Livro fisica escomaneto laminar

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MECÂNICA DOS 
FLUIDOS
Pollianna Jesus de Paiva Mendes Godoi
Escoamento laminar
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever o escoamento laminar.
 � Compreender o escoamento de Poiseuille.
 � Reconhecer aplicações de elementos finitos ao escoamento laminar.
Introdução
Neste capítulo você vai estudar o escoamento laminar, que ocorre durante 
o fluxo de fluidos com viscosidade, comumente em tubulações ou em 
locais que possuam pouca variação de espessura ou de diâmetro, de 
formas praticamente constantes. Sendo assim, nesse tipo de escoamento, 
não há mistura entre as camadas ou entre as lâminas dos fluidos.
Escoamento laminar
Existem diversos tipos de escoamentos, mas o escoamento laminar e o es-
coamento turbulento são classificados assim devido ao comportamento das 
partículas do fluido durante sua trajetória de escoamento.
No geral, um engenheiro deve primeiramente estimar o intervalo do número 
de Reynolds do escoamento em estudo. O número de Reynolds (Re) muito 
baixo indica movimento viscoso muito lento, no qual os efeitos da inércia são 
desprezíveis. O número de Reynolds moderado implica escoamento laminar 
com variação suave (WHITE, 2018).
Em um escoamento laminar, a mistura das partículas de fluido é mínima, 
o movimento é suave e sem ruídos, como a água que escorre lentamente de 
uma torneira. Se uma tintura é injetada em um escoamento laminar, esta 
permanece nítida e clara por um período de tempo relativamente longo. A 
tintura ficaria imediatamente difusa se o escoamento fosse turbulento. Uma 
simples apresentação de V(t) não basta para decidirmos se um escoamento é 
laminar ou turbulento. Para ser turbulento, o movimento deve ser aleatório, 
mas também é preciso ocorrer a mistura das partículas de fluido (POTTER; 
WIGGERT, 2008).
Alguns escoamentos são suaves e ordenados, enquanto outros são consi-
deravelmente caóticos. O movimento altamente ordenado dos fluidos, carac-
terizado por camadas suaves deste, é denominado laminar. A palavra laminar 
tem origem no movimento de partículas adjacentes do fluido, agrupadas em 
lâminas. Os escoamentos de fluidos com alta viscosidade e baixas velocidades, 
como os óleos, são tipicamente laminares (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).
Segundo Çengel e Cimbala (2015), uma quantidade de interesse para a 
análise do escoamento em tubo é a queda de pressão ΔP, considerando que 
esta está diretamente relacionada aos requisitos de potência do ventilador ou 
da bomba para manter o escoamento. Observamos que dP/dx = constante, 
e que a integração de x = x1, na qual a pressão é P1 a x = x1 + L, em que a 
pressão é P2, resulta em:
dP
dx =
P2 – P1
L
A queda de pressão pode ser expressa pela equação do escoamento laminar:
∆P = P1 – P2 =
8μLVmed
R2
32μLVmed
D2=
O símbolo Δ geralmente é usado para indicar a diferença entre os valores 
final e inicial, como em Δy = y2 – y1. No entanto, no escoamento de fluidos, 
ΔP é usado para designar a queda de pressão e, portanto, esta é P1 – P2. Uma 
queda de pressão devido aos efeitos viscosos representa uma perda irrever-
sível de pressão e é chamada de perda de pressão ΔPL, para enfatizar que se 
trata de uma perda, assim como a perda de carga hL, que é proporcional a ela 
(ÇENGEL; CIMBALA, 2015).
O escoamento laminar ocorre quando o fluido se move em camadas ou 
lâminas, havendo somente a troca de movimento molecular. Esse tipo de 
escoamento amortece qualquer turbulência com as forças viscosas de cisalha-
mento, dificultando o movimento relativo entre as lâminas. No escoamento 
Escoamento laminar2
turbulento ocorre o contrário, visto que as partículas fluidas estão em constante 
turbulência. Osborne Reynolds (1842-1912) estudou os dois escoamentos e 
chegou à equação
ρVD
μ
na qual ρ corresponde à massa específica, V corresponde à velocidade 
característica, D corresponde ao diâmetro pelo qual o fluxo do fluido passa 
e μ corresponde à viscosidade.
Considerando escoamentos internos em tubos, entre placas paralelas e cilindros 
giratórios e em canais abertos, se o número de Reynolds for relativamente baixo, o 
escoamento é laminar. Se o número de Reynolds for relativamente alto, o escoamento 
é turbulento. Para escoamentos em tubos, pressupõe-se que o escoamento é laminar 
se Re < 2.000. Para escoamentos entre placas paralelas, ele é laminar se Re < 1.500. 
Para o escoamento entre cilindros concêntricos giratórios, ele é laminar e escoa em 
movimento circular abaixo de Re < 1.700. Nos canais abertos de interesse, pressupõe-se 
que o escoamento é turbulento (POTTER; WIGGERT, 2008). 
Pode ocorrer a transferência do escoamento laminar para o escoamento turbu-
lento durante a ocorrência em um determinado local. Para isso, deve-se conside-
rar que o número de Reynolds seja maior que 2.000 e menor que 3.000, ou seja, 
2.000 < Re <2.400.
Escoamento de Poiseuille
Em meados do século XIX, o médico Jean Poiseuille (1797–1869) mediu com 
precisão o escoamento de fluidos múltiplos em tubos capilares (ÇENGEL; 
CIMBALA, 2015).
A unidade da viscosidade absoluta (µ) é o poise, que recebeu esse nome 
em homenagem a ao médico francês que em 1840 realizou experimentos 
pioneiros com escoamento de água em tubos. Um poise equivale a uma 
g/(cm ∙ s). A unidade da viscosidade cinemática (ⱱ) é o stokes, que recebeu esse 
nome em homenagem ao físico britânico George Gabriel Stokes, que em 1845 
ajudou a desenvolver as equações diferenciais parciais básicas da quantidade 
3Escoamento laminar
de movimento dos fluidos. Um stokes equivale a um cm²/s. A água a 20°C 
tem µ ≈ 0,01 poise e ⱱ ≈ 0,01 stokes (WHITE, 2018).
A velocidade média do escoamento laminar em um tubo horizontal é
Vmed =
(P1 – P2)R2
8μL
(P1 – P2)D2
32μL= =
∆P�D4
32μL
A equação abaixo é conhecida como lei de Poiseuille, e esse escoamento 
é chamado de escoamento de Hagen-Poiseuille em homenagem aos trabalhos 
desenvolvidos por Gotthilf Hagen (1797-1884) e Poiseuille sobre o assunto. 
Para uma vazão especificada, a queda de pressão e, portanto, a potência 
necessária para o bombeamento, é proporcional ao comprimento do tubo e à 
viscosidade do fluido, mas é inversamente proporcional à quarta potência do 
raio (ou diâmetro) do tubo. Assim, o requisito de potência de bombeamento de 
um sistema de tubos pode ser reduzido a um fator de 16, dobrando o diâmetro 
do tubo. Obviamente, os benefícios da redução dos custos de energia devem 
ser ponderados em relação ao maior custo de construção, acarretado pelo uso 
de um tubo com diâmetro maior (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).
U = Vmed · Ac =
(P1 – P2)R2
8μL
(P1 – P2)
128μL�R
2 = �D4 =
∆P�D4
128μL
A queda de pressão ΔP é igual à perda de pressão ΔPL no caso de um tubo 
horizontal, mas esse não é o caso dos tubos inclinados ou dos tubos com área 
de seção transversal variável (ÇENGEL; CIMBALA, 2015).
Se ambas as placas são estacionárias e o escoamento se deve apenas a um 
gradiente de pressão, trata-se de um escoamento de Poiseuille (POTTER; 
WIGGERT, 2008).
A lei de Poiseuille, de forma simplificada, relaciona a vazão de um tubo 
cilíndrico ao transportar um fluido viscoso, podendo ser representada pela 
equação:
Q = P�D
4
8lμ
na qual Q corresponde à vazão, R corresponde ao raio do tubo, L corres-
ponde ao comprimento, P corresponde à pressão e µ corresponde ao coeficiente 
de viscosidade.
Escoamento laminar4
A equação de Poiseuille serve para descrever fluidos incompressíveis de 
baixa viscosidade, escoando por um tubo circular de seção constante.
Para maiores detalhes sobre o escoamento laminar e turbulento, assista ao vídeo a 
seguir.
https://goo.gl/5TNZLm
Aplicações de elementos finitos ao escoamento 
laminar
Os elementos finitos são utilizados em diversas áreas da engenharia, como 
estruturas e escoamentos de fluidos. Por isso, utiliza-se o método de elemen-
tos finitos (MEF), que busca soluções numéricas utilizando equações que 
representam o problema real, com o intuito de encontrar soluções para esses 
problemas.
Esse método prevêa divisão da parte unida e contínua em número finito, 
mais conhecido como elementos finitos. As propriedades do material a ser 
analisado podem ser observadas pelos elementos finitos. 
Em locais tensionados existem nós, que variam de acordo com a quantidade 
de tensão aplicada. Quanto mais tensões houver, mais nós surgirão. Os ele-
mentos finitos podem ser lineares, tridimensionais ou de superfície, podendo 
ter forma triangular ou quadrada, curva ou retilínea.
O método de elementos finitos é utilizado para fluídos com comportamento 
linear e não linear com grandes escoamentos.
Para entender os elementos finitos em escoamento laminar, pode ser con-
siderado o estudo do fluxo de água dentro de uma válvula, por exemplo. A 
fórmula de Stokes é utilizada para encontrar as velocidades e as pressões de 
campos vetoriais pelo método de elementos finitos.
5Escoamento laminar
Segundo White (2018), a fórmula de Navier-Stokes é representada pela 
equação 
p = ρg – ∇p + μ∇2V ∂v∂t
na qual ∇ corresponde ao gradiente, µ corresponde à viscosidade e V 
corresponde à velocidade.
A equação de Stokes é aplicável a sistemas não lineares, em campos de 
vetoriais abstratos de diversos tamanhos, traçando o movimento dos fluidos 
não rarefeitos em espaço físico.
Existem diversos softwares que realizam esse tipo de simulação pela mode-
lação e pela análise de questões geométricas e comportamentais de um fluido 
em determinado local. Essa análise também é conhecida como FEA (análise 
de elementos finitos), que auxilia na identificação de problemas referentes à 
vazão de fluidos. Um dos softwares mais utilizados na engenharia aeronáutica 
é o Femap, entre outros que são bastante utilizados nas indústrias, como o 
MSC Nastran. Observe alguns exemplos nas Figuras 1 e 2.
Figura 1. Malhas de simulação de elementos finitos na tela do software de simulação.
Fonte: mofaez/Shutterstock.
Escoamento laminar6
Figura 2. Outro exemplo de malhas de simulação de elementos finitos 
na tela do software de simulação.
Fonte: mofaez/Shutterstock.
Para mais detalhes sobre os elementos finitos, assista ao vídeo a seguir.
https://goo.gl/vuUyLK
O fluxo laminar é muito utilizado na engenharia aeronáutica. O ar natural passa pela 
asa do avião, diminuindo a pressão do fluxo, tendo a sua camada limite como a laminar. 
Dessa forma, o arrasto sobre o avião diminui, resultando em menor consumo de 
combustível.
O escoamento laminar também pode acontecer em um túnel de vento, pela utilização 
de tubos horizontais. Observa-se que, nesse caso, o deslocamento de ar em torno do 
tubo é do tipo laminar.
7Escoamento laminar
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3. ed. 
Porto Alegre: AMGH; Bookman, 2015. 1016 p.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C. Mecânica dos fluidos. Porto Alegre: Bookman, 2018. 258 p.
WHITE, F. M. Mecânica dos fluidos. 8. ed. Porto Alegre: AMGH; Bookman, 2018. 864 p.
Leituras recomendadas
BISTAFA, S. R. Mecânica dos fluidos: noções e aplicações. 2. ed. São Paulo: Blucher, 
2016. 348 p.
BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 431 p.
COELHO, J. C. M. Energia e fluidos: vol. 2: mecânica dos fluidos. São Paulo: Blucher, 
2016. 394 p.
ELEMENTOS Finitos: primeiros passos. [S. l.: S. n.], 2016. 1 vídeo (10 min 31 s). Publicado 
pelo canal ENSUS ENGENHARIA LTDA. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=KjR0V1Deysc. Acesso em: 13 mar. 2019.
ESCOAMENTO Interno Viscoso e Incompressível - Escoamento laminar e turbulento e 
Perda de carga. [S. l.: S. n.], 2019. 1 vídeo (10 min 20 s). Publicado pelo canal Responde 
Aí. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=sFjJ5DFVwA0. Acesso em: 13 
mar. 2019.
HIBBELER, R. C. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Pearson, 2016. 832 p.
VISCOSIDADE e fluxo Poiseuille. [S. l.: S. n.], 2015. 1 vídeo (11 min 12 s). Publicado pelo canal 
Khan Academy Brasil. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=f9XgJjkrM4c. 
Acesso em: 13 mar. 2019.
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