Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 1, TRATAMENTO ALGÉBRICO) PARTE I

Prévia do material em texto

1º) Dados os vetores �⃗⃗� = 2 𝒊 – 3 𝒋 , �⃗⃗� = 𝒊 - 𝒋 e �⃗⃗⃗� = - 2 𝒊 + 𝒋 , determinar: 
a) 2 �⃗⃗� - �⃗⃗� 
2 �⃗� - 𝑣 = 2 (2, -3) – (1, -1) = (4, -6) – (1, -1) = (3, 5) 
b) �⃗⃗� - �⃗⃗� + 2 �⃗⃗⃗� 
𝑣 - �⃗� + 2 �⃗⃗� = (1, -1) – (2, -3) + 2 (-2, 1) = (1, -1) – (2, -3) + (-4, 2) = (-5, 4) 
c) 
𝟏
𝟐
 �⃗⃗� – 2 �⃗⃗� - �⃗⃗⃗� 
1
2
 �⃗� – 2 𝑣 - �⃗⃗� = 
1
2
 (2, -3) – 2 (1, -1) – (-2, 1) = (1, - 
3
2
) – (2, -2) – (-2, 1) = (1, - 
1
2
) 
d) 𝟑 �⃗⃗� - 
𝟏
𝟐
 �⃗⃗� - 
𝟏
𝟐
 �⃗⃗⃗� 
3 �⃗� - 
1
2
 𝑣 - 
1
2
 �⃗⃗� = 3 (2, -3) - 
1
2
 (1, -1) - 
1
2
 (-2, 1) = (6, -9) – (
1
2
, - 
1
2
) – (-1, 
1
2
) = (6 - 
1
2
 + 1, -9 
+ 
1
2
 - 
1
2
) = (
13
2
, -9) 
2º) Dados os vetores �⃗⃗� = (3, - 1) e �⃗⃗� = (- 1, 2), determinar o vetor �⃗⃗� tal que: 
a) 4 (�⃗⃗� - �⃗⃗� ) + 
𝟏
𝟑
 �⃗⃗� = 2 �⃗⃗� - �⃗⃗� 
RESOLUÇÃO DO LIVRO VETORES E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
(�⃗� - 𝑣 ) = (3, -1) – (-1, 2) = (4, -3) 
4 (�⃗� - 𝑣 ) + 
1
3
 𝑥 = 2 �⃗� - 𝑥 
1
3
 𝑥 + 𝑥 = 2 �⃗� - 4 (�⃗� - 𝑣 ) 
4
3
 𝑥 = 2 (3, -1) – 4 (4, -3) 
4
3
 𝑥 = (6, -2) – (16, -12) 
4
3
 𝑥 = (-10, 10) 
4 𝑥 = (-30, 30) 
𝑥 = (
−30
4
, 
30
4
) 
𝑥 = (
−15
2
, 
15
2
) 
b) 3 �⃗⃗� – (2 �⃗⃗� - �⃗⃗� ) = 2 (4 �⃗⃗� – 3 �⃗⃗� ) 
2 𝑣 - �⃗� = 2 (-1, 2) – (3, -1) = (-2, 4) – (3, -1) = (-5, 5) 
3 �⃗� = 3 (3, -1) = (9, -3) 
 3 𝑥 – (2 𝑣 - �⃗� ) = 8 𝑥 – 6 �⃗� 
5 𝑥 = -6 (3, -1) + (-5, 5) 
5 𝑥 = (-18, 6) + (-5, 5) 
5 𝑥 = (-23, 11) 
 
𝑥 = (
−23
5
, 
11
5
) 
3º) Dados os pontos A (-1, 3), B (2, 5), C (3, -1) e O (0, 0), calcular: 
a) 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = A – O = (-1, 3) – (0, 0) = (-1, 3) 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (2, 5) – (-1, 3) = (3, 2) 
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ - 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-1, 3) – (3, 2) = (-4, 1) 
b) 𝑶𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – O = (3, -1) 
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – B = (3, -1) – (2, 5) = (1, -6) 
𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ - 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3, -1) – (1, -6) = (2, 5) 
c) 3 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 4 𝑪𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3 (A – B) = 3 ((-1, 3) – (2, 5)) = 3 ((-3, -2)) = (-9, -6) 
4 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 4 (B – C) = 4 ((2, 5) – (3, -1)) = 4 (-1, 6) = (-4, 24) 
 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ – 4 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-9, -6) – (-4, 24) = (-5, -30) 
4º) Dados os vetores �⃗⃗� = (2, - 4), �⃗⃗� = (- 5, 1) e �⃗⃗⃗� = (- 12, 6), determinar a1 e a2 tais que �⃗⃗⃗� = a1 
�⃗⃗� + a2 �⃗⃗� . 
�⃗⃗� = a1 �⃗� + a2 𝑣 
(-12, 6) = a1 (2, -4) + a2 (-5, 1) 
 
(-12, 6) = (2 a1, -4 a1) + (-5 a2, 1 a2) 
(-12, 6) = (2 a1 + 5 a2, -4 a1 + a2) 
2 a1 - 5 a2 = -12 
-4 a1 + a2 = 6 (5) 
2 a1 - 5 a2 = -12 
-20 a1 + 5 a2 = 30 
-18 a1 = 18 
a1 = 
18
−18
 = -1 
 
2 a1 - 5 a2 = -12 
2 (-1) – 5 a2 = -12 
– 5 a2 = -12 + 2 
a2 = 
−10
−5
 = 2 
�⃗⃗� = - �⃗� + 2 𝑣 
5º) Dados os pontos A (3, - 4) e B (- 1, 1) e o vetor �⃗⃗� = (- 2, 3), calcular: 
a) (B – A) + 2 �⃗⃗� 
((-1, 1) – (3, -4)) + 2 (-2, 3) = (-4, 5) + (-4, 6) = (-8, 11) 
b) (A – B) - �⃗⃗� 
 
((3, -4) 0 (-1, 1)) – (-2, 3) = (4, -5) – (-2, 3) = (6, -8) 
c) B + 2 (B – A) 
(-1, 1) + 2 (-4, 5) = (-1, 1) + (-8, 10) = (-9, 11) 
d) 3 �⃗⃗� – 2 (A – B) 
3 (-2, 3) – 2 (4, -5) = (-6, 9) – (8, -10) = (-14, 19) 
6º) Sejam os pontos A (- 5, 1) e B (1, 3). Determinar o vetor �⃗⃗� = (a, b) tal que: 
a) B = A + 2 �⃗⃗� 
2 𝑣 = B – A 
𝑣 = 
𝐵−𝐴
2
 = 
(1,3)−(−5,1)
2
 = 
(6,2)
2
 = (3, 1) 
b) A = B + 3 �⃗⃗� 
3 𝑣 = A – B 
𝑣 = 
𝐴−𝐵
3
 =
(−5,1)−(1,3)
3
 = 
(−6,−2)
3
 = (-2, 
−2
3
) 
7º) Representar no gráfico o vetor 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e correspondente vetor posição, nos casos: 
a) A (- 1, 3) e B (3, 5) 
 
 
 
b) A (- 1, 4) e B (4, 1) 
 
c) A (4, 0) e B (0, - 2) 
 
 
 
 
 
 
d) A (3, 1) e B (3, 4) 
 
 
 
 
A 
B P 
y 
x 
-2 
4 
y 
x 
A 
3 
1 
3 
4 
AB 
 
 
8º) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor �⃗⃗� = (- 1, 3), sabendo 
que sua extremidade está em (3, 1)? 
B = A + 𝑣 
A = B - 𝑣 
A = (3, 1) – (-1, 3) = (4, -2) 
Tomemos A como o ponto inicial e B como o ponto final. 
9º) No mesmo sistema cartesiano xOy, representar: 
a) Os vetores �⃗⃗� = (2, - 1) e �⃗⃗� = (- 2, 3), com origem nos pontos A (1, 4) e B (1, - 4), 
respectivamente. 
Tomemos A como ponto inicial do vetor �⃗� e C como a extremidade. 
C = A + �⃗� 
C = (1, 4) + (2, -1) = (3, 3) 
Tomemos B como ponto inicial do vetor 𝑣 e D como a extremidade, logo: 
D = B + 𝑣 
D = (1, -4) + (-2, 3) = (-1, -1) 
 
 
 
 
 
 
b) Os vetores posição de �⃗⃗� e �⃗⃗� 
 
 
 
 
 
 
 
 
10º) Sejam os pontos P (2, 3), Q (4, 2) e R (3, 5) 
a) Representar em um mesmo gráfico os vetores posição de �⃗⃗� , �⃗⃗� e �⃗⃗⃗� de modo que Q = P 
+ �⃗⃗� , R = Q + �⃗⃗� e P = R + �⃗⃗⃗� 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
�⃗⃗� 
A 
B 
3 
P 
1 
-1 
B 
-4 
�⃗⃗� 
A 
-2 
3 
-1 
Q = P + �⃗� 
�⃗� = (4, 2) – (2, 3) 
�⃗� = (2, -1) 
 
R = Q + 𝑣 
𝑣 = (3, 5) – (4, 2) 
𝑣 = (-1, 3) 
 
P = R + �⃗⃗� 
�⃗⃗� = (2, 3) – (3, 5) 
�⃗⃗� = (-1, -2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determinar �⃗⃗� + �⃗⃗� + �⃗⃗⃗� 
= (2, -1) + (-1, 3) + (-1, -2) = (0, 0) 
11º) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para: 
a) A (- 3, - 1), B (4, 2) e C (5, 5) 
D = A + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-3, -1) + (1, 3) = (-2, 2) 
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – B = (5, 5) – (4, 2) = (1, 3) 
b) A (5, 1), B (7, 3) e C (3, 4) 
D = A + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5, 1) + (-4, 1) = (1, 2) 
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – B = (3, 4) – (7, 3) = (-4, 1) 
12º) Sabendo que A (1, - 1), B (5, 1) e C (6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar 
o quarto vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados. 
D = A + 𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = A + 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, -1) + (1, 3) = (2, 2) 
x 
y 
-2 
1 
2 
 
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – B = (6, 4) – (5, 1) = (1, 3) 
D = B + 𝑩𝑫⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = B + 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5, 1) + (5, 5) = (10, 6) 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – A = (6, 4) – (1, -1) = (5, 5) 
D = A + 𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, -1) + (-1, -3) = (0, -4) 
𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – C = (5, 1) – (6, 4) = (-1, -3) 
13º) Dados os pontos A (- 3, 2) e B (5, - 2), determinar os pontos M e N pertencentes ao 
segmento AB tais que 𝑨𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
𝟏
𝟐
 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑨𝑵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
𝟐
𝟑
 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Construir o gráfico, marcando os pontos A, 
B, M, N e P, devendo P ser tal que 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
𝟑
𝟐
 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (5, -2) – (-3, 2) = (8, -4) 
𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 
1
2
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ → M = A + 
1
2
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-3, 2) + (4, -2) = (1, 0) 
𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
2
3
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ → N = A + 
2
3
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-3, 2) + (
16
9
, 
−8
3
) = (
−9+16
3
, 
6−8
3
) = (
7
3
, 
−2
3
) 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
3
2
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ → P = A + 
3
2
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-3, 2) + (12, -6) = (-9, -4) 
 
 
 
 
 
 
D = (2, 2) 
A = (1, -1) 
C = (6, 4) 
B = (5, 1) 
x 
y 
A 
-3 N 
B 
P 
-2 
-4 
2 
M 
1 
5 8 
7
3
 
−2
3
 
 
14º) Sendo A (- 2, 3) e B (6, - 3) extremidades de um segmento, determinar: 
a) Os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo 
comprimento. 
 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (6, -3) – (-2, 3) = (8, -6) → 
1
4
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, 
−3
2
) 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
4
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
4
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
C = 
1
4
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + A = 
1
4
 (8, -6) + (-2, 3) = (2, 
−3
2
) + (-2, 3) = (0, 
3
2
) 
𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
4
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
D = 
1
4
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + C = (2, 
−3
2
) + (0, 
3
2
) = (2, 0) 
𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 
1
4
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
E = 
1
4
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + D = (2, 
−3
2
) + (2, 0) = (4, 
−3
2
) 
b) Os pontos F e G que dividem o segmento de AB em três partes de mesmo comprimento. 
 
𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
3
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (6, -3) – (-2, 3) = (8, -6) 
A B 
C D E 
A B F G 
 
1
3
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (
8
3
, -2) 
𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
3
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
F = (
8
3
, -2) + (-2, 3) = (
8−6
3
, 1) = (
2
3
, 1) 
𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
3
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
G = (
8
3
, -2) + (
2
3
, 1) = (
10
3
, -1) 
15º) O ponto P pertence ao segmento de extremos A(x1, y1) e B (x2, y2) e a distância dele ao 
ponto A é a terça parte da distância dele ao ponto B. Expressar as coordenadas de P em 
função das coordenadas A e B. 
 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 
1
3
 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
P – A = 
1
3
 (B – P) 
P – A = 
1
3
 B – 
1
3
 P 
P + 
1
3
 P = 
1
3
 B + A 
4
3
 P = 
𝐵+3 𝐴
3
 
P = 
𝐵+3𝐴
3
 x 
3
4
 = 
𝐵+3𝐴
4
 
P = (
𝟑 𝒙′+𝒙′′
𝟒
, 
𝟑 𝒚′+𝒚′′
𝟒
) 
A B P 
 
16º) Dados os vetores �⃗⃗� = (1, - 1) e �⃗⃗� = (- 3, 4) e �⃗⃗⃗� = (8, - 6), calcular: 
a) |�⃗⃗� | = √12 + (−1)2 = √2 
b) |�⃗⃗� |= √(−3)2 + (4)2 = √9 + 16 = 5 
c) |�⃗⃗⃗� |= √(8)2 + (−6)2 = √64 + 36 = 10 
d) �⃗� + 𝑣 = (1, -1) + (-3, 4) = (-2, 3) 
|�⃗⃗� + �⃗⃗� | = (√(−2)2 + (3)2 = √4 + 9 = √13 
 
e) 2 �⃗� - �⃗⃗� = 2 (1, -1) – (8, -6) = (2, -2) – (8, -6) = (-6, 4) 
|𝟐�⃗⃗� – �⃗⃗⃗� | = √(−6)2 + (4)2 = √36 + 16 = √52 = √4 . 13 = 2√13 
 
f) �⃗⃗⃗� – 3 �⃗⃗� = (8, -6) – 3(1, -1) = (8, -6) – (3, -3) = (5, -3) 
|�⃗⃗⃗� – 3 �⃗⃗� |= √(5)2 + (−3)2 = √25 + 9 = √34 
 
g) 
�⃗� 
|�⃗� |
 = 
(−3, 4)
5
 = (
−3
5
, 
4
5
) 
|�⃗⃗� |= √(−3)2 + (4)2 = √25 = 5 
 
h) | 
�⃗� 
�⃗� 
| = √( 1
√2
)2 + (− 
1
√2
)2 = √ 1
2
+ 1
2
 = √ 2
2
 = 1 
|�⃗⃗� |= √(1)2 + (−1)2 = √2 
�⃗� 
|�⃗� |
 = 
(1,−1)
√2
 = (
1
√2
, −
1
√2
) 
17º) Calcular os valores de “a” para que o vetor �⃗⃗� = (a, - 2) tenha módulo 4. 
|�⃗� |= √(𝑎)2 + (4)2 
(4)2 = (√(𝑎)2 + (4)2)2 
a2 + 4 = 16 
 
a2 - 12 = 0 
 = 02 – 4.1.(-12) = 48 
X = 
+
−
√48
2
 
X = 
+
−
√16 . 3
2
 = 
+
−
 4√3
2
 = 
+
−
 2√3 
18º) Calcular os valores de “a” para que o vetor �⃗⃗� = (a, 
𝟏
𝟐
) seja unitário. 
|�⃗� |= √(𝑎)2 + (
1
4
)2 = √(𝑎)2 + 
1
2
 
Para que o vetor seja unitário o módulo de “u” deve ser igual a 1. 
(1)2 = (√(𝑎)2 + 
1
2
)2 
a2 + 
1
4
 – 1 = 0 
a2 - 
3
4
 = 0 
 = -4.1. 
−3
4
 = 3 
x = 
+
−
√3
2
 
19º) Provar que os pontos A (- 2, - 1), B (2, 2), C (- 1, 6) e D (- 5, 3), nessa ordem, são vértices 
de um quadrado. 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (2, 2) – (-2, -1) = (4, 3) 
 
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – B = (-1, 6) – (2, 2) = (-3, 4) 
𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = D – C = (-5, 3) – (-1, 6) = (-4, -3) 
𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = A – D = (-2, 1) – (-5, 3) = (3, -4) 
 
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √25 = 5 
|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √25 = 5 
|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √25 = 5 
|𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = √25 = 5 
A, B, C e D são vértices de um quadrado, pois o módulo dos vetores que o formam são iguais. 
20º) Encontrar um ponto P de eixo Ox de modo que a sua distância ao ponto A (2, - 3) seja 
igual a 5. 
P (x, 0) d (P, A) = 5 
5 = √(2 − 𝑥)2 + (−3 − 0)2 
(5)2 = (√4 − 4𝑥 + 𝑥2 + 9)2 
25 = x2 – 4x + 13 
x2 – 4x – 12 = 0 
 = (-4)2 – 4.1.(-12) = 64 
X = 
4 
+
−
 8
2
 = x’ = 6 e x’’ = -2 
 
Os pontos são P (6, 0) ou P (-2, 0) 
21º) Dados os pontos A (- 4, 3) e B (2, 1), encontrar o ponto P nos casos: 
a) P pertence ao eixo Ou e é equidistante de A e B. 
P = (0, y) 
d (P, A) = d (P, B) 
𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = A – P = (-4, 3) – (0, y) = -4, 3 – y) 
𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – P = (2, 1) – (0, y) = (2, 1 – y) 
√(−4)2 + (3 − 𝑦)2 = √(2)2 + (1 − 𝑦)2 
(√16 + 9 − 6𝑦 + (𝑦)2)2 = (√4 + 1 − 2𝑦 + (𝑦)2)2 
25 – 6y + y2 = 5 – 2y + y2 
-6y + 2y = 5 – 25 
4y = 20 
y = 5; Portanto P = (0, 5). 
b) P é equidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abscissa. 
d (P, A) = d (P, B) 
P = (x, 2x) 
y = 2x, Como d (P, A) = |𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| e d (P, B) = |𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| 
𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = A – P = (-4, 3) – (x, 2x) = (-4 – x, 3 – 2x) 
 
𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – P = (2, 1) – (x, 2x) = (2 – x, 1 – 2x), então... 
|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| 
√(−4 − 𝑥)2 + (3 − 2𝑥)2 = √(2 − 𝑥)2 + (1 − 2𝑥)2 
(√(−4)2 + 2(−4)(−𝑥) + 𝑥2 + 32 + 2(3)(−2𝑥) + (−2𝑥)2)2 = (√4 − 4𝑥 + (𝑥)2 + 1 − 4𝑥 + (4𝑥)2)2 
16 + 8x + 9 – 12x + x2 + 4x2 = x2 – 4x + 4 + 4x2 – 4x + 1 
-4x + 25 = -8x + 5 
-4x + 8x = 5 – 25 
x = -20/4 
x = -5, Portanto P = (-5, -10) 
c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B. 
P = (x, y) 
|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| 
𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = P – A = (x, y) – (-4, 3) = (x + 4, Y – 3) 
𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – P = (2, 1) – (x, y) = (2 – x, 1 – y) 
√(𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 3)2 = √(2 − 𝑥)2 + (1 − 𝑦)2 
(√(𝑥)2 + 8𝑥 + 16 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9)2 = (√4 − 4𝑥 + (𝑥)2 + 1 − 2𝑦 + (𝑦)2)2 
x2 + y2 + 8x – 6y + 25 = x2 + y2 – 4x – 2y + 5 
8x + 4x – 6y + 2y = 5 – 25 
 
12x – 4y = 20 
Agora é só concluir o cálculo, seguindo o mesmo raciocínio da alternativa b. 
22º) Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de �⃗⃗� e (II) sentido contrário a 
�⃗⃗� , nos casos: 
a) �⃗⃗� = - 𝒊 + 𝒋 
𝑣 = (-1, 1) 
|𝑣 | = √(−1)2 + (1)2 = √2 
I → 
�⃗� 
|�⃗� |
 = 
(−1,1)
√2
 = 
−1
√2
, 
1
√2
 
II → 
− �⃗� 
|�⃗� |
 = 
−(−1,1)
√2
 = 
1
√2
, 
−1
√2
 
b) �⃗⃗� = 3 𝒊 - 𝒋 
�⃗⃗� = (3, -1) 
I → 
�⃗� 
|�⃗� |
 = 
(3,−1)
√10
 = 
3
√10
, 
−1
√10
 
II → 
− �⃗� 
|�⃗� |
 = 
−3
√10
, 
1
√10
 
c) �⃗⃗� = (1, √𝟑) 
|𝑣 | = √(1)2 + (√𝟑)2 = √1 + 3 = √4 = 2 
 
 
 
I → 
�⃗� 
|�⃗� |
 = 
(1,√3)
2
 = (
1
2
, 
√3
2
) 
II → 
− �⃗� 
|�⃗� |
 = 
−(−1,√3)
2
 = (
−1
2
, 
−√3
2
) 
d) �⃗⃗� = (0, 4) 
|𝑣 | = √(0)2 + (𝟒)2 = √16 = 4 
I → 
�⃗� 
|�⃗� |
 = 
(0,4)
4
 = (0, 1) 
II → 
− �⃗� 
|�⃗� |
 = 
−(0,0)
4
 = (0, −1) 
23º) Dado o vetor �⃗⃗� = (1, - 3), determinar o vetor paralelo a �⃗⃗� que tenha: 
a) Sentido contrário ao de �⃗⃗� e duas vezes o módulo de �⃗⃗� 
|𝑣 | = √(1)2 + (−𝟑)2 = √10 
-2 (𝑣 ) = -2 (1, -3) = (-2, 6) 
b) O mesmo sentido de �⃗⃗� e módulo 2 
2 . 
 �⃗� 
|�⃗� |
 = 2 . 
 (1,−3)
√10 
 = (2, -6) = (
 2
√10 
, 
−6
√10 
) 
c) Sentido contrário ao de �⃗⃗� e módulo 4 
-4 . 
 �⃗� 
|�⃗� |
 = -4 . 
 (1,−3)
√10 
 = 
 (−4, 12)
√10 
 = (
−4
√10 
, 
12
√10 
) 
 
 
24º) Traçar no mesmo sistema de eixos os retângulos de vértices: 
a) A (0, 0, 1), B (0, 0, 2), C (4, 0, 2) e D (4, 0, 1) 
 
 
 
 
 
 
 
25º) Traçar o retângulo formado pelos pontos (x, y, z) tal que: 
a) X = 0, 1  y  4 e 0  z  4 
y = (1, 2, 3, 4) 
z = (0, 1, 2, 3, 4) 
➔ A (0, 1, 0) 
➔ B (0, 4, 0) 
➔ C (0, 4, 4) 
➔ D (0, 1, 4) 
Temos que a resposta é qualquer retângulo que obedeça às condições impostas pela 
questão, para se obter as coordenadas dos vértices do retângulo, o mesmo vale para a 
letra b. 
z 
x 
y 
C 
D 
B 
A 
D C 
B A 
4 
2 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) -1  x  2, 0  y  3 e z = 3 
 
➔ A (2, 1, 3) 
➔ B (2, 3, 3) 
➔ C (-1, 3, 3) 
➔ D (-1, 1, 3) 
 
 
 
 
 
 
 
z 
x 
y 
D C 
B A 
4 
1 4 
z 
x
 
y
 
D C 
A
 
B
 
3 
1 
2 
3 2 1 
 
 
26º) Construir o cubo constituído dos pontos (x, y, z), de modo que 
a) -4  x  -2, 1  y  3 e 0  z  2 
 
➔ A (-2, 1, 1) 
➔ B (-2, 2, 1) 
➔ C (-2, 2, 2) 
➔ D (-2, 1, 2) 
➔ E (-3, 1, 1) 
➔ F (-3, 2, 1) 
➔ G (-3, 2, 2) 
➔ H (-3, 1, 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
 
x
 
z
 
2
 
1
 
1
 
2
 
H
 
G
 
F
 B
 
C
 
E
 
D
 
A
 
-3 
 
y
 
 
z 
-2 
 
y
 
 
z 
 
 
28º) Calcular a distância do ponto A (3, 4, -2) 
a) Ao plano xy 
Plano Xy (3, 4, 0) 
d (A, Xy) = √(3 − 3)2 + (𝟒 − 𝟒)2 + (0 − 2)2 = √4 = 2 
b) Ao plano xz 
Plano Xz = (3, 0, -2) 
√d (A, Xz) = (3 − 3)2 + (𝟎 − 𝟒)2 + (−2 + 2)2 = √16 = 4 
c) Ao plano yz 
Plano Yz = (0, 4, -2) 
√d (A, Yz) = (0 − 3)2 + (𝟒 − 𝟒)2 + (−2 + 2)2 = √9 = 3 
d) Ao eixo dos x 
Eixo X = (3, 0, 0) 
X – A = (3, 0, 0) – (3, 4, -2) = (0, -4, 2) 
√d (A, X) = (−4)2 + (2)2 = √16 + 4 = √20 = 2√5 
e) Ao eixo dos y 
Eixo Y = (0, 4, 0) 
Y – A = (0, 4, 0) – (3, 4, -2) = (-3, 0, 2) 
 
d (A, Y) = √(−3)2 + (2)2 = √9 + 4 = √13 
f) Ao eixo dos z 
Eixo z = (0, 0, -2) 
Z – A = (0, 0, -2) – (3, 4, -2) = (-3, -4, 0) 
√d (A, z) = (−3)2 + (−4)2 = √25 = 5 
29º) A figura 1.65 apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos 
coordenados e de medidas 2, 1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, 
sabendo que A (2, -1, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G 
H 
C 
A
 
D
 
F
 
E
 
B
 
Z
 
y
 
x
 
2
 
0
 
-1
 
1
 
 
2
 
2
 
2
 
3
 
C 
H 
G F 
A 
D 
BE 
 
➔ A (2, -1, 2) 
➔ B (2, -3, 2) 
➔ C (3, -3, 2) 
➔ D (3, -1, 2) 
➔ E (3, -1, 5) 
➔ F (2, -1, 5) 
➔ G (2, -3, 5) 
➔ H (3, -3, 5)