O valor do dinheiro no tempo

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Lição 1 - O Valor do Dinheiro no Tempo
Nesta lição você verá que o valor do dinheiro muda ao longo do tempo. En-
tenderá os vários motivos que levam à desvalorização do dinheiro. A ma-
temática nos ajuda a calcular essa transformação e nos dá suporte para a 
tomada de decisões, tanto em uma empresa quanto em nossos assuntos 
pessoais do cotidiano.
Ao término desta lição, você será capaz de:
a) entender o valor do dinheiro no tempo;
b) efetuar cálculos de juros, de capital e do montante de uma operação 
financeira;
c) compreender o funcionamento do valor aplicado e/ou cobrado nas 
respectivas transações.
1. Valor Presente e Valor Futuro do Dinheiro
Podemos afirmar que R$1,00 hoje jamais será igual a R$ 1,00 em qualquer 
outro momento.
tempo
R$ 1,00 R$ 1,00
Hoje 30 dias 
depois
≠
Atenção!
Obviamente, as mercadorias e produtos não têm seus preços alterados diariamente, 
mas, periodicamente, sofrem reajustes de preços que visam repor as perdas verificadas 
em todo o período em que não sofreram aumento.
Isso ocorre porque o dinheiro perde valor ao longo do tempo. O que compra-
mos com R$ 100,00 hoje, dificilmente poderá ser comprado daqui a dois anos 
pelos mesmos R$ 100,00. Isso significa que o dinheiro perde poder aquisitivo. 
Existem vários motivos que levam à desvalorização do dinheiro, como a in-
flação, por exemplo.
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A inflação é um evento tipicamente monetário que consiste em um aumento 
generalizado de preços, decorrência da perda do poder aquisitivo pela moe-
da. Mas, é importante saber que nem sempre ela é a principal causadora da 
perda do poder aquisitivo do dinheiro. 
Então, por que ocorre a inflação? Ela pode iniciar devido ao aumento de cus-
tos ou de demanda (procura), ou, ainda, pela combinação dos dois fatores. 
Uma vez iniciada a inflação, ocorre um fenômeno denominado espiral de 
preços, em que todos os “atores” da economia (empresas, empregados, gover-
no, entre outros) praticam aumentos sistemáticos de preços.
Se o dinheiro necessariamente perde seu valor, o maior desafio para quem 
guarda parte de sua renda e possui dinheiro poupado é manter o valor dessa 
economia ou poupança, impedindo que o dinheiro perca valor com o passar 
do tempo. 
Por outro lado, quem não tem poupança e precisa de dinheiro emprestado 
terá que compensar aquele que o empresta, pois o pagamento do emprésti-
mo naturalmente será efetuado em data futura.
Para todas essas questões, a Matemática Financeira fornece métodos e téc-
nicas que permitem o cálculo das perdas e dos ganhos do dinheiro ao longo 
do tempo. 
Como o dinheiro desvaloriza com o tempo, o primeiro fato a ser considerado 
é o de que o valor do dinheiro hoje é diferente do valor do dinheiro em qual-
quer data futura. Sendo assim, o dinheiro tem um valor presente e um valor 
futuro. 
Ponto-chave
Valor presente é aquele que, na escala do tempo, está localizado no momento atual (ou na 
data de hoje), também chamado de data-zero. 
Valor futuro é aquele que se encontra em qualquer data após a data-zero. Pode ser aquele 
de um dia depois, um mês depois, um ano depois, dez anos depois etc.
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Tempo
Valor
presente
Valor
futuro
Data de hoje Data 
futura
2. Conceitos Financeiros
Para quem estuda Matemática Financeira, o conhecimento de alguns concei-
tos é imprescindível. São eles:
•	Capital ou Principal: é o valor aplicado em uma determinada 
operação, seja ela de aplicação ou empréstimo. É conhecido como: 
Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês, 
Present Value (PV).
•	Juros: é a remuneração do Capital ou Principal empregado em alguma 
atividade produtiva.
•	Montante: é o valor composto pelo Principal acrescido de Juros.
•	Taxa de Juros: é a remuneração do Capital expressa em porcentagem (%) 
por unidade ou período de tempo. Pode ser mensal, trimestral, anual etc.
•	Período de Capitalização: refere-se ao período de tempo (mês, 
ano etc.) em que os Juros são efetivamente calculados e somados a 
aplicação ou dívida.
3. Tipos de Juros
3.1 Juros Simples
Os juros simples são calculados pelo chamado regime de capitalização sim-
ples, o que significa dizer que não há incidência de juros sobre juros, ou seja, 
o juro é o resultado da taxa de juros por período (mês, ano etc.) multiplicado 
somente pelo principal. Vejamos um exemplo: 
O Sr. Carlos aplicou R$ 1.000,00 em um banco pelo período de três meses. Ao 
final do trimestre, ele receberá do banco os R$ 1.000,00 que aplicou, além de, 
ao final de cada mês, receber 2% de juros simples, que correspondem à remu-
neração do investimento feito.
Ao final de cada mês, o banco terá de pagar ao Sr. Carlos:
1 º mês = R$ 1.000,00 . 0,02 = R$ 20,00
2 º mês = R$ 1.000,00 . 0,02 = R$ 20,00
3 º mês = R$ 1.000,00 . 0,02 = R$ 20,00
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Depois de 3 meses, o banco deve pagar ao Sr. Carlos R$ 60,00 de juros, além 
de devolver os R$ 1.000,00 referentes ao principal do investimento. Assim, 
podemos representar os juros da seguinte forma:
J = C . i . n
Em que:
J   = juros 
C  = capital 
i    = taxa 
n = número de períodos de investimento ou aplicação
Para Refletir
Ao aplicar um capital durante determinado período, ao fim do prazo obtemos o valor 
(montante).
Montante: é a soma do capital aplicado acrescido da remuneração obtida durante o 
período de aplicação.
A diferença entre o montante (M) e o capital (C) é denominada remuneração (J) ou 
rendimento do capital.
Rendimento = montante – capital
O rendimento em uma aplicação financeira é o produto entre a taxa de juros 
(i) e o capital (C) ou principal e o tempo:
J = C . i . n
J 
C
 = i . n
J = M - C
Igualando as duas expressões, obtemos:
M – C = C . i . n 
M = C . i . n + C 
M = C (i . n + 1) ou 
M = C (1 + i . n)
Assim, na aplicação do Sr. Carlos, obtemos o seguinte produto:
J = C . i . n 
J = 1.000 . 0,02 . 3 = R$ 60,00 
M = 1.000 (1 + 0,02 . 3) = R$ 1.060,00
Se representarmos graficamente, através dos fluxos de caixa da operação, a 
aplicação financeira realizada, teremos:
10
R$ 20,00 R$ 20,00
R$ 1.000,00
+
R$ 20,00
 1º mês 2º mês 3º mês
R$ 1.000,00
tempo
O eixo horizontal representa o tempo dividido em períodos (cada 
período equivale a um mês). A seta apontada para baixo representa 
a saída de recursos e as setas apontadas para cima representam as 
entradas de recursos.
Atenção!
A taxa de juros percentual deve ser apresentada na forma fracionária para realização 
dos cálculos correspondentes. Por exemplo: 
Forma
Percentual Fracionária
25% 25/100 = 0,25
15% 15/100 = 0,15
2% 2/100 = 0,02
0,4% 0,4/100 = 0,004
Ponto-chave
Juros comerciais: consideram-se 360 dias. 
Juros exatos: consideram-se 365 dias.
Convenção para a taxa de juros:
a.a. = taxa ao ano
a.m. = taxa ao mês
a.s. = taxa ao semestre
a.d. = taxa ao dia
a.t. = taxa ao trimestre 
Exemplo 1
O Sr. Manoel aplicou R$ 10.000,00 pelo período de um ano, e a remuneração 
anual dessa aplicação financeira é de 30%. Vejamos como calcular os juros e o 
montante, e como apresentar os fluxos de caixa.
J = C . i . n M = C (1 + i . n) 
J = 10.000 . 0,3 . 1 M = 10.000 (1 + 0,3 . 1) 
J = R$ 3.000,00 M = R$ 13.000,00
11
R$ 13.000,00
R$ 10.000,00
tempo
1 ano
Exemplo 2 
Um investidor aplicou R$ 100.000,00 durante seis meses a uma remuneração 
de 4% a.m., paga ao final de cada mês. Quanto ele recebeu de juros? Qual é o 
montante da operação?
J = C . i . n M = C (1 + i . n) 
J = 100.000 . 0,04 . 6 M = 100.000 (1 + 0,04 . 6) 
J = R$ 24.000,00 M = R$ 124.000,00
 1º mês 2º mês
R$ 100.000,00
 3º mês 4º mês 5º mês 6º mês
R$ 100.000,00
+
R$ 4.000,00R$ 4.000,00 R$ 4.000,00 R$ 4.000,00 R$ 4.000,00 R$ 4.000,00
Pode-se dizer que o montante é a soma do capital com os juros.
 ► 3.1.1 Unidades de Tempo da Taxa de Juros e do Período de
Investimento Iguais
Ao resolver um problema de Matemática Financeira, deve-se atentar para o 
tempo da aplicação e da taxa dos juros. Para sua melhor compreensão, a se-
guir encontram-se alguns exercícios resolvidos com os respectivos tempos 
destacados. 
Exercícios Resolvidos1. Calcule os juros obtidos por R$ 3.000,00 aplicados por um ano, a uma taxa 
de juros simples de 25% a.a.
Dados:
C = R$ 3.000,00 
i = 25% a.a. = 25 
100
 = 0,25 a.a. 
 
n = 1 
J = ? 
J = C . i . n 
J = 3000 . 0,25 . 1 = R$ 750,00
12
2. Qual será o montante de R$ 1.600,00 aplicados por um ano, a uma taxa de 
juros simples de 50% a.a.? 
Dados:
C = R$ 1.600,00 
i = 50% = 50 
100
 = 0,5 a.a. 
 
n = 1 
J = ? 
J = C . i . n 
J = 1.600 . 0,5 . 1 = R$ 800,00 
M = C + J= 1.600,00 + 800,00 = R$ 2.400,00
3. Qual é a taxa de juros simples que transforma R$ 4.500,00 em um mon-
tante de R$ 8.100,00 em um ano? 
C = R$ 4.500,00 
M = R$ 8.100,00 
n = 1 
i = ? a.a. 
J = M – C 
J = 8.100 – 4.500 = R$ 3.600,00 
J = C . i . n 
i = J 
(C . n)
 
 
assim: i = 3.600,00 
(4.500,00 . 1)
 = 0,8 = 80% a.a. 
 ► 3.1.2 Unidades de Tempo da Taxa de Juros e do Período de 
 Investimento Diferentes
O período de investimento pode ser expresso por uma fração corresponden-
te ao perío do expresso na taxa de juros. Sempre que as unidades de tempo da 
taxa de juros e do período de investimento forem diferentes, é preciso reali-
zar um ajuste na taxa.
Ponto-chave
Se a taxa de juros for mensal e o prazo de aplicação referir-se a dias:
J = C . i 
30
 . n (juro comercial)
Se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicação referir-se a meses:
J = C . i 
12
 . n (juro comercial)
Se a taxa de juros for anual e o prazo da aplicação referir-se a dias:
J = C . i 
360
 . n (juro comercial)
J = C . i 
365
 . n (juro exato)
13
Exercícios Resolvidos 
1. Qual é o rendimento de R$ 10.000,00 aplicados por um mês, a uma taxa de 
juros simples de 36% a.a.?
C = R$ 10.000,00 
n = 1 mês 
i = 36% = 0,36 a.a. 
J = ? 
J = C. i. n
J = 10.000 . 0,36 
12
 . 1 = R$ 300,00
2. Determine a taxa de juros simples para 22 dias de aplicação, equivalente à 
taxa de 3,05% a.m.
n = 22 dias 
i = 3,05% = 0,0305 a.m.
i22 dias = 0,0305 
30
 . 22 = 0,0224 = 2,24%
3.  Calcule o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias a uma taxa de 
juros simples de 2,5% a.m.
C = R$ 23.000,00 
i = 2,5% = 0,025 a.m. 
n = 14 dias 
J = ? 
J = C . i . n
J = 23.000 . 0,025 
30
 . 14
J = R$ 268,33
4. Um capital aplicado por três meses a juros simples de 4% a.m. rendeu R$ 
360,00. Determine a valor do capital. 
C = ? 
i = 4% = 0,04 a.m. 
J = R$ 360,00 
J = C . i . n 
360 = C . 0,04 . 3 
360 = C . 0,12
C = 360 
0,12
 = R$ 3.000,00
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 ► 3.1.3 Capitalização e Desconto a Juros Simples: Cálculo do
Principal e do Montante
Já vimos que o montante ou valor de resgate de uma aplicação é o capital 
inicialmente investido (principal) acrescido de sua remuneração decorrido o 
período de aplicação (juros obtidos). Como:
M = C (1 + i . n)
Pode-se dizer que o cálculo do principal a partir do montante segue o pro-
cesso inverso:
C = M 
1 + i . n
Veja a seguir o diagrama de fluxo de caixa utilizado para representar gra-
ficamente as transações financeiras em determinado período. O tempo é 
representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos 
relevantes na análise. Por convenção, as entradas ou recebimentos são repre-
sentados por setas verticais apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos, 
por setas verticais apontadas para baixo.
Representação do processo de capitalização e o desconto de capitais no 
regime de juros simples
capitalização
tempo
desconto
P = S (1 + i . n)-1
S = P (1 + i . n)
0 n
O processo de capitalização consiste no cálculo do montante ou no valor fu-
turo de um capital. 
S = P (1 + in)
O processo de desconto consiste em calcular o valor atual de um montante 
futuro. Um é o inverso do outro. 
P = S 
(1 + i . n)1
 ou P = S (1 + i . n)-1
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 ► 3.1.4 Equivalência de Capitais a Juros Simples
Dois ou mais capitais são equivalentes quando, transportados para uma mes-
ma data, à mesma taxa, produzirem, nessa data valores iguais. 
Exercícios Resolvidos 
1. Qual é o valor de resgate de R$ 500,00 aplicados por 16 meses a uma taxa de 
juros simples de 12% a.t.? 
C = R$ 500,00 
n = 16 meses 
i = 12% a.t. 
M = ?
M = C (1 + i . n)
M = 500,00 1 + 0,12 
3
 . 16 = R$ 820,00
2. Qual é o capital que, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% a.m., em 
três meses resulta em R$ 8.000,00?
Dados:
C = ? 
M = R$ 8.000,00 
n = 3 meses 
i = 20% = 0,20 a.m. 
C = M 
(1 + i . n)
 = 8.000 
(1 + 0,20 . 3)
 = R$ 5.000,00
3. Em dois meses, R$ 5.050,00 transformaram-se em R$ 5.600,00. Qual foi a 
taxa de juros simples anual obtida? 
Dados:
C = R$ 5.050,00 
M = R$ 5.600,00 
n = 2 meses 
i = ? a.a. 
M = C (1 + i . n)
5.600 = 5.050 1 + i 
12
 . 2
5.600 
5.050
 = 1 + i 
12
 . 2
16
1,11 = 1 + 2i 
12
1,11 - 1 = i 
6
0,11 = i 
6
0,11 x 6 = i
0,66 = i
i = 66% a.a.
4. Em quantos meses um capital de R$ 400,00 rende R$ 80,00 a juros simples 
de 60% a.a.? 
Dados:
C = R$ 400,00 
J = R$ 80,00 
M = C + J = 400,00 + 80,00 = R$ 480,00 
i = 60% = 0,60 
n = ?
M = C (1 + i . n)
480 = 400 1 + 0,60 
12
 . n
480 
400
 = 1 + 0,60 
12
 . n
480 
400
 - 1 = 0,60 
12
 . n
1,2 - 1 = 0,60 
12
 . n
0,2 = 0,60 
12
 . n
0,2 . 12 = 0,60. n
2,4 = 0,60. n
2,4 
0,60
 = n
n = 4 meses
17
3.2 Juros Compostos
Os juros compostos são calculados pelo chamado regime de capitalização 
composta, o que significa dizer que há incidência de juros sobre juros. Os ju-
ros de cada período são somados ao principal, e sobre esse total incidem no-
vos juros no período seguinte e assim sucessivamente.
O cálculo do montante de uma aplicação com juros composto é dado por:
M = C (1 + i)n e J = M - C
Isolando C, temos:
C = M 
(1 + i )n
 ou C = M S 
(1 + i . n)1
A taxa de juros deve sempre referir-se à mesma unidade de tempo do período 
financeiro.
Ponto-chave
O fator (1 + i) n é chamado de fator de capitalização do valor futuro, e permite encontrar o 
montante ou valor futuro de uma aplicação. Capitaliza um principal levando-o a uma data 
posterior. 
O fator (1 + i) -n permite encontrar o valor principal de determinado montante, ou seja, 
desconta um valor futuro trazendo-o a uma data anterior. 
Exemplo 1 
O Sr. José investiu, pelo período de três meses, R$ 10.000,00 numa aplicação 
financeira que oferece juros de 1% ao mês. Como ele não retirará os juros ao 
final de cada mês, o banco depositará os devidos valores no final do trimestre, 
juntamente com a devolução do principal. Assim, o investimento do Sr. José 
será acrescido de juros a cada mês:
1 º mês = R$ 10.000,00 . 1,01 = R$ 10.100,00
2 º mês = R$ 10.100,00 . 1,01 = R$ 10.201,00
3 º mês = R$ 10.201,00 . 1,01 = R$ 10.303,01
De outra forma:
10.000,00 . 1,01 . 1,01 . 1,01 = R$ 10.303,01
Ou seja: 
M = C(1 + i)n 
M = 10.000 (1 + 0,01)3 
M = R$ 10.303,01
18
Assim, os juros recebidos pelo Sr. José ao final do trimestre serão de:
J = M – C 
J = 10.303,01 – 10.000 
J = R$ 303,01
Para o investidor, os fluxos de caixa serão de:
R$ 10.000,00
 1º mês 2º mês 3º mês
R$ 10.303,01
Exemplo 2 
Supondo que a caderneta de poupança remunere os seus investidores com 
juros de 6% a.a., e capitalize 0,5% de juros ao mês. Calcule o montante e os 
juros de um investimento de R$ 4.000,00 aplicado por um ano, sem qualquer 
retirada durante esse período.
M = C (1 + i)n 
M = 4.000 (1 + 0,005)12 
M = 4.000 (1,005)12 
M = 4.000(1,061678) 
M = R$ 4.246,71
J = M – C 
J = 4.246,71 – 4.000 
J = R$ 246,71
Para o investidor, os fluxos de caixa serão: 
R$ 4.000,00
R$ 4.246,71
meses
Observe que nos juros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente em 
progressão geométrica ao longo do tempo, uma vez que os rendimentos de 
cada período são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a 
render juros. No regime de juros simples, o montante cresce linearmente, 
pois os juros de determinado período não são incorporados ao principal 
para o cálculo dos juros do período seguinte.
19
Exemplo 3 
Ao aplicarmos R$ 1.000,00 durante três anos, a uma taxa de 20% a.a., teremos 
os seguintes rendimentos e montantes no regime de juros simples e no regi-me de juros compostos.
Juros Simples Juros Compostos
Rendimento Montante Rendimento Montante
1º mês - R$ 1.000,00 . 0,2 = R$ 
200,00
R$ 1.200,00 1º mês - R$ 1.000,00 . 0,2 = 
R$ 200,00
R$ 1.200,00
2º mês - R$ 1.000,00 . 0,2 = R$ 
200,00
R$ 1.400,00 2º mês - R$ 1.200,00 . 0,2 = 
R$ 240,00
R$ 1.440,00
3º mês - R$ 1.000,00 . 0,2 = R$ 
200,00
R$ 1.600,00 3º mês - R$ 1.440,00 . 0,2 = 
R$ 288,00
R$ 1.728,00
Para Refletir
Caso necessite, faça uma revisão de PG (Progressão Geométrica). O livro Matemática - 
vol. único, de Carlos Alberto Marcondes dos Santos, da Editora Ática pode auxiliá-lo.
Observe que nos juros compostos, o dinheiro cresce exponencialmente em 
progressão geométrica ao longo do tempo, dado que os rendimentos de cada 
período são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render ju-
ros. No regime de juros simples, o montante cresce linearmente, pois os juros 
de determinado período não são incorporados ao principal para o cálculo dos 
juros do período seguinte.
Exemplo 1 
Luciana pediu emprestados em um banco R$ 2.000,00. O pagamento total 
será feito depois de dois meses. Se o banco cobra juros de 5% ao mês, qual será 
o montante dessa dívida? Quanto ela pagará de juros por esse empréstimo?
M = C (1 + i)n 
M = 2.000 (1 + 0,05)2 
M = 2.000 (1,1025) 
M = R$ 2.205,00
J = M – C 
J = 2.205,00 – 2.000,00 
J= R$ 205,00
Os fluxos de caixa, serão:
1º mês 2º mês
R$ 2.000,00
R$ 2.205,00
20
Exercícios Resolvidos 
1. A juros compostos de 20% a.a., qual será o montante de um capital de R$ 
3.500,00 em oito anos? 
Dados:
M = ? 
i = 20% = 0,20 a.a. 
C = R$ 3.500,00 
n = 8 anos
M = C (1 + i)n 
M = 3.500 (1 + 0,20)8 
M = 3.500 . 4,30 = R$ 15.050,00
2. Qual é o capital que em seis anos, à taxa de juros composta de 15% a.a., 
resulta R$ 14.000,00? 
Dados:
C = ? 
n = 6 anos 
i = 15% = 0,15 a.a. 
M = R$ 14.000,00
C = M (1 + i)-n 
C = 14.000 (1 + 0,15)-6 
C = 14.000 (1,15)-6 
C = 14.000 (0,432327595) 
C = R$ 6.052,59
3. Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros 
compostos de 2% a.m.? 
Dados:
J = ? 
C = R$ 4.000,00 
i = 2% = 0,02 a.m. 
n = 10 meses 
Juros = Montante – Capital 
Juros = C (1 + i)n – C 
Juros = 4.000 (1 + 0,02)10 – 4.000 
Juros = 4.000 (1,21899442) – 4.000 
Juros = 4.875,97768 – 4.000 
Juros = R$ 875,98
21
 ► 3.2.1 Equivalência de Capitais a Juros Compostos
Dois capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes 
quando, levados para uma mesma data à mesma taxa de juros, tiverem va-
lores iguais.
Exercícios Resolvidos 
1. Calcule o valor presente do conjunto de capitais apresentado a seguir e 
verifique se, a juros compostos de 10% a.m., eles são equivalentes.
Capital Mês de vencimento
R$ 2.000,00 1
R$ 2.200,00 2
R$ 2.420,00 3
R$ 2.662,00 4
2.662 . (1,10)-4 = 1.818,18
2.420 . (1,10)-3 = 1.818,18
2.200 . (1,10)-2 = 1.818,18
2.000 . (1,10)-1 = 1.818,18
ou 2.000 
(1,10)
 = 2.200 
(1,10)2
 = 2.420 
(1,10)3
 = 2.662 
(1,10)4
 = R$ 1.818,18
2. Se a inflação mensal prevista é de 1% ao mês, R$ 1.000,00 daqui a seis me-
ses equivalem a qual valor hoje?
VF = R$ 1.000,00 
i = 6% = 0,06 a.m. 
VP = ? 
VP = 1.000 (1 + 0,01)-6 
VP = 1.000 (0,942045) 
VP = R$ 942,05
De outro modo:
VP = 1.000 
(1 + 0,01)6
VP = 1.000 
(1,061520)
VP = R$ 942,05
Dessa forma, “transportamos” o valor de R$ 1.000,00 (locado seis meses 
adiante) para a data-zero ou momento atual.
22
3. A uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, R$ 1.000,00 hoje equivalem 
a quanto daqui a três meses? 
Valor Presente (VP) = R$ 1.000,00 
i = 3% = 0,03 a.m. 
Valor Futuro (VF) = ? 
VF = 1.000 (1 + 0,03)3 
VF = R$ 1.092,73
Portanto, R$ 1.000,00 hoje, equivalem a R$ 1.092,73 daqui a três meses, consi-
derando-se uma atualização mensal de 3%.
4. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 3.000,00 com vencimento em dois anos 
e uma dívida de R$ 4.500,00 com vencimento em seis anos. Pretende qui-
tar os seus débitos por meio de um pagamento único, realizado ao final 
de quatro anos. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% a.a., 
determine o valor do pagamento único que liquida a dívida.
mês6420
(1,10)-2
(1,10)2
x
R$ 3.000,00 R$ 4.500,00
3.000 . (1,10)2 = 3.630 
4.500 . (1,10)-2 = 3.719 
x = 3.630 + 3.719 
x = R$ 7.349,00
5. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 1.000,00 que vence em dez meses e 
propõe-se a pagá-la em três parcelas: R$ 350,00 daqui a três meses, R$ 
300,00 daqui a sete meses, e uma parcela final no vencimento da dívida. 
Sendo os juros compostos de 4% a.m., determine o valor da parcela final 
que liquida a dívida.
350 300
(1,04)3
(1,04)7
x
mês
10730
Por equivalência de capitais, no décimo mês, o valor da dívida deve ser igual 
ao valor das três parcelas atualizadas para aquela data. Assim:
350. (1,04)7 + 300. (1,04)3 + x = 1.000 
350. 1,32 + 300. 1,12 + x = 1.000 
462 + 336 + x = 1.000 
23
798 + x = 1.000 
x = 1.000 – 798 
x = R$ 202,00
 ► 3.2.2 Cálculo com Prazos Fracionários
Muitas vezes o prazo da aplicação não corresponde a um número inteiro de 
períodos aos quais se refere a taxa de juros, mas a um número fracionário. 
Quando isso acontece, são usadas as seguintes opções de cálculo:
•	Convenção Linear: os juros compostos são usados para a parte inteira do 
prazo e, os juros simples, para a parte fracionária do prazo.
•	Convenção Exponencial: os juros compostos são usados tanto para a parte 
inteira do prazo quanto para a parte fracionária do prazo.
Exemplo 1
Para um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 77 dias, a juros de 5% a.m., 
calcule o montante utilizando as convenções linear e exponencial. 
Atenção!
Fique atento aos cálculos! Será utilizada a parte inteira e a parte fracionária.
Convenção Linear:
C = R$ 25.000,00
i = 5% a.m. = 0,05 a.m.
n = 77 dias (2 meses e 17 dias)
M = ?
M = 25.000,00 . (1+0,05)2 . 1 + 0,05 . 17 
30
 = R$ 28.343,44
Convenção Exponencial:
M = 25.000,00 . (1+0,05)
77
30 = R$ 28.335,17
Exemplo 2 
Um capital de R$ 27.000,00, aplicado a juros de 6% a.m., rendeu R$ 5.654,80. 
Determine o prazo da aplicação em meses.
M = soma do capital + rendimento 
M = 27.000 + 5.654,80 = 32.654,80 
C = 27.000 
i = 6% a.m. = 0,06 a.m. 
n = ?
24
Convenção Exponencial:
M = C (1 + i)n 
32.654,80 = 27.000 (1 + 0,06)n
32.654,80 
27.000
 = (1,06)n
1,2094370 = (1,06)n
Dica de Leitura
Vale a pena ler e pesquisar sobre as Propriedades dos Logarítimos. O livro Matemática 
Completa, de José Ruy Giovanni e José Roberto Bonjarno, da Editora FTD, poderá auxiliá-
lo a aprofundar seus conhecimentos.
Como queremos encontrar “n”, e este é um expoente, é preciso aplicar a regra 
dos logaritmos: logb an.
Dessa forma, teremos:
log1,2094370 = log(1,06)n 
log1,2094370 = n . log1,06
log1,2094370 
log1,06
 = n
n = 3,2634 meses 
4. Taxas Nominais de Juros
São as taxas de juros cujos períodos de capitalização não coincidem com 
os períodos informados. Como exemplo, podemos citar os Títulos Públicos. 
Vamos supor que uma pessoa compre um título pelo valor de R$ 2.000,00 
e, no final do ano, esse título será reembolsado pelo valor de R$ 2.500,00. 
O cálculo da taxa nominal de juros será feito da seguinte forma:
Juros Pagos – Valor Nominal do Empréstimo
2.500 – 2.000 = 500
A taxa nominal de juros é calculada da seguinte forma:
500 
2.000
 = 0,25 . 100 = 25% a.m.
São exemplos de taxas nominais: 18% ao ano capitalizado mensalmente, 8% 
ao semestre capitalizado mensalmente etc.
25
4.1 Cálculo do Montante a Juros Nominais
Considerando um capital aplicado a uma taxa nominal de juros efetiva ao 
ano, na qual os juros são capitalizados uma única vez ao ano, o montante ao 
término do primeiro ano de aplicação será:
M = C (1 + i)
Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada semestralmente (duas ve-
zes por ano), o montante ao final de um ano será:
M = C 1 + j 
2
 2 . 1
Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada mensalmente (12 vezes por 
ano), o valor do montante ao final do terceiro ano será:
M = C 1 + j 
12
 12 . 3
Em geral, podemos expressar o montantede um capital aplicado pelo prazo 
“m”, a uma taxa nominal “j”, com juros capitalizados “k” vezes durante o perío-
do referencial da taxa nominal, do seguinte modo:
M = C 1 + j 
Z
 
k . m
Em que: 
j = taxa de juros nominal
k = número de vezes em que os juros são capitalizados no período ao qual a 
taxa nominal se refere
m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal
C = principal ou capital
5. Taxas Efetivas de Juros
São as taxas de juros cujos períodos de capitalização são idênticos aos perío-
dos informados. 
Os juros são capitalizados (incorporados ao capital) e coincidem com aquele 
ao qual a taxa está referida. Como exemplos, podemos mencionar: 14% ao mês 
com capitalização mensal, 25% ao ano com capitalização anual etc.
Supondo que um banco ofereça empréstimo a uma taxa mensal de juros de 
3,5%, com capitalização (pagamento de juros) também mensal. Vimos, ante-
riormente, que se a caderneta de poupança oferecer um rendimento anual 
26
de 6%, esta será a taxa nominal da aplicação financeira. Mas como os juros são 
capitalizados mensalmente? Qual seria a taxa efetiva anual de remuneração 
da cadernerta de poupança?
A taxa efetiva é dada por:
iefe = [ (1 + i)n – 1], assim:
iefe = [ (1 + 0,005)
12 – 1 ] = 0,0617
No exemplo dado, a taxa efetiva de remuneração da caderneta de poupança 
é de 6,17% ao ano, ou seja, multiplicamos (0,0617 por 100).
Vamos supor que um empréstimo de R$ 30.000,00 será quitado por meio de 
um único pagamento de R$ 38.000,00, no prazo de um mês. No ato da con-
tratação foi paga uma tarifa de serviço bancário de 5% cobrada sobre o valor 
do empréstimo.
A taxa nominal é a razão entre os juros pagos e o valor nominal do 
empréstimo:
Taxa nominal = juros pagos 
empréstimo nominal
 = 
R$ 38.000,00 - R$ 30.000,00 
R$ 30.000,00
 = 26,67% a.m.
A taxa efetiva é a razão entre os valores efetivamente pagos e o valor do em-
préstimo efetivamente liberado:
Taxa efetiva = valores efetivamente pagos 
empréstimo efetivo
 =
(R$ 38.000,00 - R$ 30.000,00) + 0,05 . R$ 30.000,00 
R$ 30.000,00 - 0,05 . R$ 30.000,00
 = 33,33%a.m.
5.1 Taxa Proporcional (Taxa Linear)
É determinada pela relação simples entre a taxa considerada na operação 
(taxa nominal) e o número de vezes que ocorrem juros (quantidade de perío-
dos de capitalização).
Exemplo: a taxa proporcional ao mês para uma taxa nominal de 18% a.a., ca-
pitalizados mensalmente, é de 1,5% a.m.
Taxa proporcional = j 
k
 = 18% a.a 
12
 = 1,5% a.m.
Nesse caso, o percentual de juros que incidirá sobre o capital, a cada mês, 
será 1,5%.
27
Exercícios Resolvidos 
1. Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 15% a.a., capita-
lizada diariamente.
Dados:
i = 15% = 0,15 
k = 360
ia = 1 + 
0,15 
360
360
 – 1 = 16,18% a.a.
2. Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 15,5% a.a., capi-
talizada trimestralmente.
j = 15,5% = 0,155 
k = 4
ia = 1 + 
0,155 
4
4
 – 1 = 16,42% a.a.
Lembrete
k = 4 porque temos 4 trimestres em 1 ano.
5.2 Equivalência entre Taxas de Juros Efetivas
Pelo critério de juros simples, a taxa equivalente é a própria taxa proporcional. 
Assim, 2% a.t. é uma taxa proporcional (equivalente) a 8% a.a., pois 2% . 4 = 8%.
Toda taxa de juros pode ser convertida em outro prazo qualquer, sem alterar 
seu valor. Considerando-se o ano comercial (360 dias), temos a seguinte iden-
tidade que permite relacionar por equivalência algumas taxas efetivas:
(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + im)12 = (1 + id)360
Em que:
ia = taxa efetiva anual
is = taxa efetiva semestral
it = taxa efetiva trimestral
im = taxa efetiva mensal
id = taxa efetiva diária
Saiba Mais
Embora não presente na fórmula, também temos ib , que representa taxa efetiva bimestral.
28
Para passar de uma unidade de tempo menor para uma maior (como de mês 
para ano, por exemplo) deve-se elevar a taxa de juros pelo número de perío-
dos correspondentes. No sentido contrário, de ano para mês, por exemplo, 
deve-se elevar ao inverso do período. Veja no quadro a seguir as conversões 
necessárias. 
De a.m. para a.a. a ia = (1+ i m ) 12 - 1 De a.d. para a.m. a im = (1+ i d ) 30 - 1
De a.d. para a.a. a ia = (1+ i d ) 360 - 1 De a.a. para a.m. a im = (1+ i a ) 1/12 - 1
De a.m. para a.d. a id = (1+ i m ) 1/30 - 1 De a.a. para a.d. a id = (1+ i a ) 1/360 - 1
Exercícios Resolvidos
1. Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 24% a.a., capita-
lizada mensalmente.
ia = ? 
j = 24% a.a. = 0,24 a.a. 
k = 12
(1 + ia) = 1 + 
j 
k
k . m
 a ia = 1 + 
0,24 
12
12 . 1
 – 1 = 26,82% a.a.
2. Calcule a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 48% a.s., capita-
lizada mensalmente.
ia = ? 
j = 48% a.s = 0,48 a.s. 
k = 6
(1 + ia) = 1 + j 
k
k . m
 a ia = 1 + 0,48 
6
6 . 1
 – 1 = 151,82% a.a.
3. Calcule a taxa efetiva anual ia, equivalente à taxa nominal de 60% a.t., capi-
talizada diariamente.
ia = ? 
j = 60% a.t. = 0,60 a.t. 
k = 90 
(1 + ia) = 1 + j 
k
k . m
 a ia = 1 + 
0,60 
90
90 . 4
 – 1 = 993,57% a.a.
29
4. Resolva os exercícios a seguir:
Capitalização Montante: 
M = C 1 + j 
k
 
k . m
Taxa efetiva ao ano: 
ia = 1 + 
j 
k
 
k
 - 1
Anual (k = 1)
R$ 100,00 . 1 + 
0,1 
1
1 . 2
 
= 121
1 + 0,1 
1
1
 - 1 = 0,1
Semestral (k = 2)
R$ 100,00 . 1 + 
0,1 
2
2 . 2
 
= 121,55
1 + 0,1 
2
1
 - 1 = 0,1025
Mensal (k = 12) R$ 100,00 . 1 + 0,1 
12
12 . 2
 = 122,04 1 + 0,1 
12
12
 - 1 = 0,1047
Diária (k = 360) R$ 100,00 . 1 + 
0,1 
360
360 . 2 
= 122,14 1 + 
0,1 
360
360
 - 1 = 0,1052
Exercícios Propostos
1. Qual o valor dos juros correspondente a uma aplicação de R$ 3.270,00 
durante 5 meses, com taxa de 2%, no regime de capitalização simples?
( ) a) R$ 280,00
( ) b) R$ 327,00
( ) c) R$ 374,00
( ) d) R$ 429,00
( ) e) R$ 263,00
2. Marque a opção que corresponde ao valor do montante no regime de ca-
pitalização composta de aplicação de R$ 2.400,00, com taxa de juros ao 
mês de 3,1% durante 4 meses:
( ) a) R$ 2.711,73
( ) b) R$ 1.943,24
( ) c) R$ 2.421,72
( ) d) R$ 3.121,23
( ) e) R$ 3.010,40
3. No regime de capitalização simples, considerando o tempo de capitaliza-
ção igual a 10 meses, de uma aplicação no valor de R$ 5.800,00, com taxa 
de 1,2% ao mês, o valor do montante é:
( ) a) R$ 5.943,00
( ) b) R$ 5.980,00
( ) c) R$ 6.130,00
( ) d) R$ 6.370,00
( ) e) R$ 6.496,00
30
4. Aplicando R$ 7.400,00 a uma taxa de juros compostas de 2,1% ao mês, e 
considerando o período de aplicação de 6 meses, o valor do montante é:
( ) a) R$ 7.560,12
( ) b) R$ 7.829,36
( ) c) R$ 8.382,74
( ) d) R$ 8.470,00
( ) e) R$ 8.520,38
5. Um capital aplicado por 3 meses, a juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 
420,00 de juros.
Determine o valor do capital:
( ) a) R$ 5.300,00
( ) b) R$ 5.800,00
( ) c) R$ 6.000,00
( ) d) R$ 7.000,00
( ) e) R$ 7.580,00