Método das Forças - flexibilidade

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Método das forças
(flexibilidade)
Cultura
Universidade Estadual Paulista (Unesp)
22 pag.
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Caṕıtulo 3
Método da Flexibilidade
(ou das Forças)
Neste caṕıtulo são desenvolvidos os conceitos referentes ao Método da Flexibilidade, tam-
bém conhecido como Método das Forças, bem como a metodologia para a sua aplicação
na resolução de estruturas estaticamente indeterminadas, solicitadas por carregamentos
externos e também por ações indiretas.
3.1 As Bases do Método
Para introduzir as bases do Método das Forças, é utilizado o exemplo descrito a seguir.
Deseja-se calcular o momento fletor MA e a força FB que devem ser aplicados simulta-
neamente ao carregamento indicado na Figura 3.1, de forma que a rotação em A, θA e o
deslocamento vertical em B, δB, sejam nulos.
F
B
M
A
q
Figura 3.1: Exemplo introdutório ao Método da Flexibilidade.
Este é tipicamente um problema inverso, isto é, um problema no qual se deseja determi-
nar a causa que provoque um efeito final conhecido. Problemas deste tipo foram propostos
no Caṕıtulo 2 e não apresentam dificuldade adicional. Para sua solução, primeiramente
são escritas as equações que descrevem as condições a serem impostas:
θA = 0 (3.1)
δB = 0 (3.2)
Com o aux́ılio da superposição dos efeitos, explicitada na Figura 3.2, os deslocamen-
tos das equações (3.1) e (3.2) podem ser escritos em função dos deslocamentos de cada
solicitação separadamente:
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42 Cap. 3 - Método das Forças
θqA + θ
MA
A + θ
FB
A = 0 (3.3)
δqB + δ
MA
B + δ
FB
B = 0 (3.4)
Nas equações (3.3) e (3.4) os superescritos indicam a causa dos deslocamentos.
ql /8
2
M
A
F
B
−1
−L/4Θ
Α
FB
δ
Β
FB
δ
Β
Μ
Α
Μ
Α
Α
Θ
Θ
Α
q
δ
Β
q
Deformação
M
A
F
B
q
q
F
B
M
A
Carregamento Momentos
Figura 3.2: Superposição dos efeitos.
Mais uma vez, tirando proveito do comportamento linear da estrutura, pode-se escrever
um deslocamento qualquer causado pela atuação de uma força de módulo x como x vezes
o deslocamento provocado por uma força de módulo unitário, aplicada no mesmo ponto e
com a mesma direção e sentido da força original. Mantendo a nomenclatura utilizada na
Seção 2.6, onde se atribuiu dois ı́ndices a um deslocamento causado por uma força unitária,
o primeiro indicando sua posição e o segundo a sua causa, pode-se então, reescrever as
equações (3.3) e (3.4) em função de deslocamentos causados por forças unitárias como:
θqA + θAA . MA + θAB . FB = 0 (3.5)
δqB + δBA . MA + δBB . FB = 0 (3.6)
Nas equações (3.5) e (3.6), os deslocamentos devidos ao carregamento externo e às
cargas unitárias podem ser determinados, por exemplo, pelo método da carga unitária.
Logo, uma vez determinados estes deslocamentos, as equações acima tomam a forma de
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As Bases do Método 43
um sistema de equações algébricas lineares que, ao ser resolvido, fornece os módulos dos
esforços desejados, MA e FB.
O problema proposto acima pode ser encarado de outra forma. Observando a estrutura
representada na Figura 3.3a e o correspondente diagrama de corpo livre, pode-se concluir
que as reações de apoio desenvolvidas nesta estrutura estaticamente indeterminada são
tais que, além de satisfazerem as equações de equiĺıbrio, fazem com que as restrições
impostas pelos apoios sejam satisfeitas. Isto é, devem ser tais que o deslocamento vertical
em A, B, e C sejam nulos e o deslocamento horizontal, bem como a rotação da tangente à
elástica em A sejam nulos. Estas condições são exatamente as mesmas que as aplicadas ao
problema original da Figura 3.1, logo, resolvendo este problema estão sendo determinados
os módulos de duas componentes de reações de apoio do problema da Figura 3.3 e a
partir de sua determinação podem ser determinados quaisquer esforços internos através
da utilização da superposição de efeitos indicada na Figura 3.2.
H
A
V
A
V
C
B CA
M
A
F
B
(a) (b)
q q
Figura 3.3: a) Estrutura Hiperestática; b) Diagrama de corpo livre.
Através do exemplo acima pode-se introduzir um procedimento genérico para se resol-
ver, isto é, determinar as reações de apoio e esforços internos em estruturas hiperestáticas.
Se o problema original é a resolução de uma estrutura hiperestática, o procedimento
inicial passa a ser a obtenção de uma estrutura isostática auxiliar, através do rompimento
de algumas das vinculações da estrutura hiperestática original. Para que essa estrutura
isostática auxiliar se comporte como a estrutura hiperestática, são introduzidas forças
(ou esforços internos) correspondentes às vinculações rompidas e de módulo inicialmente
desconhecidos, conhecidos como hiperestáticos. Além disso são impostas condições aos
deslocamentos da estrutura auxiliar de forma que sejam compat́ıveis com as vinculações
da estrutura original, isto é, que os deslocamentos correspondentes a direção dos hipe-
restáticos sejam nulos. São estas condições que dão origem às chamadas equações de com-
patibilidade de deslocamentos, que possibilitam a determinação das forças inicialmente
desconhecidas.
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44 Cap. 3 - Método das Forças
3.2 Grau de Indeterminação Estática
Um dos primeiros passos no Método das Forças é a determinação do número de v́ınculos a
serem rompidos para a obtenção de uma estrutura isostática auxiliar. Este número é cha-
mado grau de indeterminação estática, ou grau de hiperestaticidade ou mais simplesmente
grau hiperestático da estrutura.
Existem duas origens no excesso de v́ınculos que levam uma estrutura a ser estatica-
mente indeterminada. Um deles é o excesso de vinculações externas, isto é, o excesso de
componentes de reações de apoio. Quando isto acontece, como mostrado na Figura 3.4
diz-se que a estrutura possui uma hiperestaticidade externa (gext).
MA
MB
MA
MB
FB
M
CMC
g = 1
ext
B
M
BA
g = 3
ext
A B
B
M
F
B
Figura 3.4: Grau de hiperestaticidade externa.
Por outro lado, a estrutura pode ser estaticamente indeterminada, apesar de não ter
viculações externas em excesso. Isto acontece, como mostrado na Figura 3.5, quando a es-
trutura possui uma parte fechada com vinculações internas excessivas. Quando isto ocorre,
mesmo que sejam determinadas as componentes de reação de apoio para um determinado
carregamento, não é posśıvel a determinação dos esforços internos ao longo de todas as
barras da estrutura. Neste caso, diz-se que a indeterminação é interna (gint).
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Grau de Indeterminação Estática 45
A
E
D
B
C
C E
C E
BA
D
g = 3
int
MQ
N N
M Q
g = 1
int F F
FF
Figura 3.5: Grau de hiperestaticidade interna.
É bastante comum nas estruturas usuais que os dois tipos de indeterminação apareçam
simultaneamente, neste caso, o grau de indeterminação será a soma dos graus de indeter-
minação interna e externa (g = gext + gint).
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46 Cap. 3 - Método das Forças
3.3 A Sistematizaçãodo Método
Depois de determinado o grau de indeterminação estática da estrutura, N , é obtida uma
estrutura isostática, chamada sistema principal, a partir da liberação de N vinculações.
Correspondendo aos v́ınculos rompidos, são introduzidas forças ou esforços internos, os
hiperestáticos, numerados de 1 a N . O deslocamento na direção do hiperestático i é
representado genericamente por δi, independente de se tratar de deslocamentos lineares
ou angulares, logo as equações de compatibilidade de deslocamentos podem ser escritas
como:
δ1 = 0
δ2 = 0
...
δN = 0
(3.7)
Os deslocamentos δi indicados acima, são provenientes da superposição da atuação da
solicitação externa e dos hiperestáticos, cujas magnitudes são representadas genericamente
por Xi, independendo de os mesmos serem forças ou momentos. É utilizado, então, o
prinćıpio da superposição dos efeitos, onde um efeito elástico qualquer, E, da estrutura
hiperestática é representado como uma superposição dos efeitos da solicitação externa
(identificada pelo ı́ndice 0) e dos hiperestáticos, atuando na estrutura auxiliar. Desta
forma pode-se escrever:
E = E0 + E1.X1 + E2.X2 + . . . + EN .XN (3.8)
Na expressão (3.8) Ei representa o efeito elástico em questão provocado por uma força
unitária na direção e sentido do hiperestático i; Xi a magnitude do referido hiperestático,
e, portanto, Ei.Xi a contribuição do hiperestático i no calculo do efeito E.
A equação (3.8) pode ser escrita de forma mais compacta como:
E = E0 +
N
∑
i=1
Ei.Xi (3.9)
Analogamente à nomenclatura introduzida na Seção 2.6, o deslocamento na direção
do hiperestático i, provocado pela aplicação do hiperestático j com módulo unitário é
escrito como δij , logo δij .Xj representa a contribuição do hiperestático j no cálculo do
deslocamento na direção i. O deslocamento provocado pela solicitação externa na direção
i é representado como δi0.
A notação adotada permite que as equações de compatibilidade sejam reescritas, su-
perpondo os efeitos da solicitação externa e de todos os hiperestáticos, como:
δ10 +δ11.X1 +δ12.X2+ . . . +δ1N .XN = 0
δ20 +δ21.X1 +δ22.X2+ . . . +δ2N .XN = 0
...
...
...
...
...
δN0 +δN1.X1 +δN2.X2+ . . . +δNN .XN = 0
(3.10)
Uma vez determinados os deslocamentos δij a expressão acima caracteriza um sistema
de N equações algébricas lineares e N incógnitas, as magnitudes dos hiperestáticos, que
pode ser reescrito sob forma matricial como:
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A Sistematização do Método 47






δ11 δ12 . . . δ1N
δ21 δ22 . . . δ2N
...
...
. . .
...
δN1 δN2 . . . δNN






.











X1
X2
...
XN











= −











δ10
δ20
...
δN0











(3.11)
Ou de forma ainda mais condensada como:
[ δ ] . {X} = −{δ0} (3.12)
onde a matriz [ δ ] é chamada de matriz de flexibilidade e o vetor {δ0} é o vetor dos termos
de carga.
A resolução deste sistema de equações algébricas lineares, fornece a magnitude dos
hiperestáticos e a partir de sua determinação podem ser obtidos esforços, ou qualquer
outro efeito elástico, em qualquer ponto da estrutura, utilizando mais uma vez a expressão
(3.8).
3.3.1 Determinação dos coeficientes de [ δ ]
Os coeficientes δij da matriz de flexibilidade podem ser obtidos por diversos procedimentos,
porém, ao longo deste texto é utilizado o método da carga unitária. Desta forma eles são
calculados através da integração do produto dos diagramas resultantes da aplicação dos
hiperestáticos Xi e Xj com valores unitários no sistema principal.
δij =
barras
∑
(
∫
l
NiNj
EA
ds +
∫
l
MiMj
EI
ds +
∫
l
χQiQj
GA
ds +
∫
l
TiTj
GJt
ds
)
(3.13)
As mesmas considerações e simplificações feitas no Caṕıtulo anterior sobre o cálculo
de deslocamentos são mais uma vez aplicadas.
Tendo em vista o Teorema da Reciprocidade dos Deslocamentos, pode-se concluir que
δij = δji, isto é, a matriz de flexibilidade é simétrica em relação a sua diagonal principal.
Este fato permite que seja economizado grande esforço no cálculo de seus coeficientes.
3.3.2 Determinação dos coeficientes de {δ0}
Quando se trata de solicitações por carregamentos externos, os coeficientes δi0 são também
obtidos de acordo com a equação (3.13). Neste caso, é realizada a integração do produto
dos diagramas resultantes da aplicação dos hiperestáticos Xi, com valor unitário, pelos
diagramas resultantes da aplicação do carregamento externo, ambos no sistema principal.
No caso de se tratar de ações indiretas, a única diferença é que os coeficientes δi0
passam a ser calculados com base nas expressões espećıficas já desenvolvidas, isto é:
• Variação de temperatura (em barras de seção transversal constante):
δi0 =
α(ti − te)
h
AM i + αtcgAN i (3.14)
• Recalques de apoio:
δi0 = −
∑
Rkρk (3.15)
• Deformação imposta (variação do comprimento):
δi0 = ∆l . Ni (3.16)
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48 Cap. 3 - Método das Forças
Exemplo
Determinar os diagramas de esforço cortante e momentos fletores para a viga cont́ınua
mostrada na Figura 3.6, abaixo.
1,5EI 2,0EI
6m 4m 2m
A B C D EF
4m 4m
3kN/m
2kN/m2kN/m
EI
Figura 3.6: Viga cont́ınua, com inércia constante por vão.
Inicialmente, adota-se o SP indicado na Figura 3.7, sendo mostrados na mesma figura
os respectivos diagramas para a aplicação dos hiperestáticos com valor unitário e para o
carregamento externo.
Sistema
Principal
X
1
X
3
X
2
M
1
−1
M2
−1
M0
M3
−4
24
9
4
−1
Figura 3.7: Sistema Principal e diagramas de momento fletor no SP.
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A Sistematização do Método 49
Utilizando EIc = EI, chega-se aos seguintes comprimentos (elásticos) de integração
das barras: l′AB = 6.
EI
1,5EI
= 4m, l′BC = 8.
EI
2EI
= 4m, l′CD = 4m.
Desta forma os deslocamentos necessários para a obtenção das equações de compatibi-
lidade podem ser obtidos com a utilização da tabela 2.2 chegando-se a:
EIcδ11 =
1
3
.4.1.1 = 4
3
EIcδ10 = −13 .4.9.1 = −363
EIcδ12 =
1
6
.4.1.1 = 2
3
EIcδ20 = −13 .4.9.1 − 13 .4.24.1 = −1323
EIcδ13 = 0 EIcδ30 = −13 .4.24.1 − 13 .4.4.1 + 16 .4.4.1 = −1043
EIcδ22 = 2.
1
3
.4.1.1 = 8
3
EIcδ23 =
1
6
.4.1.1 = 2
3
EIcδ33 = 2.
1
3
.4.1.1 = 8
3
As equações de compatibilidade de deslocamentos, (3.10), podem, então, ser escritas
matricialmente para o problema em questão, como:



4 2 0
2 8 2
0 2 8








X1
X2
X3





=





36
132
104





(3.17)
Podendo ser resolvidas para os hiperestáticos, fornecendo, aproximadamente: X1 =
2, 23, X2 = 13, 54 e X3 = 9, 62. Desta forma, mais uma vez utilizando a superposição de
efeitos, o diagrama de momentos fletores pode ser obtido como:
M = M0 + 2, 23M1 + 13, 54M2 + 9, 62M3, (3.18)
sendo representado na Figura 3.8.
−2,23
9
−13,54
24
−9,62
4
−4
Figura 3.8: Diagrama de momentos fletores na estrutura original para carregamento ex-
terno - M .
De maneira inteiramente análoga, o diagrama de esforços cortantes pode ser obtido
como:
Q = Q0 + 2, 23Q1 + 13, 54Q2 + 9, 62Q3, (3.19)
sendo necessária, primeiramente a determinação dos diagramas Q0, Q1, Q2, Q3 no sistema
principal, que são mostrados a seguir, na Figura 3.9, juntamente com o diagrama final.
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−6
−12
43
−5
12
6
Q0
Q
11/6
Q2
−1/6
1/8
1/4
−1/8
Q3
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Q
4
−2,6
4,11
−7,89
−11,51
5,40
12,49
Figura 3.9: Diagramas de esforços cortantes, no sistema principal e na estrutura original.
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Cálculo de deslocamentos 51
3.4 Cálculo de Deslocamentos
Sendo uma aplicação do PTV, o método da carga unitária, desenvolvido no Caṕıtulo 2,
não se limita a estruturas isostáticas, podendo também ser aplicado ao cálculo de desloca-
mentos em estruturas hiperestáticas. Entretanto, a aplicação direta deste método a este
tipo de estrutura levaria a resolução da estrutura hiperestática para dois carregamentos
distintos, o que pode ser evitado com as simplificações decorrentes do desenvolvimento
mostrado a seguir.
3.4.1 Carregamento Externo
De acordo com a equação (2.11), para se calcular um deslocamento, ∆ em uma estrutura,
devido a um carregamento externo aplicado, o primeiro passo é conhecer os diagramas na
estrutura (agora hiperestática), referentes a aplicação do tal carregamento externo (M , N ,
Q e T ) e da carga unitária correspondente ao deslocamento em questão (M , N , Q e T ).
Para simplificar as expressões do desenvolvimento que se segue, é tomada uma estrutura
na qual os deslocamentos podem ser bem aproximados exclusivamente pelo cálculo da
contribuição das deformações por flexão. Isto é, supõe-se que a expressão (2.11) se resume
a:
∆ =
barras
∑
(
∫
l
MM
EI
ds
)
(3.20)
A consideração de outras parcelas, caso sejam necessárias, se dá de maneira inteira-
mente análoga ao procedimento que se segue.
Primeiramente, utiliza-se a superposição de efeitos expressa na equação (3.8) para
representar o diagrama M como:
M = M 0 + X1.M1 + X2.M2 + . . . (3.21)
Onde X i representa genericamente o valor do hiperestático i, devido a aplicação da carga
unitária do EC correspondente ao deslocamento desejado, na estrutura hiperestática origi-
nal; M 0 representa o diagrama de momentos fletores para a aplicação da carga unitária
no sistema principal; e Mi, conforme nomenclatura já utilizada, representa o diagrama de
momentos fletores devido a aplicação do hiperestático i, com valor unitário.
Desta forma a equação (3.20) pode ser reescrita como:
∆ =
barras
∑
(
∫
l
MM 0
EI
ds + X1
∫
l
MM1
EI
ds + X2
∫
l
MM2
EI
ds + . . .
)
(3.22)
Pode-se ainda utilizar a superposição de efeitos para expandir o diagrama de momentos
fletores M como:
M = M0 + X1.M1 + X2.M2 + . . . (3.23)
Substituindo a expressão (3.23), em todas as integrais do segundo membro da expressão
(3.22) com excessão da primeira, obtém-se:
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52 Cap. 3 - Método das Forças
∆ =
barras
∑
[
∫
l
MM 0
EI
ds
+X1
∫
l
(M0 + X1.M1 + X2.M2 + . . .) M1
EI
ds
+X2
∫
l
(M0 + X1.M1 + X2.M2 + . . .) M2
EI
ds + . . .
]
(3.24)
Pode-se, reescrever a equação (3.24), expandindo as expressões entre parênteses para
obter:
∆ =
barras
∑
[
∫
l
M . M0
EI
ds
+X1
(
∫
l
M0M1
EI
ds + X1
∫
l
M1M1
EI
ds + X2
∫
l
M2M1
EI
ds + . . .
)
+X2
(
∫
l
M0M2
EI
ds + X1
∫
l
M1M2
EI
ds + X2
∫
l
M2M2
EI
ds + . . .
)
+ . . .
]
(3.25)
Utilizando a expressão (3.13), a equação (3.25) pode ser reescrita em função dos des-
locamentos δij :
∆ =
barras
∑
[
∫
l
MM 0
EI
ds
+X1 (δ10 + X1δ11 + X2δ12 + . . .)
+X2 (δ20 + X1δ21 + X2δ22 + . . .) + . . .
]
(3.26)
Observando a expressão (3.11), pode-se perceber que termo entre parênteses que multi-
plica o i-ésimo hiperestático, X i, na expressão (3.26), corresponde ao primeiro membro da
i-ésima equação de compatibilidade. Como os hiperestáticos Xi devem ser tais que satis-
façam estas equações de compatibilidade, conclui-se que, na equação (3.26), as expressões
entre parênteses são nulas. Assim, a expressão (3.25) pode ser simplificada, obtendo-se:
∆ =
barras
∑
∫
l
MM 0
EI
ds (3.27)
Se no desenvolvimento acima fossem considerados todos os termos da expressão (2.11)
seria obtida a expressão:
∆ =
barras
∑
(
∫
l
NN 0
EA
ds +
∫
l
MM 0
EI
ds +
∫
l
χQQ0
GA
ds +
∫
l
TT 0
GJt
ds
)
(3.28)
Através de procedimento análogo ao desenvolvido para a obtenção da expressão (3.27),
utilizando inicialmente a superposição dos efeitos para representar M e posteriormente
para M obtém-se a expressão (3.29), mostrada a seguir.
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Cálculo de deslocamentos 53
∆ =
barras
∑
(
∫
l
N0N
EA
ds +
∫
l
M0M
EI
ds +
∫
l
χQ0Q
GA
ds +
∫
l
T0T
GJt
ds
)
(3.29)
As expressões (3.28) e (3.29) mostram que, para o cálculo de deslocamentos em es-
truturas hiperestáticas, ao invés de se tomar os diagramas do EC e do ED na estrutura
hiperestática original, pode-se tomar um conjunto de diagramas (para o EC ou para o
ED) na estrutura original enquanto o outro é tomado no sistema principal. Esta con-
clusão, como antecipado anteriormente, diminui consideravelmente o trabalho algébrico
na determinação de deslocamentos em esrtuturas hiperestáticas.
Um aspecto importante no desenvolvimento acima é que não teve a necessdade de espe-
cificar um sistema principal, portanto pode-se adotar qualquer sistema principal, indepen-
dente do que eventualmente tenha sido escolhido na resolução da estrutura originalmente.
Exemplo
Considerando a viga cont́ınua do exemplo da página 48, Figura 3.6, calcular o deslocamento
vertical do ponto médio do vão BC (ponto F ).
Sem a utilização da simplificação desenvolvida na seção anterior, para o cálculo do
deslocamento desejado, deveria se calcular o diagrama de momentos fletores da estrutura
original e integrar seu produto com o diagrama M . Com fins exclusivamente didáticos,
será mostrado a seguir este procedimento para ilustrar a quantidade de trabalho algébrico
suprimido com o desenvolvimento realizado.
Para o cálculo de M deve-se primeiramente aplicar a carga unitátia no sistema princi-
pal, obtendo odiagrama M 0, mostrado na Figura 3.10
M
0
P=1
2
A
F
B C D E
Figura 3.10: Diagrama para o EC no sistema principal - M 0 .
Integrando o diagrama M 0 com os diagramas M 1, M 2 e M 3, podem ser obtidos:
δ10 = 0
δ20 = −16 .4.1.2(1 + 0, 5) = −63
δ30 = −16 .4.1.2(1 + 0, 5) = −63
que levam ao sistema:



4 2 0
2 8 2
0 2 8








X1
X2
X3





=





0
6
6





(3.30)
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54 Cap. 3 - Método das Forças
Queresolvido, fornece X1 = −0, 346, X2 = 0, 692 e X3 = 0, 577 que resulta no
diagrama M mostrado na Figura 3.11.
M
P=1
A
F
B C D E
−0,692
−0,577
2
1,366
0,346
Figura 3.11: Diagrama do EC na estrutura hiperestática original - M .
De acordo com a equação (3.20) pode-se finalmente obter o deslocamento desejado,
realizando as intergações indicadas, como:
EIc.δ = EIc
barras
∑
(
∫
MM
EI
ds
)
= 33, 69
δ =
33, 69
EIc
Utilizando a simplificação traduzida pela Equação (3.29), pode-se calcular o desloca-
mento desejado como:
EIc.δ =
barras
∑
∫
l
M0M
EI
ds
=
1
3
.4.9(0, 346 − 0, 692) + 1
3
.4.2.24(1 + 0, 25) − 1
3
.4.24(0, 692 + 0, 577)
+
1
6
.4.4.0, 577 − 1
3
.4.4.0, 577
= −4, 15 + 80, 00 − 40, 608 + 1, 539 − 3, 077 = 33, 70
δ =
33, 70
EIc
De maneira análoga, utilizando a Equação (3.27), pode-se calcular o deslocamento
desejado como:
EIc.δ =
barras
∑
∫
l
MM 0
EI
ds
=
1
6
.4.2 [13, 54(1 + 0, 5) + 9, 62(1 + 0, 5)] +
1
3
.4.2.24(1 + 0, 25)
= −46, 32 + 80 = 33, 68
δ =
33, 68
EIc
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Cálculo de deslocamentos 55
Vale lembrar que poderia ter sido utilizado qualquer SP para o cálculo dos diagramas
isostáticos, por exemplo poderia ter sido utilizado o diagrama mostrado na Figura 3.12
para a obtenção do deslocamento desejado como:
A B F C D E Sistema
Principal
M
0
−10
−4
Figura 3.12: Diagrama do EC em um sistema principal alternativo.
EIc.δ =
barras
∑
∫
l
MM 0
EI
ds
=
1
6
.4 [10(2.2, 23 + 13, 54) + 4(2.13, 54 + 2, 23)] − 1
3
.4.9(10 + 4)
+
1
6
.2.(−4) [2(−13.54) + 12.42] − 1
3
.2.4.6 =
= 198, 16 − 168 + 19.55 − 16 = 33, 71
δ =
33, 71
EIc
3.4.2 Ações Indiretas
O procedimento adotado para a obtenção da expressão (3.27) pode ser adotado, de maneira
análoga, para a determinação de expressões similares para o cálculo de deslocamentos em
estruturas hiperestáticas causados por ações indiretas. Desta forma podem ser obtidas as
seguintes expressões:
• Variação de temperatura:
∆ =
α(ti − te)
h
AM + αtcgAN (3.31)
=
α(ti − te)
h
AM0 + αtcgAN0
+
barras
∑
(
∫
l
NN 0
EA
ds +
∫
l
MM 0
EI
ds +
∫
l
χQQ
0
GA
ds +
∫
l
TT 0
GJt
ds
)
(3.32)
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56 Cap. 3 - Método das Forças
• Recalques de apoio:
∆ = −
∑
Rkρk (3.33)
= −
∑
Rk0ρk
+
barras
∑
(
∫
l
NN 0
EA
ds +
∫
l
MM 0
EI
ds +
∫
l
χQQ
0
GA
ds +
∫
l
TT 0
GJt
ds
)
(3.34)
3.5 Verificação de Diagramas
Na resolução de qualquer tipo de problema é conveniente dispor de procedimentos para
verificação dos resultados alcançados. Especificamente em relação ao problema da edter-
minação de diagramas de esforços internos em estruturas estaticamente indeterminadas
o trabalho algébrico envolvido no processo é considerável, o que tona este procedimento
suscept́ıvel a erros. Desta forma, desenvolve-se a seguir um procedimeto para esta veri-
ficação.
A idéia utilizada é a de faze-lo de maneira indireta, através do cálculo de deslcamentos.
Calcula-se através da equação (3.27) um deslocamento conhecido a priori, usualmente
nulo. Para tanto necessita-se integrar os diagramas em questão com os do EC isostático
submetido ao carregamento unitário correspondente. Estes últimos, por serem diagramas
de um SP, podem ser obtidos facilmente.
Caso o deslocamento obtido seja diferente do conhecido, pode-se concluir que o dia-
grama não está correto, por outro lado, caso o deslocamento coincida com o deslocamento
esperado supõe-se que o diagrama está correto.
O exemplo a seguir ilustra o que foi descrito acima.
Exemplo
Verificar o diagrama obtido para a viga cont́ınua do exemplo anterior.
Usualmente se utiliza como deslocamento conhecido um deslocamento restringido por
um dos apoios da estrutura. Desta forma pode-se verificar o diagrama da Figura 3.8,
utilizando o sistema principal da Figura 3.12 e calculando o deslocamento vertical do
ponto B.
δB = 0 =
∫
MM 0
EI
ds (3.35)
Adotando o EC mostrado na Figura 3.13 obtem-se como diagrama M 0 o mostrado a
seguir:
A expressão 3.35 pode então ser escrita como:
EIc.δB =
1
6
.4.6(2.2, 23 + 13, 54) − 1
3
.4.6.9
= 72 − 72 = 0
O que indica que o diagramama obtido inicialmente estaria correto. Entretanto, uma
vez que a integração realizada se restringe ao trecho AB, qualquer que fosse o resultado
obtido para o trecho BE o resultado para a integração acima seria o mesmo, isto é,
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Verificação de Diagramas 57
6m 4m 2m4m 4m
M
0
−6
Sistema
Principal
P=1
Figura 3.13: Sistema principal para verificação de diagrama em estrutura estaticamente
indeterminada.
calculando o deslocamento vertical em B com o sistema principal acima proposto só se
pode concluir que o diagrama entre A e B está correto.
Uma vez que a escolha do SP é livre, poderia se ter escolhido o SP da figura abaixo
que proporcionaria, com o cálculo do mesmo deslocamento uma verificação mais completa
do diagrama em questão.
M0
4
1,333
Sistema
Principal
P=1
Figura 3.14: EC no sistema principal para verificação de diagrama em estrutura estatica-
mente indeterminada.
Com este SP seria obtido:
EIc.δB = −
1
6
.4.4(2, 23 + 2.13, 54) +
1
3
.4.4.9
−1
6
4. [4(2.13, 54 + 9, 62) + 1, 333(13, 54 + 2.9, 62)] +
1
3
4.24.(4 + 1, 333)
−1
6
4.1, 333(2.9, 62 + 4) +
1
3
4.1, 333.4
= −78, 16 + 48 − 126, 99 + 170, 65 − 20, 65 + 7, 11
= −0.04 ≈ 0
O erro encontrado na avaliação do deslocamento acima se deve a aproximação na ob-
tenção dos hiperestáticos. Caso se utilizasse um maior número de algarismos significativos
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58 Cap. 3 - Método das Forças
na resolução do sitema resultante das equações de compatibilidade, teriam sido obtido os
valores:
X1 = 2, 23077
X2 = 13, 5385
X3 = 9, 6154
Refazendo as contas com estes valores chega-se a EIcδB ≈ 0, 0006.
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Exerćıcios Propostos 59
3.6 Exerćıcios Propostos
1) Para as estruturas mostradas abaixo determine o grau de indeterminação estática.
Especificamente para as estruturas dos ı́tens (e) e (f) proponha um sistema principal,
indicando os hiperestáticos e explicando o significado f́ısico dos deslocamentos anulados
nas correspondentes equações de compatibilidade.
(a)
(b)
(e)
(c)
(d)
(f)
2) Determine, para a estru-
tura e caregamento indica-
dos ao lado, o DMF, calcu-
lando seus valores extremos.
Dados:
E = 30GPa; 2m 6m 2m 2,4m 5,6m
h = 1,0m h = 0,8m
10KN/m
8KN/m
1,4m
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60 Cap. 3 - Método das Forças
3) Para a estrutura e car-
regamento representados ao
lado, determine o DMF.
Dados:
EI = 105KN.m2;
K = 104KN/m;
q1 = 2 q2 = 4KN/m;
P1 = 2 P2 = 10KN
P
1
P
2
q
1
q
2
5m 1m 2m 1m 1m
K
4) Tendo em vista o quadro ao lado, de-
termine:
1. o momento fletor em C;
2. a variação do comprimento que se
deve impor a barra BD para que o
momento fletor resultante em C se
anule.
Dados:
EI = 2 EABD
4m 4m
6m
3m
1 KN/m
2 KN/m
A
B D
E
C
5) Sabendo que, para a estrutura mostrada ao lado,
EI =
√
2EA = 2 . 104KN.m2, determine o diagrama
deesforços normais , devido:
1. ao carregamento indicado;
2. ao encurtamento do tirante superior de 2cm.
4m
4m
5 KN/m
4m
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Exerćıcios Propostos 61
6) Ao lado da estrutura, representada abaixo, é mostrado um diagrama de momentos
fletores. Pede-se verifica-lo, isto é, determinar se corresponde ao carregamento indicado
na figura.
2KN/m
2KN/m
4m 4m
EI
5EI/9 5EI/9
EI
3m
6m
28 28
9 9
8,5
8,5
7) Considerando a estrutura ao lado como uma viga engastada e apoiada em que se
introduziu um reforço (barras BF , CF e DF ), determine:
1. os momentos fletores MA e MC para o carregamento indicado;
2. a variação percentual dos momentos indicados com a introdução do reforço;
EIAE = 50.000KN.m
2
EACF = 25.000KN
EABF = 10.000KN
EADF = 10.000KN
2m 6m 2m6m
2KN/m
D
F
A
B C
E
2,5m
8) Para a estrutura abaixo, determine:
1. o diagrama de momentos
fletores para o carrega-
mento indicado;
2. a variação de MC cal-
culado no ı́tem anterior
quando o apoio em D é
substituido por um apoio
elástico com
Kh = 2.10
3KN/m e
Kv = 8.10
3KN/m;
3. MB para um recalque
vertical para baixo de
1cm do apoio A.
3KN/m
2KN/m2KN/m
K
B
D
C
3m 3m
A
4m
3m
Dado: EI = 5.104KN.m2
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62 Cap. 3 - Método das Forças
9) Tendo em vista a estrutura abaixo, pede-se:
1. o momento fletor em B para o carregamento indicado;
2. o esforço normal na barra CE para um aumento de 1cm em seu comprimento;
3. a variação do comprimento que se deve impor a barra CE (explicitando se alon-
gamento ou encurtamento) para reduzir em 40% o momento fletor obtido no ı́tem
1.
2
KN.m
8m 8m10m 8m
EA = 12.500 KN
EI = 50.000 
B C
D
E
A
4m
q= 6 KN/m
q= 3 KN/m
F G
8m
10) Para a grelha abaixo, com apoios em A, C, D e E, determine:
1. a posição e o valor do máximo momento fle-
tor na barra DE, quando a estrutura está
submetida ao seu peso próprio (4KN/m);
2. a reação vertical em D para uma variação
de temperatura de −10oC nas fibras inferi-
ores e de 10oC nas fibras superiores, sendo
α = 10−5/oC e h = 20cm;
3. a variação percentual da reação calculada
no ı́tem anterior, quando o apoio C é
substituido por um apoio elástico (K =
103KN/m).
2
KN.m
2
KN.m
4m 1m 3m 2m
2m
A B C
D
E
EI = 10.000
GJ = 5.000
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