Revisão Fisica Quantica

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CAPÍTULO 28 e 29: Física Quântica e Atômica
� RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
� REVISÃO
� SIMULADO PARA A PROVA
Lista de exercícios sugerida – Capítulo 28:
28.4, .12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 33, 35, 38, 42, 43, 52
Lista de exercícios sugerida – Capítulo 29:
29.2, 4, 7, 9, 10, 17, 18, 15, 27, 29, 37, 25, 39, 44, 49, 51, 53,
55, 56
Seção 28.3: O Efeito Compton
Exercício 13: Raios-X tendo uma energia de 300KeV sofrem um
espalhamento Compton a partir de um alvo. Os raios espalhados são
detectados a 37º em relação aos raios incidentes. Encontre
(a) O deslocamento Compton neste ângulo
(b) A energia do raio-X espalhado e
(c) A energia do elétron que recua
( )θλ cos1−=∆
cm
h
'0 EEKe −=
λ
λλλ
hc
E =
∆+= 0'
( )θλ cos1−=∆
cme
( ) ( )( )( )smKg
sJ
cm
h
e
831
34
º37cos1
1031011.9
)(1063.6
cos1 (a) −
−
−
××
⋅×=−=∆ θλ
Seção 28.3: O Efeito Compton
Exercício 13: Raios-X tendo uma energia de 300KeV sofrem um
espalhamento Compton a partir de um alvo. Os raios espalhados são
detectados a 37º em relação aos raios incidentes. Encontre
(a) O deslocamento Compton neste ângulo
( )( )
m
sKge
131088.4
1031011.9
−×=∆
××
λ
Seção 28.3: O Efeito Compton
Exercício 13: Raios-X tendo uma energia de 300KeV sofrem um
espalhamento Compton a partir de um alvo. Os raios espalhados são
detectados a 37º em relação aos raios incidentes. Encontre
(b) A energia do raio-X espalhado e
( )smsJ
hc
E
834
0
0
103)(1063.6 − =××⋅×=
=
λ
( )
( )
( ) ( )( ) meVJeV
smsJ
m
m
smsJ
KeV
12
193
834
0
0
1014.4
/106.1)10300(
103)(1063.6
103)(1063.6
300
−
−
−
×=
×⋅×
××⋅×=
=××⋅×=
λ
λ
( )( )
KeVJ
m
smsJhc
E
m
268103.4
1063.4
1031063.6
'
'
1063.4'
14
12
834
12
0
=×=
×
×⋅×==
×=∆+=
−
−
−
λ
λλλ
Seção 28.3: O Efeito Compton
Exercício 13: Raios-X tendo uma energia de 300KeV sofrem um
espalhamento Compton a partir de um alvo. Os raios espalhados são
detectados a 37º em relação aos raios incidentes. Encontre
(c) A energia do elétron que recua
KeVKeVKeVEEK 5.315.268300' =−=−= KeVKeVKeVEEKe 5.315.268300'0 =−=−=
Seção 29.2: Novamente o Átomo de Hidrogênio
Exercício 2: A série de Balmer para o átomo de hidrogênio corresponde às
transições eletrônicas que terminam no estado com número quântico n=2.
(a) Considere o fóton com maior comprimento de onda; determine sua
energia e seu comprimento de onda λ.
(b) Considere a raia espectral de menor comprimento de onda, estime a
energia e o comprimento de onda do fóton.
2
6.13
n
eV
E −=
E
hc
f
c
h
E
f
∆
==∆= λ e 
Exercício: A série de Balmer para o átomo de hidrogênio corresponde às
transições eletrônicas que terminam no estado com número quântico n=2.
(a) Considere o fóton com maior comprimento de onda; determine sua
energia e seu comprimento de onda λ.
Para o maior comprimento de onda, menor frequência e menor energia, o
átomo decai desde o estado mais próximo, isto é. dois estados
consecutivos (neste caso de n=3 para n=2), de modo que:
eV
eVeV
E 89.1
6.136.13 =−−−=∆
A frequência do fóton é dada por:
eV
eVeV
E 89.1
2
6.13
3
6.13
22
=−−−=∆
( )
( )
nm
J
eV
eV
smsJ
E
hc
f
c
h
E
f
656
106.189.1
/103)1063.6(
 e 
19
834
=






×
××⋅×=
∆
==∆= −
−
λ
λ
Exercício: A série de Balmer para o átomo de hidrogênio corresponde às
transições eletrônicas que terminam no estado com número quântico n=2.
(b) Considere a raia espectral de menor comprimento de onda, estime a
energia e o comprimento de onda do fóton.
Analogamente a maior energia se dá para um átomo que decai desde uma
configuração próxima à condição de ionização, isto é, desde n~∞
nn 2=→∞=
( )( )
( )( ) nmeVJeV
smsJ
E
hc
eV
eVeV
E
nn
365
/106.14.3
/100.31063.6
4.3~
2
6.136.13
2
19
834
2
=
×
×⋅×=
∆
=
−−
∞
−=∆
=→∞=
−
−
λ
Seção 28.5: Propriedades Ondulatórias das Partículas
Exercício 21: O núcleo de um átomo tem um diâmetro da ordem de
Para um elétron ficar confinado a um núcleo, seu comprimento de onda de
“De Broglie” teria que ser desta ordem de grandeza ou menor.
(a) Qual seria a energia cinética (relativística) de um elétron confinado a esta
região?
(b) Com base nesse resultado, você esperaria encontrar o elétron associado
a um núcleo? Explique.
m1410−
a um núcleo? Explique.
2
4222
14 menosou 10
cmEK
cmcpE
h
p
m
ee
ee
mín
e
−=
+=
=
= −−
λ
λ
r
qqk
U ee
21=
s
mkg
ou 10
10
1063.6
menosou 10
19
14
34
14
m
Js
m
sJh
p
m
mín 




 ⋅=⋅×≈=
=
−
−
−
−
λ
λ
Seção 28.5: Propriedades Ondulatórias das Partículas
Exercício 21: O núcleo de um átomo tem um diâmetro da ordem de
Para um elétron ficar confinado a um núcleo, seu comprimento de onda de
“De Broglie” teria que ser desta ordem de grandeza ou menor.
(a) Qual seria a energia cinética (relativistica) de um elétron confinado a esta
região?
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) maisou 102105.0102
maisou 1021019103
109106722109
1031011.910310
s
ou 10
10
8682
8711
2230224222
48231282194222
14
eVeVeVcmEK
eVJE
cmcpE
cmcpE
mm
p
ee
e
ee
ee
mín
⋅≈×−⋅≈−=
⋅≈⋅→≈⋅≈
×≈×+×≈+=
××+×≈+=




=≈=
−
−−−
−−
−λ
Seção 28.5: Propriedades Ondulatórias das Partículas
Exercício 21: O núcleo de um átomo tem um diâmetro da ordem de
Para um elétron ficar confinado a um núcleo, seu comprimento de onda de
“De Broglie” teria que ser desta ordem de grandeza ou menor.
(b) Com base nesse resultado, você esperaria encontrar o elétron
associado a um núcleo? Explique.
( )( )10109
5
19
2
29 eC
C
mN
qqk
−




 ⋅× −( )( )
escapar. sim mas núcleo, ao associadoficar deve nãoelétron o
 potencial, energia a quemaior muito é cinética energia a como
10
10
10109
5
14
2
21 eV
m
eC
C
r
qqk
U ee −≈
−



×
≈= −
EXERCÍCIO 28.37: Os valores esperados para uma partícula na caixa.
Uma partícula em um poço quadrado, de potencial infinitamente profundo, tem
uma função de onda que é dada por:
e é nula nas outras partes.
(a) Determine o valor esperado de “x”.
( ) Lx
L
x
sen
L
x ≤≤




= 0 para 22 πψ
(b) Determine a probabilidade de encontrar a partícula em L/2, calculando a
probabilidade de que a partícula esteja no intervalo:
(c) Determine a probabilidade de encontrar a partícula próxima de L/4,
calculando-se a probabilidade de que a partícula esteja no intervalo
LxL 51.049.0 ≤≤
LxL 26.024.0 ≤≤
∫∫ ≡≡
+∞
∞−
b
a
dxxdxxx ψψψψ ** ( )∫ ∫ 




 −=
b
a
b
a
dxxxdxxxsen 2cos
2
1
2
1
 2
( )
( ) 51.0
51.0
2
0
2
2
0
2
0 0
2
41122
 
2
4
cos
44
16
1
2
1
4
cos
2
1
2
1222
 ∫ ∫
 −==
=


 +−=





 −=




=
L
L
LL
L L
x
sen
L
xdx
x
senPb
L
L
x
L
x
sen
L
xL
L
x
L
x
dx
L
x
x
L
dx
L
x
sen
L
xxa
ππ
πππ
π
ππ
( )
( )
( ) 2
26.0
24.0
5
51.0
49.0 49.0
2
1099.3
4
4
1
 
1026.596.104.2
4
1
020.0
4
4
1122
 
−
−
∫
×=


 −
×=−−=



 −=




=
L
L
L
L L
L
x
sen
L
x
Pc
sensenP
L
x
sen
L
L
x
L
dx
L
x
sen
L
Pb
π
π
ππ
π
π
π
π
Problema 38: A função de onda de uma partícula confinada a des locar-se
em uma caixa unidimensional é
Use a condição de normalização em ψ para mostrar que
Tenha em mente que, como a largura da caixa é L, a função de onda é nula
para x<0 e para x>L, de tal forma que a condição de normalização
( ) 




=
L
xn
Asenx
πψ
L
A
2=
+∞
se reduz a
∫
+∞
∞−
=12dxψ
∫ =
L
dx
0
2 1ψ
+∞ L
Normalização implica em:
Problema 38: A função de onda de uma partícula confinada a des locar-se
em uma caixa unidimensional é
Use a condição de normalização em ψ para mostrar que
( ) 




=
L
xn
Asenx
πψ
L
A
2=
L
2
Aou 1
2
 1ou 1
0
222
0
222
==




=





=




=
∫
∫∫
+∞
∞−
L
L
L
Adx
L
xn
senA
dx
L
xn
senAdx
π
πψ
� UMA PARTÍCULA
EM UMA CAIXA
( ) 




= xAsenx
λ
πψ 2
( )
( ) 




=







=




=
=
==⇒=⇔




==

L
xn
Asen
n
L
x
Asen
x
Asenx
n
n
L
n
L
n
LL
AsenL
ππ
λ
πψ
π
πλπλ
π
λ
πψ
λ
2
22
...3,2,1
2222
0
...3,2,1
222
=
==⇒=
n
n
L
n
L
n
L
π
πλπ
λ
π
Os comprimentos de onda permitidos são idênticos aos comprimentos de
onda permitidos em uma corda vibrante fixa entre duas extremidades.
No caso da corda vibrante, o comprimento de onda está relacionado com
a frequência e temos um conjunto de “harmônicos” ou frequênciasa frequência e temos um conjunto de “harmônicos” ou frequências
quantizadas. Neste caso a frequência está relacionada com a energia:
fhE ⋅=
EXEMPLO 28.10: Quantização da energia para um corpo macroscópico.
Um corpo de 1.0mg está confinado entre duas paredes rígidas separadas por
1.0 cm.
(a) Calcule sua velocidade mínima.
(b) Se a velocidade do corpo é 0.03m/s, encontre o valor esperado de “n”.
22
===
L
nh
n
L
hh
p
λ
1,2,3...)(n 
822
1
2
v
2
1
22
2
2
222
2 ==




=== n
mL
h
L
nh
mm
p
mE
L
n
L
n
λ
� UMA PARTÍCULA
EM UMA CAIXA
, a qual
tem que satisfazer as condições de
contorno nas paredes
πn
( )
( )
( ) ==⇒=⇔==
==





=
LLLL
x
x
Asenx
πλπππψ
ψ
λ
πψ
2222
00
2
( )
( ) 




=







=




=
=⇒==⇒==⇒=
==⇒=⇔




==
L
xn
Asen
n
L
x
Asen
x
Asenx
L
nLnLn
n
L
n
L
n
LL
AsenL
ππ
λ
πψ
λλλ
π
πλπ
λ
π
λ
πψ
2
22
 
3
2
3 ;2 ;21
2222
0
� UMA PARTÍCULA EM UMA CAIXA
22
2
===
=
L
nh
L
hh
p
n
L
λ
λ
1,2,3...)(n 
822
1
22
1
22
2
2
222
2 ==




===
===
n
mL
h
L
nh
mm
p
mvE
L
n
L
p
n
λ
Quantização de energia
EXEMPLO 28.10: Quantização da energia para um corpo macroscópico.
Um corpo de 1.0mg está confinado entre duas paredes rígidas separadas por
1.0 cm.
(a) Calcule sua velocidade mínima.
1,2,3...)(n 
822
1
22
1
22
2
2
222
2 n
mL
h
L
nh
mm
p
mvE
L
nh
n
L
hh
p
n ==




===
===
λ
( )
( ) ( )
( )
repouso emestar parece corpo o que pequeno tãoé resultado Este
/103.31v
 
101.0
105.492
vJ105.49mv
2
1
J105.49
100.1101.08
106.63
1
8
82222
26-
6-
58-
258-2
58-
226-
234-
2
2
2
1
sm
Kg
J
KE
mKg
sJ
mL
h
E
mLLmm
n
×=






×
×⋅=⇒×===
×=
×⋅×⋅
⋅×==

−=
EXEMPLO 28.10: Quantização da energia para um corpo macroscópico.
Um corpo de 1.0mg está confinado entre duas paredes rígidas separadas por
1.0 cm.
(b) Se a velocidade do corpo é 0.03m/s, encontre o valor esperado de “n”.
( )( )
1
58
11
2
10262
1049.5 e 
105.4/103101
2
1
v
2
1
×==
×=××==
−
−−−
JEEnE
JsmKgmK
n
23
2
1
58
10
1
10
1005.9
1049.5
105.4105.4 ×=








×
×=







 ×= −
−−
J
J
E
J
n
Este valor de n é tão grande que nunca seríamos capazes de distinguir a
natureza quantizada dos níveis de energia, isto é, a diferença de energia
entre os dois estados:
é muito pequena para ser detectada experimentalmente.
( ) 11005.9 e 1005.9 232231 +×=×= nn
� Exemplo 29.5 O Sistema Solar Quantizado
Considere a Equação de Schrödinger para a Terra e o Sol como sendo um
sistema constituído de duas partículas interagindo por meio da força
gravitacional. Qual é o número quântico (n) do sistema com a Terra em sua
órbita atual?
( )
( ) ekrU
r
mm
GrU
e
ST
ST
2
−=
−=
−
− ( )
Terra da massa
Sol-Terra sistema o paraBohr de raio0
2
0
≡
≡
=
m
a
mGmm
a
STT
h
( )
Kgm
KgNmG
Kgm
cteekmGm
r
rU
S
T
eST
e
e
30
2211
24
2
1099.1
1067.6
1098.5
 e 
×=
×=
×=
≡
−=−
gravidade da universal constante
SOL do massa
Terra da massa
≡
≡
≡
G
m
m
S
T
sistema o para permitidas energias
1,2,3...n 
1
2 20
=





−=
na
mGm
E STn
( )
( )
Kgm
cteekmGm
r
ek
rU
r
mm
GrU
eST
e
e
ST
ST
24
2
2
1098.5
 e 
×=
≡
−=
−=
−
−
( )
SOL do massa
Terra da massa
Sol-Terra sistema o paraBohr de raio0
2
0
≡
≡
≡
=
m
m
a
mGmm
a
S
T
STT
h
� Exemplo 29.5 O Sistema Solar Quantizado
Considere a Equação de Schrödinger para a Terra e o Sol como sendo um
sistema constituído de duas partículas interagindo por meio da força
gravitacional. Qual é o número quântico do sistema com a Terra em sua órbita
atual?
( )
( )1,2,3...n 1
24 2220
42
=−=
n
emZ
E
hπε
Kgm
KgNmG
Kgm
S
T
30
2211
24
1099.1
1067.6
1098.5
×=
×=
×=
gravidade da universal constante
SOL do massa
≡
≡
G
mS
1,2,3...n 
1
2 20
=





−=
na
mGm
E STn
A solução para a equação de Schrödinger para o sistema Terra- SOL é a
mesma que a obtida na aula passada para o átomo de hidrogênio, isto é
porém com a mudança adequada das constantes
órbita sua emelétron do velocidadev
4
1
V
2
0
≡
=
r
Ze
πε
r
Ze
mF
r
m
r
Ze 2
0
2
2
2
2
0 4
1
v
v
4
1
πεπε
=⇒==
AULA PASSADA: Dada a condição para órbita circular do elétron
Dada a energia potencial de um elétron atômico , se movendo em uma das
órbitas possíveis , por:
órbita da raio o r
órbita sua emelétron do velocidadev
≡
≡
 4
2
22
0
mZe
n
r
hπε=
( )
( )1,2,3...n 1
24 2220
42
=−=+=
n
emZ
VKE
hπε
Sendo, obtido a partir da quantização do momento angular
e da condição de órbita circular acima . A quantização do momento
angular orbital do elétron implica na quantização de sua energia total.
� Exemplo 29.5 O Sistema Solar Quantizado
Considere a Equação de Schrödinger para a Terra e o Sol como sendo um
sistema constituído de duas partículas interagindo por meio da força
gravitacional. Qual é o número quântico (n) do sistema com a Terra em sua
órbita atual?
( )( ) ( )1099.11098.5/1067.6
10055.1
)(
1,2,3...n 
1
2
302242211
342
0
2
0
×××
×==
=





−=
−
−
−
KgKgKgNm
Js
mGmm
a
na
mGm
E
STT
ST
n
h
Estas são as energias permitidas para o sistema
( )( ) ( )
( )
1,2,3...n 
1079.1
1
1022.22
1099.11098.5/1067.6
1
2
1022.2
2
148
2104
302242211
2
0
104
=×=
×
×××=






−=
×=
−
−
−
n
J
nm
KgKgKgNm
E
na
mGm
E
m
n
ST
n
( )( )( )
( )
2
148
33
2
148
33
11
302242211
2
0
1079.1
1065.2
1079.1
1065.2
1050.12
1099.11098.5/1067.6
1,2,3...n 
1
2
×−=×−⇒×−=
×−=
×
×××−=
=





−=
−
n
J
J
n
J
E
J
m
KgKgKgNm
E
na
mGm
E
n
ST
n
Considerando o raio de Bohr para o sistema Terra - SOL
57
33
148148
33
148
2
22
1060.2
1065.2
1079.11079.1
1065.2
1079.1
×=
×−
×−=×−=
×−
×−=
J
J
E
J
n
J
J
n
nn
Este é um número quântico imenso. As energias dos estados quânticos para
valores adjacentes de “n” estão tão próximos que não percebemos o aspecto
quantizado da energia.
( )( ) ( )
( )( ) ( )302242211
2
0
104
302242211
342
0
2
0
1
2
1022.2
1099.11098.5/1067.6
10055.1
)(
1,2,3...n 
1
2
×××






−=
×=
×××
×==
=





−=
−
−
−
−
na
mGm
E
m
KgKgKgNm
Js
mGmm
a
na
mGm
E
ST
n
STT
ST
n
h
Solução Completa 
em uma única página
( )( ) ( )
( )
( )( )( )
( )
57
33
148148
2
148
33
11
302242211
2
148
2104
302242211
1060.2
1065.2
1079.11079.11079.1
1065.2
1050.12
1099.11098.5/1067.6
1,2,3...n 
1079.1
1
1022.22
1099.11098.5/1067.6
×=
×−
×−=×−=⇒×−=
×−=
×
×××−=
=×−=
×
×××−=
−
−
−
J
J
E
J
n
n
J
E
J
m
KgKgKgNm
E
n
J
nm
KgKgKgNm
E
n
n