Teoria das Estruturas II

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Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Conteúdo: Módulo 8 : Aula 4
Profº.: MSc. Ederaldo da Silva Azevedo
2. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS:
• A idéia do método:
• As incógnitas deste método serão, os deslocamentos angulares
(ângulos de rotação) e os deslocamentos lineares sofridos pelos
nós das diversas barras.
• Podemos resumir os métodos das forças e dos deslocamentos para
aplicação à estruturas hiperestáticas como:
• Método das forças: determinação de seus esforços para, a partir
deles, obter os deslocamentos(deformações), impondo como incógnitas
os esforços em vínculos.
• Método dos deslocamentos: determinação dos
deslocamentos(deformações) sofridas pelos NÓS e apoios das
diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obter os
diagramas de esforços solicitantes da estrutura.
2. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS:
A idéia do método:
• O método pode ser usado para analisar qualquer estrutura, isostática ou
hiperistática;
• A única estrutura que não pode ser resolvida por este método é a viga
bi-engastada;
• Este método é mais conveniente para utilização em programas
computacionais do que o Método das Forças;
• O método que mais embasa os programas computacionais de análise
de uma estrutura é o método dos elementos finitos(complexo), o
segundo é o método dos deslocamentos (base do ftool)
2. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS:
• A idéia do método:
• Portanto neste método determinam-se inicialmente os deslocamentos
e indiretamente, a partir destes, os esforços(reações, momentos), as
incógnitas são os deslocamentos nos NÒS rígidos.
• O esquema de solução por este método também recai sobre um sistema
de equações lineares (de ordem n, a depender do número de vínculos
que precisem ser extraídos ou deslocamentos a serem impedidos).
• Para o entendimento da sistemática do método dos deslocamentos é
necessário o conhecimento de indeterminação cinemática(Grau de
liberdade) e rigidez, apresentado a seguir.
2. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS:
• Indeterminação Cinemática e Rigidez:
• a) Indeterminação Cinemática(grau de liberdade)
• A indeterminação cinemática consiste no número de restrições (vínculos)
necessárias para eliminar os deslocamentos dos nós da estrutura, ou seja,
representa o número de graus de liberdade da estrutura independentes.
• Como exemplo temos as figuras 1 e 2. Na figura 1 é apresentada as
possibilidades de translação e rotação dos nós de uma viga.
Dois apoios de 1º gênero na
fig. 1 ao lado.
2. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS:
a) Indeterminação Cinemática
• A figura 2 apresenta, em idéia, o esquema de solução pelo método dos
deslocamentos, expondo todas as deslocabilidades dos nós(nós
internos rígidos(C e D)) da estrutura do tipo pórtico mostrada.
C D
2. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS:
• Análise das deformações da figura 2 acima:
• 1. O Pórtico (0) demonstra uma deformação para cima em função da
carga distribuída de baixo para cima;
• 2. O Pórtico (1) demonstra o deslocamento (D1) horizontal no NÓ “C”;
• 3. O Pórtico (2) demonstra o deslocamento (D2) vertical no NÓ “C”;
• 4. O Pórtico (3) demonstra as rotações (D3) que sofre o NÓ “C”;
• 5. O Pórtico (4) demonstra o deslocamento (D4) horizontal no NÓ
“D”;
• 6. O Pórtico (5) demonstra o deslocamento (D5) vertical no NÓ “D”;
• 7. O Pórtico (6) demonstra as rotações (D6) no NÓ “D”;
• 8. O Pórtico (7) demonstra a rotação (D7) no apoio de 2 gênero B;
2. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS:
• Indeterminação Cinemática e Rigidez:
• a) Indeterminação Cinemática/Grau de liberdade
• As estruturas reticuladas*, que são formadas por barras ligadas por
pontos nodais denominados “NÓS”, o número de incógnitas será o
número de deslocamentos nodais ou o número total de “graus de
liberdade” (GL) de todos os nós da estrutura.
• Define-se GRAU DE LIBERDADE de um nó a direção possível deste se
deslocar. No caso de estruturas planas, no plano XY (Figura-1a), existem
três direções possíveis de deslocamento para cada nó: translação
paralela ao eixo X; translação paralela ao eixo Y e rotação em torno do
eixo Z (Figura - 1b).
a) Indeterminação Cinemática/grau de liberdade
• GRAU DE LIBERDADE
• No caso de vigas, não serão considerados deslocamentos axiais(forças
horizontais), portanto cada nó terá apenas 2GL(Grau de Liberdade):
translação paralela ao eixo Y (1) e rotação em torno do eixo Z (2) (Figura
2).
Obs.: Quando existirem forças horizontais
aplicadas nas vigas, estas serão modeladas
como pórtico plano.
a) Indeterminação Cinemática/grau de liberdade
• GRAU DE LIBERDADE
• Para estruturas reticuladas*, o único sistema principal possível é
obtido pela consideração de todos os nós. É por isto que este método é
mais conveniente para utilização em programas computacionais de que o
Método das Forças(que considera sistema principal e sistema virtuais).
• *As estruturas reticuladas são divididas em elementos ligados entre si
por pontos nodais denominados NÓS, aonde se supõem concentradas
todas as forças de ligação entre elementos.
• As ações e deslocamentos são discretizados nos NÓS e a composição
destes elementos para constituir a estrutura resulta em um sistema de
equações algébricas que é tratado matricialmente.
a) Indeterminação Cinemática/grau de liberdade
• GRAU DE LIBERDADE
• No caso do método dos deslocamentos, estas equações são equações de
equilíbrio de forças em torno dos nós. Uma estrutura com N nós, em que cada nó
tem M graus de liberdade (GL), resultará em um sistema de N×M equações
algébricas, incluindo-se as direções restringidas por vínculos.
• O pórtico da Figura 3-3a apresenta 6 graus de liberdade, enquanto o da Figura 3-
3b apresenta 10 graus de liberdade.
a) Indeterminação Cinemática/grau de liberdade
• DESLOCABILIDADE
• Assim as Deslocabilidades são o mesmo que Graus de liberdades e
correspondem as componentes de deslocamentos e rotações nodais
que estão livres(grau de liberdade), isto é, que devem ser conhecidas
para determinar a configuração deformada de uma estrutura.
• Dessa forma, as deslocabilidades são os parâmetros que definem
(completamente) a configuração deformada de uma estrutura. As
deslocabilidades são as incógnitas do Método dos Deslocamentos.
a) Indeterminação Cinemática/grau de liberdade
• DESLOCABILIDADE
• Vamos utilizar a seguinte notação:
• Di→deslocabilidade de uma estrutura: componente de
deslocamento(linear) ou rotação livre (não restrita por apoio) em um nó
da estrutura, na direção de um dos eixos globais.(eixo cartesiano
padrão: coordenada “x” horizontal e coordenada “y” vertical.
• Sistema Hipergeométrico (SH): é o nome do modelo estrutural utilizado
nos casos básicos que corresponde a uma estrutura cinematicamente
determinada obtida a partir da estrutura original pela adição de vínculos
(nos graus de liberdade) na forma de apoios fictícios.
DESLOCABILIDADE
• Sistema Hipergeométrico (SH):
• O SH correspondente à estrutura da Figura 6.1 é mostrado na Figura 6.2. Os
apoios fictícios adicionados à estrutura para impedir (prender) as
deslocabilidades são numerados de acordo com a numeração das deslocabilidades.
Isto é, o apoio 1 impede a deslocabilidade D1, o apoio 2 impede a deslocabilidade
D2, o D3 é representado por um retângulo impede a deslocabilidade angular e
assim por diante.
DESLOCABILIDADE
• Sistema Hipergeométrico (SH):
• No exemplo mostrado na Figura 6.1 e 6.2, D1 e D4 são deslocamentos
horizontais dos nós superiores, D2 e D5 são deslocamentos verticais dos nós
superiores, D3 e D6 são rotações dos nós superiores e D7 é a rotação do nó
inferior direito. As demais componentes de deslocamentos e rotação não são
deslocabilidades livres pois são restritas por apoios.
DESLOCABILIDADE
• Uma estrutura que tem todas as suas deslocabilidades definidas (com
valores conhecidos) é denominada estrutura cinematicamente
determinada.
• O modelo estrutural utilizado nos casos básicos é o de uma estrutura
cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura original pelaadição de vínculos na forma de apoios fictícios. Como já vimos esse
modelo é chamado de Sistema Hipergeométrico (SH).
• A Estrutura (SH) corresponde ao engastamento completo de todos os
nós, que na verdade, a técnica é utilizada com objetivo de isolar as
diversas componentes cinemáticas da estrutura, isto é, isolar os efeitos
de cada uma de suas deslocabilidades.
DESLOCABILIDADE
• Conforme discutido anteriormente, as incógnitas no Método das Forças são os
hiperestáticos (Xi), que são forças e momentos associados a vínculos
excedentes à determinação estática da estrutura. Por outro lado, as incógnitas do
Método dos Deslocamentos são as deslocabilidades(Di), que são
componentes de deslocamentos e rotações nodais que definem a configuração
deformada da estrutura.
• Com respeito à estrutura utilizada nas soluções básicas, no Método das Forças
essa estrutura é o Sistema Principal(0) que é uma estrutura estaticamente
determinada (isostática) obtida da estrutura original pela eliminação dos vínculos
excedentes associados aos hiperestáticos.
• Já o Método dos Deslocamentos a estrutura utilizada nas soluções básicas é o
Sistema Hipergeométrico, que é uma estrutura cinematicamente determinada
obtida da estrutura original pela adição dos vínculos necessários(apoios fictícios)
para impedir as deslocabilidades. Essa comparação evidencia a dualidade entre
os dois métodos.
DESLOCABILIDADE
• Observação importante:
• Enquanto existem vários possíveis Sistemas Principais (Método das
Forças) para uma estrutura, existe somente um Sistema
Hipergeométrico (Método dos Deslocamentos). Isso porque para se
chegar ao Sistema Principal isostático do Método das Forças existem
várias possibilidades para se eliminar vínculos da estrutura e para se
chegar ao Sistema Hipergeométrico só existe uma possibilidade, que é
impedindo todas as deslocabilidades da estrutura.
a) ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO – VIGAS
• Os Esforços de Engastamento Perfeito correspondem aos esforços
gerados(Forças e Momentos), nos apoios(vínculos), conforme tipo de
carregamento, em uma viga hiperistática (bi-engastada ou engastada-
apoiada);
• Existe tabelas denominada de Esforços de Engastamento Perfeito,
que fornece os valores dos momentos(fórmulas) de acordo com o tipo de
carregamento e condições de apoio;
• Os esforços de engastamento perfeito, podem ser encontrados pelo
Método das Forças.
a) ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO –VIGAS
• Exemplo de determinação dos Esforços de Engastamento Perfeito:
• Ex.: Seja a viga bi-engastada com carga distribuída, figura 3-8 abaixo. Têm-se 4
incógnitas (desprezando esforço axial) e 2 equações de equilíbrio estático ou
seja (Gh = 2).
• O sistema principal está mostrado na Figura 3-9, e, por simetria, identificamos
que os hiperistáticos X1 = X2.
a) ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO –VIGAS
• Exemplo de determinação dos Esforços de Engastamento Perfeito:
• Os diagramas de MF do Sistema Principal(0) e Virtual (1) e Virtual (2) ficam conforme
esquema abaixo.
• Efetuando-se a combinação dos diagramas de momentos fletores dos diagramas
acima obtêm-se:
Virtual (1)Sistema principal(0) Virtual (2)
a) ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO –VIGAS
• Exemplo de determinação dos Esforços de Engastamento Perfeito:
• Efetuando-se a combinação dos diagramas de momentos fletores dos diagramas acima,
através da tabela de Kurt Bayer e considerando X1=X2 obtêm-se:
▪ substituindo os valores de “δ” nas equações de compatibilidade e encontramos valores
de X1 e X2 (X1=X2)
a) ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO –VIGAS
• Exemplo de determinação dos Esforços de Engastamento Perfeito:
• Portanto os esforços de engastamento perfeito são os indicados na Figura 3-
10. Como já foi dito anteriormente existem tabelas de esforços de
engastamento perfeito para barras bi-engastadas submetidas a vários tipos de
carregamento que daqui pra frente vamos consultar para aplicação do método
dos deslocamentos.
b) RIGIDEZ DE BARRAS
• Semelhante ao método das forças, a solução pelo método dos deslocamentos se
dá com a consideração de deslocamentos linear ou deslocamentos
angulares(rotações) unitárias, cujas ações resultantes serão forças ou
momentos, valores estes conhecidos como RIGIDEZ ou COEFICIENTES DE
RIGIDEZ. É necessário o conhecimento da rigidez de cada membro da estrutura,
chamadas de rigidez de membro.
• Denominamos RIGIDEZ DE UMA BARRA NUM NÓ ao valor da força ou
momento que, aplicado neste nó, suposto livre para girar, provoca um
deslocamento unitária de valor = 1 do mesmo.
• Os COEFICIENTES DE RIGIDEZ podem também ser encontrados pelo Método
das Forças, impondo-se deslocamentos unitários nos graus de liberdade.
b) RIGIDEZ DE BARRAS
▪ Por Exemplo de cálculo do coeficiente de rigidez num nó: Seja a viga engastada
e apoiada (AB) abaixo(desconsiderar carregamento q). Cuja rigidez no nó B
desejamos determinar.
▪ Conforme a definição, trata-se de determinar o Momento MB(=coeficiente de
rigidez = S11) que deve ser aplicado em B para produzir a rotação θ =1.
▪ Para isso, fixa-se(tornar apoios em engaste) a estrutura e impõe-se um
deslocamento unitário no grau de liberdade=1. A Figura 3-11 mostra que o
sistema principal, (que tem GH=2) com θ =1.
A
B
b) RIGIDEZ DE BARRAS
▪ Exemplo:
▪ Pelo Método das Forças, eliminando-se os vínculos excedentes na viga
acima, obtém-se o sistema principal (Figura 3-12), cujas condições de
compatibilidade são (equações) δ1 = 1(é igual a um pois a rotação se dá
no nó B) e δ2= 0.
BA
b) RIGIDEZ DE BARRAS
▪ Exemplo: o diagrama de momentos da estrutura principal(0) é zero pois não
existe carregamento externo (q = 0) é nulo. O diagrama de momentos devido ao
momento (rotação) unitário na direção do hiperestático X1 está mostrado na
Figura 3-13 (virtual 1) e o diagrama de momentos devido ao momento unitário
na direção do hiperestáticos X2 (virtual 2) está mostrado na Figura 3-14.
b) RIGIDEZ DE BARRAS
• Efetuando-se a combinação dos diagramas de momentos fletores dos
diagramas acima obtêm-se:
b) RIGIDEZ DE BARRAS
▪ substituindo os valores de “δ” nas equações de compatibilidade e
encontramos valores de X1 e X2.
▪ Portanto o coeficiente de rigidez S11= X1=
𝟒𝑬𝑰
𝒍
. O esforço na extremidade
da barra é igual à reação no engaste e observa-se que na outra extremidade
o esforço é a metade X2 =
𝟐𝑬𝑰
𝒍
.
▪ Obs.: Iremos daqui para frente utilizar valores de rigidez da barra de
acordo com os vínculos através de tabelas.
Exercício:
▪ Utilize o Método dos Deslocamentos para encontrar as reações de apoio da
viga abaixo. Os trechos têm Rigidez (inércias) (EI) iguais. Trace, também, os
diagramas de esforços solicitantes.
Exercício:
▪ 1º Passo – Definição das Deslocabilidades :
• A Figura acima indica as deslocabilidades existentes D1 e D2 (Deslocabilidade
Rotacional) nos apoios B e C;
• Inexiste Deslocabilidade Rotacional nos apoios (A) e (D) pois são apoios extremos de
momento zero;
• Inexiste Deslocabilidade Vertical para baixo nos apoios, pois trata-se de apoio fixo e
móvel que impedem esse deslocamento;
• Inexiste deslocabilidade Horizontal pois a viga não possuem carregamento horizontal;
• A solução desse problema pelo Método dos Deslocamentos recai em encontrar os
valores que D1 e D2 devem ter para que o apoio (B) e (C) fiquem em equilíbrio, visto
que nos APOIOS ( A e D) têm seu equilíbrio automaticamente satisfeito pelas reações
de apoio.
Exercício:
▪ 2º Passo – Definir o Sistema Hipergeométrico:
• O Sistema Hipergeométrico (SH) para a estrutura do exemplo é
mostrado na figura abaixo. Os casos básicos utilizam esse SH como
estrutura auxiliar, através da qual os efeitos são isolados e impostos
através da criação dos apoios fictícios (travam e impede
deslocamento rotacional em (B) e (C) e podemos isolar e determinar
o valor do efeito).
Exercício:
▪ 3º Passo – Definir o Sistema Principal (SP):
• O Sistema Principal (SP) é o mesmo Sistema Hipergeométrico com o
carregamento externoda estrutura.
Exercício:
▪ 4º Passo – Efeitos no Sistema Principal (SP):
• O Efeito do Sistema Principal (SP) - isola o efeito da solicitação externa, isto é, do
carregamento aplicado. Dessa forma, a carga externa é a aplicada no (SH) com D1 = 0,
D2 = 0;
• Os Momentos que aparecem nos apoios fictícios do SP são chamados de termos de
carga βi0, eles surgem pois os apoios são travados e impedidos de rotacionar e ai surgem
essas reações;
• Um termo de carga (βi0) é definido como a reação (força ou momento) no apoio fictício
associado à deslocabilidade Di para equilibrar o SH quando atua a solicitação externa
isoladamente, isto é, com deslocabilidades com valores nulos.
Exercício:
▪ 4º Passo – Efeitos no Sistema Principal (SP):
• Temos que conhecer os momentos fletores externos nos apoios
engastados de vigas de um só vão;
• A determinação desses momentos, consiste em supor um vão de viga,
em que o apoio onde existe deslocamento consideramos engastado;
• Assim dividimos em tramos, conforme segue.
Exercício:
▪ 5º Passo – Caso (0) Efeitos (βi0) no Sistema Principal (SP):
Exercício:
▪ 5º Passo – Caso (0) Efeitos (βi0) no Sistema Principal (SP):
• Temos então:
• β10 = MºB1 + MºB2 = - 22,50 + 20,00 = - 2,50 kN.m
▪ β20 = MºC2 + MºC3 = - 20,00 + 31,25 = + 11,25 kN.m
Exercício:
▪ 6º Passo – Caso (1) Deslocabilidade (D1) isolada no SH:
▪ O caso (1), isola o efeito da deslocabilidade D1, mantendo nulos o valor
da deslocabilidade D2=0. Conforme indicado nessa figura, a
deslocabilidade D1 é colocada em evidência. Considera-se um valor
unitário para D1, sendo o efeito de D1 = 1 multiplicado pelo valor final
que D1 deverá ter.
Exercício:
▪ 6º Passo – Caso (1) Deslocabilidade (D1) isolada no SH:
▪ Cálculos dos Coeficientes de Rigidez para D1=1 e Termos de carga
k11 e k21;
• Temos então:
• k11 = M¹B1 + M¹B2 = 1EI + 1EI = 2 EI kN.m/rad
▪ k21 = M¹C2 + M¹C3 = 0,5EI + 0EI = 0,5 EI kN.m/rad
Exercício:
▪ 7º Passo – Caso (2) Deslocabilidade (D2) isolada no SH:
▪ O caso (2), isola o efeito da deslocabilidade D2, mantendo nulos o valor
da deslocabilidade D1=0. Conforme indicado nessa figura, a
deslocabilidade D2 é colocada em evidência. Considera-se um valor
unitário para D2, sendo o efeito de D2 = 1 multiplicado pelo valor final
que D1 deverá ter.
Exercício:
▪ 7º Passo – Caso (2) Deslocabilidade (D2) isolada no SH:
▪ Cálculos dos Coeficientes de Rigidez para D1=1 e Termos de carga
k21 e k22;
• Temos então:
• k12 = M²B1 + M²B2 = 0 + 0,5EI = 0,5 EI kN.m/rad
▪ k22 = M²C2 + M²C3 = 1EI + 0,6EI = 1,6 EI kN.m/rad
Exercício:
• 8º Passo – Restabelecimento das condições de equilíbrio:
▪ A partir dos resultados obtidos nos casos mostrados acima, são impostas
condições de equilíbrio que determinam que os momentos externos
totais introduzidos pelos apoios fictícios do SH sejam nulos. Utilizando a
superposição dos casos básicos, essas condições de equilíbrio resultam
no seguinte sistema de equações de equilíbrio:
• β10 + K11.D1 + K12.D2 = 0
• β20 + K21.D1 + K22.D2 = 0
Exercício:
• 9º Passo – Determinação das Deformaçãoes D1 e D2:
Exercício:
• 10º Passo – Cálculo dos Momentos Fletores Finais nos apoios internos:
• Após a determinação dos valores das deslocabilidades (D1 e D2), resta a determinação do
efeitos finais na estrutura. Isto é feito utilizando a superposição de casos básicos, sendo
que agora os casos (1) e (2) são ponderados com os valores encontrados para D1 e D2. Por
exemplo, os momentos fletores finais na estrutura são obtidos por superposição do caso (0),
caso (1) e caso (2) correspondentes aos apoios (B e C) através de equações abaixo:
• De posse de D1= 3,262 e D2= - 8,048
• Momento do apoio B da barra 1
• MB¹ = M°B1 + M¹B1.D1 + M²B2.D2
• MB¹ = - 22,5 + 1 x 3,262 + 0 x - 8,048
• MB¹ = - 22,5 + 3,262
• MB¹ = - 19,24 kN.m
De posse de D1= 3,262 e D2= - 8,048
Exercício:
• 10º Passo – Cálculo dos Momentos Fletores Finais nos apoios internos:
• Momento do apoio B da barra 2
• MB² = M°B2 + M¹B2.D1 + M²B2.D2
• MB² = + 20 + 1 x 3,262 + 0,5 x - 8,048
• MB² = + 20 + 3,262 – 4,02
• MB² = + 19,24 kN.m
• Momento do apoio C da barra 2
• MC² = M°C2 + M¹C2.D1 + M²C2.D2
• MC² = - 20 + 0,50 x 3,262 + 1 x - 8,048
• MC² = - 20 + 1,631 – 8,048
• MC² = - 26,42 kN.m
De posse de D1= 3,262 e D2= - 8,048
Exercício:
• 10º Passo – Cálculo dos Momentos Fletores Finais nos apoios internos:
• Momento do apoio C da barra 3
• MC³ = M°C3 + M¹C3.D1 + M²C3.D2
• MC³ = + 31,25 + 0 x 3,262 + 0,60 x - 8,048
• MC³ = + 31,25 + 0 – 4,828
• MC³= - 26,42 kN.m
De posse de D1= 3,262 e D2= - 8,048
Exercício:
• 11º Passo – Cálculo das Reações Finais:
• Após a determinação dos momentos fletores nos apoios resta a determinação das reações
finais dos apoios. Assim, as reações finais na estrutura são obtidos também por
superposição do caso (0), caso (1) e caso (2) através das equações:
• VA = V°A + V¹A.D1 + V²A.D2
• VA = 22,5+ 0,333 x 3,262 + 0 x – 8,048
• VA = 22,5 + 1,076 + 0
• VA = 23,58 kN (reação em A da viga hiperistática)
• VB = (V°B1 + V°B2) + (V¹B1 + V¹B2).D1 + (V²B1 + V²B2) .D2
• VB = (37,5+ 30 ) + (- 0,333 + 0,375) x 3,262 + (0 + 0,375) x – 8,048
• VB = 67,5 + (0,042) x 3,262 + (0,375) x (– 8,048)
• VB = 67,5 + 0,137 – 3,018
• VB = 64,62 kN
• VC = (V°C2 + V°C3) + (V¹C2 + V¹C3).D1 + (V²C2 + V²C3) .D2
• VC = (30+ 31,25) + (- 0,37 + 0 ) x 3,262 + (-0,37 + 0,12) x (- 8,048)
• VC = (61,25) + ( – 1,207) + (-0,25) x (- 8,048)
• VC = (61,25) + ( – 1,207) + ( 2,012)
• VC = 62,07 kN
(reação em B da viga hiperistática)
(reação em C da viga hiperistática)
De posse de D1= 3,262 e D2= - 8,048
Exercício:
• 11º Passo – Cálculo das Reações Finais:
• VD = V°D + V¹D.D1 + V²D.D2
• VD = 18,75 + 0 x 3,262 + (-0,12) x (- 8,048)
• VD = 18,75 + 0 + 0,966
• VD = 19,72 kN
• 12º Passo – Diagrama de cargas Ativas e Reativas da Viga:
•
De posse de D1= 3,262 e D2= - 8,048
(reação em D da viga hiperistática)
Exercício:
• 13º Passo – Diagrama de Momentos Fletores:
▪ Como já determinamos os momentos nos apoios X1= 19,24kN.m e X2= 26,42kN.m, fica fácil
esboçar o diagrama, pois carregamento distribuído gera diagrama composto de parábolas
assim teremos o seguinte diagrama de momentos:
•
Exercício:
• 14º Passo – Diagrama de Esforço Cortante:
▪ Adotaremos um método prático e sabendo-se que o diagrama vai ser composto por retas
variáveis.
•
Exercício:
▪ Obs. final : Constatamos que os valores dos esforços solicitantes e
reações de apoio do Método do Deslocamento foram idênticos
aos apresentados pelo Método das Forças.
•
”
ARTICULAÇÃO COM OUTRAS 
DISCIPLINAS – Plano de ensino
Até o próximo encontro!