Coletânea de provas (PF) de física 3 UFRJ (até 2018)

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Coletânea 
Provas Antigas 
 
P1 - P2 - PF
P1
P2
PF
Física III 
 
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2015/1 – Prova Final: 15/07/2015
Versão: A
Formulário
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E = 1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 , C = Q/V , ~J = nq~v , |~J| = I
A
, R =
ρL
A
,
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,
~B =
µ0I
2πs
ϕ̂
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2µ0
B2 ,
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Qual é o trabalho necessário para trazermos 3
part́ıculas do infinito, de cargas q1 = q2 = q, q3 = 3q, e
as colocarmos nos vértices de um triângulo equilátero
de lado L?
(a) 3q2/(4πǫ0L)
(b) 4q2/(4πǫ0L)
(c) 5q2/(4πǫ0L)
(d) 6q2/(4πǫ0L)
(e) 7q2/(4πǫ0L)
2. Seja uma região R delimitada por uma superf́ıcie fe-
chada S. Tal região possui uma densidade volumar
de carga não-uniforme ρ(~r) e uma carga total Q. A
partir da lei de Gauss, pode-se dizer que
(a) Se Q = 0, o campo elétrico é nulo no exterior
de R.
(b) Além de Q = 0, é necessário que ρ(~r) = 0 para
que o campo elétrico seja nulo no exterior de
R.
(c) Se Q = 0, o fluxo de campo elétrico sobre S é
nulo.
(d) Além de Q = 0, é necessário que ρ(~r) = 0 para
que o fluxo de campo elétrico seja nulo em S.
(e) Nenhuma das opções anteriores.
1
3. Uma part́ıcula alfa com carga 2e e massa 4m está
se movendo com velocidade ~v quando entra em um
campo magnético uniforme ~B fazendo um ângulo reto
com a sua direção de movimento. Um dêuteron de
carga e e massa 2m também entra no campo na mesma
direção e com a mesma velocidade. Calcule a dife-
rença entre os raios das trajetórias da part́ıcula alfa e
do dêuteron na região do campo magnético (sabendo-
se que v = |~v| e B = | ~B|)
(a) mv/eB
(b) 0
(c) 2mv/eB
(d) mv/2eB
(e) mv/4eB
4. Considere as seguintes afirmativas: (I) Quanto maior
é o fluxo de campo magnético através da superf́ıcie
delimitada por uma espira, maior será a f.e.m. indu-
zida nesta espira; (II) A f.e.m. induzida numa espira
depende se esta é feita de um material condutor ou
dielétrico; (III) A existência de f.e.m. induzida indica
que forças magnéticas, desde que dependam do tempo,
são capazes de realizar trabalho.
(a) Nenhuma afirmativa está correta.
(b) Apenas a afirmativa I está correta.
(c) Apenas a afirmativa II está correta.
(d) Apenas a afirmativa III está correta.
(e) As afirmativas I e II estão corretas.
(f) As afirmativas I e III estão corretas.
(g) As afirmativas II e III estão corretas.
(h) Todas as afirmativas estão corretas.
5. O mostrador de um relógio analógico, circular tem
part́ıculas com cargas positivas q, 2q, 3q e 4q nas
posições da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e
12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relógio
não perturbam o campo eletrostático criado por tais
part́ıculas. A que horas o ponteiro das horas aponta
na mesma direção e sentido do campo elétrico no cen-
tro do mostrador?
(a) 3 horas e 30 minutos.
(b) 4 horas e 30 minutos.
(c) 8 horas e 30 minutos.
(d) 10 horas e 30 minutos.
(e) 1 hora e 30 minutos.
6. Três resistores ciĺındricos circulares ôhmicos, 1, 2 e 3,
são constrúıdos com o mesmo material, de resistivi-
dade conhecida ρ. O resistor 1 tem comprimento L e
área de seção reta A, o resistor 2 tem comprimento L e
área de seção reta 2A, enquanto o resistor 3 tem com-
primento 2L e área de seção reta 2A. Se cada um des-
ses resistores for submetido a uma mesma diferença
de potencial entre suas extremidades, podemos afir-
mar, sobre os módulos Ji (i = 1, 2, 3) das densidades
de corrente que fluem ao longo deles, que
(a) J1 = J2 = J3.
(b) J1 = J2/2 = J3.
(c) J1 = J2 = J3/2.
(d) J1 = 2J2 = J3.
(e) J1 = J2 = 2J3.
7. Um elétron com velocidade ~v e massam entra num ca-
pacitor plano através de um pequeno orif́ıcio na placa
inferior, conforme indica a figura. Considere que, para
todos os efeitos, as placas tem área infinita. Qual a
trajetória seguida pelo elétron no interior do capaci-
tor?
v
(a) Um segmento de reta.
(b) Um arco de ćırculo.
(c) Um arco de parábola.
(d) Um arco de elipse.
(e) Um arco de hipérbole.
(f) Nenhuma das opçoes acima.
8. A lei de Ampère-Maxwell é válida
(a) quando existe um alto grau de simetria na ge-
ometria da situação.
(b) quando não há simetria.
(c) quando existe corrente de deslocamento.
(d) quando o campo magnético é constante.
(e) em todas as situações anteriores.
2
Figura 1: Plano condutor e placa dieétrica
Seção 2. Questões discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [3,2 pontos] Um plano dielétrico P1 possui densidade superficial de carga constante (estacionária e uniforme) σ > 0.
Coloca-se então, a uma distância 2d desse plano, uma placa condutora neutra P2, de espessura d e transversalmente
infinita, conforme mostra a figura 1. Determine (com justificativas!):
(a) o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico ~E1 produzido apenas pelo plano P1, para x > 0. [1,2 pontos]
(b) o campo no interior da placa condutora. [0,4 ponto]
(c) as densidades de carga induzidas σ1 e σ2 na placa condutora. [0,8 ponto]
(d) o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico ~E0 na região 0 < x < 2d. [0,8 ponto]
2. [2 pontos] A Figura 2 mostra um fio a, que consiste de dois segmentos retiĺıneos, semi-infinitos, ligados a um outro
semi-circular, de raio R, transportanto uma corrente I.
x̂
ŷ
ẑ
I R
O
fio a
fio b
L
Figura 2: Figura 2.
(a) Calcule o vetor campo magnético, gerado pelo fio a, no ponto O, centro do semi-ćırculo. Justifique cuidadosa-
mente. [1,2 ponto]
3
(b) Sabendo que um outro fio retiĺıneo infinito, b, está situado a uma distância L do fio a, paralelo a esse, quais
devem ser o valor e o sentido da corrente I0 no fio b para que o campo magnético resultante seja nulo em O? [0,8
ponto]
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (e)
2. (c)
3. (b)
4. (a)
5. (b)
6. (e)
7. (c)
8. (e)
1
Seção 2. Questões discursivas (3,2 + 2,0 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) O campo de um plano com densidade (superficial) de carga constante pode ser obtido a partir de suas simetrias
e da lei de Gauss. Devido a simetria plana, o campo elétrico em todo o espaço só depende da coordenada
x, e devido a simetria axial ele necessariamente aponta na direção x, ou seja, o campo elétrico do plano tem
a forma ~E1 = E1x̂ para x > d e ~E1 = −E1x̂ para x < 0, com E > 0. Traçando-se então uma superf́ıcie
gaussiana ciĺındrica S1 que cruza o plano e perpendicular a ele, temos, da lei de Gauss
∮
S1
~E1 · d~A =
Qint
ǫ0
⇒
∫
Slat
1
~E1 · d~A
︸ ︷︷ ︸
=0,pois ~E⊥d~A
+
∫
S
tampas
1
~E1 · d~A = 2
∫
E1dA = 2E1A =
σA
ǫ0
(1)
donde
E1 =
σ
2ǫ0
⇒ ~E1 =
σ
2ǫ0
x̂(x > 0) (2)
(b) Como a carga no plano dielétrico é constante, a placa condutora ficará em equiĺıbrio eletrostático na sua
presença, e portanto o campo é nulo.
(c) Como um condutor só pode ter cargas em sua superf́ıcie, a introdução da placa P2 gera efetivamente três
planos de carga com simetria plana. Pela neutralidade da placa, segue imediatamente que σ1 = −σ2. Pelo
prinćıpio da superposição , temos
~E1 + ~E2 + ~E3 =
[
σ
2ǫ0
+
σ1
2ǫ0
− σ2
2ǫ0
]
x̂ = 0 ⇒ σ
2ǫ0
+
2σ1
2ǫ0
= 0 ⇒ σ1 = −
σ
2
, (3)
e portanto
σ1 = −σ2 =
σ
2
.
(d) Sabendo-se todas as densidades superficiais, para encontrar o campo precisamos apenas do prinćıpio da su-
perposição
~E1 + ~E2 + ~E3 =
[
σ1
2ǫ0
− σ1
4ǫ0
+
σ1
4ǫ0
]
x̂ =
σ1
2ǫ0
x̂ , (4)
ou seja, é o mesmo campo do plano sozinho.
�
2. Resolução:
(a) O fio a pode ser dividio em três partes: dois fios semi-infinitos, e um semi-ćırculo. Pela lei de Biot-Savart,
vemos que os fios semi-infinitos não contribuem para o campo no ponto O, pois d~ℓ ‖~R. Já o campo gerado pelo
semi-ćırculo dá (tomando O como a nossa origem, ou seja, ~r = ~0 e ~r − ~r′ = −~r′ = −Rr̂)
~B =
µ0I
4π
d~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 =
µ0I
4π
∫
d~ℓ× (−Rr̂)
R3
=
µ0I
4πR2
∫ π
0
Rdθ (−θ̂ × r̂)
︸ ︷︷ ︸
=−ẑ
= − µ0I
4πR
ẑ
∫ π
0
dθ = −µ0I
4R
ẑ . (5)
(b) Bom, como o campo do fio a está ”entrando”no papel, corrente I0 deve estar no sentido positivo do eixo X ,
pois só assim o fio b produzirá um campo ”saindo”do papel, e portanto capaz de anular o do fio (a). Sabendo-se
então o campo do fio, temos, no ponto O
~Ba = − ~Bb ⇒
µ0I
4R
=
µ0I0
2πL
, (6)
2
ou seja
I0 =
IπL
2R
. (7)
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2015/1 – Prova Final: 15/07/2015
Versão: B
Formulário
~F = q ~E + q~v × ~B , ~E = 1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
~E ·d ~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = 1
4πǫ0
q
r
,
uE =
ǫ0
2
E2 , C = Q/V , ~J = nq~v , |~J| = I
A
, R =
ρL
A
,
d ~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d ~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× (~r−~r′)
|~r−~r′|3 ,
~B =
µ0I
2πs
ϕ̂
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB = LI , uB =
1
2µ0
B2 ,
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. O mostrador de um relógio analógico, circular tem
part́ıculas com cargas positivas q, 2q, 3q e 4q nas
posições da periferia correspondentes a 3, 6, 9 e
12 horas, respectivamente. Os ponteiros do relógio
não perturbam o campo eletrostático criado por tais
part́ıculas. A que horas o ponteiro das horas aponta
na mesma direção e sentido do campo elétrico no cen-
tro do mostrador?
(a) 3 horas e 30 minutos.
(b) 4 horas e 30 minutos.
(c) 8 horas e 30 minutos.
(d) 10 horas e 30 minutos.
(e) 1 hora e 30 minutos.
2. Um elétron com velocidade ~v e massam entra num ca-
pacitor plano através de um pequeno orif́ıcio na placa
inferior, conforme indica a figura. Considere que, para
todos os efeitos, as placas tem área infinita. Qual a
trajetória seguida pelo elétron no interior do capaci-
tor?
v
(a) Um segmento de reta.
(b) Um arco de ćırculo.
(c) Um arco de parábola.
(d) Um arco de elipse.
(e) Um arco de hipérbole.
(f) Nenhuma das opçoes acima.
1
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2014/1 – Prova Final: 26/05/2014
Versão: A
Formulário
~F e = q ~E , ~E =
1
4πε0
q
r2
r̂ (ε0 = 8,85× 10−12 F/m),
∮
S
~E ·d~A = Qint
ε0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ε0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , ~B = µ0
4π
∮
C
Id~ℓ× r̂
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B = LI , uB =
1
2
B2
µ0
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Próximo a um plano (infinito) P, com densidade su-
perficial de carga σ = const 6= 0, temos três siste-
mas, todos com a mesma carga elétrica (não nula):
(I) uma part́ıcula (pontual), (II) um sólido uniforme-
mente carregado, e (III) uma chapa bi-dimensional,
também uniformemente carregada. Assinale a opção
que melhor indica a relação entre os módulos das
forças elétricas devidas ao plano sobre cada um dos
sistemas.
(a) FI = FII = FIII .
(b) FI > FII > FIII .
(c) FII > FIII > FI .
(d) FI > FII > FIII .
(e) FI > FIII > FII .
2. Cada um de dois longos solenóides coaxiais é percor-
rido por uma corrente elétrica estacionária, de mesma
intensidade I, porém com sentidos contrários. Ambos
os solenóide têm o mesmo comprimento L, sendo que
o interno possui raio Ri e Ni voltas, ao passo que o ex-
terno possui raio Re e Ne voltas, sendo L ≫ Re > Ri
e Ni, Ne ≫ 1. Sendo r a distância até o eixo comum
dos solenóides, e considerando o campo magnético
fora dos dois solenóides igual a 0, podemos expres-
sar o campo magnético dentro do solenóide interno
(0 ≤ r < Ri) e entre os dois solenóides (Ri < r < Re),
respectivamente, como
(a) µ0 (Ne −Ni) Iẑ/L; µ0NeIẑ/L .
(b) µ0 (Ni −Ne) Iẑ/L; −µ0NeIẑ/L .
(c) µ0NeIẑ/L; µ0 (Ne −Ni) Iẑ/L .
(d) −µ0NeIẑ/L; µ0 (Ni −Ne) Iẑ/L .
(e) µ0 (Ne −Ni) Iẑ/r; µ0NeIẑ/r .
1
3. Um fio de cobre, cuja resistividade elétrica é
2,0×10−8 Ω·m e constante dielétrica praticamente
igual a 1, tem área de seção reta uniforme igual a
4 mm2. Num dado instante, a corrente que passa pelo
fio é de 20 A, mas está crescendo à taxa de 5,0×103
A/s. O número que melhor se aproxima da razão entre
a corrente de deslocamento dentro do fio e a corrente
de condução, nesse instante, é
(a) 10−5 .
(b) 10−10 .
(c) 10−16 .
(d) 1 .
(e) 105 .
(f) 1010 .
(g) 1016 .
4. Analise as seguintes afirmativas: (I) As linhas de
campo elétrico nunca se iniciam em um ponto no
espaço; (II) As linhas de campo elétrico nunca se cru-
zam em um ponto do espaço; e (III) As linhas de
campo elétrico nunca são fechadas. Qual(is) é(são)
verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas são verdadeiras.
(h) Nenhuma é verdadeira.
5. Analise as seguintes afirmativas: (I) Em uma certa
região do espaço, a carga elétrica total é zero; logo,
em qualquer ponto de sua superf́ıcie fronteiriça, o
campo elétrico também é zero; (II) Em equiĺıbrio ele-
trostático, o campo elétrico no interior de um material
isolante, é, necessariamente, zero; e (III) Se um condu-
tor, em equiĺıbrio eletrostático, é neutro, então a den-
sidade superficial de carga em qualquer ponto de sua
superf́ıcie é nula. Qual(is) é(são) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas são verdadeiras.
(h) Nenhuma é verdadeira.
6. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
(a) A capacitância de um capacitor, por definição,
é a quantidade total de carga que ele pode acu-
mular.
(b) Ao variarmos a diferença de potencial entre as
placas de um capacitor dado, fixo, de placas
paralelas, variamos a sua capacitância.
(c) Para um capacitor dado, fixo, de placas pa-
ralelas, ao dobrarmos a carga em cada placa,
dobramos a sua capacitância.
(d) A capacitância de um capacitor dado, fixo, au-
menta, quando inserimos algum material iso-
lante entre suas placas, todo o resto mantendo-
se inalterado.
(e) Ao dobrarmos a carga armazenada em um
dado capacitor, também dobramos a energia
armazenada nele.
2
7. Dois fios retiĺıneos muito longos, paralelos, a uma
distância de 1 m entre si, transportam, cada um,
uma corrente elétrica estacionária de 1 A. O módulo
da força magnética por unidade de comprimento que
cada um exerce sobre o outro é
(a) 4πµ0 A
2/m .
(b) 2πµ0 A
2/m .
(c) πµ0 A
2/m .
(d) µ0/π A
2/m .
(e) µ0/(2π) A
2/m .
(f) µ0/(4π) A
2/m .
8. Considere as seguintes afirmações: (I) Em uma dada
região, existe, originalmente, um campo magnético
constante (estacionário e uniforme) e uma superf́ıcie
aberta plana. Se o módulo de tal campo for dobrado
e a área da superf́ıcie for quadruplicada, mantendo-
se plana e com a mesma orientação, então o fluxo de
campo magnético, através da nova superf́ıcie, cresce
por um fator quatro, em comparação com a antiga
superf́ıcie; (II) De acordo com a lei de Faraday, a
condição necessária e suficiente para que uma força
eletromotriz seja induzida em um circuito fechado é a
presença no circuito de um campo magnético que varia
com o tempo; e (III) Se uma espira condutora próxima
a um ı́mã começa a afastar-se desse, então surge uma
força repulsiva entre o ı́mã e a espira. Qual(is) é(são)
a(s) afirmativa(s) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1. [2,6 pontos] Um cilindro circular,muito longo, possui uma densidade
volumar de carga elétrica estacionária, mas não uniforme ρ(r) = A/r,
onde A = const e r é a usual coordenada radial, medida a partir do
eixo de simetria do cilindro. Envolvendo tal cilindro, temos uma casca
ciĺındrica circular espessa, coaxial, também muito longa, de raios in-
terno b e externo c, condutora e neutra.
(a) Determine a carga por unidade de comprimento axial, no cilindro
interno. [0,5 ponto]
(b) Determine o campo elétrico em um ponto genérico dentro do ci-
lindro interno, com coordenada radial 0 ≤ r ≤ a. [0,7 ponto]
(c) Determine o campo elétrico em um ponto genérico na região entre
os dois cilindros, com coordenada radial a ≤ r < b. [0,5 ponto]
(d) Determine o campo elétrico em um ponto genérico dentro da casca
condutora, com coordenada radial b < r < c. [0,4 ponto]
(e) Determine o campo elétrico em um ponto genérico na região ex-
terior aos dois cilindros, com coordenada radial c < r < ∞. [0,5
ponto]
2.
3
[2,6 pontos] A figura mostra uma barra retiĺınea condu-
tora, de massa m, comprimento L e resistência elétrica R,
movendo-se com uma velocidade constante ~v ao longo de
trilhos condutores, retiĺıneos horizontais, fixos. Tal cir-
cuito está sob ação de um campo magnético gerado por
uma corrente elétrica estacionária i fluindo por um fio
retiĺıneo longo, paralelo à barra e no mesmo plano do cir-
cuito. A resistência dos trilhos, assim como a capacitância
e a auto-indutância do circuito e a indutância mútua entre
o circuito e o fio retiĺıneo (de corrente i) podem e devem
ser desprezadas.
(a) Obtenha uma expressão para a corrente elétrica no
circuito, I, como função da distância x da barra ao fio, ex-
plicitando, ademais, o sentido de tal corrente. [Sugestão:
não precisa deduzir o campo magnético de uma corrente
retiĺınea estacionária, muito longa.] [1,2 ponto]
(b) Obtenha uma expressão para a taxa temporal de
dissipação de energia, pelo efeito Joule, na barra, como
função de x. [0,6 ponto]
(c) Obtenha uma expressão para a força externa que pre-
cisa ser aplicada à barra para manter a sua velocidade
constante. [0,8 ponto]
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (a)
3. (c)
4. (b)
5. (h)
6. (d)
7. (e)
8. (h)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) [0,5]
No (sub-)cilindro sombreado, de raio a, com altura ou espessura infinitesimal dz, coaxial com o cilindro interno,
teremos a seguinte quantidade infinitesimal de carga elétrica:
dq =
∫ a
r=0
ρ(r) 2πr dr dz
=
∫ a
r=0
A
r
2πr dr dz
= 2πA
∫ a
r=0
dr dz
= 2πAa dz .
Logo, a quantidade de carga por unidade de comprimento axial será
λ :=
dq
dz
= 2πAa .
1
�
(b) [0,7]
• 0 ≤ r ≤ a:
Devido à simetria ciĺındrica da distribuição de carga, o campo elétrico deve ter somente componente radial, sendo
esta função apenas da coordenada radial r:
~E = Er(r) r̂ .
Isso sugere, pois, aplicar a lei de Gauss para determinar tal campo elétrico, escolhendo como superf́ıcie gaussiana,
S, uma superf́ıcie ciĺındrica circular, coaxial com o cilindro interno e a casca externa. Suporemos que o raio genérico
de tal gaussiana é justamente r e que sua altura é L, de modo que a expressão do fluxo do campo elétrico reduz-se
a
Φ~E :=
∮
S
~E · d~A
=
∮
S
Er(r) r̂ · d~A
=
∫
Slat
Er(r) dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrL .
Por sua vez, a carga total encerrada por tal gaussiana é [cf. item (a)]
Q(r) =
∫ r
r′=0
ρ(r′) 2πr′ dr′L
= 2πArL .
Logo, pela lei de Gauss,
~E =
A
ε0
r̂ .
�
(c) [0,5]
• a ≤ r < b:
A expressão genérica do fluxo continua como dada acima, no item (b), e a carga encerrada agora é
Q(r) = λL .
Logo,
~E =
λ
2πε0r
r̂ =
Aa
ε0r
r̂ .
�
(d) [0,4]
• b < r < c:
Como o sistema em geral e a casca condutora em particular estão em equiĺıbrio eletrostático, o campo elétrico
(macroscópico) dentro da casca é, por definição de condutor e de equiĺıbrio eletrostático, nulo:
~E = ~0 .
�
2
(e) [0,5]
• c < r < +∞:
A expressão genérica do fluxo continua como dada acima, no item (b), e a carga encerrada mais uma vez é
Q(r) = λL .
Logo,
~E =
λ
2πε0r
r̂ =
Aa
ε0r
r̂ .
�
2. Resolução:
(a) [1,2 ponto]
Isto é um problema t́ıpico de força eletromotriz de movimento. Como a superf́ıcie (plana), S, delimitada pelos
trilhos e a barra deslizante tem área progressivamente maior e o campo magnético gerado pelo fio longo aponta,
através da referida superf́ıcie S, para fora do papel, o campo magnético induzido terá de ter a direção perpendicular
à folha de papel e o sentido para dentro; logo, a corrente induzida terá o sentido horário.
No que concerne sua intensidade, raciocinamos da seguinte forma. O campo da corrente estacionária ao longo do
fio retiĺıneo, a uma distância x, é
~B =
µ0i
2πx
ϕ̂ .
Destarte, o fluxo, quando a barra está na posição x, é
Φ~B :=
∫
S
~B · d~A
=
∫ x
x′=a
µ0i
2πx′
Ldx′
=
µ0iL
2π
∫ x
x′=a
1
x′
dx′
=
µ0iL
2π
ln
(x
a
)
.
Pela lei de Faraday, a correspondente fem induzida será, pois,
Eind = −
dΦ~B
dt
= −µ0iLv
2πx
.
Finalmente, já que a capacitância e auto-indutância do circuito, assim como a indutância mútua entre ele e o fio
longo são despreźıveis, a intensidade da corrente elétrica induzida será, então
I =
µ0iLv
2πxR
.
�
(b) [0,6 ponto]
Através de um fio condutor ôhmico, com resistência R e corrente I, sujeito a uma fem E, há uma potência dissipada
dada por
P = EI = RI2 = E2/R .
3
Logo,
P =
µ20i
2L2v2
4π2x2R
.
�
(c) [0,8 ponto]
Para que a velocidade da barra se mantenha constante, uma força externa, ~F ext, deve ser aplicada para contraba-
lançar a força magnética, ~Fm, sobre a barra, devida ao fio longo. Logo,
Fext = Fm
= ILB .
Então, usando I e B do item (a), vem
~F ext =
µ20i
2L2v
4π2x2R
x̂ ,
onde o vetor unitário x̂ aponta, no caso, da direita para a esquerda.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2013/2 – Prova Final: 04/12/2013
Versão: A
Formulário
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πε0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ε0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ε0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ℓ× ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B = µ0
4π
Id~ℓ× r̂
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B = LI , uB =
1
2
B2
µ0
;
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Três part́ıculas de cargas elétricas iguais a q estão dis-
postas em uma reta e a distância entre cada uma e
a vizinha é dada por r. Qual é a energia poten-
cial elétrica do sistema, supondo-a zero quando as
part́ıculas estão infinitamente afastadas umas das ou-
tras?
(a)
1
4πε0
q2
r
.
(b)
3
4πε0
q2
r
.
(c)
3
8πε0
q2
r
.
(d)
5
8πε0
q2
r
.
(e)
1
2πε0
q2
r
.
2. Sobre a lei de Ampère, indique a alternativa cor-
reta.
(a) Só é válida quando existe um alto grau de si-
metria.
(b) Só é válida quando não existe nenhuma sime-
tria.
(c) Só é válida quando a corrente elétrica for esta-
cionária.
(d) Só é válida quando o campo magnético for
constante, ou seja, estacionário e uniforme.
(e) Só é válida quando o campo elétrico for cons-
tante, ou seja, estacionário e uniforme.
3. Dois fios retiĺıneos paralelos, muito longos, transpor-
tam correntes elétricas estacionárias de intensidades
I1 = I e I2 = 2I, no mesmo sentido. Os módulos F1 e
F2 das forças magnéticas sobre os correspondents fios
estão relacionados por
(a) F1 = 2F2 .
(b) F1 = F2 .
(c) F2 = 2F1 .
(d) F1 = 4F2 .
(e) F2 = 4F1 .
1
4. Quando uma part́ıcula carregada está na proximidade
de um condutor neutro, qual das seguintes afirmativas
é correta?
(a) Independentemente do sinal de sua carga
elétrica, a part́ıcula nunca sofre uma força ele-
trostática, devida ao condutor.
(b) Independentemente do sinal de sua cargaelétrica, a part́ıcula sempre sofre uma força ele-
trostática atrativa, devida ao condutor.
(c) Independentemente do sinal de sua carga
elétrica, a part́ıcula sempre sofre uma força ele-
trostática repulsiva, devida ao condutor.
(d) Se a sua carga elétrica for positiva, a part́ıcula
sempre sofre uma força eletrostática repulsiva,
devida ao condutor, ao passo que, se a sua
carga elétrica for negativa, a part́ıcula sempre
sofre uma força atrativa, devida ao condutor.
(e) Se a sua carga elétrica for negativa, a part́ıcula
sempre sofre uma força eletrostática repulsiva,
devida ao condutor, ao passo que, se a sua
carga elétrica for positiva, a part́ıcula sempre
sofre uma força atrativa, devida ao condutor.
5. Considere as seguintes três afirmativas: (I) se o fluxo
do campo elétrico através de uma superf́ıcie fechada
for nulo, o campo elétrico em todos os pontos da su-
perf́ıcie é zero; (II) se o fluxo do campo elétrico através
de uma superf́ıcie fechada for nulo, a carga total no in-
terior da superf́ıcie é zero, e (III) se o fluxo do campo
elétrico através de uma superf́ıcie fechada for positivo,
aumentando-se a área de tal superf́ıcie (sem que novas
cargas sejam adicionadas), o fluxo diminui. Qual(is)
delas está(ão) correta(s)?
(a) Somente a I.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a II e a III.
(g) Todas estão corretas.
(h) Nenhuma está correta.
6. Duas part́ıculas, com cargas elétricas q e Q (q 6= Q),
separadas por uma distância d, produzem, em um
ponto P, um potencial eletrostático nulo: V (P) = 0,
supondo-o zero no infinito. Isso significa que
(a) a particula de carga q não exerce força ele-
trostática sobre a part́ıcula de carga Q.
(b) q e Q devem ter o mesmo sinal.
(c) o campo eletrostático deve ser zero em P.
(d) o trabalho total para trazer a part́ıcula de
carga Q, a partir do infinito, até uma distância
d da part́ıcula de carga q, é zero.
(e) o trabalho total para trazer uma part́ıcula car-
regada de teste do infinito para o ponto P é
zero.
7. Uma corrente elétrica não estacionária, da forma
i(t) = I0 cos(ωt) (onde I0 e ω são constantes), passa
por um solenóide de auto-indutância L. Para essa
situação, qual das alternativas abaixo é correta?
(a) A energia magnética armazenada no indutor é
estacionária e proporcional ao quadrado de I0.
(b) Surge um campo magnético, estacionário e uni-
forme, no interior do solenóide, paralelo a seu
eixo de simetria.
(c) Surge um campo elétrico induzido, no in-
terior do solenóide, perpendicular ao campo
magnético gerado pela corrente i(t).
(d) A auto-indutância do solenóide varia no
tempo, seguindo a variação da corrente i(t).
(e) O solenóide induz, nele mesmo, uma força ele-
tromotriz E que, para qualquer instante de
tempo, é contrária ao sentido da corrente i(t).
2
8. Uma bobina quadrada, de lado a, possui N espiras
e está livre para girar em torno de um eixo para-
lelo a dois de seus lados e que passa pelo seu centro.
Tal bobina está completamente imersa em um campo
magnético ~B constante (estacionário e uniforme). Su-
pondo que o ângulo que o plano da bobina faz com
o campo magnético é dado por θ = θ(t), quais são o
fluxo do campo magnético através da bobina e a fem
induzida ao longo dela?
(a) 4NBa sen θ e −4NBaθ̇ cos θ .
(b) 4NBa cos θ e 4NBaθ̇ sen θ .
(c) NBa2 sen θ e −NBa2θ̇ cos θ .
(d) NBa2 cos θ e NBa2θ̇ sen θ .
(e) NBa2 e 0, pois a área e o campo têm módulos
constantes (no tempo).
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1. [2,6 pontos] Uma esfera sólida, isolante, de raio a e carga Q, estacionária e uniformemente distribúıda por todo o
seu interior, é concêntrica com uma casca, também esférica, condutora, neutra, de raios interno b e externo c, em
equiĺıbrio eletrostático.
(a) Determine o vetor campo elétrico no interior da esfera sólida: 0 ≤ r ≤ a. Considere a constante dielétrica igual
a 1. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico na região entre a esfera sólida e a casca: a ≤ r ≤ b. [0,6 ponto]
(c) Determine a diferença de potencial entre um ponto da superf́ıcie externa da casca (r = c) e um ponto da
superf́ıcie da esfera sólida (r = a), ou seja, V (c)− V (a). [1,0 ponto]
3
2. [2,6 pontos] A densidade de corrente elétrica estacionária através do interior de um fio ciĺındrico, circular, longo,
de raio R, coaxial com o eixo Z, é dada por
~J =





3J0r
2R
ẑ , se 0 ≤ r ≤ R ;
~0 , se R < r < ∞ ,
onde r é a tradicional coordenada ciĺındrica radial (distância ao eixo do fio).
(a) Determine a intensidade de corrente elétrica I(r) que flui através de uma “seção reta” circular de raio r < R,
centrada no eixo do fio. [0,6 ponto]
(b) Determine o vetor campo magnético dentro do fio: 0 ≤ r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magnético fora do fio: R ≤ r < ∞. [1,0 ponto]
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (c)
3. (b)
4. (b)
5. (b)
6. (e)
7. (c)
8. (c)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) 0 ≤ r ≤ a:
Devido à simetria esférica da distribuição de carga, resolveremos os itens (a) e (b) usando a lei de Gauss. Para cada
uma das regiões mencionadas em tais itens, vale, pela supracitada simetria que o campo elétrico, a ser descoberto,
é puramente radial, sendo sua componente função só da distância ao centro, r, ou seja,
~E = Er(r) r̂ .
Isso sugere, pois, usarmos, em ambos os itens (a) e (b), uma superf́ıcie gaussiana esférica, centrada no centro da
distribuição de carga, de raio t́ıpico r. Nela, o fluxo será dado por
Φ~E [S] :=
∫
S
~E · d~A
=
∫
S
Er(r)r̂ · r̂dA
=
∫
SEr(r) dA
= Er(r)
∫
S
dA ,
ou seja,
Φ~E = 4πr
2Er(r) . (1)
O que vai diferir, nos itens (a) e (b) é a carga no interior da gaussiana. No caso presente (0 ≤ r ≤ R), a carga
encerrada no interior da gaussiana será:
Qint = Q(r)
=
∫ r
r′=0
ρ dV
= ρ
∫ r
r′=0
dV
= ρV(r)
= ρ
4
3
πr3 ,
1
ou seja,
Qint =
Q
R3
r3 . (2)
Pela lei de Gauss, isso deve ser igual ao fluxo elétrico (1) vezes ε0, ou seja,
Er(r)4πr
2 =
Q
ε0
r3
R3
.
Portanto, finalmente,
~E =
Q
4πε0R3
r r̂ .
�
(b) a ≤ r ≤ b:
Neste caso, a carga encerrada no interior da gaussiana será toda a carga da esfera sólida, ou seja,
Qint = Q .
Logo, pela lei de Gauss, agora vale
Er4πr
2 =
Q
ε0
,
ou
~E =
1
4πε0
Q
r2
r̂ . (3)
�
(c) Naturalmente, a relação básica em questão é:
dV = −~E · d~ℓ .
Temos de integrar isso de r = a até r = c, para obtermos:
∫ c
r=a
dV = −
∫ c
r=a
~E · d~ℓ
V (c)− V (a) = −
∫ b
r=a
~E · d~ℓ−
∫ c
b
~E · d~ℓ
= −
∫ b
r=a
~E · d~ℓ− ~0 ,
pois, no interior de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Logo, continuando, ao levar
em conta (3), obtemos
V (c)− V (a) = −
∫ c
r=a
1
4πε0
Q
r2
r̂ · d~ℓ
= − Q
4πε0
∫ c
r=a
dr
r2
,
ou seja,
V (c)− V (a) = Q
4πε0
(
1
b
− 1
a
)
.
�
2
2. Resolução:
(a) A intensidade de corrente elétrica que cruza a “seção reta” circular S, de raio r < R, é dada por
I[r] =
∫
S
~J · d~A
=
∫ r
r′=0
3J0r
′
2R
ẑ · ẑdA
=
∫ r
r′=0
3J0r
′
2R
2πr′ dr′
=
3πJ0
R
∫ r
r′=0
r′2 dr′ ,
ou seja,
I[r] =
πJ0
R
r3 . (4)
�
(b) 0 ≤ r ≤ R:
Visto que a fonte de corrente estacionária goza de simetria ciĺındrica, convém utilizarmos a lei de Ampère, a partir
da expressão do campo magnético como
~B = Bϕ(r) ϕ̂(ϕ) ,
onde, naturalmente, estamos usando coordenadas ciĺındricas (r, ϕ, z). Tal simetria sugere escolher, como curva
ampèriana, uma circunferência de ćırculo C, de raio t́ıpico r, concêntrica com o eixo da distribuição de corrente e
com o seu plano perpendicular a tal eixo. Destarte, a circulação ao longo de C será
Γ~B[C] =
∮
C
~B · d~ℓ
=
∮
C
Bϕ(r) ϕ̂(ϕ) · d~ℓ
= Bϕ(r)
∮
C
dℓ ,
ou seja,
Γ~B[C] = 2πrBϕ(r). (5)
Ora, igualando isso com a corrente encerrada dada por (4), vezes µ0, obtemos
2πrBϕ(r) = µ0
πJ0
R
r3 ,
ou, finalmente,
~B =
µ0J0
2R
r2 ϕ̂ .
�
(c) r ≤ r < ∞:
Agora, a corrente encerrada é um caso particular de (4) quando r = R, ou seja,
Ienc = πJ0R
2 .
3
Portanto, tendo em mente que ainda vale a expressão genérica para a circulação dada por (5), a lei de Ampère
fornece
2πrBϕ(r) = µ0πJ0R
2 ,
ou seja,
~B = µ0
J0R
2
2r
ϕ̂ .
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2013/1 – Prova Final: 19/07/2013
Versão: A
Formulário
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ǫ0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
~F m = q~v × ~B , d~F m = Id~ℓ × ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ × r̂
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B[1] = LI1 + MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
;
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Temos dois fios retiĺıneos, finos, paralelos. Um deles
é muito longo (supostamente infinito) e o outro tem
comprimento L. O fio infinito tem uma densidade li-
near de carga λ, ao passo que o fio finito tem uma den-
sidade linear de carga λ′, ambas constantes. Sabendo
que o campo elétrico do fio muito longo, em um ponto
qualquer a uma distância s dele, é ~E = λ/(2πε0s) ŝ,
qual é a força elétrica do fio infinito sobre o finito?
(a)
1
4πε0
λλ′L2
s2
ŝ.
(b)
1
4πε0
λλ′L
s
ŝ.
(c)
1
2πε0
λλ′
sL
ŝ.
(d)
1
2πε0
λλ′L
s
ŝ.
(e)
1
2πε0
λλ′L2
s2
ŝ.
2. Em um intervalo de tempo 0 < t1 < t < t2, com
t1 e t2 constantes, um anel circular tem seu raio
variando como: R(t) = At, onde A é uma cons-
tante positiva. Perpendicular ao plano do anel, existe
um campo magnético estacionário, mas não uniforme,
cujo módulo, no plano do anel, varia como: B(r) =
Cr, onde C é uma constante positiva e r é a distância
até o centro do anel. Qual é o módulo da força eletro-
motriz induzida ao longo do anel, durante o intervalo
de tempo acima mencionado?
(a) 2πCA3t2.
(b) 3πCA3t2.
(c) CA3t3.
(d) 2CA3t2.
(e) 3CA3t2.
1
3. Um anel circular, de raio R, possui carga total Q, uni-
formemente distribúıda. Tal anel é colocado para gi-
rar, com velocidade angular ~ω constante, orientada ao
longo do eixo de simetria perpendicular ao seu plano.
Qual é, então, o campo magnético no centro do anel?
(a)
µ0Q
2πR
~ω.
(b)
µ0Q
2R
~ω.
(c)
µ0Q
4R
~ω.
(d)
µ0Q
R
~ω.
(e)
µ0Q
πR
~ω.
(f)
µ0Q
4πR
~ω.
4. Considere um capacitor ideal de placas quadradas,
planas e paralelas. Mantendo-se a carga de cada placa
constante, uma chapa espessa de isolante, é inserida
na região entre as placas do capacitor original. Sendo
E0 o módulo do campo elétrico entre as placas do ca-
pacitor original, e Ei (i = 1, 2) os módulos do campo
elétrico, nos pontos Pi (i = 1, 2), após a introdução do
isolante, o que pode ser afirmado sobre tais módulos?
(a) E0 < E1 < E2.
(b) E0 > E1 > E2.
(c) E0 > E2 > E1.
(d) E0 < E2 < E2.
(e) E0 = E2 < E1.
(f) E0 = E2 > E1.
(g) E0 = E1 > E2.
(h) E0 = E1 < E2.
2
5. Um circuito retangular ABCD, de comprimento a e
largura b, é percorrido por uma corrente elétrica es-
tacionária, de intensidade I. Os seus lados paralelos
AB e CD estão sujeitos a campos magnéticos cons-
tantes (estacionários e uniformes) iguais a, respecti-
vamente, ~BAB = B0 ẑ (B0 = const) e ~BCD = −~BAB.
Qual é a força magnética resultante sobre o circuito?
(a) 2IB0a ŷ.
(b) −2IB0a ŷ.
(c) −2IB0b ŷ.
(d) 2IB0b ŷ.
(e) IB0(a + b) ŷ.
(f) ~0.
6. Considere o trabalho realizado pelas forças elétricas
nas seguintes três situações: (I) duas part́ıculas, de
mesma carga elétrica Q, são trazidas de uma distância
infinita até uma distância R (entre si); (II) uma
casca esférica (superficial), de raio R, com carga Q
uniformemente distribúıda, é montada a partir de
part́ıculas, com carga infinitesimal, trazidas do infi-
nito, e (III) uma esfera (sólida), de raio R, com carga
Q uniformemente distribúıda em seu volume, é mon-
tada a partir de part́ıculas, com carga infinitesimal,
trazidas do infinito. O que se pode afirmar sobre tais
trabalhos, Wi (i = I, II, III)?
(a) WII < WIII < WI.
(b) WII > WIII > WI.
(c) WI > WII > WIII.
(d) WI < WII < WIII.
(e) WIII > WI > WII.
(f) WIII < WI < WII.
7. Duas part́ıculas, de cargas Q e q (Q 6= q), sepa-
radas por uma distancia d, produzem um potencial
V (P) = 0 no ponto P, sendo o potencial também
igual a zero no infinito. Isso significa necessariamente
que:
(a) não há força elétrica atuando em uma part́ıcula
de teste carregada situada no ponto P.
(b) Q e q devem ter o mesmo sinal.
(c) o campo elétrico tem que ser nulo no ponto P.
(d) o trabalho para trazer a part́ıcula de carga Qdo
infinito para uma distância d da part́ıcula de
carga q é zero.
(e) o trabalho realizado pela força elétrica ao tra-
zer uma part́ıcula de teste carregada do infinito
para o ponto P é zero.
8. Um próton e um elétron se movem, paralelamente,
com velocidades (vetoriais) constantes iguais e de
módulo muito pequeno. A força elétrica entre eles
é atrativa ou repulsiva? E a força magnética?
E a força eletromagnética resultante (elétrica +
magnética)?
(a) Atrativa. Atrativa. Atrativa.
(b) Atrativa. Atrativa. Repulsiva.
(c) Atrativa. Repulsiva. Atrativa.
(d) Atrativa. Repulsiva. Repulsiva.
(e) Repulsiva. Repulsiva. Repulsiva.
(f) Atrativa. Nula. Atrativa.
3
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Uma esfera (sólida), de raio R e carga total Q, possui densidade volumar de carga dada por
ρ(r) = ρ0
(
1 −
r
R
)
,
onde ρ0 é uma constante e r é a usual coordenada radial, medida a partir do centro da esfera.
(a) Deduza uma expressão para Q como função de ρ0 e R. [0,6 ponto]
(b) Determine o campo elétrico nas duas regiões t́ıpicas do espaço: 0 ≤ r ≤ R e R ≤ r < ∞. [1,0 ponto]
(c) Determine a diferença de potencial, V (P2)−V (P1), entre os pontos P1 = (2R, θ1, ϕ1) e P2 = (R/2, θ2, ϕ2). [1,0
ponto]
2. [2,6 pontos] Um fio retiĺıneo, fino, muito longo, transporta uma corrente estacionária, de intensidade I. A uma
distância b do fio, há um circuito composto por fios condutores ideais (sem resistência) e uma barra deslizante, de
comprimento a, também condutora, com resistência R. No instante t = 0, a barra se encontra no ińıcio do circuito
(portanto, à distância b do fio), e é, então, puxada para a direita, com uma velocidade constante v0ŝ.
(a) Deduza o campo magnético ~B, devido ao fio retiĺıneo, em um ponto arbitrário, de coordenadas ciĺındricas
(s, ϕ, z). [0,6 ponto]
(b) Determine o fluxo do campo magnético através do circuito como função do tempo. [1,0 ponto]
(c) Determine o módulo e o sentido da corrente induzida no circuito. [1,0 ponto]
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (a)
3. (f)
4. (g)
5. (b)
6. (a)
7. (e)
8. (c)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resolução:
(a) Por definição,
dQ(r) = ρ(r)dV ,
onde
ρ = ρ0 (1 − r/R) .
Devido à simetria esférica (da distribuição de carga), podemos escolher de trabalhar direto com a carga dentro de
uma casca esférica, de raio interno r e espessura (infinitesimal) dr, cujo volume (infinitesimal) é, pois,
dV = 4πr2dr .
Logo, a carga (infinitesimal) correspondente é
dQ = 4πρ0
(
r2 − r3/R
)
dr ,
de modo que a carga total na esfera é
Q = 4πρ0
∫ R
r=0
(
r2 − r3/R
)
dr
= 4πρ0
(
1
3
r3 −
1
4
r4
R
)
∣
∣
∣
∣
R
r=0
,
ou seja,
Q =
1
3
πρ0R
3 .
�
(b) Devido à simetria esférica (da distribuição de carga), convém utilizar coordenadas esféricas (r, θ, ϕ) e o campo
elétrico só terá componente radial Er, sendo esta dependente unicamente da coordenada r, ou seja,
1
~E(r, θ, ϕ) = Er(r) r̂(θ, ϕ) .
Usaremos, agora, a lei de Gauss. Como o módulo do campo elétrico só depende da distânciaaté o centro da
distribuição e a sua direção é radial, somos levados a escolher como superf́ıcie gaussiana a superf́ıcie S de uma
1Note, en passant, que o campo em si depende das três coordenadas: de r, por intermédio da componente Er, e de θ e ϕ, por intermédio
do versor r̂.
1
esfera genérica, de raio r, que passa pelo ponto genérico P onde queremos calcular o campo. Com isso, por definição
de fluxo, temos
Φ~E[S] :=
∮
S
~E · d~A
=
∮
S
Er(r)r̂ · r̂dA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Por outro lado, devemos calcular a carga Qint, no interior da gaussiana, para as duas regiões t́ıpicas do espaço.
• R ≤ r < ∞:
Aqui, obviamente, a carga encerrada é a carga total da esfera:
Qint = Q .
Logo, pela lei de Gauss,
Er(r) =
1
4πε0
Q
r2
,
ou seja,
~E =
1
4πε0
Q
r2
r̂ .
• 0 ≤ r ≤ R:
Aqui, a carga encerrada é aquela dada por uma integral definida semelhante à do item (a), exceto pelo limite
superior, que agora vale r < R e não R (pois estamos dentro da distribuição de carga). Logo,
Qint = 4πρ0
∫ r
r′=0
(
r′2 − r′3/R
)
dr′
= 4πρ0
(
1
3
r3 −
1
4
r4
R
)
.
Logo, pela lei de Gauss,
Er(r) =
ρ0
ε0
(
1
3
r −
1
4
r2
R
)
ou seja,
~E =
ρ0
ε0
(
1
3
−
1
4
r
R
)
r r̂ ,
ou
~E =
Q
4πε0
(
4 − 3
r
R
) r
R3
r̂ .
Coligindo os resultados, temos, ainda, equivalentemente,
~E =





1
4πε0
Q
R3
(
4 − 3
r
R
)
r r̂
1
4πε0
Q
r2
r̂ .
�
2
(c) Por definição,
dV = −~E · d~ℓ .
Logo, integrando desde P1 até P2, temos
V (P2) − V (P1) = −
∫
P2
P1
~E · d~ℓ
= −
∫ R
r=2R
~E · d~ℓ −
∫ R/2
r=R
~E · d~ℓ
= −
∫ R
r=2R
1
4πε0
Q
r2
dr −
∫ R/2
r=R
1
4πε0
Q
R3
(
4 − 3
r
R
)
r dr
=
Q
4πε0
(
1
r
)
∣
∣
∣
∣
R
r=2R
−
Q
4πε0R3
(
2r2 −
r3
R
)
∣
∣
∣
∣
R/2
r=R
,
ou seja,
V (P2) − V (P1) =
9Q
32πε0R
.
�
2. Resolução:
(a) Devido à simetria ciĺındrica da distribuição de corrente estacionária, suplementada pela lei de Gauss do mag-
netismo e condições de contorno apropriadas, temos que
~B(s, ϕ) = Bϕ(s) ϕ̂(ϕ) .
Isso sugere que, na aplicação da lei de Ampère para determinação do campo magnético, escolhamos como curva
ampèriana uma circunferência de ćırculo C, de raio s, coaxial com o eixo da corrente. Ao longo dela, a circulação
do campo magnético é, pois,
Γ~B[C] :=
∮
C
~B · d~ℓ
=
∮
C
Bϕ(s)dℓϕ
= Bϕ
∮
C
dℓϕ
= 2πsBϕ(s) .
Por outro lado, a corrente encerrada é
Ienc = I .
Logo, pela lei de Ampère, temos
Bϕ(s) =
µ0I
2πs
,
ou
~B =
µ0I
2πs
ϕ̂ .
�
(b) Em um determinado instante t, a barra se encontra na posição radial
s(t) = b + v0t .
3
Nesse instante, o circuito completo encontra-se imerso no campo magnético não uniforme, devido ao fio retiĺıneo
infinito, de modo que o correspondente fluxo através da superf́ıcie retangular S definida pelo circuito envolve uma
integral de superf́ıcie não trivial, dada por
Φ~B[S] :=
∫
S
~B · d~A
=
∫
S
µ0I
2πs′
ϕ̂ · d~A .
Qual é o vetor d~A? Naturalmente, pode ser tomado como aquele associado a um retângulo infinitesimal, paralelo
ao fio retiĺıneo de fonte, em uma posição genérica s′ e com uma espessura infinitesimal ds′, ou seja,
d~A = a ds′ .
Logo, o fluxo fica
Φ~B[S] =
∫ s(t)
s′=b
µ0I
2πs′
a ds′
=
µ0Ia
2π
∫ s(t)
s′=b
ds′
s′
=
µ0Ia
2π
ln
[
s(t)
b
]
.
ou seja,
Φ~B[S] =
µ0Ia
2π
ln
[
b + v0t
b
]
.
�
(c) Começaremos, de fato, com o sentido da corrente induzida. Como, nitidamente, o módulo do fluxo magnético
cresce, com o movimento da barra, é óbvio, pela lei de Lenz, que deverá surgir um campo magnético induzido
de sentido o mais oposto posśıvel àquele já pré-existente, devido ao fio infinito retiĺıneo. Concretamente, pois, o
sentido da corrente induzida deve ser o anti-horário.
Quanto ao módulo, basta calcularmos a derivada temporal do fluxo do item (b) e dividirmos pela resistência R da
barra; ou seja,
Iind =
E
R
=
|dΦ~B/dt|
R
=
µ0Ia
2πR
ṡ
s
,
ou seja,
Iind =
µ0Ia
2πR
v0
b + v0t
.
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica – F́ısica
III – 2012/2
Prova Final: 25/02/2013
Versão: A
Formulário
~F e = q ~E , ~E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A =
Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ǫ0E
2 , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
~F m = q~v × ~B , d~F m = Id~ℓ × ~B ,
∮
S
~B ·d~A = 0 , d ~B =
µ0
4π
Id~ℓ × r̂
r2
,
∮
C
~B · d~ℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦ~E
dt
, Eind = −
dΦ~B
dt
, Φ~B[1] = LI1 + MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
;
sen2 θ =
1 − cos (2θ)
2
, cos2 θ =
1 + cos (2θ)
2
, sen θ cos θ =
sen (2θ)
2
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Em um dado instante, uma espira de cobre encontra-
se em repouso, com uma parte dentro de uma região
com campo magnético e a outra fora, conforme mos-
tra a figura. Suponha que, nesse instante, o campo
magnético comece a aumentar em intensidade. Qual
das opções melhor descreve o que ocorrerá com a es-
pira?
(a) A tensão nos fios aumentará, mas a espira não
sairá do repouso.
(b) A espira será empurrada para cima, no sentido
do topo da página.
(c) A espira será empurrada para baixo, no sentido
da base da página.
(d) A espira será empurrada para a esquerda, para
a região com campo magnético.
(e) A espira será empurrada para a direita, para a
região sem campo magnético.
2. Considere dois pequenos dipolos elétricos: o primeiro
encontra-se no eixo Y , com seu centro na origem O, e
é formado por part́ıculas (pontuais) de cargas q > 0
e −q, enquanto o segundo encontra-se no eixo X e é
formado por part́ıculas (pontuais) de cargas q′ > 0 e
−q′ (cf. figura). Seja ~F 1→2 a força eletrostática exer-
cida pelo dipolo 1 sobre o diplo 2. Podemos afirmar
que:
(a) ~F 1→2 é nula e o torque sobre o dipolo 2 tende
a girá-lo no sentido horário.
(b) ~F 1→2 é nula e o torque sobre o dipolo 2 tende
a girá-lo no sentido anti-horário.
(c) ~F 1→2 tem o sentido de −ŷ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a girá-lo no sentido horário.
(d) ~F 1→2 tem o sentido de ŷ e o torque sobre o di-
polo 2 tende a girá-lo no sentido anti-horário.
(e) ~F 1→2 tem o sentido de −ŷ e o torque sobre o
dipolo 2 tende a girá-lo no sentido anti-horário.
1
3. Considere um dipolo magnético no centro de um cubo
de lado L1, que, por sua vez, está inscrito em uma su-
perf́ıcie esférica de raio R. Considere, ainda, no lado
de fora da esfera, uma superf́ıcie tetraédrica regular,
de lado L2. Designando o fluxo do campo magnético
resultante através das superf́ıcies cúbica, esférica e te-
traédrica por ΦC , ΦE e ΦT , respectivamente, temos
(a) ΦC < ΦE < ΦT .
(b) ΦC > ΦE > ΦT .
(c) ΦC = ΦE = ΦT .
(d) ΦC = ΦE > ΦT .
(e) ΦC = ΦE < ΦT .
4. Considere uma part́ıcula (pontual) de carga q > 0,
circundada por uma casca (espessa) condutora, com
carga 3q. O sistema encontra-se em equiĺıbrio ele-
trostático. Em relação aos fluxos Φi (i = 1, 2, 3),
do campo elétrico resultante, através das superf́ıcies
gaussianas tracejadas Si (i = 1, 2, 3), podemos afirmar
que
(a) Φ3 > Φ1 > Φ2 .
(b) Φ2 > Φ1 > Φ3 .
(c) Φ3 > Φ2 > Φ1 .
(d) Φ3 > Φ1 = Φ2 .
(e) Φ2 = Φ3 > Φ1 .
5. Uma corrente estacionária, retiĺınea, de intensidade I,
bifurca-se em duas iguais, que percorrem os lados de
um losango, juntando-se novamente no vértice oposto,
conforme mostra a figura. Qual é o módulo do campo
magnético resultante no centro do losango?
(a)
2µ0I
πL
(cos θ1 + cos θ2) .
(b)
2µ0I
πL
(sen θ1 + sen θ2) .
(c) 0 .
(d)
2µ0I
πL
.
(e)
2µ0I
πL
| cos θ1 − cos θ2| .
6. Considere um sistema constitúıdo por um solenóide
ideal, de N voltas, comprimento ℓ muito grande e
seção reta circular, de raio R, junto com um anel
circular de raio a. Tal anel encontra-se totalmente
dentro do solenóide e a perpendicular ao seu plano
faz um ângulo θ com o eixo do solenóide. Qual é a
indutância mútua entre o solenóide e o anel?
(a) µ0πNa
2 sen θ/ℓ .
(b) µ0πNa
2/ℓ .
(c) µ0πNa
2/(ℓ cos θ) .
(d) µ0πNa
2 cos θ/ℓ .
(e)µ0πNa
2/(ℓ sen θ) .
7. Uma barra de cobre retiĺınea, de comprimento L e
resistência R, desliza, sobre trilhos também conduto-
res (de resistências despreźıveis), em uma região de
campo magnético ~B constante (estacionário e uni-
forme), sendo sua velocidade ~v mantida constante às
custas da ação de uma força externa. Qual é a ex-
pressão para tal força externa?
(a)
B2L2v
R
x̂ .
(b) −
B2L2v
R
x̂ .
(c)
B2L2v
R
ŷ .
(d) −
B2L2v
R
ŷ .
(e)
B2L2v
R
ẑ .
2
8. A figura ilustra o corte transversal de um capaci-
tor de placas planas e paralelas, cuja região interna
está preenchida por três meios isolantes de constantes
dielétricas todas diferentes. Pensando tal capacitor
como uma associação de três “sub-capacitores”, qual
das opções melhor representa o capacitor equivalente?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
9. Considere uma esfera (sólida), de raio R, com uma
densidade de carga estacionária, mas não uniforme,
dada por ρ = C/r, com C constante, onde r é a
distância até o centro da esfera. Qual é o traba-
lho realizado pela força elétrica, ao deslocarmos uma
part́ıcula de teste, com carga q, desde um ponto com
r = a > R até um outro com r = b > R?
(a)
qCR2
2ǫ0
(
1
b
−
1
a
)
.
(b)
qCR2
2ǫ0
(
1
a
−
1
b
)
.
(c)
qCR2
ǫ0
(
1
b
−
1
a
)
.
(d)
qCR2
ǫ0
(
1
a
−
1
b
)
.
(e)
qCR2
3ǫ0
(
1
a
−
1
b
)
.
10. Uma esfera sólida, condutora, neutra é colocada entre
as placas condutoras, planas e paralelas, que consti-
tuem um capacitor. O capacitor está carregado e, na
situação de equiĺıbrio eletrostático, a distribuição de
cargas na superf́ıcie da esfera é não uniforme, como
mostra a figura. Sobre o potencial eletrostático nos
pontos a, b, c e d, indicados na figura, é correto afir-
mar que
(a) V (a) > V (b) > V (c) > V (d) .
(b) V (a) < V (b) < V (c) < V (d) .
(c) V (a) > V (b) = V (c) > V (d) .
(d) V (a) < V (b) = V (c) < V (d) .
(e) V (a) = V (d) > V (c) = V (b) .
(f) Não é posśıvel especificar a relação entre os po-
tenciais sem que seja definida a posição onde
V = 0 .
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1.
3
[2,5 pontos] Considere uma semicircunferência de raio R.
Escolhemos os eixos cartesianos retangulares de forma que
tal semicircunferência esteja no plano XY e o seu centro O
coincida com a origem dos eixos. Além disso, a semicircun-
ferência está carregada com uma distribuição não uniforme,
cuja densidade (linear) é dada por λ(θ) = λ0 sen θ, onde
λ0 = const e θ é o usual ângulo polar.
(a) Determine a carga total da semicircunferência. [0,5 ponto]
(b) Determine o campo elétrico devido a tal semicircunferência
na origem O. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático devido a tal semicircun-
ferência na origem O, supondo-o nulo em pontos infinitamente
afastados. [1,0 ponto]
2. [2,5 pontos] Temos um fio de cobre de comprimento total
L, área de seção reta e resistividade uniformes, tal que sua
resistência elétrica total seja R. Esse fio apresenta dois trechos
retiĺıneos (com extremidades livres) paralelos ao eixo X e uma
dobra circular. As extremidades do fio são movimentadas de
forma a ter o raio da dobra circular variando no tempo através
da função r(t) = ae−bt
2
, onde a e b são constantes positivas,
enquanto o tempo é tomado no intervalo −∞ < t < ∞ . Sabe-
se, ademais, que a dobra no fio mantém em contato elétrico o
ponto 2 onde a parte circular se completa e que, ortogonal ao
plano da figura, existe um campo magnético externo constante
(estacionário e uniforme) ~B = −Bẑ (B > 0), no qual o aparato
está imerso.
(a) Determine o fluxo Φ~B(t) do campo magnético externo
através da dobra circular. [0,5 ponto]
(b) Desprezando a auto-indutância e capacitância do fio,
determine a intensidade da corrente elétrica induzida Iind(t) no
fio, levando em conta a resistência elétrica efetiva do trecho por
onde passa corrente, e indique, explicitamente, o sentido de tal
corrente na dobra circular, para t < 0 e t > 0. [1,0 ponto]
(c) Indique, nos quatro pontos assinalados na figura, a direção
e o sentido da força magnética sobre o fio, para t < 0 e para
t > 0. [1,0 ponto]
3 5
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (e)
2. (e)
3. (c)
4. (a)
5. (c)
6. (d)
7. (b)
8. (a)
9. (b)
10. (d)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resolução:
(a) Tendo a semicircunferência uma densidade linear de carga λ, a carga de um elemento infinitesimal de arco dl
será:
dQ = λdl = λ0 sen θRdθ .
Portanto, a carga total armazenada na semicircunferência será:
Q =
∫ π
0
Rλ0 sen θdθ = Rλ0 [− cos θ|
π
0 ] ,
ou seja,
Q = 2Rλ0 .
�
(b) Cada elemento infinitesimal de arco dl, produz um campo elétrico
d~E = −
1
4πǫ0
λdl
R2
r̂ .
onde o vetor unitário r̂ é o que vai da origem dos eixos ao elemento infinitesimal. Analisando a simetria do problema,
verifica-se que um elemento infinitesimal de ângulo θ e um outro de ângulo π − θ vão produzir um campo elétrico
de mesma componente dEy e de componentes opostas dEx. Dessa forma, as componentes dEx se cancelam e o
campo resultante será na direção Y , ~E = Ey ŷ. A partir da componente infinitesimal dEy = −|d~E| sen θ calcula-se
a componente resultante Ey:
Ey =
∫
dEy = −
1
4πǫ0
∫ π
0
Rλ0 sen
2θdθ
R2
⇒ Ey = −
λ0
4πǫ0R
∫ π
0
sen2θdθ .
Utilizando a relação trigonométrica
sen2θ =
1 − cos (2θ)
2
,
resolve-se a integral:
Ey = −
λ0
4πǫ0R
(
∫ π
0
dθ
2
−
∫ π
0
cos (2θ)dθ
2
)
= −
λ0
8πǫ0R
(
[θ|π0 ] −
[
sen (2θ)
2
∣
∣
∣
∣
π
0
])
.
1
Finalmente
Ey = −
λ0
8ǫ0R
,
ou seja,
~E(O) = −
λ0
8ǫ0R
ŷ .
�
(c) Já considerando que o potencial é 0 em pontos infinitamente afastados da semicircunferência, cada elemento
infinitesimal dl, gera um potencial eletrostático de:
dV =
1
4πǫ0
dQ
R
.
Uma vez que a distância R é sempre a mesma, todos os elementos contribuem com o mesmo potencial. Portanto,
o potencial resultante é
V (O) =
∫
dV =
1
4πǫ0
Q
R
.
Utilizando o resultado do item (a):
V (O) =
λ0
2πǫ0
.
�
2. Resolução:
(a) Sendo o fluxo do campo magnético ~B através de uma superf́ıcie S fornecido pela integral
Φ~B =
∫
S
~B · d~A
onde o vetor d~A é ortogonal a superf́ıcie S em cada ponto, então no caso da dobra circular existente no fio, ao
escolhermos d~A = −dA ẑ e considerarmos que o campo magnético é uniforme, encontraremos que
Φ~B =
∫
S
B(−ẑ) · dA(−ẑ) =
∫
S
B dA (ẑ · ẑ) = B
∫
S
dA = BA = πr2B.
Contudo no caso da dobra circular no fio temos que, devido à ação de um agente externo, o seu raio varia no tempo
como r(t) = ae−bt
2
. Esta variação, quando considerada na expressão obtida acima, faz com que o fluxo do campo
magnético através da dobra circular assuma a forma
Φ~B(t) = πa
2B e−2bt
2
.
�
(b) Segundo a lei de Faraday temos que a força eletromotriz induzida está relacionada à variação do fluxo do campo
magnético através de
Eind = −
dΦ~B(t)
dt
.
Portanto, ao considerarmos a força eletromotriz que será induzida na dobra circular devido à variação do fluxo do
campo magnético através da área definida por ela, encontraremos que
Eind = −
d
dt
(
πa2B e−2bt
2
)
= −πa2B
[
deu
du
]
u=−2bt2
[
d(−2bt2)
dt
]
= −πa2Be−2bt
2
(−4bt)
2
ou seja
Eind(t) = 4πa
2bBte−2bt
2
.
Observando que, sendo o fio de comprimento finito e estando as suas extremidadas livres, então só circulará corrente
elétrica induzida através da dobra circular que, neste caso, será obtida pela razão
Iind =
Eind
Ref
.
A resistência elétrica efetiva da dobra circular Ref pode ser obtida ao considerarmos que, sendo o fio de seção reta
A e a resistividade ρ constantes, então
Ref = ρ
(
Lef
A
)
onde Lef = 2πr.
Neste ponto, se levarmos em conta que a resistência elétrica total R do fio está relacionada ao seu comprimento L
por
R = ρ
(
L
A
)
=⇒
ρ
A
=
R
L
,
e usarmos este resultado na expressão para a resistência elétricaefetiva concluiremos que
Ref =
(
2πr
L
)
R
ou seja,
Ref(t) =
(
2πa
L
)
R e−bt
2
.
Para finalizar devemos usar as expressões obtidas para Eind(t) e Ref(t) na expressão que fornece a corrente induzida
e assim concluirmos que
Iind(t) =
4πa2bBte−2bt
2
(
2πa
L
)
R e−bt2
,
ou seja,
Iind(t) =
(
2abLB
R
)
te−bt
2
.
Para determinarmos o sentido da corrente elétrica devemos observar que, conforme o tempo t evolui de −∞ para
0, o raio r(t) da dobra circular (e por conseqüência a sua área) cresce até chegar ao seu valor máximo rmax = a
quando t = 0. A partir desse instante, conforme o tempo passa o raio r(t) decresce até tender a zero quando
t → +∞. Considerando este comportamento e o que diz a lei de Lenz, conclúımos que a corrente induzida Iind(t)
deve se opor a esta variação do fluxo do campo elétrico: (i) circulando pela dobra no sentido anti-horário quando
t < 0 e a sua área está aumentando; (ii) circulando pela dobra no sentido horário quando t > 0 e a sua área
está diminuindo.
3
�
(c) A força magnética d~F~B sobre qualquer elemento de comprimento d~ℓ do fio será dada por
d~F ~B = Iind d~ℓ × ~B.
Portanto, tendo em vista que Iind só circula pela dobra, conclúımos que a força magnética nos trechos retiĺıneos do
fio [neste caso, nos pontos (1) e (4)] será nula. Como para pontos na dobra circular d~ℓ = r dθ θ̂, onde o unitário
θ̂ aponta no sentido do crescimento da coordenada angular θ, então a força magnética sobre qualquer elemento da
dobra circular do fio será dada por
d~F ~B = −Iind rB dθ (θ̂ × ẑ)
ou seja,
d~F ~B = −Iind rB dθ r̂
onde o unitário r̂ aponta no sentido do crescimento do raio r. Esta expressão implica que o sentido da corrente
elétrica induzida na dobra circular Iind definirá a natureza radial da força magnética sobre qualquer um de seus
pontos. Portanto quando Iind circular no sentido anti-horário (para t < 0), d~F ~B em qualquer ponto da dobra
circular [pontos (2) e (3), no nosso caso] apontará radialmente para o seu centro. Por sua vez, quando Iind
circular no sentido horário (para t > 0), d~F ~B em qualquer ponto da dobra circular [pontos (2) e (3), no nosso
caso] apontará radialmente para fora do seu centro.
3 5 3 5
�
4
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F́ısica – F́ısica III
– 2012/1
Prova Final (PF): 02/07/2012
Versão: A
Formulário
F e = qE , E = k0
q
r2
r̂
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
E ·dA = Qint
ǫ0
, E = −∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V , uE =
1
2
ǫ0E
2 , I =
∫
S
J · n̂ dA , J = nqv , V = RI ,
Fm = qv ×B , dFm = Idℓ×B ,
∮
S
B · n̂ dA = 0 , dB = µ0
4π
Idℓ× r̂
r2
,
∮
C
B · dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
, ΦB[1] = LI1 +MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
.
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere um anel circular condutor de raio R, ao longo
do qual passa uma corrente estacionária de intensidade I.
Um fio retiĺıneo, de comprimento L muito grande, per-
corrido por uma corrente estacionária de intensidade 2I,
cruza o centro do anel, perpendicularmente ao seu plano.
Qual o módulo da força magnética entre a espira e o fio?
(a) µ0I
2.
(b) 2µ0I
2.
(c) µ0LI
2/R.
(d) µ0LI
2/(2R).
(e) 0.
2. Uma corrente estacionária, de intensidade I, percorre o
circuito constitúıdo por dois arcos circulares de raios a e
2a e dois segmentos radiais de comprimento a. Qual é a
razão Ba/B2a entre os módulos campos magnéticos gera-
dos pelos arcos circulares de raio a e de raio 2a no ponto
central P?
(a)
√
2.
(b) 1/
√
2.
(c) 1/2.
(d) 2.
(e) 1.
(f) θ/2.
3. Considere um plano (infinito) com uma densidade de carga
constante (estacionária e uniforme). Na figura, estão re-
presentadas quatro superf́ıcies fechadas Si (i = 1, 2, 3, 4),
com disposições particularmente simétricas com respeito
ao plano carregado. Dentre elas, qual(is) exatamente
aquela(s) que é(são) apropriada(s) para a determinação
de uma expressão geral para o campo elétrico num ponto
genérico, fora do plano, a partir da lei de Gauss?
(a) S1.
(b) S2.
(c) S3.
(d) S4.
(e) S1 e S2.
(f) S2 e S3.
(g) S2 e S4.
(h) S3 e S4.
1
4. Considere a distribuição de cargas da figura. São oito seg-
mentos retiĺıneos de mesmo comprimento, uniformemente
carregados com densidade linear de mesmo módulo λ > 0.
O ângulo entre segmentos vizinhos é o mesmo (45◦). Qual
das alternativas melhor representa o campo elétrico resul-
tante na origem O?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) E = 0.
5. Para aumentar a auto-indutância de um solenóide com
N espiras compactadas, de seção reta circular de raio R,
comprimento (ou altura) h, percorrido por uma corrente I,
qual das modificações a seguir devemos efetuar, mantido
todo o resto inalterado?
(a) Aumentar a corrente que passa em suas espiras.
(b) Diminuir o seu raio.
(c) Aumentar o seu comprimento (ou altura).
(d) Aumentar o número de espiras.
(e) Rechear seu interior com um material isolante.
6. Entre as placas circulares, de raio R, de um capacitor
plano-paralelo, o vetor campo elétrico E tem módulo vari-
ando na forma E = E0 [1− exp(−bt)], sendo b uma cons-
tante positiva. Podemos afirmar que uma corrente de des-
locamento ID aparece no interior do capacitor cujo módulo
máximo é dado por
(a) ǫ0E0bπR
2.
(b) µ0ǫ0E0bπR
2.
(c) ǫ0E0bR
2.
(d) ǫ0E0πR
2.
(e) ǫ0E0πR
2/µ0.
7. Um fio ciĺındrico, de seção reta circular, é constitúıdo por
um material condutor ôhmico homogêneo. Se dobrarmos
tanto o seu comprimento quanto o seu raio, mantendo-o
ligado a uma mesma bateria, a corrente que passará no
fio
(a) terá a mesma intensidade que antes.
(b) terá intensidade 2 vezes menor que antes.
(c) terá intensidade 2 vezes maior que antes.
(d) terá intensidade 4 vezes menor que antes.
(e) terá intensidade 4 vezes maior que antes.
8. Um capacitor de placas em forma de discos circulares,
idênticas e de raio R, separadas por uma distância D, está
conectado a uma fonte de voltagem V constante. Ao in-
troduzir um meio dielétrico entre as placas do capacitor,
preenchendo totalmente a região entre as placas, pode-
mos afirmar, com respeito ao módulo Q da carga em cada
placa, à capacitância C e ao módulo do campo elétrico E
entre as placas, que, respectivamente:
(a) permanece o mesmo, diminui e aumenta.
(b) diminui, aumenta e aumenta.
(c) aumenta, aumenta e permanece o mesmo.
(d) aumenta, aumenta e diminui.
(e) aumenta, permanece a mesma e permanece o
mesmo.
(f) diminui, diminui e diminui.
(g) permanece o mesmo, diminui e diminui.
2
9. Uma espira condutora circular está em repouso, com seu
plano perpendicular a um campo magnético constante (es-
tacionário e uniforme). No instante t = 0, a espira começa
a girar em torno de um eixo de simetria que passa pelo
seu centro e pertence a seu plano. Dentre as opções a
seguir, indique aquela que melhor representa o fluxo co
campo magnético ΦB (curva cont́ınua) e a corrente in-
duzida Iind (curva pontilhada) na espira condutora, em
função do ângulo θ = ωt entre o vetor campo magnético
B e o vetor unitário normal à espira n̂.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
10. Um campo eletrostático possui superf́ıcies equipotenciais
planas, paralelas, como mostrado na figura, numa vista de
perfil, pelas três retas tracejadas, igualmente espaçadas de
uma distância L, com V1 = 2V2 = 3V3 > 0. Além disso,
são mostradas quatro trajetórias orientadas, por curvas
cont́ınuas, que partem da equipotencial V1 e passam pelas
demais equipotenciais. Considere as afirmações: (I) o ve-
tor campo elétrico (médio) E12 entre as equipotenciais V1
e V2 é dado por −(V2/L)ŷ ; (II) o trabalho realizado pela
força eletrostática ao deslocar-se uma part́ıcula carregada
é o mesmo em todas as trajetórias mostradas; (III) o tra-
balho realizado pela força eletrostática ao deslocar-se uma
part́ıcula carregada positiva na trajetória de g para h é ne-
gativo. Qual(is) de tais afirmativas está(ão) correta(s)?
(a) Nenhuma.
(b) I.
(c) II.
(d) III.
(e) I e II.
(f) I e III.(g) II e III.
(h) Todas.
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1.
3
[2,5 pontos] A Fig. 1 mostra uma placa fina e muito grande que possui uma
densidade superficial de carga constante σ. A placa é recoberta lateralmente
por duas lâminas de espessura D e densidade volumar de carga constante ρ.
(a) Utilizando a lei de Gauss, obtenha o vetor campo elétrico E(z) produzido
pela distribuição de cargas a uma distância |z| da placa central para os casos
em que: (i) −D ≤ z ≤ D e (ii) z ≤ −D ou z ≥ D. Faça um gráfico esboçando o
comportamento da componente Ez versus z, no intervalo z ∈ (−2D, 2D), para
o caso em que σ e ρ são positivos. [1,7 ponto]
(b) Usando a expressão para o vetor E(z) e tomando como referência o potencial
elétrico V
D
≡ V (z = D) na superf́ıcie externa da lâmina lateral (à direita),
obtenha a expressão para o potencial elétrico V (z) produzido pela distribuição
de cargas a uma distância |z| considerando os mesmos casos acima, ou seja, em
que: (i) −D ≤ z ≤ D e (ii) z ≤ −D ou z ≥ D. Faça um gráfico esboçando o
comportamento de V versus z, no intervalo z ∈ (−2D, 2D), para o caso em que
σ e ρ são positivos. [1,8 ponto]
2. [2,5 pontos] A Fig. 2a mostra um cabo coaxial muito longo constitúıdo de um condutor ciĺındrico, sólido, de raio a envolvido
por uma casca ciĺındrica condutora, muito fina, de raio b. Sabe-se que essas duas partes constituintes do cabo são percorridas
por correntes elétricas estacionárias de mesmo módulo i e sentidos contrários, uniformemente distribúıdas ao longo de suas
seções transversais.
(a) Utilizando a lei de Ampère, obtenha o campo magnético B(r) nas três regiões definidas por: (i) 0 ≤ r ≤ a ; (ii) a ≤ r < b ;
e (iii) b < r < ∞, sendo r a distância até o eixo do cabo. [1,5 ponto]
(b) Calcule o fluxo do campo magnético Φ
B
produzido pelo cabo coaxial através do retângulo, de altura h e largura b,
indicado na Fig. 2b. [0,5 ponto]
(c) Calcule a energia armazenada, por unidade de comprimento ao longo do eixo de simetria, no campo magnético entre o
eixo de simetria r = 0 e a casca ciĺındrica r = b. [0,5 ponto]
4
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (e)
2. (d)
3. (e)
4.
(b)
5. (d)
6. (a)
7. (c)
8. (c)
9. (a)
10. (b)
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resolução:
(a) Devido à simetria plana da distribuição de carga, é conveniente aplicarmos a lei de Gauss para a determinação do campo
elétrico. De fato, tal simetria exige que
• das 3 componentes cartesianas que o campo elétrico possui, 2 são nulas, a saber:
Ex(r) ≡ 0 (1)
Ey(r) ≡ 0 . (2)
• a componente não nula restante é função somente da coordenada cartesiana z:
Ez(r) = Ez(z) . (3)
• essa mesma componente satisfaz uma simetria de reflexão (ou especular):
Ez(−z) = −Ez(z) . (4)
O campo elétrico a ser determinado possui, portanto, linhas de campo retiĺıneas paralelas ao eixo Z. Isso tudo nos motiva
a tomar como superf́ıcie gaussiana aquela mostrada na Fig. 1a, ou seja, uma superf́ıcie ciĺındrica circular, constitúıda pela
união de três superf́ıcies disjuntas: (i) uma base Be à esquerda da placa fina (bidimensional), no plano z = −|z|; (ii) outra
base Bd à direita da placa fina (bidimensional), no plano z = |z|, e (iii) uma superf́ıcie lateral Slat.
1
Calcularemos, primeiro, o fluxo, pela sua própria definição, através da gaussiana. Temos
ΦE[S] :=
∮
S
E · n̂ dA
=
∫
Be
E · n̂ dA+
∫
Bd
E · n̂ dA+
∫
Slat
E · n̂ dA
=
∫
Be
E · n̂ dA+
∫
Bd
E · n̂ dA [usamos que E ⊥ n̂ em Slat]
=
∫
Be(z′=−|z|<0)
Ez(−|z|)ẑ · (−ẑ) dA+
∫
Bd(z′=|z|>0)
Ez(|z|)ẑ · ẑ dA
=
∫
Be(z′=−|z|<0)
−Ez(|z|)(−1) dA +
∫
Bd(z′=|z|>0)
Ez(|z|) dA [usamos (4)]
= 2
∫
Bd(z′=|z|>0)
Ez(|z|) dA
= 2Ez(|z|)A . (5)
Naturalmente, tal expressão vale para qualquer valor de |z|, ou seja, tanto para 0 < |z| ≤ D, quanto para D ≤ |z| < ∞,
apesar da Fig. 1a só sugerir uma gaussiana dentro da distribuição de carga.
A segunda etapa preparatória para a aplicação da lei de Gauss implica em determinar a carga no interior da correspondente
gaussiana e, então, teremos duas possibilidades:
• 0 < |z| ≤ D:
Qint[S] = σA+ ρ2|z|A
= (σ + 2ρ|z|)A . (6)
• D ≤ |z| < ∞:
Qint[S] = σA+ ρ2DA
= (σ + 2ρD)A . (7)
2
Comparando (5) e (6) ou (7), via a lei de Gauss, obtemos, finalmente, para o campo elétrico as expressões:
E(z) =
1
2ǫ0
.







−(σ + 2ρD) ẑ , se −∞ < z ≤ −D ;
(−σ + 2ρz) ẑ , se −D ≤ z < 0 ;
(σ + 2ρz) ẑ , se 0 < z ≤ D ;
(σ + 2ρD) ẑ , se D ≤ z < ∞ .
(8)
Devemos observar que o campo elétrico não é definido para z = 0. Contudo, para pontos muit́ıssimo próximos da placa
fina, Ez tende ao valor E0 := σ/(2ǫ0) pela direita e −E0 pela esquerda. Já na região externa às lâminas, Ez tem o valor
constante ED := (σ + 2ρD)/(2ǫ0) pela direita e −ED pela esquerda.
O gráfico correspondente para a componente Ez versus a coordenada z é mostrado na Fig. 1b.
�
(b) Na avaliação do potencial elétrico, novamente considerando a simetria do sistema, tomemos como caminho de integração
C linhas ortogonais à placa central. Deste modo, para a região interna à lâmina do lado positivo do eixo Z (0 < z ≤ D) ,
teremos
V
in
(z)− V
D
= −
∫
Ci
~E
in
.d~ℓ = − 1
2ǫo
∫ z
D
(σ + 2ρ z) ẑ.dz ẑ
ou seja,
V
in
(z) = V
D
+
1
2ǫo
[σ(D − z) + ρ(D2 − z2)] .
3
Nestas condições o potencial elétrico na placa central será dado por Vo = V (0) = VD + (σD + ρD
2)/(2ǫo). Procedendo da
mesma forma para a região externa à lâmina do lado positivo do eixo Z (z ≥ D) , teremos
V
ex
(z)− V
D
= −
∫
Ce
~E
ex
.d~ℓ = − 1
2ǫo
∫ z
D
(σ + 2ρD) ẑ.dz ẑ =⇒ V
ex
(z) = V
D
−
[
σ + 2ρD
2ǫo
]
(z −D) .
Na região −D ≤ z ≤ 0 teremos
V
in
(z)− V (0) = −
∫
Ci
~E
in
.d~ℓ =
1
2ǫo
∫ 0
z
(−σ + 2ρ z) ẑ.dz ẑ = 1
2ǫo
(σz − ρz2)
que, usando o valor de V (0), podemos escrever como
Vin(z) = VD +
1
2ǫo
[σ(D + z) + ρ(D2 − z2)].
Este resultado mostra que, em particular, V (−D) = VD. Por fim, na região z ≤ −D temos
V
ex
(z)− V
D
= −
∫
Ce
~E
ex
.d~ℓ = − 1
2ǫo
∫ −D
z
(σ + 2ρD) ẑ.dz ẑ =⇒ V
ex
(z) = V
D
+
[
σ + 2ρD
2ǫo
]
(D + z) .
Portanto, ao considerarmos os resultados teremos que
V (z) = V
D
+
1
2ǫ0
.
{ [
σ(D − |z|) + ρ(D2 − z2)
]
, se 0 ≤ |z| ≤ D ;
(σ + 2ρD)(D − |z|) , se D ≤ |z| < ∞ .
e será nulo quando |z| = |zo| =
√
[D + σ/(2ρ)]2 + 2ǫoVD/ρ − σ/(2ρ). O gráfico apresentado na figura 1c ilustra o
comportamento de V (z) em geral.
�
2. Resolução:
(a) Segundo a lei de Ampère temos que
∮
B · dℓ = µ0i,
onde i é a soma algébrica das correntes englobadas pelo percurso de integração.
Ou justificativa extensa: Levando em conta a simetria axial apresentada pelo sistema então podemos usar a lei de Ampère
assumindo para os circuitos fechados ćırculos concêntricos ao eixo do cabo e contidos em um plano ortogonal a ele. Neste
caso dℓ = r dφ φ̂ e pela simetria do sistema devemos ter B = Bφ(r) φ̂ . Com isso podemos usar a lei de Ampère de uma
maneira geral considerando i = i(r) .
Ou justificativa compacta: Considerando a simetria ciĺındrica do sistema e tomando como contorno de integração ćırculos
de raio r a partir do eixo do cilindro, temos
∮
B · dℓ = 2πrBφ(r).
Então,
∮
B · dℓ =
∫ 2π
0
Bφ(r) φ̂ · r dφ φ̂ = Bφ(r) r
∫ 2π
0
dφ = 2πr Bφ(r).
Aplicando a lei de Ampère,
B(r) =
µ0 i(r)
2πr
φ̂ .
Podemos agora particularizar este resultado geral para as três regiões de nosso sistema.
4
• r < a:
i(r) =
∫
S
1
j
1
.dS =
∫ r
0
(
i
πa2
)
2πr dr =
( r
a
)
2
i.
Ou:
Densidade de corrente através da área A da seção reta do cilindro de raio a: j = i/A = i/πa2.
Densidade de corrente através da área A′ < A definida pela curva amperiana de raio r < a: j = i(r)/A′ = i(r)/πr2.
Como essas densidades são iguais, tem-se que i(r) = (r/a)2i.
Então,
B(r) =
µ0 i r
2πa2
φ̂ .
• a < r < b :
i(r) = i .
Logo,
B(r) =
µ0 i
2πr
φ̂ .
• r > b :
i(r) = i− i = 0 .
Logo,
B(r) = 0 .
Considerações sobreo campo B(r): (i) apresenta o seu maior valor B(a) = µoi/(2πa) na superf́ıcie do cilindro maciço
interno; (ii) não é definido para r = b. Contudo para pontos internos muit́ıssimo próximos à casca ciĺındrica ele tende ao
valor B(b) = µoi/(2πb).
5
�
(b) Considere a figura acima.
A partir dos resultados encontrados para o campo magnético e tomando como elementos de área tiras longitudinais (figura
acima) com d~S = hdr φ̂ , então teremos que
Φ
B
=
∫ a
0
~B
1
.d~S +
∫ b
a
~B
2
.d~S =
µoih
2π
{
1
a2
∫ a
0
r dr +
∫ b
a
dr
r
}
,
ou seja,
Φ
B
=
µoih
4π
[
1 + 2 ln
(
b
a
)]
.
�
(c) No caso da energia acumulada no campo magnético, devemos lembrar que a densidade de energia u
B
é dada por
u
B
=
B2
2µo .
Por sua vez,
u
B
=
dU
B
dV ,
onde dV é o elemento de volume: dV = 2πhrdr, com h sendo o comprimento de um pedaço do cabo coaxial. Portanto,
dU
B
= u
B
dV =
B2
2µo
2πhrdr.
Como
U
B
=
∫ b
r=0
u
B
dV =
∫ a
r=0
u
B
dV +
∫ b
r=a
u
B
dV ,
temos que
U
B
=
πh
µo
∫ a
0
B2rdr +
πh
µo
∫ b
a
B2rdr.
Usando os resultados obtidos para B no item (a) acima, determina-se que a energia magnética armazenada por unidade de
comprimento é:
U
B
h
=
µoi
2
16π
[
1 + 4 ln
(
b
a
)]
.
�
6
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA III – 2011/2
PROVA FINAL (PF) – 05/12/2011
VERSÃO: A
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha CORRETA, LEGÍVEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabeçalho do caderno
de resolução, fornecido em separado.
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por dez (10) questões objetivas
(de múltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalização por questão errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. Acima da tabela de respostas das questões objetivas, na primeira página do caderno de resolução, INDI-
QUE CLARAMENTE A VERSÃO DA PROVA (A, B,. . . ).
4. O item considerado correto, em cada uma das questões objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (de
tinta azul ou preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resolução
5. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
6. Seja organizado e claro.
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·dA =
Qint
ǫ0
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U =
1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V , E =
E0
K
I =
∫
S
J · n̂ dA , J = nqv , F = qE + qv × B , dF = Idℓ × B
B =
∮
C
dB =
∮
C
µ0
4π
Idℓ × r̂
r2
,
∮
S
B · n̂ dA = 0
∮
C
B · dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
ΦB[1] = LI1 + MI2 , uB =
1
2
B2
µ0
1
Seção 1. Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Considere duas esferas sólidas, de mesmo raio R e
mesma carga total Q > 0. Uma delas é condutora
e a outra é isolante. A esfera condutora está em
equiĺıbrio eletrostático, ao passo que a esfera iso-
lante tem sua carga distribúıda uniformemente em
volume. Qual das opções a seguir melhor repre-
senta os gráficos do potencial elétrico (supondo-o
zero no infinito) da esfera isolante e da esfera con-
dutora, respectivamente?
(a) II e III.
(b) VI e III.
(c) V e II.
(d) V e III.
(e) I e II.
(f) V e I.
(g) IV e II.
2. Uma espira circular condutora se move com ve-
locidade constante através de regiões onde cam-
pos magnéticos constantes (estacionários e unifor-
mes), de mesmo módulo, são orientados para fora
ou para dentro do plano da página. Em qual(is)
das setes posicões indicadas a corrente induzida
na espira terá sentido horário, sentido anti-horário
ou será nula?
(a) horário: 4; anti-horário: 2, 6; nula: 1, 3,
5, 7.
(b) horário: 2, 3, 6; anti-horário: 4, 5; nula:
1, 7.
(c) horário: 2, 6; anti-horário: 4; nula: 1, 3,
5, 7.
(d) horário: 4, 5; anti-horário: 2, 3, 6; nula:
1, 7.
(e) horário: 2, 4, 6; anti-horário: 3, 5; nula:
1, 7.
2
3. Duas placas planas, verticais, grandes e finas, têm
densidades (superficiais) de carga constantes de
mesmo módulo, σ > 0, e sinais opostos. Na região
entre elas, existe uma part́ıcula, de carga q > 0
e massa m, suspensa por um fio, deslocado de
um ângulo θ da direção vertical. Sabendo que a
part́ıcula está em equiĺıbrio, sujeita, além de seu
peso, a uma força elétrica devida ao campo en-
tre as placas, assinale a opção que representa o
módulo da densidade superficial de carga em cada
placa.
(a)
2mgǫ0
q
tan θ
(b)
mgǫ0
q tan θ
(c)
2mgǫ0
q tan θ
(d)
mgǫ0
q
sin θ
(e)
mgǫ0
q
tan θ
(f)
mgǫ0
q
cos θ
4. Temos quatro superf́ıcies fechadas Si (i =
1, 2, 3, 4), cada uma das quais encerra uma
part́ıcula de carga q. As áreas Ai de tais su-
perf́ıcies são tais que: A2 > A3 > A1 > A4. Em
relação ao fluxo do campo elétrico Φi, através de
cada uma das quatro superf́ıcies, o que podemos
afirmar?
(a) Φ2 > Φ3 > Φ1 > Φ4.
(b) Φ4 = Φ3 = Φ2 = Φ1.
(c) Φ2 < Φ3 < Φ1 < Φ4.
(d) Φ2 = Φ3; Φ1 6= Φ4.
(e) Nada pode ser afirmado, pois falta in-
formação sobre a localização da part́ıcula
dentro de cada superf́ıcie.
3
5. Considere um cilindro circular sólido muito longo,
formado por dois condutores, D e D′, separa-
dos por uma peĺıcula isolante de espessura des-
preźıvel e cujas seções retas têm a forma da le-
tra “D”, como mostra a figura. Através de cada
um de tais condutores, D e D′, fluem corren-
tes estacionárias, de mesma intensidade I, uni-
formemente distribúıdas por suas seções retas,
mas de sentidos opostos. Na mesma figura,
também temos três circunferências orientadas: C1,
concêntrica com a seção reta do cilindro completo,
C2, totalmente dentro de D, e C3, totalmente den-
tro de D′. Marque a opção que indica a relação
correta entre as circulações do campo magnético
Γ1, Γ2 e Γ3, onde Γi :=
∮
Ci
B · dℓ (i = 1, 2, 3).
(a) Γ1 = Γ2 = Γ3
(b) Γ2 = Γ3 < Γ1
(c) Γ2 < Γ1 < Γ3
(d) Γ2 > Γ1 > Γ3
(e) Γ1 < Γ2 < Γ3
6. Em uma certa região do espaço, existe um campo
magnético estacionário B = Bxx̂, onde Bx =
B0 + bx, com B0 e b sendo constantes positivas.
Uma espira plana de área A se move com velo-
cidade constante v = −vx̂ (v > 0), com o plano
que a contém sempre perpendicular a esse campo,
como indica a figura. Qual é o módulo da fem
induzida na espira e qual o sentido da corrente
induzida na mesma?
(a) Abv, anti-horário.
(b) Abv, horário.
(c) ABx, anti-horário.
(d) Abx, anti-horário.
(e) Abx, horário.
(f) Não há indução na espira.
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7. Considere um capacitor de placas planas e para-
lelas, formado por dois discos circulares de raio
a, separados por uma distância ℓ ≪ a, no vácuo.
As placas estão ligadas a uma fonte de fem que
produz no capacitor uma carga q(t) = q0 sen (ωt).
Marque a opção que indica corretamente o vetor
campo magnético em um ponto entre as placas
a uma distância r do eixo Z [Sugestão: despreze
efeitos de borda e suponha que ω é muito “pe-
queno”, de modo que o campo elétrico dentro das
placas possa ser considerado como ainda igual a
σ(t)ẑ/ǫ0, onde σ(t) é a densidade superficial de
carga na placa da esquerda].
(a) 0 .
(b)
µ0ωq0
2πr
cos(ωt) ϕ̂ .
(c) −
µ0ωq0
2πa2
r cos(ωt) ϕ̂ .
(d)
µ0ωq0
2πa2
r cos(ωt) ϕ̂ .
(e) −
µ0ωq0
2πr
cos(ωt) ϕ̂ .
8. Uma chapa paralelepipedal de cobre, de espessura
b, é introduzida entre as placas de um capacitor
plano-paralelo, como mostra a figura. Cada uma
das placas do capacitor tem área A e tais placas
estão separadas por uma distância a. Mantendo
a mesma carga Q no capacitor, quais são a ca-
pacitância depois de a chapa ser introduzida e a
razão entre as energias armazenadas antes e de-
pois de tal introdução?
(a) ǫ0A/a; 1.
(b) ǫ0A/(a − b); a/(a − b).
(c) ǫ0A/(a − b); 1.
(d) ǫ0A/(a − b); a/b.
(e) ǫ0A/(b − a); b/a.
9. Duas part́ıculas de mesma carga q e velocidade