Números Complexos e Equações Algébricas 4

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Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A primeira fórmula de De Moivre diz respeito ao cálculo de potências de números complexos na forma trigonométrica e é escrita por zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)].
Com base nessa informação e nos conteúdos de números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, escolha a alternativa correta para (1+i)4.(1+i)4.
Nota: 0.0
	
	A
	z4=(cos4π+i.sen4π)z4=(cos4π+i.sen4π)
	
	B
	z4=(cosπ+i.senπ)z4=(cosπ+i.senπ)
	
	C
	z4=4.(cos4π+i.sen4π)z4=4.(cos4π+i.sen4π)
	
	D
	z4=4.(cosπ+i.senπ)z4=4.(cosπ+i.senπ)
Escrevendo 1+i1+i na forma trigonométrica:
a=1     b=1ρ=√12+12=√2a=1     b=1ρ=12+12=2
senθ=bρ=1√2=√22cosθ=aρ=1√2=√22senθ=bρ=12=22cosθ=aρ=12=22
Logo, θ=π4θ=π4.
Assim, 1+i1+i na forma trigonométrica é escrito: z=√2(cosπ4+i.senπ4)z=2(cosπ4+i.senπ4)
Aplicando a fórmula de De Moivre:
zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(√2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)
Livro-base p. 113-114
	
	E
	z4=4.(cos2π+i.sen2π)z4=4.(cos2π+i.sen2π)
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere os seguintes números complexos:
z1=2+3iz2=5−2iz1=2+3iz2=5−2i
Com base nos dados fornecidos e nos contéudos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos, determine o resultado de z1−z2z1−z2.
Nota: 0.0
	
	A
	3+i3+i
	
	B
	3+5i3+5i
	
	C
	−3+5i−3+5i
2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i
(livro-base, p. 95-97)
	
	D
	−3+i−3+i
	
	E
	16−19i16−19i
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere o seguinte número complexo:
z=2−2iz=2−2i
Com base no dado fornecido e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre números complexos, escolha a alternativa que indica a forma trigonométrica (polar) de zz.
Nota: 0.0
	
	A
	z=2.(cosπ6+i.senπ6)z=2.(cosπ6+i.senπ6)
	
	B
	z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4)
Calculamos o módulo de z e seu argumento:
ρ=√22+(−2)2=√8=2√2ρ=22+(−2)2=8=22
sen θ=bρ=−22√2=−√22cos θ=aρ=22√2=√22sen θ=bρ=−222=−22cos θ=aρ=222=22
θ=7π4θ=7π4
Logo, z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4) (livro-base, p. 109-111).
	
	C
	z=2√2.(cosπ4+i.senπ4)z=22.(cosπ4+i.senπ4)
	
	D
	z=√2.(cosπ3+i.senπ3)z=2.(cosπ3+i.senπ3)
	
	E
	z=√2.(cosπ4+i.senπ4)z=2.(cosπ4+i.senπ4)
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Um número complexo z=a+biz=a+bi pode ser escrito na forma trigonométrica z=ρ(cosθ+i.senθ)z=ρ(cosθ+i.senθ).
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, escolha a melhor alternativa para a forma trigonométrica de z = 4.
Nota: 0.0
	
	A
	z=cos4+i.sen4z=cos4+i.sen4
	
	B
	z=4(cos0+i.sen0)z=4(cos0+i.sen0)
z=4+0ia=4     b=0ρ=√a2+b2ρ=√42+02=√16=4z=4+0ia=4     b=0ρ=a2+b2ρ=42+02=16=4
Para cálculo de θθ:
sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1
Para esses valores de seno e cosseno, temos que θ=0θ=0.
(Livro-base p. 109-111).
	
	C
	z=cos0+i.sen0z=cos0+i.sen0
	
	D
	z=4(cosπ+i.senπ)z=4(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z=cosπ+i.senπz=cosπ+i.senπ
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para os seguintes números complexos:
z1=2+3iz2=1+iz1=2+3iz2=1+i
Com base nos dados fornecidos e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos, determine o resultado de z1z2z1z2.
Nota: 0.0
	
	A
	1+2i1+2i
	
	B
	55
	
	C
	5+i25+i2
2+3i1+i.1−i1−i=2−2i+3i−3i21−i2=2−2i+3i+31+1=5+i22+3i1+i.1−i1−i=2−2i+3i−3i21−i2=2−2i+3i+31+1=5+i2
(livro-base, p. 103-104).
	
	D
	5i25i2
	
	E
	−1+i2−1+i2
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
O teorema de DeMoivre afirma que zn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))zn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas e aplicando o teorema acima, calcule (1+i)6(1+i)6.
Nota: 0.0
	
	A
	z6=2(cosπ+i.senπ)z6=2(cosπ+i.senπ)
	
	B
	z6=4(cosπ+i.senπ)z6=4(cosπ+i.senπ)
	
	C
	z6=4(cos3π+i.sen3π)z6=4(cos3π+i.sen3π)
	
	D
	z6=8(cosπ+i.senπ)z6=8(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z6=8(cos3π2+i.sen3π2)z6=8(cos3π2+i.sen3π2)
Para resposta ser considerada válida, o aluno deve responder da seguinte maneira:
Escrevendo z=(1+i)6z=(1+i)6 na forma trigonométrica, temos:
Cálculo do r:
r=√a2+b2r=√12+12r=√1+1r=√2r=a2+b2r=12+12r=1+1r=2
Cálculo do θθ
tgθ=batgθ=11tgθ=1tgθ=batgθ=11tgθ=1
Como o ponto (1,1)(1,1) está na parte positiva do eixo-x, θ=450θ=450, ou, equivalente, θ=π4θ=π4 
Logo
z=√2(cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(√2)6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2)z=2(cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(2)6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2)
(livro-base, p.114)
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Um número complexo z=a+biz=a+bi pode ser escrito na forma trigonométrica z=ρ(cosθ+i.senθ)z=ρ(cosθ+i.senθ).
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, analise as alternativas que seguem. Na sequência, escolha a melhor alternativa para a forma trigonométrica de z = 4:
Nota: 10.0
	
	A
	z=cos4+i.sen4z=cos4+i.sen4
	
	B
	z=4(cos0+i.sen0)z=4(cos0+i.sen0)
Você acertou!
z=4+0ia=4     b=0ρ=√a2+b2ρ=√42+02=√16=4z=4+0ia=4     b=0ρ=a2+b2ρ=42+02=16=4
Para cálculo de θθ:
sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1
Para esses valores de seno e cosseno, temos que θ=0θ=0.
(Livro-base p. 109-111).
	
	C
	z=cos0+i.sen0z=cos0+i.sen0
	
	D
	z=4(cosπ+i.senπ)z=4(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z=cosπ+i.senπz=cosπ+i.senπ
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto abaixo:
"[...] a trigonometria, no início uma auxiliar da Agrimensura e da Astronomia, tornou-se primeiramente autônoma e por fim transformou-se em uma parte da Análise Matemática, expressando relações entre números complexos, sem necessidade de recorrer a arcos ou ângulos."
Após essa avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: COSTA, N. M.L. A História da Trigonometria. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri2014/modulo5/mod3_pdf/historia_triogono.pdf>. Acesso em 06 Fev 2018.
Com base no fragmento de texto acima e nos conteúdos sobre números complexos do Livro-base Números complexos e equações algébricas determine z1z2z1z2.
Considere
 z1=12.(cos2π3+i.sen2π3)z1=12.(cos2π3+i.sen2π3)
z2=5.(cosπ3+i.senπ3)z2=5.(cosπ3+i.senπ3)
Nota: 0.0
	
	A
	z1z2= 512 .(cosπ3+i.senπ3)z1z2= 512 .(cosπ3+i.senπ3)
	
	B
	z1z2= 125 .(cosπ3+i.senπ3)z1z2= 125 .(cosπ3+i.senπ3)
De acordo com o Livro-base, a divisão na forma trigonométrica é realizada através da fórmula:
z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+i.sen(θ1−θ2)]z1z2=ρ1ρ2[cos(θ1−θ2)+i.sen(θ1−θ2)]
Substituindo os valores na formula, teremos:
z1z2=125.[cos(2π3−π3)+i.sen(2π3−π3)]=z1z2=125(cosπ3+i.senπ3)z1z2=125.[cos(2π3−π3)+i.sen(2π3−π3)]=z1z2=125(cosπ3+i.senπ3)
Livro-base p.113
	
	C
	z1z2= 125 .(cos2π3+i.sen2π3)z1z2= 125 .(cos2π3+i.sen2π3)
	
	D
	z1z2= 512 .(cos2π3+i.sen2π3)z1z2= 512 .(cos2π3+i.sen2π3)
	
	E
	z1z2= 512.(cosπ+i.senπ)z1z2= 512.(cosπ+i.senπ)
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere a seguinte informação:
 “O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SANTOS, G. T. Números complexos.  <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/NC5.docx.pdf>. Acesso em 19 set. 2018.
Considerando o trecho acima e os conteúdos abordados na videoaula 1 e no livro-base Números complexos e equações algébricas sobre as operações com números complexos, analise as seguintes asserções:
I. Considerando z1=2−3iz1=2−3i e z2=5+4iz2=5+4i, então z1+z2=7+i.z1+z2=7+i.
II. A subtração de 5+4i5+4ipor −2−2i−2−2i resulta em 3+2i3+2i.
III. O produto de 2+i2+i por 2+i2+i resulta em 3+4i3+4i.
IV. Se z1=3+2iz1=3+2i e z2=1+iz2=1+i, a divisão de z1z1 por z2z2 é 5−i25−i2.
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	III e IV.
	
	C
	I, II e III.
	
	D
	I, III e IV.
Você acertou!
I. 2−3i+5+4i=7+i2−3i+5+4i=7+i
II. 5+4i−(−2−2i)=5+4i+2+2i=7+6i5+4i−(−2−2i)=5+4i+2+2i=7+6i
III. (2+i)2=4+2i+i2=4+2i−1=3+4i(2+i)2=4+2i+i2=4+2i−1=3+4i\
IV. 3+2i1+i.1−i1−i=3−3i+2i+21−i2=5−i23+2i1+i.1−i1−i=3−3i+2i+21−i2=5−i2
(videoaula 1 e livro-base, p. 96-104).
	
	E
	II e IV.
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
O número complexo
z=3(cox5π4+i sen5π4)z=3(cox5π4+i sen5π4)
pode ser escrito na forma algébrica z=a+biz=a+bi.
Com isto e de acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, a parte real Re(z)Re(z)e aparte imaginária Im(z)Im(z) são, respectivamente:
Nota: 0.0
	
	A
	√2222   e    √2222
	
	B
	3√232    e   3√232
	
	C
	−3√2−32    e   −3√2−32
	
	D
	−3√22−322    e    −3√22−322
Sabendo que  cos5π4=−√22cos5π4=−22 e  sen5π4=−√22sen5π4=−22 e, substituindo esses valores no número complexo zz, temos:
z=3(cos5π4+isen5π4)z=3(−√22+i.(−√22))z=3(−√22−i.√22)z=−3√22−3√22.iz=3(cos5π4+isen5π4)z=3(−22+i.(−22))z=3(−22−i.22)z=−322−322.i
Logo, Re(z)=−3√22Re(z)=−322 e Im(z)=−3√22Im(z)=−322 .
Livro-base, p.81-126.
	
	E
	−3√22−322    e    3√22