Gabarito L2

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Física Quântica - 2021.3 - QS
- Lista 2 -
Tema: Teoria Corpuscular da Luz: Efeito fotoelétrico e
Compton
GABARITO
Questões:
a. Discuta quais características experimentais do efeito fotoelétrico podem ser explicadas por
um modelo clássico da luz e quais não podem, ou seja, necessitam de uma teoria quântica
para serem explicadas.
Resp: Efeitos que podem ser explicados classicamente:
- A possibilidade de emissão de elétrons pela incidência de luz;
- O aumento da corrente elétrica medida com o aumento da intensidade da luz (em frequên-
cias em que já há emissão de elétrons, ν ≥ Φh );
- A mudança da corrente elétrica medida com a variação da diferença de potencial.
Efeitos que não podem ser explicados classicamente:
- Haver uma frequência mínima para o início da emissão de elétrons;
- Não haver um tempo observável entre o início da incidência de luz e da emissão de elé-
trons;
- O aumento da intensidade de luz incidente não afetar a energia cinética dos elétrons
emitidos.
b. Quais foram os argumentos de Einstein para introduzir o conceito de fótons e como ele
explicava as falhas na teoria clássica?
Resp: Para explicar este fenômeno Einstein introduziu o conceito da “pacotes” de energia,
que hoje em dia são denominados fótons (O termo fóton foi pela primeira vez usado
pelo químico Lewis), e a quantidade de energia destes pacotes seria seria proporcional a
frequência do campo eletromagnético correspondente.
Com esta hipótese é possível explicar todas as características observadas no efeito fotoelé-
trico. Se a energia de cada fóton estiver abaixo da energia mínima (de corte) não importa
aumentar a quantidade de fótons (intensidade), a emissão de elétrons não ocorrerá. O
efeito é instantâneo, pois os elétrons absorvem rapidamente os fótons com a energia ade-
quada, não havendo um tempo para acumular energia (como seria esperado classicamente).
c. Explique o conceito de dualidade onda-partícula das ondas eletromagnéticas. Dê exemplos
(se possível do cotidiano) de quando observamos a luz como onda e quando a observamos
como partícula.
Resp: A luz, que é formada por ondas eletromagnéticas, pode apresentar tanto pro-
priedades de ondas quanto de partículas. Alguns resultados experimentais indicam este
comportamento corpuscular para a luz (como a efeito foto-elétrico e o efeito Compton),
porém temos diversos experimentos que também comprovam o carácter ondulatório da luz
(tais como envolvendo interferência e difração). Desse modo, na física quântica, utilizamos
o conceito de dualidade onda-partícula, no qual a luz possui este caráter dual e comple-
mentar: quando aspectos de partícula são evidenciados, não observamos características
de ondas e quando aspectos de onda são evidenciados, não observamos características de
partículas, que é o denominado Princípio da Complementaridade.
d. Discuta quais são as semelhanças e as diferenças entre o efeito foto-elétrico e o efeito
Compton.
Resp: Os dois fenômenos envolvem a interação inicial de um fóton com um elétron. No
efeito foto-elétrico, em geral, temos fótons com energia de poucos eVs (na região do visível
ou UV do espectro eletromagnético), já para Compton temos fótons com energia de KeVs
ou até mesmo MeV (na região dos Raios X do espectro eletromagnético). No efeito foto-
elétrico, após a interação, a energia do fóton é totalmente absorvida pelo elétron; assim
temos apenas o elétron ao final do processo. No efeito Compton, a energia do fóton
incidente é apenas parcialmente absorvida, assim ao fim da interação temos um fóton
espalhado (com energia menor que a do fóton incidente) e o elétron com energia cinética
igual a diferença de energia dos fótons. Os dois fenômenos necessitam da teoria corpuscular
da luz para serem devidamente explicados.
Problemas:
1. Uma superfície de um certo material metálico começa a emitir elétrons via efeito fotoelé-
trico quando a radiação incidente tem frequência ν ≥ 2, 2× 1015s−1.
a) Determine a função trabalho do material, isto é, a energia mínima de um fóton que
incide na superfície metálica para que um elétron seja ejetado.
b) Qual comprimento de onda de radiação correspondente a fótons com essa energia?
c) Se a superfície é irradiada com luz com comprimento de onda de 100 nm, qual seria a
energia cinética máxima dos elétrons emitidos?
Resp: a) A função trabalho é igual a energia contida no fóton incidente de menor energia
a partir da qual a emissão de elétrons se inicia.
W = hν = 4, 136× 10−15eV·s× 2, 2× 1015s−1
= 9, 1eV.
b) Esse comprimento de onda seria o máximo permitido que o fóton incidente deve ter
para permitir a emissão de elétrons.
Efóton = hν =
hc
λ
= 9, 1 eV
λ =
1, 24× 10−6eV·m
9, 1 eV
= 136, 3 nm
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c) A energia cinética máxima é, por conservação de energia, a diferença entre a energia do
fóton incidente e a função trabalho.
Ecin.max = hν −W =
hc
λ
−W
=
1, 24× 10−6eV ·m
100× 10−9m
− 9, 1 eV
= 12, 4 eV− 9, 1 eV = 3, 3 eV
2. Incide-se sobre o potássio luz de comprimento de onda igual a 400 nm e intensidade
10−2 W/m2. Estime o intervalo de tempo para a emissão de elétrons esperado classi-
camente. Considere que a luz incide de uma única direção, suponha que o raio médio do
potássio seja da ordem de 10−10 m e utilize a função trabalho φ = 2, 22 eV.
Resp: O comprimento de onda é λ = 400nm, a intensidade é I = 10−2W/m2. Assu-
mindo que a teoria clássica é valida e usando a energia correspondente a função trabalho
determinada no item anterior, podemos calcular o tempo como:
∆t =
φ
IA
Ou seja, assumimos que o átomo absorve toda a energia da luz que incide sobre ele. Con-
siderando que a luz incide em uma única direção, temos que área corresponde ao disco
correspondente ao átomo (πr2), que nos leva a um tempo esperado de 1130s, cerca de 19
min.
3. O molibdênio metálico tem de absorver radiação com a frequência mínima de 1.09×1015s−1
antes que ele emita um elétron de sua superfície via efeito fotoelétrico.
(i) Qual é a energia mínima necessária para produzir esse efeito?
(ii) Qual comprimento de onda de radiação fornecerá um fóton com essa energia?
(iii) Se o molibdênio é irradiado com luz com comprimento de onda de 120 nm, qual é a
possível energia cinética máxima dos elétrons emitidos?
Resp: A frequência é dada por fm = 1.09× 1015Hz, assim podemos determinar que:
(i) E = hfm = 4.51eV = φ (valor da função trabalho)
(ii)λm = c/fm = 2.75× 10−7 = 275nm
(iii) Considerando λ = 120nm, temos:
EK =
hc
λ
− hfm = 5, 82eV
4. Raios X de comprimento de onda 200pm incidem em uma placa de material metálico. Os
raios X espalhados pelos elétrons são observados a um ângulo de 45 graus em relação a
direção incidente. Qual é o comprimento de onda dos fótons espalhados?
Resp: Neste problema, temos um espalhamento Compton, no qual podemos determinar
o comprimento de onda espalhando usando λ2 − λ1 = hmc(1− cos(θ)), logo:
λ2 =
h
mc
(1− cos(θ)) + λ1 = 2, 43× 10−12(1− cos(45o)) + 200× 10−12 ≈ 200, 7pm
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5. Considere o espalhamento Compton onde o fóton de comprimento de onda λi é espalhado
em um ângulo θ por uma partícula carregada de massa M inicialmente em repouso. Mos-
tre que a energia cinética final da partícula carregada é dada por
K =
hc∆λ
λi (λi + ∆λ)
onde
∆λ =
hc
Mc2
(1− cosθ) .
Resp: Denotando por Ei (Ef ) a energia do fóton inicial (final) e K a energia cinética final
da portícula carregada, o princípio de conservação de dá que
Ei = Ef +K.
⇒
K = Ei − Ef =
hc
λi
− hc
λf
Visto que o comprimento de onda do fóton espalhado em um ângulo θ é λf = λi + ∆λ,
temos
K =
hc
λi
− hc
λi + ∆λ
=
hc∆λ
λi (λi + ∆λ)
.
Observe que seM for muito grande ∆λ será muito pequeno, e, consequentemente, a energia
cinética da partícula carregada será também pequena.
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