Fundamentos de Física Quântica (efeito fotoelétrico, comportamento ondulatório de partículas, equação de Schroedinger e mecânica quântica)

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Fundamentos de Física Quântica 1
⚛
Fundamentos de Física Quântica
Comportamento da luz (dualidade onda-partícula): 
Princípio da complementaridade (Bohr, 1928): A descrição ondulatória é complementar à descrição corpuscular. 
Ou seja, precisamos das duas descrições para completar nosso modelo da natureza, mas nunca precisaremos 
usar ambas as descrições simultaneamente para descrever uma determinada ocorrência.
Ondulatório: Descrito pelas equações de Maxwell (onda eletromagnética), e comprovada através do 
fenômeno de difração em fendas (Thomas Young)
Partícula: Explica fenômenos como reflexão e refração, além do efeito fotoelétrico (natureza quantizada, 
pacotes denominados fótons/quanta)
Efeito Fotoelétrico
Para se desprender da superfície, um elétron tem de absorver energia suficiente da luz para superar a 
atração dos íons positivos do material. Essas forças de atração constituem uma barreira de energia 
potencial (sua função trabalho). 
Aplicação - Óculos para visão noturna
Um tubo fotomultiplicador para visão noturna usa o efeito fotoelétrico. Os fótons que entram no tubo 
colidem com a placa, ejetando elétrons que passam através de um disco fino, no qual existem milhões 
de minúsculos canais. A corrente através de cada canal é ampliada eletronicamente e, a seguir, 
direcionada para uma tela que cintila quando atingida por elétrons. A imagem sobre a tela, formada por 
milhões de cintilações, é milhares de vezes mais nítida que a imagem formada a olho nu.
Experimento
Dois eletrodos condutores encontram-se no interior de um tubo de vidro a vácuo, são conectados por 
uma bateria e o catodo é iluminado. Dependendo da diferença de potencial entre os dois catodos, 
os elétrons emitidos pelo catodo iluminado (chamados de fotoelétrons) podem atravessar o anodo, 
VAC
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produzindo uma corrente fotoelétrica no circuito externo (o tubo é submetido a vácuo total ou parcial 
para minimizar as colisões dos elétrons com as moléculas gasosas).
O catodo iluminado emite fotoelétrons com várias energias cinéticas. Se o campo elétrico aponta para o 
catodo, todos os elétrons são acelerados em direção ao anodo e contribuem para a corrente fotoelétrica. 
No entanto, ao reverter o campo e ajustar sua intensidade, podemos evitar que elétrons com energia 
menor alcancem o anodo. De fato, podemos determinar a energia cinética máxima dos elétrons 
emitidos fazendo o potencial do anodo relativo ao catodo, , negativo o suficiente para que a 
corrente pare. Isso ocorrerá quando , onde é chamada de potencial de corte. Na medida 
que um elétron se move do catodo para o anodo, o potencial diminui por e o trabalho negativo 
é exercido sobre o elétron (carregado negativamente). O elétron com mais energia deixa o catodo com 
energia cinética e possui energia cinética zero no anodo. Utilizando o teorema 
trabalho energia, temos:
Resultados experimentais:
A corrente fotoelétrica depende da frequência da luz. Para um determinado material, a luz 
monocromática com uma frequência abaixo da frequência de corte mínima não produz nenhuma 
corrente fotoelétrica, independentemente de sua intensidade. O único efeito do aumento da 
Km xá
VAC
V =AC −V0 V0
Vo −eVo
K =m xá mv2
1
m xá
2
W = ΔK → qV = K −f K →i −eV =0 0 − mv2
1
max
2
K =m xá eV =o mv2
1
max
2
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intensidade é o aumento do número de elétrons por segundo e, consequentemente, a corrente 
fotoelétrica .
Não existe um intervalo de tempo mensurável entre o instante em que a luz é ligada e aquele em 
que o catodo emite fotoelétrons (supondo que a frequência da luz supere a frequência de corte). 
Essa é uma verdade, também, independentemente do quanto a luz é fraca.
Quanto maior a frequência da luz, maior é a energia dos fotoelétrons liberados. Chega-se a 
conclusão portanto que a energia dos fótons é proporcional a frequência da luz, com constante de 
proporcionalidade , denominada constante de plank. , sendo 
, ou ( )
Einstein postulou então, que um feixe de luz era constituído por pequenos pacotes de energia, chamados 
fótons ou quanta. Em sua teoria, um único fóton chegando em uma superfície é absorvido por um único 
elétron. Essa transferência de energia é um processo de tudo ou nada, contrastando com a transferência 
contínua de energia que existe na teoria de onda da luz; o elétron absorve toda a energia do próton ou 
absolutamente nenhuma. O elétron pode se desprender da superfície somente se a energia que ele adquirir 
for maior que a função trabalho (que corresponde a energia das interações que prendem o elétron ao 
material). Dessa forma, os fotoelétrons serão emitidos somente se ou . Portanto, o 
postulado de Einstein explica por que o efeito fotoelétrico ocorre apenas para frequências superiores a um 
limite mínimo de frequência. Esse postulado também é consistente com a observação de que maior 
intensidade provoca maior corrente fotoelétrica. O postulado de Einstein também explica por que não existe 
intervalo algum entre a iluminação e a emissão de fotoelétrons. Assim que fótons com energia suficiente 
atingem a superfície, elétrons podem absorvê-los e ser liberados. A energia desses pacotes é dada pela 
relação .
Fótons também apresentam a dualidade onda-partícula: apesar de serem unidades de energia, fótons 
viajam na velocidade da luz e possuem zero massa de repouso. Além do mais, os fótons possuem 
características de onda (frequência e comprimento) que são facilmente observáveis.
i
As curvas se estabilizam quando é suficientemente grande e positiva, pois nesse ponto todos os elétrons emitidos 
são coletados pelo anodo)
VAC
h E = hf h = 6, 62606957(29) ×
10  J ⋅ s−34 h = 4, 136 × 10 eV ⋅−15 s 1eV = 1, 602 × 10 J−19
ϕ
hf > ϕ f > ϕ/h
E = hf
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Ou seja, expressando a tensão de corte como uma função linear da frequência, temos:
A tensão de corte corresponde a tensão através da qual o elétron ejetado pelo catodo é desacelerado 
(via campo elétrico) até , não sendo possível assim, detectar fluxo de corrente no circuito.
Sendo (teoria da relatividade de Einstein, que afirma que toda partícula que possui 
energia também deve possuir momento linear). Assim:
 Momento linear de um fóton
O efeito fotoelétrico fornece evidências convincentes de que a luz é absorvida na forma de fótons. No entanto, 
para físicos aceitarem o conceito radical de fótons elaborado por Einstein, também foi necessário mostrar que a 
luz é emitida como fótons. Uma experiência que demonstra isso de forma convincente é o inverso do efeito 
fotoelétrico: em vez da liberação dos elétrons de uma superfície pela incidência de radiação eletromagnética 
sobre ela, fazemos que essa superfície venha a emitir radiação — mais especificamente, raios X — ao 
bombardeá-la com elétrons de velocidades elevadas.
Bremsstrahlung
Raios X foram produzidos pela primeira vez em 1895, pelo físico alemão Wilhelm Röntgen. Quando o catodo 
é aquecido até uma temperatura muito elevada, ele libera elétrons em um processo chamado emissão 
termoiônica (assim como no efeito fotoelétrico, a energia mínima que um elétron individual precisa que lhe 
seja dado para se desprender da superfície do catodo é igual à função trabalho da superfície. Nesse caso, a 
energia é fornecida aos elétrons pelo calor em vez da luz). Os elétrons são então acelerados no sentido do 
anodo pela diferença de potencial . No bulbo é criado vácuo, para evitar colisões com moléculas de ar. 
Quando for maior que alguns milhares de volts, raios X são emitidos da superfície do anodo.
V (f) =0 ( )f−( )
e
h
e
ϕ
V0
v = 0
E = m c + p c2 4 2 2
p = =
c
E
=
c
hf
λ
h
VAC
VAC
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Um elétron possui carga e e ganha energia cinética quando acelerado por uma diferença de potencial 
. O fóton mais energético (maior frequência e menor comprimento de onda) é produzido se o elétron é 
freado e para de uma vez quando atinge o anodo, de modo que toda a energia cinéticado elétron é usada 
para produzir um fóton, ou seja:
Nessa equação não consideramos a função trabalho de um anodo-alvo e a energia cinética inicial dos 
elétrons “fervidos” do catodo. Essas energias são muito pequenas se comparadas à energia cinética 
obtida pela diferença de potencial. Se somente uma parte da energia cinética do elétron for usada na 
produção do fóton, a energia desse fóton será menor que e o comprimento de onda será menor que 
.
Difração e interferência do fóton
eVAC
VAC
bremsstrahlung (palavra alemã que significa “freio da radiação”): energia liberada após a colisão com o anodo.
eVAC
eVAC
λmin
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Em vez de registrar a imagem da figura de difração em uma placa fotográfica, podemos usar um tubo 
fotomultiplicador que serve, na verdade, para detectar até um único elétron. Neste experimento verificamos 
que, na média, a distribuição dos fótons concorda com nossas previsões baseadas na figura de difração. Em 
pontos correspondentes aos máximos contamos muitos fótons, nos mínimos não contamos quase nenhum 
fóton, e assim por diante. 
Suponha agora que a intensidade seja reduzida a tal ponto que somente alguns fótons por segundo passem 
através da fenda. Assim, registramos uma série discreta de colisões, cada uma representando um único 
fóton. Como não há uma maneira de prever o local exato em que um único fóton vai colidir, ao longo do 
tempo as colisões acumuladas formam a figura de difração esperada. Para reconciliar a descrição 
ondulatória com a descrição corpuscular da figura de difração, devemos encarar essa figura como uma 
distribuição estatística que nos informa quantos fótons, na média, atingem cada local. De modo equivalente, 
a figura nos diz a probabilidade de que um fóton individual atinja um determinado ponto. Se fizermos nosso 
feixe de luz brilhar em um dispositivo de fenda dupla, obtemos um resultado similar.
O princípio da complementaridade se aplica a essas experiências de interferência e difração de forma que o 
viés ondulatório explica as experiências da fenda única e da fenda dupla. Já a descrição corpuscular explica 
como um detector fotomultiplicador pode ser usado para construir a figura de interferência mediante a adição 
de pacotes discretos de energia. As duas descrições completam nossa compreensão dos resultados.
Natureza ondulatória das partículas
Louis De Broglie quem fez uma proposta marcante sobre a natureza da matéria. Seu pensamento foi: a 
natureza ama a simetria. A luz possui uma natureza dual, comportando-se em algumas situações como 
onda e em outras, como partícula. Se a natureza é simétrica, essa dualidade também deveria ser válida para 
a matéria. Verificou-se então que os elétrons podem interferir e refratar, assim como outros tipos de onda. A 
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natureza ondulatória dos elétrons não é simplesmente uma curiosidade de laboratório: é o motivo 
fundamental para que os átomos, que, de acordo com a física clássica deveriam ser instáveis, sejam 
capazes de existir.
Se uma partícula se comporta como onda, ela deve ter um comprimento de onda e uma frequência. De 
Broglie postulou que uma partícula livre com massa de repouso , deslocando-se com velocidade não 
relativística , deve ter um comprimento de onda associada a seu momento linear do mesmo 
modo que um fóton, de tal forma que:
 e a energia de tal partícula é dada pela mesma relação que o fóton ( ). 
Para um elétron, temos:
 e se o elétron for acelerado de um ponto até um ponto por um aumento de 
potencial temos que o trabalho realizado sob o elétron é e é igual ao seu acréscimo de 
energia cinética. Assim, o momento linear do elétron é e seu comprimento de onda de De 
Broglie se torna .
De acordo com De Broglie, cada partícula tem associado um comprimento de onda correspondente ao seu 
comportamento ondulatório. No entanto, para objetos do nosso cotidiano, o comprimento de onda associado 
é muito inferior as dimensões de um raio ou núcleo atômico, impossibilitando a observação das 
propriedades ondulatórias de por exemplo um grão de areia, que necessita de uma fenda de largura de 
grandeza (sendo que dimensões de um átomo típico estão por volta de ) para que seja 
possível observar seu comportamento ondulatório.
Materiais aquecidos emitem luz, e diferentes materiais emitem diferentes tipos de luz. Se a fonte de luz for um 
sólido quente (como o filamento de uma lâmpada incandescente) ou um líquido, o espectro é contínuo. Mas, se a 
fonte for um gás aquecido, como o neônio em uma placa, o espectro inclui apenas algumas cores na forma de 
linhas paralelas nítidas e isoladas. Um espectro desse tipo é chamado de linha espectral de emissão, e as linhas 
são chamadas de linhas espectrais. Cada linha espectral corresponde a um comprimento de onda e a uma 
frequência definida.
Embora um gás aquecido emita seletivamente apenas certos comprimentos de onda, um gás frio absorve 
seletivamente certos comprimentos de onda. Se passarmos uma luz branca (espectro contínuo) por um gás e 
examinarmos a luz transmitida com um espectrômetro, encontramos uma série de linhas escuras correspondentes 
aos comprimentos de onda que foram absorvidos. Isso é denominado linha espectral de absorção. Ou seja, 
determinado tipo de átomo ou molécula absorve um conjunto característico de comprimentos de onda quando está 
frio igual ao que emite quando está aquecido. Logo, os cientistas podem usar a linha espectral de absorção para 
identificar substâncias da mesma maneira que usam a linha espectral de emissão
Modelo atômico de Bohr
Devido a inconsistências no modelo atômico em vigor em 1913, Niels Bohr propôs uma nova explicação para 
explicar a estabilidade atômica, que de acordo com a teoria eletromagnética clássica, afirma que qualquer carga 
elétrica em aceleração (oscilando ou girando) irradia ondas eletromagnéticas. Dessa forma o elétron perderia 
energia de forma contínua, emitindo um espectro contínuo de emissão, e eventualmente colidindo com o 
núcleo.
O raciocínio de Bohr era este. A linha espectral de emissão de um elemento nos diz que os átomos desse 
elemento emitem fótons somente em certas frequências específicas e, portanto, com certas energias 
m
v λ p = mv
λ = =
p
h
mv
h
E = hf
K = mv =
2
1 2
2m
p2
a b
V =ba V −b Va eVba
p = 2meVba
λ = =
p
h
2meVba
h
≈ 10 m−24 10 m−10
f
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específicas . Durante a emissão de um fóton, a energia interna do átomo muda por uma grandeza igual 
à energia do fóton. Portanto, cada átomo só deverá ser capaz de existir com certos valores específicos de 
energia interna. Cada átomo possui um conjunto de níveis de energia possíveis. Um átomo pode ter uma 
quantidade de energia interna igual a qualquer um desses níveis, mas não pode ter uma energia intermediária 
entre dois níveis. Todos os átomos isolados de determinado elemento têm o mesmo conjunto de níveis de 
energia, mas os átomos de diferentes elementos têm diferentes conjuntos. De acordo com Bohr, um átomo 
excitado pode fazer uma transição de um nível de energia para um nível inferior emitindo um fóton com energia 
igual à diferença de energia entre os níveis inicial e final. 
A linha espectral de emissão mostra que muitos comprimentos de onda diferentes são emitidos por cada átomo. 
Logo, cada tipo de átomo precisa ter uma série de níveis de energia, com diferentes espaçamentos na energia 
entre eles. Cada comprimento de onda no espectro corresponde a uma transição entre dois níveis de energia 
atômicos específicos (número de raias no espectro , sendo o número de níveis possíveis).
A observação de que os átomos são estáveis significa que cada átomo tem o nível de energia mais baixo, 
chamado nível básico. Os níveis com energias maiores que o nível básico são chamados níveis excitados. Um 
átomo em um nível excitado, chamado átomo excitado, pode fazer uma transição para o nível básico emitindo 
um fóton. Mas, como não existemníveis baixos do nível básico, um átomo no nível básico não pode perder 
energia e, portanto, não pode emitir um fóton. Se esse átomo inicialmente no nível de energia mais baixo for 
atingido por um fóton exatamente com a quantidade de energia certa, o fóton pode ser absorvido e o átomo 
acabará no nível mais alto. Em outras palavras, um átomo absorve os mesmos comprimentos de onda que ele 
emite. Isso explica a correspondência entre a linha espectral de emissão de um elemento e sua linha espectral 
de absorção.
Um átomo que tenha sido excitado para um nível de energia alto, seja por absorção de fóton, seja por colisões, 
não permanece lá por muito tempo. Depois de pouco tempo, chamado tempo de vida do nível (normalmente em 
torno de s), o átomo excitado emitirá um fóton e fará uma transição para um nível excitado mais baixo ou 
para o nível básico. Um gás frio que é iluminado pela luz branca para criar uma linha espectral de absorção, 
portanto, também produz uma linha espectral de emissão quando visto de lado, pois, quando os átomos perdem 
a excitação, eles emitem fótons em todas as direções.
E = hf
hf = =
λ
hc
E −i Ef
= Cn,2 n
10−8
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Suponha que tomemos um gás de átomos hipotéticos e o iluminemos com luz violeta com 414 nm de 
comprimento de onda. Os átomos no nível básico podem absorver esse fóton e fazer uma transição para o nível 
de 3,00 eV. Alguns desses átomos farão uma transição de volta ao nível básico emitindo um fóton de 414 nm. 
Porém, outros átomos retornarão ao nível básico em duas etapas, primeiro emitindo um fóton de 620 nm para 
fazer a transição para o nível de 1,00 eV, depois um fóton de 1.240 nm para fazer a transição de volta ao nível 
básico. Assim, esse gás emitirá radiação com comprimento de onda maior do que ele absorve, um fenômeno 
chamado fluorescência. Por exemplo, a descarga elétrica em uma lâmpada fluorescente faz com que o vapor 
de mercúrio no tubo emita radiação ultravioleta. Essa radiação é absorvida pelos átomos do revestimento no 
interior do tubo. Os átomos do revestimento, então, reemitem a luz no comprimento de onda maior, a parte 
visível do espectro. As lâmpadas fluorescentes são mais eficientes que as incandescentes na conversão de 
energia elétrica em luz visível, pois não desperdiçam tanta energia produzindo fótons infravermelhos 
(invisíveis).
A quantização dos níveis de energia postulado por Bohr resultou em outras grandezas também quantizadas, 
como o momento angular do elétron. De tal forma que .
Uma vez que elétrons em níveis estacionários não emitem continuamente energia, podemos usar a imagem de 
De Broglie das ondas eletrônicas. Em vez de visualizar o elétron orbitando como uma partícula que se move em 
torno do núcleo em uma trajetória circular, pense nele como uma onda estacionária senoidal com comprimento 
de onda , que se estende em torno do círculo. Uma onda estacionária em uma corda não transmite energia, e 
os elétrons nas órbitas de Bohr não irradiam energia. Para que a onda “saia uniforme” e se junte suavemente 
consigo mesma, a circunferência desse círculo precisa incluir algum número inteiro de comprimentos de onda. 
Logo, para uma órbita com raio e circunferência , precisamos ter , onde é o 
comprimento de onda e 
Átomo de Hidrogênio segundo Bohr
Para o átomo de hidrogênio, temos que a força que promove a ação centrípeta no elétron é de natureza 
Coulombiana. Assim:
 que é numericamente igual a . 
Logo, obtemos que os raios de cada nível energético possível, e suas velocidades correspondentes 
também são grandezas quantizadas, de acordo com:
 e 
L =n mv r =n n n2π
h
λ
rn 2πrn 2πr =n nλn λn
n = 1, 2, 3, ...
F =
4πϵ0
1
rn
2
e2
F =c
rn
mvn
2
r =n ϵ0
πme2
n h2 2
v =n
ϵ0
1
2nh
e2
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Dessa forma, o menor raio orbital corresponde á . Esse raio mínimo é chamado raio de Bohr, e é 
dado por . Os demais raios são dados então como função do raio de Bohr, segundo 
a relação .
Níveis de energia
Conhecendo a velocidade de cada órbita, podemos encontrar a energia associada:
 e logo 
 Temos então a relação para a energia quantizada.
Utilizando a notação , onde (constante de Rydberg), podemos expressar o 
comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron salta de uma órbita mais alta (upper) para uma 
mais baixa (lower) com a seguinte expressão:
Um teste adicional do modelo de Bohr é seu valor previsto da energia de ionização do átomo de hidrogênio. 
Esta é a energia exigida para remover o elétron completamente do átomo. A ionização corresponde a uma 
transição do nível básico para um raio orbital infinitamente grande ( , de modo que a 
energia que deverá ser adicionada ao átomo é (lembre-se de que E1 é 
negativo). A substituição das constantes na equação gera uma energia de ionização de 13,606 eV.
n = 1
a =0 5, 29 × 10 m−11
r =m n a2 0
K =n mv =2
1
n
2
ϵ0
2
1
8n h2 2
me4
U =n − =4πϵ0
1
rn
e2
−
ϵ0
2
1
4n h2 2
me4
E =n
K +n U =n −
ϵ0
2
1
8n h2 2
me4
E =n −
n2
hcR
R =
8ϵ h c02 3
me4
ΔE = =
λ
hc
E −nu E =nl (− )−(−nU
2
hcR
) =
nL
2
hcR
hcr( −
nL
2
1
)
nU
2
1
(n = 1) (n = ∞)
E −∞ E =1 0 −E =1 −E1
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Átomos do tipo átomo de hidrogênio
Podemos estender o modelo de Bohr para outros átomos de um elétron, como o hélio unicamente ionizado 
( ), o lítio duplamente ionizado ( ) e assim por diante. Esses átomos são denominados átomos do 
tipo do átomo de hidrogênio. Neles, uma carga nuclear não é , mas , onde é o número atômico, igual 
ao número de prótons no núcleo. O efeito na análise anterior é substituir em todos os lugares por . É 
preciso observar que os raios orbitais dados tornam-se menores por um fator de , e os níveis de 
energia são multiplicados por .
Experiência de fenda dupla com elétrons
A figura formada no anteparo corresponde ao mesmo padrão de interferência visto para os fótons. Além do 
mais, o princípio da complementaridade nos diz que não podemos aplicar os modelos de onda e partícula 
simultaneamente para descrever qualquer elemento isolado dessa experiência. Assim, não podemos prever 
exatamente onde na figura (um fenômeno ondulatório) qualquer elétron individual (uma partícula) pousará. 
ATENÇÃO: Interferência de elétrons em fenda dupla não é interferência entre dois elétrons. Um erro de 
conceito comum é acreditar que o padrão se deve à interferência entre duas ondas de elétrons, cada uma 
representando um elétron que passa por uma fenda. Para mostrar que esse não é o caso, podemos enviar 
apenas um elétron de cada vez através do dispositivo. Não faz diferença; acabamos com a mesma figura de 
interferência. De certa forma, cada onda de elétrons interfere consigo mesma. Vemos assim, a dualidade onda-
partícula do elétron, em um experimento de interferência, a partir de uma fenda de dimensões comparáveis com 
o o comprimento de onda de um elétron de De Broglie (espaçamento de grandeza próxima ao espaçamento 
entre átomos de um cristal).
Mecânica Quântica:
A equação de Schrödinger é a máxima fundamental para a mecânica quântica, assim como as leis de Newton são 
para a mecânica e as equações de Maxwell são para o eletromagnetismo.
Há evidências convincentes de que, em uma escala atômica ou subatômica, um objeto como um elétron não 
pode ser descrito simplesmente como uma partícula newtoniana clássica. Em vez disso, devemos levar em 
conta suas características de onda.
Uma vez que conhecemos a função de onda de um movimento de onda específico, sabemos tudo o que há 
para saber sobre o movimento. Por exemplo, podemos encontrar a velocidade e a aceleração de qualquer 
He+ Li2+
e Ze Z
e2 Ze2
rn Z
En Z
2
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ponto da corda a qualquer momento.
Sendo assim, parece natural utilizarmos uma função de onda como o elemento central de nossa linguagem da 
mecânica quântica. O símbolo tradicionalmente usado para essa função de onda é a letra grega psi, .Em 
geral usaremos a letra maiúscula para representar uma função de todas as coordenadas espaciais e de tempo. 
Por outro lado, em minúsculo será usado apenas para a função de coordenadas espaciais — não de tempo.
Em geral, a função de onda de uma partícula depende de todas as três dimensões do espaço. No entanto, para 
simplificar vamos começar nosso estudo dessas funções considerando o movimento unidimensional, no qual uma 
partícula de massa m se move paralelamente ao eixo x e a função de onda depende somente da coordenada x e 
do tempo t.
Sabemos que qualquer função de onda y(x, t) que descreve uma onda em uma corda deve satisfazer a equação de 
onda:
 onde é a velocidade da onda na corda, independentemente do seu comprimento 
de onda.
Para uma onda se movendo na direção positiva de e comprimento de onda e frequência , e equação 
, ao utilizarmos a relação derivada acima, obtemos: 
ou seja ou ainda de tal forma que obtemos finalmente .
Essa equação é exatamente o relacionamento conhecido entre velocidade da onda, comprimento da onda e 
frequência para ondas em uma corda. Sendo assim, nossos cálculos mostram que a equação acima é uma função 
de onda válida, para ondas em uma corda para quaisquer valores de A e B, dado que e estão relacionados por 
Partícula livre:
A equação de onda para partículas não pode ser exatamente igual á para uma onda em uma corda, uma vez 
que a relação entre e são diferentes. PROVA:
Para uma partícula livre, que não sofre a influência de nenhuma força sobre ela, durante todo o seu 
movimento ao longo do eixo x, temos que sua energia potencial tem o mesmo valor para todo valor 
assumido por x (uma vez que, que , então força zero significa que a energia potencial 
tem derivada zero). Para simplificar, vamos assumir para todo x. 
Dessa forma, sua energia mecânica é composta unicamente pela energia cinética 
sendo . Sendo e substituimos na equação desenvolvida 
para energia da partícula e obtemos 
 temos assim, a relação entre e para uma onda de partícula. Vemos que esta equação é 
muito diferente da relação correspondente para ondas em uma corda: para esta, a frequência angular é 
proporcional ao quadrado do número da onda, ao passo que, para as ondas sobre uma corda, é apenas 
diretamente proporcional a . 
Buscando uma forma análoga á uma onda em uma corda, temos:
Ψ ou ψ
Ψ
ψ
Ψ
=
∂x2
∂ y(x, t)2
v2
1
∂t2
∂ y(x, t)2
v
x λ f
y(x, t) = A cos (kx− wt) +B sin (kx− wt) k =2
v2
ω2
k =
v
ω
=
λ
2π
v
2πf
v = λf
v k
ω = vk
v k
U(x)
Fx = –dU(x)/dx
U = 0
E = mv =
2
1 2
2m
p2
p = mv E = ℏω (E = hf) p = ℏk (p = )
λ
h
ℏω =
2m
ℏ k2 2
ω k
k
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 para uma partícula de massa , momento , movendo-
se na direção positiva do eixo ordenado. Vemos assim que uma derivada temporal nos fornece o termo " " 
necessário ao membro esquerdo da equação, ao passo que uma derivada espacial segunda fornece o termo 
" ". As demais constantes são adicionadas para se obter equidade. Assim, temos nossa equação de onda 
primitiva:
 cujo termo C foi adicionado como um fator de correção. Derivando 
assim a equação de onda , temos:
 Assim, 
igualando os termos correspondentes, para que nosso protótipo de equação de onda satisfaça para todo e 
, temos ou seja, o fator de correção .
A presença do número imaginário significa que as soluções para a equação de Schrödinger são grandezas 
complexas, com uma parte real e outra parte imaginária. Um exemplo é a nossa função de onda de partícula 
livre: uma vez que descobrimos que , concluímos que, . Logo:
 
que pode ser reescrita como .
Veja como compreender essa função: descreve a distribuição de uma partícula no espaço, 
exatamente como as funções de onda para uma onda eletromagnética descrevem a distribuição dos campos 
elétricos e magnéticos. Quando estudamos padrões de interferência e difração, verificamos que a 
intensidade da radiação em qualquer ponto em um padrão é proporcional ao quadrado da magnitude do 
campo elétrico — isto é, . 
Da mesma maneira, o quadrado da função de onda de uma partícula em cada ponto nos informa sobre a 
probabilidade de encontrar a partícula em torno desse ponto. Mais precisamente, deveríamos dizer o 
quadrado do valor absoluto da função de onda, . Isso é necessário porque, como vimos, a função 
de onda é uma grandeza complexa com partes real e imaginária.
Para uma partícula que pode se mover apenas ao longo do eixo , a grandeza é a probabilidade 
de que a partícula seja encontrada no tempo em uma coordenada entre e . É mais provável a 
partícula ser encontrada em regiões onde é grande, e assim por diante.
Para calcular então o módulo da equação de onda, multiplicamos pelo seu conjugado (obtido 
substituindo por ). Assim:
 
Vemos assim que a função de distribuição de probabilidade não depende da posição, o que significa que 
existe a mesma probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar ao longo do eixo ! 
Matematicamente, isso ocorre porque a função de onda senoidal se estende por todo o caminho desde 
 até com a mesma amplitude .
Isso também significa que a função de onda não pode ser normalizada: a integral de sobre todo o 
espaço é infinito para qualquer valor de . Ou seja, a integral de sobre todos os valores 
possíveis de deve ser exatamente igual a 1. Em outras palavras, a probabilidade de que a partícula esteja 
Ψ(x, t) = A cos (kx− wt) +B sin (kx− wt) m p
ω
k2
− =
2m
ℏ2
∂x2
∂ Ψ(x, t)2
Cℏ
∂t
∂Ψ(x, t)
Ψ(x, t)
[A cos (kx− wt) +
2m
ℏ k2 2
B sin (kx− wt)] = Cℏω[A sin (kx− wt) −B cos (kx− wt)]
x
t C =2 −1 C = i
− = iℏ           Equaç o de Schroedinger para uma part cula livre
2m
ℏ2
∂x2
∂ Ψ(x, t)2
∂t
∂Ψ(x, t)
ã ı́
i
C = i B = iA
Ψ(x, t) = A[cos (kx− wt) + i sin (kx− wt)]         funç o de onda senoidal para part cula livreã ı́
Ψ(x, t) = Ae eikx −iωt
Ψ(x, t)
I
E2
∣Ψ(x, t)∣2
x ∣Ψ(x, t)∣2
t x x+ dx
∣Ψ(x, t)∣2
Ψ Ψ∗
i [−i]
∣Ψ(x, t)∣ =2 Ae ⋅i(kx−ωt) Ae =(−i)(kx−ω)t Ψ(x, t) = ∣A∣2
x
x =
–∞ x = ∞ A
∣Ψ(x, t)∣2
A ∣Ψ(x, t)∣ dx2
x
Fundamentos de Física Quântica 14
em algum lugar é exatamente 1, ou 100%. Quando a integral de sobre todo o espaço é igual a 
unidade (dizemos que a equação está normalizada) e esta recebe o nome de densidade de probabilidade.
Pacote de ondas:
Para fazer uma função de onda mais bem localizada, imagine duas ondas senoidais adicionais se 
sobrepondo com diferentes números de onda e amplitudes de modo a reforçar os máximos alternativos 
de e anular os intermediários. Finalmente, se sobrepusermos ondas com um número muito grande de 
números de onda diferentes, podemos construir uma onda com um único máximo de Então 
temos algo que começa a parecer tanto uma partícula como uma onda. É uma partícula no sentido de 
que é localizada no espaço; se olharmos de longe, pode parecer um ponto. Mas também tem uma 
estrutura periódica, o que é uma característica de onda.
Um pulso de onda localizado, como o mostrado abaixo, é chamado pacote de ondas.
Podemos representar um pacote de ondas com uma expressão como: 
Essa integral representa uma superposição de um número muito grande de ondas, cada uma com um 
número de onda diferente e uma frequência angular , cada uma com uma amplitude 
que depende de . 
a) Se a função A(k) for acentuadamente pontiaguda, estamos sobrepondo apenas uma estreita gama 
de números de onda. O pulso de onda resultante é então relativamente largo.
b) Mas se usarmos uma gama mais vasta de números de onda, de modo que a função seja 
mais ampla, o pulso da onda localizada é mais estreito . Este é simplesmente o princípio da incerteza 
em ação. Uma gama estreita de significa um intervalo estreito de e, portanto, um 
pequeno ; o resultado é um relativamente grande. Uma ampla gama de corresponde a 
um grande , e o resultante é menor. Você pode verificar a relação com o princípio da 
incerteza 
A equação de Schrödinger unidimensional que apresentamos anteriormenteé válida somente para 
partículas livres, para as quais a função de energia potencial é zero. Mas para um elétron dentro de um 
átomo, um próton dentro de um núcleo atômico, a energia potencial não pode ser considerada nula. 
Assim:
∣Ψ(x, t)∣ dx2
∣Ψ(x, t)∣2
Ψ(x, t) =
A(k)e dk∫
−∞
∞
i(kx−wt)
k ω =
2m
ℏk2
A(k)
k
A(k)
k p =x ℏk
Δpx Δx k
Δpx Δx
Δxp ≥x ℏ/2
Fundamentos de Física Quântica 15
 uma vez que 
 é a energia cinética da partícula, e sua energia mecânica.
Estados estacionários:
Podemos escrever a função de onda para um estado para uma determinada energia da seguinte 
forma: 
Isso significa que a função de onda para um estado de energia definido é o produto de sua 
função de onda independente do tempo e um fator . (Para uma função de onda senoidal 
de uma partícula livre, . Um estado de energia definida normalmente é chamado de 
estado estacionário.
A equação de Schrödinger, torna-se um pouco mais simples para os estados estacionários. Ou seja: 
 que derivando e simplificando, 
obtemos:
Partícula em uma caixa:
Nosso sistema consiste em uma partícula confinada entre duas paredes rígidas separadas por uma 
distância . O movimento acontece apenas em uma dimensão, com a partícula se deslocando ao longo 
apenas do eixo e as paredes em e . A energia potencial correspondente às paredes 
rígidas é infinita, e a partícula não pode escapar; entre as paredes, a energia potencial é nula. Esse 
modelo pode representar um elétron livre para se mover dentro de uma molécula comprida e retilínea ou 
ao longo de um fio bastante fino.
Para resolver a equação de Schrödinger nesse sistema, começamos com algumas restrições sobre a 
função de onda da partícula. Como a partícula está confinada à região , esperamos 
que a função de distribuição de probabilidade ( ) e que a função de onda seja 
zero fora dessa região. Além disso, deve ser uma função contínua para que seja uma solução 
− + U(x)Ψ(x, t) = iℏ           Equaç o de Schroedinger 
2m
ℏ2
∂x2
∂ Ψ(x, t)2
∂t
∂Ψ(x, t)
ã
2m
ℏ k2 2
ℏω
E
Ψ(x, t) = ψ(x)e−iEt/ℏ
Ψ(x, t)
ψ(x) e−iEt/ℏ
ψ(x) = Aeikx
− +
2m
ℏ2
∂x2
∂ [ψ(x)e ]2 −iEt/ℏ
U(x)ψ(x)e =−iEt/ℏ iℏ
∂t
∂[ψ(x)e ]−iEt/ℏ
− +
2m
ℏ2
dx2
d ψ(x)2
U(x)ψ(x) = Eψ(x)
L
x x = 0 x = L
ψ(x) 0 ≤ x ≤ L
∣Ψ(x, t)∣ =2 ∣ψ(x)∣2 ψ(x)
ψ(x)
Fundamentos de Física Quântica 16
matematicamente aceitável para a equação de Schrödinger. Sendo assim, deve ser igual a zero 
nas fronteiras da região e . As duas últimas condições são conhecidas como as condições 
de contorno do problema.
Resolvemos agora para as funções de onda na região sob as condições anteriormente 
citadas. Nessa região, ; portanto, nessa região deve satisfazer a
Cuja solução é uma superposição de duas ondas: uma que se desloca no sentido com amplitude e 
outra que se desloca no sentido com o mesmo número de onda, porém com amplitude : 
 que pode ser reescrito na forma trigonométrica como 
Para satisfazer as condições de contorno:
a) 
b) .: Uma vez que, assim como ocorre com uma corda, o 
comprimento da região é um número inteiro de metades de comprimento de ondas.
Temos finalmente:
Os níveis de energia possíveis para uma partícula em uma caixa são dados por onde 
 é o módulo do momento linear de uma partícula livre com comprimento de onda . Isso faz 
sentido, já que dentro da região a energia potencial é zero e a energia é toda cinética. Para 
cada valor de , há valores correspondentes de , e ; vamos designá-los por , e . Juntando 
tudo, obtemos:
ψ(x)
x = 0 x = L
0 ≤ x ≤ L
U(x) = 0 ψ(x)
− = Eψ(x)   Part cula em uma caixa
2m
ℏ2
dx2
d ψ(x)2
ı́
x A1
–x A2
ψ(x) = A e +1 ikx A e2 −ikx ψ(x) = (A +1
A ) cos (kx) +2 i(A −1 A ) sin (kx)2
ψ(0) = 0 → (A +1 A ) =2 0
ψ(L) = 0 → kL = nπ k =
L
nπ
L
ψ(x) = 2iA sin kx =1 C sin ( )
L
nπ
E = =
2m
ℏ k2 2
2m
p2
p = h/λ λ
0 ≤ x ≤ L
n p λ E pn ln En
Fundamentos de Física Quântica 17
 assim: 
Temos então que os níveis de energia cada vez mais elevados são proporcionais a , então espaços 
maiores são cada vez mais espaçados entre si. Há um número infinito de níveis porque as paredes são 
perfeitamente rígidas; mesmo uma partícula de energia cinética infinitamente grande permanece 
confinada dentro da caixa.
ATENÇÃO Uma partícula em uma caixa não pode ter energia zero. Note que a energia de uma partícula 
em uma caixa não pode ser zero. Para exigiria , mas substituindo-se na Equação 
de onda obtém-se uma função de onda nula. Como uma partícula é descrita por uma função de onda 
não nula, significa que não pode haver uma partícula com .
Para uma partícula em uma caixa, sabemos que a mesma só pode ser encontrada num intervalo 
delimitado por , assim, o processo de normalização da probabilidade se torna possível, uma 
vez que as extremidades de integração não são mais ilimitadas, e sim dadas pela largura da caixa. 
Assim:
 resolvendo a integral, temos que a 
relação é satisfeita para 
Logo, para uma função normalizada, temos . Para uma função de onda 
normalizada, não é meramente proporcional à probabilidade de encontrar a partícula, mas é 
exatamente igual à probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre as coordenadas e 
. Esse é o motivo pelo qual chamamos de função de distribuição de probabilidade.
Poços de potencial:
Um poço de potencial é uma função energia potencial que possui um mínimo. Nossa primeira 
aplicação da equação de Schrödinger, a partícula em uma caixa, envolvia um poço de potencial 
p = =
λn
h
2L
nh
E = = =      N veis de energia para part cula em uma caixan 2m
p2
8mL2
n h2 2
2mL2
n π ℏ2 2 2
ı́ ı́
n2
E = 0 n = 0 n = 0
E = 0
0 ≤ x ≤ L
∣ψ(x)∣ dx =2 C sin ( )dx2 2
L
nπx
1 = C sin ( )dx∫
0
L
2 2
L
nπx
C =
L
2
ψ(x) = sin ( )
L
2
L
nπx
∣ψ(x)∣ dx2
x x+ dx
∣ψ(x)∣2
U(x)
Fundamentos de Física Quântica 18
rudimentar com uma função igual a zero dentro de um intervalo e igual a infinito em qualquer ponto 
fora desse intervalo.
Uma melhor aproximação para diversas situações físicas é um poço finito, que é um poço de potencial 
com lados retilíneos, porém com altura finita. A Figura abaixo mostra uma função energia potencial igual 
a zero no intervalo e que possui um valor em qualquer ponto fora desse intervalo. Essa 
função geralmente é chamada de poço de potencial quadrado, que pode servir como um modelo simples 
de um elétron confinado em uma placa metálica de espessura se deslocando perpendicularmente à 
superfície da placa. O elétron pode se mover livremente no interior do metal, mas terá de escalar uma 
barreira de potencial de altura para escapar de cada superfície do metal. A energia é relacionada 
com a função trabalho.
Na mecânica newtoniana, a partícula fica presa (localizada) em um poço quando sua energia total é 
menor que a energia . Na mecânica quântica, esse estado localizado em geral é chamado de estado 
ligado. Todos os estados são ligados quando o poço de potencial possui profundidade infinita. Para um 
poço de potencial finito, se for maior que , a partícula não está ligada.
Também existem estados em que é maior que . Nesses estados de partícula livre, a partícula não 
está ligada, mas pode se mover livremente em todos os valores de . Qualquer energia maior que 
é possível; logo, esses estados de partícula livre formam uma região contínua e não um conjunto discreto 
de níveis com determinadas energias.
Dentro do poço quadrado , onde , a equação de Schrödinger independente de 
tempo é:
 ou cuja solução já é conhecida, e é dada 
na forma de senos e cossenos. No entanto, não há condições de contorno nessa situação. Como 
 temos que 
Assim, para dentro do poço teremos:
Já para regiões fora do poço, a equação de Schroedinger se reescreve em 
.
Como a grandeza é positiva, então as soluções dessa equação são funções exponenciais, em vez 
de senos e cossenos, na forma 
Note que não pode ser permitido que aproxime-se do infinito, com ou . (Se isso 
acontecer, não poderíamos satisfazerà condição de normalização da Equação). Isso significa que, 
devemos ter para e para . 
Figura abaixo ilustra uma função de onda possível para uma partícula em um poço de potencial finito. A 
função de onda é senoidal dentro do poço e exponencial fora do poço. Tende 
assintoticamente a zero para valores elevados de . As funções devem se unir continuamente nas 
fronteiras e ; a função de onda e sua derivada devem ser contínuas.
U(x)
0 ≤ x ≤ L U0
L
U0 U0
E
U0
E U0
E U0
x E U0
(0 ≤ x ≤ L) U = 0
− =
2m
ℏ2
dx2
d ψ(x)2
Eψ(x) =
dx2
d ψ(x)2
− ψ(x)
ℏ2
2mE
E =
2m
ℏ k2 2
k = /ℏ2mE
ψ(x) = A cos ( x/ℏ) +B sin ( /ℏ)2mE 2mE
=
dx2
d ψ(x)2
− ψ(x) =
ℏ2
2m(E − U )0
ψ(x)
ℏ2
2m(U −E)0
U –E0
ψ(x) = Ce +Dekx −kx
ψ(x) x→∞ x→ –∞
D = 0 x ≤ 0 C = 0 x ≥ L
(0 ≤ x ≤ L)
∣x∣
x = 0 x = L
Fundamentos de Física Quântica 19
Barreira de potencial e Tunelamento:
Uma barreira de potencial é o oposto de um poço de potencial; ela é descrita por uma função de energia 
potencial com um máximo. Uma partícula da mecânica quântica comporta-se de forma diferente da 
mecânica newtoniana: se ela encontra uma barreira como a da Figura abaixo e possui energia menor 
que , ela pode aparecer do outro lado. Esse fenômeno é chamado tunelamento. No tunelamento da 
mecânica quântica, ao contrário do que ocorre no tunelamento da mecânica macroscópica, a partícula 
não atravessa realmente a barreira e não perde nenhuma energia no processo.
As figuras acima descrevem o inverso da situação de poço; a energia potencial é igual a zero em todos 
os pontos, exceto no intervalo , no interior do qual ela possui valor igual a . Isso poderia 
representar um modelo simples de um elétron entre duas placas metálicas separadas por uma lacuna de 
ar de espessura . A energia potencial é menor dentro de ambas as placas que na região entre as 
placas.
De forma análoga ás condições de poço, obtemos uma função de onda do tipo indicado na Figura 
abaixo. A função de onda não é igual a zero dentro da barreira (a região proibida pela mecânica 
newtoniana). O que ainda é mais notável é que existe uma probabilidade de que a partícula que 
inicialmente estava do lado esquerdo da barreira possa ser encontrada do lado direito da barreira. 
E2
0 ≤ x ≤ L U0
L
Fundamentos de Física Quântica 20
Existe uma condição de tunelamento, por exemplo, quando enrolamos dois fios de cobre ou fechamos os 
contatos de uma chave, a corrente passa de um condutor para o outro, apesar da existência de uma fina 
camada de óxido de cobre isolante que sempre se forma sobre a superfície de um condutor de cobre. Os 
elétrons tunelam através dessa fina camada de óxido.
O tunelamento também é muito importante na física nuclear. Uma reação de fusão pode ocorrer quando 
dois núcleos tunelam através da barreira de potencial formada pela repulsão elétrica mútua e se 
aproximam tanto que as forças nucleares de atração produzem a fusão dos dois núcleos. A emissão de 
partículas alfa de núcleos instáveis também envolve o tunelamento. Uma partícula alfa é um conjunto de 
dois prótons e dois nêutrons (assim como um núcleo da forma mais comum do hélio). Esses conjuntos se 
formam naturalmente dentro de um núcleo atômico maior. Uma partícula alfa tentando escapar de um 
núcleo encontra uma barreira de potencial resultante da ação combinada da força de atração nuclear e 
da repulsão elétrica da parte restante do núcleo. A partícula alfa tunela através dessa barreira. 
Dependendo da altura e da largura da barreira, para um dado tipo de núcleo emissor de partículas alfa, a 
probabilidade do tunelamento pode ser baixa ou alta e o material emissor de alfas terá radioatividade 
baixa ou alta.