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Thiago Pacífico - Estatística 
 Curso Completo de Estatística 
 
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
 
Para um melhor entendimento sobre o conceito de distribuição de frequências, usaremos o seguinte 
exemplo: 
“Um professor, ao aplicar um teste em uma turma, deseja fazer uma pesquisa completa sobre o 
desempenho dos seus 50 alunos.” 
A lista dos resultados obtidos foi a seguinte (dados brutos, pois não se encontram ordenados): 
 
 
 
Agrupando os resultados por classes ou intervalos, obtemos a seguinte distribuição de frequências: 
 
 
 
O arranjo ou organização dos dados brutos por classe, junto com as frequências correspondentes, é 
chamado de Distribuição de Frequência. 
 
 
 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
 
 Classes: 
 
São os intervalos de variação da variável, que são representados por i = 1, 2, 3, ..., k, onde k é o 
número total de classes de distribuição. 
 
 Frequência de uma classe: 
 
Indica o número de elementos de uma classe, isto é, o total de vezes que cada valor entra na 
constituição de uma classe. 
 
Exemplo: 
Dada a distribuição a seguir, resultante das notas de Matemática dos alunos de uma sala de um colégio: 
 
 
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veja que a distribuição foi dividida em 5 classes, isto é, k = 5. 
Na primeira classe, temos as notas de 0 inclusive até 2 exclusive com uma frequência 5. Isso indica 
que 5 alunos obtiveram notas de 0 a 2. Na segunda classe, com frequência 6, indica-se que 6 alunos 
obtiveram notas de 2 a 4. 
 
 Intervalo de classe: 
 
É o conjunto de números que constitui o intervalo. É a forma mais comum de agrupar os dados. 
 
Os tipos de intervalos de classe são: 
 
• 3 5: fechado à esquerda e aberto à direita. Inclui o limite inferior e exclui o limite superior. 
• 3 5: aberto à esquerda e fechado à direita. Exclui o limite inferior e inclui o limite superior. 
• 3 5: fechado à esquerda e fechado à direita. Inclui os dois limites. 
• 3 5: aberto à esquerda e aberto à direita. Exclui os dois limites. 
 
 Limites de classes: 
 
São os extremos de uma classe. 
l = Limite inferior. 
L = Limite superior de uma classe. 
 
 Ponto médio de uma classe: 
 
Chamamos de ponto médio de uma classe o ponto que divide esse intervalo de classe em duas partes 
iguais. 
 
Olhe! 
• O ponto médio é denotado por Xi, onde i indica a i-nésima classe considerada. 
 
• O ponto médio de uma classe é determinado pela semissoma do limite superior e do limite inferior dessa 
classe, isto é, é a média aritmética dos limites da classe. 
 
 
 
• O ponto médio de uma classe é o seu legítimo representativo. 
Ao ser determinado, faremos a suposição de que todos os elementos pertencentes a essa classe serão 
iguais ao seu ponto médio. 
 
• Os pontos médios de uma distribuição estão em progressão aritmética, isto é, a diferença entre eles é 
constante. 
 
Observe que a diferença entre os pontos médios é constante e igual a 10, logo, eles estão em 
progressão aritmética. 
 
 
 
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 Amplitude de um intervalo de classe: 
 
É a medida do intervalo que define a classe. É obtida pela diferença entre os limites superior e inferior 
dessa classe e indicada por: 
 
 
 
Veja com atenção: 
• A diferença entre os pontos médios é igual à amplitude de classe. 
• O limite superior de uma classe é o ponto médio do intervalo dessa classe somado com a metade da 
amplitude de classe. 
 
 
 
• O limite inferior de uma classe é o ponto médio do intervalo dessa classe diminuído da metade da 
amplitude da classe. 
 
 
 
 Amplitude total da distribuição: 
 
É a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da 
primeira classe (limite inferior mínimo). 
 
 
 
 
 
TIPOS DE FREQUÊNCIAS 
 
 
 Frequência absoluta (fi) 
 
Indica quantos elementos da amostra pertencem a cada classe. 
 
 Frequência relativa (fr) 
 
É determinada quando dividimos a frequência absoluta de cada classe pela frequência total, isto é, pelo 
tamanho da amostra. 
 
 
 
Indica, em porcentagem, o número de elementos de cada classe. 
 
Veja: 
• Para o seu cálculo em porcentagem, basta multiplicar o seu valor por 100. 
 
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• A soma das frequências relativas será igual a 1(um) ou bastante próximo de 1. 
• Para se calcular a frequência relativa percentual, basta multiplicar a frequência relativa por 100. 
 
 Frequência absoluta acumulada crescente – fac 
 
É a soma da frequência absoluta de uma classe com as frequências absolutas de todas as classes 
anteriores. É conhecida, também, como frequência “abaixo de”. 
Indica o número inferior ao limite superior da classe. 
 
 Frequência absoluta acumulada decrescente – fad 
 
É a soma da frequência absoluta de uma classe com as frequências absolutas de todas as classes 
posteriores. É conhecida, também, como frequência “acima de”. 
Indica o número superior ao limite inferior da classe. 
 
 Frequência relativa acumulada crescente – frac 
 
É a soma da frequência relativa de uma classe com as frequências relativas de todas as classes 
anteriores. 
Indica a porcentagem inferior ao limite superior da classe. 
 
 Frequência relativa acumulada decrescente – frad 
 
É a soma da frequência relativa de uma classe com as frequências relativas de todas as classes 
posteriores. 
Indica a porcentagem superior ao limite inferior da classe. 
 
Veja com atenção: 
• As frequências absolutas crescentes e decrescentes são expressas por números. 
• As frequências relativas crescentes e decrescentes são expressas por porcentagem. 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA 
 
 
Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente pelo: 
 
 Histograma: 
 
É um gráfico formado por um conjunto de retângulos justapostos, assentados no eixo horizontal de tal 
modo que: 
• as bases dos retângulos possuem as mesmas amplitudes das classes (no eixo horizontal); 
• as alturas dos retângulos são numericamente iguais às frequências relativas das classes, dadas em 
porcentagem (no eixo vertical); 
• os pontos médios da parte inferior dos retângulos coincidem com os pontos médios dos intervalos de 
classe. 
 
 Polígono de frequência: 
 
É o gráfico que se obtém quando unimos os pontos médios da parte superior de cada retângulo do 
histograma. 
 
 Polígono de frequência acumulada (ogiva de Galton): 
 
É o gráfico obtido quando colocamos, no eixo horizontal, as classes e, no vertical, as frequências 
acumuladas. 
 
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FORMAS DAS CURVAS DE FREQUÊNCIAS 
 
 
 
As curvas de frequências assumem as seguintes formas: 
 
 
 Curva em forma de sino: 
 
Caracteriza-se por apresentar um valor máximo na região central. 
 
 
 
 
 Curva assimétrica positiva:A cauda mais alongada fica à direita. 
 
 
 
 
 Curva assimétrica negativa: 
 
A cauda mais alongada fica à esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 
As medidas de posição, também chamadas de medidas de tendência central, são determinadas 
quando desejamos que um único valor seja representativo de toda a série de dados observada. 
Quando usamos um só valor, a série fica drasticamente reduzida, mas, mesmo assim, esse valor ainda 
pode ser considerado como legítimo representativo da série. 
Estudaremos, principalmente, com mais detalhes, a média, a moda e a mediana sob três aspectos 
distintos. 
• Medidas de posição para dados não agrupados. 
• Medidas de posição para dados agrupados, sem intervalos de classe. 
• Medidas de posição para dados agrupados, com intervalos de classe. 
 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA DADOS NÃO AGRUPADOS 
 
 
• Média aritmética: é o quociente da divisão da soma de todos os elementos do conjunto estudado pelo 
número de elementos do conjunto. 
 
 
 
 
 
• Moda: é o elemento do conjunto que mais ocorre. 
 
• Mediana: é o elemento central de um conjunto ordenado ou a média aritmética dos dois elementos 
centrais. 
 
Resumo 
 
 
 
 
 
 
 
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PROPRIEDADES DA MÉDIA 
 
 
 
• A média aritmética sempre existe e é única. 
• A média aritmética é sensível a todos os valores do conjunto. Se um valor se modifica, a média também 
se modifica. 
• Se a cada elemento de um conjunto numérico qualquer somarmos ou subtrairmos uma constante, a média 
ficará acrescida ou subtraída dessa constante. 
• Se cada elemento de um conjunto numérico qualquer for multiplicado ou dividido por uma constante, a 
média ficará multiplicada ou dividida por essa constante. 
• A média aritmética é influenciada por valores extremos. 
• A soma de todos os desvios em torno da média aritmética de um conjunto numérico qualquer é sempre 
zero. 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DA MODA 
 
 
 
• A moda pode não existir. 
• A moda não é influenciada por valores extremos. 
• É a menos útil das medidas, se comparada com a média e a mediana. 
 
Com relação ao elemento modal, um conjunto pode ser: 
• Amodal: quando não possuir moda. 
 
Exemplo: 1, 2, 3, 5, 8, 9, 11, 15. 
 
• Unimodal: quando possuir uma única moda. 
 
Exemplo: 2, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 8. 
Cuja moda é 4. 
 
• Bimodal: quando possuir duas modas. 
 
Exemplo: 1, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9. 
As modas são 3 e 6. 
 
• Multimodal: quando possuir mais de duas modas. 
 
Exemplo: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 8, 9. 
As modas são 2, 5 e 6. 
 
 
 
 
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PROPRIEDADES DA MEDIANA 
 
 
• A mediana não é influenciada por valores extremos. 
• Os elementos do conjunto devem estar ordenados. 
• A mediana de um conjunto numérico ordenado tem como característica ser o elemento que possui, à sua 
esquerda e à sua direita, o mesmo número de elementos. 
 
 Posição relativa da média, da mediana e da moda: 
 
• Simétrica: 
 
 
 
 
 
 
• Assimétrica positiva: 
 
 
 
 
 
• Assimétrica negativa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
01. (ESAF) Utilize a tabela que se segue. 
 
Frequências Acumuladas de Salários Anuais, 
em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
Classes de Salário 
Frequências 
Acumuladas 
(3; 6] 12 
(6; 9] 30 
(9; 12] 50 
(12; 15] 60 
(15; 18] 65 
(18; 21] 68 
 
Suponha que a tabela de frequências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 
10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a 
frequência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a 
opção que corresponde a este número. 
 
a) 150 
b) 120 
c) 130 
d) 160 
e) 180 
 
02. (ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 
200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de 
frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P 
representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos 
das classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da frequência relativa de observações de X menores ou 
iguais a 145. 
 
a) 62,5% 
b) 70,0% 
c) 50,0% 
d) 45,0% 
e) 53,4% 
 
03. (ESAF) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 
obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguinte: 
 
 
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Classes Frequência 
 (f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com valores do 
atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. 
a) 700 
b) 638 
c) 826 
d) 995 
e) 900 
 
04. (ESAF) Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
Classes 
 
Frequências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que não é 
superado por cerca de 80% das observações. 
a) 10.000 
b) 12.000 
c) 12.500 
d) 11.000 
e) 10.500 
 
05. (ESAF) Na distribuição de frequências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos 
das classes. 
 
 
Classe Frequência Acumulada 
129,5-139,5 4 
139,5-149,5 12 
149,5-159,5 26 
159,5-169,5 46 
169,5-179,5 72 
179,5-189,5 90 
189,5-199,5 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do número de observações 
menores ou iguais ao Valor 164. 
 
 
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a) 46 
b) 26 
c) 72 
d) 35 
e) 20 
 
06. (ESAF) A tabela de frequências abaixo apresenta as frequências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do 
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as 
extremidades dasclasses salariais. 
 
Classes F 
29,5 - 39,5 2 
39,5 - 49,5 6 
49,5 - 59,5 13 
59,5 - 69,5 23 
69,5 - 79,5 36 
79,5 - 89,5 45 
89,5 - 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva, que, estima-se, não é 
superado por 80% das realizações de Y. 
 
a) 82,0 
b) 80,0 
c) 83,9 
d) 74,5 
e) 84,5 
 
07. (ESAF) A tabela abaixo mostra a distribuição de frequência obtida de uma amostra aleatória dos 
salários anuais em reais de uma firma. As frequências são acumuladas. 
 
Classes de Salário Frequências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 
79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa. 
 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 9.500,00 
c) R$ 12.500,00 
d) R$ 11.000,00 
e) R$ 11.500,00 
 
08. (ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do atributo salário mensal medido em 
quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note que a 
coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P 
refere-se ao percentual da frequência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
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Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assinale a opção que corresponde à aproximação de frequência relativa de observações de indivíduos 
com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. 
 
a) 65% 
b) 50% 
c) 80% 
d) 60% 
e) 70% 
 
 
09. (ESAF) O quadro seguinte apresenta a distribuição de frequências da variável valor do aluguel (X) para 
uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que corresponde à 
estimativa do valor x tal que a frequência relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%. 
 
 
Classes R$ Frequências 
350 – 380 3 
380 – 410 8 
410 – 440 10 
440 – 470 13 
470 – 500 33 
500 – 530 40 
530 – 560 35 
560 – 590 30 
590 – 620 16 
620 – 650 12 
 
 
a) 530 
b) 560 
c) 590 
d) 578 
e) 575 
 
 
10. (BACEN) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00. Todos os salários receberam um 
aumento de 10%. O salário médio passou a ser de: 
 
a) $ 90.000,00 
b) $ 91.000,00 
c) $ 95.000,00 
d) $ 99.000,00 
e) $ 100.000,00 
 
 
 
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11. (ESAF): 
 
Xi fi 
2 4 9 
4 6 12 
6 8 6 
8 10 2 
10 12 1 
 
A média da distribuição é igual a: 
 
a) 5,27 
b) 5,24 
c) 5,21 
d) 5,19 
e) 5,30 
 
 
Para efeito da próxima questão, considere os seguintes dados: 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Frequência 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(Xi) 
di
5
Xi 73-
 fi.di fi.di
2 
fi.di
3
 fi.di
4
 
19,5 24,5 
24,5 29,5 
29,5 34,5 
34,5 39,5 
39,5 44,5 
44,5 49,5 
49,5 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
— 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
— 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
— 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
— 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
— 
18 
192 
567 
Total 16 206 154 1106 
 
12. (ESAF) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/90. 
 
a) 37,4 anos 
b) 37,8 anos 
c) 38,2 anos 
d) 38,6 anos 
e) 39,0 anos 
 
 
Para efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 
1º/1/96. 
 
13. (ESAF) Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1º/1/96. 
 
a) 37,4 anos 
b) 39,0 anos 
c) 43,4 anos 
d) 43,8 anos 
e) 44,6 anos 
 
 
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Para efeito da próxima questão faça uso da tabela de frequências abaixo. 
 
 
Frequências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário 
Frequências 
Acumuladas 
(3; 6] 12 
(6; 9] 30 
(9; 12] 50 
(12;15] 60 
(15;18] 65 
(18;21] 68 
 
 
14. (ESAF) Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que 
representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de frequências. 
 
a) 9,93 
b) 15,00 
c) 13,50 
d) 10,00 
e) 12,50 
 
15. (ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 
200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de 
frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P 
representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos 
das classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
 
Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
 
a) 140,10 
b) 115,50 
c) 120,00 
d) 140,00 
e) 138,00 
 
16. (ESAF) A tabela de frequências abaixo apresenta as frequências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do 
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as 
extremidades das classes salariais. 
 
 
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Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de 
fiscalização da Cia. X. 
 
a) 70,0 
b) 69,5 
c) 68,0 
d) 74,4 
e) 60,0 
 
17. (ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do atributo salário mensal medido em 
quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note que a 
coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P 
refere-se ao percentual da frequência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
Assinale a opção que corresponde ao salário médio amostral calculado a partir de dados agrupados. 
 
a) 11,68 
b) 13,00 
c) 17,21 
d) 16,00 
e) 14,00 
 
 
A próxima questão diz respeito à distribuição de frequências seguinte associada ao atributo de interesse X. 
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
Classes 
Frequências 
Simples 
0-10 120 
10-20 90 
20-30 70 
30-40 40 
40-50 20 
 
 
 
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18. (ESAF) Assinale a opção que dá, aproximadamente, a média amostral de X. 
 
a) 25,00 
b) 17,48 
c) 18,00 
d) 17,65 
e) 19,00 
 
19. (ESAF) Assinale a opção que dá o valor de “a” para o qual a equação   0ax
n
1
 i i é sempre 
verdadeira. 
 
a) A média dos valores x. 
b) A mediana dos valores x. 
c) A moda dos valores x. 
d) O desvio padrão dos valores x. 
e) O coeficiente de assimetria dos valores x. 
 
20. Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$500,00. Os salários médios pagos aos 
empregados dos sexos masculino e feminino são de R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Então, 
nessa empresa: 
 
a) o número de homens é o dobro do número de mulheres. 
b) O número de homens é o triplo do número de mulheres. 
c) O número de homens é o quádruplo do número de mulheres. 
d) O número de mulheres é o triplo do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
21. (ESAF) Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e 
mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os 
homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. 
 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
 
22. Em uma fila, oito pessoas esperaram, em minutos, os seguintes tempos para serem atendidas: 8, 11, 5, 
14, 16, 11, 8 e 11. O tempo mediano de espera, em minutos, é: 
 
a) 11 
b) 13 
c) 15 
d) 17 
 
23. Dados os conjuntos de valores: 
 
A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10} 
B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 
C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9, 10} 
 
Em relação à moda, afirmamos que: 
I – A é unimodal e a moda é 8. 
II – B é unimodal e a moda é 9. 
III – C é bimodal e as modas são 4 e 9. 
 
Então, em relação às afirmativas, é correto dizer que: 
 
 
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a) Todas são verdadeiras 
b) Todas são falsas 
c) Somente I e II são verdadeiras 
d) Somente I e III são verdadeiras 
e) Somente II e III são verdadeiras 
 
24. Os valores (em 1000 URVs) de 15 imóveis situados em uma determinada quadra são apresentados a 
seguir, em ordem crescente: 30, 32, 35, 38, 50, 58, 64, 78, 80, 80, 90, 112, 180, 240 e 333. Então, a 
mediana dos valores destes imóveis é: 
 
a) 78 
b) 79 
c) 80 
d) 100 
 
25. (ESAF) Assinale a opção correta. 
 
a) A moda é uma medida de posição que permite dividir a distribuição em duas partes de igual 
frequência. 
b) A média harmônica é a média geométrica dos inversos das determinações da variável. 
c) A média aritmética não é influenciada pelos valores extremos da distribuição. 
d) A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da distribuição. 
e) A moda, a mediana e a média aritmética são expressas na mesma unidade de medida da variável a 
que se referem. 
 
 
 
Para a solução da questão seguinte, utilize a série estatística abaixo: 
 
 
 2 5 7 13 
 3 6 9 13 
 3 6 11 13 
 4 6 11 13 
 4 7 12 15 
 
26. (ESAF) Os valores da mediana e da moda da série são, respectivamente: 
 
a) 4 e 15 
b) 7 e 12 
c) 6 e 13 
d) 7 e 13 
e) 9 e 13 
 
27. (ESAF) Marque a alternativa correta: 
 
a) O intervalo de classe que contém a moda é o de maior frequência relativa acumulada 
(crescentemente). 
b) A frequência acumulada denominada “abaixo de” resulta da soma das frequências simples em 
ordem decrescente. 
c) Em uma distribuição de frequências existe uma frequência relativa acumulada unitária, ou no 
primeiro, ou no último intervalo de classe. 
d) O intervalo de classe que contém a mediana é o de maior frequência absoluta simples. 
e) Os intervalos de classe de uma distribuição de frequência têm o ponto médio equidistante dos 
limites inferior e superior de cada classe e sua amplitude ou é constante ou guarda uma relação de 
multiplicidade com a frequência absoluta simples da mesma classe. 
 
 
 
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28. (ESAF) Dado o gráfico abaixo, onde fi é a frequência simples ou absoluta da i-ésima classe, então: 
 
 
 
a) a moda se encontra na 4º classe e é igual a 9; 
b) o número de observações é 42; 
c) como a distribuição é assimétrica, moda = média = mediana; 
d) a frequência acumulada crescente da 3ª classe é 20; 
e) 48fi
7
1i


 
 
29. (ESAF) Considere a distribuição de frequências transcrita a seguir: 
 
Xi fi 
2 4 
4 6 
6 8 
8 10 
10 12 
9 
12 
6 
2 
1 
 
A mediana da distribuição é igual a: 
 
a) 5,30kg 
b) 5,00kg 
c) um valor inferior a 5kg 
d) 5,10kg 
e) 5,20kg 
 
30. O levantamento de dados sobre os salários de 100 funcionários de uma determinada empresa forneceu 
os seguintes resultados: 
 
 
Quantidade de salários 
mínimos 
Quantidade de 
funcionários 
2 4 
4 6 
6 8 
8 10 
10 12 
25 
35 
20 
15 
5 
Total 100 
 
 
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É correto afirmar que: 
a) 20% dos funcionários recebem acima de 6 salários mínimos 
b) a mediana é 7 salários mínimos 
c) 60% dos funcionários recebem menos que 6 salários mínimos 
d) o salário médio é de 7 salários mínimos 
e) 80% dos funcionários recebem de 6 a 8 salários mínimos 
 
31. As distâncias, em milhares de quilômetros, percorridas em um ano pelos 20 táxis de uma empresa, 
estão representadas no quadro seguinte: 
 
 
Distâncias Número de Táxis 
45 55 
55 65 
65 75 
75 85 
85 95 
3 
7 
4 
5 
1 
Total 
 
 
Nestas condições, é correto afirmar que a mediana dessa distribuição, em milhares de quilômetros é: 
 
a) 57 
b) 61 
c) 65 
d) 69 
e) 73 
 
32. (ESAF) Com relação à distribuição de frequências abaixo, podemos dizer que a mediana e a moda: 
 
 
 
Classes fi 
2 4 
4 6 
6 8 
8 10 
10 12 
7 
9 
18 
10 
6 
Total 
 
 
a) Têm valor superior ao da média aritmética 
b) Têm valor inferior ao da média aritmética 
c) Têm o mesmo valor 
d) Diferem por um valor igual a 10% da média aritmética 
e) Diferem por um valor superior a 10% da média aritmética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para efeito das duas próximas questões, considere os seguintes dados: 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS DAS IDADES DOS 
FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1º/1/90 
 
Classes de 
Idades 
(anos) 
Frequência 
(fi) 
Pontos 
Médios 
(Xi) 
di
5
Xi 73-
 fi.di fi.di
2 
fi.di
3
 fi.di
4
 
19,5 24,5 
24,5 29,5 
29,5 34,5 
34,5 39,5 
39,5 44,5 
44,5 49,5 
49,5 54,5 
2 
9 
23 
29 
18 
12 
7 
22 
27 
32 
37 
42 
47 
52 
-3 
-2 
-1 
— 
1 
2 
3 
-6 
-18 
-23 
— 
18 
24 
21 
18 
36 
23 
— 
18 
48 
63 
-54 
-72 
-23 
— 
18 
96 
189 
162 
144 
23 
— 
18 
192 
567 
Total 16 206 154 1106 
 
 
33. (ESAF) Marque a opção que representa a mediana das idadesdos funcionários em 1º/1/90. 
 
a) 35,49 anos 
b) 35,73 anos 
c) 35,91 anos 
d) 37,26 anos 
e) 38,01 anos 
 
34. (ESAF) Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 1º/1/90. 
 
a) 35,97 anos 
b) 36,26 anos 
c) 36,76 anos 
d) 37,03 anos 
e) 37,31 anos 
 
 
 
Para efeito da questão seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 
1º/1/96. 
 
35. (ESAF) Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1º/1/96. 
 
a) 35,49 anos 
b) 36,44 anos 
c) 41,49 anos 
d) 41,91 anos 
e) 43,26 anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para efeito da próxima questão faça uso da tabela de frequências abaixo. 
 
Frequências Acumuladas de Salários Anuais, 
em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário 
Frequências 
Acumuladas 
(3; 6] 12 
(6; 9] 30 
(9; 12] 50 
(12;15] 60 
(15;18] 65 
(18;21] 68 
 
36. (ESAF) Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao 
valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de frequências. 
a) 12,50 
b) 9,60 
c) 9,00 
d) 12,00 
e) 12,10 
 
 
Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que segue. 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de 
natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A 
coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa 
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
37. (ESAF) Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil (= Mediana) da distribuição de 
X. 
 
a) 138,00 
b) 140,00 
c) 136,67 
d) 139,01 
e) 140,66 
 
 
Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. 
 
O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma 
população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguinte: 
 
 
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Classes Frequência (f) 
29,5 – 39,5 4 
39,5 – 49,5 8 
49,5 – 59,5 14 
59,5 – 69,5 20 
69,5 – 79,5 26 
79,5 – 89,5 18 
89,5 – 99,5 10 
 
38. (ESAF) Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. 
 
a) 71,04 
b) 65,02 
c) 75,03 
d) 68,08 
e) 70,02 
 
39. (ESAF) Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. 
 
a) 69,50 
b) 73,78 
c) 71,20 
d) 74,53 
e) 80,10 
 
40. (ESAF) A tabela de frequências abaixo apresenta as frequências acumuladas (F) correspondentes a 
uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do 
departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as 
extremidades das classes salariais. 
 
 
Classes F 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
Assinale a opção que corresponde ao salário modal anual estimado para o departamento de 
fiscalização da Cia. X, no conceito de Czuber. 
 
a) 94,5 
b) 74,5 
c) 71,0 
d) 69,7 
e) 73,8 
 
41. (ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a partir de uma 
amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de frequências seguinte: 
 
 
 
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Classe de 
Preços 
mi fi 
[5 – 9) 7 3 
[9 – 13) 11 5 
[13 – 17) 15 7 
[17 – 21) 19 6 
[21 – 25) 23 3 
[25 – 29) 27 1 
 
Deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale a opção que melhor 
aproxima este valor. 
a) 16 
b) 19 
c) 17 
d) 11 
e) 14,2 
 
42. Dada a distribuição de frequência abaixo, indique o valor da Moda e Mediana, respectivamente: 
 
Classes Fi 
4 6 12 
6 8 36 
8 10 18 
10 12 4 
 
a) 7,14 e 7,28 
b) 6,54 e 5,78 
c) 7,24 e 6,38 
d) 5,84 e 7,5 
e) 6,24 e 6,78 
 
43. (ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de frequência obtida de uma amostra aleatória dos 
salários anuais em reais de uma firma. As frequências são acumuladas. 
 
Classes de Salário Frequências 
(5.000-6.500) 12 
(6.500-8.000) 28 
(8.000-9.500) 52 
(9.500-11.000) 74 
(11.000-12.500) 89 
(12.500-14.000) 97 
(14.000-15.500) 100 
 
Assinale a opção que corresponde ao salário mediano 
 
a) R$ 10.250, 
b) R$ 8.000, 
c) R$ 8.700, 
d) R$ 9.375, 
e) R$ 9.500, 
 
44. Considere a seguinte distribuição de frequências: 
 
 
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Classes fi 
0 5 
5 10 
10 15 
15 20 
20 25 
20 
20 
40 
10 
10 
Total 
 
A moda da distribuição é: 
a) 12,5; dada a simetria da distribuição. 
b) Inferior à média aritmética e à mediana. 
c) Superior à média aritmética e à mediana. 
d) Igual à menor frequência simples absoluta. 
e) Igual à média aritmética. 
 
Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. 
 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do atributo salário mensal medido em quantidade 
de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes 
refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual 
da frequência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
Classes P 
4 – 8 20 
8 – 12 60 
12 – 16 80 
16 – 20 98 
20 – 24 100 
 
45. (ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário modal no conceito de Czuber. 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 16 
 
46. (ESAF) Assinale a opção que corresponde ao salário mediano calculado a partir de dados agrupados 
por interpolação da ogiva. 
a) 12 
b) 9 
c) 8 
d) 10 
e) 11 
 
As duas próximas questões dizem respeito à distribuição de frequências seguinte associada ao atributo de 
interesse X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes 
Frequências 
Simples 
0-10 120 
10-20 90 
20-30 70 
30-40 40 
40-50 20 
 
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47. (ESAF) Assinale a opção que dá a moda no conceito de Czuber. 
a) 5 
b) 4 
c) 8 
d) 10 
e) 15 
 
48. (ESAF) Assinale a opção que dá o valor aproximado da mediana amostral das observações de X. 
a) 20,0 
b) 5,0 
c) 12,0 
d) 15,8 
e) 15,6 
 
49. (ESAF) Na distribuição de frequências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos 
das classes. 
 
Classe Frequência Acumulada 
129,5-139,5 4 
139,5-149,5 12 
149,5-159,5 26 
159,5-169,5 46 
169,5-179,5 72 
179,5-189,5 90 
189,5-199,5 100 
 
Assinale a opção quecorresponde ao oitavo decil. 
a) 179,5 
b) 189,5 
c) 183,9 
d) 184,5 
e) 174,5 
 
50. (ESAF) Para uma amostra aleatória de determinado atributo encontrou-se a seguinte distribuição de 
frequências. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes Frequências 
2000 – 4000 18 
4000 – 6000 45 
6000 – 8000 102 
8000 – 10000 143 
10000 – 12000 32 
12000 – 14000 60 
 
Assinale a opção que corresponde à melhor aproximação do nonagésimo quinto percentil. 
a) 13.000 
b) 12.585 
c) 13.333 
d) 12.667 
e) 13.900 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
E A C E D C E E D D 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
A B D A E B A D A C 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
A A D A E D C E B C 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
C A D B E B C A B E 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
A A D C C E C E C C