teste_1_Civil_20201

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Teste 1 - Algoritmos Numéricos- DI
NOME: .
1. (1.5) Pode se obter aproximações para I =
∫ b
a f(x)dx, usando um método simples: a
regra dos retângulos. Nesta regra, divide-se o intervalo [a, b] em N subintervalos de
largura fixa h = (b− a)/N (gerando os pontos x0 = a, ..., xN = b) e, então, soma-se
as áreas dos N retângulos, ou seja, via: I ≈
∑N−1
i=0 h ∗ f(xi).
Suponha que se queira obter I =
∫ b=1.5
a=0.3 (1/x
2)dx por esta regra. O algoritmo, abaixo,
calcula esta aproximação, usando uma posśıvel versão e usando N = 4:
Algoritmo Integracao Retangulos.
INICIO
N=4
a=0.3
h = (1.5-0.3)/N
x= a
soma=0
Para i de 1 ate N
q = x*x
f = 1/q
soma = soma + f
Escreva(’Neste ponto f e soma valem:’, f, soma) %linha (*)
x=x+h
Fim %{para i}
IntRet = h* soma
Escreva (’O valor da Integral e: ’, IntRet) %linha (**)
FIM
Obs: o simbolo % refere -se a comentario a informação inicial refere-se ao número
da linha do código.
(a)(1.0) Calcule o valor de I, por esta regra, fornecido por este algoritmo, simulando
as operações executadas por um computador que opere com aritmética de ponto flu-
tuante normalizado, com t = 3 d́ıgitos significativos na mantissa, base 10 e expoente
(inteiro) em [−10, 10].
Mostre os valores das variáveis f e soma na linha “linha (*)” e o valor de IntRet na
na linha indicada por “linha (**)”. OBS: (1) Os arredondamentos devem ser feitos
por corte (chopping) isto é, desprezar todos os d́ıgitos partir do (t+ 1) ésimo d́ıgito.
(2) Não é necessário ficar escrevendo os valores numéricos obtidos usando potências
de 10 (mas, se preferir, pode empregá-las). É importante mostrar o valor que fica
armazenado na memória após cada cálculo.
(b) (0.5) Há erro de arredondamento no valor de I obtido em (a)? Justifique a sua
resposta.
2. (1.0) Dado um sistema linear triangular superior ax = b, de ordem n, não singular
(det a 6= 0).
Uma forma de obter a solução deste sistema é via a substituição regressiva, que
consiste em calcular a solução obtendo primeiro a solução da última equação e “indo”
até a primeira.
Considere um sistema ainda mais espećıfico: seja triangular superior mas tenha
apenas duas incógnitas nas equações de indices 1 até (n − 1), ou seja, tenha a
seguinte configuração:

a1,1x1 + a1,2x2 + 0 + ... + 0 = b1
a2,2x2 + a2,3x3 + 0... + 0 = b2
. . . ...
... ... = ...
ai,ixi + ai,i+1xi+1 + 0 = bi
. . .
... ... = ...
an−1,n−1xn−1 + an−1,nxn = bn−1
an,nxn = bn
Neste caso, a solução pode ser obtida, ainda, via substituição regressiva mas fazendo
menos operações.
(a)(0.5) Escreva as seguintes expressões (matemáticas):
a expressão para a obtenção da incógnita xn a partir da última equação
a expressão para a obtenção da incógnita xn−1 a partir da penúltima equação
a expressão para a obtenção da incógnita xi a partir da i ésima equação
(a)(0.5) Escreva o código (em octave) para resolver um sistema linear ax = b,
dimensão n qualquer, com a configuração descrita acima, via substituição sucessivas,
tirando proveito (isto é, não fazendo operações desnecessariamente) do fato que o
sistema, além de ser triangular superior, apresenta esta configuração particular.
Considere que os elementos de a e b já foram lidos (ou seja, já estão na memória, e que
pode ser de qualquer dimensão, com dimensões compat́ıveis). Se quiser, considere
também que o valor de n também já foi fornecido. Faça referência aos elementos de
a usandos 2 ı́ndices, isto é, algo do tipo a(i, j) para os elementos de a e um ı́ndice
para os elementos de b.
Invente um problema de dimensão 4x4 (n = 4) que quiser e rode o seu código para
este exemplo. O sistema inventado tem que apresentar as caracteŕıscas mencionadas
no enunciando acima.
Indique o exemplo escolhido e a solução obtida.
Obs: só para não haver dúvidas, o algoritmo deve ser projetado para resolver pro-
blema de dimensão n qualquer.