Estruturas de Concreto Armado II - Lajes

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1 
 
Índice 
Capítulo 1 
Introdução 3 
Capítulo 2 
Cargas 9 
Exercícios 15 
Capítulo 3 
Esforços 27 
Preâmbulo 27 
Painéis Isolados 27 
Painéis de Lajes Armados em uma só Direção 29 
Exercícios 36 
Painéis de Lajes Armados nas Duas Direções 41 
Lajes Apoiadas em Leitos Indeslocáveis 42 
Formulação Prática 48 
Exercícios 53 
Compensação de Momentos 59 
Exercícios 60 
Método de Marcos 66 
Exercícios 68 
Teoria das Placas 75 
Exercícios 81 
Lajes Apoiadas em Elementos Deslocáveis 87 
2 
 
Exercícios 92 
Capítulo 4 
Dimensionamento 95 
Considerações Relevantes 95 
Estado Limite de Deformações Excessivas 97 
Exercícios 102 
Estado Limite Último de Ruína do Material 105 
Exercícios 110 
Verificação ao Esforço Cortante 114 
Exercícios 116 
Capítulo 5 
Detalhamento das Armaduras 121 
Armadura Positiva 123 
Armadura Negativa 126 
Armadura de Distribuição 129 
Armadura de Bordo 130 
Armadura de Canto 132 
Lajes em Balanço 134 
Armadura de Reforço de Apoio a paredes 135 
Capítulo 6 
Tópicos Complementares 137 
Alternância de Sobrecarga 137 
 
3 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
Volume 1 
Lajes 
Capítulo 1 - Introdução 
 Lajes são elementos planos laminares que apresentam uma dimensão, no 
caso a espessura h, muito menor que as demais dimensões, Lx e Ly, cujo plano 
orienta-se, em geral, segundo a direção horizontal, Figura 1. 
Em seu trabalho mecânico no contexto de uma estrutura convencional de 
concreto armado, as lajes recebem as cargas de utilização, Figura 1, e de outros 
elementos construtivos diretamente em sua superfície superior. A tais cargas 
acrescente-se o peso próprio da laje e o peso de seus elementos de revestimento. 
Todas essas cargas apresentam direção transversal ao seu plano médio induzindo-a 
ao trabalho em flexão, mediante o qual transmitem tais cargas às vigas ou a pilares 
sobre os quais se apoiam. 
 
Figura 1. Representação de laje 
Os tipos mais usuais de lajes são: Maciças; Nervuradas; Lisas; Cogumelo; e, Pré-
moldadas. 
As lajes maciças são placas de espessura, em geral, uniforme apoiadas ao longo da 
poligonal de seu contorno sobre vigas, Figura 2. Entretanto, em se tratando de lajes de 
4 
 
pequeno vão, as rotações e as reações de apoio são brandas de modo que podem ser 
apoiadas sobre alvenaria. 
 
Figura 2. Laje Maciça 
As Lajes Nervuradas são placas combinadas a nervuras onde são alojadas as 
armaduras de tração, Figura 3. São especialmente indicadas quando se faz 
necessário vencer grandes vãos, normalmente a partir de 8,00 m, pois, de sua 
geometria resulta ganho de resistência e rigidez. As Lajes Nervuradas do Tipo 
Colmeia, Figura 4, têm sido adotadas em larga escala na indústria da construção 
civil. 
 
Figura 3. Laje Nervurada 
 As lajes lisas e as lajes cogumelos, Figura 5, são isentas de vigas ou paredes 
de apoio. As primeiras apoiam-se diretamente na seção do topo do pilar. As lajes 
cogumelo, por sua vez, são dotadas de um capitel de transição para introdução de 
seu carregamento sobre o pilar. 
 As lajes pré-moldadas resultam da montagem de nervuras e de blocos, 
ambos pré-moldados, Figura 6. As lajes pré-moldadas convencionais são montadas 
a partir de nervuras de concreto e blocos de argamassa de cimento ou de material 
5 
 
cerâmico. As lajes Alveolares, por outro lado, são constituídas de Painéis de 
concreto de elevada resistência, no caso protendidos, com peso próprio reduzido. 
 
Figura 4. Lajes Coméia 
 
Figura 5. a -Laje lisa; e, b - laje cogumelo 
 
Figura 6. Laje pré-moldada convencional 
6 
 
 
Figura 7. Lajes Alveolares 
 Uma laje isolada é aquela que não apresenta interface com outras placas 
adjacentes posicionadas além de seus elementos de apoio. Se tal laje se apoia em 
quatro vigas desenvolvidas, em seu conjunto, segundo uma poligonal fechada, seu 
vão teórico “L” em cada direção deve ser definido como sendo a distância entre os 
eixos das vigas sobre as quais se apoia, Figura 8. Uma forma alternativa de definir 
seu vão teórico é considerando seu vão livre Lo acrescido de 60% de sua espessura 
h. Se a laje isolada apresentar bordo livre, então seu vão teórico na direção do bordo 
livre deve ser definida a partir da distância de tal bordo ao eixo da viga de apoio, 
Figura 9. Esta última orientação para definição do vão teórico pode ser aplicada aos 
casos envolvendo laje em balanço. 
 
Figura 8. Laje isolada apoiada em quatro vigas 
 Uma laje contínua é aquela que se prolonga além de algumas de 
suas vigas de apoio, e, se apoia em um total de vigas, em geral, 
superior a 4(quatro). Seu vão teórico é definido considerando-se seu vão 
livre Lo acrescido de 60% de sua espessura h, Figura 10. 
7 
 
 Uma laje isolada, em geral, deve ser armada em uma só direção 
quando a razão entre seu vão maior e seu vão não for inferior a 2 (dois). 
Caso contrário ela deve ser armada em duas direções ou em cruz. 
 A NBR 6118/2014 recomenda para as lajes, espessura mínima, 
conforme, seu tipo de utilização. Tais valores limite são: 
 Lajes de coberta - 70 mm 
 Lajes de piso - 80 mm 
 Lajes em balanço - 100 mm 
 Lajes que suportem veículos de peso não superiora 
30 kN – 100 mm 
 Lajes que suportem veículos de peso superior a 30 kN 
– 120 mm 
 Lajes Cogumelo – 140 mm 
 Lajes lisas – 160 mm 
 
Figura 9. Laje isolada com bordo livre 
8 
 
 
Figura 10. Laje contínua 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
Volume 1 
Lajes 
Capítulo 2 - Cargas 
 As ações em uma estrutura, em geral, podem ser ações permanentes ou 
ações acidentais. 
As Ações Permanentes atuam com valores constantes ou de pouca variabilidade 
no decorrer da vida útil da estrutura. Incluem seu peso próprio bem como o peso de 
elementos fixos a ela tais como revestimentos, enchimentos e paredes. Seus valores 
estão atrelados à massa específica dos corpos sólidos aos quais são inerentes. 
A Necessidade de consideração do peso próprio da laje é óbvia. Para levar em 
conta tal ação ela deve ser modelada como se fosse distribuída uniformemente em 
toda a extensão da área da laje, Figura 11. 
Conforme a Figura 11 a área total da laje pode ser dada mediante: 
𝐴𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝐿𝑥 × 𝐿𝑦 
Seu volume total será então: 
𝑉𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝐴𝐿𝑎𝑗𝑒 × ℎ = 𝐿𝑥 × 𝐿𝑦 × ℎ 
Enquanto seu peso pode ser obtido a partir de: 
𝑃𝑒𝑠𝑜𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × 𝑉𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × 𝐿𝑥 × 𝐿𝑦 × ℎ 
A carga que solicita a laje correspondente ao seu peso próprio é dada na forma: 
𝑃𝑝𝐿𝑎𝑗𝑒 =
𝑃𝑒𝑠𝑜𝐿𝑎𝑗𝑒
𝐴𝐿𝑎𝑗𝑒
=
𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × 𝐿𝑥 × 𝐿𝑦 × ℎ
 𝐿𝑥 × 𝐿𝑦
 
Ou ainda: 
𝑃𝑝𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × ℎ 
 
10 
 
 
Figura 11. Distribuição de carga 
O revestimento é um recurso voltado para a composição estética e proteção 
adicional do concreto. Em lajes de coberta deve-se considerar o revestimento de 
teto e, em lajes de piso, deve-se considerar, inclusive, o revestimento do piso ou 
pavimentação. As cargas associadas a revestimento de teto e pavimentação de 
pisos também devem ser consideradas como ação distribuída uniformemente em 
toda a extensão da área da laje. 
A pavimentação normalmente é constituída de elementos de acabamento do tipo 
placa assentados sobre camada de regularização em argamassa de cimento, areia e cal, 
Figura 12. 
 
Figura 12. Detalhe de pavimentação 
Para efeito de cálculo de sua carga a argamassa de revestimento de teto 
assim como de regularização e assentamento do piso deve ser considerada como 
uma placa que repousa solidariamente sobre a laje. Deve ser calculada a partir de: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 = 𝛾𝑎𝑟𝑔 × 𝑒𝑎𝑟𝑔 
onde arg representa a massa específica do material constituinte da argamassa e earg 
representa a espessura da camada de argamassa. Para o revestimento do teto com 
argamassa a parcela substancial de carga associada a esse revestimento é devida 
ao peso desse material. Para o caso de o teto ser revestido com forro em placas de 
11 
 
gesso, Forro Pacote ou Eucatex suspensas na laje, o peso dessas placas deve ser 
considerado, e, assim, calculado mediante: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝐹𝑜𝑟𝑟𝑜 = 𝛾𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 × 𝑒𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 
onde placa representa a massa específica do material constituinte da placa do forro e 
eplaca a sua espessura. 
 
Figura 13 
A carga do revestimento do teto será então: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑅𝑒𝑣 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝐹𝑜𝑟𝑟𝑜 
A carga referente à pavimentação do piso deve ser calculada a partir de: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑣 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝛾𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 × 𝑒𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 
onde placa representa a massa específica do material constituinte da placa, no caso 
cerâmica, mármore, madeira, etc e, eplaca a sua espessura 
Nos casos usuais de revestimento de piso leve pode ser adotado para peso 
do conjunto pavimento e revestimento valor compreendido entre 0,8 e 1,0 kN/m2. 
 Na prática da construção civil pode acontecer de na concepção de projeto a 
laje ser provida de rebaixamento com a finalidade de permitir o alojamento de 
instalações de esgoto sanitário, Figura 14. 
Os espaços vazios deixados após o assentamento dos elementos vitais da 
instalação devem ser preenchidos com material inerte 
 A carga correspondente ao peso do enchimento da laje rebaixada deve ser 
considerada como se distribuída uniformemente em toda a extensão da área onde a 
laje é rebaixada, e, sua intensidade deve ser calculada na forma: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑒𝑛𝑐ℎ = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × ℎ𝑓 
12 
 
onde mat representa a massa específica do material utilizado para o enchimento e hf 
é a profundidade do rebaixamento. 
 
Figura 14. 
Há casos, inclusive, em que se torna inevitável o apoio de paredes sobre uma 
laje. Em se tratando de uma laje a ser armada em cruz o peso total da parede, 
Figura 15, deve ser considerado como se distribuído uniformemente em toda a 
extensão da área da laje. Sua intensidade total será: 
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝 × ℎ𝑝 × 𝐿𝑝 
Se mat representa a massa específica do material constituinte da parede e ep, hp e 
Lp são a espessura a altura e o comprimento da parede. A carga sobre a laje 
referente ao peso da parede será então: 
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 =
𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝 × ℎ𝑝 × 𝐿𝑝
𝐿𝑥𝐿𝑦
 
Na hipótese de a laje ser armada em uma só direção existem duas alternativas a 
considerar. Se a parede é paralela ao maior vão, Figura 16, distribuí-lo em tal direção e 
considerar carga concentrada igual ao peso de segmento de parede de comprimento 
unitário, ou seja: 
𝑃𝑝𝑎𝑟 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝 × ℎ𝑝 
Se a parede for paralela ao vão menor a carga correspondente ao seu peso 
deverá ser descarregada em área restrita da laje, área hachurada da Figura 17. Tal 
faixa de distribuição da ação referente ao peso da parede deverá ser reforçada com 
armadura adicional calculada para um momento fletor fictício de intensidade: 
𝑀𝑥 = 1,1 × 𝑃𝑝𝑎𝑟 × 𝐿𝑥 
13 
 
considerando-se: 
𝑃𝑝𝑎𝑟 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝𝑎𝑟 × ℎ𝑝𝑎𝑟 
A armadura assim calculada deverá ser distribuída em cada uma das duas 
direções da laje. 
 
Figura 15 
 Na tabela 1 encontram-se sumarizados os pesos específicos de alguns 
materiais de emprego em larga escala na indústria da construção civil. 
 Tabela 1. Peso específico de materiais 
Material Peso Específico Aparente(kN/m3) 
Tijolos maciços 18 
Tijolos vazados 13 
Lajotas cerâmicas 18 
Alumínio 28 
Argamassa de cimento areia e cal 19 
Cimento amianto 20 
As ações acidentais, por sua vez, apresentam variabilidade significativa no 
decorrer da vida útil da estrutura. Trata-se, geralmente, de cargas verticais e devem 
ser consideradas como se fossem uniformemente distribuídas em toda a extensão 
da laje. Decorrem do tráfego e permanência de pessoas, peso e tráfego de veículos, 
14 
 
móveis e utensílios. Sua intensidade depende do tipo de uso previsto para o recinto 
que a laje suporta. Podem incluir ações de caráter especial. 
 
Figura 16 
 
Figura 17 
15 
 
Nas tabelas 2 e 3 estão sumarizados os valores recomendados para ações 
acidentais recomendados pela NBR 6120/2003. 
Tabela 2. Valores ações acidentais em edifícios residenciais 
Lajes em edifícios residenciais 
Local Carga(kN/m2) 
Área de serviço e terraços 2,0 
Escadas, corredores e Hall 2,5 
Forros se sem acesso de pessoas ou depósitos 0,5 
Demais dependências 1,5 
Tabela 3. Valores ações acidentais em edificações gerais 
Edificações em geral 
Tipo de utilização Carga (kN/m2) 
Salas de aula 3,0 
Corredores 3,0 
Escritórios 2,0 
lojas 4,0 
Ginásios 5,0 
Dormitórios 2,0 
Refeitórios 3,0 
Laboratórios 3,0 
Garagens veículos de até 25 kN 3,0 
Para lajes de depósitos, na ausência de valores experimentais ou de 
especificações de peso do material a ser depositado, pode-se elaborar estimativa 
aproximada. 
 
Exercício II.1 - Calcular a carga na laje ilustrada na Figura AII.1, constituída em 
concreto armado, destinada a piso de garagem que será utilizada por veículos de 
peso superior a 30 kN, se será pavimentado com lajotas cerâmicas de 8 mm de 
espessura, assentadas sobre leito constituído de argamassa de cimento Portland 
areia e cal de 25 mm de espessura, esta última, também utilizada para revestir o tetodo pavimento inferior. 
 
Resolução: 
Para a espessura da laje será adotado o valor h = 120 mm atendendo aos requisitos 
de espessura mínima, recomendados pela NBR 6118/2014. 
Para efeito de cálculo das cargas referentes às ações permanentes serão adotados 
os valores dos pesos específicos indicados na tabela 1. 
O peso próprio será então: 
16 
 
𝑃. 𝑝. = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × ℎ = 25,0 × 0,12 = 3,0 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga referente ao revestimento do teto do pavimento Inferior à garagem será 
essencialmente devida ao peso da argamassa, e, portanto: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 = 𝛾𝑎𝑟𝑔 × 𝑒𝑎𝑟𝑔 = 19,0 × 0,025 = 0,475 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga referente ao revestimento do piso da garagem além do peso da argamassa 
de regularização e assentamento, incluirá o peso das lajotas, dado por: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 𝛾𝑐𝑒𝑟 × 𝑒𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 18,0 × 0,008 = 0,144 𝑘𝑁/𝑚
2 
Assim, a carga correspondente ao revestimento do piso será: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣𝑝𝑖𝑠𝑜 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 0,475 + 0,144 = 0,619 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga correspondente ao revestimento do conjunto piso e teto é: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣𝑝𝑖𝑠𝑜 = 0,475 + 0,619 = 1,094 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga permanente deve ser a soma do peso próprio da laje com a carga referente 
ao seu revestimento, e, assim, será: 
𝑔 = 𝑃. 𝑝. + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣 = 3,0 + 1,094 = 4,094 𝑘𝑁/𝑚
2 ≈ 4,1 𝑘𝑁/𝑚2 
A NBR 6120/2003 não contempla em sua redação informação a respeito de 
carga de utilização aplicável ao presente caso por esta razão, o autor deste trabalho 
precisou a recorrer a uma estimativa tomando por base a experiência em trabalhos 
similares, da qual resultou para a carga de utilização o valor: 
𝑞 = 5,0 𝑘𝑁/𝑚2 
Neste trabalho justifica-se a consideração da Combinação Quase Frequente 
de ações e da Combinação Normal Última de Ações. A consideração da primeira 
justifica-se pelo fato de no presente caso só ser necessário verificar o Estado Limite 
de Deformações Excessivas, e, não está relatada possibilidade de oscilações 
térmicas ou ação do vento que possam comprometer vedações, e, em casos dessa 
natureza a NBR 6118/2014 recomenda, especificamente, adotá-la. As Combinações 
Últimas de Ações devem ser aplicadas no dimensionamento de seções transversais 
de concreto armado. A combinação Última Normal de Ações é aplicável a todos os 
17 
 
casos, e, uma vez que não há informações de ocorrência de Ações de Construção, 
Ações Especiais ou Ações Excepcionais relevantes, apenas, esta combinação de 
ações precisa ser considerada. 
 
Figura AII.1 
A Combinação Quase Permanente de Serviço apresenta a seguinte composição: 
𝑭𝒅.𝒔𝒆𝒓𝒗 = ∑ 𝑭𝒈𝒌 + ∑ 𝝍𝟐𝑭𝒒𝒌 
Conforme a NBR 6118-2014, para o tipo de utilização da laje em análise deve-se 
considerar 2 = 0,6. 
Uma vez que no presente caso ocorre a solicitação de apenas uma ação 
permanente e uma ação acidental, no caso as cargas p e q acima definidas tal 
expressão se reduz a. 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗 = 𝒈 + 𝝍𝟐𝒒 = 4,094 + 0,6 × 5,0 ≈ 𝟕, 𝟏 𝒌𝑵/𝒎
𝟐 
A Combinação Última Normal de Ações é expressa mediante: 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝜀𝑔𝐹𝜀𝑔𝑘 + 𝛾𝑞(𝐹𝑞1𝑘 + ∑ 𝜓0𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘) + 𝛾𝜀𝑞𝜓0𝜀𝐹𝜀𝑞𝑘 
18 
 
Uma vez que para o presente caso as ações indiretas são pouco significativas tal 
expressão se reduz à forma: 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝑞(𝐹𝑞1𝑘 + ∑ 𝜓0𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘) 
E, uma vez que há apenas uma ação acidental, a expressão se reduz para: 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝑞𝐹𝑞1𝑘 
É sabido que os valores recomendados pela NBR 6118/2014 para coeficientes de 
segurança das solicitações aplicáveis a esse tipo de combinação de ações são tais 
que: 
𝛾𝑔 = 𝛾𝑞 = 𝛾𝑓 = 1,4 
Sendo assim, resulta: 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝑞𝐹𝑞1𝑘 = 𝛾𝑓(𝐹𝑔𝑘 + 𝐹𝑞1𝑘) 
Fazendo-se: 
𝐹𝑔𝑘 = 𝑔; 𝐹𝑞1𝑘 = 𝑞; 𝑒, 𝑝 = 𝑔 + 𝑞 
Obtém-se: 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑓(𝑔 + 𝑞) = 𝛾𝑓𝑝 
Logo, p é a carga que deve ser utilizada para cálculo dos momentos fletores que, 
uma vez multiplicados pelo coeficiente de segurança das solicitações, no caso o f 
resulta o momento fletor solicitado de projeto a ser adotado para a determinação da 
armadura longitudinal de flexão da laje. 
A carga referente à Combinação Última Normal de Ações para o presente caso será, 
portanto: 
𝒑 = 𝒈 + 𝒒 = 4,094 + 5,0 = 9,094 𝑘𝑁/𝑚2 ≈ 9,1 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Exercício II.2 - Calcular a carga na laje em concreto armado ilustrada na Figura 
AII.2, destinada a piso de dois ambientes contíguos separados por parede de 
19 
 
alvenaria singela vazada de altura igual a 2,60 m. Um dos ambientes será utilizado 
como escritório e o outro como laboratório. Os pisos serão revestidos com lajotas 
cerâmicas de 8 mm de espessura, assentadas sobre leito constituído de argamassa 
de cimento Portland areia e cal de 25 mm de espessura, esta última, também 
utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
Resolução: 
Observe-se que a laje objeto deste exercício é idêntica à do exercício anterior, 
diferindo pela existência de uma parede descarregando sobre ela e pelo tipo de 
utilização. Assim os cálculos aqui apresentados serão idênticos ao daquele exercício 
incluindo-se a carga correspondente ao peso da parede e modificando-se a carga de 
utilização e o seu peso próprio. 
A NBR 6118/2014 permite a adoção de espessura a partir de 80 mm para lajes 
desta natureza, entretanto, amparado em experiências de trabalhos anteriores seu 
valor será fixado em 100 mm. 
De antemão, para o cálculo da carga referente ao peso da parede será necessário 
definir-se seus vão teóricos. Se b representa a largura da seção transversal das 
vigas, então ter-se-ão: 
𝐿𝑥 = 𝐿𝑥𝑜 + 𝑏 = 6,00 + 0,15 = 6,15 𝑚 𝑒 𝐿𝑦 = 𝐿𝑦𝑜 + 𝑏 = 7,00 + 0,15 = 7,15 𝑚 
A área total da laje será então: 
𝐴𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝐿𝑥𝐿𝑦 = 6,15 × 7,15 = 43,97 𝑚
2 
Seu peso próprio é: 
𝑃. 𝑝. = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × ℎ = 25,0 × 0,10 = 2,5 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga referente ao peso do revestimento é idêntica ao do exercício anterior, e, 
portanto, igual a 1,1 kN/m2. 
O peso total da parede pode ser calculado a partir de: 
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑃𝑎𝑟 = 𝛾𝑎𝑙𝑣 × 𝑒𝑝𝑎𝑟 × ℎ𝑝𝑎𝑟 × 𝐿𝑥 
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑃𝑎𝑟 = 13,0 × 0,15 × 2,60 × 6,15 = 31,2 𝑘𝑁 
20 
 
Uma vez que, para o presente caso, a razão entre o maior e o menor vão é inferior a 
2, a laje deve ser armada em cruz, e, neste caso, a carga referente ao peso da 
parede deve ser distribuída de maneira uniforme em toda a área horizontal da laje, 
assim: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑟 =
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑝𝑎𝑟
Á𝑟𝑒𝑎𝐿𝑎𝑗𝑒
=
31,2
43,97
= 0,71 𝑘𝑁/𝑚2 
A Carga Permanente deve ser então: 
𝑝 = 𝑃. 𝑝. + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑟 = 2,5 + 1,1 + 0,71 = 4,31 𝑘𝑁/𝑚
2 ≈ 4,4 𝑘𝑁/𝑚2 
As cargas de Utilização, conforme a NBR 6120/2003 são de 2,0 kN/m2 para 
escritórios e de 3,0 kN/m2 para laboratórios. 
A definição das combinações de ações é realizada segundo orientação idêntica 
àquela aplicada ao exercício II.1. Para Combinação Quase Permanente adota-se a 
expressão : 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗 = 𝒈 + 𝝍𝟐𝒒 
Para os tipos de utilização previstos para a laje objeto deste exercício a NBR 
6120/2003 recomenda adotar 2 = 0,3, de modo a resultar para Escritório: 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗 = 4,4 + 0,3 × 2,0 = 5,0 𝑘𝑁/𝑚
2 
E, para Laboratório: 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗 = 4,4 + 0,3 × 3,0 = 5,3 𝑘𝑁/𝑚
2 
Para a Combinação Última: 
𝒑 = 𝒈 + 𝒒 
Para Escritório tem-se: 
𝑝 = 4,4 + 2,0 = 6,4 𝑘𝑁/𝑚2 
E, para Laboratório: 
𝑝 = 4,4 + 3,0 = 7,4 𝑘𝑁/𝑚2 
21 
 
 
Figura AII.2 
 
Exercício II.3 – Idem, Exercício II.2, considerando a laje da Figura AII.3 
O desenvolvimento da resolução deste exercício é idêntico ao praticado no Exercício 
II.2, diferindo, entretanto, que neste caso a razão entre o vão maior e o vão menor 
da laje é superior a 2, de modo que ela deverá ser armada em uma só direção, 
assim, o procedimento de cálculo da carga correspondente ao peso da parede será 
distinto. Seu vão teórico na direção x é: 
𝐿𝑥 = 𝐿𝑥𝑜 + 𝑏 = 3,20 + 0,15 = 3,35 𝑚 
O peso total da parede será: 
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑃𝑎𝑟 =𝛾𝑡𝑖𝑗 × 𝑒𝑝𝑎𝑟 × ℎ𝑝𝑎𝑟 × 𝐿𝑥 = 13,0 × 0,15 × 2,60 × 3,35 = 17,0 𝑘𝑁 
A área da faixa de distribuição do peso da parede será: 
Á𝑟𝑒𝑎𝐹𝑎𝑖𝑥𝑎𝐷𝑖𝑠𝑡 = 𝐿𝑥 × 𝐿𝑥 = 3,35 × 3,35 = 11,23 𝑚
2 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑟 =
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑝𝑎𝑟
Á𝑟𝑒𝑎𝐹𝑎𝑖𝑥𝑎𝐷𝑖𝑠𝑡
=
17,0
11,23
= 1,52 𝑘𝑁/𝑚2 
22 
 
Para o cálculo da Carga Permanente tem-se: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑔1 = 𝑃. 𝑝. +𝑅𝑒𝑣 = 2,5 + 1,1 = 3,6 𝑘𝑁/𝑚
2 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑔2 = 𝑃. 𝑝. +𝑅𝑒𝑣 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑟 = 𝑔1 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑟 = 3,6 + 1,52 = 5,12 𝑘𝑁/𝑚
2 
 
Figura AII.3 
 
As combinações de serviço pertinentes ficam então: 
Para Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣1 = 𝑔1 + 2𝑞𝑒𝑠𝑐 = 3,6 + 0,3 × 2,0 ≈ 4,2 𝑘𝑁/𝑚
2 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣2 = 𝑔2 + 2𝑞𝑒𝑠𝑐 = 5,12 + 0,3 × 2,0 ≈ 5,8 𝑘𝑁/𝑚
2 
23 
 
No Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣3 = 𝑔1 + 2𝑞𝑙𝑎𝑏 = 3,6 + 0,3 × 3,0 ≈ 4,5 𝑘𝑁/𝑚
2 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣4 = 𝑔2 + 2𝑞𝑙𝑎𝑏 = 5,12 + 0,3 × 3,0 ≈ 6,1 𝑘𝑁/𝑚
2 
As combinações Últimas, por sua vez, ficam: 
Para Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝1 = 𝑔1 + 𝑞𝑒𝑠𝑐 = 3,6 + 2,0 ≈ 5,6 𝑘𝑁/𝑚
2 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝2 = 𝑔2 + 𝑞𝑒𝑠𝑐 = 5,12 + 2,0 ≈ 7,2 𝑘𝑁/𝑚
2 
No Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝3 = 𝑔1 + 𝑞𝑙𝑎𝑏 = 3,6 + 3,0 ≈ 6,6 𝑘𝑁/𝑚
2 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝4 = 𝑔2 + 𝑞𝑙𝑎𝑏 = 5,12 + 3,0 ≈ 8,2 𝑘𝑁/𝑚
2 
 
O peso total de parede para efeito de cálculo do Momento fletor de armadura de 
reforço na faixa de distribuição da carga da parede será dado mediante: 
𝑃𝑝𝑎𝑟 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝𝑎𝑟 × ℎ𝑝𝑎𝑟 = 13,0 × 0,15 × 2,60 = 5,07 𝑘𝑁/𝑚 
O Momento fletor de armadura de reforço é: 
𝑀𝑥 = 1,1 × 𝑃𝑝𝑎𝑟 × 𝐿𝑥 = 1,1 × 5,07 × 3,35 = 18,7 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Nas duas direções na faixa de distribuição da parede. 
24 
 
Exercícios Propostos 
Exercício PII.1 - Calcular a carga na laje ilustrada na Figura PII.1, constituída em 
concreto armado, destinada a piso de refeitório que será pavimentado com 
cerâmicas de 8 mm de espessura, assentadas sobre leito constituído de argamassa 
de cimento Portland, areia e cal de 15 mm de espessura, esta última, também 
utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
Observação: Devido aos comprimentos do vão da laje pode ser conveniente 
estimar a espessura da laje em 120 mm. 
 
Figura PII.1 
Exercício PII.2 - Calcular a carga na laje em concreto armado ilustrada na Figura 
PII.2, destinada a piso de dois ambientes contíguos separados por parede de 
alvenaria singela vazada de altura igual a 3,20 m. Um dos ambientes será utilizado 
como escritório e o outro para dormitório. Os pisos serão revestidos com lajotas 
cerâmicas de 8 mm de espessura, assentadas sobre leito constituído de argamassa 
de cimento Portland, areia e cal de 15 mm de espessura, esta última, também 
utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
 
Figura PII.2 
25 
 
Exercício PII.3 – Idem, Exercício PII.2, considerando a laje da Figura PII.3. 
 
Figura PII.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
Volume 1 
Lajes 
Capítulo 3 – Esforços 
3.1 - Preâmbulo 
Na estrutura de um edifício a laje de cada pavimento é composto por um 
conjunto de painéis de lajes interligados continuamente, Figura 18. Para o cálculo 
dessas lajes contínuas os painéis podem ser tratados, inicialmente, tal unidades 
isoladas, apoiados em paredes ou vigas rígidas, e, por conseguinte, pode-se 
considerar a continuidade entre painéis contíguos mediante operação de 
compensação de esforços. 
 
Figura 18 
3.2 – Painéis isolados 
Para os efeitos de abordagem dos painéis tomados isoladamente a 
representação de suas condições de bordo deverá ser orientada conforma as 
28 
 
convenções da Figura 19. Um seguimento sombreado será utilizado para 
representar um bordo ligado mediante engastamento perfeito. Uma linha em traço 
cheio indicará tratar-se de bordo simplesmente apoiado. Um seguimento assinalado 
em trações interrompidos denotará um bordo livre, assim denominado, aquele bordo 
isento de qualquer tipo de ligação a elemento adjacente ao painel de laje 
considerado. 
 
Figura 19 
A Figura 18 ilustra uma laje continua composta de 12 painéis isolados, 
apoiada sobre vigamento. Do ponto de vista prático, podem ser modelados como 
engastamento perfeito os bordos internos de dois painéis isolados adjacentes 
nivelados entre si. É o que ocorre com os bordos comuns dos painéis L1 com L2, L2 
com L3, L3 com L4, L1 com L5, L5 com L9, L3 com L7, L7 com L11, L4 com L8, L8 com 
L12, L9 com L10, L10 com L11, e, L11 com L12. 
Rigorosamente, do ponto de vista mecânico, a condição de engaste perfeito 
só se aplicaria se os bordos dos painéis de lajes que concorrem na mesma linha de 
apoio apresentarem rotação nula. Se os comprimentos dos vãos ou os 
carregamentos dos painéis de lajes concorrentes são diferentes, dificilmente a 
rotação seria nula de modo que, após o cálculo dos painéis tomados isoladamente, 
deve-se proceder à compensação dos momentos do referido apoio. 
 A ligação do tipo apoio simples aplica-se, sobretudo, de forma aproximada ao 
bordo de extremidade da laje contínua. Ocorre com os bordos dos painéis L1, L2, L3, 
L4, L9, L10, L11, e, L12, alinhados com os seguimentos CD e EF da Figura 18. Tal 
aproximação é viável porque, a grande maioria das vigas de edifícios apresenta 
baixa rigidez à torção, e, a armadura da ligação entre a laje e a viga não é projetada 
29 
 
para absorver momentos torsores, de modo que suscita quadro de fissuração que 
favorece a rotação da laje quase que livremente. 
A ligação do tipo apoio simples aplica-se, também, de forma aproximada ao 
bordo comum de dois painéis de laje que são desnivelados entre si, que é o que 
acontece quando um dos painéis concorrentes é rebaixado. Para a laje da Figura 18, 
é o que ocorre com os bordos comuns dos painéis L2 com L6, L5 com L6, L6 com L7, e, L6 
com L10. 
Assim, tomando-se como referência a Figura 18, em resumo, as condições de 
bordo dos painéis de laje L1 ,L4 , L9 e L12 podem ser representados conforme Figura 
20.a, as dos painéis L2 e L10 conforme Figura 20.b, as dos painéis L3 e L11 como 
indicado na Figura 20.c, para L5 estão mostradas na Figura 20.d, para L6 estão 
ilustradas na Figura 20.e, para L7 estão assinaladas na Figura 20.f, e, para o painel 
L8 está representada na Figura 20.g. 
 
Figura 20 
 
3.3 – Painéis de Lajes Armados em uma só Direção 
 As lajes devem, a princípio, ser calculadas como se trabalhasse 
mecanicamente, em uma só direção quando a razão entre o comprimento do vão 
maior e o do vão menor não for inferior a 2. Neste caso, se o vão de menor 
30 
 
comprimento orienta-se com a direção x, Figura 21, então a curvatura do plano 
médio da laje tomada segundo a direção y é tal que torna a intensidade do momento 
fletor em tal direção pouco significativo. 
Considerando-se que o painel de laje trabalhará na direção “x”, para efeito de 
análise de desempenho mecânico, ele deve ser tratado como se fosse uma viga de 
seção retangular de altura igual à sua espessura e largura igual a 1,00 metro. Os 
Momentos Fletores, Esforços Cortantes e Reações de Apoio serão calculados então 
tomando-se esta realidade como referência. As armaduras longitudinais principais 
de tração calculadas para esses esforços, orientar-se-ão ao longo da direção x, e, 
deverão ser distribuídas em toda a extensão da laje, na direção y, Figura 21.b. 
Recomenda-se, neste caso, a adoção de armadura de distribuição segundo a 
direção y perpendicular à direção x da armadura principal, esta última, que 
efetivamente trabalhará como armadura de tração na flexão. 
 
Figura 21 
Se o painel de laje apresentar uma das condições de bordo da Figura22, as 
reações de apoio serão obtidas a partir da expressão da resistência dos materiais: 
𝑅𝑦 = 
𝑝𝐿𝑥
2
 
31 
 
onde p representa a carga que solicita a laje. Tal reação deve ser considerada 
uniformemente distribuída segundo a direção dos bordos AC e BD. A intensidade do 
Momento Fletor máximo será dada a partir de: 
𝑀𝑥 = 
𝑝𝐿𝑥
2
8
 
 
Figura 22 
Se o painel de laje apresentar uma das condições de bordo da Figura 23 ou 
24, as reações de apoio serão: 
𝑅𝑦 = 
𝑝𝐿𝑥
2
 
A intensidade do Momento Fletor máximo positivo será dada a partir de: 
𝑀𝑥 = 
𝑝𝐿𝑥
2
24
 
A intensidade do Momento Fletor negativo na seção de apoio sobre a viga 
será dada a partir de: 
𝑋𝑥 = − 
𝑝𝐿𝑥
2
12
 
32 
 
 De outra forma, se o painel individual de laje apresenta as condições de bordo 
da Figura 25 as reações de apoio serão dadas mediante: 
𝑅𝑦1 = 
5𝑝𝐿𝑥
8
 𝑒 𝑅𝑦2 = 
3𝑝𝐿𝑥
8
 
 
Figura 23 
 
Figura 24 
33 
 
 
O Momento Fletor Máximo Positivo será dado por: 
𝑀𝑥 = 
𝑝𝐿𝑥
2
14
 
 
A intensidade do Momento Fletor negativo na seção de apoio sobre a viga 
será dada a partir de: 
𝑋𝑥 = −
𝑝𝐿𝑥
2
8
 
 
Figura 25 
 
 Para o caso do painel de laje em balanço da Figura 26 a intensidade da 
reação de apoio será expressa mediante: 
𝑅𝑦 = 𝑝𝐿𝑥 
 
 O Momento Fletor negativo na seção do apoio será: 
𝑋𝑥 = 
−𝑝𝐿𝑥
2
2
 
34 
 
 
 
Figura 26 
 Vale ressaltar neste parágrafo que nas discussões acima apresentadas está 
sendo convencionada a notação Ry para representar a Reação de Apoio distribuída 
ao longo da direção y. Para representar os Momentos Fletores Positivos e 
Negativos, respectivamente, para o painel trabalhando na direção x, foram 
convencionadas as notações Mx e Xx. Esta convenção será praticada em todo este 
trabalho. O Esforço Cortante distribuído segundo a direção y será representado pela 
notação Vy. Mais adiante, quando forem tratados os painéis isolados armados em 
duas direções será adotada as notações Rx e Vx para representar a intensidade da 
Reação de Apoio e do Esforço Cortante distribuídos segundo o bordo na direção x, 
e, as notações My e Xy, para representar os Momentos Fletores Positivos e 
Negativos, respectivamente, para o painel trabalhando na direção y. 
Os painéis de laje que apresentarem as condições de bordo da Figura 27 
devem, obrigatoriamente, ser calculados na condição de armados em uma só 
direção. 
Desnecessário é lembrar que as Reações de Apoio e os Esforços Cortantes 
apresentam direção vertical, e que nas seções da vizinhança dos bordos o Esforço 
Cortante e a Reação de Apoio são iguais em intensidade. 
35 
 
 
 
Figura 27 
Por razões que serão elucidadas em parágrafo oportuno deste trabalho, os 
painéis de laje que apresentarem as condições de bordo da Figura 28 devem, 
obrigatoriamente, ser calculados na condição de armados em duas direções. 
 
Figura 28 
36 
 
Exercício III.1 - Calcular os esforços na laje de concreto armado da Figura AIII.1 
destinada a piso de garagem, a ser utilizada por veículo de peso superior a 30 kN, 
se seu piso será revestido com lajotas cerâmicas de 8 mm de espessura, 
assentadas sobre leito de argamassa de cimento areia e cal de 25 mm de 
espessura, esta última, também utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
Resolução: 
Um exame comparativo substancial deste exercício com o Exercício II.1 induz a 
conclusão de que a espessura da laje e o carregamento solicitante deste exercício 
deverão ser idênticos ao do Exercício II.1. 
Os comprimentos de seus vãos teóricos serão assim calculados: 
𝑳𝒙 = 𝟑, 𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟖 = 𝟑, 𝟎𝟖 → 𝟑, 𝟏𝟓 𝒎 𝒆 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟖 = 𝟕, 𝟎𝟖 → 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
A Relação entre os comprimentos dos vãos será: 
𝝀 = 
𝑳𝒚
𝑳𝒙
= 
𝟕, 𝟏𝟓
𝟑, 𝟏𝟓
= 𝟐, 𝟐𝟔 > 2, 𝟎𝟎 
Logo deve ser armada em uma só direção. 
 
Figura AIII.1 
Para o carregamento de serviço, as reações de apoio, que representarão ações 
sobre o vigamento, será: 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2
=
7,1 × 3,15
2
= 11,2 𝑘𝑁/𝑚 
37 
 
 
O Momento máximo positivo é: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2
8
=
7,1 × 3,152
8
= 8,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Para o carregamento referente à Combinação Última Normal de Ações, a Reação de 
apoio é: 
𝑅𝑦 =
𝑝𝐿𝑥
2
=
9,1 × 3,15
2
= 14,4 𝑘𝑁/𝑚 
Enquanto o Momento máximo positivo é: 
𝑀𝑥 =
𝑝𝐿𝑥
2
8
=
9,1 × 3,152
8
= 11,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 A ação da laje sobre o vigamento referente ao carregamento de serviço está 
indicada na Figura AIII.2.a e aquela correspondente à Combinação Normal Última de 
Ações na Figura AIII.2.b. 
 
Figura AIII.2 
Exercício III.2 - Calcular os esforços na laje do Exercício II.3. 
Resolução: 
O comprimento do vão teórico na direção y será: 
𝐿𝑦 = 𝐿𝑦𝑜 + 𝑏 = 7,00 + 0,15 = 7,15 𝑚 
A Relação entre os comprimentos dos vãos será: 
𝝀 = 
𝑳𝒚
𝑳𝒙
= 
𝟕, 𝟏𝟓
𝟑, 𝟑𝟓
= 𝟐, 𝟏𝟑 > 2, 𝟎𝟎 
38 
 
Logo deve ser armada em uma só direção 
Para o carregamento de serviço as Reações de Apoio serão: 
Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣1 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣1𝐿𝑥
2
=
4,2 × 3,35
2
= 7,1 𝑘𝑁/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣2 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣2𝐿𝑥
2
=
5,8 × 3,35
2
= 9,8 𝑘𝑁/𝑚 
Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣3 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣3𝐿𝑥
2
=
4,5 × 3,35
2
= 7,6 𝑘𝑁/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣4 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣4𝐿𝑥
2
=
6,1 × 3,35
2
= 10,3 𝑘𝑁/𝑚 
Para o Momento máximo positivo ter-se-ia: 
Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣1 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣1𝐿𝑥
2
8
=
4,2 × 3,352
8
= 5,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣2 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣2𝐿𝑥
2
8
=
5,8 × 3,352
8
= 8,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣3 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣3𝐿𝑥
2
8
=
4,5 × 3,352
8
= 6,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
39 
 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣4 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2
8
=
6,1 × 3,352
8
= 8,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Os esforços correspondentes à Combinação Última Normal de Ações, esforços 
estes que deverão ser multiplicados pelo coeficiente de segurança das solicitações, 
no caso f = 1,4, para assim obter-se os esforços de projeto, serão : 
Reações nas vigas 
Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦1 =
𝑝1𝐿𝑥
2
=
5,6 × 3,35
2
= 9,4 𝑘𝑁/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
 𝑅𝑦2 =
𝑝2𝐿𝑥
2
=
7,2 × 3,35
2
= 12,1 𝑘𝑁/𝑚 
Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦3 =
𝑝3𝐿𝑥
2
=
6,6 × 3,35
2
= 11,1 𝑘𝑁/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦4 =
𝑝4𝐿𝑥
2
=
8,2 × 3,35
2
= 13,8 𝑘𝑁/𝑚 
Momento máximo positivo 
Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑀𝑥1 =
𝑝1𝐿𝑥
2
8
=
5,6 × 3,352
8
= 7,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
 𝑀𝑥2 =
𝑝2𝐿𝑥
2
8
=
7,2 × 3,352
8
= 10,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
40 
 
𝑀𝑥3 =
𝑝3𝐿𝑥
2
8
=
6,6 × 3,352
8
= 9,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑀𝑥4 =
𝑝4𝐿𝑥
2
8
=
8,2 × 3,352
8
= 11,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Momento de Reforço de armadura na faixa de distribuição da carga da parede 
𝑃𝑝𝑎𝑟 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝𝑎𝑟 × ℎ𝑝𝑎𝑟 = 13,0 × 0,15 × 2,60 = 5,07 𝑘𝑁/𝑚 
𝑀𝑥 = 1,1 × 𝑃𝑝𝑎𝑟 × 𝐿𝑥 = 1,1 × 5,07 × 3,35 = 18,7 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Nas duas direções na faixa de distribuição da parede 
A carregamento de serviço da laje sobre o vigamento consta na Figura AIII.3.a e 
aquela correspondente à Combinação Normal Última de Ações na Figura AIII.3.b. 
 
Figura AIII.3 
Exercícios Propostos 
Exercício PIII.1 - Calcular os esforços na laje de concreto armado da Figura PIII.1 
destinada a piso de refeitório, que será revestido com lajotas cerâmicas de 8 mm de 
espessura, assentadas sobre leito de argamassa de cimento areia e cal de 15 mm 
de espessura, esta última, também usada para revestir o teto do pavimento inferior. 
41 
 
 
Figura PIII.1 
 
Exercício PIII.2 - Calcular os esforços na laje da Figura PIII.2, de concreto armado, 
se a paredeque separa os dois ambientes é de alvenaria singela vazada de 3,20 m 
de altura. Os pisos serão revestidos com lajotas cerâmicas de 8 mm de espessura, 
sobre leito de argamassa de cimento Portland, areia e cal de 15 mm de espessura, 
esta última, também utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
 
Figura PIII.3 
 
42 
 
3.4 – Painéis de Lajes Armados nas Duas Direções 
 Na hipótese de a razão entre o comprimento do vão maior e o do vão menor 
de um painel de laje for inferior a 2, os momentos fletores na direção “y” apresentam 
intensidade considerável, de modo que eles devem ser armados nas duas direções 
ou em cruz, Figura 29. 
Neste caso, convém ressaltar a possibilidade de duas situações distintas, 
sendo uma, aquela de lajes apoiadas em leito indeslocável e, a outra, aquelas 
apoiadas em membros estruturais deslocáveis. 
 
 
Figura 29 
3.3.1 – Lajes apoiadas em leitos indeslocáveis 
Na prática, a condição de laje apoiada em elementos indeslocáveis pode ser 
considerada nos casos de lajes sem rigidez à torção ou se desprovidas de recursos 
que ofereçam restrição à separação de seu bordo do elemento de apoio, Figuras 
43 
 
30.a e 30.b. Outro caso se refere às lajes isentas de armadura de canto e 
concretadas monoliticamente às vigas de apoio, Figura 30.c. Vale ressaltar que, 
neste último caso costumam ocorrer fissuras nos cantos da laje, fato que pode ser 
desfavorável em ambientes expostos às intempéries, face à probabilidade de 
comprometimento da durabilidade. Em lajes de grandes vãos convém adotar-se armadura 
mínima nos cantos simplesmente apoiados 
 
Figura 30 
 Na maioria dos casos da prática da indústria da construção civil, as lajes 
maciças de concreto armado são utilizadas, associadamente, a vigas constituídas 
desse mesmo material que lhe servem de apoio e, evidentemente, apresentam certa 
flexibilidade, o que a classificaria como apoio deslocável. Entretanto, em grande 
parte das estruturas, de comprimentos de vãos e sobrecargas moderados, a rigidez 
do conjunto é suficiente para tratar as vigas como se elementos rígidos fossem. 
 Dentre os modelos destinados ao cálculo de esforços destaca-se o Método 
das Grelhas. 
 Antes de abordar o modelo referente ao método das grelhas convém 
relembrar o conceito estrutural de grelhas, que consiste em sistema estrutural 
formado a partir de conjunto de barras reticulares contidas em um plano, 
interconectadas rigidamente, cujo carregamento é normal ao plano que as contém, 
Figura 31. 
44 
 
 
Figura 31 
 Conforme o Método das Grelhas, a laje é concebida como sendo um conjunto 
de faixas justapostas independentes, Figura 32, e livres de interação lateral 
mediante tensão cisalhante com a faixa vizinha. Para efeito de cálculo de esforços 
cada uma dessas faixas é modelada pelo seu eixo longitudinal passando no centro 
de gravidade, linhas em tom azul da Figura 32.b, formando em seu conjunto uma 
grelha. 
Uma vez destacando-se a superfície limítrofe entre duas faixas adjacentes e 
justapostas, Figura 33, o que o modelo concernente ao Método das Grelhas prevê é 
a desconsideração da tensão cisalhante . 
 
Figura 32 
45 
 
 
Figura 33 
As barras da grelha correspondentes às duas faixas centrais mutuamente 
perpendiculares, Figura 34.a, definem a grelha elementar da Figura 34.b que é 
tomada como referência para efeito de cálculo dos esforços. A análise estrutural da 
grelha da Figura 34.b permite definir as parcelas da carga total “p” kx e ky, 
coeficientes adimensionais, com os quais calculam-se as cargas px e py que serão 
distribuídas na laje segundo as direções “x” e “y”, respectivamente, na forma: 
𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝  𝑝𝑦 = 𝑘𝑦𝑝 (1) 
 
Figura 34 
46 
 
Assim, para os painéis de laje da Figura 35, os deslocamentos do ponto E 
calculados através da análise estrutural da barra idealizada FG, cujo eixo 
longitudinal alinha-se com a direção “x”, tem de ser igual seu valor calculado 
mediante a análise da barra HJ, para a qual eixo longitudinal é paralelo à direção “y”. 
A equação do deslocamento transversal do ponto E para a barra FG será: 
𝛿𝐸 = 𝐶𝑝𝑥𝐿𝑥
4 
E para a barra HJ será: 
𝛿𝐸 = 𝐶𝑝𝑦𝐿𝑦
4 
Conforme a condição de compatibilidade de deslocamentos: 
𝐶𝑝𝑥𝐿𝑥
4 = 𝐶𝑝𝑦𝐿𝑦
4 (2) 
Substituindo-se as equações 1 na Equação 2 resulta: 
𝐶𝑘𝑥𝑝 𝐿𝑥
4 = 𝐶𝑘𝑦𝑝𝐿𝑦
4 ⇒ 𝑘𝑥𝐿𝑥
4 = 𝑘𝑦𝐿𝑦
4 (3) 
 
Figura 35 
Mas: 
𝑝 = 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦 = 𝑘𝑥𝑝 + 𝑘𝑦𝑝 = (𝑘𝑥 + 𝑘𝑦)𝑝 ∴ 𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 = 1  𝑘𝑥 = 1 − 𝑘𝑦 (4) 
Substituindo-se a equação 4 na equação 3 obtém-se: 
47 
 
(1 − 𝑘𝑦)𝐿𝑥
4 = 𝑘𝑦𝐿𝑦
4 ⇒ 𝑘𝑦 = 
1
1 + (𝐿𝑦 𝐿𝑥⁄ )
4 = 
1
1 + 𝜆4
 (5) 
Uma vez tendo sido definido os valores das parcelas de carga os esforços podem 
ser calculados a partir da análise estrutural das barras FG e HJ da Figura 35. 
Observe-se que neste caso, fazendo-se λ = 2 ter-se-ia: 
𝑘𝑦 = 
1
1 + 24
≈ 0,06 = 6% 
E, consequentemente o valor da carga py é muito menor do que a intensidade da 
carga px. Para valores maiores de λ este percentual seria menor ainda, assim, para 
valores de λ não inferiores a 2 a laje pode ser calculada como se armada apenas na 
direção x, como praticamos na seção 3.3 deste trabalho. 
Aplicando-se raciocínio análogo para o painel de laje com as condições de 
bordo da Figura 36 obtém-se: 
𝑘𝑦 = 
1
1 + 5𝜆4
 
Considerando-se neste caso se λ = 2 tem-se: 
𝑘𝑦 = 
1
1 + 5 × 24
< 0,013 = 1,3% 
De modo que a carga py é desprezível se comparada à intensidade da carga px 
48 
 
 
Figura 36 
Aplicando-se raciocínio idêntico para o painel de laje com as condições de 
bordo da Figura 37.a obtém-se: 
𝑘𝑦 = 
5
5 + 𝜆4
 
Considerando-se neste caso se λ = 2 tem-se: 
𝑘𝑦 = 
5
5 + 24
= 0,238 = 23,8% 
E, neste caso, a carga py apresenta intensidade significativa devendo a laje 
ser calculada na condição armada nas duas direções. 
Por razão idêntica aos painéis de laje que apresentam as condições de bordo 
das Figuras 37.b e 37.c, também têm de ser armadas em cruz. 
49 
 
 
Figura 37 
Formulação Prática 
A formulação apresentada logo adiante foi desenvolvida com base Método 
das Grelhas e é voltada para o propósito de agilizar o cálculo manual de esfoços em 
lajes. 
Para sua aplicação, se: 
 = 
𝐿𝑦
𝐿𝑥
 
O vão de comprimento Lx não é necessáriamente o vão de menor 
comprimento. Deve ser sempre considerado como sendo o vão na direção de maior 
rigidez á flexão assim caracterizado a partir da consideração das condições de 
bordo da laje. As vigas da Figura 38 estão apresentadas em ordem decrescente de 
rigidez à flexão. Tomando por base as orientações formuladas neste parágrafo, a 
definição das direções dos vãos dos painéis de laje devem ser como indicado nas 
Figuras 39.a, 39.b e 39.c. Quanto ao caso do painél de laje da Figura 39.d, a 
princípio as direções podem ser como ali está indicada, entetanto, na hipótese de 
resultar para o vão Lx comprimento muito maior que o comprimento do vão Ly pode 
ser aconselhável calcular o painél seguindo tal orientação, inverter as direções dos 
vãos, ou seja, permutar Lx com Ly e adotar os valores mais conservadores para os 
esforços. 
50 
 
 
Figura 38 
Na hipótese de o painel de laje apresentar a mesma condição de vinculação nos 
quatro bordos então a direção de maior rigidez à flexão será, evidentemente, aquela 
correspondente ao menor comprimento do vão. 
 
Figura 39 
 Em face de a laje representar corpo sólido para cujo cálculo necessitar-se a 
consideração de seu trabalho mecânico em duas direções, sua rigidez à flexão deve 
abranger sua deformabilidade nas duas direções. Assim, se o material trabalhar no 
regime elático, ela deve ser expressa mediante: 
𝐷 = 
𝐸𝑐𝑠𝑏ℎ
3
12(1 − 𝜐2)(6) 
Uma vez que, para se cálculo, a laje será modelada tal uma viga chata, com 
seção transversal retangular de largura igual a 1,00 m e altura igual á sua espessura 
h a Equação 6 pode ser usada na forma: 
𝐷 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ
3
12(1 − 𝜐2)
 
O deslocamento vertical de um ponto localizado ao centro do vão do painel de 
laje apresentado no instante do carregament é dado por: 
𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 = 𝑤𝑐
𝑝𝐿𝑥
4
𝐷
 (7) 
51 
 
Sendo wc um parâmetro adimensional que será obtido a partir de uma 
equação cuja forma depende das condições de bordo do painél de laje. 
Os Momentos Fletores Positivos ao centro da laje, Figura 40.a, serão dados 
mediante: 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥 𝑝𝐿𝑥
2  𝑀𝑦 = 𝑚𝑦 𝑝𝐿𝑥
2 (8) 
Enquanto os Momentos Fletores Negativos ao longo dos bordos engastados 
da laje, Figura 40.b, devem ser determinados a partir das expressões: 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒 𝑝𝐿𝑥
2  𝑀𝑦𝑒 = 𝑚𝑦𝑒 𝑝𝐿𝑥
2 (9) 
Nas equações 8 e 9 mx, my, mxe e mye também representam parâmetros 
adimensionais determinados a partir de equações cuja forma depende das 
condições de bordo do painél de laje. 
As reações de apoio, por sua vez, que ao final serão iguais em intensidade 
aos esforços cortantes ao longo do bordos das lajes, Figura 40, serão dadas 
mediante: 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥 𝑝𝐿𝑥; 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦 𝑝𝐿𝑥; 𝑅𝑥𝑒 = 𝑟𝑥𝑒 𝑝𝐿𝑥  𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒 𝑝𝐿𝑥 (10) 
Observe-se o quão simplificadas são as Equações 8 , 9, 10, pois, nas 
Equações 8 e 9 aparecem em ambas o termo 𝑝𝐿𝑥
2 enquanto em ambas as Equações 
10 aparece o termo 𝑝𝐿𝑥. 
 
Figura 40 
Onde rx, ry, rxe e rye devem ser obtidos de maneira similar àquela que resulta 
em mx, my, mxe e mye. 
52 
 
Se o painél de laje apresentar as condições de bordo do caso 1, Figura 41, 
considrando-se as equações 4 e 5 ter-se-á: 
 𝑘𝑥 = 1 − 𝑘𝑦 = 1 −
1
1 + 𝜆4
= 
𝜆4
1 + 𝜆4
 
Considerando-se a forma da equação 7 e a expressão do deslocamento ao 
centro do vão para uma barra biapoiada solicitada mediante carga uniformemente 
distribuida ao longo de toda a sua extensão longitudinal, o deslocamento ao centro 
do vão do painél da laje seria dado por: 
𝑊 = 𝑤𝑐
𝑝𝐿𝑥
4
𝐷
= 
5𝑘𝑥
384
𝑝𝐿𝑥
4
𝐷
 
De modo que: 
𝑤𝑐 = 
5𝑘𝑥
384
 
Considerando-se a forma das equações 8 e a expressão do Momento Fletor 
ao centro do vão para uma barra biapoiada solicitada mediante carga uniformemente 
distribuida ao longo de toda a sua extensão longitudinal, então: 
𝑀𝑥 = 
𝑝𝑥𝐿𝑥
2
8
=
𝑘𝑥
8
𝑝𝐿𝑥
2 = 𝑚𝑥 𝑝𝐿𝑥
2  𝑀𝑦 = 
𝑝𝑦𝐿𝑦
2
8
=
𝜆2𝑘𝑦
8
𝑝𝐿𝑥
2 = 𝑚𝑦 𝑝𝐿𝑥
2 
De modo que resultam: 
𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
8
 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
8
 
 
Em consequencia da forma das equações 10 e da expressão para a Reação 
de apoio de uma barra biapoiada solicitada mediante carga uniformemente 
distribuida ao longo de toda a sua extensão longitudinal, ter-se-ia: 
𝑅𝑦 = 
𝑝𝑥𝐿𝑥
2
=
𝑘𝑥
2
𝑝𝐿𝑥 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥  𝑅𝑥 = 
𝑝𝑦𝐿𝑦
2
= 𝑘𝑦
𝜆
2
𝑝𝐿𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 
De modo que resultam: 
53 
 
 𝑟𝑥 = 𝑘𝑦
𝜆
2
  𝑟𝑦 = 
𝑘𝑥
2
 
Adotando-se raciocínio análogo obtém-se para o caso 2: 
 𝑘𝑥 = 
5𝜆4
2+ 5𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
2𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
14,22
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
8
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
8
 
 𝑟𝑥 = 𝑘𝑦
𝜆
2
 ; 𝑟𝑦 = 
3𝑘𝑥
8
; 𝑟𝑦𝑒 = 
5𝑘𝑥
8
 
Para o caso 3 resulta: 
 𝑘𝑥 = 
5𝜆4
1+ 5𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
24
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
8
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
12
 
 𝑟𝑥 = 𝑘𝑦
𝜆
2
  𝑟𝑦𝑒 = 
𝑘𝑥
2
 
Para o caso 4: 
 𝑘𝑥 = 
𝜆4
1+ 𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
2𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
14,22
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
14,22
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
8
; 𝑚𝑦𝑒 = −𝑘𝑦
𝜆2
8
 
 𝑟𝑥 = 3𝑘𝑦
𝜆
8
 ; 𝑟𝑦 = 
3𝑘𝑥
8
; 𝑟𝑥𝑒 = 5𝑘𝑦
𝜆
8
 ; 𝑟𝑦𝑒 = 
5𝑘𝑥
8
 
Para o caso 5: 
 𝑘𝑥 = 
2𝜆4
1+ 2𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
24
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
14,22
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
12
; 𝑚𝑦𝑒 = −𝑘𝑦
𝜆2
8
 
 𝑟𝑥 = 3𝑘𝑦
𝜆
8
 ; 𝑟𝑦 = 
𝑘𝑥
2
; 𝑟𝑥𝑒 = 5𝑘𝑦
𝜆
8
 
 
E, para o caso 6: 
 𝑘𝑥 = 
𝜆4
1+ 𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
24
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
24
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
12
; 𝑚𝑦𝑒 = −𝑘𝑦
𝜆2
12
 
 𝑟𝑥𝑒 = 𝑘𝑦
𝜆
2
 ; 𝑟𝑦𝑒 = 
𝑘𝑥
2
 
54 
 
 
Figura 41 
Exercicio III.3 - Calcular os esforços na laje destinada a piso de garagem em 
concreto armado, Figura AIII.4, apoiadas sobre elementos rígidos, sabendo-se que 
será utilizada por veículo de peso superior a 30 kN, e seu piso será revestido com 
lajotas cerâmicas de 8 mm de espessura, assentadas sobre leito constituído de 
argamassa de cimento Portland areia e cal de 25 mm de espessura, esta última, 
também utilizada para revestir o teto do pavimento inferior à garagem. 
Resolução: 
Para a espessura da laje será adotado o valor h = 120 mm atendendo aos requisitos 
de espessura mínima, recomendados pela NBR 6118/2014. 
Para efeito de cálculo das cargas referentes às ações permanentes serão adotados 
os valores dos pesos específicos indicados na tabela 1. 
O peso próprio será então: 
𝑃. 𝑝. = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × ℎ = 25,0 × 0,12 = 3,0 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga referente ao revestimento do teto do pavimento Inferior à garagem será 
essencialmente devida ao peso da argamassa, e, portanto: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 = 𝛾𝑎𝑟𝑔 × 𝑒𝑎𝑟𝑔 = 19,0 × 0,025 = 0,475 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga referente ao revestimento do piso da garagem além do peso da argamassa 
de regularização e assentamento, incluirá o peso das lajotas, dado por: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 𝛾𝑐𝑒𝑟 × 𝑒𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 18,0 × 0,008 = 0,144 𝑘𝑁/𝑚
2 
Assim, a carga correspondente ao revestimento do piso será: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣𝑝𝑖𝑠𝑜 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 0,475 + 0,144 = 0,619 𝑘𝑁/𝑚
2 
55 
 
A carga correspondente ao revestimento do conjunto piso e teto é: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣𝑝𝑖𝑠𝑜 = 0,475 + 0,619 = 1,094 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga permanente deve ser a soma do peso próprio da laje com a carga referente 
ao seu revestimento, e, assim, será: 
𝑔 = 𝑃. 𝑝. + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣 = 3,0 + 1,094 = 4,094 𝑘𝑁/𝑚
2 ≈ 4,1 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Figura AIII.4 
A NBR 6120/2003 não contempla em sua redação informação a respeito de 
carga de utilização aplicável ao presente caso por esta razão, o autor deste trabalho 
precisou recorrer a uma estimativa tomando por base a experiência em trabalhos 
similares, da qual resultou para a carga de utilização o valor: 
𝑞 = 5,0 𝑘𝑁/𝑚2 
Neste trabalho justifica-se a consideração da Combinação Quase Frequente 
de ações e da Combinação Normal Última de Ações. A consideração da primeira 
justifica-se pelo fato de no presente caso só ser necessário verificar o Estado Limite 
de Deformações Excessivas, e, não está relatada possibilidade de oscilações 
térmicas ou ação do vento que possam comprometer vedações, e, em casos dessa 
natureza a NBR 6118/2014 recomenda, especificamente, adotá-la. As Combinações 
56 
 
Últimas de Ações devem ser aplicadas no dimensionamento de seções transversais 
de concreto armado. A combinação Última Normal de Ações é aplicável a todos os 
casos, e, uma vez que não há informações de ocorrência de Ações de Construção, 
Ações Especiais ou Ações Excepcionais relevantes, apenas, esta combinação de 
ações precisa ser considerada. 
A Combinação Quase Permanente de Serviço: 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗 = 𝒈 + 𝝍𝟐𝒒 = 4,094 + 0,6 × 5,0 ≈ 𝟕, 𝟏 𝒌𝑵/𝒎
𝟐 
Combinação Última Normal de Ações: 
𝒑 = 𝒈 + 𝒒 = 4,094 + 5,0 = 9,094 𝑘𝑁/𝑚2 ≈ 9,1 𝑘𝑁/𝑚2 
A laje enquadra-se no caso 1 
Comprimentos dos vãos: 0,6h = 0,6x0,12 = 0,072 m 
𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟕𝟐 = 𝟔, 𝟎𝟕𝟐 𝒎 → 𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟏𝟓 𝒎 
𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟕𝟐 = 𝟕, 𝟎𝟕𝟐 𝒎 → 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
A relação entre os vãos: 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
6,15
= 1,1626 
 
Parâmetros Adimensionais 
𝒌𝒙 =
𝝀𝟒
𝟏 + 𝝀𝟒=
𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟒
𝟏 + 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟒
= 𝟎, 𝟔𝟒𝟔 = 𝟎, 𝟔𝟓 
𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟔𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟓 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟖
=
𝟎, 𝟔𝟓
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟖𝟏𝟐𝟓 
𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟑𝟓 ×
𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟔 
𝒓𝒙 =
𝒌𝒚𝝀
𝟐
=
𝟎, 𝟑𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔
𝟐
= 𝟎, 𝟐𝟎𝟑𝟓; 𝒓𝒚 =
𝒌𝒙
𝟐
=
𝟎, 𝟔𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟑𝟐𝟓 
Multiplicadores de esforços 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗𝑳𝒙 = 𝟕, 𝟏 × 𝟔, 𝟏𝟓 = 𝟒𝟑, 𝟕; 𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗𝑳𝒙
𝟐 = 𝟕, 𝟏 × 𝟔, 𝟏𝟓𝟐 = 𝟐𝟔𝟖, 𝟔 
57 
 
𝒑𝑳𝒙 = 𝟗, 𝟏 × 𝟔, 𝟏𝟓 = 𝟓𝟔, 𝟎; 𝒑𝑳𝒙
𝟐 = 𝟗, 𝟏 × 𝟔, 𝟏𝟓𝟐 = 𝟑𝟒𝟒, 𝟐 
Para o carregamento de serviço, as reações de apoio serão: 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,2035 × 43,7 = 8,94 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,325 × 43,7 =14,3 kN/m 
Para os Momentos Fletores resultam: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,08125 × 268,6 = 21,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,06 × 268,6 = 16,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Para o carregamento referente à Combinação Última Normal de Ações, as Reações 
de apoio devem ser: 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,2035 × 56 = 11,4 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥 = 0,325 × 56 =18,2 kN/m 
Enquanto para os Momentos Fletores ter-se-á: 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,08125 × 344,2 = 28,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,06 × 344,2 = 20,7 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Exercicio III.4 - Calcular os esforços na laje da Figura AIII.5, apoiada sobre vigas 
rígidas, considerando que será solicitada mediante um carregamento de serviço 
correspondente a uma carga uniformemente distribuída em toda a sua extensão de 
7,0 kN/m2 de intensidade e um carregamento referente à Combinação Normal de 
Ações de intensidade igual a 9, 0 kN/m2. 
Resolução: 
As duas lajes enquadram-se no caso 2, pois, são iguais e do tipo da Figura AIII.6. 
 Comprimentos dos vãos 
𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟏𝟓 𝒎 𝒆 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
A relação entre os vãos: 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
6,15
= 1,1626 
Parâmetros Adimensionais: 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟒
= 𝟎, 𝟖𝟐; 𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟖 
58 
 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟒
=
𝟎, 𝟖𝟐
𝟏𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟔; 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟏𝟖 ×
𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟒 
 𝒎𝒙𝒆 = −
𝒌𝒙
𝟖
= −
𝟎, 𝟖𝟐
𝟖
= −𝟎, 𝟏𝟎𝟐𝟓 
𝒓𝒙 =
𝒌𝒚𝝀
𝟐
=
𝟎, 𝟏𝟖 × 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟓; 𝒓𝒚 =
𝟑𝒌𝒙
𝟖
=
𝟑 × 𝟎, 𝟖𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟑𝟎𝟖; 
 𝒓𝒚𝒆 =
𝟓𝒌𝒙
𝟖
=
𝟓 × 𝟎, 𝟖𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟓𝟏𝟑 
 
Figura AIII.5 
 
Figura AIII.6 
59 
 
 
Multiplicadores dos esforços: 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗𝑳𝒙 = 𝟕, 𝟎 × 𝟔, 𝟏𝟓 = 𝟒𝟑, 𝟏; 𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗𝑳𝒙
𝟐 = 𝟕, 𝟎 × 𝟔, 𝟏𝟓𝟐 = 𝟐𝟔𝟒, 𝟖 
𝒑𝑳𝒙 = 𝟗, 𝟎 × 𝟔, 𝟏𝟓 = 𝟓𝟓, 𝟒; 𝒑𝑳𝒙
𝟐 = 𝟗, 𝟎 × 𝟔, 𝟏𝟓𝟐 = 𝟑𝟒𝟎, 𝟓 
Para o carregamento de serviço, as reações de apoio serão: 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,105 × 43,1 = 4,6 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,308 × 43,1 = 13,3 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,513 × 43,1 = 22,2 𝑘𝑁 
Para os Momentos Fletores resultam: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,0586 × 264,8 = 15,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,0304 × 264,8 = 8,1𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,1025 × 264,8 = −27,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Para o carregamento referente à Combinação Última Normal de Ações, por sua vez, 
as Reações de apoio devem ser: 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,105 × 55,4 = 5,9 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥 = 0,308 × 55,4 = 17,1 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝐿𝑥 = 0,513 × 55,4 = 28,5 𝑘𝑁/𝑚 
As intensidades dos Momentos Fletores serão: 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,0586 × 340,5 = 20,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,0304 × 340,5 = 10,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,1025 × 340,5 = −35,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
Exercício PIII.3 - Calcular os esforços na laje da Figura PIII.3, de concreto armado, 
apoiadas sobre elementos rígidos, se os pisos serão revestidos com lajotas 
cerâmicas de 8 mm de espessura, sobre leito de argamassa de cimento Portland, 
areia e cal de 15 mm de espessura, esta última, também utilizada para revestir o teto 
do pavimento inferior. 
60 
 
 
Figura PIII.3 
Compensação dos momentos 
O bordo comum de dois painéis coplanares contíguos de lajes, enquanto 
membros isolados, devem ser modelados como se ligado através de engastamento 
perfeito. As intensidades dos momentos calculados nos referidos bordos 
considerando o trabalhos mecãnico individual de cada um desses painéis são, em 
geral, diferentes, Figura 42. Diante de tal fato, faz-se necessário proceder à 
compensação de tais momentos, para assim,simular, devidamente, a continuidade 
desses dois painéis de laje. 
A compensação dos momentos negativos no bordo comum de dois painéis de 
laje coplanares contíguos é realizado de forma a adotar-se o maior entre os dois 
valores pata tal momento: 
𝑀𝑒 = 
𝑀𝑒1 + 𝑀𝑒2
2
  𝑀𝑒 = 0,8 × max (𝑀𝑒1; 𝑀𝑒2) 
Este procedimento só é aplicável quando os comprimentos dos vão das lajes 
adjacentes não forem muito diferentes. Para diferenças superiores ao dobro do 
menor vão o conjunto de painéis adjecentes deve ser considerado com um viga 
continua chata. 
61 
 
Observe-se que, se o valor do momento negativo compensado é menor do 
que a intensidade do maior dos dois momentos calculados para os painéis 
envolvidos considerados individulmente, Figura 42, assim sendo, o momento 
positivo no centro do vão do painél para o qual tenha resultado o maior momento 
negativo deve ser maior de que seu valor calculado para o painél considerado, 
individualmente. Consequentemente, para corrigir esta deficiência é necessário 
compatibilizar o referido momento positivo. Se ocorrer de Me2 > Me1 então o valor 
para o referido momento positivo deveria ser ajustado para: 
𝑀2̅̅ ̅̅ = 𝑀2 + ∆𝑀 
 
Figura 42 
O incremento de momento M deve ser determinado em consonância aos 
postulados da Mecânica do Sólido. 
 
Exercício III.5 - Calcular os esforços na laje da Figura AIII.7 apoiada em vigas 
rígidas, submetidas a carga de serviço de 7,0 kN/m2 e a carregamento referente à 
Combinação Última Normal de Ações de 9,0 kN/m2. 
 
Resolução: 
As lajes enquadram-se no caso 2: 
62 
 
Comprimentos dos vãos 
L1 
𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
L2 
𝑳𝒙 = 𝟓, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
Relação entre os vãos: 
L1 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
6,15
= 1,17 
L2 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
5,15
= 1,39 
 
Figura AIII.7 
 
Parâmetros Adimensionais 
L1 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
= 𝟎, 𝟖𝟑; 𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟕 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟒, 𝟐𝟐
=
𝟎, 𝟖𝟑
𝟏𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟎; 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟏𝟕 ×
𝟏, 𝟏𝟕𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟑𝟎 
63 
 
 𝒎𝒙𝒆 = −
𝒌𝒙
𝟖
= −
𝟎, 𝟖𝟑
𝟖
= −𝟎, 𝟏𝟎𝟒 
𝒓𝒙 =
𝒌𝒚𝝀
𝟐
=
𝟎, 𝟏𝟕 × 𝟏, 𝟏𝟕
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟎; 𝒓𝒚 =
𝟑𝒌𝒙
𝟖
=
𝟑 × 𝟎, 𝟖𝟑
𝟖
= 𝟎, 𝟑𝟏𝟐 
𝒓𝒚𝒆 =
𝟓𝒌𝒙
𝟖
=
𝟓 × 𝟎, 𝟖𝟑
𝟖
= 𝟎, 𝟓𝟏𝟗 
 
L2 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
= 𝟎, 𝟗𝟏 
𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟗 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟒, 𝟐𝟐
=
𝟎, 𝟗𝟏
𝟏𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟓; 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟗 ×
𝟏, 𝟑𝟗𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟐 
𝒎𝒙𝒆 = −
𝒌𝒙
𝟖
= −
𝟎, 𝟗𝟏
𝟖
= −𝟎, 𝟏𝟏𝟒 
𝒓𝒙 =
𝒌𝒚𝝀
𝟐
=
𝟎, 𝟎𝟗 × 𝟏, 𝟑𝟗
𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟑 
𝒓𝒚 =
𝟑𝒌𝒙
𝟖
=
𝟑 × 𝟎, 𝟗𝟏
𝟖
= 𝟎, 𝟑𝟒𝟐; 𝒓𝒚𝒆 =
𝟓𝒌𝒙
𝟖
=
𝟓 × 𝟎, 𝟗𝟏
𝟖
= 𝟎, 𝟓𝟔𝟗 
 
Multiplicadores dos esforços 
L1 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 7,0 × 6,15 = 43,1; 𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 7,0 × 6,152 = 264,8 
𝑝𝐿𝑥 = 9,0 × 6,15 = 55,4; 𝑝𝐿𝑥
2 = 9,0 × 6, 152 = 340,5 
L2 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 7,0 × 5,15 = 36,1; 𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 7,0 × 5,152 = 185,7 
𝑝𝐿𝑥 = 9,0 × 5,15 = 46,4; 𝑝𝐿𝑥
2 = 9,0 × 5, 152 = 238,8 
Esforços referentes à carga de serviço: 
Reações nos apoios: 
L1 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,100 × 43,1 = 4,4 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,312 × 43,1 = 13,5 𝑘𝑁/𝑚 
64 
 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,519 × 43,1 = 22,4 𝑘𝑁/𝑚 
L2𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,063 × 36,1 = 2,3 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,342 × 36,1 = 12,4 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,569 × 36,1 = 20,6 𝑘𝑁/𝑚 
 
Momentos Fletores: 
L1 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,060 × 264,8 = 15,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,030 × 264,8 = 8,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,104 × 264,8 = −27,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,065 × 185,7 = 11,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,022 × 185,7 = 4,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,114 × 185,7 = −21,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Esforços referentes à Combinação Última: 
Reações nos apoios: 
L1 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,100 × 55,4 = 5,6 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥 = 0,312 × 55,4 = 17,3 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝐿𝑥 = 0,519 × 55,4 = 28,8 𝑘𝑁/𝑚 
L2 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,063 × 46,4 = 3,0 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥 = 0,342 × 46,4 = 15,9 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝐿𝑥 = 0,569 × 46,4 = 26,5 𝑘𝑁/𝑚 
Momentos Fletores: 
L1 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,060 × 340,5 = 20,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
65 
 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,030 × 340,5 = 10,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,104 × 340,5 = −35,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,065 × 238,8 = 15,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,022 × 238,8 = 5,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,114 × 238,8 = −27,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
Compensação de Momentos: 
Ações de Serviço: 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 =
𝑀𝑥𝑒1𝑠𝑒𝑟𝑣 + 𝑀𝑥𝑒2𝑠𝑒𝑟𝑣
2
=
−27,6 + (−21,2)
2
= −24,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,8max (𝑀𝑥𝑒1𝑠𝑒𝑟𝑣, 𝑀𝑥𝑒2𝑠𝑒𝑟𝑣) = 0,8max (−27,6; −21,2) 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8 × (−27,6) = −22,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑴𝒙𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗 = −24,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Combinação Última: 
𝑀𝑥𝑒 =
𝑀𝑥𝑒1 + 𝑀𝑥𝑒2
2
=
−35,5 + (−27,3)
2
= −31,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8max (𝑀𝑥𝑒1, 𝑀𝑥𝑒2) = 0,8max (−35,5; −27,3) 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8 × (−35,5) = −28,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑴𝒙𝒆 = −𝟑𝟏, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
Compatibilização dos momentos positivos: 
O cálculo do momento positivo final pode ser realizado com base na Figura AIII.8. A 
partir do conceito de semelhança de triângulos deduz-se que: 
∆𝑀 = ∆𝑀𝑒 𝑥 𝐿⁄ 
 
Para este exercício a laje que apresenta maior momento negativo previamente à 
compensação é L1. 
Ações de Serviço: 
66 
 
Parcelas de carga na direção x: 
𝑝𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑘𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,83 × 7,0 = 5,9 𝑘𝑁/𝑚
2 
𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝 = 0,83 × 9,0 = 7,5 𝑘𝑁/𝑚
2 
Posição da seção onde se dá o momento máximo positivo: 
𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣
𝑝𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣
= 
13,5
5,9
= 2,3 𝑚 
𝑥 = 
𝑅𝑦
𝑝𝑥
= 
17,3
7,5
= 2,4 𝑚 
Redução dos momentos negativos mediante a compensação: 
∆𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 27,6 − 24,4 = 3,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
∆𝑀𝑥𝑒 = 35,5 − 31,4 = 4,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Aumento no momento positivo: 
∆𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 3,2 ×
2,3
6,15
= 1,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
∆𝑀𝑥 = 4,1 ×
2,4
6,15
= 1,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Momento positivo final: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 15,9 + 1,2 = 17,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥 = 20,5 + 1,6 = 22,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
A Tabela AIII.1 apresenta sumário comparativo dos esforços na Laje 1 entre as 
condições de cálculo de painel isolado e com os momentos , devidamente, 
compensados. 
 
Tabela AIII.1 
Laje 1 Isoladamente Compensado 
Mx 20,5 kNm/m 𝟐𝟐, 𝟏 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
Mxe -35,5 kNm/m -31,4 kNm/m 
 
67 
 
 
Figura AIII.8 
Exercício PIII.4 - Calcular os esforços na laje da Figura PIII.4, de concreto armado, 
apoiadas sobre vigas rígidas, se os pisos serão revestidos em lajotas cerâmicas de 
8 mm de espessura, assentadas sobre leito de argamassa de cimento Portland, 
areia e cal de 15 mm de espessura, esta última, também utilizada para revestir o teto 
do pavimento inferior. 
 
Figura PIII.4 
Sugestão: Adotar os mesmos carregamentos do exercício proposto PIII.3 
 
Método de Marcos 
Este método representa um ajuste do Método das Grelhas para a inclusão 
dos efeitos decorrentes da torção da laje. 
68 
 
A rigidez da torção da laje contribui para a atenuação de sua curvatura, 
consequentemente, a consideração de tal rigidez resulta em momentos Fletores 
Positivos e Delocamentos Verticais menores. Assim, conforme o método, os 
referidos momentos são reduzidos mediante os coeficientes adimensionais: 
𝐶𝑥 = 1 − 
20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆2
 𝑒 𝐶𝑦 = 1 − 
20𝑘𝑦𝜆
2
3𝛼𝑦
 
Os parâmetros adimensionais αx e αy dependem das condições de bordo do 
painel isolado considerado. Se na direção considerada o painel for biapoiado fazê-lo 
igual a 8. Se for engastado em uma extremidade e apoiado na outra adotar valor 
igual a 14,22, e, se for biengastado admiti-lo igual a 24. 
As intensidades dos momentos positivos devem então ser recalculados 
mediante a forma: 
𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥 𝑒 𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 
Em considerando-se a rigidez à torção a fissuração nos cantos da laje é 
considerável, necessitando da adoção de armadura de canto. As reações de apoio 
são variáveis, embora possa ser aproximada por ação equivalente distribuida 
uniformemente ao longo dos bordos da laje. Este procedimento baseia-se no Método 
das Linhas de Ruptura ou Método das Charneiras Plástica que prevê quadro de 
fissuração associado à ruptura o concreto bem definido na forma ilustrado na Figura 
43. As linhas de apoio AC e BD, recebem a ação que decorre da carga que solicita 
as áreas I, Figura 43, resultando para a reação: 
𝑅𝑦 = 
𝑝𝐴𝐼
𝐿𝑦
 
Enquanto as linhas de apoio AB e CD, recebem a ação proveniente da carga 
que solicita as áreas II, resultando a reação: 
𝑅𝑥 = 
𝑝𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑥
 
69 
 
Conforme NBR 6118/2014 seção 14.7.6.1, inciso “b”: os ângulos “α” dependem das 
condições de bordo do painel objeto de cálculo que deve ser definido conforme 
orientação da Figura 44. 
 
Figura 43 
 
Figura 44 
 
Exercício III.6 - Calcular os esforços na laje do Exercício III.5 considerando sua 
rigidez à torção. 
Resolução 
As lajes enquadram-se no caso 2: 
Comprimentos dos vãos 
L1 
𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
70 
 
L2 
𝑳𝒙 = 𝟓, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
 
Relação entre os vãos: 
L1 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
6,15
= 1,17 
L2 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
5,15
= 1,39 
 
Parâmetros Adimensionais 
L1 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
= 𝟎, 𝟖𝟑; 𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟕 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟒, 𝟐𝟐
=
𝟎, 𝟖𝟑
𝟏𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟎; 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟏𝟕 ×
𝟏, 𝟏𝟕𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟑𝟎 
 𝒎𝒙𝒆 = −
𝒌𝒙
𝟖
= −
𝟎, 𝟖𝟑
𝟖
= −𝟎, 𝟏𝟎𝟒 
𝐶𝑥 = 1 − 
20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆2
 = 1 − 
20 × 0,83
3 × 14 × 1,172
= 0,72 
𝐶𝑦 = 1 − 
20𝑘𝑦𝜆
2
3𝛼𝑦
= 1 − 
20 × 0,17 × 1,172
3 × 8
= 0,81 
L2 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
= 𝟎, 𝟗𝟏 
𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟗 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟒
=
𝟎, 𝟗𝟏
𝟏𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟓; 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟗 ×
𝟏, 𝟑𝟗𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟐 
𝒎𝒙𝒆 = −
𝒌𝒙
𝟖
= −
𝟎, 𝟗𝟏
𝟖
= −𝟎, 𝟏𝟏𝟒 
𝐶𝑥 = 1 − 
20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆2
 = 1 − 
20 × 0,91
3 × 14 × 1,392
= 0,78 
71 
 
𝐶𝑦 = 1 − 
20𝑘𝑦𝜆
2
3𝛼𝑦
= 1 − 
20 × 0,09 × 1,392
3 × 8
= 0,86 
 
Multiplicadores dos esforços 
L1 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 7,0 × 6,152 = 264,8; 𝑝𝐿𝑥
2 = 9,0 × 6, 152 = 340,5 
L2 
 𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 7,0 × 5,152 = 185,7; 𝑝𝐿𝑥
2 = 9,0 × 5, 152 = 238,8 
O cálculo das áreas das charneiras plásticas será baseado no desenho esquemático 
da Figura AIII.9: 
𝑥1 = 0,634𝐿𝑥 
𝑦 = 𝑥2 = 0,366𝐿𝑥 
𝐴𝐼 = (𝐿𝑦 − 𝑦)𝑥2 
𝐴𝐼𝐼 = (𝐿𝑦 − 𝑦)𝑥1 
𝐴𝐼𝐼𝐼 = 𝑦𝐿𝑥/2 
L1 
𝑥1 = 0,634 × 6,15 = 3,90 
𝑦 = 𝑥2 = 0,366 × 6,15 = 2,26 
𝐴𝐼 = (7,15 − 2,26) × 2,26 = 11,1 
𝐴𝐼𝐼 = (7,15 − 2,26) × 3,9 = 19,1 
𝐴𝐼𝐼𝐼 = 2,26 ×
6,15
2
= 7,0 
L2 
𝑥1 = 0,634 × 5,15 = 3,27 
𝑦 = 𝑥2 = 0,366 × 5,15 = 1,89 
𝐴𝐼 = (7,15 − 1,89) × 1,89 = 10,0 
𝐴𝐼𝐼 = (7,15 − 1,89) × 3,27 = 17,3 
72 
 
𝐴𝐼𝐼𝐼 = 1,89 ×
5,15
2
= 4,9 
 
Esforços referentes à carga de serviço: 
Reações nos apoios: 
L1 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼𝐼𝐼
𝐿𝑥
= 
7,0 × 7,0
6,15
= 8,0𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼
𝐿𝑦
= 
7,0 × 11,1
7,15
= 10,9 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑦
= 
7,0 × 19,1
7,15
= 18,7 𝑘𝑁/𝑚 
L2 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼𝐼𝐼
𝐿𝑥
= 
7,0 × 4,9
5,15
= 6,7 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼
𝐿𝑦
= 
7,0 × 10,0
7,15
= 9,8 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑦
= 
7,0 × 17,20
7,15
= 16,9 𝑘𝑁/𝑚 
 
Momentos Fletores: 
L1 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,060 × 264,8 = 15,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,030 × 264,8 = 8,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,104 × 264,8 = −27,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑜𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝐶𝑥𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,72 × 15,9 = 11,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑜𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝐶𝑦𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,8 × 8,0 = 6,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,065 × 185,7 = 11,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,022 × 185,7 = 4,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,114 × 185,7 = −21,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
73 
 
𝑀𝑥𝑜𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝐶𝑥𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,78 × 11,9 = 9,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑜𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝐶𝑦𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,86 × 4,1 = 3,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
Figura AIII.9 
 
Esforços referentes à Combinação Última: 
Reações nos apoios: 
L1 
𝑅𝑥 =
𝑝𝐴𝐼𝐼𝐼
𝐿𝑥
= 
9,0 × 7,0
6,15
= 10,3 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦 =
𝑝𝐴𝐼
𝐿𝑦
= 
9,0 × 11,1
7,15
= 14,0 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 =
𝑝𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑦
= 
9,0 × 19,1
7,15
= 24,1 𝑘𝑁/𝑚 
L2 
𝑅𝑥 =
𝑝𝐴𝐼𝐼𝐼
𝐿𝑥
= 
9,0 × 4,9
5,15
= 8,6 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦 =
𝑝𝐴𝐼
𝐿𝑦
= 
9,0 × 10,0
7,15
= 12,6 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 =
𝑝𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑦
= 
9,0 × 17,3
7,15
= 21,8 𝑘𝑁/𝑚 
74 
 
Momentos Fletores: 
L1 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,060 × 340,5 = 20,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,030 × 340,5 = 10,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,104 × 340,5 = −35,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥 = 0,72 × 20,5 = 14,8 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 = 0,81 × 10,3 = 8,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,065 × 238,8 = 15,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,022 × 238,8 = 5,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,114 × 238,8 = −27,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥 = 0,78 × 15,6 = 12,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 = 0,86 × 5,3 = 4,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Compensação de Momentos 
Combinação de Serviço 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 =
𝑀𝑥𝑒1𝑠𝑒𝑟𝑣 + 𝑀𝑥𝑒2𝑠𝑒𝑟𝑣
2
=
−27,6 + (−21,2)
2
= −24,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,8max (𝑀𝑥𝑒1𝑠𝑒𝑟𝑣, 𝑀𝑥𝑒2𝑠𝑒𝑟𝑣) = 0,8max (−27,6; −21,2) 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,8 × (−27,6) = −22,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑴𝒙𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗 = −24,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Combinação Última: 
𝑀𝑥𝑒 =
𝑀𝑥𝑒1 + 𝑀𝑥𝑒2
2
=
−35,5 + (−27,3)
2
= −31,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8max (𝑀𝑥𝑒1, 𝑀𝑥𝑒2) = 0,8max (−35,5; −27,3) 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8 × (−35,5) = −28,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑴𝒙𝒆 = −𝟑𝟏, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
 
Compatibilização dos momentos positivos: 
75 
 
O cálculo do momento positivo final pode ser realizado com base na Figura AIII.9. A 
partir do conceito de semelhança de triângulos deduz-se que: 
∆𝑀 = ∆𝑀𝑒 𝑥 𝐿⁄ 
Para este exercício a laje que apresenta maior momento negativo previamente à 
compensação é L1. 
Ações de Serviço: 
Parcelas de carga na direção x: 
𝑝𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑘𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,83 × 7,0 = 5,9 𝑘𝑁/𝑚
2 
𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝 = 0,83 × 9,0 = 7,5 𝑘𝑁/𝑚
2 
Posição da seção onde se dá o momento máximo positivo: 
𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣
𝑝𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣
= 
10,9
5,9
= 1,9 𝑚 
𝑥 = 
𝑅𝑦
𝑝𝑥
= 
14,0
7,5
= 1,9 𝑚 
Redução dos momentos negativos mediante a compensação: 
∆𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 27,6 − 24,4 = 3,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
∆𝑀𝑥𝑒 = 35,5 − 31,4 = 4,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Aumento no momento positivo: 
∆𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 3,2 ×
1,9
6,15
= 1,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
∆𝑀𝑥 = 4,1 ×
1,9
6,15
= 1,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Momento positivo final: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 11,5 + 1,0 = 12,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥 = 14,8 + 1,3 = 16,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
76 
 
Exercício PIII.5 – Idem, PIII.4 considerando a rigidez à torção da laje. 
 
Teoria das Placas 
A Teoria das Placas Delgadas de Kirchhoff é baseada na Teoria Cássica da 
Elasticidade, assim, para seu devido entendimento necessário se faz ressaltar 
algumas entidades de tal complexo de modelagem de aplicação frequente na 
mecânica do contínuo. 
O tensor de tensões associado ao elemento o sólido modelo da Figura 45 
pode ser definido como sendo: 
𝜎 = [
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧
] 
Para o qual x , y e z representam as tensões normais nas direções x, y, e, 
z, e, xy, xz , yx, yz, zx, zy as componentes de tensões cisalhantes em cuja notação 
o primeiro índice refere-se ao eixo que lhe é normal e o segundo à direção com 
respeito ao sistema de eixos coordenados. 
O tensor correspondente de deformações é expresso na forma: 
𝜀 = [
𝜀𝑥 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑧
𝛾𝑦𝑥 𝛾𝑦 𝛾𝑦𝑧
𝛾𝑧𝑥 𝛾𝑧𝑦 𝜀𝑧
] 
Cujos componentes, Figura 46, são definidos a partir de: 
𝜀𝑥 = 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
; 𝜀𝑦 = 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
; 𝜀𝑧 = 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 
𝛾𝑦𝑥 = 𝛾𝑥𝑦 = 𝛾1+ 𝛾2 = 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 
𝛾𝑧𝑥 = 𝛾𝑥𝑧 = 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
; 𝑒, 𝛾𝑧𝑦 = 𝛾𝑦𝑧 = 
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝑣
𝜕𝑧
 
Conforme a lei de Hooke: 
𝜀𝑥 = 
1
𝐸
[𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)]; 𝜀𝑦 = 
1
𝐸
[𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)] 
77 
 
 𝜀𝑧 = 
1
𝐸
[𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)] 
𝛾𝑥𝑦 = 
𝜏𝑥𝑦
𝐺
; 𝛾𝑥𝑧 = 
𝜏𝑥𝑧
𝐺
; 𝛾𝑦𝑧 = 
𝜏𝑦𝑧
𝐺
 ∴ 𝐺 = 
𝐸
2(1 + 𝜈)
 
 
Figura 45 
 
Figura 46 
78 
 
O Modelo de Placas Delgadas de Kirchhoff é aplicável nos casos em que: 
• As placas são delgadas de modo que sua espessura é muito menor que as 
demais dimensões; 
• As deflexões apresentadas correspondentes resultantes das solicitações 
mediante carregamentos são muito menores que a espessura; 
• O material constituinte da placa é linear elástico, homogêneo e isotrópico; 
• As rotações experimentadas pela superfície média da placa são muito 
menores que 1,0; 
• As linhas retas e normais à superfície média assim permanecem em virtude 
das deformações por flexão; 
• As deflexões significativas são normais ao plano indeformado inicial; e, 
• As tensões normais à superfície média da placa são pouco significativas. 
Tomando-se para referência a formulação ordinária do bojo da Teoria Clássica 
da Elasticidade, a Equação Diferencial da Deflexão do Plano Médio da placa 
ilustrada na Figura 47 é da forma: 
𝝏𝟒𝝎
𝝏𝒙𝟒
+ 𝟐
𝝏𝟒𝝎
𝝏𝒙𝟐𝝏𝒚𝟐
+ 
𝝏𝟒𝝎
𝝏𝒚𝟒
=
𝒑(𝒙, 𝒚)
𝑫
 
Se : 
𝐷 = 
𝐸ℎ3
12(1 − 𝜈2)
 
Cuja solução, para placa simplesmente apoiada nos quatro bordos, foi 
proposta por Navier na forma: 
𝒘(𝒙, 𝒚) = ∑ ∑ 𝑾𝒎𝒏𝒔𝒆𝒏 (
𝒎𝝅𝒙
𝑳𝒙
)
∞
𝒏=𝟏
∞
𝒎 = 𝟏
 𝒔𝒆𝒏 (
𝒏𝝅𝒚
𝑳𝒚
) 
sendo válida se a carga for aproximada mediante a série de Fourier: 
𝒑𝒛(𝒙, 𝒚) = ∑ ∑ 𝑷𝒎𝒏𝒔𝒆𝒏 (
𝒎𝝅𝒙
𝑳𝒙
)
∞
𝒏=𝟏
∞
𝒎 = 𝟏
 𝒔𝒆𝒏 (
𝒏𝝅𝒚
𝑳𝒚
) 
79 
 
 
Figura 47 
Para os Casos de condições de vinculação dos bordos mais diversas, Lévi 
propôs solução na forma: 
𝜔(𝑥, 𝑦) = ∑ {[𝐴𝑚 + 𝐷𝑚
𝑚𝜋𝑦
𝐿𝑥
] 𝑐𝑜𝑠ℎ (
𝑚𝜋𝑦
𝐿𝑥
) + [𝐵𝑚
𝑚𝜋𝑦
𝐿𝑥
+ 𝐶𝑚 ] 𝑠𝑒𝑛ℎ (
𝑚𝜋𝑦
𝐿𝑥
)
∞
𝑚=1
+ 𝑊𝑚} 𝑠𝑒𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝐿𝑥
) 
Para a qual os coeficientes Am, Bm, Cm e Dm dependem das condições de 
vinculação dos bordos da laje. 
Os momentos Fletores são dados mediante: 
𝑀𝑥 = −𝐷 (
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
+ 𝜈
𝜕2𝜔
𝜕𝑦2
) 𝑒 𝑀𝑦 = −𝐷 (𝜈
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝜔
𝜕𝑦2
) 
O momento torsor é obtido a partir de: 
𝑀𝑥𝑦 = −(1 − 𝜈)𝐷
𝜕2𝜔
𝜕𝑥𝜕𝑦
 
E, os Esforços Cortantes são expressos mediante: 
𝑉𝑥 = −𝐷
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝜔
𝜕𝑦2
) 𝑒 𝑉 = −𝐷
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝜔
𝜕𝑦2
) 
80 
 
Existem diversas tabelas de parâmetros adimensionais para cálculo de 
esforços em lajes. Algumas são elaboradas a partir da solução da equação 
diferencial em sua versão analítica. Outras desenvolvidas a partir do método dos 
elementos finitos. Os resultados apresentam diferenças associadas ao valor adotado 
para o coeficiente de Poisson e às aproximações e truncamento da série que define 
o deslocamento transversal w(x,y). 
As tabelas