APOL 2 2 - 100

Prévia do material em texto

APOL Números Complexos e Equações Algébricas - 100 
Questão 1/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Os números complexos na forma trigonométrica também apresentam operações como a soma, subtração, 
multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação. Para determinar a divisão entre 
z=ρ(cosθ+isenθ)z=ρ(cosθ+isenθ) a seguinte fórmula: 
 
zn=ρn[(cos(nθ)+isen(nθ)]zn=ρn[(cos(nθ)+isen(nθ)] 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 111 e 113. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, e considerando o número complexo e z=1+iz=1+i o resultado z6z6 é: 
Nota: 11.1 
 
A z6=2(cosπ+i.senπ)z6=2(cosπ+i.senπ) 
 
B z6=4(cosπ+i.senπ)z6=4(cosπ+i.senπ) 
 
C z6=4(cos3π+i.sen3π)z6=4(cos3π+i.sen3π) 
 
D z6=8(cosπ+i.senπ)z6=8(cosπ+i.senπ) 
 
E z6=(cos3π2+i.sen3π2)z6=(cos3π2+i.sen3π2) 
Você acertou! 
Para resposta ser considerada válida, o aluno deve responder da seguinte maneira: 
 
Escrevendo z=(1+i)6z=(1+i)6 na forma trigonométrica, temos: 
Cálculo do r: 
r=√ a2+b2 r=√12+12 r=√1+1 r=√ 2 r=a2+b2r=12+12r=1+1r=2 
Cálculo do θθ 
tgθ=batgθ=11tgθ=1tgθ=batgθ=11tgθ=1 
Como o ponto (1,1)(1,1) está na parte positiva do eixo-x, θ=450θ=450, ou, equivalente, θ=π4θ=π4 
Logo 
z=√ 2 (cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(√ 2 )6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2)z=2(cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(2)6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2) 
(livro-base, p.113-114) 
 
Questão 2/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o seguinte trecho: 
 
"Para o polinômio p(x)=x2−2x+2p(x)=x2−2x+2, temos que seu grau én=2n=2, e suas raízes são, 
respectivamente, (1−i)(1−i) e (1+i)(1+i). Para determinarmos as raízes desse polinômio, também utilizamos 
a fórmula de Bháskara.". 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 149 e 150. 
 
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações 
algébrica sobre raízes de polinômios. dado o polinômio p(x)=x2−6x+13p(x)=x2−6x+13 seu grau e suas 
raízes são, respectivamente: 
Nota: 11.1 
 
A n=2n=2 , x=2x=2 e x=ix=i 
 
B n=2n=2, x=(3−2i)x=(3−2i) e x=(3+2i)x=(3+2i) 
Você acertou! 
O grau do polinômio é 2, pois x2x2 é a variável com maior grau. Para determinar as raízes utilizando a fórmula de Bháskara temos: 
 
x2−6x+13=0x2−6x+13=0, a=1a=1, b=−6b=−6 e c=13c=13 
 
Δ=(−6)2−4⋅1⋅13Δ=36−52Δ=−16x=−(−6)±√−42⋅1x=6±2i2x=3±2iΔ=(−6)2−4⋅1⋅13Δ=36−52Δ=−16x=−(−6)±−42⋅1x=6±2i2x=3±2i 
 
ou seja, as raízes são x=3−2ix=3−2i e x=3+2ix=3+2i 
 
Livro-base p. 149 e 150 
 
C n=2n=2, x=(2+i)x=(2+i) e x=(2i)x=(2i) 
 
D n=2n=2, x=(3+3i)x=(3+3i) e x=(2+i)x=(2+i) 
 
E n=2n=2, x=(6−13i)x=(6−13i) e x=(6+13i)x=(6+13i) 
 
Questão 3/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o seguinte trecho: 
 
"As operações de adição e subtração de polinômios acontecem quando somamos ou subtraímos, 
respectivamente, os coeficientes dos termos semelhantes. Os termos que não forem semelhantes são 
apenas repetidos". 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 135. 
 
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações 
algébrica sobre produto de polinômios e dados p1(x)=x2+1p1(x)=x2+1 e p2=x3−x2p2=x3−x2 o resultado 
da multiplicação p1(x)⋅p2(x)p1(x)⋅p2(x) é: 
Nota: 11.1 
 
A p1(x)⋅p2(x)=x4+x3+x2+1p1(x)⋅p2(x)=x4+x3+x2+1 
 
B p1(x)⋅p2(x)x3+x2+1p1(x)⋅p2(x)x3+x2+1 
 
C p1(x)⋅p2(x)=x5−1p1(x)⋅p2(x)=x5−1 
 
D p1(x)⋅p2(x)=x5+x4+x3+x2+1p1(x)⋅p2(x)=x5+x4+x3+x2+1 
 
E p1(x)⋅p2(x)=x5−x4+x3−x2p1(x)⋅p2(x)=x5−x4+x3−x2 
Você acertou! 
O produto de p_1(x) por p_2(x) é 
 
p1(x)⋅p2(x)=(x2+1)⋅(x3−x2)p1(x)⋅p2(x)=(x2⋅x3+x2⋅(−x2)+1⋅x3+1⋅(−x2)p1(x)⋅p2(x)=x5−x4+x3−x2p1(x)⋅p2(x)=(x2+1)⋅(x3−x2)p1(x)⋅p2(x)=(x2⋅x3+x2⋅(−x2)+1⋅x3+1⋅(−x2)p1(x)⋅p2(x)=x5−x4+x3−x2 
 
 
Questão 4/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
 
"[...] Já a equação 3x^2-7x+3=0 é do 2º grau, pois o maior expoente se encontra no termo 3x^2, e é 2..." 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 14. 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, considerando a figura abaixo, por meio de cálculo de áreas é possível determinar 
uma equação do 2º grau. Esta equação é: 
 
Nota: 11.1 
 
A x2+14x+95=0x2+14x+95=0 
 
B x2+14x−95=0x2+14x−95=0 
Você acertou! 
Na figura há um quadrado de lado xx cuja área é x2x2 e dois retângulos de área 7x7x totalizando uma área de 14x14x. A área dessa figura 
é x2+14xx2+14x. Como essa área tem que ser igual a 9595, temos x2+14x=95x2+14x=95 ou, de maneira 
equivalente, x2+14x−95=0x2+14x−95=0 (livro-base p. 14-28). 
 
C x2+7x+95=0x2+7x+95=0 
 
D x2−14x=−95x2−14x=−95 
 
E x2+14=95x2+14=95 
 
Questão 5/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o seguinte trecho: 
 
"Um monômio, denominado também termo algébrico, é o produto de constante e variável". 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 131. 
 
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações 
algébrica, sobre monômios, assinale a alternativa correta: 
Nota: 11.1 
 
A 8x+28x+2 é um monômio com coeficiente 10 e parte literal x 
 
B 8x2y8x2y não é um monômio, pois tem duas variáveis 
 
C 8x2y8x2y é um monômio com parte literal x2x2, pois tem o maior grau, e coeficiente 8. 
 
D 8x2y8x2y é um monômio com parte literal x2yx2y e coeficiente 8 
Você acertou! 
Pela definição de monômio "produto de constante e variável" temos constante o número 8 e variável x2yx2y. Estes elementos do monômio 
denominam-se coeficiente, neste caso o número 8, e parte literal, que neste caso é x2yx2y. 
 
Livro-base p. 131 
 
E 8−y28−y2 é um monômio 
 
Questão 6/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Um método utilizado na divisão de polinômios é o dispositivo Briot-Ruffini. Esse dispositivo permite efetuar as 
divisões de polinômios por binômios da forma ax+b de maneira simples e rápida". 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 141. 
 
A imagem a seguir é a representação gráfica do polinômio p(x)=x3-3x2-13x+15 de coeficientes inteiros. 
 
 
Com base nessas informações e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números 
complexos e equações algébricas, assinale a alternativa que contém as raízes do polinômio p(x)=x3-3x2-
13x+15. 
Nota: 11.1 
 
A x1=-4, x2=0,7 e x3=5,5 
 
B x1=-2, x2=1 e , x3=6 
 
C x1=-3, x2=1 e x3=5 
Você acertou! 
Inicialmente é preciso utilizar o algoritmo de Briot-Ruffini: 
Candidatos a raízes: 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15, -15 
 
 
 
Como 1 é uma raiz, as demais raízes podem ser encontradas por meio da resolução da equação x2-2x-15=0 
a=1 
b=-2 
c=-15 
 
 
 
 
 
 
Logo, as raízes de p(x) são: x1=-3, x2=1 e x3=5 
 
Livro-base p 31 e 141 
 
D x1=-3, x2=1,4 e x3=5 
 
E x1=-2, x2=2 e x3=4,8 
 
Questão 7/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Um número complexo pode ser escrito na forma z=a+biz=a+bi, em que a,b∈Ra,b∈R, e ii é a unidade 
imaginária. Além desta forma o número complexo também pode ser representado na forma trigonométrica ou 
polar. A fórmulas de transformação são: 
 
ρ=√ a2+b2 ,sin(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin(θ)cos(θ)=bρ⟺b=ρ⋅cos(θ)ρ=a2+b2,sin⁡(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin⁡(θ)cos⁡(θ)=bρ⟺b=ρ⋅cos⁡(θ) 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 109 e 110. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, pode-se afirmar que a forma polar do número complexo z=2−2iz=2−2i é: 
Nota: 11.1 
 
 A z=2⋅(cosπ6+i.senπ6)z=2⋅(cosπ6+i.senπ6) 
 
 B z=2√ 2 ⋅(cos7π6+i.sen7π6)z=22⋅(cos7π6+i.sen7π6) 
Você acertou! 
Calculamos o módulo de z e seu argumento: 
ρ=√ 22+(−2)2 =√8=2√ 2 ρ=22+(−2)2=8=22 
sen θ=bρ=−22√ 2 =−√ 2 2cos θ=aρ=22√ 2 =√ 2 2sen θ=bρ=−222=−22cos θ=aρ=222=22 
 
Com base nestes valores, percebe-se que o ângulo \theta está no 4º quadrante. Portanto θ=7π4θ=7π4. 
 
Logo, z=2√ 2 .(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4) (livro-base, p. 109-111). 
 
 C z=2√ 2 ⋅(cosπ4+i.senπ4)z=22⋅(cosπ4+i.senπ4) 
 
 D z=√ 2 ⋅(cosπ3+i.senπ3)z=2⋅(cosπ3+i.senπ3) 
 
 E z=√ 2 ⋅(cosπ4+i.senπ4)z=2⋅(cosπ4+i.senπ4) 
 
Questão 8/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
“As operações de adição e subtração de polinômios acontecem quando somamos ou subtraímos, 
respectivamente, os coeficientes dos termos semelhantes. Os termos que não forem semelhantes são 
apenas repetidos.” 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 135. 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, e considerando os polinômios p(x)=5x4-5x3+x+1 e q(x)=2x5+6x4-x3+9, a soma 
p(x)+q(x) é: 
Nota: 11.1 
 
A 2x5+6x4-x3+x+1 
 
B 2x5+6x4-6x3+x+9 
 
C 2x5+11x4-5x3+x+10 
 
D 2x5+11x4-6x3+x+10 
Você acertou! 
p(x)+q(x)=5x4-5x3+x+1+2x5+6x4-x3+9 
p(x)+q(x)= 2x5+11x4-6x3+x+10 
 
Livro-base p. 135 
 
E 3x5+6x4-6x3+x+10 
 
Questão 9/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia as informações: 
 
"A representação geométrica de um número complexo é dada por z=a+bi,z=a+bi, com z≠0,z≠0, tal 
que aa é denominada parte real (Re(z)=aRe(z)=a) e bb a parte imaginária (Im(z)=b)Im(z)=b). Outra forma 
de representar um número complexo é a forma trigonométrica ou polar z=ρ(cosθ+isenθ)z=ρ(cosθ+isenθ), 
com 0≤θ≤2π0≤θ≤2π". 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 109, 110 e 111. 
Com base no texto acima e no Livro-base Números complexos e equações algébricas sobre o conteúdo 
de número complexos, responda: 
 
A parte real Re(z)Re(z) e a parte imaginária Im(z)Im(z) do número complexo 
z=3.(cos5π4+i.sen5π4)z=3.(cos5π4+i.sen5π4) são, 
Nota: 11.1 
 
A √ 2 222 e √ 2 222 
 
B 3√ 2 32 e 3√ 2 32 
 
C −3√ 2 −32 e −3√ 2 −32 
 
D −3√ 2 2−322 e −3√ 2 2−322 
Você acertou! 
z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−√ 2 2+i.−√ 2 2)=z=−3√ 2 2−3√ 2 2iRe(z)=−3√ 2 2 e Im(z)=−3√ 2 2z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−22+i.−22)=z=−322−322iRe(z)=−322 e Im(z)=−322 
 
Livro-base pp. 110. 
 
E −3√ 2 2−322 e 3√ 2 2