Aula_União_de_dois_eventos

Prévia do material em texto

OLÁ PESSOA!
NOSSO ESTUDO DE HOJE SERÁ SOBRE:
PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS
Iniciaremos com uma breve revisão de intersecção de
conjuntos e em seguida uma revisão de probabilidade:
conceitos, cálculos e probabilidade condicional e
independente, conhecimentos esses, necessários para
uma melhor compreensão sobre Probabilidade da
intersecção de eventos.
Imagem do Clip-Art
LEMBRE-SE:
Em teoria dos conjuntos a intersecção é o conjunto de
elementos que pertencem simultaneamente a dois ou
mais conjuntos e é representado pelo símbolo .
Componente Curricular: Matemática, Ensino Médio, Série: 
2º ano , Tópico: Probabilidade da intersecção de eventos
Componente Curricular, Série, Tópico
Dados dois conjuntos :
A= { 1, 2, 3, 4} e B= {4, 5 , 6}
Pelo diagrama de Venn temos que:
A B= {4}
Assim, o elemento que faz parte do conjunto interseção 
é o elemento comum aos conjuntos relacionados.
Observe o exemplo numérico abaixo.
ACOMPANHE A SITUAÇÃO: 
Quantos atletas 
gostam dos dois 
esportes?
Imagem do Clip-Art
Uma entrevista foi realizada com 
200 atletas para saber a preferência 
dos mesmos quanto aos esportes 
individuais ou esportes coletivos e o 
resultado da pesquisa foi o seguinte:
• 90 gostam de esportes individuais;
• 150 gostam de esportes coletivos;
• 10 não gostam de nenhum dos dois.
Componente Curricular: Matemática, Ensino Médio, Série: 
2º ano , Tópico: Probabilidade da intersecção de eventos
É possível representar de forma gráfica o resultado da
Pesquisa em um diagrama de Venn.
Observe:
x90 - x 150 - x
10
I C
Quantos gostam 
dos dois?
Quantos gostam 
de esporte individual?
Quantos gostam 
de esporte coletivo?
10 não gostam de 
nenhum
Assim: 90 – x + x + 150 – x +10 = 200
250 - x = 200 
x = 50
Componente Curricular: Matemática, Ensino Médio, Série: 
2º ano , Tópico: Probabilidade da intersecção de eventos
Uma empresa estuda a possibilidade de lançar novamente 
no mercado, os produtos: A, B e C. Para isto, efetuou uma 
pesquisa com 900 clientes e concluiu que: 
600 preferem A; 
400 preferem B; 
300 preferem C; 
200 gostam de A e B; 
150 gostam de A e C; 
100 gostam de B e C.
Quantos clientes 
gostam dos três 
produtos?
Imagem do Clip-Art
Vejamos a seguir
OUTRO EXEMPLO
Componente Curricular: Matemática, Ensino Médio, Série: 
2º ano , Tópico: Probabilidade da intersecção de eventos
Devemos começar pelo número de elementos da intersecção
dos três produtos.
200-x
100-x150-x
250 + x
50 + x
A B
C
x
100 + x
Os três: x
A e B: 200
B e C: 100
A e C: 150
A: 600
B: 400
C: 300
RESOLVENDO
ATENÇÃO! Não esquecer
de deduzir os elementos
da intersecção ao colocar
os elementos de cada
conjunto.
Componente Curricular: Matemática, Ensino Médio, Série: 
2º ano , Tópico: Probabilidade da intersecção de eventos
Sabendo que 870 clientes participaram da pesquisa então:
250 + x + 200 – x + x + 150 – x + 100 + x + 100 – x + 50 + x = 870
850 + x= 870 x = 870 – 850 x= 50 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS 
EVENTOS
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS 
EVENTOS
a 13 –Módulo 77 página 32 (Teoria)
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS 
EVENTOS
tila 13 –Módulo 77 página 32 (Teoria)
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Vamos retirar uma bola de uma urna que contém 20
bolas numeradas de 1 a 20 e considerar os eventos A -
“obtenção de divisor de 16” e B - “obtenção de divisor de 18”.
Temos então:
• S = {1, 2, 3, ..., 20}
• n(S) = 20
• A = {1, 2, 4, 8, 16} , n(A) = 5
• B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, n(B) = 6
Note que existem elementos que
satisfazem:
• apenas o evento A: 4, 8, 16
• apenas o evento B: 3, 6, 9, 18
• o evento A e o evento B: 1, 2
• o evento A ou o evento B: 4, 8,
16, 3, 6, 9, 18, 1, 2
Sabemos que {1, 2} = A ⋂ B e {4, 8, 16, 3, 6, 9, 18, 1, 2} = A ⋃ B. 
Podemos então dizer que:
• a ocorrência do evento A e do evento B é dada por A⋂ B
• a ocorrência do evento A ou do evento B é dada por A⋃ B
Vamos calcular P(A), P(B), P(A⋂ B), P(A⋃ B):
Esses resultados mostram que P(A⋃ B) = P(A) + P(B) – P(A⋂ B).
Vamos demonstrar essa relação. Em quaisquer que
sejam os eventos A e B de um espaço amostral S finito e não
vazio, vale a igualdade:
Dividindo os membros dessa relação por n(S),
obtemos:
P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B)
Se A e B são conjuntos disjuntos, isto é, A⋂ B = ∅, os
eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos.
Nesse caso, como n(A ⋂ B) = 0 e P(A ⋂ B) = 0, vem
P(A⋃ B) = P(A) + P(B).
Aplicação
1) Para preencher as vagas de trabalho em uma
indústria, 120 pessoas participaram do processo
seletivo. A tabela a seguir mostra a distribuição
dos candidatos por gênero e escolaridade.
Um candidato do grupo é escolhido ao acaso. Qual é a
probabilidade de que ele seja:
a) mulher ou tenha ensino superior?
b) homem ou tenha só o ensino médio?
Homens (H) Mulheres (M) Total
Ensino Médio (EM) 18 27 45
Ensino Superior (ES) 22 53 75
Total 40 80 120
Resolução:
a) mulher ou tenha ensino superior
Vamos aplicar a fórmula de cálculo da
probabilidade da união de dois eventos.
b) homem ou tenha só o ensino médio
Vamos novamente aplicar a fórmula de cálculo da 
probabilidade da união de dois eventos.
2) Para apresentar um trabalho, um professor
sorteará um aluno, entre os 30 da turma,
escolhido de acordo com o número da chamada.
Qual é a probabilidade de o número do aluno
escolhido ser:
a) primo ou maior que 10?
b) múltiplo de 7 ou de 5?
c) quadrado perfeito ou divisor de 36?
Resolução:
a) primo ou maior que 10
b) múltiplo de 7 ou de 5 
c) quadrado perfeito ou divisor de 36 
EXERCÍCIO-1
• Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. 
Quando uma bola é retirada ao acaso, qual é a 
probabilidade do número ser múltiplo de 3 ou de 
5?
CORREÇÃO
• Vamos resolver a questão utilizando a fórmula da probabilidade da união de dois 
eventos.
• Sejam:
• P(A) = probabilidade do número ser múltiplo de 3
• P(B) = probabilidade do número ser múltiplo de 5
• P(A ∩ B) = probabilidade do número ser múltiplo de 3 e 5
• Temos:
• P(A) = 6/20
• Existem 6 números múltiplos de 3 entre 1 e 20.
• P(B) = 4/20
• Existem 4 números múltiplos de 5 entre 1 e 20.
• P(A ∩ B) = 1/20
CORREÇÃO
•Apenas o número 15 é múltiplo de 3 e 5 ao 
mesmo tempo, quando analisamos os 
números entre 1 e 20.
•P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
•P(A ∪ B) = 6/20 + 4/20 – 1/20
•P(A ∪ B) = 9/20
EXERCÍCIO-2
• Em uma empresa existem 70 funcionários, distribuídos da 
seguinte forma:
 44 homens
 10 mulheres com mais de 50 anos
 19 homens com mais de 50 anos
• Um funcionário será sorteado para ganhar uma viagem como 
parte do programa de premiação da empresa. Qual é a 
probabilidade do funcionário ser homem ou ter mais de 50 
anos?
CORREÇÃO
• Em uma empresa existem 70 funcionários, distribuídos da 
seguinte forma:
 44 homens
 10 mulheres com mais de 50 anos
 19 homens com mais de 50 anos
• Um funcionário será sorteado para ganhar uma viagem como 
parte do programa de premiação da empresa. Qual é a 
probabilidade do funcionário ser homem ou ter mais de 50 
anos?
CORREÇÃO
• Temos:
• P(A) = 44/70
• Existem 44 homens de um total de 70 funcionários.
• P(B) = 29/70
• Existem 29 funcionários com mais de 50 anos de um total de 70.
• P(A ∩ B) = 19/70
• Existem 19 homens com mais de 50 anos.
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• P(A ∪ B) = 44/70 + 29/70 – 19/70 = 54/70 = 0,7714 = 77,14%
EXERCÍCIO - 3
•Uma urna contém 20 boas numeradas de 1
a 20. Seja o experimento: retirada de uma
bola. Considere os eventos: A = {a bola
retirada ser múltiplo de 2} ; B= { a bola
retirada ser múltiplo de 5}. Então a
probabilidade de se ocorrer o evento A ou B
é:
CORREÇÃO
 
 
   
5
3
20
12
20
2
20
4
20
10
)BA(P
21
10
1020
MnMMn)BA(n
41
5
520
Mn)B(n
101
2
220
Mn)A(n
1052
5
2



















EXERCÍCIO -4
•Um número inteiro é escolhido aleatoriamente
entre 1, 2, 3, ..., 50. Qual a probabilidadedo número ser, divisível por 6 ou 8
CORREÇÃO
• Os números divisíveis por 6 são: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e
• 48.
• Já os números divisíveis por 8 são: 8, 16, 24, 32, 40 e
• 48.
• Perceba que os números 24 e 48 são divisíveis por 6 e 8.
• Logo, a probabilidade é igual a:
• P = 6/50 + 8/50 - 2/50
• P = 12/50
• P = 24%.
•