ẑ se cancelam (e, como anteriormente, as componentes em ŝ
se somam). Assim sendo, como o campo total do cilindro pode ser pensado como uma integração sobre essas
contribuições “em dupla”, vemos que ~Ecil = Ecilŝ.
(c) Sabendo que o campo é radial (das ciĺındricas), a simetria ciĺındrica garante que o módulo de tal campo
só depende da coordenada s, ou seja, temos ~Ecil = Ecil(s)ŝ. Assim sendo, podemos usar a lei de Gauss para
determinarmos Ecil(s). Tomando por gaussiana uma superf́ıcie ciĺındrica de altura L e raio s, co-axial ao cilindro
carregado, podemos obter tanto o fluxo de campo elétrico
ΦE =
∮
S
~Ecil(~s) · ~dA =
∫
tampas
=0
︷ ︸︸ ︷
~E(s) · ~dA+
∫
SL
E(s) dA
=1
︷ ︸︸ ︷
(ŝ · ŝ) = Ecil(s)
∫
SL
dA = 2πsLEcil(s) (1)
como a carga encerrada
Qenc =
∫
s<a
ρ(r′)d3r′ =
∫
s<a
β
s′
s′ds′dϕ′dz′ = 2πLβ
∫ s
0
ds′ = 2πLβs (2)
donde, igualando (1) e (2)/ǫ0, temos
Ecil(s) =
2πsLβ
2πsLǫ0
=
β
ǫ0
(3)
(d) O campo elétrico produzido pelo plano pode ser encontrado quase inteiramente por considerações de simetria.
A simetria axial em torno de qualquer eixo perpendicular ao plano garante que o campo só tem componente
perpendicular a esse plano, e a simetria de translação paralela ao plano garante que o módulo desse campo só
depende de x, onde x está indicado na figura. Temos, portanto, ~Epl = Epl(x)x̂. Vemos ainda, por simetria de
reflexão sobre o plano, que Epl(a− x) = −Epl(a + x)
Para encontrar Epl(x), podemos usar a lei de Gauss. Traçando uma superf́ıcie gaussiana clíındrica (circular reta)
tendo por geratriz o eixo X , vemos que
ΦE =
∮
S
~Epl(~s) · ~dA =
∫
Sl
=0
︷ ︸︸ ︷
E(s) · ~dA+
∫
Tesq
Epldydz
=1
︷ ︸︸ ︷
(−x̂ · −̂s)+
∫
Tdir
Epldydz
=1
︷ ︸︸ ︷
(x̂ · ŝ)
= Epl
∫
Tesq
dydz + Epl
∫
Tdir
dydz = 2EplAT (4)
e também que
Qenc =
∫
Tpl
σ(r′)d2r′ = −
β
2
∫
Tpl
dxdy = −
β
2
AT (5)
2
donde
Epl = −
βAT
4ǫ0AT
= −
β
4ǫ0
(6)
e portanto
Epl =



β
4ǫ0
x̂ (x < a)
− β
4ǫ0
x̂ (x > a)
(e) No ponto P temos
Etot = Epl + Ecil =
β
4ǫ0
x̂+
β
ǫ0
ŝ(x0, 0, 0) =
(
1
4
+ 1
)
β
ǫ0
x̂ =
5β
4ǫ0
x̂ (7)
(f) A diferença de potencial ∆V = VA − VO é dada por
∆V =
∫ O
A
~Etot · ~dl = −
∫ a
0
Etotdx = −Etot
∫ a
0
dx = −
5βa
4ǫ0
(8)
�
2. Resolução:
(a) A força eletromotriz é dada pela lei de Faraday, ou seja, por
E = −
dΦ
dt
(9)
Assim sendo, precisamos da expressão para o fluxo Φ como função do tempo. Sabendo-se o campo magnético
gerado por um fio, podemos escrever
Φ =
∫
S(t)
~Bfio · ~dA =
∫ 2l
l
∫ z(t)
0
µ0I
2πy
ŷ · dAŷ =
µ0I
2π
∫ 2l
l
dy
y
∫ z(t)
0
dz =
µ0I
2π
z(t) log[y]
∣
∣
∣
2l
l
=
µ0I log 2
2π
z(t) (10)
donde
E = −
d
dt
[
µ0I log 2
2π
z(t)
]
= −
µ0I log 2
2π
v(t) (11)
onde v(t) é o módulo da velocidade da barra.
(b) Sabendo-se que a barra metálica tem resistência R, podemos obter a corrente induzida no circuito ABQPA
aplicando-se a lei de Ohm
Iind =
|E|
R
=
µ0I log 2
2πR
v(t) (12)
que, pela lei de Lenz, sabemos estar no sentido anti-horário. A força eletromagnética é então dada por
~FEM = Iind
∫ 2l
l
~dl × ~B =
µ0I log 2
2πR
v(t)
∫ 2l
l
(dyŷ)×
(
µ0I
2πy
)
x̂ =
µ20I
2 log 2
4π2R
v(t)
∫ 2l
l
dy
y
= −
(
µ0I log 2
2π
)2
v(t)
R
ẑ (13)
3
(c) Pela 2a lei de Newton, a velocidade terminal instála-se quando a força eletromagnética equilibra a força gravi-
tacional sofrida pela barra. Temos então
~FEM = − ~Fg ⇒
(
µ0I log 2
2π
)2
vterm
R
= Mg (14)
ou seja
~vterm =
(
2π
µ0I log 2
)2
MgRẑ (15)
(d) A potência dissipada na barra por efeito Joule é dada por
Pd = RI
2
ind = R
(
µ0I log 2
2πR
vterm
)2
=
(
µ0I log 2
2πR
)2
v2term =
R
R2
µ20I
2 2 log 2
4π2
(
4π2MgR
µ20I
2 2 log 2
)2
= R
(
2πMg
µ0I log 2
)2
(16)
que, com a ajuda de (14), podemos escrever
Pd = Mgvterm (17)
ou seja, a potência dissipada na barra é exatamente aquela forncecida pelo campo gravitacional.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/2 – Segunda Chamada: 08/12/2014
Versão: E
Formulário
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V =
1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 ~E = ~E0/K , C = Q/V , ~J = nq~v , C = ǫ0
A
d
, U =
1
2
CV 2
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ× r̂
|~r|2
, ~Bfio =
µ0I
(2πs)
ϕ̂
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2
LI2 ,
Seção 1. Múltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. Sejam um fio retilineo infinito, coincidente com o eixo
Z, percorrido por uma corrente estacionária de inten-
sidade I e três espiras condutoras retangulares, C1, C2
e C3, inicialmente coplanares com o fio. A espira C1
move-se em pura translação na direção de Z. A es-
pira C2 move-se em pura rotação ŕıgida, em torno do
eixo Z (permanecendo sempre coplanar com tal eixo).
A espira C3 move-se tambem em pura rotação ŕıgida,
mas em torno do eixo de simetria perpendicular a seu
plano (que passa pelo seu centro). Em qual(is) das
espiras há corrente induzida?
(a) Somente C1
(b) Somente C2
(c) Somente C3
(d) C1 e C2
(e) C1 e C3
(f) C2 e C3
2. Considere as seguintes afirmações:
I - Diferentemente da d.d.p. entre dois pontos A e B,
a f.e.m. E =
∫
A→B
~E · d~l pode depender do caminho
que liga A a B.
II - A lei de Gauss só é válida para part́ıculas carre-
gadas em repouso.
III - O fluxo de campo magnético através de qualquer
superf́ıcie é sempre zero.
São verdadeiras as afirmativas:
(a) Nenhuma das três
(b) Somente I
(c) Somente II
(d) Somente III
(e) I e II
(f) I e III
(g) II e III
(h) I, II e III
1
3. Considere um fio retiĺıneo e infinito, perpendicular ao
plano da página, e uma curva amperiana quadrada
orientada C, de lado a, no plano da página. O fio
passa pela espira por um de seus vértices, conforme
mostra a figura. Sabendo-se que pelo fio passa uma
corrente estacionária I, qual é a circulação do campo
magnético ~B gerado pelo fio sobre C?
I
(a) µ0I
(b) µ0I/2
(c) µ0I/(2a)
(d) 0
(e) µ0I/4
(f) µ0I/(4a)
4. Considere as seguintes afirmações:
I - No interior de um condutor perfeito, devido à lei
de Gauss, o campo elétrico é sempre zero.
II - Devido à lei de Gauss, se a carga total Q de um
corpo finito é nula, o campo elétrico em seu exterior
é zero.
III - A lei de Gauss só é valida em situações onde há
alguma simetria.
São verdadeiras as afirmativas:
(a) Nenhuma das três
(b) Somente I
(c) Somente II
(d) Somente III
(e) I e II
(f) I e III
(g) II e III
(h) I, II e III
5. Seja um pentágono regular ABCDE de lado L inscrito
num ćırculo de raio R. Em cada um dos vértices A, C,
E, coloca-se uma part́ıcula de carga q, e em cada um
dos vértices B e D, coloca-se uma part́ıcula de carga
−q. Qual o trabalho W necessário para trazer uma
sexta part́ıcula puntiforme, de carga Q, do infinito até
o centro do pentágono regular?
(a) W = 0
(b) W = 5Qq/(4ǫ0πR)
(c) W = Qq/(4ǫ0πR)
(d) W = (5Qq/(4ǫ0πR)) + (5q
2/(4ǫ0πL))
(e) W = (Qq/(4ǫ0πR)) + (q
2/(4ǫ0πL))
(f) Nenhuma das opções anteriores
6. Seja um capacitor plano de capacitância C1 e carga
Q1, ligado a uma bateria que fornece uma d.d.p. igual
a ∆V . A distância entre as placas inicialmente é d1, e
em um dado momento triplica-se essa distância para
d2 = 3d1, sem jamais desconectar o capacitor da ba-
teria. Quais são os novos valores da capacitância C2,
carga Q2 e energia armazenada U2?
(a) C2 = C1/3, Q2 = Q1, U2 = U1/3
(b) C2 = C1/3, Q2 = Q1/3, U2 = U1/3
(c) C2 = C1, Q2 = Q1/3, U2 = U1/9
(d) C2 = C1/3, Q2 = Q1, U2 = 3U1
(e) C2 = C1, Q2 = Q1, U2= U1
2
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,8 = 5,8 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3 pontos] Um cilindro muito longo, de raio a, possui densidade volumétrica de carga dada por ρ(s) = β/s, onde
β é uma constante e s é a distância de um ponto dentro do cilindro até o seu eixo. Tangenciando esse cilindro
encontra-se um plano infinito com densidade superficial de carga σ = −β/2, como mostrado na figura abaixo.
x
y
O
A
P
(a) [0,4 ponto] Consideremos inicialmente o campo elétrico ~Ecil produzido apenas pelo cilindro. Qual o sistema de
coordenadas mais conveniente para descrevê-lo? Por quê?
(b) [0,4 ponto] Qual é a direção de ~Ecil ? (Justifique!!)
(c) [0,6 ponto] Qual é o módulo de ~Ecil ? (Justifique!!)
(d) [0,6 ponto] Consideremos agora somente o campo elétrico ~Epl produzido pelo plano. Qual é a sua direção e seu
módulo? (Justifique!!)
(e) [0,4 ponto] Determine o campo elétrico total ~ET = ~Ecil + ~Epl no ponto P de coordenadas (x0, 0, 0), vide figura.
(f) [0,6 ponto] Determine a diferença de potencial entre o ponto A e o centro do cilindro ∆V = VA−VO.
2. [2,8 pontos] Uma barra metálica horizontal PQ de comprimento ℓ e resistência R desliza sobre dois trilhos metálicos
verticais que estão unidos em seus extremos superiores por uma haste metálica horizontal fixa AB. O conjunto está
localizado em uma região do espaço à direita de um fio retiĺıneo vertical muito longo, por onde flui uma corrente
estacionária I, para cima. O fio e a espira ABQPA estão no mesmo plano e o trilho vertical mais próximo ao
fio está a uma distância ℓ do mesmo, como indica a figura . No instante considerado, a distância entre as hastes
horizontais é z = |~z| e a velocidade da haste inferior aponta para baixo e possui módulo v. Sabe-se ainda que (i)
todo o sistema está sujeito à um campo gravitacional constante ~g e que (ii) os efeitos de auto-indutância nesse
problema são despréıveis.
~g
ŷ
ẑ
⊗x̂
A B
P Q
~z
×
n̂
~v
ℓ
I
ℓ
3
(a) [1 ponto] Sabendo-se que o campo do fio retiĺıneo é dado (vide formulário), determine a força eletromotriz
induzida pelo fio na espira ABQPA. (Justifique!!)
(b) [0,8 ponto] Determine o vetor força magnética sobre a haste PQ.
(c) [0,5 ponto] Sabendo-se que a haste possui massa M , calcule a sua velocidade terminal ~vt.
(d) [0,5 ponto] Determine a potência dissipada na barra, quando ela está caindo com a velocidade terminal.
4
Gabarito para Versão E
Seção 1. Múltipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (c)
2. (b)
3. (e)
4. (a)
5. (c)
6. (b)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,0 + 2,8 = 5,8 pontos)
1. Resolução:
(a) O sistema de coordenadas cilindricas, centrado em um ponto arbitrário do eixo de simetria do cilindro, que
chamamos Z. Por convenção , chamamos s a distância ao eixo Z (sendo ŝ o versor correspondente), ϕ o ângulo
azimutal (sendo ϕ̂ o versor correspondente), e z a coordenada no eixo Z (sendo ẑ o versor correspondente) Tal
escolha se impõe devido a simetria ciĺındrica (ou seja, simetria axial + simetria de translação , ambas relativas ao
eixo do cilindro) que o sistema (nesse caso, um cilindro isolado) possui.
(b) Consideremos um plano A que contem o eixo de simetria do cilindro, logo dividindo-o em duas metades.
Consideremos agora um elemento infinitesimal arbitrário do cilindro, e sua imagem por reflexão através do plano
definido na frase anterior (que sempre existe pois o cilindro apresenta simetria de reflexão com relação a esse
plano). Devido à lei de Coulomb e à simetria de reflexão, esses dois elementos infinitesimais produzem campos
(infinitesimais) que possuem componentes idênticas na direção ŝ e componentes que se cancelam na direção ϕ̂.
Podemos agora considerar um plano B perpendicular ao eixo de simetria e fazer um racioćınio análogo, do qual
concluiremos dessa vez que as componentes em ẑ se cancelam (e, como anteriormente, as componentes em ŝ
se somam). Assim sendo, como o campo total do cilindro pode ser pensado como uma integração sobre essas
contribuições “em dupla”, vemos que ~Ecil = Ecilŝ.
(c) Sabendo que o campo é radial (das ciĺındricas), a simetria ciĺındrica garante que o módulo de tal campo
só depende da coordenada s, ou seja, temos ~Ecil = Ecil(s)ŝ. Assim sendo, podemos usar a lei de Gauss para
determinarmos Ecil(s). Tomando por gaussiana uma superf́ıcie ciĺındrica de altura L e raio s, co-axial ao cilindro
carregado, podemos obter tanto o fluxo de campo elétrico
ΦE =
∮
S
~Ecil(~s) · ~dA =
∫
tampas
=0
︷ ︸︸ ︷
~E(s) · ~dA+
∫
SL
E(s) dA
=1
︷ ︸︸ ︷
(ŝ · ŝ) = Ecil(s)
∫
SL
dA = 2πsLEcil(s) (1)
como a carga encerrada
Qenc =
∫
s<a
ρ(r′)d3r′ =
∫
s<a
β
s′
s′ds′dϕ′dz′ = 2πLβ
∫ s
0
ds′ = 2πLβs (2)
donde, igualando (1) e (2)/ǫ0, temos
Ecil(s) =
2πsLβ
2πsLǫ0
=
β
ǫ0
(3)
(d) O campo elétrico produzido pelo plano pode ser encontrado quase inteiramente por considerações de simetria.
A simetria axial em torno de qualquer eixo perpendicular ao plano garante que o campo só tem componente
perpendicular a esse plano, e a simetria de translação paralela ao plano garante que o módulo desse campo só
depende de x, onde x está indicado na figura. Temos, portanto, ~Epl = Epl(x)x̂. Vemos ainda, por simetria de
reflexão sobre o plano, que Epl(a− x) = −Epl(a + x)
Para encontrar Epl(x), podemos usar a lei de Gauss. Traçando uma superf́ıcie gaussiana clíındrica (circular reta)
tendo por geratriz o eixo X , vemos que
ΦE =
∮
S
~Epl(~s) · ~dA =
∫
Sl
=0
︷ ︸︸ ︷
E(s) · ~dA+
∫
Tesq
Epldydz
=1
︷ ︸︸ ︷
(−x̂ · −̂s)+
∫
Tdir
Epldydz
=1
︷ ︸︸ ︷
(x̂ · ŝ)
= Epl
∫
Tesq
dydz + Epl
∫
Tdir
dydz = 2EplAT (4)
e também que
Qenc =
∫
Tpl
σ(r′)d2r′ = −
β
2
∫
Tpl
dxdy = −
β
2
AT (5)
2
donde
Epl = −
βAT
4ǫ0AT
= −
β
4ǫ0
(6)
e portanto
Epl =



β
4ǫ0
x̂ (x < a)
− β
4ǫ0
x̂ (x > a)
(e) No ponto P temos
Etot = Epl + Ecil =
β
4ǫ0
x̂+
β
ǫ0
ŝ(x0, 0, 0) =
(
1
4
+ 1
)
β
ǫ0
x̂ =
5β
4ǫ0
x̂ (7)
(f) A diferença de potencial ∆V = VA − VO é dada por
∆V =
∫ O
A
~Etot · ~dl = −
∫ a
0
Etotdx = −Etot
∫ a
0
dx = −
5βa
4ǫ0
(8)
�
2. Resolução:
(a) A força eletromotriz é dada pela lei de Faraday, ou seja, por
E = −
dΦ
dt
(9)
Assim sendo, precisamos da expressão para o fluxo Φ como função do tempo. Sabendo-se o campo magnético
gerado por um fio, podemos escrever
Φ =
∫
S(t)
~Bfio · ~dA =
∫ 2l
l
∫ z(t)
0
µ0I
2πy
ŷ · dAŷ =
µ0I
2π
∫ 2l
l
dy
y
∫ z(t)
0
dz =
µ0I
2π
z(t) log[y]
∣
∣
∣
2l
l
=
µ0I log 2
2π
z(t) (10)
donde
E = −
d
dt
[
µ0I log 2
2π
z(t)
]
= −
µ0I log 2
2π
v(t) (11)
onde v(t) é o módulo da velocidade da barra.
(b) Sabendo-se que a barra metálica tem resistência R, podemos obter a corrente induzida no circuito ABQPA
aplicando-se a lei de Ohm
Iind =
|E|
R
=
µ0I log 2
2πR
v(t) (12)
que, pela lei de Lenz, sabemos estar no sentido anti-horário. A força eletromagnética é então dada por
~FEM = Iind
∫ 2l
l
~dl × ~B =
µ0I log 2
2πR
v(t)
∫ 2l
l
(dyŷ)×
(
µ0I
2πy
)
x̂ =
µ20I
2 log 2
4π2R
v(t)
∫ 2l
l
dy
y
= −
(
µ0I log 2
2π
)2
v(t)
R
ẑ (13)
3
(c) Pela 2a lei de Newton, a velocidade terminal instála-se quando a força eletromagnética equilibra a força gravi-
tacional sofrida pela barra. Temos então
~FEM = − ~Fg ⇒
(
µ0I log 2
2π
)2
vterm
R
= Mg (14)
ou seja
~vterm =
(
2π
µ0I log 2
)2
MgRẑ (15)
(d) A potência dissipada na barra por efeito Joule é dada por
Pd = RI
2
ind = R
(
µ0I log 2
2πR
vterm
)2
=
(
µ0I log 2
2πR
)2
v2term =
R
R2
µ20I
2 2 log 2
4π2
(
4π2MgR
µ20I
2 2 log 2
)2
= R
(
2πMg
µ0I log 2
)2
(16)
que, com a ajuda de (14), podemos escrever
Pd = Mgvterm (17)
ou seja, a potência dissipada na barra é exatamente aquela forncecida pelo campo gravitacional.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica – F́ısica
III – 2012/2
Segunda Chamada: 11/03/2013
Versão: A
Formulário
~F e = q ~E , ~E = k0