280_Matemática_Financeira_Tema_3

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Quando alguém contrai um empréstimo junto a um banco, por exemplo, 
terá de pagar o valor principal emprestado e os juros que representam a 
remuneração do banco pelo dinheiro cedido. Assim, seja pagando um em-
préstimo de uma só vez ou em diversas prestações, o devedor terá sempre 
que pagar esses dois valores ao credor: principal e juros. Vamos aprender, 
nesta lição, o que significa amortizar o valor de um empréstimo.
Ao término desta lição, você será capaz de:
a) compreender o conceito de amortização e onde ele se aplica;
b) calcular juros de amortização;
c) calcular o valor das prestações pelo Sistema Price. 
1. Conceito de Amortização
A amortização é um processo financeiro através do qual uma dívida é paga 
em parcelas, de forma que no final do prazo determinado o débito seja liqui-
dado. Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: 
1) a amortização ou devolução do capital emprestado; 
2) os juros correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizado.
Uma parcela é representada por:
Prestação Amortização Juros
Rt = At + Jt
Em que:
•	Rt = valor da prestação na data ou momento t
•	At = amortização (parcela do principal) no momento t
•	Jt = juros no momento t
Os juros de uma prestação incidem sempre sobre o principal devido.
Lição 3 - Sistemas de Amortização de 
Empréstimos
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À medida que o devedor vai pagando as prestações, ele vai amortizando ou 
diminuindo o principal devido. 
Esse principal devido, ainda não pago, é chamado de saldo devedor e pode ser 
calculado segundo as fórmulas.
Jt = i . S(t-1)
St = S(t-1) - At
Em que:
•	Jt = juros a serem pagos no momento t
•	i = taxa de juros conforme contrato da dívida
•	St = saldo devedor no momento t
•	S(t-1) = saldo devedor no momento (t-1), no período anterior ou no 
vencimento anterior da prestação
Período anterior ao momento t
(t -1) t Tempo
No momento t:
a) Pagam-se os juros devidos do período anterior: J = i . S(t-1).
b) Amortiza-se uma parte do principal, gerando novo saldo devedor: 
St = S(t-1) - At.
Atenção!
A regra para amortização de dívida depende do sistema de amortização adotada no 
contrato do empréstimo..
2. Tipos de Sistemas de Amortização de Empréstimo
Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimo, 
temos o Sistema de Amortização Francês (conhecido como Tabela Price), o Sis-
tema de Amortização Constante (SAC), o Sistema de Amortização Americano 
e o Sistema de Amortização Misto (SAM), também conhecido como de Amor-
tização Crescente (Sacre).
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3. Sistema de Amortização Constante (SAC)
Largamente utilizado por bancos e financeiras, o Sistema de Amortização 
Constante (SAC), como o próprio nome diz, caracteriza-se pelo fato de que 
suas amortizações são constantes, e também pelo fato de suas prestações se-
rem decrescentes.
O valor da amortização em cada prestação da dívida é dado por:
At = 
P 
n
Em que:
•	At = valor da amortização da prestação no momento t
•	P = principal da dívida
•	n = número de prestações da dívida ou de períodos de capitalização
Exemplo 1
O Sr. Azevedo tomou emprestado R$ 3.000,00 em um banco, para serem pa-
gos em três prestações mensais, a juros de 5% a.m. e pelo SAC. Qual será o va-
lor de cada prestação? Quanto o Sr. Azevedo pagará de juros e de amortização 
em cada prestação?
At = 
P 
n
At = 
3.000 
3
At = 1.000
n Saldo devedor 
St = S(t-1) - At 
Amortização 
At = Rt – Jt 
Juros 
Jt = i . S(t-1) 
Prestação 
Rt 
0 R$ 3.000,00 0 - -
1 R$ 2.000,00 R$ 1.000,00 (R$ 3.000,00 . 0,05) = R$ 150,00 R$ 1.150,00
2 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 (R$ 2.000,00 . 0,05) = R$ 100,00 R$ 1.100,00
3 0 R$ 1.000,00 (R$ 1.000,00 . 0,05) = R$ 50,00 R$ 1.050,00
Os fluxos de caixa ficam assim:
R$ 3.000,00
1º mês 2º mês 3º mês
R$ 1.150,00 R$ 1.100,00 R$ 1.050,00 
(1ª prestação) (2ª prestação) (3ª prestação)
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Exemplo 2
O Sr. Souza tomou R$ 12.000,00 emprestado em um banco para serem pagos 
em quatro prestações mensais, com juros de 8% a.m. e pelo SAC. Qual será o 
valor de cada prestação? Quanto ele pagará de juros e de amortização em 
cada prestação?
At = 
P 
n
At = 
1.000 
4
At = 3.000
n Saldo devedor 
St = S(t-1) - At 
Amortização 
At = Rt – Jt 
Juros 
Jt = i . S(t-1) 
Prestação 
Rt 
0 R$ 12.000,00 0 - -
1 R$ 9.000,00 R$ 3.000,00 (R$ 12.000,00 . 0,08) = R$ 960,00 R$ 3.960,00
2 R$ 6.000,00 R$ 3.000,00 (R$ 9.000,00 . 0,08) = R$ 720,00 R$ 3.720,00
3 R$ 3.000,00 R$ 3.000,00 (R$ 6.000,00 . 0,08) = R$ 480,00 R$ 3.480,00
4 0 R$ 3.000,00 (R$ 3.000,00 . 0,08) = R$ 240,00 R$ 3.240,00
4. Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)
No Sistema de Tabela Price as prestações são de igual valor, o que o caracteri-
za como uma série uniforme. Nele, primeiramente é preciso calcular o valor 
da prestação. Em seguida, os juros devidos ao final do primeiro mês (i . saldo 
devedor). Subtraindo os juros da prestação, teremos o valor da amortização. 
E assim sucessivamente:
Se R = J + A, então, A = R - J 
Saiba Mais
O Sistema de Tabela Price foi inicialmente utilizado na França, no século XIX. 
As principais características deste sistema de amortização são: 
•	pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas;
•	é o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio;
•	os juros incidem sobre o saldo devedor que decresce à medida que as 
prestações são pagas, ou seja, eles são decrescentes.
Exercícios Resolvidos
1. Um homem tomou R$ 3.000,00 emprestados em um banco para serem pa-
gos em três prestações mensais, a juros de 5% a.m. e pelo Sistema Price. Qual 
será o valor de cada prestação? Quanto ele pagará de juros e de amortiza-
ção em cada prestação?
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Valor da Prestação:
R = P . i (1 + i)
n 
(1 + i) n - 1
R = 3.000 . 0,05 (1,05)
3 
(1,05)3 - 1
 
R = 173,64375 
0,157625
R = R$ 1.101,63
n Saldo devedor 
St = S(t-1) - At 
Amortização 
At = Rt – Jt 
Juros 
Jt = i . S(t-1) 
Prestação 
Rt 
0 R$ 3.000,00 0 - -
1 R$ 2.048,37 R$ 951,63 (R$ 3.000,00 . 0,05) = R$ 150,00 R$ 1.101,63
2 R$ 1.049,16 R$ 999,21 (R$ 2.048,37 . 0,05) = R$ 102,42 R$ 1.101,63
3 0 R$ 1.049,16 (R$ 1.049,16 . 0,05) = R$ 52,46 R$ 1.101,63
2. Um empréstimo de R$ 200.000,00 será pago pela Tabela Price em quatro 
prestações mensais postecipadas. Considerando os juros efetivos de 10% 
a.m., construa a planilha de amortização.
n Saldo devedor 
St = S(t-1) - At 
Amortização 
At = Rt – Jt 
Juros 
Jt = i . S(t-1) 
Prestação 
Rt 
0 R$ 200.000,00 - - -
1 R$ 156.906,00 R$ 43.094,00 R$ 20.000,00 R$ 63.094,00
2 R$ 109.502,60 R$ 47.403,40 R$ 15.690,60 R$ 63.094,00
3 R$ 57.358,86 R$ 52.143,74 R$ 10.950,26 R$ 63.094,00
4 - R$ 57.358,86 R$ 5.735,89 R$ 63.094,00
Em um determinado período, os juros são calculados sobre o saldo devedor do 
empréstimo ao início desse período. A amortização é a diferença entre o valor da 
prestação e o valor dos juros respectivos. O saldo devedor é igual ao saldo devedor do 
período anterior menos a amortização do respectivo período. Veja:
a) Cálculo correspondente à prestação do t-ésimo período:
Rt = 200.000
(1,10)4 - 1) 
(1,10)4 . 0,10
 = 200.000 
3,16987
 = R$ 63.094,00
b) Cálculo dos juros do t-ésimo período:
Jt = i . SD(t-1), por exemplo, para t = 2
J2 = i . SD1
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J2 = 0,10 . 156.906,60 = R$ 15.690,60
c) Cálculo da amortização do t-ésimo período:
At = Rt – Jt; para t = 2
A2 = R – J2
A2 = 63.094,00 – 15.690,60 = R$ 47.403,40
d) Cálculo do saldo devedor do t-ésimo período:
St = S(t-1) – At; para t = 2
S2 = S1 – A2 = 156.906,00 - 47.403,40 = R$ 109.502,60
Supondo agora um período de carência de três meses em que serão pagos 
os juros devidos, construa a planilha de amortização considerando presta-
ções antecipadas.
O procedimento é igual ao do exemplo anterior, com a diferença de que nos 
meses do período de carência a dívida não é amortizada, mas os juros devi-
dos sobre o saldo devedor são pagos. Como as prestações são antecipadas, a 
primeira é a prestação paga logo ao término da carência.
n Saldo devedor 
St = S(t-1) - At 
Amortização 
At = Rt– Jt 
Juros 
Jt = i . S(t-1) 
Prestação 
Rt 
0 R$ 200.000,00 - - -
1 R$ 200.000,00 - R$ 20.000,00 R$ 20.000,00
2 R$ 200.000,00 - R$ 20.000,00 R$ 20.000,00
3 R$ 156.906,60 R$ 43.094,00 R$ 20.000,00 R$ 63.094,00
4 R$ 109.502,60 R$ 47.403,40 R$ 15.690,00 R$ 63.094,00
5 R$ 57.358,86 R$ 52.143,74 R$ 10.950,26 R$ 63.094,00
6 - R$ 57.358,86 R$ 5.735,89 R$ 63.094,00
Exercícios Propostos
Considere o seguinte enunciado para resolver as questões 1 a 4: 
Um empréstimo de R$ 15.000,00, a ser pago em 10 prestações mensais, 
com taxa de juros de 2% a.m.
1. Pelo Sistema de Amortização Constante, o valor da amortização no oitavo 
mês corresponde a: 
( ) a) R$ 1.500,00 
( ) b) R$ 1.600,00 
( ) c) R$ 1.700,00 
( ) d) R$ 1.750,00 
( ) e) R$ 1.800,00
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2. Considerando o Sistema Price de Amortização, os juros referentes ao se-
gundo mês corresponde a: 
( ) a) R$ 145,20 
( ) b) R$ 189,24 
( ) c) R$ 272,60 
( ) d) R$ 284,36 
( ) e) R$ 303,27
3. Considerando o Sistema Price de Amortização, o valor da quarta presta-
ção é de: 
( ) a) R$ 1.438,98 
( ) b) R$ 1.585,99 
( ) c) R$ 1.590,70 
( ) d) R$ 1.650,60 
( ) e) R$ 1.669,90
4. Pelo Sistema Price de Amortização, o valor da amortização no terceiro 
mês corresponde a: 
( ) a) R$ 1.425,25 
( ) b) R$ 1.418,23 
( ) c) R$ 1.378,24 
( ) d) R$ 1.356,28 
( ) e) R$ 1.289,32
5. No Sistema de Amortização Constante:
( ) a) as prestações são constantes.
( ) b) as prestações são crescentes.
( ) c) as prestações são decrescentes.
( ) d) as amortizações são variáveis.
( ) e) as amortizações são flutuantes.