Matematica-Razao-e-Proporcao-Divisao-Proporcional-v1

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Matéria: Matemática 
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Assunto Página 
1. Razão e proporção 3 
1.1. Razão 3 
1.2. Proporções com números 3 
1.3. Propriedades das proporções 4 
1.4. Grandezas direta e inversamente proporcionais 5 
1.5. Divisão direta e inversamente proporcionais 9 
2. Pontos mais Importantes da Aula 11 
3. Questões Comentadas 12 
3.1. FCC 15 
3.2. FGV 28 
3.3. CESPE (CEBRASPE) 32 
3.4. VUNESP 38 
3.5. Outras Bancas 49 
4. Lista de Exercícios 62 
4.1. FCC 62 
4.2. FGV 67 
4.3. CESPE (CEBRASPE) 68 
4.4. VUNESP 70 
4.5. Outras Bancas 75 
5. Gabarito 79 
 
 
 
 “Mesmo as noites totalmente sem estrelas podem anunciar a 
aurora de uma grande realização” 
Martin Luther King 
 
Aula – Razão e Proporção 
 
 
 
 
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1. Razão e proporção 
 
1.1. Razão 
 A razão é a forma mais comum e prática de se fazer a comparação 
relativa entre duas grandezas. Para isto, é necessário que ambas estejam na 
mesma unidade de medida. Por exemplo: uma loja tem 100m² de área 
construída e 400m² de área livre. Qual é a razão da área construída para a área 
livre? 
 Para resolvermos a questão, aplicamos a razão entre a área construída e 
a área livre, dividindo uma pela outra: 
á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢í𝑑𝑎
á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒
=
100 𝑚2
400 𝑚2
=
1
4
 
 
 Ou seja, isto significa que a área construída representa 1/4 = 0,25 ou 
25% da área livre. 
 
1.2. Proporções com números 
Quatro números racionais A, B, C e D, todos diferentes de zero, formam 
nessa ordem uma proporção quando: 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
 
 
Essa mesma proporção pode ser indicada da seguinte maneira: 
𝐴 ∶ 𝐵 = 𝐶 ∶ 𝐷 
 
Apresentaremos, agora, algumas definições que quase nunca são 
cobradas em provas de concurso: termos extremos, meios, antecedentes, 
consequentes, dentre outros. Essas definições estão aqui apenas para facilitar 
futuras explicações de propriedades ou resolução de questões. 
Os números A, B, C e D são denominados termos, sendo que A e D são 
os extremos, enquanto que B e C são os meios, conforme o esquema a seguir: 
𝑨 ∶ 𝑩 = 𝑪 ∶ 𝑫 
 
 
Esquema 1 – Extremos e meios de uma proporção 
 
meios 
extremos 
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Os números A, B, C e D são chamados, respectivamente, 1º, 2º, 3º e 4º 
termos: 
 
 
𝑨
𝑩
=
𝑪
𝑫
 
 
Esquema 2 – Termos de uma proporção 
 
Os números A e C são os antecedentes e os números B e D são os 
consequentes: 
 
𝑨
𝑩
=
𝑪
𝑫
 
 
Esquema 3 – Termos antecedentes e consequentes em uma proporção 
 
➢ Constante de proporcionalidade 
A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante k, 
denominada constante de proporcionalidade dessa razão: 
𝑨
𝑩
=
𝑪
𝑫
= 𝒌 
 
1.3. Propriedades das proporções 
➢ Propriedade fundamental 
A propriedade fundamental das proporções é que o produto dos meios 
é igual ao produto dos extremos, isto é: 
𝑨
𝑩
=
𝑪
𝑫
 ⟹ 𝑨 ∙ 𝑫 = 𝑩 ∙ 𝑪 
 
Como o próprio nome sugere, trata-se da propriedade mais 
importante das proporções, que será utilizada em praticamente todas as 
questões desta e de outras aulas. É comum chamarmos tal propriedade de 
"multiplicação cruzada" ou "multiplicação em X", pois, na prática, fazemos as 
multiplicações indicadas nas linhas pontilhadas: 
1º termo 3º termo 
2º termo 4º termo 
antecedentes 
consequentes 
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➢ Propriedade da soma ou diferença dos antecedentes e 
consequentes 
Propriedade: A soma ou a diferença entre os antecedentes está para a 
soma ou a diferença entre os consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente. 
Ou seja: 
𝑺𝒆 
𝑨
𝑩
=
𝑪
𝑫
, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 
𝑨
𝑩
=
𝑪
𝑫
= 
𝑨 + 𝑪
𝑩 + 𝑫
=
𝑨 − 𝑪
𝑩 − 𝑫
 
 
Demonstremos a propriedade: 
Partindo da relação 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
 e fazendo a "multiplicação cruzada", ficamos 
com: 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
 ⟹ 𝐴 ∙ 𝐷 = 𝐵 ∙ 𝐶 ⟹ 𝐶 =
𝐴 ∙ 𝐷
𝐵
 
 
Substituindo no termo 
𝐴+𝐶
𝐵+𝐷
, ficamos com: 
𝐴 + 𝐶
𝐵 + 𝐷
=
𝐴 +
𝐴 ∙ 𝐷
𝐵
𝐵 + 𝐷
=
𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐷
𝐵
𝐵 + 𝐷
=
𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐷)
𝐵
(𝐵 + 𝐷)
=
𝐴
𝐵
 
 
Quanto ao termo 
𝐴−𝐶
𝐵−𝐷
 procedemos da mesma forma: 
𝐴 − 𝐶
𝐵 − 𝐷
=
𝐴 −
𝐴 ∙ 𝐷
𝐵
𝐵 − 𝐷
=
𝐴 ∙ 𝐵 − 𝐴 ∙ 𝐷
𝐵
𝐵 − 𝐷
=
𝐴 ∙ (𝐵 − 𝐷)
𝐵
(𝐵 − 𝐷)
=
𝐴
𝐵
 
 
Ressaltamos que esta propriedade será muito importante na resolução 
das questões de grandezas diretamente proporcionais, como veremos a seguir. 
 
1.4. Grandezas direta e inversamente proporcionais 
➢ Grandezas diretamente proporcionais 
𝑨
𝑩
=
𝑪
𝑫
 ⟹ 𝑨 ∙ 𝑫 = 𝑩 ∙ 𝑪 
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Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando 
uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, 
diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção. 
 
Esquema 4 – Grandezas diretamente proporcionais 
 
Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que 
expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma 
constante K tal que: 
𝑿
𝒀
= 𝒌 
 
Podemos pensar em grandezas diretamente proporcionais, por exemplo, 
quando cozinhamos macarrão. Para cada 100 gramas de macarrão cru que 
colocamos na panela, precisamos colocar 1 litro de água. 
𝟏𝟎𝟎𝒈 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒄𝒂𝒓𝒓ã𝒐 𝒄𝒓𝒖
𝟏𝑳 𝒅𝒆 á𝒈𝒖𝒂
= 𝒌 
 
Para dobrar a receita, devemos dobrar tanto a quantidade de água quanto 
de macarrão: 
𝟏𝟎𝟎𝒈 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒄𝒂𝒓𝒓ã𝒐 𝒄𝒓𝒖
𝟏𝑳 𝒅𝒆 á𝒈𝒖𝒂
=
𝟐𝟎𝟎𝒈 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒄𝒂𝒓𝒓ã𝒐 𝒄𝒓𝒖
𝟐𝑳 𝒅𝒆 á𝒈𝒖𝒂
= 𝒌 
A constante k nunca se altera. 
Vejamos como o assunto costuma ser cobrado em prova: 
 (ESAF / Assistente Técnico Administrativo – Ministério 
da Fazenda / 2014) O lucro da empresa de Ana, Beto e Carina é dividido em 
partes diretamente proporcionais aos capitais que eles empregaram. Sabendo-
AumentaAumenta
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se que o lucro de um determinado mês foi de 60 mil reais e que os capitais 
empregados por Ana, Beto e Carina foram, respectivamente, 40 mil reais, 50 
mil reais e 30 mil reais, calcule a parte do lucro que coube a Beto. 
a) 20 mil reais 
b) 15 mil reais 
c) 23 mil reais 
d) 25 mil reais 
e) 18 mil reais 
Resolução: 
 Sejam A, B e C o lucro que Ana, Beto e Carina receberam, 
respectivamente. A questão afirma que os capitais empregados por Ana, Beto e 
Carina foram, respectivamente, 40 mil reais, 50 mil reais e 30 mil reais, e que 
o lucro será dividido proporcionalmente a tais capitais, o que significa que temos 
a seguinte relação: 
𝐴
40.000
=
𝐵
50.000
=
𝐶
30.000
 
 
 Podemos simplificar a proporção anterior por 10.000, ficando com: 
𝐴
4
=
𝐵
5
=
𝐶
3
 
 
 Para resolver a questão, empregamos a propriedade da soma dos 
antecedentes e consequentes: 
𝐴
4
=
𝐵
5
=
𝐶
3
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
4 + 5 + 3
 
 
 Como a soma dos lucros foi dada no enunciado, 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 60.000, e 
como 4 + 5 + 3 = 12, podemos substituir os valores: 
𝐴
4
=
𝐵
5
=
𝐶
3
=
60.000
12
= 5.000 
 
 Agora, podemos calcular o valor do lucro deBeto: 
𝐵
5
= 5.000 ⟹ 𝐵 = 5 ∙ 5.000 = 25.000 
 
A alternativa D é a resposta correta. 
 
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➢ Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando 
uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma 
delas, a outra aumenta na mesma proporção. 
 
 
Esquema 5 – Grandezas inversamente proporcionais 
 
Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números 
que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma 
constante K (que não se altera) tal que: 
𝑿 ∙ 𝒀 = 𝒌 
Podemos pensar em grandezas inversamente proporcionais, por exemplo, 
quando somos surpreendidos pela visita inesperada de alguns parentes para 
jantar em nossas casas. 
Suponhamos que, antes de saber da notícia da visita, você já tenha se 
programado e cozinhado a comida: 1 quilograma (equivalente a 1.000 gramas) 
de macarrão para você e sua esposa/ seu esposo. 
Temos, antes da visita, a seguinte situação: 
𝑿 ∙ 𝒀 = 𝒌 
𝟓𝟎𝟎
𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒄𝒂𝒓𝒓ã𝒐 
𝒑𝒆𝒔𝒔𝒐𝒂
∙ 𝟐 𝒑𝒆𝒔𝒔𝒐𝒂𝒔 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒈 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒄𝒂𝒓𝒓ã𝒐 = 𝒌 
 
Com 500 gramas de macarrão cozido por pessoa, você e sua esposa/seu 
esposo ficarão satisfeitos. Contudo, após você ter acabado de cozinhar, sua tia 
ligou avisando que estava há 10 minutos de sua casa, com seus dois primos, 
todos esfomeados. 
Aumenta
Diminui
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Infelizmente, os 1.000 gramas de macarrão cozido não se alteram. O que 
mudará é a porção de macarrão cozido por pessoa. 
𝑿 ∙ 𝒀 = 𝒌 
𝟐𝟎𝟎
𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒄𝒂𝒓𝒓ã𝒐
𝒑𝒆𝒔𝒔𝒐𝒂
∙ 𝟓 𝒑𝒆𝒔𝒔𝒐𝒂𝒔 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒈 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒄𝒂𝒓𝒓ã𝒐 = 𝒌 
Agora talvez o macarrão cozido não seja suficiente para satisfazer a 
todos. Portanto, para uma quantidade constante de macarrão cozido, a 
quantidade de macarrão por pessoa e a quantidade de pessoas são grandezas 
inversamente proporcionais. Quando uma grandeza aumenta, a outra tem 
que diminuir. 
 
ATENÇÃO! 
Vimos anteriormente a propriedade da soma dos antecedentes e 
consequentes para grandezas diretamente proporcionais. Atenção porque essa 
propriedade não se aplica para grandezas inversamente proporcionais. Não 
podemos somar a primeira grandeza e multiplicar pela soma da segunda 
grandeza, pois para as grandezas inversamente proporcionais, quanto uma 
aumenta a outra tem que diminuir. Se somássemos tanto o total de uma 
grandeza quanto o total de outra grandeza estaríamos, na verdade, 
aumentando as duas ao mesmo tempo, o que não pode ocorrer em grandezas 
inversamente proporcionais. 
 
 
1.5. Divisão direta e inversamente proporcionais 
➢ Divisão diretamente proporcional 
Para a divisão de um número em partes diretamente proporcionais, 
usamos a propriedade da soma dos antecedentes e consequentes. 
Se queremos dividir um valor y em 3 partes diretamente proporcionais a 
A, B e C, montamos o seguinte sistema de equações: 
𝒙𝟏
𝑨
=
𝒙𝟐
𝑩
=
𝒙𝟑
𝑪
= 
𝒚
𝑨 + 𝑩 + 𝑪
 
 
 Em que 𝒚 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑. 
 Vamos a um exemplo numérico, dividindo 2.000 em partes diretamente 
proporcionais a 2, 3 e 5: 
𝒙𝟏
𝟐
=
𝒙𝟐
𝟑
=
𝒙𝟑
𝟓
= 
𝟐. 𝟎𝟎𝟎
𝟐 + 𝟑 + 𝟓
=
2.000
10
 
Desenvolvendo, temos que 𝑥1 = 400, 𝑥2 = 600 e 𝑥3 = 1000. 
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➢ Divisão inversamente proporcional 
Para a divisão de um número em partes inversamente proporcionais, 
usamos uma adaptação da propriedade da soma dos antecedentes e 
consequentes, mas considerando o inverso dos números que nos baseamos para 
fazer a divisão. 
Se queremos dividir um valor y em 3 partes inversamente proporcionais 
a A, B e C, montamos o seguinte sistema de equações: 
𝒙𝟏
𝟏
𝑨
=
𝒙𝟐
𝟏
𝑩
=
𝒙𝟑
𝟏
𝑪
= 
𝒚
𝟏
𝑨 +
𝟏
𝑩 +
𝟏
𝑪
 
 Em que 𝒚 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑. 
 Vamos a um exemplo numérico, dividindo 2.000 em partes inversamente 
proporcionais a 2, 3 e 5: 
𝒙𝟏
𝟏
𝟐
=
𝒙𝟐
𝟏
𝟑
=
𝒙𝟑
𝟏
𝟓
= 
𝟐. 𝟎𝟎𝟎
𝟏
𝟐 +
𝟏
𝟑 +
𝟏
𝟓
=
2.000
15 + 10 + 6
15
=
2.000
31
15
= 2.000 ∙
15
31
=
30.000
31
 
 
𝒙𝟏
𝟏
𝟐
=
𝒙𝟐
𝟏
𝟑
=
𝒙𝟑
𝟏
𝟓
=
30.000
31
 
 
Desenvolvendo, temos que 𝑥1 =
15.000
31
, 𝑥2 =
10.000
31
 e 𝑥3 =
6.000
31
. 
 
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2. Pontos mais Importantes da Aula 
 
➢ Proporção 
Quatro números racionais A, B, C e D, todos diferentes de zero, formam 
nessa ordem uma proporção quando: 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
 
 
➢ Constante de proporcionalidade 
A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante k, 
denominada constante de proporcionalidade dessa razão: 
𝑨
𝑩
=
𝑪
𝑫
= 𝒌 
 
➢ Propriedade fundamental 
𝑨
𝑩
=
𝑪
𝑫
 ⟹ 𝑨 ∙ 𝑫 = 𝑩 ∙ 𝑪 
 
➢ Propriedade da soma ou diferença dos antecedentes e 
consequentes 
𝑨
𝑩
=
𝑪
𝑫
= 
𝑨 + 𝑪
𝑩 + 𝑫
=
𝑨 − 𝑪
𝑩 − 𝑫
 
 
➢ Grandezas diretamente proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando 
uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, 
diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção. 
𝑿
𝒀
= 𝒌 
➢ Grandezas Inversamente Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando 
uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma 
delas, a outra aumenta na mesma proporção. 
𝑿 ∙ 𝒀 = 𝒌 
 
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3. Questões Comentadas 
 
1. (VUNESP - Analista Técnico Científico MPE SP/ Administrador/ 
2019) 
Uma empresa distribui títulos de cobrança para quatro agências de cobrança: 
A, B, C e D em quantidades iguais de títulos. A agência A é a mais produtiva, 
consegue cobrar 80% dos títulos, a agência B cobra 60%, a C e a D cobram 
30% cada uma. A empresa deseja fazer com que as agências sejam mais 
competitivas e planeja distribuir os títulos de forma proporcional aos números 
que elas estão produzindo, ou seja, proporcional aos números 80, 60, 30 e 30. 
Então, a agência A receberá a porcentagem de títulos para cobrança de: 
a) 80% 
b) 60% 
c) 50% 
d) 40% 
e) 25% 
RESOLUÇÃO: 
Quando o enunciado diz que haverá um distribuição proporcional, 
mas sem dar pistas se é uma distribuição direta ou inversamente 
proporcional, assuma em princípio que é uma distribuição diretamente 
proporcional. Se, assumindo a distribuição diretamente proporcional, você não 
chegar a uma resposta que conste nas alternativas, aí depois tente resolver o 
exercício assumindo a distribuição inversamente proporcional. 
Lembre-se que a ambiguidade no enunciado pode ser motivo para você 
e outros candidatos entrarem com recurso na questão, mas que isso não 
significa que o recurso será acatado pela banca. Então, vamos ter jogo de 
cintura e resolver a questão, independentemente do enunciado não estar muito 
completo. 
Dito isso, para esta questão, vamos assumir que a distribuição desses 
títulos será diretamente proporcional aos números 80, 60, 30 e 30. 
O enunciado não diz a quantidade total de títulos para cobrança a serem 
distribuídos, mas sabemos que todos os títulos serão distribuídos para as 4 
agências. Para resolver a questão, empregamos a propriedade da soma dos 
antecedentes e consequentes: 
𝐴
80
=
𝐵
60
=
𝐶
30
=
𝐷
30
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷
80 + 60 + 30 + 30
= 𝑘 
 
Calculemos a quantidade de títulos para o banco A: 
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𝐴
80
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷
200
⟹ 𝐴 = 80 ∙
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷
200
= 0,4 ∙ (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷) 
 
A agência A receberá 0,4 ∙ (𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷) títulos. Não sabemos o valor da 
soma (A+B+C+D), mas isso não importa para este exercício, pois enunciado 
pede a porcentagem de títulos para cobrança da agência A. O cálculo da 
porcentagem envolve a divisão da parte pelo todo, ou seja, o número de títulos 
da agência A pelo número total de títulos distribuídos: 
𝑨
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷
=
𝟎, 𝟒 ∙ (𝑨 + 𝑩 + 𝑪 + 𝑫)
(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷)
∙ 100% = 40% 
 
Portanto, a agência A recebe 40% dos títulos. 
Gabarito 1: A 
 
2. (CEBRASPE (CESPE) - Analista Judiciário (STM)/ Apoio 
Especializado/ Contabilidade/ 2018) 
Os irmãos Jonas, Pierre e Saulo, que têm, respectivamente, 30, 20 e 18 anos 
de idade, herdaram de seu pai a quantia de R$ 5 milhões. O testamento prevê 
que essa quantia deverá ser dividida entre os irmãos em partes inversamente 
proporcionais às suas idades. 
Nessa situação hipotética, um dos irmãos receberá metade da herança. 
RESOLUÇÃO: 
O enunciado nos informa duas grandezas inversamente proporcionais: 
herança e idade. A multiplicação da herança pela idade de cada irmão deve ser 
igual a uma constante k, que desconhecemos e não importa para a resolução 
deste problema. Representemos nas variáveis j, p e s as heranças cabíveis a 
Jonas, Pierre e Saulo: 
𝑗 ∙ 30 = 𝑝 ∙ 20 = 𝑠 ∙ 18 = 𝑘 
 
Os valores 30, 20 e 18 são a idade de cada um. 
Conseguimos montar as seguintes duas equações em função de j: 
𝑗 ∙ 30 = 𝑝 ∙ 20 ⟹ 
30
20
∙ 𝑗 = 𝑝 
𝑗 ∙ 30 = 𝑠 ∙ 18 ⟹
30
18
∙ 𝑗 = 𝑠 
Temos ainda que a soma das heranças é 5.000.000, ou seja: 
𝑗 + 𝑝 + 𝑠 = 5.000.000 
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Para descobrir o valor de j, substituímos as letras p e s por seus 
equivalentes em j: 
 
𝑗 +
30
20
∙ 𝑗 +
30
18
∙ 𝑗 = 5.000.000 ⟹ 𝑗 +
3
2
∙ 𝑗 +
5
3
∙ 𝑗 = 5.000.000 ⟹ 
 
6
6
𝑗 +
9
6
∙ 𝑗 +
10
6
∙ 𝑗 = 5.000.000 ⟹
25
6
∙ 𝑗 = 5.000.000 ⟹ 
𝑗 = 5.000.000 ∙
6
25
= 1.200.000 
Sabendo que Jonas receberá 1.200.000, fica fácil descobrir quanto os 
outros irmãos receberão: 
𝑝 =
30
20
∙ 𝑗 ⟹
30
20
∙ 1.200.000 = 1.800.000 
 
𝑠 =
30
18
∙ 𝑗 ⟹
30
18
∙ 1.200.000 = 2.000.000 
 
Jonas receberá 1.200.000, Pierre 1.800.000 e Saulo 2.000.000. Nenhum 
dos três receberá metade dos 5.000.000 distribuídos, portanto, alternativa 
Errada. 
Gabarito 2: Errado 
ATENÇÃO! 
Para grandezas diretamente proporcionais, como pudemos ver no 
exercício anterior, o valor de k equivale à soma da primeira grandeza dividida 
pela soma da segunda grandeza. É a propriedade da soma dos antecedentes e 
consequentes: 
𝐴
80
=
𝐵
60
=
𝐶
30
=
𝐷
30
=
𝑨+𝑩+𝑪+𝑫
𝟖𝟎+𝟔𝟎+𝟑𝟎+𝟑𝟎
= 𝑘 
 
Para grandezas inversamente proporcionais não podemos proceder 
de forma semelhante, ou seja, não podemos somar a primeira grandeza e 
multiplicar pela soma da segunda grandeza. Não vale a propriedade da soma 
dos antecedentes e consequentes: 
𝑗 ∙ 30 = 𝑝 ∙ 20 = 𝑠 ∙ 18 = 𝑘 
 
(𝑗 + 𝑝 + 𝑠) ∙ (30 + 20 + 18) = 𝑘 ERRADO! 
CERTO! 
CERTO! 
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Podemos usar a intuição para entender o porquê. Sabemos que para as 
grandezas inversamente proporcionais, quanto uma aumenta a outra tem que 
diminuir. Se somássemos tanto o total de uma grandeza quanto o total de outra 
grandeza estaríamos, na verdade, aumentando as duas ao mesmo tempo, o que 
não pode ocorrer em grandezas inversamente proporcionais. 
 
3.1. FCC 
 
3. (FCC - Analista de Gestão Contábil (Pref Recife)/2019) 
Sabe-se que as sequências S1 e S2 abaixo são diretamente proporcionais (x>0), 
isto é, a razão entre os elementos correspondentes das duas sequências é 
constante: 
Sequência S1: {4,x,16,...} 
Sequência S2: {x,9,y,...} 
O valor de y é igual a 
a) 15. 
b) 9. 
c) 12. 
d) 6. 
e) 24. 
RESOLUÇÃO: 
 O enunciado nos diz que as sequências são diretamente proporcionais. 
Podemos traduzir essa informação na forma de equação da seguinte forma: 
 
𝑆1
𝑆2
= 𝑘 
4
𝑥
=
𝑥
9
=
16
𝑦
= 𝑘 
 Podemos relacionar o valor de x com o de y em duas equações: 
 Equação 1: 
4
𝑥
=
16
𝑦
⟹ 4 ∙ 𝑦 = 16 ∙ 𝑥 ⟹ 𝑥 =
4 ∙ 𝑦
16
=
𝑦
4
 
 Equação 2: 
𝑥
9
=
16
𝑦
⟹ 𝑥 =
16 ∙ 9
𝑦
 
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 Juntando a equação 1 com a equação 2, ou seja, substituindo o x da 
equação 1 pelo valor de x da equação 2, temos: 
𝑥 =
𝑦
4
⟹
16 ∙ 9
𝑦
=
𝑦
4
 
 Fazendo a multiplicação cruzada caímos numa equação de 2º grau: 
16 ∙ 9
𝑦
=
𝑦
4
⟹ 16 ∙ 9 ∙ 4 = 𝑦 ∙ 𝑦 = 𝑦2 
 O valor de 𝑦2 é, portanto, o resultado da multiplicação 16 ∙ 9 ∙ 4. Para 
descobrirmos o valor de 𝑦, devemos tirar a raiz quadrada de 𝑦2: 
𝑦2 = 16 ∙ 9 ∙ 4 
√𝑦2 = √16 ∙ 9 ∙ 4 = √16 ∙ √9 ∙ √4 = 4 ∙ 3 ∙ 2 = 24 
 O valor de 𝑦 é, portanto, 24. 
Gabarito 3: E 
 Observação: a informação x>0 no enunciado serve para blindar a questão 
e tornar possível nossa resolução. Se x fosse igual a zero, não poderíamos dividir 
um número por zero e achar o valor da constante k. Portanto, não 
conseguiríamos encontrar resposta. 
 
4. (FCC - Analista Judiciário (TRT 15ª Região)/Judiciária/Oficial de 
Justiça Avaliador Federal/2018) 
André, Bruno, Carla e Daniela eram sócios em um negócio, sendo a participação 
de cada um, respectivamente, 10%, 20%, 20% e 50%. Bruno faleceu e, por 
não ter herdeiros naturais, estipulara, em testamento, que sua parte no negócio 
deveria ser distribuída entre seus sócios, de modo que as razões entre as 
participações dos três permanecessem inalteradas. 
Assim, após a partilha, a nova participação de André no negócio deve ser igual 
a: 
a) 20%. 
b) 8%. 
c) 12,5%. 
d) 15%. 
e) 10,5%. 
RESOLUÇÃO: 
 A parte de Bruno deve ser distribuída a André, Carla e Daniela na 
proporção das participações que eles têm hoje. Com isso, conseguimos montar 
a seguinte relação: 
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𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐵 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴, 𝐶 𝑒 𝐷
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴, 𝐶 𝑒 𝐷
=
𝐵
𝐴 + 𝐶 + 𝐷
=
20%
10% + 20% + 50%
=
1
4
= 𝑘 
 
Com essa informação, conseguimos descobrir a parte x de Bruno que 
cabe a André: 
𝐵
𝐴 + 𝐶 + 𝐷
=
𝑥
𝐴
⟹ 
1
4
=
𝑥
10%
⟹ 𝑥 =
10%
4
= 2,5% 
 
Portanto, André receberá 2,5% de participação. Como ele já tinha 10% 
de participação, agora ele terá 10%+2,5%=12,5%. 
Gabarito 4: C 
 
5. (FCC - Controlador de Sistemas de Saneamento (SABESP)/2018) 
A figura a seguir exibe uma tubulação de água que se divide em outras três de 
diâmetros menores, sendo que as setas indicam o sentido do fluxo de água em 
cada tubulação. 
 
 
Sabe-se que o fluxo de água primário se divide de forma proporcional às áreas 
das seções transversais das tubulações de diâmetros menores e que a soma dos 
fluxos nessas tubulações é igual ao fluxo primário. Se o fluxo de água primário 
for de 300 litros por minuto e as áreas das seções transversais das tubulações 
menores forem de 5 cm², 6 cm² e 9 cm², respectivamente, então o fluxo de 
água na tubulação de menor área da seção transversal será de 
a) 15 litros por minuto. 
b) 90 litros por minuto. 
c) 75 litros por minuto. 
d) 50 litros por minuto. 
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RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar as tubulações, da menor para a maior, de A, B e C. 
Podemos empregar a propriedade da soma dos antecedentes e consequentes 
para encontrarmos o valor do fluxo da tubulação A, pois já sabemos qual o fluxo 
e a área da tubulação maior: 
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶
Á𝑟𝑒𝑎 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶
=
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝐴
Á𝑟𝑒𝑎 𝐴
⟹ 
300
5 + 6 + 9
=
𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝐴
5
⟹ 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝐴 =
5 ∙ 300
5 + 6 + 9
=
5 ∙ 300
20
= 75 
 
Portanto, o fluxo na tubulação de área menor é de75 litros por minuto. 
Gabarito 5: C 
 
6. (FCC - Técnico Judiciário TRT 24ª Região/Administrativa/2017) 
Uma corda será dividida em três pedaços de comprimentos diretamente 
proporcionais a 3, 5 e 7. Feita a divisão, verificou-se que o maior pedaço ficou 
com 1 metro a mais do que deveria ser o correto para a medida do maior 
pedaço, e que o menor pedaço ficou com 1 metro a menos do que deveria ser 
o correto para a medida do menor pedaço. Se o único pedaço que saiu na 
medida correta ficou com 12 metros de comprimento, o menor dos três pedaços 
saiu com comprimento, em metros, igual a 
a) 8,6 
b) 7,5 
c) 6,2 
d) 4,8 
e) 5,6 
RESOLUÇÃO: 
 O enunciado nos diz que um pedaço de corda deveria ser repartido de 
acordo com um critério ideal, mas foi dividido de outra forma e, por isso, há 
uma diferença de tamanho em dois dos pedaços. 
Precisamos descobrir primeiro quais deveriam ser os tamanhos ideais. 
Vamos denominar os pedaços de corda de A, B e C. Sabemos que os tamanhos 
são diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 7: 
𝐴
3
=
𝐵
5
=
𝐶
7
 
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 Sabemos também que o pedaço intermediário mede 12metros de 
comprimento e está na medida correta. O pedaço intermediário é o B, pois é 
aquele que tem relação direta com o número intermediário (5). Substituindo B 
por 12metros, temos: 
𝐴
3
=
12
5
=
𝐶
7
 
 Com isso conseguimos calcular qual deveria ser o valor ideal do pedaço 
A: 
𝐴
3
=
12
5
⟹ 𝐴 =
12 ∙ 3
5
= 7,2 
E o valor ideal do pedaço C: 
12
5
=
𝐶
7
⟹ 𝐶 =
12 ∙ 7
5
= 16,8 
 
Os pedaços deveriam medir, portanto, 7,2m(A), 12m(B) e 16,8m(C). 
Todavia, o menor pedaço ficou com 1 metro a menos do que deveria ser o 
correto. Portanto o menor pedaço ficou com 7,2m-1,0m = 6,2m. 
Gabarito 6: C 
 
7. (FCC - Analista Judiciário (TRT 24ª Região)/ Apoio Especializado/ 
Tecnologia da Informação/ 2017) 
Um bônus de R$ 47.600,00 foi distribuído, a três funcionários de uma empresa, 
em partes diretamente proporcionais às respectivas idades. Sabendo que as 
idades são 23, 35 e 54 anos, a diferença, em reais, entre o valor daquele que 
recebeu mais e o valor daquele que recebeu menos, é 
a) 16.650 
b) 8.925 
c) 12.745 
d) 13.175 
e) 9.850 
RESOLUÇÃO: 
Vamos atribuir as letras A, B e C para indicar o bônus que cada funcionário 
da empresa irá receber. Considerando que os bônus são diretamente 
proporcionais às idades, podemos montar as seguintes equações usando a 
propriedade da soma dos antecedentes e consequentes: 
𝐴
23
=
𝐵
35
=
𝐶
54
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
23 + 35 + 54
 
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Sabemos pelo enunciado que a soma dos bônus 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 47.600. Com 
essas informações, já conseguimos encontrar o bônus por funcionário. 
Considerando que o enunciado pede a diferença do maior bônus para o menor, 
basta calcularmos os bônus A e C (pois ambos estão relacionados a maior e 
menor idade): 
 
𝐴
23
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
23 + 35 + 54
=
47.600
112
⟹ 𝐴 = 23 ∙
47.600
112
= 9.775 
 
𝐶
54
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
23 + 35 + 54
=
47.600
112
⟹ 𝐴 = 54 ∙
47.600
112
= 22.950 
 
 Portanto, a diferença do maior para o menor bônus é 22.950 − 9.775 =
13.175. 
Gabarito 7: D 
 
8. (FCC / Analista Tecnologia da Informação – Copergás – PE / 2016) 
As cidades A (400 mil habitantes), B (350 mil habitantes) e C (200 mil 
habitantes) disputam uma verba de R$ 5.510.000,00 para aplicarem em obras 
de infraestrutura. As cidades, A e B, querem que a verba seja repartida de modo 
diretamente proporcional ao número de habitantes das três cidades. A cidade C 
quer que a verba seja repartida de modo inversamente proporcional ao número 
de habitantes das três cidades. A porcentagem, a mais, que a cidade C receberá 
se for adotada a sua sugestão de partição, em relação ao valor que receberia 
com a outra forma de partição, é aproximadamente igual a 
a) 129%. 
b) 122%. 
c) 98%. 
d) 145%. 
e) 107%. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos fazer a conta das duas maneiras. 
 Começamos pela hipótese diretamente proporcional. As verbas das 
cidades A, B e C seguiriam a seguinte relação: 
𝐴
400.000
=
𝐵
350.000
=
𝐶
200.000
 
 
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 Além disso, temos que o total da verba será a soma a ser repassada, ou 
seja, 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 5510000. Logo, podemos empregar a propriedade da soma 
dos antecedentes e consequentes, ou seja: 
𝐴
400.000
=
𝐵
350.000
=
𝐶
200.000
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
(400 + 350 + 200) ∙ 1000
=
5.510.000
950.000
= 5,8 
 
 Logo o valor que seria recebido pela cidade C é dado por: 
𝐶
200.000
= 5,8 ⟹ 𝐶 = 1.160.000 
 
 No caso de termos uma divisão inversamente proporcional, teríamos a 
seguinte relação: 
400.000 ∙ 𝐴 = 350.000 ∙ 𝐵 = 200.000 ∙ 𝐶 
 
 Colocando A e B em função de C, temos: 
400.000 ∙ 𝐴 = 200.000 ∙ 𝐶 ⟹ 𝐴 =
𝐶
2
 
350.000 ∙ 𝐵 = 200.000 ∙ 𝐶 ⟹ 𝐵 =
4
7
∙ 𝐶 
 
 Substituindo tudo na equação do total recebido, temos: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 5510000 
𝐶
2
+
4
7
∙ 𝐶 + 𝐶 = 5510000 
7𝐶 + 8𝐶 + 14𝐶
14
= 5510000 
29𝐶
14
= 5510000 ⟹ 𝐶 = 2.660.000 
 
 A relação entre a segunda forma e a primeira é dada por: 
2660000
1160000
≅ 2,29 
 
 Isso significa dizer que a segunda forma de divisão dá um valor 129% 
maior do que a primeira. 
Gabarito 8: A 
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9. (FCC - TRF 3ª REGIÃO - Analista Judiciário – Área Administrativa – 
2016) 
Uma herança de R$ 82.000,00 será repartida de modo inversamente 
proporcional às idades, em anos completos, dos três herdeiros. As idades dos 
herdeiros são: 2, 3 e x anos. Sabe-se que os números que correspondem às 
idades dos herdeiros são números primos entre si (o maior divisor comum dos 
três números é o número 1) e que foi R$ 42.000,00 a parte da herança que o 
herdeiro com 2 anos recebeu. A partir dessas informações o valor de x é igual 
a 
a) 7. 
b) 5. 
c) 11. 
d) 1. 
e) 13. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo A, B e C as quantias recebidas, respectivamente, pelos herdeiros 
com 2, 3 e x anos, e considerando que tais valores são inversamente 
proporcionais às suas idades, temos a seguinte relação: 
2 ∙ 𝐴 = 3 ∙ 𝐵 = 𝑥 ∙ 𝐶 
 
 A questão afirma que A recebeu R$ 42.000,00, logo podemos substituir 
tal valor na primeira parte da equação, ficando com: 
2 ∙ 𝐴 = 3 ∙ 𝐵 
2 ∙ 42000 = 3 ∙ 𝐵 
𝐵 = 28000 
 
 Sabendo que a soma da quantidade recebida por cada herdeiro deve ser 
igual ao total da herança, temos: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 82000 
42000 + 28000 + 𝐶 = 82000 
𝐶 = 12000 
 
 Note que a questão pede o valor de x, logo basta substituirmos na 
expressão inicial: 
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2 ∙ 𝐴 = 𝑥 ∙ 𝐶 
2 ∙ 42000 = 𝑥 ∙ 12000 
𝑥 = 7 
Gabarito 9: A 
 
10. (FCC / Analista do CNMP - Direito – Conselho Nacional do 
Ministério Público / 2015) 
Luiz Silva, Ana Kan e uma terceira pessoa investiram,juntos, 180 mil reais em 
uma sociedade. Coincidentemente, a quantia investida por cada um, nessa 
sociedade, foi diretamente proporcional ao número de letras do seu nome e 
sobrenome, contando também as letras repetidas. Se a terceira pessoa investiu 
72 mil reais na sociedade, e se seu nome e sobrenome estão assinalados em 
apenas uma das alternativas abaixo, então, a terceira pessoa é 
a) Ida Lopes. 
b) Davi Santos. 
c) Caio Teixeira. 
d) Beatriz Borges. 
e) Cristiana Dutra. 
RESOLUÇÃO: 
 A questão afirma que a quantia investida por cada sócio era proporcional 
ao número de letras do seu nome e sobrenome. Assim, começamos contando o 
número de letras do nome dos sócios conhecidos: 
Luiz Silva: 9 letras 
Ana Kan: 6 letras 
 
 Como não sabemos o nome do 3º sócio, chamaremos de x o número de 
letras do seu nome. 
3º sócio: x letras 
 
 Chamaremos o valor recebido por cada sócio como LS, AK e 3ºsócio. 
Considerando as cotas que cada um possui, temos a seguinte relação: 
𝐿𝑆
9
=
𝐴𝐾
6
=
3º𝑠ó𝑐𝑖𝑜
𝑥
 
 
 Além disso, temos que 𝐿𝑆 + 𝐴𝐾 + 3º𝑠ó𝑐𝑖𝑜 = 180000 . Logo, podemos 
empregar a propriedade da soma dos antecedentes e consequentes, ou seja: 
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𝐿𝑆
9
=
𝐴𝐾
6
=
3º𝑠ó𝑐𝑖𝑜
𝑥
=
𝐿𝑆 + 𝐴𝐾 + 3º𝑠ó𝑐𝑖𝑜
9 + 6 + 𝑥
=
180000
15 + 𝑥
 
 
 Sabemos, também, que o 3º sócio investiu 72000, logo podemos usar a 
relação: 
3º𝑠ó𝑐𝑖𝑜
𝑥
=
180000
15 + 𝑥
 
72000
𝑥
=
180000
15 + 𝑥
 
 
 Simplificando por 36000, ficamos com: 
2
𝑥
=
5
15 + 𝑥
 
 
 Fazendo a "multiplicação cruzada", temos: 
2 ∙ (15 + 𝑥) = 5 ∙ 𝑥 
30 + 2𝑥 = 5𝑥 
3𝑥 = 30 
𝑥 = 10 
 
 Logo, o nome do 3º sócio possui 10 letras. Comparando com as 
alternativas, vemos que o único nome com tal quantidade de letras é Davi 
Santos. 
Gabarito 10: B 
 
11. (FCC - TRF 1ª REGIÃO - Analista Judiciário – diversas áreas – 
2014) 
Alberto é um dos quatro sócios de uma empresa e participa com 35% das cotas. 
Bruno, o segundo sócio participa com 20% das cotas. Carlos, o terceiro sócio 
participa com 81 cotas. Na distribuição de 258 mil reais de lucro, realizada de 
forma diretamente proporcional ao número de cotas de cada sócio, coube a 
Durval, o quarto sócio, a quantia 46,44 mil reais. A diferença entre o número 
de cotas de Bruno e Durval é igual a 
a) 12 
b) 21 
c) 24 
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d) 6 
e) 2 
RESOLUÇÃO: 
 Como a divisão do lucro foi feita de forma diretamente proporcional ao 
número de cotas de cada sócio, podemos calcular qual o percentual societário 
de Durval a partir da quantia que ele recebeu: 
%𝐷𝑢𝑟𝑣𝑎𝑙 =
46,44 𝑚𝑖𝑙
258 𝑚𝑖𝑙
= 0,18 = 18% 
 
 Como a soma dos valores dos quatro sócios deve ser 100%, isso significa 
que Carlos possui 100 – 35 – 20 – 18 = 27% da sociedade. 
 Fazendo uma regra de três com a quantia de cotas que Carlos possui, 
podemos saber o total de cotas na empresa: 
27 % 81 cotas 
100 % x 
27 ∙ 𝑥 = 81 ∙ 100 ⟹ 𝑥 = 300 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑠 
 
 Podemos calcular as cotas de Bruno e Durval: 
𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜 = 20% ∙ 300 = 60 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑠 
𝐷𝑢𝑟𝑣𝑎𝑙 = 18% ∙ 300 = 54 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑠 
 
 Logo, a diferença entre eles será de 6 cotas. 
Gabarito 11: D 
 
 
12. (FCC / Analista Judiciário – Área Administrativa – TRT-16 / 2014) 
André pensou que realizaria uma tarefa em 20 dias, porém, levou 20 dias a 
mais porque trabalhou 3 horas a menos por dia. Se a produtividade de André 
por hora se manteve sempre a mesma durante a realização da tarefa, o número 
de horas diárias que André dedicou à realização da tarefa foi igual a 
A) 6. 
B) 5. 
C) 5,5. 
D) 3,5. 
E) 3. 
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RESOLUÇÃO: 
 Chamaremos de x o número de horas por dia que André imaginou 
trabalhar inicialmente na tarefa, pelos 20 dias. Sendo assim, o esforço dele era 
de 20 ∙ 𝑥 horas. 
 No entanto, ele acabou trabalhando 3 horas a menos, ou seja, (x-3) horas 
por dia, e levou 20 dias a mais, ou seja, 20+20=40 dias. Logo, o esforço que 
acabou utilizando foi de 40 ∙ (𝑥 − 3) horas. 
 No entanto, como a tarefa era a mesma, temos que as equações de 
esforços se equivalem, donde tiramos que: 
20 ∙ 𝑥 = 40 ∙ (𝑥 − 3) 
20𝑥 = 40𝑥 − 120 
40𝑥 − 20𝑥 = 120 
20𝑥 = 120 
𝑥 = 6 
 
 Mas temos que estar atentos que a questão pede o número de horas 
diárias que André dedicou à realização da tarefa, o que significa que estamos 
querendo saber o valor de (x-3), que é igual a 3. 
Gabarito 12: E 
 
13. (FCC - TRF 1ª REGIÃO - Analista Judiciário – diversas áreas – 
2014) 
O número de processos que o Dr. X precisa despachar está para 2 assim como 
o número de processos que o Dr. Y precisa despachar está para 3. Sabe-se 
também que o número de processos que o Dr. Z precisa despachar está para 7 
assim como o número de processos que o Dr. Y precisa despachar está para 6. 
Sabe-se que o Dr. Z tem 12 processos a mais para despachar que o Dr. X. Dessa 
maneira, o número de processos que o Dr. Y precisa despachar é igual a 
a) 24 
b) 16 
c) 28 
d) 21 
e) 12 
RESOLUÇÃO: 
 Pelas informações da questão, temos: 
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𝑋
2
=
𝑌
3
 
𝑍
7
=
𝑌
6
 
𝑍 = 𝑋 + 12 
 
 Da segunda relação, tiramos: 
𝑍
7
=
𝑌
6
⟹ 𝑌 =
6𝑍
7
 
 
 Substituindo na primeira relação, temos: 
𝑋
2
=
6𝑍
3 ∙ 7
⟹ 𝑋 =
4𝑍
7
 
 
 Substituindo em 𝑍 = 𝑋 + 12, temos: 
𝑍 =
4𝑍
7
+ 12 ⟹ 𝑍 =
4𝑍 + 84
7
⟹ 7𝑍 = 4𝑍 + 84 ⟹ 3𝑍 = 84 ⟹ 𝑍 = 28 
 
 Logo o valor de Y será: 
𝑌 =
6𝑍
7
=
6 ∙ 28
7
= 24 
 
Gabarito 13: A 
 
14. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2013) 
Uma empresa obteve um lucro líquido de R$ 263.500,00. Esse lucro será 
dividido proporcionalmente às cotas da sociedade que cada um dos seus quatro 
sócios possui. O sócio majoritário detém 9 das cotas e os outros três sócios 
possuem, respectivamente, 1, 3 e 4 cotas da sociedade. A quantia, em reais, 
que o sócio que possui 3 cotas receberá nessa divisão é igual a 
A) 15.500,00. 
B) 139.500,00. 
C) 46.500,00. 
D) 62.000,00. 
E) 31.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
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 Chamaremos o valor recebido por cada sócio como A, B, C e D. 
Considerando as cotas que cada um possui, temos a seguinte relação: 
𝐴
9
=
𝐵
1
=
𝐶
3
=
𝐷
4
 
 
 Além disso, temos que 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 263500 . Logo, podemos 
empregar a propriedade da soma dos antecedentes e consequentes, ou seja: 
𝐴
9
=
𝐵
1
=
𝐶
3
=
𝐷
4
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷
9 + 1 + 3 + 4
=
263500
17
= 15500 
 
 Agora é só calcular o valor de C (3 cotas): 
𝐶
3
= 15500 ⟹ 𝐶 = 46500 
Gabarito 14: C 
 
3.2. FGV 
 
15. (FGV - Recenseador (IBGE)/2017) 
A quantia de 900 mil reais deve ser dividida em partes proporcionais aos 
números 4, 5 e 6. A menor dessas partes corresponde a: 
a) 210 mil reais; 
b) 240 mil reais; 
c) 270 mil reais; 
d) 300 mil reais; 
e) 360 mil reais. 
RESOLUÇÃO: 
Considerando as variáveis A, B e C como as partes da quantia repartida 
e aplicando a propriedade da soma dos antecedentes e consequentes, temos as 
seguintes: 
𝐴
4
=
𝐵
5
=
𝐶
6
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
4 + 5 + 6
=
900𝑚𝑖𝑙
4 + 5 + 6
 
 
 Como queremos saber a menor dessas partes, basta descobrirmos o valor 
de A, afinal é a quantia que está relacionada ao menor número (4): 
 
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𝐴
4
=
900𝑚𝑖𝑙
4 + 5 + 6
⟹ 𝐴 = 4 ∙
900𝑚𝑖𝑙
15
= 240𝑚𝑖𝑙 
 A menor dessas partes divididas corresponde, portanto, a 240mil reais. 
Gabarito 15: B 
 
16. (FGV / Técnico em Informações Geográficas e Estatísticas – IBGE 
/ 2016) 
A grandeza G é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente 
proporcional à grandeza B. Sabe-se que quando o valor de A é o dobro do valor 
de B, o valor de G é 10. Quando A vale 144 e B vale 40, o valor de G é: 
a) 15. 
b) 16. 
c) 18. 
d) 20. 
e) 24. 
RESOLUÇÃO: 
 A questão afirma que G é diretamente proporcional a A e inversamente a 
B. Assim, podemos inserir uma constante de proporcionalidade k e escrever 
que: 
𝐺 = 𝑘 ∙
𝐴
𝐵
 
 
 A questão afirma, ainda, que quando A é o dobro de B, a grandeza G vale 10. 
Substituindo na equação anterior as relações A = 2B e G = 10, temos: 
𝐺 = 𝑘 ∙
𝐴
𝐵
 
10 = 𝑘 ∙
2𝐵
𝐵
 
𝑘 = 5 
 
 Assim, quando A = 144 e B = 40, temos: 
𝐺 = 5 ∙
144
40
= 18 
Gabarito 16: C 
 
17. (FGV / Auditor - Controladoria-Geral do Estado - MA / 2014) 
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Os irmãos Davi, Lorena e Pedro, com idades de 42, 48 e 60 anos, 
respectivamente, receberam uma determinada quantia como herança de seus 
pais. Fizeram um acordo e resolveram dividir a herança em partes diretamente 
proporcionais ao número de anos esperados de vida de cada um, baseados em 
uma expectativa de vida de 72 anos para os homens e de 78 anos para as 
mulheres. Lorena recebeu R$ 240.000,00. Davi e Pedro receberam, 
respectivamente, 
a) R$ 240.000,00. 
b) R$ 210.000,00 e R$ 240.000,00. 
c) R$ 240.000,00 e R$ 210.000,00. 
d) R$ 240.000,00 e R$ 96.000,00. 
e) R$ 300.000,00 e R$ 210.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Neste caso, a proporcionalidade será dada em relação à expectativa de 
vida de cada um. Começamos calculando o número de anos esperados de vida 
de cada irmão: 
𝐷𝑎𝑣𝑖 = 72 − 42 = 30 
𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑎 = 78 − 48 = 30 
𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜 = 72 − 60 = 12 
 
 Assim, as quantias recebidas de herança seguirão a seguinte proporção: 
𝐷𝑎𝑣𝑖
30
=
𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑎
30
=
𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜
12
 
 
 Como Lorena recebeu R$ 240.000,00, é fácil calcularmos o quanto Davi 
e Pedro receberam: 
𝐷𝑎𝑣𝑖
30
=
𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑎
30
⟹ 𝐷𝑎𝑣𝑖 = 𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑎 = 240.000 
𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜
12
=
𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑎
30
=
240000
30
= 8000 ⟹ 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜 = 12 ∙ 8000 = 96000 
 
Gabarito 17: D 
 
18. (FGV / Fiscal de Rendas – Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro 
- RJ / 2002) 
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Duas pessoas investiram, em um negócio, R$300,00, a primeira delas com 
R$100,00. Obtiveram um lucro de R$9.000,00. Repartido o lucro, a segunda 
pessoa recebeu a seguinte quantia: 
A) R$ 5.000,00 
B) R$ 6.000,00 
C) R$ 7.000,00 
D) R$ 8.000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Essa questão também não mencionou a forma de repartição do lucro (se 
diretamente ou indiretamente proporcional ao valor investido, se igualmente). 
Vamos supor que o examinador tenha pretendido dizer que a repartição do lucro 
foi feita de forma diretamente proporcional ao valor investido por cada sócio. 
 Se os dois sócios investiram R$ 300,00 e o primeiro contribuiu com R$ 
100,00, isso significa que o segundo contribuiu com R$ 200,00. Assim, sendo A 
e B o lucro do primeiro e do segundo sócios, respectivamente, temos a seguinte 
relação: 
𝐴
100
=
𝐵
200
 
 
 Simplificando por 100, temos: 
𝐴
1
=
𝐵
2
 
 
 Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes e consequentes: 
𝐴
1
=
𝐵
2
=
𝐴 + 𝐵
1 + 2
 
 
 Como a soma dos lucros foi dada no enunciado, 𝐴 + 𝐵 = 9000, podemos 
substituir os valores: 
𝐴
1
=
𝐵
2
=
9.000
3
= 3.000 
 
 Agora, podemos calcular o valor do lucro do segundo sócio: 
𝐵
2
= 3.000 ⟹ 𝐵 = 2 ∙ 3.000 = 6.000 
 
Gabarito 18: B 
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3.3. CESPE (CEBRASPE) 
 
19. (CEBRASPE (CESPE) - Assistente de Aluno (IFF)/2018) 
A quantia de R$ 360.000 deverá ser repassada às escolas A, B e C para 
complemento da merenda escolar. A distribuição será em partes diretamente 
proporcionais às quantidades de alunos de cada escola. Sabe-se que a escola A 
tem 20% a mais de alunos que a escola B e que a escola C tem 20% a menos 
de alunos que a escola B. Nesse caso, a escola A deverá receber 
a) R$ 140.000. 
b) R$ 144.000. 
c) R$ 168.000. 
d) R$ 192.000. 
e) R$ 216.000. 
RESOLUÇÃO: 
 Não conhecemos o número de alunos de cada uma das três escolas e 
também não sabemos o número total de alunos quando consideramos as três 
escolas juntas. Mas podemos estabelecer relações entre os números de alunos 
de cada escola. 
 Vamos considerar 𝑏 o número de alunos da escola B e 𝑎 o número de 
alunos da escola A. O número de alunos da escola A é o número de alunos da 
escola B mais 20%, ou seja: 
𝑎 = 100% ∙ 𝑏 + 20% ∙ 𝑏 = 120% ∙ 𝑏 = 1,2 ∙ 𝑏 
De forma semelhante, vamos considerar 𝑐 o número de alunos da escola 
C. O número de alunos da escola C é o número de alunos da escola B menos 
20%, ou seja: 
𝑐 = 100% ∙ 𝑏 − 20% ∙ 𝑏 = 80% ∙ 𝑏 = 0,8 ∙ 𝑏 
Com essas duas relações, conseguimos expressar o número de alunos de 
cada escola com relação a um mesmo parâmetro comum: o número de alunos 
da escola B. Podemos também estabelecer o número total de alunos tendo como 
parâmetro o número de alunos da escola B: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1,2 ∙ 𝑏 + 1 ∙ 𝑏 + 0,8 ∙ 𝑏 = 3 ∙ 𝑏 
 Pelo enunciado, temos a informação que a quantia total de 360mil reais 
será passada às 3 escolas. Assim, podemos utilizar a propriedade da soma dos 
antecedentes e consequentes para descobrir o quanto a escola A irá receber: 
𝑎
𝑥
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
360𝑚𝑖𝑙
 
 
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 Deixemos tudo em termos de 𝑏: 
1,2 ∙ 𝑏
𝑥
=
3 ∙ 𝑏
360𝑚𝑖𝑙
 
 Com a multiplicação cruzada obtemos: 
𝑥 = 360𝑚𝑖𝑙 ∙
1,2 ∙ 𝑏
3 ∙ 𝑏
= 144𝑚𝑖𝑙 
 A escola A irá receber 144mil reais. 
Gabarito 19: B 
 
 (CESPE / Perito Criminal Especial – Polícia Civil – ES / 2011) 
Um perito criminal examinou 2 cadáveres, encontrados simultaneamente, e 
concluiu que a soma dos tempos decorridos entre as datas das mortes e a data 
em que os cadáveres foram encontrados é de 21 dias e que a razão entre esses 
tempos é igual a 3/4. A respeito dessa situação, julgue o próximo item. 
20. Uma morte ocorreu a menos de 4 dias da outra. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo A e B os tempos decorridos para cada cadáver, podemos escrever 
os dados da questão: 
 A soma dos tempos decorridos é de 21 dias: 
𝐴 + 𝐵 = 21 
 Podemos transformar essa equação para B ficar em função de A: 
𝐴 + 𝐵 = 21 ⟹ 𝐴 = 21 − 𝐵 
 
 A razão entre os tempos é igual a 3/4: 
𝐴
𝐵
=
3
4
 
 
 Juntando as duas equações, podemos tornar a razão entre os tempos 
como uma equação apenas com a variável B: 
𝐴
𝐵
=
3
4
⟹
21 − 𝐵
𝐵
=
3
4
 
 
Fazendo a multiplicação cruzada temos: 
3 ∙ 𝐵 = 4 ∙ (21 − 𝐵) ⟹ 3 ∙ 𝐵 = 84 − 4 ∙ 𝐵 
 
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3 ∙ 𝐵 + 4 ∙ 𝐵 = 84 ⟹ 𝐵 =
84
7
= 12 
 O valor de B é 9 dias. Para descobrir o valor de A, trabalhamos na 
equação: 
𝐴 + 𝐵 = 21 ⟹ 𝐴 + 12 = 21 ⟹ 𝐴 = 21 − 12 = 9 
 Logo, temos que uma morte ocorreu há 9 dias, enquanto a outra 
aconteceu há 12 dias. 
Gabarito 20: Certo. 
 
 (CESPE / Analista Judiciário - Área Administrativa – Supremo Tribunal 
Federal / 2011) 
Carlos e Paulo são funcionáriosde uma empresa e seus salários brutos mensais, 
em reais, são diretamente proporcionais aos números 3 e 5. Além disso, o 
salário de Paulo supera o salário de Carlos em R$ 2.640,00. Com base nessa 
situação, julgue os itens a seguir. 
 
21. A soma dos salários de Carlos e Paulo é igual a R$ 10.560,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Chamaremos de A e B os salários de Carlos e Paulo. Pela 
proporcionalidade, temos a seguinte relação: 
𝐴
3
=
𝐵
5
⟹ 𝐴 =
3𝐵
5
 
 
 Além disso, temos que 
𝐵 = 𝐴 + 2640 
 
 Logo, podemos substituir o valor de A na equação: 
𝐵 =
3𝐵
5
+ 2640 ⟹ 𝐵 −
3𝐵
5
= 2640 ⟹
2𝐵
5
= 2640 ⟹ 𝐵 = 6600 
𝐴 =
3𝐵
5
= 3960 
𝐴 + 𝐵 = 3960 + 6600 = 10560 
Gabarito 21: Certo. 
 
22. O salário de Carlos corresponde a 65% do salário de Paulo. 
RESOLUÇÃO: 
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𝐴
𝐵
=
3960
6600
= 0,6 = 60% 
Gabarito 22: Errado 
 
(CESPE / Analista de Atividades do Meio Ambiente - Área Analista 
Administrativo – Instituto Brasília Ambiental / 2009) 
Para fazer a reforma de um edifício, a empresa responsável contratou duas 
equipes de trabalhadores, propondo pagá-las proporcionalmente ao número de 
dias homens que cada equipe empregaria na reforma. A tarefa foi realizada da 
seguinte maneira: a primeira equipe, com 12 homens, trabalhou durante 6 dias; 
a segunda, com 7 homens, trabalhou durante 4 dias. Ao final da reforma, a 
empresa pagou R$ 60.000,00 às duas equipes. Considerando essa situação, 
julgue os itens a seguir. 
 
23. Considerando que as equipes sejam igualmente eficientes, então a 
segunda equipe realizou menos de 20% do trabalho. 
RESOLUÇÃO: 
 Conforme afirma o enunciado, o pagamento foi feito proporcionalmente 
ao número de “dias homens” de cada equipe. Tal conceito se refere ao esforço 
oriundo da quantidade de homens, ao trabalhar uma quantidade de dias. 
 Vamos calcular tal esforço para cada equipe: 
• Primeira equipe: 12 homens, 6 dias: 12 ∙ 6 = 72 homens.dia 
• Segunda equipe: 7 homens, 4 dias: 7 ∙ 4 = 28 homens.dia 
 Logo, temos que o percentual do trabalho total realizado pela segunda 
equipe foi de: 
28
72 + 28
=
28
100
= 28% 
 
Gabarito 23: Errado. 
 
24. Se a segunda equipe tivesse um homem a menos, mas trabalhasse os 
mesmos 4 dias e se a quantia paga a cada equipe fosse dividida igualmente 
entre seus trabalhadores, então cada trabalhador da segunda equipe teria 
recebido R$ 2.500,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Nesta situação, temos o seguinte esforço para cada equipe: 
• Primeira equipe: 12 homens, 6 dias: 12 ∙ 6 = 72 homens.dia 
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• Segunda equipe: 6 homens, 4 dias: 6 ∙ 4 = 24 homens.dia 
 Agora, temos que calcular o montante recebido por cada equipe: 
𝐴
72
=
𝐵
24
⟹
𝐴
3
=
𝐵
1
 
 
 Além disso, temos que 𝐴 + 𝐵 = 60000 . Logo, podemos empregar a 
propriedade da soma dos antecedentes e consequentes, ou seja: 
𝐴
3
=
𝐵
1
=
𝐴 + 𝐵
3 + 1
=
60000
4
= 15000 
 
 Assim, a equipe B recebeu R$ 15.000. Como havia 6 homens, cada um 
recebeu R$ 2.500. 
Gabarito 24: Certo. 
 
(CESPE / Analista Judiciário - Área Administrativa – Supremo Tribunal 
Federal / 2008) 
Em um tribunal, há 210 processos para serem analisados pelos juízes A, B e C. 
Sabe-se que as quantidades de processos que serão analisados por cada um 
desses juízes são, respectivamente, números diretamente proporcionais aos 
números a, b e c. Sabe-se também que a + c = 14, que cabem ao juiz B 70 
desses processos e que o juiz C deverá analisar 80 processos a mais que o juiz 
A. Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes. 
 
25. c < 10. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos aos dados da questão: 
𝐴
𝑎
=
𝐵
𝑏
=
𝐶
𝑐
 
𝑎 + 𝑐 = 14 
𝐵 = 70 
𝐶 = 80 + 𝐴 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 210 
 
 Se 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 210 e 𝐵 = 70, então 𝐴 + 𝐶 = 210 − 70 = 140. 
 Assim, temos a equação: 
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{
𝐴 + 𝐶 = 140
𝐶 = 80 + 𝐴
⟹ 𝐴 + (80 + 𝐴) = 140 ⟹ 2𝐴 = 60 ⟹ 𝑨 = 𝟑𝟎 ⟹ 𝑪 = 𝟏𝟏𝟎 
 
 Pela propriedade da soma dos antecedentes e conseqüentes, temos: 
30
𝑎
=
110
𝑐
=
30 + 110
𝑎 + 𝑐
=
140
14
= 10 
 
 Logo, temos: 
110
𝑐
= 10 ⟹ 𝒄 = 𝟏𝟏 
Gabarito 25: Errado 
 
(CESPE / Assistente em Administração – Fundação Universidade de 
Brasília / 2008) Considerando que as idades de 3 pessoas sejam números 
diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 19 e sabendo que a soma das 
idades dessas 3 pessoas é igual a 98, julgue os itens subseqüentes. 
26. A soma das idades das duas pessoas mais jovens é inferior a 62. 
RESOLUÇÃO: 
 Sejam A, B e C as idades das 3 pessoas. Quando a questão nos diz que 
tais idades são diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 19, isso 
significa que temos a seguinte relação: 
𝐴
13
=
𝐵
17
=
𝐶
19
 
 
 Para resolver a questão, empregamos a propriedade da soma dos 
antecedentes e consequentes: 
𝐴
13
=
𝐵
17
=
𝐶
19
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
13 + 17 + 19
 
 
 Como a soma das idades foi dada no enunciado, 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 98, e como 
13 + 17 + 19 = 49, podemos substituir os valores: 
𝐴
13
=
𝐵
17
=
𝐶
19
=
98
49
= 2 
 
 Agora, podemos calcular o valor de cada variável: 
𝐴
13
= 2 ⟹ 𝐴 = 2 ∙ 13 = 26 
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𝐵
17
= 2 ⟹ 𝐵 = 2 ∙ 17 = 34 
𝐶
19
= 2 ⟹ 𝐶 = 2 ∙ 19 = 38 
 
 Logo, a soma das idades dos dois mais jovens é 26 + 34 = 60. 
Gabarito 26: Certo 
 
27. A diferença entre a idade do mais velho e a do mais moço é superior a 
14. 
RESOLUÇÃO: 
 A diferença entre a idade do mais velho e do mais novo é: 
38 − 26 = 12 
Gabarito 27: Errado 
 
3.4. VUNESP 
 
28. (FCC - Aprendiz (SABESP)/Assistente Administrativo/2019) 
Albertina dividiu certa quantia entre seus 3 netos, um de 11 anos, um de 12 
anos e outro de 14 anos, de maneira que cada neto recebeu um valor 
diretamente proporcional à própria idade. Se o neto mais novo recebeu R$ 
33,00, então os dois netos mais velhos receberam um total de 
a) R$ 71,00. 
b) R$ 78,00. 
c) R$ 85,00. 
d) R$ 92,00. 
e) R$ 99,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo a quantia dividida para cada neto e suas idades grandezas 
diretamente proporcionais, podemos empregar a propriedade da soma dos 
antecedentes e consequentes já que sabemos as idades de cada e o quanto o 
mais novo recebeu. Vamos denominar de C, D e E as quantias recebidas pelos 
netos da menor à maior idade respectivamente. Podemos montar a seguinte 
equação: 
 
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𝐶
11
=
(𝐷 + 𝐸)
12 + 14
⟹
33
11
=
(𝐷 + 𝐸)
26
⟹ 
(𝐷 + 𝐸) =
33 ∙ 26
11
= 3 ∙ 26 = 78 
 Portanto, os dois netos mais velhos receberam um total de R$78,00. 
Gabarito 28: B 
 
29. (VUNESP - Inspetor de Alunos (Pref Peruíbe)/2019) 
Em um experimento químico, a razão entre uma quantidade do produto A para 
2/3 da quantidade do produto B é igual a 1/3. Para obter esse resultado é (são) 
necessário(s), do produto A, 
a) 1/6 da quantidade do produto B. 
b) 2/9 da quantidade do produto B. 
c) 1/3 da quantidade do produto B. 
d) 2/5 da quantidade do produto B. 
e) 1/2 da quantidade do produto B. 
RESOLUÇÃO: 
Em outras palavras, o enunciado pede a razão do produto A em relação 
ao produto B. Vamos montar uma equação com os dados do enunciado: 
𝐴
(
2𝐵
3 )
=
1
3
 
Temos uma fração dentro de outra fração. Podemos fazer a multiplicação 
cruzada passando a fração que está dentro do denominador para o outro lado: 
𝐴(
2𝐵
3 )
=
1
3
⟹ 𝐴 =
1
3
∙ (
2𝐵
3
) =
2𝐵
9
 
 
Assim, a resposta é a alternativa b. 
Alternativamente, podemos simplificar a fração
𝐴
(
2𝐵
3
)
, invertendo a 
fração que consta no denominador: 
𝐴
(
2𝐵
3 )
= 𝐴 ∙ (
3
2𝐵
) =
3𝐴
2𝐵
 
Depois procedemos à multiplicação cruzada com o 1/3 e chegamos ao 
mesmo resultado: 
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3𝐴
2𝐵
=
1
3
⟹ 𝐴 =
1
3
∙
2𝐵
3
=
2𝐵
9
 
Gabarito 29: B 
 
30. (VUNESP - Auxiliar Legislativo - CM Sertãozinho/ Informática/ 
2019) 
Uma verba municipal foi repartida entre três creches, A, B e C, que atendem a 
60 crianças, 70 crianças e 110 crianças, respectivamente. A verba foi repartida 
de forma diretamente proporcional ao número de crianças de cada uma, sendo 
que A recebeu R$ 8.000,00 a menos do que B, e C recebeu R$ 32.000,00 a mais 
do que B. O valor recebido pela creche C foi 
a) R$ 66.000,00. 
b) R$ 71.500,00. 
c) R$ 77.000,00. 
d) R$ 82.500,00. 
e) R$ 88.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Pelo enunciado da questão, as verbas que cada creche recebeu estão em 
função da verba recebida pela creche B. vamos denominar de 𝑏 a verba recebida 
por essa creche. Temos então que: 
 Verba recebida pela creche A: 
𝑎 = 𝑏 − 8.000 
 
 Verba recebida pela creche C: 
𝑐 = 𝑏 + 32.000 
 Como sabemos já o número de crianças por creche, uma forma de 
resolver o problema é descobrir primeiro a verba recebida pela creche B através 
de uma regra de três simples relacionando a creche A e a C: 
𝑎
60
=
𝑐
110
⟹
𝑏 − 8.000
60
=
𝑏 + 32.000
110
⟹
𝑏 − 8.000
6
=
𝑏 + 32.000
11
 
 Multiplicando cruzado: 
11 ∙ 𝑏 − 11 ∙ 8.000 = 6 ∙ 𝑏 + 6 ∙ 32.000 ⟹ 11𝑏 − 6𝑏 = 6 ∙ 32.000 + 11 ∙ 8.000 
⟹ 5𝑏 = 192.000 + 88.000 = 280.000 ⟹ 𝑏 =
280.000
5
= 56.000 
 A creche B recebeu R$56.000. A creche C recebeu, portanto: 
𝑐 = 𝑏 + 32.000 = 56.000 + 32.000 = 88.000 
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 Gabarito: E 
Alternativamente, podemos resolver a questão sem nos preocuparmos 
em descobrir o valor repassado à creche B. Basta usarmos a propriedade da 
diferença dos antecedentes e consequentes. Quando calculamos a diferença de 
𝑐 − 𝑎, o valor de 𝑏 desaparece. Vejamos: 
𝑐 − 𝑎 = (𝑏 + 32.000) − (𝑏 − 8.000) = 𝑏 + 32.000 − 𝑏 + 8.000 = 40.000 
 Assim, podemos fazer uma regra de três simples comparando essa diferença com 
o repasse à creche C: 
 
𝑐
110
=
𝑐 − 𝑎
110 − 60
⟹
𝑐
110
=
40.000
50
⟹ 𝑐 =
40.000 ∙ 110
50
= 88.000 
 Achamos o mesmo valor de R$88.000 para a creche C. 
Gabarito 30: E 
 
31. (VUNESP - Auxiliar de Serviços Gerais (PAULIPREV)/ 2018) 
Um mapa do bairro onde mora Angélica foi feito de modo que a razão entre as 
medidas do mapa e as medidas reais é de 1 para 1 000. Nesse mapa, a rua 
principal tem 23 cm. Conclui-se que o comprimento dessa rua, em metros, é 
igual a 
a) 0,23. 
b) 2,3. 
c) 23. 
d) 230. 
e) 2 300. 
RESOLUÇÃO: 
 Cada medida real é 1000 vezes maior que a medida feita no mapa. 
Logo a medida de 23cm no mapa equivale a 23𝑐𝑚 ∙ 1000 = 23.000𝑐𝑚 reais. 
 A questão não pergunta a resposta em centímetros, mas em metros. 
Assim, temos que converter os 23.000 centímetros em metros. Como 1 metro 
tem 100 centímetros, então: 
23.000𝑐𝑚 = 23.000𝑐𝑚 ∙
1𝑚
100𝑐𝑚
= 230𝑚 
 Logo, o comprimento real da rua é de 230 metros. 
Gabarito 31: D 
 
32. (VUNESP - Assistente de Gestão Municipal IPSM SJC/2018) 
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Em um setor de reclamações relacionadas aos produtos A e B, verificou-se que 
a razão entre o número de reclamações do produto A e o número total de 
reclamações, recebidas em determinado dia, podia ser representada por 3/5. 
Sabendo-se que o número de reclamações recebidas do produto B foi 18, o 
número total de reclamações recebidas, naquele dia, foi 
a) 40. 
b) 45. 
c) 50. 
d) 55. 
e) 60. 
RESOLUÇÃO: 
A primeira parte do enunciado diz que a razão entre o número de 
reclamações do produto A e o número total de reclamações é 3/5. O total de 
reclamações se refere aos produtos A e B, assim, com essas informações, 
podemos montar a seguinte equação: 
𝐴
𝐴 + 𝐵
=
3
5
 
O número de reclamações recebidas do produto B foi 18. Substituindo B 
por 18, encontramos uma equação para encontrar o valor de A, que pode ser 
resolvida com a multiplicação cruzada: 
𝐴
𝐴 + 18
=
3
5
⟹ 5 ∙ 𝐴 = 3 ∙ (𝐴 + 18) ⟹ 5 ∙ 𝐴 = 3 ∙ 𝐴 + 54 ⟹ 
5 ∙ 𝐴 − 3 ∙ 𝐴 = 54 ⟹ 2 ∙ 𝐴 = 54 ⟹ 𝐴 =
54
2
= 27 
O enunciado pede o total de reclamações, ou seja, A+B = 27+18 = 45. 
Gabarito 32: B 
 
33. (VUNESP - Guarda Civil Municipal (Pref Serrana)/2018) 
Um avô distribuiu 840 figurinhas raras para seus três netos. A distribuição foi 
realizada de forma diretamente proporcional à altura de cada um dos netos. A 
altura de cada neto é, respectivamente, 1,25 m, 1,35 m e 1,60 m. O neto mais 
alto recebeu um número de figurinhas a mais que o número de figurinhas que 
o neto mais baixo igual a 
a) 45. 
b) 50. 
c) 62. 
d) 70. 
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e) 78. 
RESOLUÇÃO: 
Como a distribuição de figurinhas foi diretamente proporcional às alturas 
e o exercício pede a diferença do número de figurinhas recebidas por dois netos, 
basta calcularmos quanto cada um desses dois netos recebeu. Como o exercício 
informa o total de figurinhas distribuídas e a altura de cada neto, podemos usar 
as propriedades da soma e diferença dos antecedentes e consequentes. 
Consideramos C o neto de maior altura e A o neto de menor altura: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1,25 + 1,35 + 1,60
=
𝐶 − 𝐴
1,60 − 1,25
= 𝑘 
 
 Sendo que: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1,25 + 1,35 + 1,60
=
840
1,25 + 1,35 + 1,60
=
840
4,20
 
 E: 
𝐶 − 𝐴
1,60 − 1,25
=
𝐶 − 𝐴
0,35
 
 
Podemos, com isso, calcular o número de figurinhas recebidas pelo neto 
C menos as recebidas pelo neto A: 
840
4,20
=
(𝐶 − 𝐴)
0,35
 
Desenvolvendo a equação: 
(𝐶 − 𝐴) = 0,35 ∙
840
4,20
= 70 
A diferença de figurinhas recebidas do neto mais alto pelo neto mais baixo é 
igual a 70 figurinhas. 
Gabarito 33: D 
 
34. (VUNESP - Professor (Pref Sertãozinho)/Educação Básica 
II/Matemática/2018) 
As seguintes tabelas foram utilizadas por um professor para trabalhar conceitos 
associados à proporcionalidade: 
Tabela I: 
Número de bolas de futebol vendidas 
nos três primeiros dias da semana 
Valor arrecadado com as vendas 
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3 R$ 210,00 
5 R$ 350,00 
6 R$ 420,00 
 
Tabela II: 
Número de anos de 
utilização de uma máquina 
Valor patrimonial 
da máquina 
3 R$ 6.300,00 
4 R$ 4.200,00 
5 R$ 2.100,00 
 
Tabela III: 
Número de horas após 
identificado um vazamento 
em uma caixa de água 
Número de litros de água no interior 
da caixa de água 
3 420 
4 315 
6 210 
 
Nas tabelas I, II e III, as grandezas envolvidas são, respectivamente: 
a) inversamente; inversamente; e diretamente proporcionais. 
b) inversamente; diretamente; e diretamente proporcionais. 
c) diretamente; não diretamente e não inversamente; e inversamente 
proporcionais. 
d) diretamente; inversamente; e inversamente proporcionais. 
e) diretamente; não diretamente e não inversamente; e não diretamente e não 
inversamente proporcionais. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos nos lembrar como identificar grandezas diretamente proporcionais 
e inversamente proporcionais: 
Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números queexpressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma 
constante K tal que: 
𝑿
𝒀
= 𝒌 
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Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números 
que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma 
constante K (que não se altera) tal que: 
𝑿 ∙ 𝒀 = 𝒌 
 
 Na Tabela I, é visível que quando uma grandeza aumenta, a outra 
também aumenta. Devemos, todavia, verificar se essa relação é diretamente 
proporcional, ou seja, se as grandezas têm relação direta conforme uma 
constante k. Para isso, vamos dividir uma grandeza pela outra e checar se o 
valor da divisão é sempre uma constante: 
Tabela I: 
Número de bolas de 
futebol vendidas nos três 
primeiros dias da 
semana 
Valor arrecadado com as 
vendas 
𝐴
𝐵
 
3 R$ 210,00 
210
3
= 70 
5 R$ 350,00 
350
5
= 70 
6 R$ 420,00 
420
6
= 70 
 
 Na Tabela I, portanto, temos evidência que as grandezas se relacionam 
de forma diretamente proporcional com uma constante igual a 70. 
 Nas Tabelas II e III, por outro lado, é visível que quando uma grandeza 
aumenta, a outra diminui. Devemos verificar se essa relação é inversamente 
proporcional, ou seja, se as grandezas multiplicadas resultam em uma 
constante k. 
 Vejamos, primeiramente, a Tabela II: 
Tabela II: 
Número de anos de 
utilização de uma 
máquina 
Valor patrimonial 
da máquina 
𝐴 ∙ 𝐵 
3 R$ 6.300,00 3 ∙ 6.300 = 18.900 
4 R$ 4.200,00 4 ∙ 4.200 = 16.800 
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5 R$ 2.100,00 5 ∙ 2.100 = 10.500 
 
Nessa tabela II, portanto, as grandezas NÃO são inversamente 
proporcionais pois a multiplicação das grandezas não fornece um valor 
constante! 
 Vejamos, agora, a Tabela III: 
Tabela II: 
Número de horas após 
identificado um 
vazamento 
em uma caixa de água 
Número de litros de água 
no interior da caixa de 
água 
𝐴 ∙ 𝐵 
3 420 3 ∙ 420 = 1.260 
4 315 4 ∙ 315 = 1.260 
6 210 6 ∙ 210 = 1.260 
 
Nessa tabela III, portanto, as grandezas são inversamente 
proporcionais pois a multiplicação das grandezas fornece um valor constante 
igual a 1.260. 
 Portanto, na tabela I as grandezas estão relacionadas de forma 
diretamente proporcional, na tabela II elas não estão relacionadas de forma 
diretamente ou inversamente proporcional e na tabela III estão relacionadas de 
forma inversamente proporcional. 
Gabarito 34: C 
 
35. (VUNESP - Professor de Educação Básica I - Pref F Vasconcelos/ 
2018) 
Considere as informações a seguir para responder a questão. 
O gráfico apresenta o número de linhas de telefone fixo e celular no mundo, 
proporcionalmente, de 1990 a 2016. 
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De acordo com o gráfico, a razão entre o número de celulares e o número de 
linhas fixas superou a razão 3 para 1, respectivamente, a partir do ano de 
a) 1997. 
b) 2001. 
c) 2005. 
d) 2008. 
e) 2012. 
RESOLUÇÃO: 
 O gráfico de barras nos mostra nas barras mais escuras a proporção de 
linhas de telefones fixos em relação à soma das linhas de telefones fixos e 
celulares: 
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑟𝑎𝑠 ⟹
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑓𝑖𝑥𝑜 
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑓𝑖𝑥𝑜 + 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟
 
 As barras mais claras, por outro lado, mostram-nos a proporção de linhas 
de celulares em relação à soma das linhas de telefones fixos e celulares: 
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑙𝑎𝑟𝑎𝑠 ⟹
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑓𝑖𝑥𝑜 + 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟
 
 
O enunciado nos pede o ano a partir do qual a razão entre o número de 
celulares e o número de linhas fixas superou a razão 3 para 1. Nesse ano, a 
dimensão da barra escura deve ser: 
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𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑟𝑎 ⟹
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑓𝑖𝑥𝑜 
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑓𝑖𝑥𝑜 + 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟
= 
=
1
1 + 3
=
1
4
= 25% 
 
Por outro lado, a dimensão da barra clara deve ser: 
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑙𝑎𝑟𝑎𝑠 ⟹
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑓𝑖𝑥𝑜 + 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓𝑜𝑛𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟
= 
=
3
1 + 3
=
3
4
= 75% 
 
Observando o gráfico, percebemos que é a partir de 2008 que a proporção 
de linhas de celulares ultrapassa 75% e a proporção de linhas de telefone fixo 
fica menor que 25%. 
Gabarito 35: D 
 
36. (VUNESP - Agente Previdenciário IPRESB/2017) 
A tabela, onde alguns valores estão substituídos por letras, mostra os valores, 
em milhares de reais, que eram devidos por uma empresa a cada um dos três 
fornecedores relacionados, e os respectivos valores que foram pagos a cada um 
deles. 
 
Sabe-se que os valores pagos foram diretamente proporcionais a cada valor 
devido, na razão de 3 para 4. Nessas condições, é correto afirmar que o valor 
total devido a esses três fornecedores era, antes dos pagamentos efetuados, 
igual a 
a) R$ 90.000,00. 
b) R$ 96.500,00. 
c) R$ 108.000,00. 
d) R$ 112.500,00. 
e) R$ 120.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
Nessa questão, os valores pagos e devidos são diretamente proporcionais 
com o valor da constante k de 3/4. Para descobrirmos o valor total devido, 
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devemos descobrir o valor da soma y+40+z. Para descobrir o valor de y e z, 
basta utilizarmos a multiplicação cruzada considerando a constante k: 
3
4
=
22,5
𝑦
⟹ 𝑦 = 22,5 ∙
4
3
= 30 
3
4
=
37,5
𝑧
⟹ 𝑧 = 37,5 ∙
4
3
= 50 
 
Assim o valor de y+40+z = 30 + 40 + 50 = 120. 
Gabarito 36: E 
 
3.5. Outras Bancas 
 
37. (CONSULPLAM - Assistente Legislativo I (CM JF)/ 2018) 
Em uma festa cada convidado tomou exatamente 4 copos de refrigerantes de 
250 ml cada, se nessa festa foram 40 convidados, logo, o número de 
refrigerantes de 2 litros consumidos nessa festa foi de: 
a) 35. 
b) 40. 
c) 20. 
d) 25. 
RESOLUÇÃO: 
Para sabermos o número de garrafas de 2 litros que foram consumidas, 
precisamos saber primeiro qual foi o total de consumo de refrigerante na festa. 
Para isso, temos informações do número de convidados, quantos copos cada 
convidado tomou e quantos ml tem cada copo: 
40𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 ∙
4 𝑐𝑜𝑝𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜
∙
250𝑚𝑙
𝑐𝑜𝑝𝑜
= 40.000𝑚𝑙 
Sabendo que cada garrafa contém 2l = 2.000ml de refrigerante, 
conseguimos encontrar o número de garrafas consumidas: 
40.000𝑚𝑙 ∙
𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎
2.000𝑚𝑙
= 20𝑔𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎𝑠 
 
Gabarito 37: C 
 
38. (ESAF / Diversos cargos – FUNAI / 2016) 
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Em uma cidade, 40% dos adultos são obesos, 45% dos adultos obesos são 
mulheres e 50% dos adultos não obesos são mulheres. Indique qual a proporção 
de mulheres adultas que são obesas. 
a) 5/8. 
b) 52%. 
c) 3/8. 
d) 11/26. 
e) 45%. 
RESOLUÇÃO: 
 Nesta questão, podemos adotar um valor para o total de adultos. 
Digamos que nessa cidade haja 100 adultos. Vejamos as informações dadas na 
questão: 
I - 40% dos adultos são obesos 
Como são 100 adultos, temos: 
Adultos obesos: 40 
Adultos não obesos: 60 
 
II - 45% dos adultos obesos são mulheres 
Ora, são 40 adultos obesos, logo temos: 
Mulheres obesas = 45% de 40 = 18 
Homensobesos = 40 – 18 = 22 
 
III - 50% dos adultos não obesos são mulheres 
Vimos que são 60 adultos não obesos, logo temos: 
Mulheres não obesas: 50% de 60 = 30 
Homens não obesos: 30 
 
 Somando o total de mulheres adultas, temos: 
Mulheres adultas (obesas e não obesas) = 18 + 30 = 48 
 
 A questão pede a proporção de mulheres adultas que são obesas, logo 
temos que dividir a quantidade de mulheres adultas obesas pelo total de 
mulheres adultas: 
𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 =
18
48
=
3
8
 
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Gabarito 38: C 
 
39. (CESGRANRIO / Escriturário – Banco do Brasil / 2015) 
Aldo, Baldo e Caldo resolvem fazer um bolão para um concurso da Mega Sena. 
Aldo contribui com 12 bilhetes, Baldo, com 15 bilhetes e Caldo, com 9 bilhetes. 
Eles combinaram que, se um dos bilhetes do bolão fosse sorteado, o prêmio 
seria dividido entre os três proporcionalmente à quantidade de bilhetes com que 
cada um contribuiu. Caldo também fez uma aposta fora do bolão e, na data do 
sorteio, houve 2 bilhetes ganhadores, sendo um deles o da aposta individual de 
Caldo, e o outro, um dos bilhetes do bolão. Qual a razão entre a quantia total 
que Caldo recebeu e a quantia que Baldo recebeu? 
a) 0,8 
b) 1,5 
c) 2 
d) 2,5 
e) 3 
RESOLUÇÃO: 
 Se já é difícil ganhar uma única vez na Mega Sena, imaginem ganhar 
duas vezes, e no mesmo concurso! Então, vamos calcular o prêmio dos 
sortudos... 
 Primeiro, vemos que houve 2 bilhetes ganhadores, sendo um deles o da 
aposta individual de Caldo, e o outro, um dos bilhetes do bolão. Logo, o prêmio 
do bolão foi somente a metade do prêmio total da Mega Sena. 
 A maneira mais fácil de resolvermos esta questão é supondo um valor 
para o prêmio. Podemos supor qualquer valor, mas como já sabemos que a 
resolução envolverá a quantidade total dos bilhetes do bolão (12+15+9 = 36), 
vamos supor que o prêmio do bolão foi de 360. Ou seja, que o prêmio total da 
Mega Sena foi o dobro disso, ou seja, 720. 
 Olhando apenas o prêmio do bolão e considerando as cotas que cada um 
possui, temos a seguinte relação: 
𝐴𝑙𝑑𝑜
12
=
𝐵𝑎𝑙𝑑𝑜
15
=
𝐶𝑎𝑙𝑑𝑜
9
 
 
 Além disso, acabamos de supor que o prêmio do bolão foi de 360, ou 
seja, que 𝐴𝑙𝑑𝑜 + 𝐵𝑎𝑙𝑑𝑜 + 𝐶𝑎𝑙𝑑𝑜 = 360. Logo, podemos empregar a propriedade 
da soma dos antecedentes e consequentes, ou seja: 
𝐴𝑙𝑑𝑜
12
=
𝐵𝑎𝑙𝑑𝑜
15
=
𝐶𝑎𝑙𝑑𝑜
9
=
𝐴𝑙𝑑𝑜 + 𝐵𝑎𝑙𝑑𝑜 + 𝐶𝑎𝑙𝑑𝑜
12 + 15 + 9
=
360
36
= 10 
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 Sabendo a relação de proporcionalidade, fica fácil calcularmos o valor que 
Baldo e Caldo receberam pelo bolão: 
𝐴𝑙𝑑𝑜
12
= 10 ⟹ 𝐴𝑙𝑑𝑜 = 120 
𝐵𝑎𝑙𝑑𝑜
15
= 10 ⟹ 𝐵𝑎𝑙𝑑𝑜 = 150 
𝐶𝑎𝑙𝑑𝑜
9
= 10 ⟹ 𝐶𝑎𝑙𝑑𝑜 = 90 
 
 Mas temos que lembrar que Caldo recebeu outros 360 pelo seu bilhete 
individual premiado. No final, tivemos a seguinte distribuição total dos prêmios: 
 
 Logo, a razão entre a quantia total que Caldo recebeu e a quantia que 
Baldo recebeu é: 
𝐶𝑎𝑙𝑑𝑜
𝐵𝑎𝑙𝑑𝑜
=
90 + 360
150
=
450
150
= 3 
Gabarito 39: E 
 
40. (IBFC/Técnico de Registro de Comércio-SAEB-BA/2015) 
Do total de pessoas numa sala 40% são mulheres e dentre o total de homens, 
30% deles usam óculos. Se 63 homens não usam óculos, então o total de 
mulheres na sala é: 
a) 80 
b) 60 
c) 90 
d) 120 
e) 70 
Prêmio total: 720
Bolão: 360
Aldo: 120
Baldo: 150
Caldo: 90
Individual: 360 Caldo: 360
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RESOLUÇÃO: 
Se entre os Homens 30% usam óculos ⇒100%-30% =70% dos Homens 
não usam óculos. 
Como nos foi dado que 63 homens não usam óculos e sabemos que isto 
representa 70% deste grupo (Sempre que for achar o total, o número de 
integrantes da fração pela porcentagem nos dá o total, conforme cálculos 
mostrados nas questões anteriores) então nesta sala há: 
NH = 63/70% = 63/0,7= 90 Homens. 
Estes 90 homens representam 100%-40% = 60% do total em sala, 
logo, por regra de três simples achamos a quantidade de mulheres. 
 
Aplicando a multiplicação cruzada temos: 
 
Gabarito 40: B 
 
41. (IBFC/ Motorista-SUCEN/2013) 
Dentre os pares de números abaixo, os que representam grandezas 
inversamente proporcionais é: 
a) 2,3,4,5,6 e 60,40,30,24,20. 
b) 3,4,5,6,7 e 18,24,30,36,42. 
c) 10,20,30,40,50 e 1,2,3,4,5. 
d) 4,8,12,16,20 e 40,80,120,160,200. 
RESOLUÇÃO: 
 Grandezas diretamente proporcionais apresentam razão constante: 
𝑿
𝒀
= 𝒌 
 Já as inversamente proporcionais apresentam produto constante: 
 
60%
40%
 
% Pessoas 
 
90 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠
𝑥
 
= 
60 ∙ 𝑥 = 40 ∙ 90 ⇒ 𝑥 =
40 ∙ 90
60
= 𝟔𝟎 
 
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𝑿 ∙ 𝒀 = 𝒌 
Logo, para sabermos qual dos pares é inversamente proporcionais, 
verificaremos o produto mostrado em cada alternativa: 
 
Gabarito 41: A 
 
42. (ESAF / Auditor-Fiscal – Receita Federal do Brasil / 2012) 
A taxa cobrada por uma empresa de logística para entregar uma encomenda 
até determinado lugar é proporcional à raiz quadrada do peso da encomenda. 
Ana, que utiliza, em muito, os serviços dessa empresa, pagou para enviar uma 
encomenda de 25kg uma taxa de R$ 54,00. Desse modo, se Ana enviar a 
mesma encomenda de 25kg dividida em dois pacotes de 16kg e 9kg, ela pagará 
o valor total de 
a) 54,32. 
b) 54,86. 
c) 76,40. 
d) 54. 
e) 75,60. 
RESOLUÇÃO: 
 O enunciado afirma que a taxa de entrega é proporcional à raiz quadrada 
do peso da encomenda. Isso significa que a constante de proporcionalidade 
k será calculada da seguinte maneira: 
a) 2 
3 
4 
5 
6 
X 
 
60 
40 
30 
24 
20 
= 
120 
120 
120 
120 
120 
b) 
 
3 
4 
5 
6 
7 
X 
 
18 
24 
30 
36 
42 
= 
54 
96 
150 
216 
294 
c) 
 
10 
20 
30 
40 
50 
X 
1 
2 
3 
4 
5 
= 
 
10 
40 
90 
160 
250 
d) 
 
4 
8 
12 
16 
20 
X 
 
40 
80 
120 
160 
200 
= 
160 
640 
1440 
2560 
4000 
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𝑡𝑎𝑥𝑎
√𝑝𝑒𝑠𝑜
= 𝑘 
 
 Com os dados do enunciado, é possível calcular o valor da constante de 
proporcionalidade k, pois a questão afirma que Ana pagou R$ 54,00 para enviar 
uma encomenda de 25kg. Assim, temos: 
54
√25
= 𝑘 ⟹ 𝑘 =
54
5
= 10,8 
 
 Ao dividir a encomenda em dois pacotes, de 16kg e 9kg, ela pagará uma 
taxa para cada pacote, sendo que ambas obedecerão à seguinte relação: 
𝑡𝑎𝑥𝑎
√𝑝𝑒𝑠𝑜
= 10,8 
 
 Assim, para o pacote de 16kg, temos: 
𝑡𝑎𝑥𝑎1
√16
= 10,8 ⟹
𝑡𝑎𝑥𝑎1
4
= 10,8 ⟹ 𝑡𝑎𝑥𝑎1 = 4 ∙ 10,8 = 43,20 
 
 Já para o pacote de 9km temos: 
𝑡𝑎𝑥𝑎2
√9
= 10,8 ⟹
𝑡𝑎𝑥𝑎2
3
= 10,8 ⟹ 𝑡𝑎𝑥𝑎2 = 3 ∙ 10,8 = 32,40 
 
 Logo, a taxa total paga por Ana foi: 
𝑡𝑎𝑥𝑎1 + 𝑡𝑎𝑥𝑎2 = 43,20 + 32,40 = 75,60 
Gabarito 42: E 
 
43. (ESAF/ Analista Técnico – Superintendência de Seguros Privados 
/ 2010) 
Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na 
razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de 
suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda 
do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais 
novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem 
dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho 
do meio? 
a) 80 
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b) 100 
c) 120 
d) 160 
e) 180 
RESOLUÇÃO: 
 Primeiramente, vamos organizar as informações do enunciado, a respeito 
de cada filho: 
 mais velho do meio mais novo proporcionalidade 
nº de filhos 3 2 2 diretamente 
renda 2 3 1 inversamente 
 
 Como a questão afirma que a divisão deve ser diretamente proporcional 
à quantidade de filhos e inversamente proporcional à renda, temos que fazer 
com que ambos os critérios sejam seguidos. 
 Para tanto, a maneira mais fácil de fazer é transformar ambos os critérios 
em um só. Fazemos isso multiplicando o valor diretamente proporcional pelo 
inverso do valor inversamente proporcional, o que faremos em duas etapas: 
 Primeiro, invertemos os valores que são inversamente proporcionais (e 
assim eles viram grandezas diretamente proporcionais): 
 mais velho do meio mais novo proporcionalidade 
nº de filhos 3 2 2 diretamente 
renda 1 2⁄ 
1
3⁄ 1 diretamente 
 
 Em seguida, multiplicamos tais valores, criando uma nova grandeza: 
 mais velho do meio mais novo proporcionalidade 
nº de filhos 3 2 2 diretamente 
renda 1 2⁄ 
1
3⁄ 1 diretamente 
 3 ∙
1
2
=
3
2
 2 ∙
1
3
=
2
3
 2 ∙ 1 = 2 diretamente 
 
 Em outras palavras, o que a questão afirma é que a área da fazenda deve 
ser dividida entre os filhos mais velho, do meio e mais novo, respectivamente, 
em tamanhos diretamente proporcionais a 3 2⁄ , 
2
3⁄ e 2. Logo, sendo A, B e C, 
as áreas dos filhos mais velho, do meio e mais novo, respectivamente, temos: 
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𝐴
3
2⁄
=
𝐵
2
3⁄
=
𝐶
2
 
 
 Para resolver a questão, empregamos a propriedade da soma dos 
antecedentes e consequentes: 
𝐴
3
2⁄
=
𝐵
2
3⁄
=
𝐶
2
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
3
2 +
2
3 + 2
 
 
 O enunciado afirma que 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 500. Temos, ainda, que 
3
2
+
2
3
+ 2 =
9 + 4 + 12
6
=
25
6
 
 
 Assim, ficamos com: 
𝐴
3
2⁄
=
𝐵
2
3⁄
=
𝐶
2
=
500
25
6
= 500 ∙
6
25
= 20 ∙ 6 = 120 
 
 Como a questão quer o valor recebido pelo filho do meio (B), temos: 
𝐵
2
3
= 120 ⟹ 𝐵 =
2
3
∙ 120 = 80 
Gabarito 43: A 
 
44. (ESAF/ Agente de Fazenda - Secretaria Municipal de Fazenda – 
Rio de Janeiro / 2010) 
Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, 
colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros trabalhadores, trabalhando 10 
horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos de arroz em 10 dias. Em média, 
quanto um trabalhador do primeiro grupo é mais ou menos produtivo que um 
trabalhador do segundo grupo? 
a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo. 
b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo. 
c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo. 
d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. 
e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo. 
RESOLUÇÃO: 
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 Para calcularmos a produtividade do trabalhador, devemos calcular 
quantos sacos de arroz ele colhe por hora. 
 Para o primeiro grupo, temos um total de horas trabalhadas de: 
2 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 ∙ 8ℎ/𝑑𝑖𝑎 ∙ 15 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 240 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜𝑟 ∙ ℎ𝑜𝑟𝑎 
 
 Como este grupo colheu 60 sacos de arroz, temos que a produtividade do 
grupo foi: 
60
240
 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠/(𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜𝑟 ∙ ℎ𝑜𝑟𝑎) = 0,25 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠/(𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜𝑟 ∙ ℎ𝑜𝑟𝑎) 
 
 Já para o segundo grupo, temos um total de horas trabalhadas de: 
3 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 ∙ 10ℎ/𝑑𝑖𝑎 ∙ 10 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 300 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜𝑟 ∙ ℎ𝑜𝑟𝑎 
 
 Como este grupo colheu 75 sacos de arroz, temos que a produtividade do 
grupo foi: 
75
300
 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠/(𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜𝑟 ∙ ℎ𝑜𝑟𝑎) = 0,25 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠/(𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜𝑟 ∙ ℎ𝑜𝑟𝑎) 
 
 Logo, temos que a produtividade de ambos os grupos é a mesma. 
Gabarito 44: D 
 
45. (ESAF/ Assistente Técnico-Administrativo - Ministério da Fazenda 
/ 2009) 
Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira 
torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a 
segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as 
duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo 
o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 20 horas 
c) 16 horas 
d) 24 horas 
e) 30 horas 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo V o volume total do tanque, temos as seguintes vazões de cada 
torneira: 
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 Vazão da 1ª torneira: 
𝑉
24
 
 Vazão da 2ª torneira: 
𝑉
48
 
 Abrindo ambas as torneiras, as vazões serão somadas, logo a vazão será: 
𝑉
24
+
𝑉
48
=
2𝑉 + 𝑉
48
=
3𝑉
48
=
𝑉
16
 
 
 Logo, para enchermos o tanque todo com a vazão de 
𝑉
16
, precisamos de 
16 horas. 
Gabarito 45: C 
 
46. (ESAF / Técnico do MPU - Área Transporte – Ministério Público da 
União / 2004) 
Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e B a uma velocidade 
média constante de 50 km por hora. O carro percorre, também a uma 
velocidade média constante, V, o restante do trajeto até B. Ora, a velocidade 
média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por hora. Logo, a 
velocidade V é igual a 
A) 20 km por hora 
B) 10 km por hora 
C) 25 km por hora 
D) 30 km por hora 
E) 37,5 km por hora. 
RESOLUÇÃO: 
 A maneira mais simples de resolvermos esta questão é adotarmos um 
valor para a distância entre as cidades A e B. Em função dos valores dados na 
questão, adotaremos tal distância igual a 100km. Sendo assim, o carro 
percorrerá 75 km a uma velocidade de 50 km/h, e os demais 25 km a uma 
velocidade V. 
 Lembrando que a fórmula de cálculo da velocidade média é o quociente 
entre a distância percorrida e o tempo gasto (𝑣 = 𝑠 𝑡⁄ ), temos: 
 Chamaremos de t1 o tempo para percorrer os primeiros 75 km, e de t2 o 
tempo gasto para percorrer os 25 km restantes. Sendo assim, o tempo total 
será 𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2. 
 Pelos dados da questão, calculamos o tempo t1 e o tempo total t: 
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𝑡1 =
𝑠1
𝑣1
=
75
50
= 1,5 ℎ 
𝑡 =
𝑠
𝑣
=
75 + 25
40
=
100
40
= 2,5 ℎ 
 
 Mas como 𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2, temos que 𝑡2 = 𝑡 − 𝑡1, logo: 
𝑡2 = 𝑡 − 𝑡1 = 2,5 − 1,5 = 1 ℎ 
 
 Logo: 
𝑣2 =
𝑠2
𝑡2
=
25
1
= 25 𝑘𝑚/ℎ 
 
 Assim, concluímos que a velocidade do carro no segundo trecho é de 25 
km/h. 
Gabarito 46: C 
 
47. (ESAF / Analista de Finanças e Controle – Controladoria-Geral da 
União / 2001) 
Uma pessoa foi da localidade A para B a uma velocidade média de 75 Km por 
hora (Km/h); após, retorna de B para A a uma velocidade média de 50 Km/h. 
Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi 
de: 
A) 50 
B) 60 
C) 62,5 
D) 70 
E) 72,5 
RESOLUÇÃO: 
 A maneira mais simples de resolvermos esta questão é adotarmos um 
valor para a distância entre as cidades A e B. Em função dos valores dados na 
questão, adotaremos tal distância igual a 150km. 
 Sendo assim, o tempo gasto na ida foi de: 
𝑡1 =
𝑠
𝑣1
=
150
75
= 2 ℎ 
 
 Analogamente, o tempo gasto na volta foi de: 
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𝑡2 =
𝑠
𝑣2
=
150
50
= 3 ℎ 
 
 Logo, a viagem de ida e volta durará 5 h. Como a distância de ida e volta 
é de 300 km, temos que a velocidade média será: 
𝑣 =
𝑠
𝑡
=
300
5
= 60 𝑘𝑚/ℎ 
 
Gabarito 47: B 
 
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4. Lista de Exercícios 
 
1. (VUNESP - Analista Técnico Científico MPE SP/ Administrador/ 
2019) 
Uma empresa distribui títulos de cobrança para quatro agências de cobrança: 
A, B, C e D em quantidades iguais de títulos. A agência A é a mais produtiva, 
consegue cobrar 80% dos títulos, a agência B cobra 60%, a C e a D cobram 
30% cada uma. A empresa deseja fazer com que as agências sejam mais 
competitivas e planeja distribuir os títulos de forma proporcional aos números 
que elas estão produzindo, ou seja, proporcional aos números 80, 60, 30 e 30. 
Então, a agência A receberá a porcentagem de títulos para cobrança de: 
a) 80% 
b) 60% 
c) 50% 
d) 40% 
e) 25% 
 
2. (CEBRASPE (CESPE) - Analista Judiciário (STM)/ Apoio 
Especializado/ Contabilidade/ 2018) 
Os irmãos Jonas, Pierre e Saulo, que têm, respectivamente, 30, 20 e 18 anos 
de idade, herdaram de seu pai a quantia de R$ 5 milhões. O testamento prevê 
que essa quantia deverá ser dividida entre os irmãos em partes inversamente 
proporcionais às suas idades. 
Nessa situação hipotética, um dos irmãos receberá metade da herança. 
 
4.1. FCC 
 
3. (FCC - Analista de Gestão Contábil (Pref Recife)/2019) 
Sabe-se que as sequências S1 e S2 abaixo são diretamente proporcionais (x>0), 
isto é, a razão entre os elementos correspondentes das duas sequências é 
constante: 
Sequência S1: {4,x,16,...} 
Sequência S2: {x,9,y,...} 
O valor de y é igual a 
a) 15. 
b) 9. 
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c) 12. 
d) 6. 
e) 24. 
 
4. (FCC - Analista Judiciário (TRT 15ª Região)/Judiciária/Oficial de 
Justiça Avaliador Federal/2018) 
André, Bruno, Carla e Daniela eram sócios em um negócio, sendo a participação 
de cada um, respectivamente, 10%, 20%, 20% e 50%. Bruno faleceu e, por 
não ter herdeiros naturais, estipulara, em testamento, que sua parte no negócio 
deveria ser distribuída entre seus sócios, de modo que as razões entre as 
participações dos três permanecessem inalteradas. 
Assim, após a partilha, a nova participação de André no negócio deve ser igual 
a: 
a) 20%. 
b) 8%. 
c) 12,5%. 
d) 15%. 
e) 10,5%. 
 
5. (FCC - Controlador de Sistemas de Saneamento (SABESP)/2018) 
A figura a seguir exibe uma tubulação de água que se divide em outras três de 
diâmetros menores, sendo que as setas indicam o sentido do fluxo de água em 
cada tubulação. 
 
 
Sabe-se que o fluxo de água primário se divide de forma proporcional às áreas 
das seções transversais das tubulações de diâmetros menores e que a soma dos 
fluxos nessas tubulações é igual ao fluxo primário. Se o fluxo de água primário 
for de 300 litros por minuto e as áreas das seções transversais das tubulações 
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menores forem de 5 cm², 6 cm² e 9 cm², respectivamente, então o fluxo de 
água na tubulação de menor área da seção transversal será de 
a) 15 litros por minuto. 
b) 90 litros por minuto. 
c) 75 litros por minuto. 
d) 50 litros por minuto. 
e) 135 litros por minuto. 
 
6. (FCC - Técnico Judiciário TRT 24ª Região/Administrativa/2017) 
Uma corda será dividida em três pedaços de comprimentos diretamente 
proporcionais a 3, 5 e 7. Feita a divisão, verificou-se que o maior pedaço ficou 
com 1 metro a mais do que deveria ser o correto para a medida do maior 
pedaço, e que o menor pedaço ficou com 1 metro a menos do que deveria ser 
o correto para a medida do menor pedaço. Se o único pedaço que saiu na 
medida correta ficou com 12 metros de comprimento, o menor dos três pedaços 
saiu com comprimento, em metros, igual a 
a) 8,6 
b) 7,5 
c) 6,2 
d) 4,8 
e) 5,6 
 
7. (FCC - Analista Judiciário (TRT 24ª Região)/ Apoio Especializado/ 
Tecnologia da Informação/ 2017) 
Um bônus de R$ 47.600,00 foi distribuído, a três funcionários de uma empresa, 
em partes diretamente proporcionais às respectivas idades. Sabendo que as 
idades são 23, 35 e 54 anos, a diferença, em reais, entre o valor daquele que 
recebeu mais e o valor daquele que recebeu menos, é 
a) 16.650 
b) 8.925 
c) 12.745 
d) 13.175 
e) 9.850 
 
8. (FCC / Analista Tecnologia da Informação – Copergás – PE / 2016) 
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As cidades A (400 mil habitantes), B (350 mil habitantes) e C (200 mil 
habitantes) disputam uma verba de R$ 5.510.000,00 para aplicarem em obras 
de infraestrutura. As cidades, A e B, querem que a verba seja repartida de modo 
diretamente proporcional ao número de habitantes das três cidades. A cidade C 
quer que a verba seja repartida de modo inversamente proporcional ao número 
de habitantes das três cidades. A porcentagem, a mais, que a cidade C receberá 
se for adotada a sua sugestão de partição, em relação ao valor que receberia 
com a outra forma de partição, é aproximadamente igual a 
a) 129%. 
b) 122%. 
c) 98%. 
d) 145%. 
e) 107%. 
 
9. (FCC - TRF 3ª REGIÃO - Analista Judiciário – Área Administrativa – 
2016) 
Uma herança de R$ 82.000,00 será repartida de modo inversamente 
proporcional às idades, em anos completos, dos três herdeiros. As idades dos 
herdeiros são: 2, 3 e x anos. Sabe-se que os números que correspondem às 
idades dos herdeiros são números primos entre si (o maior divisor comum dos 
três números é o número 1) e que foi R$ 42.000,00 a parte da herança que o 
herdeiro com 2 anos recebeu. A partir dessas informações o valor de x é igual 
a 
a) 7. 
b) 5. 
c) 11. 
d) 1. 
e) 13. 
 
10. (FCC / Analista do CNMP - Direito – Conselho Nacional do 
Ministério Público / 2015) 
Luiz Silva, Ana Kan e uma terceira pessoa investiram, juntos, 180 mil reais em 
uma sociedade. Coincidentemente, a quantia investida por cada um, nessa 
sociedade, foi diretamente proporcional ao número de letras do seu nome e 
sobrenome, contando também as letras repetidas. Se a terceira pessoa investiu 
72 mil reais na sociedade, e se seu nome e sobrenome estão assinalados em 
apenas uma das alternativas abaixo, então, a terceira pessoa é 
a) Ida Lopes. 
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b) Davi Santos. 
c) Caio Teixeira. 
d) Beatriz Borges. 
e) Cristiana Dutra. 
 
11. (FCC - TRF 1ª REGIÃO - Analista Judiciário – diversas áreas – 
2014) 
Alberto é um dos quatro sócios de uma empresa e participa com 35% das cotas. 
Bruno, o segundo sócio participa com 20% das cotas. Carlos, o terceiro sócio 
participa com 81 cotas. Na distribuição de 258 mil reais de lucro, realizada de 
forma diretamente proporcional ao número de cotas de cada sócio, coube a 
Durval, o quarto sócio, a quantia 46,44 mil reais. A diferença entre o número 
de cotas de Bruno e Durval é igual a 
a) 12 
b) 21 
c) 24 
d) 6 
e) 2 
 
12. (FCC / Analista Judiciário – Área Administrativa – TRT-16 / 2014) 
André pensou que realizaria uma tarefa em 20 dias, porém, levou 20 dias a 
mais porque trabalhou 3 horas a menos por dia. Se a produtividade de André 
por hora se manteve sempre a mesma durante a realização da tarefa, o número 
de horas diárias que André dedicou à realização da tarefa foi igual a 
A) 6. 
B) 5. 
C) 5,5. 
D) 3,5. 
E) 3. 
 
13. (FCC - TRF 1ª REGIÃO - Analista Judiciário – diversas áreas – 
2014) 
O número de processos que o Dr. X precisa despachar está para 2 assim como 
o número de processos que o Dr. Y precisa despachar está para 3. Sabe-se 
também que o número de processos que o Dr. Z precisa despachar está para 7 
assim comoo número de processos que o Dr. Y precisa despachar está para 6. 
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Sabe-se que o Dr. Z tem 12 processos a mais para despachar que o Dr. X. Dessa 
maneira, o número de processos que o Dr. Y precisa despachar é igual a 
a) 24 
b) 16 
c) 28 
d) 21 
e) 12 
 
14. (FCC / Escriturário – Banco do Brasil / 2013) 
Uma empresa obteve um lucro líquido de R$ 263.500,00. Esse lucro será 
dividido proporcionalmente às cotas da sociedade que cada um dos seus quatro 
sócios possui. O sócio majoritário detém 9 das cotas e os outros três sócios 
possuem, respectivamente, 1, 3 e 4 cotas da sociedade. A quantia, em reais, 
que o sócio que possui 3 cotas receberá nessa divisão é igual a 
A) 15.500,00. 
B) 139.500,00. 
C) 46.500,00. 
D) 62.000,00. 
E) 31.000,00. 
 
4.2. FGV 
 
15. (FGV - Recenseador (IBGE)/2017) 
A quantia de 900 mil reais deve ser dividida em partes proporcionais aos 
números 4, 5 e 6. A menor dessas partes corresponde a: 
a) 210 mil reais; 
b) 240 mil reais; 
c) 270 mil reais; 
d) 300 mil reais; 
e) 360 mil reais. 
 
16. (FGV / Técnico em Informações Geográficas e Estatísticas – IBGE 
/ 2016) 
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A grandeza G é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente 
proporcional à grandeza B. Sabe-se que quando o valor de A é o dobro do valor 
de B, o valor de G é 10. Quando A vale 144 e B vale 40, o valor de G é: 
a) 15. 
b) 16. 
c) 18. 
d) 20. 
e) 24. 
 
17. (FGV / Auditor - Controladoria-Geral do Estado - MA / 2014) 
Os irmãos Davi, Lorena e Pedro, com idades de 42, 48 e 60 anos, 
respectivamente, receberam uma determinada quantia como herança de seus 
pais. Fizeram um acordo e resolveram dividir a herança em partes diretamente 
proporcionais ao número de anos esperados de vida de cada um, baseados em 
uma expectativa de vida de 72 anos para os homens e de 78 anos para as 
mulheres. Lorena recebeu R$ 240.000,00. Davi e Pedro receberam, 
respectivamente, 
a) R$ 240.000,00. 
b) R$ 210.000,00 e R$ 240.000,00. 
c) R$ 240.000,00 e R$ 210.000,00. 
d) R$ 240.000,00 e R$ 96.000,00. 
e) R$ 300.000,00 e R$ 210.000,00. 
 
18. (FGV / Fiscal de Rendas – Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro 
- RJ / 2002) 
Duas pessoas investiram, em um negócio, R$300,00, a primeira delas com 
R$100,00. Obtiveram um lucro de R$9.000,00. Repartido o lucro, a segunda 
pessoa recebeu a seguinte quantia: 
A) R$ 5.000,00 
B) R$ 6.000,00 
C) R$ 7.000,00 
D) R$ 8.000,00 
 
4.3. CESPE (CEBRASPE) 
 
19. (CEBRASPE (CESPE) - Assistente de Aluno (IFF)/2018) 
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A quantia de R$ 360.000 deverá ser repassada às escolas A, B e C para 
complemento da merenda escolar. A distribuição será em partes diretamente 
proporcionais às quantidades de alunos de cada escola. Sabe-se que a escola A 
tem 20% a mais de alunos que a escola B e que a escola C tem 20% a menos 
de alunos que a escola B. Nesse caso, a escola A deverá receber 
a) R$ 140.000. 
b) R$ 144.000. 
c) R$ 168.000. 
d) R$ 192.000. 
e) R$ 216.000. 
 
 (CESPE / Perito Criminal Especial – Polícia Civil – ES / 2011) 
Um perito criminal examinou 2 cadáveres, encontrados simultaneamente, e 
concluiu que a soma dos tempos decorridos entre as datas das mortes e a data 
em que os cadáveres foram encontrados é de 21 dias e que a razão entre esses 
tempos é igual a 3/4. A respeito dessa situação, julgue o próximo item. 
20. Uma morte ocorreu a menos de 4 dias da outra. 
 
 (CESPE / Analista Judiciário - Área Administrativa – Supremo Tribunal 
Federal / 2011) 
Carlos e Paulo são funcionários de uma empresa e seus salários brutos mensais, 
em reais, são diretamente proporcionais aos números 3 e 5. Além disso, o 
salário de Paulo supera o salário de Carlos em R$ 2.640,00. Com base nessa 
situação, julgue os itens a seguir. 
 
21. A soma dos salários de Carlos e Paulo é igual a R$ 10.560,00. 
 
22. O salário de Carlos corresponde a 65% do salário de Paulo. 
 
(CESPE / Analista de Atividades do Meio Ambiente - Área Analista 
Administrativo – Instituto Brasília Ambiental / 2009) 
Para fazer a reforma de um edifício, a empresa responsável contratou duas 
equipes de trabalhadores, propondo pagá-las proporcionalmente ao número de 
dias homens que cada equipe empregaria na reforma. A tarefa foi realizada da 
seguinte maneira: a primeira equipe, com 12 homens, trabalhou durante 6 dias; 
a segunda, com 7 homens, trabalhou durante 4 dias. Ao final da reforma, a 
empresa pagou R$ 60.000,00 às duas equipes. Considerando essa situação, 
julgue os itens a seguir. 
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23. Considerando que as equipes sejam igualmente eficientes, então a 
segunda equipe realizou menos de 20% do trabalho. 
 
24. Se a segunda equipe tivesse um homem a menos, mas trabalhasse os 
mesmos 4 dias e se a quantia paga a cada equipe fosse dividida igualmente 
entre seus trabalhadores, então cada trabalhador da segunda equipe teria 
recebido R$ 2.500,00. 
 
(CESPE / Analista Judiciário - Área Administrativa – Supremo Tribunal 
Federal / 2008) 
Em um tribunal, há 210 processos para serem analisados pelos juízes A, B e C. 
Sabe-se que as quantidades de processos que serão analisados por cada um 
desses juízes são, respectivamente, números diretamente proporcionais aos 
números a, b e c. Sabe-se também que a + c = 14, que cabem ao juiz B 70 
desses processos e que o juiz C deverá analisar 80 processos a mais que o juiz 
A. Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes. 
 
25. c < 10. 
 
(CESPE / Assistente em Administração – Fundação Universidade de 
Brasília / 2008) Considerando que as idades de 3 pessoas sejam números 
diretamente proporcionais aos números 13, 17 e 19 e sabendo que a soma das 
idades dessas 3 pessoas é igual a 98, julgue os itens subseqüentes. 
26. A soma das idades das duas pessoas mais jovens é inferior a 62. 
 
27. A diferença entre a idade do mais velho e a do mais moço é superior a 
14. 
 
4.4. VUNESP 
 
28. (FCC - Aprendiz (SABESP)/Assistente Administrativo/2019) 
Albertina dividiu certa quantia entre seus 3 netos, um de 11 anos, um de 12 
anos e outro de 14 anos, de maneira que cada neto recebeu um valor 
diretamente proporcional à própria idade. Se o neto mais novo recebeu R$ 
33,00, então os dois netos mais velhos receberam um total de 
a) R$ 71,00. 
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b) R$ 78,00. 
c) R$ 85,00. 
d) R$ 92,00. 
e) R$ 99,00. 
 
29. (VUNESP - Inspetor de Alunos (Pref Peruíbe)/2019) 
Em um experimento químico, a razão entre uma quantidade do produto A para 
2/3 da quantidade do produto B é igual a 1/3. Para obter esse resultado é (são) 
necessário(s), do produto A, 
a) 1/6 da quantidade do produto B. 
b) 2/9 da quantidade do produto B. 
c) 1/3 da quantidade do produto B. 
d) 2/5 da quantidade do produto B. 
e) 1/2 da quantidade do produto B. 
 
30. (VUNESP - Auxiliar Legislativo - CM Sertãozinho/ Informática/ 
2019) 
Uma verba municipal foi repartida entre três creches, A, B e C, que atendem a 
60 crianças, 70 crianças e 110 crianças, respectivamente. A verba foi repartida 
de forma diretamente proporcional ao número de crianças de cada uma, sendo 
que A recebeu R$ 8.000,00 a menos do que B, e C recebeu R$ 32.000,00 a mais 
do que B. O valor recebido pela creche C foia) R$ 66.000,00. 
b) R$ 71.500,00. 
c) R$ 77.000,00. 
d) R$ 82.500,00. 
e) R$ 88.000,00. 
 
31. (VUNESP - Auxiliar de Serviços Gerais (PAULIPREV)/ 2018) 
Um mapa do bairro onde mora Angélica foi feito de modo que a razão entre as 
medidas do mapa e as medidas reais é de 1 para 1 000. Nesse mapa, a rua 
principal tem 23 cm. Conclui-se que o comprimento dessa rua, em metros, é 
igual a 
a) 0,23. 
b) 2,3. 
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c) 23. 
d) 230. 
e) 2 300. 
 
32. (VUNESP - Assistente de Gestão Municipal IPSM SJC/2018) 
Em um setor de reclamações relacionadas aos produtos A e B, verificou-se que 
a razão entre o número de reclamações do produto A e o número total de 
reclamações, recebidas em determinado dia, podia ser representada por 3/5. 
Sabendo-se que o número de reclamações recebidas do produto B foi 18, o 
número total de reclamações recebidas, naquele dia, foi 
a) 40. 
b) 45. 
c) 50. 
d) 55. 
e) 60. 
 
33. (VUNESP - Guarda Civil Municipal (Pref Serrana)/2018) 
Um avô distribuiu 840 figurinhas raras para seus três netos. A distribuição foi 
realizada de forma diretamente proporcional à altura de cada um dos netos. A 
altura de cada neto é, respectivamente, 1,25 m, 1,35 m e 1,60 m. O neto mais 
alto recebeu um número de figurinhas a mais que o número de figurinhas que 
o neto mais baixo igual a 
a) 45. 
b) 50. 
c) 62. 
d) 70. 
e) 78. 
 
34. (VUNESP - Professor (Pref Sertãozinho)/Educação Básica 
II/Matemática/2018) 
As seguintes tabelas foram utilizadas por um professor para trabalhar conceitos 
associados à proporcionalidade: 
Tabela I: 
Número de bolas de futebol vendidas 
nos três primeiros dias da semana 
Valor arrecadado com as vendas 
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3 R$ 210,00 
5 R$ 350,00 
6 R$ 420,00 
 
Tabela II: 
Número de anos de 
utilização de uma máquina 
Valor patrimonial 
da máquina 
3 R$ 6.300,00 
4 R$ 4.200,00 
5 R$ 2.100,00 
 
Tabela III: 
Número de horas após 
identificado um vazamento 
em uma caixa de água 
Número de litros de água no interior 
da caixa de água 
3 420 
4 315 
6 210 
 
Nas tabelas I, II e III, as grandezas envolvidas são, respectivamente: 
a) inversamente; inversamente; e diretamente proporcionais. 
b) inversamente; diretamente; e diretamente proporcionais. 
c) diretamente; não diretamente e não inversamente; e inversamente 
proporcionais. 
d) diretamente; inversamente; e inversamente proporcionais. 
e) diretamente; não diretamente e não inversamente; e não diretamente e não 
inversamente proporcionais. 
 
35. (VUNESP - Professor de Educação Básica I - Pref F Vasconcelos/ 
2018) 
Considere as informações a seguir para responder a questão. 
O gráfico apresenta o número de linhas de telefone fixo e celular no mundo, 
proporcionalmente, de 1990 a 2016. 
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De acordo com o gráfico, a razão entre o número de celulares e o número de 
linhas fixas superou a razão 3 para 1, respectivamente, a partir do ano de 
a) 1997. 
b) 2001. 
c) 2005. 
d) 2008. 
e) 2012. 
 
36. (VUNESP - Agente Previdenciário IPRESB/2017) 
A tabela, onde alguns valores estão substituídos por letras, mostra os valores, 
em milhares de reais, que eram devidos por uma empresa a cada um dos três 
fornecedores relacionados, e os respectivos valores que foram pagos a cada um 
deles. 
 
Sabe-se que os valores pagos foram diretamente proporcionais a cada valor 
devido, na razão de 3 para 4. Nessas condições, é correto afirmar que o valor 
total devido a esses três fornecedores era, antes dos pagamentos efetuados, 
igual a 
a) R$ 90.000,00. 
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b) R$ 96.500,00. 
c) R$ 108.000,00. 
d) R$ 112.500,00. 
e) R$ 120.000,00. 
 
4.5. Outras Bancas 
 
37. (CONSULPLAM - Assistente Legislativo I (CM JF)/ 2018) 
Em uma festa cada convidado tomou exatamente 4 copos de refrigerantes de 
250 ml cada, se nessa festa foram 40 convidados, logo, o número de 
refrigerantes de 2 litros consumidos nessa festa foi de: 
a) 35. 
b) 40. 
c) 20. 
d) 25. 
 
38. (ESAF / Diversos cargos – FUNAI / 2016) 
Em uma cidade, 40% dos adultos são obesos, 45% dos adultos obesos são 
mulheres e 50% dos adultos não obesos são mulheres. Indique qual a proporção 
de mulheres adultas que são obesas. 
a) 5/8. 
b) 52%. 
c) 3/8. 
d) 11/26. 
e) 45%. 
 
39. (CESGRANRIO / Escriturário – Banco do Brasil / 2015) 
Aldo, Baldo e Caldo resolvem fazer um bolão para um concurso da Mega Sena. 
Aldo contribui com 12 bilhetes, Baldo, com 15 bilhetes e Caldo, com 9 bilhetes. 
Eles combinaram que, se um dos bilhetes do bolão fosse sorteado, o prêmio 
seria dividido entre os três proporcionalmente à quantidade de bilhetes com que 
cada um contribuiu. Caldo também fez uma aposta fora do bolão e, na data do 
sorteio, houve 2 bilhetes ganhadores, sendo um deles o da aposta individual de 
Caldo, e o outro, um dos bilhetes do bolão. Qual a razão entre a quantia total 
que Caldo recebeu e a quantia que Baldo recebeu? 
a) 0,8 
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b) 1,5 
c) 2 
d) 2,5 
e) 3 
 
40. (IBFC/Técnico de Registro de Comércio-SAEB-BA/2015) 
Do total de pessoas numa sala 40% são mulheres e dentre o total de homens, 
30% deles usam óculos. Se 63 homens não usam óculos, então o total de 
mulheres na sala é: 
a) 80 
b) 60 
c) 90 
d) 120 
e) 70 
 
41. (IBFC/ Motorista-SUCEN/2013) 
Dentre os pares de números abaixo, os que representam grandezas 
inversamente proporcionais é: 
a) 2,3,4,5,6 e 60,40,30,24,20. 
b) 3,4,5,6,7 e 18,24,30,36,42. 
c) 10,20,30,40,50 e 1,2,3,4,5. 
d) 4,8,12,16,20 e 40,80,120,160,200. 
 
42. (ESAF / Auditor-Fiscal – Receita Federal do Brasil / 2012) 
A taxa cobrada por uma empresa de logística para entregar uma encomenda 
até determinado lugar é proporcional à raiz quadrada do peso da encomenda. 
Ana, que utiliza, em muito, os serviços dessa empresa, pagou para enviar uma 
encomenda de 25kg uma taxa de R$ 54,00. Desse modo, se Ana enviar a 
mesma encomenda de 25kg dividida em dois pacotes de 16kg e 9kg, ela pagará 
o valor total de 
a) 54,32. 
b) 54,86. 
c) 76,40. 
d) 54. 
e) 75,60. 
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43. (ESAF/ Analista Técnico – Superintendência de Seguros Privados 
/ 2010) 
Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na 
razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de 
suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda 
do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais 
novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem 
dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho 
do meio? 
a) 80 
b) 100 
c) 120 
d) 160 
e) 180 
 
44. (ESAF/ Agente de Fazenda - Secretaria Municipal de Fazenda – 
Rio de Janeiro / 2010) 
Dois trabalhadores, trabalhando 8 horas por dia cada um, durante 15 dias, 
colhem juntos 60 sacos de arroz. Três outros trabalhadores, trabalhando 10 
horas por dia cada um, colhem juntos 75 sacos de arroz em 10 dias. Em média, 
quanto um trabalhador do primeiro grupo é mais ou menos produtivo que um 
trabalhador do segundogrupo? 
a) O trabalhador do primeiro grupo é 10% menos produtivo. 
b) O trabalhador do primeiro grupo é 10% mais produtivo. 
c) O trabalhador do primeiro grupo é 25% mais produtivo. 
d) As produtividades dos trabalhadores dos dois grupos é a mesma. 
e) O trabalhador do primeiro grupo é 25% menos produtivo. 
 
45. (ESAF/ Assistente Técnico-Administrativo - Ministério da Fazenda 
/ 2009) 
Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira 
torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a 
segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as 
duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo 
o tanque encherá? 
a) 12 horas 
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b) 20 horas 
c) 16 horas 
d) 24 horas 
e) 30 horas 
 
46. (ESAF / Técnico do MPU - Área Transporte – Ministério Público da 
União / 2004) 
Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e B a uma velocidade 
média constante de 50 km por hora. O carro percorre, também a uma 
velocidade média constante, V, o restante do trajeto até B. Ora, a velocidade 
média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por hora. Logo, a 
velocidade V é igual a 
A) 20 km por hora 
B) 10 km por hora 
C) 25 km por hora 
D) 30 km por hora 
E) 37,5 km por hora. 
 
47. (ESAF / Analista de Finanças e Controle – Controladoria-Geral da 
União / 2001) 
Uma pessoa foi da localidade A para B a uma velocidade média de 75 Km por 
hora (Km/h); após, retorna de B para A a uma velocidade média de 50 Km/h. 
Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi 
de: 
A) 50 
B) 60 
C) 62,5 
D) 70 
E) 72,5 
 
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5. Gabarito 
 
Gabarito 1: A 
Gabarito 2: Errado 
Gabarito 3: E 
Gabarito 4: C 
Gabarito 5: C 
Gabarito 6: C 
Gabarito 7: D 
Gabarito 8: A 
Gabarito 9: A 
Gabarito 10: B 
Gabarito 11: D 
Gabarito 12: E 
Gabarito 13: A 
Gabarito 14: C 
Gabarito 15: B 
Gabarito 16: C 
Gabarito 17: D 
Gabarito 18: B 
Gabarito 19: B 
Gabarito 20: Certo. 
Gabarito 21: Certo. 
Gabarito 22: Errado 
Gabarito 23: Errado. 
Gabarito 24: Certo. 
Gabarito 25: Errado 
Gabarito 26: Certo 
Gabarito 27: Errado 
Gabarito 28: B 
Gabarito 29: B 
Gabarito 30: E 
Gabarito 31: D 
Gabarito 32: B 
Gabarito 33: D 
Gabarito 34: C 
Gabarito 35: D 
Gabarito 36: E 
Gabarito 37: C 
Gabarito 38: C 
Gabarito 39: E 
Gabarito 40: B 
Gabarito 41: A 
Gabarito 42: E 
Gabarito 43: A 
Gabarito 44: D 
Gabarito 45: C 
Gabarito 46: C 
Gabarito 47: B 
 
 
 
 
 
 
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