Estruturas de Concreto Armado II - Lajes

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1 
 
Índice 
Capítulo 1 
Introdução 3 
Capítulo 2 
Cargas 9 
Exercícios 15 
Capítulo 3 
Esforços 27 
Preâmbulo 27 
Painéis Isolados 27 
Painéis de Lajes Armados em uma só Direção 29 
Exercícios 36 
Painéis de Lajes Armados nas Duas Direções 41 
Lajes Apoiadas em Leitos Indeslocáveis 42 
Formulação Prática 48 
Exercícios 53 
Compensação de Momentos 59 
Exercícios 60 
Método de Marcos 66 
Exercícios 68 
Teoria das Placas 75 
Exercícios 81 
Lajes Apoiadas em Elementos Deslocáveis 87 
2 
 
Exercícios 92 
Capítulo 4 
Dimensionamento 95 
Considerações Relevantes 95 
Estado Limite de Deformações Excessivas 97 
Exercícios 102 
Estado Limite Último de Ruína do Material 105 
Exercícios 110 
Verificação ao Esforço Cortante 114 
Exercícios 116 
Capítulo 5 
Detalhamento das Armaduras 121 
Armadura Positiva 123 
Armadura Negativa 126 
Armadura de Distribuição 129 
Armadura de Bordo 130 
Armadura de Canto 132 
Lajes em Balanço 134 
Armadura de Reforço de Apoio a paredes 135 
Capítulo 6 
Tópicos Complementares 137 
Alternância de Sobrecarga 137 
 
3 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
Volume 1 
Lajes 
Capítulo 1 - Introdução 
 Lajes são elementos planos laminares que apresentam uma dimensão, no 
caso a espessura h, muito menor que as demais dimensões, Lx e Ly, cujo plano 
orienta-se, em geral, segundo a direção horizontal, Figura 1. 
Em seu trabalho mecânico no contexto de uma estrutura convencional de 
concreto armado, as lajes recebem as cargas de utilização, Figura 1, e de outros 
elementos construtivos diretamente em sua superfície superior. A tais cargas 
acrescente-se o peso próprio da laje e o peso de seus elementos de revestimento. 
Todas essas cargas apresentam direção transversal ao seu plano médio induzindo-a 
ao trabalho em flexão, mediante o qual transmitem tais cargas às vigas ou a pilares 
sobre os quais se apoiam. 
 
Figura 1. Representação de laje 
Os tipos mais usuais de lajes são: Maciças; Nervuradas; Lisas; Cogumelo; e, Pré-
moldadas. 
As lajes maciças são placas de espessura, em geral, uniforme apoiadas ao longo da 
poligonal de seu contorno sobre vigas, Figura 2. Entretanto, em se tratando de lajes de 
4 
 
pequeno vão, as rotações e as reações de apoio são brandas de modo que podem ser 
apoiadas sobre alvenaria. 
 
Figura 2. Laje Maciça 
As Lajes Nervuradas são placas combinadas a nervuras onde são alojadas as 
armaduras de tração, Figura 3. São especialmente indicadas quando se faz 
necessário vencer grandes vãos, normalmente a partir de 8,00 m, pois, de sua 
geometria resulta ganho de resistência e rigidez. As Lajes Nervuradas do Tipo 
Colmeia, Figura 4, têm sido adotadas em larga escala na indústria da construção 
civil. 
 
Figura 3. Laje Nervurada 
 As lajes lisas e as lajes cogumelos, Figura 5, são isentas de vigas ou paredes 
de apoio. As primeiras apoiam-se diretamente na seção do topo do pilar. As lajes 
cogumelo, por sua vez, são dotadas de um capitel de transição para introdução de 
seu carregamento sobre o pilar. 
 As lajes pré-moldadas resultam da montagem de nervuras e de blocos, 
ambos pré-moldados, Figura 6. As lajes pré-moldadas convencionais são montadas 
a partir de nervuras de concreto e blocos de argamassa de cimento ou de material 
5 
 
cerâmico. As lajes Alveolares, por outro lado, são constituídas de Painéis de 
concreto de elevada resistência, no caso protendidos, com peso próprio reduzido. 
 
Figura 4. Lajes Coméia 
 
Figura 5. a -Laje lisa; e, b - laje cogumelo 
 
Figura 6. Laje pré-moldada convencional 
6 
 
 
Figura 7. Lajes Alveolares 
 Uma laje isolada é aquela que não apresenta interface com outras placas 
adjacentes posicionadas além de seus elementos de apoio. Se tal laje se apoia em 
quatro vigas desenvolvidas, em seu conjunto, segundo uma poligonal fechada, seu 
vão teórico “L” em cada direção deve ser definido como sendo a distância entre os 
eixos das vigas sobre as quais se apoia, Figura 8. Uma forma alternativa de definir 
seu vão teórico é considerando seu vão livre Lo acrescido de 60% de sua espessura 
h. Se a laje isolada apresentar bordo livre, então seu vão teórico na direção do bordo 
livre deve ser definida a partir da distância de tal bordo ao eixo da viga de apoio, 
Figura 9. Esta última orientação para definição do vão teórico pode ser aplicada aos 
casos envolvendo laje em balanço. 
 
Figura 8. Laje isolada apoiada em quatro vigas 
 Uma laje contínua é aquela que se prolonga além de algumas de 
suas vigas de apoio, e, se apoia em um total de vigas, em geral, 
superior a 4(quatro). Seu vão teórico é definido considerando-se seu vão 
livre Lo acrescido de 60% de sua espessura h, Figura 10. 
7 
 
 Uma laje isolada, em geral, deve ser armada em uma só direção 
quando a razão entre seu vão maior e seu vão não for inferior a 2 (dois). 
Caso contrário ela deve ser armada em duas direções ou em cruz. 
 A NBR 6118/2014 recomenda para as lajes, espessura mínima, 
conforme, seu tipo de utilização. Tais valores limite são: 
 Lajes de coberta - 70 mm 
 Lajes de piso - 80 mm 
 Lajes em balanço - 100 mm 
 Lajes que suportem veículos de peso não superiora 
30 kN – 100 mm 
 Lajes que suportem veículos de peso superior a 30 kN 
– 120 mm 
 Lajes Cogumelo – 140 mm 
 Lajes lisas – 160 mm 
 
Figura 9. Laje isolada com bordo livre 
8 
 
 
Figura 10. Laje contínua 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
Volume 1 
Lajes 
Capítulo 2 - Cargas 
 As ações em uma estrutura, em geral, podem ser ações permanentes ou 
ações acidentais. 
As Ações Permanentes atuam com valores constantes ou de pouca variabilidade 
no decorrer da vida útil da estrutura. Incluem seu peso próprio bem como o peso de 
elementos fixos a ela tais como revestimentos, enchimentos e paredes. Seus valores 
estão atrelados à massa específica dos corpos sólidos aos quais são inerentes. 
A Necessidade de consideração do peso próprio da laje é óbvia. Para levar em 
conta tal ação ela deve ser modelada como se fosse distribuída uniformemente em 
toda a extensão da área da laje, Figura 11. 
Conforme a Figura 11 a área total da laje pode ser dada mediante: 
𝐴𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝐿𝑥 × 𝐿𝑦 
Seu volume total será então: 
𝑉𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝐴𝐿𝑎𝑗𝑒 × ℎ = 𝐿𝑥 × 𝐿𝑦 × ℎ 
Enquanto seu peso pode ser obtido a partir de: 
𝑃𝑒𝑠𝑜𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × 𝑉𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × 𝐿𝑥 × 𝐿𝑦 × ℎ 
A carga que solicita a laje correspondente ao seu peso próprio é dada na forma: 
𝑃𝑝𝐿𝑎𝑗𝑒 =
𝑃𝑒𝑠𝑜𝐿𝑎𝑗𝑒
𝐴𝐿𝑎𝑗𝑒
=
𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × 𝐿𝑥 × 𝐿𝑦 × ℎ
 𝐿𝑥 × 𝐿𝑦
 
Ou ainda: 
𝑃𝑝𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × ℎ 
 
10 
 
 
Figura 11. Distribuição de carga 
O revestimento é um recurso voltado para a composição estética e proteção 
adicional do concreto. Em lajes de coberta deve-se considerar o revestimento de 
teto e, em lajes de piso, deve-se considerar, inclusive, o revestimento do piso ou 
pavimentação. As cargas associadas a revestimento de teto e pavimentação de 
pisos também devem ser consideradas como ação distribuída uniformemente em 
toda a extensão da área da laje. 
A pavimentação normalmente é constituída de elementos de acabamento do tipo 
placa assentados sobre camada de regularização em argamassa de cimento, areia e cal, 
Figura 12. 
 
Figura 12. Detalhe de pavimentação 
Para efeito de cálculo de sua carga a argamassa de revestimento de teto 
assim como de regularização e assentamento do piso deve ser considerada como 
uma placa que repousa solidariamente sobre a laje. Deve ser calculada a partir de: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 = 𝛾𝑎𝑟𝑔 × 𝑒𝑎𝑟𝑔 
onde arg representa a massa específica do material constituinte da argamassa e earg 
representa a espessura da camada de argamassa. Para o revestimento do teto com 
argamassa a parcela substancial de carga associada a esse revestimento é devida 
ao peso desse material. Para o caso de o teto ser revestido com forro em placas de 
11 
 
gesso, Forro Pacote ou Eucatex suspensas na laje, o peso dessas placas deve ser 
considerado, e, assim, calculado mediante: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝐹𝑜𝑟𝑟𝑜 = 𝛾𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 × 𝑒𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 
onde placa representa a massa específica do material constituinte da placa do forro e 
eplaca a sua espessura. 
 
Figura 13 
A carga do revestimento do teto será então: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑅𝑒𝑣 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝐹𝑜𝑟𝑟𝑜 
A carga referente à pavimentação do piso deve ser calculada a partir de: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑣 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝛾𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 × 𝑒𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 
onde placa representa a massa específica do material constituinte da placa, no caso 
cerâmica, mármore, madeira, etc e, eplaca a sua espessura 
Nos casos usuais de revestimento de piso leve pode ser adotado para peso 
do conjunto pavimento e revestimento valor compreendido entre 0,8 e 1,0 kN/m2. 
 Na prática da construção civil pode acontecer de na concepção de projeto a 
laje ser provida de rebaixamento com a finalidade de permitir o alojamento de 
instalações de esgoto sanitário, Figura 14. 
Os espaços vazios deixados após o assentamento dos elementos vitais da 
instalação devem ser preenchidos com material inerte 
 A carga correspondente ao peso do enchimento da laje rebaixada deve ser 
considerada como se distribuída uniformemente em toda a extensão da área onde a 
laje é rebaixada, e, sua intensidade deve ser calculada na forma: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑒𝑛𝑐ℎ = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × ℎ𝑓 
12 
 
onde mat representa a massa específica do material utilizado para o enchimento e hf 
é a profundidade do rebaixamento. 
 
Figura 14. 
Há casos, inclusive, em que se torna inevitável o apoio de paredes sobre uma 
laje. Em se tratando de uma laje a ser armada em cruz o peso total da parede, 
Figura 15, deve ser considerado como se distribuído uniformemente em toda a 
extensão da área da laje. Sua intensidade total será: 
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝 × ℎ𝑝 × 𝐿𝑝 
Se mat representa a massa específica do material constituinte da parede e ep, hp e 
Lp são a espessura a altura e o comprimento da parede. A carga sobre a laje 
referente ao peso da parede será então: 
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 =
𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝 × ℎ𝑝 × 𝐿𝑝
𝐿𝑥𝐿𝑦
 
Na hipótese de a laje ser armada em uma só direção existem duas alternativas a 
considerar. Se a parede é paralela ao maior vão, Figura 16, distribuí-lo em tal direção e 
considerar carga concentrada igual ao peso de segmento de parede de comprimento 
unitário, ou seja: 
𝑃𝑝𝑎𝑟 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝 × ℎ𝑝 
Se a parede for paralela ao vão menor a carga correspondente ao seu peso 
deverá ser descarregada em área restrita da laje, área hachurada da Figura 17. Tal 
faixa de distribuição da ação referente ao peso da parede deverá ser reforçada com 
armadura adicional calculada para um momento fletor fictício de intensidade: 
𝑀𝑥 = 1,1 × 𝑃𝑝𝑎𝑟 × 𝐿𝑥 
13 
 
considerando-se: 
𝑃𝑝𝑎𝑟 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝𝑎𝑟 × ℎ𝑝𝑎𝑟 
A armadura assim calculada deverá ser distribuída em cada uma das duas 
direções da laje. 
 
Figura 15 
 Na tabela 1 encontram-se sumarizados os pesos específicos de alguns 
materiais de emprego em larga escala na indústria da construção civil. 
 Tabela 1. Peso específico de materiais 
Material Peso Específico Aparente(kN/m3) 
Tijolos maciços 18 
Tijolos vazados 13 
Lajotas cerâmicas 18 
Alumínio 28 
Argamassa de cimento areia e cal 19 
Cimento amianto 20 
As ações acidentais, por sua vez, apresentam variabilidade significativa no 
decorrer da vida útil da estrutura. Trata-se, geralmente, de cargas verticais e devem 
ser consideradas como se fossem uniformemente distribuídas em toda a extensão 
da laje. Decorrem do tráfego e permanência de pessoas, peso e tráfego de veículos, 
14 
 
móveis e utensílios. Sua intensidade depende do tipo de uso previsto para o recinto 
que a laje suporta. Podem incluir ações de caráter especial. 
 
Figura 16 
 
Figura 17 
15 
 
Nas tabelas 2 e 3 estão sumarizados os valores recomendados para ações 
acidentais recomendados pela NBR 6120/2003. 
Tabela 2. Valores ações acidentais em edifícios residenciais 
Lajes em edifícios residenciais 
Local Carga(kN/m2) 
Área de serviço e terraços 2,0 
Escadas, corredores e Hall 2,5 
Forros se sem acesso de pessoas ou depósitos 0,5 
Demais dependências 1,5 
Tabela 3. Valores ações acidentais em edificações gerais 
Edificações em geral 
Tipo de utilização Carga (kN/m2) 
Salas de aula 3,0 
Corredores 3,0 
Escritórios 2,0 
lojas 4,0 
Ginásios 5,0 
Dormitórios 2,0 
Refeitórios 3,0 
Laboratórios 3,0 
Garagens veículos de até 25 kN 3,0 
Para lajes de depósitos, na ausência de valores experimentais ou de 
especificações de peso do material a ser depositado, pode-se elaborar estimativa 
aproximada. 
 
Exercício II.1 - Calcular a carga na laje ilustrada na Figura AII.1, constituída em 
concreto armado, destinada a piso de garagem que será utilizada por veículos de 
peso superior a 30 kN, se será pavimentado com lajotas cerâmicas de 8 mm de 
espessura, assentadas sobre leito constituído de argamassa de cimento Portland 
areia e cal de 25 mm de espessura, esta última, também utilizada para revestir o tetodo pavimento inferior. 
 
Resolução: 
Para a espessura da laje será adotado o valor h = 120 mm atendendo aos requisitos 
de espessura mínima, recomendados pela NBR 6118/2014. 
Para efeito de cálculo das cargas referentes às ações permanentes serão adotados 
os valores dos pesos específicos indicados na tabela 1. 
O peso próprio será então: 
16 
 
𝑃. 𝑝. = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × ℎ = 25,0 × 0,12 = 3,0 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga referente ao revestimento do teto do pavimento Inferior à garagem será 
essencialmente devida ao peso da argamassa, e, portanto: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 = 𝛾𝑎𝑟𝑔 × 𝑒𝑎𝑟𝑔 = 19,0 × 0,025 = 0,475 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga referente ao revestimento do piso da garagem além do peso da argamassa 
de regularização e assentamento, incluirá o peso das lajotas, dado por: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 𝛾𝑐𝑒𝑟 × 𝑒𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 18,0 × 0,008 = 0,144 𝑘𝑁/𝑚
2 
Assim, a carga correspondente ao revestimento do piso será: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣𝑝𝑖𝑠𝑜 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 0,475 + 0,144 = 0,619 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga correspondente ao revestimento do conjunto piso e teto é: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣𝑝𝑖𝑠𝑜 = 0,475 + 0,619 = 1,094 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga permanente deve ser a soma do peso próprio da laje com a carga referente 
ao seu revestimento, e, assim, será: 
𝑔 = 𝑃. 𝑝. + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣 = 3,0 + 1,094 = 4,094 𝑘𝑁/𝑚
2 ≈ 4,1 𝑘𝑁/𝑚2 
A NBR 6120/2003 não contempla em sua redação informação a respeito de 
carga de utilização aplicável ao presente caso por esta razão, o autor deste trabalho 
precisou a recorrer a uma estimativa tomando por base a experiência em trabalhos 
similares, da qual resultou para a carga de utilização o valor: 
𝑞 = 5,0 𝑘𝑁/𝑚2 
Neste trabalho justifica-se a consideração da Combinação Quase Frequente 
de ações e da Combinação Normal Última de Ações. A consideração da primeira 
justifica-se pelo fato de no presente caso só ser necessário verificar o Estado Limite 
de Deformações Excessivas, e, não está relatada possibilidade de oscilações 
térmicas ou ação do vento que possam comprometer vedações, e, em casos dessa 
natureza a NBR 6118/2014 recomenda, especificamente, adotá-la. As Combinações 
Últimas de Ações devem ser aplicadas no dimensionamento de seções transversais 
de concreto armado. A combinação Última Normal de Ações é aplicável a todos os 
17 
 
casos, e, uma vez que não há informações de ocorrência de Ações de Construção, 
Ações Especiais ou Ações Excepcionais relevantes, apenas, esta combinação de 
ações precisa ser considerada. 
 
Figura AII.1 
A Combinação Quase Permanente de Serviço apresenta a seguinte composição: 
𝑭𝒅.𝒔𝒆𝒓𝒗 = ∑ 𝑭𝒈𝒌 + ∑ 𝝍𝟐𝑭𝒒𝒌 
Conforme a NBR 6118-2014, para o tipo de utilização da laje em análise deve-se 
considerar 2 = 0,6. 
Uma vez que no presente caso ocorre a solicitação de apenas uma ação 
permanente e uma ação acidental, no caso as cargas p e q acima definidas tal 
expressão se reduz a. 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗 = 𝒈 + 𝝍𝟐𝒒 = 4,094 + 0,6 × 5,0 ≈ 𝟕, 𝟏 𝒌𝑵/𝒎
𝟐 
A Combinação Última Normal de Ações é expressa mediante: 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝜀𝑔𝐹𝜀𝑔𝑘 + 𝛾𝑞(𝐹𝑞1𝑘 + ∑ 𝜓0𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘) + 𝛾𝜀𝑞𝜓0𝜀𝐹𝜀𝑞𝑘 
18 
 
Uma vez que para o presente caso as ações indiretas são pouco significativas tal 
expressão se reduz à forma: 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝑞(𝐹𝑞1𝑘 + ∑ 𝜓0𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘) 
E, uma vez que há apenas uma ação acidental, a expressão se reduz para: 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝑞𝐹𝑞1𝑘 
É sabido que os valores recomendados pela NBR 6118/2014 para coeficientes de 
segurança das solicitações aplicáveis a esse tipo de combinação de ações são tais 
que: 
𝛾𝑔 = 𝛾𝑞 = 𝛾𝑓 = 1,4 
Sendo assim, resulta: 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝑞𝐹𝑞1𝑘 = 𝛾𝑓(𝐹𝑔𝑘 + 𝐹𝑞1𝑘) 
Fazendo-se: 
𝐹𝑔𝑘 = 𝑔; 𝐹𝑞1𝑘 = 𝑞; 𝑒, 𝑝 = 𝑔 + 𝑞 
Obtém-se: 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑓(𝑔 + 𝑞) = 𝛾𝑓𝑝 
Logo, p é a carga que deve ser utilizada para cálculo dos momentos fletores que, 
uma vez multiplicados pelo coeficiente de segurança das solicitações, no caso o f 
resulta o momento fletor solicitado de projeto a ser adotado para a determinação da 
armadura longitudinal de flexão da laje. 
A carga referente à Combinação Última Normal de Ações para o presente caso será, 
portanto: 
𝒑 = 𝒈 + 𝒒 = 4,094 + 5,0 = 9,094 𝑘𝑁/𝑚2 ≈ 9,1 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Exercício II.2 - Calcular a carga na laje em concreto armado ilustrada na Figura 
AII.2, destinada a piso de dois ambientes contíguos separados por parede de 
19 
 
alvenaria singela vazada de altura igual a 2,60 m. Um dos ambientes será utilizado 
como escritório e o outro como laboratório. Os pisos serão revestidos com lajotas 
cerâmicas de 8 mm de espessura, assentadas sobre leito constituído de argamassa 
de cimento Portland areia e cal de 25 mm de espessura, esta última, também 
utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
Resolução: 
Observe-se que a laje objeto deste exercício é idêntica à do exercício anterior, 
diferindo pela existência de uma parede descarregando sobre ela e pelo tipo de 
utilização. Assim os cálculos aqui apresentados serão idênticos ao daquele exercício 
incluindo-se a carga correspondente ao peso da parede e modificando-se a carga de 
utilização e o seu peso próprio. 
A NBR 6118/2014 permite a adoção de espessura a partir de 80 mm para lajes 
desta natureza, entretanto, amparado em experiências de trabalhos anteriores seu 
valor será fixado em 100 mm. 
De antemão, para o cálculo da carga referente ao peso da parede será necessário 
definir-se seus vão teóricos. Se b representa a largura da seção transversal das 
vigas, então ter-se-ão: 
𝐿𝑥 = 𝐿𝑥𝑜 + 𝑏 = 6,00 + 0,15 = 6,15 𝑚 𝑒 𝐿𝑦 = 𝐿𝑦𝑜 + 𝑏 = 7,00 + 0,15 = 7,15 𝑚 
A área total da laje será então: 
𝐴𝐿𝑎𝑗𝑒 = 𝐿𝑥𝐿𝑦 = 6,15 × 7,15 = 43,97 𝑚
2 
Seu peso próprio é: 
𝑃. 𝑝. = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × ℎ = 25,0 × 0,10 = 2,5 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga referente ao peso do revestimento é idêntica ao do exercício anterior, e, 
portanto, igual a 1,1 kN/m2. 
O peso total da parede pode ser calculado a partir de: 
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑃𝑎𝑟 = 𝛾𝑎𝑙𝑣 × 𝑒𝑝𝑎𝑟 × ℎ𝑝𝑎𝑟 × 𝐿𝑥 
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑃𝑎𝑟 = 13,0 × 0,15 × 2,60 × 6,15 = 31,2 𝑘𝑁 
20 
 
Uma vez que, para o presente caso, a razão entre o maior e o menor vão é inferior a 
2, a laje deve ser armada em cruz, e, neste caso, a carga referente ao peso da 
parede deve ser distribuída de maneira uniforme em toda a área horizontal da laje, 
assim: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑟 =
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑝𝑎𝑟
Á𝑟𝑒𝑎𝐿𝑎𝑗𝑒
=
31,2
43,97
= 0,71 𝑘𝑁/𝑚2 
A Carga Permanente deve ser então: 
𝑝 = 𝑃. 𝑝. + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑟 = 2,5 + 1,1 + 0,71 = 4,31 𝑘𝑁/𝑚
2 ≈ 4,4 𝑘𝑁/𝑚2 
As cargas de Utilização, conforme a NBR 6120/2003 são de 2,0 kN/m2 para 
escritórios e de 3,0 kN/m2 para laboratórios. 
A definição das combinações de ações é realizada segundo orientação idêntica 
àquela aplicada ao exercício II.1. Para Combinação Quase Permanente adota-se a 
expressão : 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗 = 𝒈 + 𝝍𝟐𝒒 
Para os tipos de utilização previstos para a laje objeto deste exercício a NBR 
6120/2003 recomenda adotar 2 = 0,3, de modo a resultar para Escritório: 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗 = 4,4 + 0,3 × 2,0 = 5,0 𝑘𝑁/𝑚
2 
E, para Laboratório: 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗 = 4,4 + 0,3 × 3,0 = 5,3 𝑘𝑁/𝑚
2 
Para a Combinação Última: 
𝒑 = 𝒈 + 𝒒 
Para Escritório tem-se: 
𝑝 = 4,4 + 2,0 = 6,4 𝑘𝑁/𝑚2 
E, para Laboratório: 
𝑝 = 4,4 + 3,0 = 7,4 𝑘𝑁/𝑚2 
21 
 
 
Figura AII.2 
 
Exercício II.3 – Idem, Exercício II.2, considerando a laje da Figura AII.3 
O desenvolvimento da resolução deste exercício é idêntico ao praticado no Exercício 
II.2, diferindo, entretanto, que neste caso a razão entre o vão maior e o vão menor 
da laje é superior a 2, de modo que ela deverá ser armada em uma só direção, 
assim, o procedimento de cálculo da carga correspondente ao peso da parede será 
distinto. Seu vão teórico na direção x é: 
𝐿𝑥 = 𝐿𝑥𝑜 + 𝑏 = 3,20 + 0,15 = 3,35 𝑚 
O peso total da parede será: 
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑃𝑎𝑟 =𝛾𝑡𝑖𝑗 × 𝑒𝑝𝑎𝑟 × ℎ𝑝𝑎𝑟 × 𝐿𝑥 = 13,0 × 0,15 × 2,60 × 3,35 = 17,0 𝑘𝑁 
A área da faixa de distribuição do peso da parede será: 
Á𝑟𝑒𝑎𝐹𝑎𝑖𝑥𝑎𝐷𝑖𝑠𝑡 = 𝐿𝑥 × 𝐿𝑥 = 3,35 × 3,35 = 11,23 𝑚
2 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑟 =
𝑃𝑒𝑠𝑜𝑝𝑎𝑟
Á𝑟𝑒𝑎𝐹𝑎𝑖𝑥𝑎𝐷𝑖𝑠𝑡
=
17,0
11,23
= 1,52 𝑘𝑁/𝑚2 
22 
 
Para o cálculo da Carga Permanente tem-se: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑔1 = 𝑃. 𝑝. +𝑅𝑒𝑣 = 2,5 + 1,1 = 3,6 𝑘𝑁/𝑚
2 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑔2 = 𝑃. 𝑝. +𝑅𝑒𝑣 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑟 = 𝑔1 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑃𝑎𝑟 = 3,6 + 1,52 = 5,12 𝑘𝑁/𝑚
2 
 
Figura AII.3 
 
As combinações de serviço pertinentes ficam então: 
Para Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣1 = 𝑔1 + 2𝑞𝑒𝑠𝑐 = 3,6 + 0,3 × 2,0 ≈ 4,2 𝑘𝑁/𝑚
2 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣2 = 𝑔2 + 2𝑞𝑒𝑠𝑐 = 5,12 + 0,3 × 2,0 ≈ 5,8 𝑘𝑁/𝑚
2 
23 
 
No Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣3 = 𝑔1 + 2𝑞𝑙𝑎𝑏 = 3,6 + 0,3 × 3,0 ≈ 4,5 𝑘𝑁/𝑚
2 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣4 = 𝑔2 + 2𝑞𝑙𝑎𝑏 = 5,12 + 0,3 × 3,0 ≈ 6,1 𝑘𝑁/𝑚
2 
As combinações Últimas, por sua vez, ficam: 
Para Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝1 = 𝑔1 + 𝑞𝑒𝑠𝑐 = 3,6 + 2,0 ≈ 5,6 𝑘𝑁/𝑚
2 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝2 = 𝑔2 + 𝑞𝑒𝑠𝑐 = 5,12 + 2,0 ≈ 7,2 𝑘𝑁/𝑚
2 
No Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝3 = 𝑔1 + 𝑞𝑙𝑎𝑏 = 3,6 + 3,0 ≈ 6,6 𝑘𝑁/𝑚
2 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑝4 = 𝑔2 + 𝑞𝑙𝑎𝑏 = 5,12 + 3,0 ≈ 8,2 𝑘𝑁/𝑚
2 
 
O peso total de parede para efeito de cálculo do Momento fletor de armadura de 
reforço na faixa de distribuição da carga da parede será dado mediante: 
𝑃𝑝𝑎𝑟 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝𝑎𝑟 × ℎ𝑝𝑎𝑟 = 13,0 × 0,15 × 2,60 = 5,07 𝑘𝑁/𝑚 
O Momento fletor de armadura de reforço é: 
𝑀𝑥 = 1,1 × 𝑃𝑝𝑎𝑟 × 𝐿𝑥 = 1,1 × 5,07 × 3,35 = 18,7 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Nas duas direções na faixa de distribuição da parede. 
24 
 
Exercícios Propostos 
Exercício PII.1 - Calcular a carga na laje ilustrada na Figura PII.1, constituída em 
concreto armado, destinada a piso de refeitório que será pavimentado com 
cerâmicas de 8 mm de espessura, assentadas sobre leito constituído de argamassa 
de cimento Portland, areia e cal de 15 mm de espessura, esta última, também 
utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
Observação: Devido aos comprimentos do vão da laje pode ser conveniente 
estimar a espessura da laje em 120 mm. 
 
Figura PII.1 
Exercício PII.2 - Calcular a carga na laje em concreto armado ilustrada na Figura 
PII.2, destinada a piso de dois ambientes contíguos separados por parede de 
alvenaria singela vazada de altura igual a 3,20 m. Um dos ambientes será utilizado 
como escritório e o outro para dormitório. Os pisos serão revestidos com lajotas 
cerâmicas de 8 mm de espessura, assentadas sobre leito constituído de argamassa 
de cimento Portland, areia e cal de 15 mm de espessura, esta última, também 
utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
 
Figura PII.2 
25 
 
Exercício PII.3 – Idem, Exercício PII.2, considerando a laje da Figura PII.3. 
 
Figura PII.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
Volume 1 
Lajes 
Capítulo 3 – Esforços 
3.1 - Preâmbulo 
Na estrutura de um edifício a laje de cada pavimento é composto por um 
conjunto de painéis de lajes interligados continuamente, Figura 18. Para o cálculo 
dessas lajes contínuas os painéis podem ser tratados, inicialmente, tal unidades 
isoladas, apoiados em paredes ou vigas rígidas, e, por conseguinte, pode-se 
considerar a continuidade entre painéis contíguos mediante operação de 
compensação de esforços. 
 
Figura 18 
3.2 – Painéis isolados 
Para os efeitos de abordagem dos painéis tomados isoladamente a 
representação de suas condições de bordo deverá ser orientada conforma as 
28 
 
convenções da Figura 19. Um seguimento sombreado será utilizado para 
representar um bordo ligado mediante engastamento perfeito. Uma linha em traço 
cheio indicará tratar-se de bordo simplesmente apoiado. Um seguimento assinalado 
em trações interrompidos denotará um bordo livre, assim denominado, aquele bordo 
isento de qualquer tipo de ligação a elemento adjacente ao painel de laje 
considerado. 
 
Figura 19 
A Figura 18 ilustra uma laje continua composta de 12 painéis isolados, 
apoiada sobre vigamento. Do ponto de vista prático, podem ser modelados como 
engastamento perfeito os bordos internos de dois painéis isolados adjacentes 
nivelados entre si. É o que ocorre com os bordos comuns dos painéis L1 com L2, L2 
com L3, L3 com L4, L1 com L5, L5 com L9, L3 com L7, L7 com L11, L4 com L8, L8 com 
L12, L9 com L10, L10 com L11, e, L11 com L12. 
Rigorosamente, do ponto de vista mecânico, a condição de engaste perfeito 
só se aplicaria se os bordos dos painéis de lajes que concorrem na mesma linha de 
apoio apresentarem rotação nula. Se os comprimentos dos vãos ou os 
carregamentos dos painéis de lajes concorrentes são diferentes, dificilmente a 
rotação seria nula de modo que, após o cálculo dos painéis tomados isoladamente, 
deve-se proceder à compensação dos momentos do referido apoio. 
 A ligação do tipo apoio simples aplica-se, sobretudo, de forma aproximada ao 
bordo de extremidade da laje contínua. Ocorre com os bordos dos painéis L1, L2, L3, 
L4, L9, L10, L11, e, L12, alinhados com os seguimentos CD e EF da Figura 18. Tal 
aproximação é viável porque, a grande maioria das vigas de edifícios apresenta 
baixa rigidez à torção, e, a armadura da ligação entre a laje e a viga não é projetada 
29 
 
para absorver momentos torsores, de modo que suscita quadro de fissuração que 
favorece a rotação da laje quase que livremente. 
A ligação do tipo apoio simples aplica-se, também, de forma aproximada ao 
bordo comum de dois painéis de laje que são desnivelados entre si, que é o que 
acontece quando um dos painéis concorrentes é rebaixado. Para a laje da Figura 18, 
é o que ocorre com os bordos comuns dos painéis L2 com L6, L5 com L6, L6 com L7, e, L6 
com L10. 
Assim, tomando-se como referência a Figura 18, em resumo, as condições de 
bordo dos painéis de laje L1 ,L4 , L9 e L12 podem ser representados conforme Figura 
20.a, as dos painéis L2 e L10 conforme Figura 20.b, as dos painéis L3 e L11 como 
indicado na Figura 20.c, para L5 estão mostradas na Figura 20.d, para L6 estão 
ilustradas na Figura 20.e, para L7 estão assinaladas na Figura 20.f, e, para o painel 
L8 está representada na Figura 20.g. 
 
Figura 20 
 
3.3 – Painéis de Lajes Armados em uma só Direção 
 As lajes devem, a princípio, ser calculadas como se trabalhasse 
mecanicamente, em uma só direção quando a razão entre o comprimento do vão 
maior e o do vão menor não for inferior a 2. Neste caso, se o vão de menor 
30 
 
comprimento orienta-se com a direção x, Figura 21, então a curvatura do plano 
médio da laje tomada segundo a direção y é tal que torna a intensidade do momento 
fletor em tal direção pouco significativo. 
Considerando-se que o painel de laje trabalhará na direção “x”, para efeito de 
análise de desempenho mecânico, ele deve ser tratado como se fosse uma viga de 
seção retangular de altura igual à sua espessura e largura igual a 1,00 metro. Os 
Momentos Fletores, Esforços Cortantes e Reações de Apoio serão calculados então 
tomando-se esta realidade como referência. As armaduras longitudinais principais 
de tração calculadas para esses esforços, orientar-se-ão ao longo da direção x, e, 
deverão ser distribuídas em toda a extensão da laje, na direção y, Figura 21.b. 
Recomenda-se, neste caso, a adoção de armadura de distribuição segundo a 
direção y perpendicular à direção x da armadura principal, esta última, que 
efetivamente trabalhará como armadura de tração na flexão. 
 
Figura 21 
Se o painel de laje apresentar uma das condições de bordo da Figura22, as 
reações de apoio serão obtidas a partir da expressão da resistência dos materiais: 
𝑅𝑦 = 
𝑝𝐿𝑥
2
 
31 
 
onde p representa a carga que solicita a laje. Tal reação deve ser considerada 
uniformemente distribuída segundo a direção dos bordos AC e BD. A intensidade do 
Momento Fletor máximo será dada a partir de: 
𝑀𝑥 = 
𝑝𝐿𝑥
2
8
 
 
Figura 22 
Se o painel de laje apresentar uma das condições de bordo da Figura 23 ou 
24, as reações de apoio serão: 
𝑅𝑦 = 
𝑝𝐿𝑥
2
 
A intensidade do Momento Fletor máximo positivo será dada a partir de: 
𝑀𝑥 = 
𝑝𝐿𝑥
2
24
 
A intensidade do Momento Fletor negativo na seção de apoio sobre a viga 
será dada a partir de: 
𝑋𝑥 = − 
𝑝𝐿𝑥
2
12
 
32 
 
 De outra forma, se o painel individual de laje apresenta as condições de bordo 
da Figura 25 as reações de apoio serão dadas mediante: 
𝑅𝑦1 = 
5𝑝𝐿𝑥
8
 𝑒 𝑅𝑦2 = 
3𝑝𝐿𝑥
8
 
 
Figura 23 
 
Figura 24 
33 
 
 
O Momento Fletor Máximo Positivo será dado por: 
𝑀𝑥 = 
𝑝𝐿𝑥
2
14
 
 
A intensidade do Momento Fletor negativo na seção de apoio sobre a viga 
será dada a partir de: 
𝑋𝑥 = −
𝑝𝐿𝑥
2
8
 
 
Figura 25 
 
 Para o caso do painel de laje em balanço da Figura 26 a intensidade da 
reação de apoio será expressa mediante: 
𝑅𝑦 = 𝑝𝐿𝑥 
 
 O Momento Fletor negativo na seção do apoio será: 
𝑋𝑥 = 
−𝑝𝐿𝑥
2
2
 
34 
 
 
 
Figura 26 
 Vale ressaltar neste parágrafo que nas discussões acima apresentadas está 
sendo convencionada a notação Ry para representar a Reação de Apoio distribuída 
ao longo da direção y. Para representar os Momentos Fletores Positivos e 
Negativos, respectivamente, para o painel trabalhando na direção x, foram 
convencionadas as notações Mx e Xx. Esta convenção será praticada em todo este 
trabalho. O Esforço Cortante distribuído segundo a direção y será representado pela 
notação Vy. Mais adiante, quando forem tratados os painéis isolados armados em 
duas direções será adotada as notações Rx e Vx para representar a intensidade da 
Reação de Apoio e do Esforço Cortante distribuídos segundo o bordo na direção x, 
e, as notações My e Xy, para representar os Momentos Fletores Positivos e 
Negativos, respectivamente, para o painel trabalhando na direção y. 
Os painéis de laje que apresentarem as condições de bordo da Figura 27 
devem, obrigatoriamente, ser calculados na condição de armados em uma só 
direção. 
Desnecessário é lembrar que as Reações de Apoio e os Esforços Cortantes 
apresentam direção vertical, e que nas seções da vizinhança dos bordos o Esforço 
Cortante e a Reação de Apoio são iguais em intensidade. 
35 
 
 
 
Figura 27 
Por razões que serão elucidadas em parágrafo oportuno deste trabalho, os 
painéis de laje que apresentarem as condições de bordo da Figura 28 devem, 
obrigatoriamente, ser calculados na condição de armados em duas direções. 
 
Figura 28 
36 
 
Exercício III.1 - Calcular os esforços na laje de concreto armado da Figura AIII.1 
destinada a piso de garagem, a ser utilizada por veículo de peso superior a 30 kN, 
se seu piso será revestido com lajotas cerâmicas de 8 mm de espessura, 
assentadas sobre leito de argamassa de cimento areia e cal de 25 mm de 
espessura, esta última, também utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
Resolução: 
Um exame comparativo substancial deste exercício com o Exercício II.1 induz a 
conclusão de que a espessura da laje e o carregamento solicitante deste exercício 
deverão ser idênticos ao do Exercício II.1. 
Os comprimentos de seus vãos teóricos serão assim calculados: 
𝑳𝒙 = 𝟑, 𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟖 = 𝟑, 𝟎𝟖 → 𝟑, 𝟏𝟓 𝒎 𝒆 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟖 = 𝟕, 𝟎𝟖 → 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
A Relação entre os comprimentos dos vãos será: 
𝝀 = 
𝑳𝒚
𝑳𝒙
= 
𝟕, 𝟏𝟓
𝟑, 𝟏𝟓
= 𝟐, 𝟐𝟔 > 2, 𝟎𝟎 
Logo deve ser armada em uma só direção. 
 
Figura AIII.1 
Para o carregamento de serviço, as reações de apoio, que representarão ações 
sobre o vigamento, será: 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2
=
7,1 × 3,15
2
= 11,2 𝑘𝑁/𝑚 
37 
 
 
O Momento máximo positivo é: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2
8
=
7,1 × 3,152
8
= 8,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Para o carregamento referente à Combinação Última Normal de Ações, a Reação de 
apoio é: 
𝑅𝑦 =
𝑝𝐿𝑥
2
=
9,1 × 3,15
2
= 14,4 𝑘𝑁/𝑚 
Enquanto o Momento máximo positivo é: 
𝑀𝑥 =
𝑝𝐿𝑥
2
8
=
9,1 × 3,152
8
= 11,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 A ação da laje sobre o vigamento referente ao carregamento de serviço está 
indicada na Figura AIII.2.a e aquela correspondente à Combinação Normal Última de 
Ações na Figura AIII.2.b. 
 
Figura AIII.2 
Exercício III.2 - Calcular os esforços na laje do Exercício II.3. 
Resolução: 
O comprimento do vão teórico na direção y será: 
𝐿𝑦 = 𝐿𝑦𝑜 + 𝑏 = 7,00 + 0,15 = 7,15 𝑚 
A Relação entre os comprimentos dos vãos será: 
𝝀 = 
𝑳𝒚
𝑳𝒙
= 
𝟕, 𝟏𝟓
𝟑, 𝟑𝟓
= 𝟐, 𝟏𝟑 > 2, 𝟎𝟎 
38 
 
Logo deve ser armada em uma só direção 
Para o carregamento de serviço as Reações de Apoio serão: 
Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣1 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣1𝐿𝑥
2
=
4,2 × 3,35
2
= 7,1 𝑘𝑁/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣2 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣2𝐿𝑥
2
=
5,8 × 3,35
2
= 9,8 𝑘𝑁/𝑚 
Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣3 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣3𝐿𝑥
2
=
4,5 × 3,35
2
= 7,6 𝑘𝑁/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣4 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣4𝐿𝑥
2
=
6,1 × 3,35
2
= 10,3 𝑘𝑁/𝑚 
Para o Momento máximo positivo ter-se-ia: 
Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣1 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣1𝐿𝑥
2
8
=
4,2 × 3,352
8
= 5,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣2 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣2𝐿𝑥
2
8
=
5,8 × 3,352
8
= 8,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣3 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣3𝐿𝑥
2
8
=
4,5 × 3,352
8
= 6,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
39 
 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣4 =
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2
8
=
6,1 × 3,352
8
= 8,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Os esforços correspondentes à Combinação Última Normal de Ações, esforços 
estes que deverão ser multiplicados pelo coeficiente de segurança das solicitações, 
no caso f = 1,4, para assim obter-se os esforços de projeto, serão : 
Reações nas vigas 
Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦1 =
𝑝1𝐿𝑥
2
=
5,6 × 3,35
2
= 9,4 𝑘𝑁/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
 𝑅𝑦2 =
𝑝2𝐿𝑥
2
=
7,2 × 3,35
2
= 12,1 𝑘𝑁/𝑚 
Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦3 =
𝑝3𝐿𝑥
2
=
6,6 × 3,35
2
= 11,1 𝑘𝑁/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑅𝑦4 =
𝑝4𝐿𝑥
2
=
8,2 × 3,35
2
= 13,8 𝑘𝑁/𝑚 
Momento máximo positivo 
Escritório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑀𝑥1 =
𝑝1𝐿𝑥
2
8
=
5,6 × 3,352
8
= 7,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
 𝑀𝑥2 =
𝑝2𝐿𝑥
2
8
=
7,2 × 3,352
8
= 10,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Laboratório: 
Fora da faixa ABCD, Figura AII.3.b 
40 
 
𝑀𝑥3 =
𝑝3𝐿𝑥
2
8
=
6,6 × 3,352
8
= 9,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Na faixa ABCD, Figura AII.3.b 
𝑀𝑥4 =
𝑝4𝐿𝑥
2
8
=
8,2 × 3,352
8
= 11,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Momento de Reforço de armadura na faixa de distribuição da carga da parede 
𝑃𝑝𝑎𝑟 = 𝛾𝑚𝑎𝑡 × 𝑒𝑝𝑎𝑟 × ℎ𝑝𝑎𝑟 = 13,0 × 0,15 × 2,60 = 5,07 𝑘𝑁/𝑚 
𝑀𝑥 = 1,1 × 𝑃𝑝𝑎𝑟 × 𝐿𝑥 = 1,1 × 5,07 × 3,35 = 18,7 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Nas duas direções na faixa de distribuição da parede 
A carregamento de serviço da laje sobre o vigamento consta na Figura AIII.3.a e 
aquela correspondente à Combinação Normal Última de Ações na Figura AIII.3.b. 
 
Figura AIII.3 
Exercícios Propostos 
Exercício PIII.1 - Calcular os esforços na laje de concreto armado da Figura PIII.1 
destinada a piso de refeitório, que será revestido com lajotas cerâmicas de 8 mm de 
espessura, assentadas sobre leito de argamassa de cimento areia e cal de 15 mm 
de espessura, esta última, também usada para revestir o teto do pavimento inferior. 
41 
 
 
Figura PIII.1 
 
Exercício PIII.2 - Calcular os esforços na laje da Figura PIII.2, de concreto armado, 
se a paredeque separa os dois ambientes é de alvenaria singela vazada de 3,20 m 
de altura. Os pisos serão revestidos com lajotas cerâmicas de 8 mm de espessura, 
sobre leito de argamassa de cimento Portland, areia e cal de 15 mm de espessura, 
esta última, também utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
 
Figura PIII.3 
 
42 
 
3.4 – Painéis de Lajes Armados nas Duas Direções 
 Na hipótese de a razão entre o comprimento do vão maior e o do vão menor 
de um painel de laje for inferior a 2, os momentos fletores na direção “y” apresentam 
intensidade considerável, de modo que eles devem ser armados nas duas direções 
ou em cruz, Figura 29. 
Neste caso, convém ressaltar a possibilidade de duas situações distintas, 
sendo uma, aquela de lajes apoiadas em leito indeslocável e, a outra, aquelas 
apoiadas em membros estruturais deslocáveis. 
 
 
Figura 29 
3.3.1 – Lajes apoiadas em leitos indeslocáveis 
Na prática, a condição de laje apoiada em elementos indeslocáveis pode ser 
considerada nos casos de lajes sem rigidez à torção ou se desprovidas de recursos 
que ofereçam restrição à separação de seu bordo do elemento de apoio, Figuras 
43 
 
30.a e 30.b. Outro caso se refere às lajes isentas de armadura de canto e 
concretadas monoliticamente às vigas de apoio, Figura 30.c. Vale ressaltar que, 
neste último caso costumam ocorrer fissuras nos cantos da laje, fato que pode ser 
desfavorável em ambientes expostos às intempéries, face à probabilidade de 
comprometimento da durabilidade. Em lajes de grandes vãos convém adotar-se armadura 
mínima nos cantos simplesmente apoiados 
 
Figura 30 
 Na maioria dos casos da prática da indústria da construção civil, as lajes 
maciças de concreto armado são utilizadas, associadamente, a vigas constituídas 
desse mesmo material que lhe servem de apoio e, evidentemente, apresentam certa 
flexibilidade, o que a classificaria como apoio deslocável. Entretanto, em grande 
parte das estruturas, de comprimentos de vãos e sobrecargas moderados, a rigidez 
do conjunto é suficiente para tratar as vigas como se elementos rígidos fossem. 
 Dentre os modelos destinados ao cálculo de esforços destaca-se o Método 
das Grelhas. 
 Antes de abordar o modelo referente ao método das grelhas convém 
relembrar o conceito estrutural de grelhas, que consiste em sistema estrutural 
formado a partir de conjunto de barras reticulares contidas em um plano, 
interconectadas rigidamente, cujo carregamento é normal ao plano que as contém, 
Figura 31. 
44 
 
 
Figura 31 
 Conforme o Método das Grelhas, a laje é concebida como sendo um conjunto 
de faixas justapostas independentes, Figura 32, e livres de interação lateral 
mediante tensão cisalhante com a faixa vizinha. Para efeito de cálculo de esforços 
cada uma dessas faixas é modelada pelo seu eixo longitudinal passando no centro 
de gravidade, linhas em tom azul da Figura 32.b, formando em seu conjunto uma 
grelha. 
Uma vez destacando-se a superfície limítrofe entre duas faixas adjacentes e 
justapostas, Figura 33, o que o modelo concernente ao Método das Grelhas prevê é 
a desconsideração da tensão cisalhante . 
 
Figura 32 
45 
 
 
Figura 33 
As barras da grelha correspondentes às duas faixas centrais mutuamente 
perpendiculares, Figura 34.a, definem a grelha elementar da Figura 34.b que é 
tomada como referência para efeito de cálculo dos esforços. A análise estrutural da 
grelha da Figura 34.b permite definir as parcelas da carga total “p” kx e ky, 
coeficientes adimensionais, com os quais calculam-se as cargas px e py que serão 
distribuídas na laje segundo as direções “x” e “y”, respectivamente, na forma: 
𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝  𝑝𝑦 = 𝑘𝑦𝑝 (1) 
 
Figura 34 
46 
 
Assim, para os painéis de laje da Figura 35, os deslocamentos do ponto E 
calculados através da análise estrutural da barra idealizada FG, cujo eixo 
longitudinal alinha-se com a direção “x”, tem de ser igual seu valor calculado 
mediante a análise da barra HJ, para a qual eixo longitudinal é paralelo à direção “y”. 
A equação do deslocamento transversal do ponto E para a barra FG será: 
𝛿𝐸 = 𝐶𝑝𝑥𝐿𝑥
4 
E para a barra HJ será: 
𝛿𝐸 = 𝐶𝑝𝑦𝐿𝑦
4 
Conforme a condição de compatibilidade de deslocamentos: 
𝐶𝑝𝑥𝐿𝑥
4 = 𝐶𝑝𝑦𝐿𝑦
4 (2) 
Substituindo-se as equações 1 na Equação 2 resulta: 
𝐶𝑘𝑥𝑝 𝐿𝑥
4 = 𝐶𝑘𝑦𝑝𝐿𝑦
4 ⇒ 𝑘𝑥𝐿𝑥
4 = 𝑘𝑦𝐿𝑦
4 (3) 
 
Figura 35 
Mas: 
𝑝 = 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦 = 𝑘𝑥𝑝 + 𝑘𝑦𝑝 = (𝑘𝑥 + 𝑘𝑦)𝑝 ∴ 𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 = 1  𝑘𝑥 = 1 − 𝑘𝑦 (4) 
Substituindo-se a equação 4 na equação 3 obtém-se: 
47 
 
(1 − 𝑘𝑦)𝐿𝑥
4 = 𝑘𝑦𝐿𝑦
4 ⇒ 𝑘𝑦 = 
1
1 + (𝐿𝑦 𝐿𝑥⁄ )
4 = 
1
1 + 𝜆4
 (5) 
Uma vez tendo sido definido os valores das parcelas de carga os esforços podem 
ser calculados a partir da análise estrutural das barras FG e HJ da Figura 35. 
Observe-se que neste caso, fazendo-se λ = 2 ter-se-ia: 
𝑘𝑦 = 
1
1 + 24
≈ 0,06 = 6% 
E, consequentemente o valor da carga py é muito menor do que a intensidade da 
carga px. Para valores maiores de λ este percentual seria menor ainda, assim, para 
valores de λ não inferiores a 2 a laje pode ser calculada como se armada apenas na 
direção x, como praticamos na seção 3.3 deste trabalho. 
Aplicando-se raciocínio análogo para o painel de laje com as condições de 
bordo da Figura 36 obtém-se: 
𝑘𝑦 = 
1
1 + 5𝜆4
 
Considerando-se neste caso se λ = 2 tem-se: 
𝑘𝑦 = 
1
1 + 5 × 24
< 0,013 = 1,3% 
De modo que a carga py é desprezível se comparada à intensidade da carga px 
48 
 
 
Figura 36 
Aplicando-se raciocínio idêntico para o painel de laje com as condições de 
bordo da Figura 37.a obtém-se: 
𝑘𝑦 = 
5
5 + 𝜆4
 
Considerando-se neste caso se λ = 2 tem-se: 
𝑘𝑦 = 
5
5 + 24
= 0,238 = 23,8% 
E, neste caso, a carga py apresenta intensidade significativa devendo a laje 
ser calculada na condição armada nas duas direções. 
Por razão idêntica aos painéis de laje que apresentam as condições de bordo 
das Figuras 37.b e 37.c, também têm de ser armadas em cruz. 
49 
 
 
Figura 37 
Formulação Prática 
A formulação apresentada logo adiante foi desenvolvida com base Método 
das Grelhas e é voltada para o propósito de agilizar o cálculo manual de esfoços em 
lajes. 
Para sua aplicação, se: 
 = 
𝐿𝑦
𝐿𝑥
 
O vão de comprimento Lx não é necessáriamente o vão de menor 
comprimento. Deve ser sempre considerado como sendo o vão na direção de maior 
rigidez á flexão assim caracterizado a partir da consideração das condições de 
bordo da laje. As vigas da Figura 38 estão apresentadas em ordem decrescente de 
rigidez à flexão. Tomando por base as orientações formuladas neste parágrafo, a 
definição das direções dos vãos dos painéis de laje devem ser como indicado nas 
Figuras 39.a, 39.b e 39.c. Quanto ao caso do painél de laje da Figura 39.d, a 
princípio as direções podem ser como ali está indicada, entetanto, na hipótese de 
resultar para o vão Lx comprimento muito maior que o comprimento do vão Ly pode 
ser aconselhável calcular o painél seguindo tal orientação, inverter as direções dos 
vãos, ou seja, permutar Lx com Ly e adotar os valores mais conservadores para os 
esforços. 
50 
 
 
Figura 38 
Na hipótese de o painel de laje apresentar a mesma condição de vinculação nos 
quatro bordos então a direção de maior rigidez à flexão será, evidentemente, aquela 
correspondente ao menor comprimento do vão. 
 
Figura 39 
 Em face de a laje representar corpo sólido para cujo cálculo necessitar-se a 
consideração de seu trabalho mecânico em duas direções, sua rigidez à flexão deve 
abranger sua deformabilidade nas duas direções. Assim, se o material trabalhar no 
regime elático, ela deve ser expressa mediante: 
𝐷 = 
𝐸𝑐𝑠𝑏ℎ
3
12(1 − 𝜐2)(6) 
Uma vez que, para se cálculo, a laje será modelada tal uma viga chata, com 
seção transversal retangular de largura igual a 1,00 m e altura igual á sua espessura 
h a Equação 6 pode ser usada na forma: 
𝐷 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ
3
12(1 − 𝜐2)
 
O deslocamento vertical de um ponto localizado ao centro do vão do painel de 
laje apresentado no instante do carregament é dado por: 
𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 = 𝑤𝑐
𝑝𝐿𝑥
4
𝐷
 (7) 
51 
 
Sendo wc um parâmetro adimensional que será obtido a partir de uma 
equação cuja forma depende das condições de bordo do painél de laje. 
Os Momentos Fletores Positivos ao centro da laje, Figura 40.a, serão dados 
mediante: 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥 𝑝𝐿𝑥
2  𝑀𝑦 = 𝑚𝑦 𝑝𝐿𝑥
2 (8) 
Enquanto os Momentos Fletores Negativos ao longo dos bordos engastados 
da laje, Figura 40.b, devem ser determinados a partir das expressões: 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒 𝑝𝐿𝑥
2  𝑀𝑦𝑒 = 𝑚𝑦𝑒 𝑝𝐿𝑥
2 (9) 
Nas equações 8 e 9 mx, my, mxe e mye também representam parâmetros 
adimensionais determinados a partir de equações cuja forma depende das 
condições de bordo do painél de laje. 
As reações de apoio, por sua vez, que ao final serão iguais em intensidade 
aos esforços cortantes ao longo do bordos das lajes, Figura 40, serão dadas 
mediante: 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥 𝑝𝐿𝑥; 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦 𝑝𝐿𝑥; 𝑅𝑥𝑒 = 𝑟𝑥𝑒 𝑝𝐿𝑥  𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒 𝑝𝐿𝑥 (10) 
Observe-se o quão simplificadas são as Equações 8 , 9, 10, pois, nas 
Equações 8 e 9 aparecem em ambas o termo 𝑝𝐿𝑥
2 enquanto em ambas as Equações 
10 aparece o termo 𝑝𝐿𝑥. 
 
Figura 40 
Onde rx, ry, rxe e rye devem ser obtidos de maneira similar àquela que resulta 
em mx, my, mxe e mye. 
52 
 
Se o painél de laje apresentar as condições de bordo do caso 1, Figura 41, 
considrando-se as equações 4 e 5 ter-se-á: 
 𝑘𝑥 = 1 − 𝑘𝑦 = 1 −
1
1 + 𝜆4
= 
𝜆4
1 + 𝜆4
 
Considerando-se a forma da equação 7 e a expressão do deslocamento ao 
centro do vão para uma barra biapoiada solicitada mediante carga uniformemente 
distribuida ao longo de toda a sua extensão longitudinal, o deslocamento ao centro 
do vão do painél da laje seria dado por: 
𝑊 = 𝑤𝑐
𝑝𝐿𝑥
4
𝐷
= 
5𝑘𝑥
384
𝑝𝐿𝑥
4
𝐷
 
De modo que: 
𝑤𝑐 = 
5𝑘𝑥
384
 
Considerando-se a forma das equações 8 e a expressão do Momento Fletor 
ao centro do vão para uma barra biapoiada solicitada mediante carga uniformemente 
distribuida ao longo de toda a sua extensão longitudinal, então: 
𝑀𝑥 = 
𝑝𝑥𝐿𝑥
2
8
=
𝑘𝑥
8
𝑝𝐿𝑥
2 = 𝑚𝑥 𝑝𝐿𝑥
2  𝑀𝑦 = 
𝑝𝑦𝐿𝑦
2
8
=
𝜆2𝑘𝑦
8
𝑝𝐿𝑥
2 = 𝑚𝑦 𝑝𝐿𝑥
2 
De modo que resultam: 
𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
8
 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
8
 
 
Em consequencia da forma das equações 10 e da expressão para a Reação 
de apoio de uma barra biapoiada solicitada mediante carga uniformemente 
distribuida ao longo de toda a sua extensão longitudinal, ter-se-ia: 
𝑅𝑦 = 
𝑝𝑥𝐿𝑥
2
=
𝑘𝑥
2
𝑝𝐿𝑥 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥  𝑅𝑥 = 
𝑝𝑦𝐿𝑦
2
= 𝑘𝑦
𝜆
2
𝑝𝐿𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 
De modo que resultam: 
53 
 
 𝑟𝑥 = 𝑘𝑦
𝜆
2
  𝑟𝑦 = 
𝑘𝑥
2
 
Adotando-se raciocínio análogo obtém-se para o caso 2: 
 𝑘𝑥 = 
5𝜆4
2+ 5𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
2𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
14,22
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
8
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
8
 
 𝑟𝑥 = 𝑘𝑦
𝜆
2
 ; 𝑟𝑦 = 
3𝑘𝑥
8
; 𝑟𝑦𝑒 = 
5𝑘𝑥
8
 
Para o caso 3 resulta: 
 𝑘𝑥 = 
5𝜆4
1+ 5𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
24
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
8
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
12
 
 𝑟𝑥 = 𝑘𝑦
𝜆
2
  𝑟𝑦𝑒 = 
𝑘𝑥
2
 
Para o caso 4: 
 𝑘𝑥 = 
𝜆4
1+ 𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
2𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
14,22
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
14,22
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
8
; 𝑚𝑦𝑒 = −𝑘𝑦
𝜆2
8
 
 𝑟𝑥 = 3𝑘𝑦
𝜆
8
 ; 𝑟𝑦 = 
3𝑘𝑥
8
; 𝑟𝑥𝑒 = 5𝑘𝑦
𝜆
8
 ; 𝑟𝑦𝑒 = 
5𝑘𝑥
8
 
Para o caso 5: 
 𝑘𝑥 = 
2𝜆4
1+ 2𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
24
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
14,22
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
12
; 𝑚𝑦𝑒 = −𝑘𝑦
𝜆2
8
 
 𝑟𝑥 = 3𝑘𝑦
𝜆
8
 ; 𝑟𝑦 = 
𝑘𝑥
2
; 𝑟𝑥𝑒 = 5𝑘𝑦
𝜆
8
 
 
E, para o caso 6: 
 𝑘𝑥 = 
𝜆4
1+ 𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
24
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
24
; 𝑚𝑥𝑒 = −
𝑘𝑥
12
; 𝑚𝑦𝑒 = −𝑘𝑦
𝜆2
12
 
 𝑟𝑥𝑒 = 𝑘𝑦
𝜆
2
 ; 𝑟𝑦𝑒 = 
𝑘𝑥
2
 
54 
 
 
Figura 41 
Exercicio III.3 - Calcular os esforços na laje destinada a piso de garagem em 
concreto armado, Figura AIII.4, apoiadas sobre elementos rígidos, sabendo-se que 
será utilizada por veículo de peso superior a 30 kN, e seu piso será revestido com 
lajotas cerâmicas de 8 mm de espessura, assentadas sobre leito constituído de 
argamassa de cimento Portland areia e cal de 25 mm de espessura, esta última, 
também utilizada para revestir o teto do pavimento inferior à garagem. 
Resolução: 
Para a espessura da laje será adotado o valor h = 120 mm atendendo aos requisitos 
de espessura mínima, recomendados pela NBR 6118/2014. 
Para efeito de cálculo das cargas referentes às ações permanentes serão adotados 
os valores dos pesos específicos indicados na tabela 1. 
O peso próprio será então: 
𝑃. 𝑝. = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 × ℎ = 25,0 × 0,12 = 3,0 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga referente ao revestimento do teto do pavimento Inferior à garagem será 
essencialmente devida ao peso da argamassa, e, portanto: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 = 𝛾𝑎𝑟𝑔 × 𝑒𝑎𝑟𝑔 = 19,0 × 0,025 = 0,475 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga referente ao revestimento do piso da garagem além do peso da argamassa 
de regularização e assentamento, incluirá o peso das lajotas, dado por: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 𝛾𝑐𝑒𝑟 × 𝑒𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 18,0 × 0,008 = 0,144 𝑘𝑁/𝑚
2 
Assim, a carga correspondente ao revestimento do piso será: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣𝑝𝑖𝑠𝑜 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑙𝑎𝑗𝑜𝑡𝑎 = 0,475 + 0,144 = 0,619 𝑘𝑁/𝑚
2 
55 
 
A carga correspondente ao revestimento do conjunto piso e teto é: 
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑎𝑟𝑔 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣𝑝𝑖𝑠𝑜 = 0,475 + 0,619 = 1,094 𝑘𝑁/𝑚
2 
A carga permanente deve ser a soma do peso próprio da laje com a carga referente 
ao seu revestimento, e, assim, será: 
𝑔 = 𝑃. 𝑝. + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟𝑒𝑣 = 3,0 + 1,094 = 4,094 𝑘𝑁/𝑚
2 ≈ 4,1 𝑘𝑁/𝑚2 
 
Figura AIII.4 
A NBR 6120/2003 não contempla em sua redação informação a respeito de 
carga de utilização aplicável ao presente caso por esta razão, o autor deste trabalho 
precisou recorrer a uma estimativa tomando por base a experiência em trabalhos 
similares, da qual resultou para a carga de utilização o valor: 
𝑞 = 5,0 𝑘𝑁/𝑚2 
Neste trabalho justifica-se a consideração da Combinação Quase Frequente 
de ações e da Combinação Normal Última de Ações. A consideração da primeira 
justifica-se pelo fato de no presente caso só ser necessário verificar o Estado Limite 
de Deformações Excessivas, e, não está relatada possibilidade de oscilações 
térmicas ou ação do vento que possam comprometer vedações, e, em casos dessa 
natureza a NBR 6118/2014 recomenda, especificamente, adotá-la. As Combinações 
56 
 
Últimas de Ações devem ser aplicadas no dimensionamento de seções transversais 
de concreto armado. A combinação Última Normal de Ações é aplicável a todos os 
casos, e, uma vez que não há informações de ocorrência de Ações de Construção, 
Ações Especiais ou Ações Excepcionais relevantes, apenas, esta combinação de 
ações precisa ser considerada. 
A Combinação Quase Permanente de Serviço: 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗 = 𝒈 + 𝝍𝟐𝒒 = 4,094 + 0,6 × 5,0 ≈ 𝟕, 𝟏 𝒌𝑵/𝒎
𝟐 
Combinação Última Normal de Ações: 
𝒑 = 𝒈 + 𝒒 = 4,094 + 5,0 = 9,094 𝑘𝑁/𝑚2 ≈ 9,1 𝑘𝑁/𝑚2 
A laje enquadra-se no caso 1 
Comprimentos dos vãos: 0,6h = 0,6x0,12 = 0,072 m 
𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟕𝟐 = 𝟔, 𝟎𝟕𝟐 𝒎 → 𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟏𝟓 𝒎 
𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟎𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟕𝟐 = 𝟕, 𝟎𝟕𝟐 𝒎 → 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
A relação entre os vãos: 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
6,15
= 1,1626 
 
Parâmetros Adimensionais 
𝒌𝒙 =
𝝀𝟒
𝟏 + 𝝀𝟒=
𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟒
𝟏 + 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟒
= 𝟎, 𝟔𝟒𝟔 = 𝟎, 𝟔𝟓 
𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟔𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟓 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟖
=
𝟎, 𝟔𝟓
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟖𝟏𝟐𝟓 
𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟑𝟓 ×
𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟔 
𝒓𝒙 =
𝒌𝒚𝝀
𝟐
=
𝟎, 𝟑𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔
𝟐
= 𝟎, 𝟐𝟎𝟑𝟓; 𝒓𝒚 =
𝒌𝒙
𝟐
=
𝟎, 𝟔𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟑𝟐𝟓 
Multiplicadores de esforços 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗𝑳𝒙 = 𝟕, 𝟏 × 𝟔, 𝟏𝟓 = 𝟒𝟑, 𝟕; 𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗𝑳𝒙
𝟐 = 𝟕, 𝟏 × 𝟔, 𝟏𝟓𝟐 = 𝟐𝟔𝟖, 𝟔 
57 
 
𝒑𝑳𝒙 = 𝟗, 𝟏 × 𝟔, 𝟏𝟓 = 𝟓𝟔, 𝟎; 𝒑𝑳𝒙
𝟐 = 𝟗, 𝟏 × 𝟔, 𝟏𝟓𝟐 = 𝟑𝟒𝟒, 𝟐 
Para o carregamento de serviço, as reações de apoio serão: 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,2035 × 43,7 = 8,94 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,325 × 43,7 =14,3 kN/m 
Para os Momentos Fletores resultam: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,08125 × 268,6 = 21,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,06 × 268,6 = 16,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Para o carregamento referente à Combinação Última Normal de Ações, as Reações 
de apoio devem ser: 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,2035 × 56 = 11,4 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥 = 0,325 × 56 =18,2 kN/m 
Enquanto para os Momentos Fletores ter-se-á: 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,08125 × 344,2 = 28,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,06 × 344,2 = 20,7 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Exercicio III.4 - Calcular os esforços na laje da Figura AIII.5, apoiada sobre vigas 
rígidas, considerando que será solicitada mediante um carregamento de serviço 
correspondente a uma carga uniformemente distribuída em toda a sua extensão de 
7,0 kN/m2 de intensidade e um carregamento referente à Combinação Normal de 
Ações de intensidade igual a 9, 0 kN/m2. 
Resolução: 
As duas lajes enquadram-se no caso 2, pois, são iguais e do tipo da Figura AIII.6. 
 Comprimentos dos vãos 
𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟏𝟓 𝒎 𝒆 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
A relação entre os vãos: 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
6,15
= 1,1626 
Parâmetros Adimensionais: 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟒
= 𝟎, 𝟖𝟐; 𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟖 
58 
 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟒
=
𝟎, 𝟖𝟐
𝟏𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟔; 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟏𝟖 ×
𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟒 
 𝒎𝒙𝒆 = −
𝒌𝒙
𝟖
= −
𝟎, 𝟖𝟐
𝟖
= −𝟎, 𝟏𝟎𝟐𝟓 
𝒓𝒙 =
𝒌𝒚𝝀
𝟐
=
𝟎, 𝟏𝟖 × 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝟔
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟓; 𝒓𝒚 =
𝟑𝒌𝒙
𝟖
=
𝟑 × 𝟎, 𝟖𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟑𝟎𝟖; 
 𝒓𝒚𝒆 =
𝟓𝒌𝒙
𝟖
=
𝟓 × 𝟎, 𝟖𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟓𝟏𝟑 
 
Figura AIII.5 
 
Figura AIII.6 
59 
 
 
Multiplicadores dos esforços: 
𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗𝑳𝒙 = 𝟕, 𝟎 × 𝟔, 𝟏𝟓 = 𝟒𝟑, 𝟏; 𝒑𝒔𝒆𝒓𝒗𝑳𝒙
𝟐 = 𝟕, 𝟎 × 𝟔, 𝟏𝟓𝟐 = 𝟐𝟔𝟒, 𝟖 
𝒑𝑳𝒙 = 𝟗, 𝟎 × 𝟔, 𝟏𝟓 = 𝟓𝟓, 𝟒; 𝒑𝑳𝒙
𝟐 = 𝟗, 𝟎 × 𝟔, 𝟏𝟓𝟐 = 𝟑𝟒𝟎, 𝟓 
Para o carregamento de serviço, as reações de apoio serão: 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,105 × 43,1 = 4,6 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,308 × 43,1 = 13,3 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,513 × 43,1 = 22,2 𝑘𝑁 
Para os Momentos Fletores resultam: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,0586 × 264,8 = 15,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,0304 × 264,8 = 8,1𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,1025 × 264,8 = −27,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Para o carregamento referente à Combinação Última Normal de Ações, por sua vez, 
as Reações de apoio devem ser: 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,105 × 55,4 = 5,9 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥 = 0,308 × 55,4 = 17,1 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝐿𝑥 = 0,513 × 55,4 = 28,5 𝑘𝑁/𝑚 
As intensidades dos Momentos Fletores serão: 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,0586 × 340,5 = 20,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,0304 × 340,5 = 10,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,1025 × 340,5 = −35,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
Exercício PIII.3 - Calcular os esforços na laje da Figura PIII.3, de concreto armado, 
apoiadas sobre elementos rígidos, se os pisos serão revestidos com lajotas 
cerâmicas de 8 mm de espessura, sobre leito de argamassa de cimento Portland, 
areia e cal de 15 mm de espessura, esta última, também utilizada para revestir o teto 
do pavimento inferior. 
60 
 
 
Figura PIII.3 
Compensação dos momentos 
O bordo comum de dois painéis coplanares contíguos de lajes, enquanto 
membros isolados, devem ser modelados como se ligado através de engastamento 
perfeito. As intensidades dos momentos calculados nos referidos bordos 
considerando o trabalhos mecãnico individual de cada um desses painéis são, em 
geral, diferentes, Figura 42. Diante de tal fato, faz-se necessário proceder à 
compensação de tais momentos, para assim,simular, devidamente, a continuidade 
desses dois painéis de laje. 
A compensação dos momentos negativos no bordo comum de dois painéis de 
laje coplanares contíguos é realizado de forma a adotar-se o maior entre os dois 
valores pata tal momento: 
𝑀𝑒 = 
𝑀𝑒1 + 𝑀𝑒2
2
  𝑀𝑒 = 0,8 × max (𝑀𝑒1; 𝑀𝑒2) 
Este procedimento só é aplicável quando os comprimentos dos vão das lajes 
adjacentes não forem muito diferentes. Para diferenças superiores ao dobro do 
menor vão o conjunto de painéis adjecentes deve ser considerado com um viga 
continua chata. 
61 
 
Observe-se que, se o valor do momento negativo compensado é menor do 
que a intensidade do maior dos dois momentos calculados para os painéis 
envolvidos considerados individulmente, Figura 42, assim sendo, o momento 
positivo no centro do vão do painél para o qual tenha resultado o maior momento 
negativo deve ser maior de que seu valor calculado para o painél considerado, 
individualmente. Consequentemente, para corrigir esta deficiência é necessário 
compatibilizar o referido momento positivo. Se ocorrer de Me2 > Me1 então o valor 
para o referido momento positivo deveria ser ajustado para: 
𝑀2̅̅ ̅̅ = 𝑀2 + ∆𝑀 
 
Figura 42 
O incremento de momento M deve ser determinado em consonância aos 
postulados da Mecânica do Sólido. 
 
Exercício III.5 - Calcular os esforços na laje da Figura AIII.7 apoiada em vigas 
rígidas, submetidas a carga de serviço de 7,0 kN/m2 e a carregamento referente à 
Combinação Última Normal de Ações de 9,0 kN/m2. 
 
Resolução: 
As lajes enquadram-se no caso 2: 
62 
 
Comprimentos dos vãos 
L1 
𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
L2 
𝑳𝒙 = 𝟓, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
Relação entre os vãos: 
L1 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
6,15
= 1,17 
L2 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
5,15
= 1,39 
 
Figura AIII.7 
 
Parâmetros Adimensionais 
L1 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
= 𝟎, 𝟖𝟑; 𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟕 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟒, 𝟐𝟐
=
𝟎, 𝟖𝟑
𝟏𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟎; 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟏𝟕 ×
𝟏, 𝟏𝟕𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟑𝟎 
63 
 
 𝒎𝒙𝒆 = −
𝒌𝒙
𝟖
= −
𝟎, 𝟖𝟑
𝟖
= −𝟎, 𝟏𝟎𝟒 
𝒓𝒙 =
𝒌𝒚𝝀
𝟐
=
𝟎, 𝟏𝟕 × 𝟏, 𝟏𝟕
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟎; 𝒓𝒚 =
𝟑𝒌𝒙
𝟖
=
𝟑 × 𝟎, 𝟖𝟑
𝟖
= 𝟎, 𝟑𝟏𝟐 
𝒓𝒚𝒆 =
𝟓𝒌𝒙
𝟖
=
𝟓 × 𝟎, 𝟖𝟑
𝟖
= 𝟎, 𝟓𝟏𝟗 
 
L2 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
= 𝟎, 𝟗𝟏 
𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟗 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟒, 𝟐𝟐
=
𝟎, 𝟗𝟏
𝟏𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟓; 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟗 ×
𝟏, 𝟑𝟗𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟐 
𝒎𝒙𝒆 = −
𝒌𝒙
𝟖
= −
𝟎, 𝟗𝟏
𝟖
= −𝟎, 𝟏𝟏𝟒 
𝒓𝒙 =
𝒌𝒚𝝀
𝟐
=
𝟎, 𝟎𝟗 × 𝟏, 𝟑𝟗
𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟑 
𝒓𝒚 =
𝟑𝒌𝒙
𝟖
=
𝟑 × 𝟎, 𝟗𝟏
𝟖
= 𝟎, 𝟑𝟒𝟐; 𝒓𝒚𝒆 =
𝟓𝒌𝒙
𝟖
=
𝟓 × 𝟎, 𝟗𝟏
𝟖
= 𝟎, 𝟓𝟔𝟗 
 
Multiplicadores dos esforços 
L1 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 7,0 × 6,15 = 43,1; 𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 7,0 × 6,152 = 264,8 
𝑝𝐿𝑥 = 9,0 × 6,15 = 55,4; 𝑝𝐿𝑥
2 = 9,0 × 6, 152 = 340,5 
L2 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 7,0 × 5,15 = 36,1; 𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 7,0 × 5,152 = 185,7 
𝑝𝐿𝑥 = 9,0 × 5,15 = 46,4; 𝑝𝐿𝑥
2 = 9,0 × 5, 152 = 238,8 
Esforços referentes à carga de serviço: 
Reações nos apoios: 
L1 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,100 × 43,1 = 4,4 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,312 × 43,1 = 13,5 𝑘𝑁/𝑚 
64 
 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,519 × 43,1 = 22,4 𝑘𝑁/𝑚 
L2𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,063 × 36,1 = 2,3 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,342 × 36,1 = 12,4 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,569 × 36,1 = 20,6 𝑘𝑁/𝑚 
 
Momentos Fletores: 
L1 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,060 × 264,8 = 15,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,030 × 264,8 = 8,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,104 × 264,8 = −27,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,065 × 185,7 = 11,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,022 × 185,7 = 4,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,114 × 185,7 = −21,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Esforços referentes à Combinação Última: 
Reações nos apoios: 
L1 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,100 × 55,4 = 5,6 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥 = 0,312 × 55,4 = 17,3 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝐿𝑥 = 0,519 × 55,4 = 28,8 𝑘𝑁/𝑚 
L2 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,063 × 46,4 = 3,0 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥 = 0,342 × 46,4 = 15,9 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝐿𝑥 = 0,569 × 46,4 = 26,5 𝑘𝑁/𝑚 
Momentos Fletores: 
L1 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,060 × 340,5 = 20,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
65 
 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,030 × 340,5 = 10,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,104 × 340,5 = −35,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,065 × 238,8 = 15,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,022 × 238,8 = 5,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,114 × 238,8 = −27,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
Compensação de Momentos: 
Ações de Serviço: 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 =
𝑀𝑥𝑒1𝑠𝑒𝑟𝑣 + 𝑀𝑥𝑒2𝑠𝑒𝑟𝑣
2
=
−27,6 + (−21,2)
2
= −24,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,8max (𝑀𝑥𝑒1𝑠𝑒𝑟𝑣, 𝑀𝑥𝑒2𝑠𝑒𝑟𝑣) = 0,8max (−27,6; −21,2) 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8 × (−27,6) = −22,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑴𝒙𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗 = −24,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Combinação Última: 
𝑀𝑥𝑒 =
𝑀𝑥𝑒1 + 𝑀𝑥𝑒2
2
=
−35,5 + (−27,3)
2
= −31,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8max (𝑀𝑥𝑒1, 𝑀𝑥𝑒2) = 0,8max (−35,5; −27,3) 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8 × (−35,5) = −28,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑴𝒙𝒆 = −𝟑𝟏, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
Compatibilização dos momentos positivos: 
O cálculo do momento positivo final pode ser realizado com base na Figura AIII.8. A 
partir do conceito de semelhança de triângulos deduz-se que: 
∆𝑀 = ∆𝑀𝑒 𝑥 𝐿⁄ 
 
Para este exercício a laje que apresenta maior momento negativo previamente à 
compensação é L1. 
Ações de Serviço: 
66 
 
Parcelas de carga na direção x: 
𝑝𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑘𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,83 × 7,0 = 5,9 𝑘𝑁/𝑚
2 
𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝 = 0,83 × 9,0 = 7,5 𝑘𝑁/𝑚
2 
Posição da seção onde se dá o momento máximo positivo: 
𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣
𝑝𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣
= 
13,5
5,9
= 2,3 𝑚 
𝑥 = 
𝑅𝑦
𝑝𝑥
= 
17,3
7,5
= 2,4 𝑚 
Redução dos momentos negativos mediante a compensação: 
∆𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 27,6 − 24,4 = 3,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
∆𝑀𝑥𝑒 = 35,5 − 31,4 = 4,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Aumento no momento positivo: 
∆𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 3,2 ×
2,3
6,15
= 1,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
∆𝑀𝑥 = 4,1 ×
2,4
6,15
= 1,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Momento positivo final: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 15,9 + 1,2 = 17,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥 = 20,5 + 1,6 = 22,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
A Tabela AIII.1 apresenta sumário comparativo dos esforços na Laje 1 entre as 
condições de cálculo de painel isolado e com os momentos , devidamente, 
compensados. 
 
Tabela AIII.1 
Laje 1 Isoladamente Compensado 
Mx 20,5 kNm/m 𝟐𝟐, 𝟏 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
Mxe -35,5 kNm/m -31,4 kNm/m 
 
67 
 
 
Figura AIII.8 
Exercício PIII.4 - Calcular os esforços na laje da Figura PIII.4, de concreto armado, 
apoiadas sobre vigas rígidas, se os pisos serão revestidos em lajotas cerâmicas de 
8 mm de espessura, assentadas sobre leito de argamassa de cimento Portland, 
areia e cal de 15 mm de espessura, esta última, também utilizada para revestir o teto 
do pavimento inferior. 
 
Figura PIII.4 
Sugestão: Adotar os mesmos carregamentos do exercício proposto PIII.3 
 
Método de Marcos 
Este método representa um ajuste do Método das Grelhas para a inclusão 
dos efeitos decorrentes da torção da laje. 
68 
 
A rigidez da torção da laje contribui para a atenuação de sua curvatura, 
consequentemente, a consideração de tal rigidez resulta em momentos Fletores 
Positivos e Delocamentos Verticais menores. Assim, conforme o método, os 
referidos momentos são reduzidos mediante os coeficientes adimensionais: 
𝐶𝑥 = 1 − 
20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆2
 𝑒 𝐶𝑦 = 1 − 
20𝑘𝑦𝜆
2
3𝛼𝑦
 
Os parâmetros adimensionais αx e αy dependem das condições de bordo do 
painel isolado considerado. Se na direção considerada o painel for biapoiado fazê-lo 
igual a 8. Se for engastado em uma extremidade e apoiado na outra adotar valor 
igual a 14,22, e, se for biengastado admiti-lo igual a 24. 
As intensidades dos momentos positivos devem então ser recalculados 
mediante a forma: 
𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥 𝑒 𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 
Em considerando-se a rigidez à torção a fissuração nos cantos da laje é 
considerável, necessitando da adoção de armadura de canto. As reações de apoio 
são variáveis, embora possa ser aproximada por ação equivalente distribuida 
uniformemente ao longo dos bordos da laje. Este procedimento baseia-se no Método 
das Linhas de Ruptura ou Método das Charneiras Plástica que prevê quadro de 
fissuração associado à ruptura o concreto bem definido na forma ilustrado na Figura 
43. As linhas de apoio AC e BD, recebem a ação que decorre da carga que solicita 
as áreas I, Figura 43, resultando para a reação: 
𝑅𝑦 = 
𝑝𝐴𝐼
𝐿𝑦
 
Enquanto as linhas de apoio AB e CD, recebem a ação proveniente da carga 
que solicita as áreas II, resultando a reação: 
𝑅𝑥 = 
𝑝𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑥
 
69 
 
Conforme NBR 6118/2014 seção 14.7.6.1, inciso “b”: os ângulos “α” dependem das 
condições de bordo do painel objeto de cálculo que deve ser definido conforme 
orientação da Figura 44. 
 
Figura 43 
 
Figura 44 
 
Exercício III.6 - Calcular os esforços na laje do Exercício III.5 considerando sua 
rigidez à torção. 
Resolução 
As lajes enquadram-se no caso 2: 
Comprimentos dos vãos 
L1 
𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
70 
 
L2 
𝑳𝒙 = 𝟓, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
 
Relação entre os vãos: 
L1 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
6,15
= 1,17 
L2 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
5,15
= 1,39 
 
Parâmetros Adimensionais 
L1 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
= 𝟎, 𝟖𝟑; 𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟕 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟒, 𝟐𝟐
=
𝟎, 𝟖𝟑
𝟏𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟎; 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟏𝟕 ×
𝟏, 𝟏𝟕𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟑𝟎 
 𝒎𝒙𝒆 = −
𝒌𝒙
𝟖
= −
𝟎, 𝟖𝟑
𝟖
= −𝟎, 𝟏𝟎𝟒 
𝐶𝑥 = 1 − 
20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆2
 = 1 − 
20 × 0,83
3 × 14 × 1,172
= 0,72 
𝐶𝑦 = 1 − 
20𝑘𝑦𝜆
2
3𝛼𝑦
= 1 − 
20 × 0,17 × 1,172
3 × 8
= 0,81 
L2 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
= 𝟎, 𝟗𝟏 
𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟗 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟒
=
𝟎, 𝟗𝟏
𝟏𝟒
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟓; 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟗 ×
𝟏, 𝟑𝟗𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟐 
𝒎𝒙𝒆 = −
𝒌𝒙
𝟖
= −
𝟎, 𝟗𝟏
𝟖
= −𝟎, 𝟏𝟏𝟒 
𝐶𝑥 = 1 − 
20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆2
 = 1 − 
20 × 0,91
3 × 14 × 1,392
= 0,78 
71 
 
𝐶𝑦 = 1 − 
20𝑘𝑦𝜆
2
3𝛼𝑦
= 1 − 
20 × 0,09 × 1,392
3 × 8
= 0,86 
 
Multiplicadores dos esforços 
L1 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 7,0 × 6,152 = 264,8; 𝑝𝐿𝑥
2 = 9,0 × 6, 152 = 340,5 
L2 
 𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 7,0 × 5,152 = 185,7; 𝑝𝐿𝑥
2 = 9,0 × 5, 152 = 238,8 
O cálculo das áreas das charneiras plásticas será baseado no desenho esquemático 
da Figura AIII.9: 
𝑥1 = 0,634𝐿𝑥 
𝑦 = 𝑥2 = 0,366𝐿𝑥 
𝐴𝐼 = (𝐿𝑦 − 𝑦)𝑥2 
𝐴𝐼𝐼 = (𝐿𝑦 − 𝑦)𝑥1 
𝐴𝐼𝐼𝐼 = 𝑦𝐿𝑥/2 
L1 
𝑥1 = 0,634 × 6,15 = 3,90 
𝑦 = 𝑥2 = 0,366 × 6,15 = 2,26 
𝐴𝐼 = (7,15 − 2,26) × 2,26 = 11,1 
𝐴𝐼𝐼 = (7,15 − 2,26) × 3,9 = 19,1 
𝐴𝐼𝐼𝐼 = 2,26 ×
6,15
2
= 7,0 
L2 
𝑥1 = 0,634 × 5,15 = 3,27 
𝑦 = 𝑥2 = 0,366 × 5,15 = 1,89 
𝐴𝐼 = (7,15 − 1,89) × 1,89 = 10,0 
𝐴𝐼𝐼 = (7,15 − 1,89) × 3,27 = 17,3 
72 
 
𝐴𝐼𝐼𝐼 = 1,89 ×
5,15
2
= 4,9 
 
Esforços referentes à carga de serviço: 
Reações nos apoios: 
L1 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼𝐼𝐼
𝐿𝑥
= 
7,0 × 7,0
6,15
= 8,0𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼
𝐿𝑦
= 
7,0 × 11,1
7,15
= 10,9 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑦
= 
7,0 × 19,1
7,15
= 18,7 𝑘𝑁/𝑚 
L2 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼𝐼𝐼
𝐿𝑥
= 
7,0 × 4,9
5,15
= 6,7 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼
𝐿𝑦
= 
7,0 × 10,0
7,15
= 9,8 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑦
= 
7,0 × 17,20
7,15
= 16,9 𝑘𝑁/𝑚 
 
Momentos Fletores: 
L1 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,060 × 264,8 = 15,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,030 × 264,8 = 8,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,104 × 264,8 = −27,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑜𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝐶𝑥𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,72 × 15,9 = 11,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑜𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝐶𝑦𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,8 × 8,0 = 6,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,065 × 185,7 = 11,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,022 × 185,7 = 4,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,114 × 185,7 = −21,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
73 
 
𝑀𝑥𝑜𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝐶𝑥𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,78 × 11,9 = 9,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑜𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝐶𝑦𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,86 × 4,1 = 3,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
Figura AIII.9 
 
Esforços referentes à Combinação Última: 
Reações nos apoios: 
L1 
𝑅𝑥 =
𝑝𝐴𝐼𝐼𝐼
𝐿𝑥
= 
9,0 × 7,0
6,15
= 10,3 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦 =
𝑝𝐴𝐼
𝐿𝑦
= 
9,0 × 11,1
7,15
= 14,0 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 =
𝑝𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑦
= 
9,0 × 19,1
7,15
= 24,1 𝑘𝑁/𝑚 
L2 
𝑅𝑥 =
𝑝𝐴𝐼𝐼𝐼
𝐿𝑥
= 
9,0 × 4,9
5,15
= 8,6 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦 =
𝑝𝐴𝐼
𝐿𝑦
= 
9,0 × 10,0
7,15
= 12,6 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 =
𝑝𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑦
= 
9,0 × 17,3
7,15
= 21,8 𝑘𝑁/𝑚 
74 
 
Momentos Fletores: 
L1 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,060 × 340,5 = 20,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,030 × 340,5 = 10,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,104 × 340,5 = −35,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥 = 0,72 × 20,5 = 14,8 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 = 0,81 × 10,3 = 8,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,065 × 238,8 = 15,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,022 × 238,8 = 5,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,114 × 238,8 = −27,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥 = 0,78 × 15,6 = 12,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 = 0,86 × 5,3 = 4,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Compensação de Momentos 
Combinação de Serviço 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 =
𝑀𝑥𝑒1𝑠𝑒𝑟𝑣 + 𝑀𝑥𝑒2𝑠𝑒𝑟𝑣
2
=
−27,6 + (−21,2)
2
= −24,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,8max (𝑀𝑥𝑒1𝑠𝑒𝑟𝑣, 𝑀𝑥𝑒2𝑠𝑒𝑟𝑣) = 0,8max (−27,6; −21,2) 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,8 × (−27,6) = −22,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑴𝒙𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗 = −24,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Combinação Última: 
𝑀𝑥𝑒 =
𝑀𝑥𝑒1 + 𝑀𝑥𝑒2
2
=
−35,5 + (−27,3)
2
= −31,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8max (𝑀𝑥𝑒1, 𝑀𝑥𝑒2) = 0,8max (−35,5; −27,3) 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8 × (−35,5) = −28,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑴𝒙𝒆 = −𝟑𝟏, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
 
Compatibilização dos momentos positivos: 
75 
 
O cálculo do momento positivo final pode ser realizado com base na Figura AIII.9. A 
partir do conceito de semelhança de triângulos deduz-se que: 
∆𝑀 = ∆𝑀𝑒 𝑥 𝐿⁄ 
Para este exercício a laje que apresenta maior momento negativo previamente à 
compensação é L1. 
Ações de Serviço: 
Parcelas de carga na direção x: 
𝑝𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑘𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,83 × 7,0 = 5,9 𝑘𝑁/𝑚
2 
𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝 = 0,83 × 9,0 = 7,5 𝑘𝑁/𝑚
2 
Posição da seção onde se dá o momento máximo positivo: 
𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣
𝑝𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣
= 
10,9
5,9
= 1,9 𝑚 
𝑥 = 
𝑅𝑦
𝑝𝑥
= 
14,0
7,5
= 1,9 𝑚 
Redução dos momentos negativos mediante a compensação: 
∆𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 27,6 − 24,4 = 3,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
∆𝑀𝑥𝑒 = 35,5 − 31,4 = 4,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Aumento no momento positivo: 
∆𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 3,2 ×
1,9
6,15
= 1,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
∆𝑀𝑥 = 4,1 ×
1,9
6,15
= 1,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Momento positivo final: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 11,5 + 1,0 = 12,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥 = 14,8 + 1,3 = 16,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
76 
 
Exercício PIII.5 – Idem, PIII.4 considerando a rigidez à torção da laje. 
 
Teoria das Placas 
A Teoria das Placas Delgadas de Kirchhoff é baseada na Teoria Cássica da 
Elasticidade, assim, para seu devido entendimento necessário se faz ressaltar 
algumas entidades de tal complexo de modelagem de aplicação frequente na 
mecânica do contínuo. 
O tensor de tensões associado ao elemento o sólido modelo da Figura 45 
pode ser definido como sendo: 
𝜎 = [
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧
] 
Para o qual x , y e z representam as tensões normais nas direções x, y, e, 
z, e, xy, xz , yx, yz, zx, zy as componentes de tensões cisalhantes em cuja notação 
o primeiro índice refere-se ao eixo que lhe é normal e o segundo à direção com 
respeito ao sistema de eixos coordenados. 
O tensor correspondente de deformações é expresso na forma: 
𝜀 = [
𝜀𝑥 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑧
𝛾𝑦𝑥 𝛾𝑦 𝛾𝑦𝑧
𝛾𝑧𝑥 𝛾𝑧𝑦 𝜀𝑧
] 
Cujos componentes, Figura 46, são definidos a partir de: 
𝜀𝑥 = 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
; 𝜀𝑦 = 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
; 𝜀𝑧 = 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 
𝛾𝑦𝑥 = 𝛾𝑥𝑦 = 𝛾1+ 𝛾2 = 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 
𝛾𝑧𝑥 = 𝛾𝑥𝑧 = 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
; 𝑒, 𝛾𝑧𝑦 = 𝛾𝑦𝑧 = 
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝑣
𝜕𝑧
 
Conforme a lei de Hooke: 
𝜀𝑥 = 
1
𝐸
[𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)]; 𝜀𝑦 = 
1
𝐸
[𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)] 
77 
 
 𝜀𝑧 = 
1
𝐸
[𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)] 
𝛾𝑥𝑦 = 
𝜏𝑥𝑦
𝐺
; 𝛾𝑥𝑧 = 
𝜏𝑥𝑧
𝐺
; 𝛾𝑦𝑧 = 
𝜏𝑦𝑧
𝐺
 ∴ 𝐺 = 
𝐸
2(1 + 𝜈)
 
 
Figura 45 
 
Figura 46 
78 
 
O Modelo de Placas Delgadas de Kirchhoff é aplicável nos casos em que: 
• As placas são delgadas de modo que sua espessura é muito menor que as 
demais dimensões; 
• As deflexões apresentadas correspondentes resultantes das solicitações 
mediante carregamentos são muito menores que a espessura; 
• O material constituinte da placa é linear elástico, homogêneo e isotrópico; 
• As rotações experimentadas pela superfície média da placa são muito 
menores que 1,0; 
• As linhas retas e normais à superfície média assim permanecem em virtude 
das deformações por flexão; 
• As deflexões significativas são normais ao plano indeformado inicial; e, 
• As tensões normais à superfície média da placa são pouco significativas. 
Tomando-se para referência a formulação ordinária do bojo da Teoria Clássica 
da Elasticidade, a Equação Diferencial da Deflexão do Plano Médio da placa 
ilustrada na Figura 47 é da forma: 
𝝏𝟒𝝎
𝝏𝒙𝟒
+ 𝟐
𝝏𝟒𝝎
𝝏𝒙𝟐𝝏𝒚𝟐
+ 
𝝏𝟒𝝎
𝝏𝒚𝟒
=
𝒑(𝒙, 𝒚)
𝑫
 
Se : 
𝐷 = 
𝐸ℎ3
12(1 − 𝜈2)
 
Cuja solução, para placa simplesmente apoiada nos quatro bordos, foi 
proposta por Navier na forma: 
𝒘(𝒙, 𝒚) = ∑ ∑ 𝑾𝒎𝒏𝒔𝒆𝒏 (
𝒎𝝅𝒙
𝑳𝒙
)
∞
𝒏=𝟏
∞
𝒎 = 𝟏
 𝒔𝒆𝒏 (
𝒏𝝅𝒚
𝑳𝒚
) 
sendo válida se a carga for aproximada mediante a série de Fourier: 
𝒑𝒛(𝒙, 𝒚) = ∑ ∑ 𝑷𝒎𝒏𝒔𝒆𝒏 (
𝒎𝝅𝒙
𝑳𝒙
)
∞
𝒏=𝟏
∞
𝒎 = 𝟏
 𝒔𝒆𝒏 (
𝒏𝝅𝒚
𝑳𝒚
) 
79 
 
 
Figura 47 
Para os Casos de condições de vinculação dos bordos mais diversas, Lévi 
propôs solução na forma: 
𝜔(𝑥, 𝑦) = ∑ {[𝐴𝑚 + 𝐷𝑚
𝑚𝜋𝑦
𝐿𝑥
] 𝑐𝑜𝑠ℎ (
𝑚𝜋𝑦
𝐿𝑥
) + [𝐵𝑚
𝑚𝜋𝑦
𝐿𝑥
+ 𝐶𝑚 ] 𝑠𝑒𝑛ℎ (
𝑚𝜋𝑦
𝐿𝑥
)
∞
𝑚=1
+ 𝑊𝑚} 𝑠𝑒𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝐿𝑥
) 
Para a qual os coeficientes Am, Bm, Cm e Dm dependem das condições de 
vinculação dos bordos da laje. 
Os momentos Fletores são dados mediante: 
𝑀𝑥 = −𝐷 (
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
+ 𝜈
𝜕2𝜔
𝜕𝑦2
) 𝑒 𝑀𝑦 = −𝐷 (𝜈
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝜔
𝜕𝑦2
) 
O momento torsor é obtido a partir de: 
𝑀𝑥𝑦 = −(1 − 𝜈)𝐷
𝜕2𝜔
𝜕𝑥𝜕𝑦
 
E, os Esforços Cortantes são expressos mediante: 
𝑉𝑥 = −𝐷
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝜔
𝜕𝑦2
) 𝑒 𝑉 = −𝐷
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕2𝜔
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝜔
𝜕𝑦2
) 
80 
 
Existem diversas tabelas de parâmetros adimensionais para cálculo de 
esforços em lajes. Algumas são elaboradas a partir da solução da equação 
diferencial em sua versão analítica. Outras desenvolvidas a partir do método dos 
elementos finitos. Os resultados apresentam diferenças associadas ao valor adotado 
para o coeficiente de Poisson e às aproximações e truncamento da série que define 
o deslocamento transversal w(x,y). 
As tabelasde Barés apresentadas nas Figuras 48, 49 e 50, foram elaboradas 
a partir da aplicação da solução de Lévi. 
 
Figura 48 
81 
 
 
Figura 49 
De forma semelhante ao padrão de cálculo praticado no método das grelhas 
os coeficientes rx, ry, são destinados ao para cálculo das reações dos apoios 
distribuídas ao longo dos bordos simplesmente apoiados nas direções x e y, 
respectivamente, ao passo que, os parâmetros rxe, rye tem filosofia conceptiva 
idêntica porém voltada para as reações ao longo dos bordos engastados, Figura 40. 
Os coeficentes mx e my, por sua vez, são concebidos para cálculo dos momentos 
fletores positivos atuantes nas direções paralelas a Lx e Ly, respectivamente, 
enquanto os coeficientes mxe e mye são destinados à determinação dos momentos 
fletores negativos atuantes nas bordas perpendiculares às direções Lx e Ly, 
respectivamente, Figura 40. 
82 
 
Exercício III.7 - Calcular os esforços na laje da Figura AIII.10 apoiada em vigas 
rígidas, submetidas a carga de serviço de 7,0 kN/m2 e a carregamento referente à 
Combinação Última Normal de Ações de 9,0 kN/m2, utilizando a teoria das placas 
delgadas. 
Resolução: 
Conforme a convenção dos quadros 1 e 2 as lajes enquadram-se no caso 2B. 
Comprimentos dos vãos 
L1 
𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
L2 
𝑳𝒙 = 𝟓, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
Relação entre os vãos: 
L1 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
6,15
= 1,17 
L2 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
5,15
= 1,39 
 
Figura AIII.10 
83 
 
 
Parâmetros Adimensionais – Quadros 1 e 2 
L1 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
= 𝟎, 𝟖𝟑; 𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟖 
𝒎𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟑; 𝒎𝒚 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟕 ; 𝒎𝒙𝒆 = −𝟎, 𝟎𝟗𝟕 
𝒓𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟑; 𝒓𝒚 = 𝟎, 𝟐𝟗𝟖; 𝒓𝒚𝒆 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟔 
 
L2 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟐 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
𝟐 + 𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
= 𝟎, 𝟗𝟏 
𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟎 
𝒎𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟓; 𝒎𝒚 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑; 𝒎𝒙𝒆 = −𝟎, 𝟏𝟎𝟖 
𝒓𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟑; 𝒓𝒚 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟎; 𝒓𝒚𝒆 = 𝟎, 𝟒𝟔𝟕 
 
Multiplicadores dos esforços 
L1 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 7,0 × 6,15 = 43,1; 𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 7,0 × 6,152 = 264,8 
𝑝𝐿𝑥 = 9,0 × 6,15 = 55,4; 𝑝𝐿𝑥
2 = 9,0 × 6, 152 = 340,5 
L2 
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 7,0 × 5,15 = 36,1; 𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 7,0 × 5,152 = 185,7 
𝑝𝐿𝑥 = 9,0 × 5,15 = 46,4; 𝑝𝐿𝑥
2 = 9,0 × 5, 152 = 238,8 
 
Esforços referentes à carga de serviço: 
Reações nos apoios: 
L1 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,183 × 43,1 = 7,9 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,298 × 43,1 = 12,9 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,436 × 43,1 = 18,8 𝑘𝑁/𝑚 
84 
 
L2 
𝑅𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,183 × 36,1 = 6,7 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,320 × 36,1 = 11,6 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥 = 0,467 × 36,1 = 16,9 𝑘𝑁/𝑚 
 
Momentos Fletores: 
L1 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,043 × 264,8 = 11,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,027 × 264,8 = 7,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,097 × 264,8 = −25,7 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,050 × 185,7 = 9,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑦𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = 0,023 × 185,7 = 4,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
2 = −0,108 × 185,7 = −20,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Esforços referentes à Combinação Última: 
Reações nos apoios: 
L1 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,183 × 55,4 = 10,2 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥 = 0,298 × 55,4 = 16,6 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝐿𝑥 = 0,436 × 55,4 = 24,2 𝑘𝑁/𝑚 
L2 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,183 × 46,4 = 8,5 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦 = 𝑟𝑦𝑝𝐿𝑥 = 0,320 × 46,4 = 14,9 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝐿𝑥 = 0,467 × 46,4 = 21,7 𝑘𝑁/𝑚 
Momentos Fletores: 
L1 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,043 × 340,5 = 14,7 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,027 × 340,5 = 9,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,097 × 340,5 = −33,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
85 
 
 
L2 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,050 × 238,8 = 12,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,023 × 238,8 = 5,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 𝑚𝑥𝑒𝑝𝐿𝑥
2 = −0,108 × 238,8 = −25,8 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
Compensação de Momentos Negativos: 
Ações de Serviço: 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 =
𝑀𝑥𝑒1𝑠𝑒𝑟𝑣 + 𝑀𝑥𝑒2𝑠𝑒𝑟𝑣
2
=
−25,7 + (−20,1)
2
= −22,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,8max (𝑀𝑥𝑒1𝑠𝑒𝑟𝑣, 𝑀𝑥𝑒2𝑠𝑒𝑟𝑣) = 0,8max (−25,7; −20,1) 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8 × (−25,7) = −20,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑴𝒙𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗 = −22,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
Combinação Última: 
𝑀𝑥𝑒 =
𝑀𝑥𝑒1 + 𝑀𝑥𝑒2
2
=
−33,1 + (−25,8)
2
= −29,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8max (𝑀𝑥𝑒1, 𝑀𝑥𝑒2) = 0,8max (−33,1; −25,8) 
𝑀𝑥𝑒 = 0,8 × (−33,1) = −26,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑴𝒙𝒆 = −𝟐𝟗, 𝟓 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
 
Compatibilização dos momentos positivos: 
O cálculo do momento positivo final pode ser realizado com base na Figura AIII.8. A 
partir do conceito de semelhança de triângulos deduz-se que: 
∆𝑀 = ∆𝑀𝑒 𝑥 𝐿⁄ 
Para este exercício a laje que apresenta maior momento negativo previamente à 
compensação é L1. 
 
86 
 
Ações de Serviço: 
Parcelas de carga na direção x: 
𝑝𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 𝑘𝑥𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣 = 0,83 × 7,0 = 5,9 𝑘𝑁/𝑚
2 
𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝 = 0,83 × 9,0 = 7,5 𝑘𝑁/𝑚
2 
Posição da seção onde se dá o momento máximo positivo: 
𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 
𝑅𝑦𝑠𝑒𝑟𝑣
𝑝𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣
= 
12,9
5,9
= 2,2 𝑚 
𝑥 = 
𝑅𝑦
𝑝𝑥
= 
16,6
7,5
= 2,3 𝑚 
Redução dos momentos negativos mediante a compensação: 
∆𝑀𝑥𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣 = 25,7 − 22,9 = 2,8 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
∆𝑀𝑥𝑒 = 33,1 − 29,5 = 3,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
Figura AIII.8 
Aumento no momento positivo: 
∆𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 2,8 ×
2,2
6,15
= 1,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
∆𝑀𝑥 = 3,6 ×
2,3
6,15
= 1,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
87 
 
Momento positivo final: 
𝑀𝑥𝑠𝑒𝑟𝑣 = 11,4 + 1,1 = 12,5 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥 = 14,7 + 1,4 = 16,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
A Tabela AIII.2 apresenta sumário comparativo dos esforços considerando os três 
modelos de cálculo abordados até agora neste texto didático onde se nota 
diferenças nos valores das reações de apoio distribuídas na direção “y”. Isso ocorre 
porque os valores dos parâmetros adimensionais referentes às reações de apoio 
das tabelas utilizadas nesta seção, embora também obtidos através o método das 
charneiras plásticas, são corrigidos. Tal correção é realizada prevendo-se a 
possibilidade de os momentos nos apoios atuarem com intensidades menores que 
as previstas. Quando isto ocorre o alívio da ação da laje sobre a superfície em que 
ela se apoia, decorrente do momento na borda oposta, não acontece com o valor 
integral. Para evitar o risco de considerar reações de apoio menores do que aquelas 
que efetivamente são despertadas, os alívios foram considerados pela metade. 
Tabela AIII.2 
 Grelhas Marcos Barés 
Laje 1 
𝑹𝒙𝒔𝒆𝒓𝒗 4,4 𝑘𝑁/𝑚 𝟖, 𝟎 𝒌𝑵/𝒎 𝟕, 𝟗 𝒌𝑵/𝒎 
𝑹𝒚𝒔𝒆𝒓𝒗 13,5 𝑘𝑁/𝑚 𝟏𝟎, 𝟗 𝒌𝑵/𝒎 𝟏𝟐, 𝟗 𝒌𝑵/𝒎 
𝑹𝒚𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗 22,4 𝑘𝑁/𝑚 𝟏𝟖, 𝟕 𝒌𝑵/𝒎 𝟏𝟖, 𝟖 𝒌𝑵/𝒎 
𝑴𝒙𝒔𝒆𝒓𝒗 17,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝟏𝟐, 𝟓 𝒌𝑵𝒎/𝒎 𝟏𝟐, 𝟓 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒚𝒔𝒆𝒓𝒗 8,0 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝟔, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 𝟕, 𝟐 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒙𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗 −24,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 −𝟐𝟒, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 −𝟐𝟐, 𝟗 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑹𝒙 5,6 𝑘𝑁/𝑚 𝟏𝟎, 𝟑 𝒌𝑵/𝒎 𝟏𝟎, 𝟐 𝒌𝑵/𝒎 
𝑹𝒚 17,3 𝑘𝑁/𝑚 𝟏𝟒, 𝟎 𝒌𝑵/𝒎 𝟏𝟔, 𝟔 𝒌𝑵/𝒎 
𝑹𝒚𝒆 28,8 𝑘𝑁/𝑚 𝟐𝟒, 𝟏 𝒌𝑵/𝒎 𝟐𝟒, 𝟐 𝒌𝑵/𝒎 
𝑴𝒙 22,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝟏𝟔, 𝟏 𝒌𝑵𝒎/𝒎 𝟏𝟔, 𝟏 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒚 10,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝟖, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 𝟗, 𝟐 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒙𝒆 −𝟑𝟏, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 −𝟑𝟏, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 −𝟐𝟗, 𝟓 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
Laje 2 
𝑹𝒙𝒔𝒆𝒓𝒗 2,3 𝑘𝑁/𝑚 𝟔, 𝟕 𝒌𝑵/𝒎 𝟔, 𝟕 𝒌𝑵/𝒎 
𝑹𝒚𝒔𝒆𝒓𝒗 12,4 𝑘𝑁/𝑚 𝟗, 𝟖 𝒌𝑵/𝒎 𝟏𝟏, 𝟔 𝒌𝑵/𝒎 
𝑹𝒚𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗 20,6 𝑘𝑁/𝑚 𝟏𝟔, 𝟗 𝒌𝑵/𝒎 𝟏𝟔, 𝟗 𝒌𝑵/𝒎 
𝑴𝒙𝒔𝒆𝒓𝒗 11,9 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝟗, 𝟑 𝒌𝑵𝒎/𝒎 𝟗, 𝟑 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒚𝒔𝒆𝒓𝒗 4,1 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝟑, 𝟔 𝒌𝑵𝒎/𝒎 𝟒, 𝟑 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒙𝒆𝒔𝒆𝒓𝒗 −24,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚 −𝟐𝟒, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 −𝟐𝟐, 𝟗 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑹𝒙 3,0 𝑘𝑁/𝑚 𝟖, 𝟔 𝒌𝑵/𝒎 𝟖, 𝟓 𝒌𝑵/𝒎 
𝑹𝒚 15,9 𝑘𝑁/𝑚 𝟏𝟐, 𝟔 𝒌𝑵/𝒎 𝟏𝟒, 𝟗 𝒌𝑵/𝒎 
𝑹𝒚𝒆 26,5 𝑘𝑁/𝑚 𝟐𝟏, 𝟖 𝒌𝑵/𝒎 𝟐𝟏, 𝟕 𝒌𝑵/𝒎 
𝑴𝒙 15,6 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝟏𝟐, 𝟐 𝒌𝑵𝒎/𝒎 𝟏𝟐, 𝟎 𝒌𝑵𝒎/𝒎𝑴𝒚 5,3 𝑘𝑁𝑚/𝑚 𝟒, 𝟔 𝒌𝑵𝒎/𝒎 𝟓, 𝟓 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒙𝒆 −𝟑𝟏, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 −𝟑𝟏, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 −𝟐𝟗, 𝟓 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
 
88 
 
Exercício PIII.6 – Idem, PIII.4 adotando-se as tabelas baseadas na Teoria das 
Placas Delgadas de Kirchhoff. 
 
3.3.1 – Lajes apoiadas em elementos deslocáveis 
Nos casos em que a laje é apoiada em vigas flexíveis os deslocamentos 
verticais da vigas, Figura 50, alteram a curvatura da placa podendo levar à 
acentuação dos momentos fletores positivos e à redução dos momentos fletores 
negativos, Figura 51. 
Nesses casos, os esforços e as deformações da laje dependem, inclusive, da 
relação entr as rigidezes da laje e das vigas. A análise estrutural pode se realizada 
mediante a avaliação do desempenho conjunto laje-vigamento, tratando-se assim de 
modelagem refinada, podendo ser auxiliada pela aplicação da aproximação por 
elementos finitos. 
A correlação entre os momentos negativos e momentos positivos, então é 
diferente daquela referente a apoios indeslocáveis. 
A Modelagem discreta requer correções na relação entre momentos negativos 
nos apoios e momentos positivos no meio do vão a partir de adaptações o Mátodo 
das Grelhas da forma já apresentada, aplicável a lajes siobre apoios rígido. Assim, é 
estabelecido um grau de redistribuição definido por um fator de redução, β, do 
momento negativo, sendo β um número inferior à unidade. 
 
Figura 50 
89 
 
Os momentos passarão então a apresentar as intensidades: 
�̅�𝑥𝑒 = 𝛽𝑀𝑥𝑒 𝑒 �̅�𝑦𝑒 = 𝛽𝑀𝑦𝑒 
sendo Mxe e Mye as intensidades dos momentos fletores negativos obtidos mediante 
a aplicação do Método das Grelhas a lajes sobre apoios indeslocáveis. Os 
momentos fletores positivos seriam então sistematicamente compatibilizados a esta 
nova realidade em termos de magnitude dos momentos negativos. 
O fator de redução β deveria ser calculado a partir do produto: 
𝛽 = 𝛽1𝛽2 
onde β1 e β2 são parâmetros de valor inferior à unidade, em que o primeiro se refere 
à deformações elásticas da viga, enquanto o segundo relaciona-se à redistribuição 
de esforços no estado limite último decorrente da fissuração da massa de concreto e 
do escoamento da armadura de aço da laje. 
 
Figura 51 
O fator β2 depende da capacidade de rotação plástica das seções transversais da 
laje que é função da profundidade da linha neutra. Para sua definição deve-se terem conta 
que as lajes rompem no domínio 2 com linha neutra de pouca profundidade, podendo-se 
fazer, de forma aproximada β2 = 0,75. 
O fator β1, por sua vez, é de difícil determinação. Ele depende de uma 
infinidade de fatores tais como a relação entre a rigidez das vigas e a rigidez da laje, 
o comprimento dos vãos das vigas e as intensidades das cargas que solicitam as 
vigas. 
90 
 
Dada a dificuldade de avaliação de β estabelece-se relação entre os momentos negativos e 
os momentos positivos. Uma prática aplicável ao caso é fazer o momento negativo Me igual 
ao maior dentre os momentos positivos M1 e M2 das duas lajes concorrentes no apoio Me já 
representaria o momento compensado, Figura 52. 
 
Figura 52 
Guiando-se por esta proposta de modelagem a redistribuição dos momentos 
seria tal que teríamos: 
𝑀𝑥 + 
1
2
|𝑀𝑥𝑒| = 𝑝𝑥
𝐿𝑥
2
8
 
Fazendo-se 
 |𝑀𝑥𝑒| = 𝑀𝑥 
Resultaria: 
𝑀𝑥 + 
1
2
𝑀𝑥 = 𝑝𝑥
𝐿𝑥
2
8
 
|𝑀𝑥𝑒| = 𝑀𝑥 = 𝑝𝑥
𝐿𝑥
2
12
 
91 
 
Para a obtenção das parcelas de carga observe-se que o deslocamento do 
centro da laje na direção x seria obtido considerando-se o esquema estrutural da 
Figura 53, devendo ser dado, portanto, na forma: 
𝛿𝐸 = 
3𝑞𝑥𝐿𝑥
4
384𝐸𝐽
= 
3𝑘𝑥𝑞𝐿𝑥
4
384𝐸𝐽
 
 
Figura 53 
Para deslocamento do centro da laje na direção y, que é representada por um 
elemento biapoiado tem-se: 
𝛿𝐸 = 
5𝑞𝑦𝐿𝑦
4
384𝐸𝐽
= 
5𝑘𝑦𝑞𝐿𝑦
4
384𝐸𝐽
 
E, então: 
3𝑘𝑥𝑞𝐿𝑥
4
384𝐸𝐽
= 
5𝑘𝑦𝑞𝐿𝑦
4
384𝐸𝐽
 
De modo que: 
𝑘𝑥 = 
54
3 + 54
 
92 
 
O mesmo parâmetro para o caso de laje siobre apoi rígido é dado por: 
𝑘𝑥 = 
54
2 + 54
 
Assim, para os casos da Figura 40, os parâmetros adimensionais de 
lajes apoiadas em leito deslocável referentes ao caso 1 são: 
 𝑘𝑥 = 
𝜆4
1 + 𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
5𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
8
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
8
; 𝑟𝑥 = 𝑘𝑦
𝜆
2
 𝑒 𝑟𝑦 = 
𝑘𝑥
2
 
obtém-se para o caso 2 obtém-se: 
 𝑘𝑥 = 
5𝜆4
3 + 5𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
3𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥𝑒 = −𝑚𝑥 = −
𝑘𝑥
12
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
8
 
 𝑟𝑥 = 𝑘𝑦
𝜆
2
 ; 𝑟𝑦 = 
5𝑘𝑥
12
 𝑒 𝑟𝑦𝑒 = 
7𝑘𝑥
12
 
Para o caso 3 tem-se: 
 𝑘𝑥 = 
5𝜆4
2+ 5𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
2𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥𝑒 = −𝑚𝑥 = − 
𝑘𝑥
16
; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦
𝜆2
8
; 𝑟𝑥 = 𝑘𝑦
𝜆
2
 𝑒 𝑟𝑦𝑒 = 
𝑘𝑥
2
 
Para o caso 4: 
 𝑘𝑥 = 
𝜆4
1+ 𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
3𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥𝑒 = −𝑚𝑥 = −
𝑘𝑥
12
; 𝑚𝑦𝑒 = −𝑚𝑦 = −𝑘𝑦
𝜆2
12
; 
 𝑟𝑥 = 5𝑘𝑦
𝜆
12
 ; 𝑟𝑦 = 
5𝑘𝑥
12
; 𝑟𝑥𝑒 = 7𝑘𝑦
𝜆
12
 ; 𝑟𝑦𝑒 = 
7𝑘𝑥
12
 
Para o caso 5: 
 𝑘𝑥 = 
3𝜆4
2+ 3𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
2𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥𝑒 = −𝑚𝑥 = −
𝑘𝑥
16
; 𝑚𝑦𝑒 = −𝑚𝑦 = −𝑘𝑦
𝜆2
12
; 
 𝑟𝑥 = 5𝑘𝑦
𝜆
12
 ; 𝑟𝑦𝑒 = 
𝑘𝑥
2
; 𝑟𝑥𝑒 = 7𝑘𝑦
𝜆
12
 
E, para o caso 6: 
 𝑘𝑥 = 
𝜆4
1+ 𝜆4
; 𝑤𝑐 = 
2𝑘𝑥
384
; 𝑚𝑥𝑒 = −𝑚𝑥 = −
𝑘𝑥
16
; 𝑚𝑦𝑒 = −𝑚𝑦 = −𝑘𝑦
𝜆2
16
; 
 𝑟𝑥𝑒 = 𝑘𝑦
𝜆
2
 ; 𝑟𝑦𝑒 = 
𝑘𝑥
2
 
93 
 
Exercício III.8 - Calcular os esforços nas lajes da Figura AIII.9 apoiadas em vigas 
flexíveis submetidas a uma carga total de 9,0 kN/m2. 
Ambas as lajes se enquadram no caso 2. 
Comprimentos dos vãos 
L1 
𝑳𝒙 = 𝟔, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
 L2 
𝑳𝒙 = 𝟓, 𝟏𝟓 𝒎; 𝑳𝒚 = 𝟕, 𝟏𝟓 𝒎 
 
Figura AIII.9 
Relação entre os vãos: 
L1 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
6,15
= 1,17 
L2 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
=
7,15
5,15
= 1,39 
94 
 
 
Parâmetros Adimensionais 
L1 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟑 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕𝟒
𝟑 + 𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟔𝟑𝟒
= 𝟎, 𝟕𝟔 
𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟓 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟐
=
𝟎, 𝟕𝟔
𝟏𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟒; 𝒎𝒙𝒆 = −𝒎𝒙 = −𝟎, 𝟎𝟔𝟒 
 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟐𝟓 ×
𝟏, 𝟏𝟕𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟒𝟑 
𝒓𝒙 =
𝒌𝒚𝝀
𝟐
=
𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟏, 𝟏𝟕
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟒𝟕 
𝒓𝒚 =
𝟓𝒌𝒙
𝟏𝟐
=
𝟓 × 𝟎, 𝟕𝟔
𝟏𝟐
= 𝟎, 𝟑𝟏𝟕; 𝒓𝒚𝒆 =
𝟕𝒌𝒙
𝟏𝟐
=
𝟕 × 𝟎, 𝟕𝟔
𝟏𝟐
= 𝟎, 𝟒𝟓 
L2 
𝒌𝒙 =
𝟓𝝀𝟒
𝟑 + 𝟓𝝀𝟒
=
𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
𝟑 + 𝟓 × 𝟏, 𝟑𝟗𝟒
= 𝟎, 𝟖𝟔𝟐 
𝒌𝒚 = 𝟏 − 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟔𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟗 
𝒎𝒙 =
𝒌𝒙
𝟏𝟐
=
𝟎, 𝟖𝟔𝟐
𝟏𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟐; 𝒎𝒙𝒆 = −𝒎𝒙 = −𝟎, 𝟎𝟕𝟐 
 𝒎𝒚 = 𝒌𝒚
𝝀𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟏𝟑𝟗 ×
𝟏, 𝟑𝟗𝟐
𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟑𝟒 
𝒓𝒙 =
𝒌𝒚𝝀
𝟐
=
𝟎, 𝟏𝟑𝟗 × 𝟏, 𝟑𝟗
𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟗𝟕 
𝒓𝒚 =
𝟓𝒌𝒙
𝟏𝟐
=
𝟓 × 𝟎, 𝟖𝟔𝟐
𝟏𝟐
= 𝟎, 𝟑𝟔; 𝒓𝒚𝒆 =
𝟕𝒌𝒙
𝟏𝟐
=
𝟕 × 𝟎, 𝟖𝟔𝟐
𝟏𝟐
= 𝟎, 𝟓𝟎𝟑 
Multiplicadores de Esforços 
L1 
𝒑𝑳𝒙 = 𝟗, 𝟎 × 𝟔, 𝟏𝟓 = 𝟓𝟓, 𝟑𝟓; 𝒑𝑳𝒙
𝟐 = 𝟗, 𝟎 × 𝟔, 𝟏𝟓𝟐 = 𝟑𝟒𝟎, 𝟒𝟏 
L2 
 𝒑𝑳𝒙 = 𝟗, 𝟎 × 𝟓, 𝟏𝟓 = 𝟒𝟔, 𝟑𝟓; 𝒑𝑳𝒙
𝟐 = 𝟗, 𝟎 × 𝟓, 𝟏𝟓𝟐 = 𝟐𝟑𝟖, 𝟕𝟏 
95 
 
Momentos fletores positivos no centro das lajes: 
L1 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,064 × 340,41 = 21,8 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,043 × 340,41 = 14,7 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,072 × 238,71 = 17,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,034 × 238,71 = 8,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Momentos fletores negativos: 
 L1 
𝑀𝑥𝑒 = −𝑀𝑥 = − 21,8 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
L2 
𝑀𝑥𝑒 = −𝑀𝑥 = − 17,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
Momento no apoio intermediário: 𝑴𝒙𝒆 = −𝟐𝟏, 𝟖 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
 
Reações nos apoios simples: 
L1 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,147 × 55,35 = 8,2 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦 = 0,317 × 55,35 = 17,6 𝑘𝑁/𝑚 
L2 
𝑅𝑥 = 𝑟𝑥𝑝𝐿𝑥 = 0,097 × 46,35 = 4,5 𝑘𝑁/𝑚 
 𝑅𝑦 = 0,36 × 46,35 = 16,7 𝑘𝑁/𝑚 
Reações nos engastes 
L1 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝐿𝑥 = 0,45 × 55,35 = 25,0 𝑘𝑁/𝑚 
L2 
𝑅𝑦𝑒 = 𝑟𝑦𝑒𝑝𝐿𝑥 = 0,503 × 46,35 = 23,4 𝑘𝑁/𝑚 
Exercício PIII.7 – Idem, PIII.4 considerando a grande flexibilidade das vigas. 
96 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
Volume 1 
Lajes 
Capítulo 4 – Dimensionamento 
4.1 – ConsideraçõesRelevantes 
Assim como, para efeito de anaálise estrutural, as vigas são representadas pelos seus 
eixos longitudinais as lajes são idealizadas pelo respectivo médio. 
Geralmente, as lajes são retangulares, mas podem ser trapezoidais ou em forma 
L. 
Em uma laje contínua, um de seus painés deve ser considerado engastado em 
outro que lhe é adjacente e deplano médio coplanar, se a diferença entre sua 
espessura e aquela do painél adjacente for inferior ou igual a 2 cm. Em todo caso, 
deve-se seguir a orientação esquematizada na figura 54. 
 
Figura 54 
Ao início do trabalho de cálculo as espessuras dos painéis de laje são 
desconhecidas, devendo então ser provisoriamente estimadas, e cada painél deve 
ser considerado engastado em todos os seus bordos que são adjacentes a outros 
97 
 
painéis presumidamente coplanares. Após o dimensionamento e verificação dos 
estados limites de serviço a espessura é definida quando então se pode estabelecer 
a natureza das vinculações entre os painéis, e, quando for o caso refazer as 
operações de respaldo ao projeto estrutural. 
Para lajes de um só bordo livre a melhor solução é armá-la apenas na direção 
em que houver apoio em ambos os bordos. Lajes rebaixadas de dois bordos livres, 
mutuamente perpendiculares, deve ser rigidamente ligada às vigas de apoio e sua 
armadura de tração assim detalhada, Figura 55.a. Os lados apoiados são 
modelados como engastes. Note-se que o traço cheio em tom verde é a armadura 
de tração, que deve ser provida do laço ali indicado, Figura 55.b, para assim efetivar 
a condição de engastamento da laje na viga. 
 
Figura 55 
Na hipótese em que o painél de laje apresentar duas situações distintas de 
vínculo ao longo de um mesmo bordo, Figura 56, se o comprimento do trecho 
engastado for superior a 85% do comprimento do lado, pode-se considerá-lo como 
engastado em toda a sua extensão. Em procedimento alternativo para definir tal 
situação, se o comprimento do trecho engastado for inferior a um terço do vão 
considerar apoio simples em todo o bordo; se o comprimento do trecho engastado 
98 
 
for superior a dois terços do vão considerar engaste em todo o bordo; para valores 
na faixa intermediária calcular os esforços para as duas situações e adotar os 
resultados mais conservadores. 
Se a laje for armada em uma só direção seu dimensionamento pode ser 
realizado em duas etapas, uma para cada condição de vinculação. A armadura 
longitudinal de tração AS1, calculada para o momento M1, deve ser distribuída no 
trecho AB, enquanto a armadura longitudinal de tração AS2, calculada para o 
momento M2, deve ser distribuída no trecho BC, Figura 56. 
 
Figura 56 
 
4.2 - Estado-Limite de Deformações Excessivas 
O Estado-Limite de Deformações Excessivas refere-se a valores máximos que 
são fixados por organismos normativos, para as deformações, com o objretivo de 
evitar: 
 sensações de desconforto sensorial aos usuários 
 utilização inadequada da construção 
 danos em elementos não estruturais 
 discrepâncias da modelagem de cálculo referente a pequenos 
deslocamentos. 
99 
 
 
4.2.1 – Deslocamento imediato 
Para o cálculo do deslocamento que a laje apresenta no instante do 
carregamento, destinado à verificação do Estado Limite de Deformações Excessivas 
em caráter ordinário, deve-se considerar a combinação quase permanente de ações, 
expressa mediante: 
𝐹𝑠𝑒𝑟𝑣 = ∑ 𝐹𝑔𝑖𝑘 + ∑ 2𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘 
Nos casos em que é identificada probabilidade de comprometimento de 
vedações, mediante ação do vento ou variação de temperatura, a verificação deve 
ser levada a efeito tomando para carregamento aquele correspondente à 
combinação frequente de ações calculado a partir de: 
𝐹𝑠𝑒𝑟𝑣 = ∑ 𝐹𝑔𝑖𝑘 + 1𝐹𝑞1𝑘 + ∑ 2𝑗𝐹𝑞𝑗𝑘 
Com vistas à determinação da rigidez à flexão faz-se necessário verificar se a 
seção transversal objeto de dimensionamento está no estádio I ou no estádio II, ou 
seja, estavelecer se, para o carregamento solicitante a seção está fissurada ou não, 
face ao efeito da fissuração em reduzir a rigidez à flexão da seção objeto de 
anaálise. Para isso faz-se necessário comparar o momento fletor solicitante de 
serviço com aquele Momento correspondente à formação da primeira fissura. O 
momento solicitante Ma pode ser obtido mediante qualquer um dos métodos 
abordados neste trabalho, a saber, Método das Grelhas, Método de Marcos ou 
Teoria das Placas Delgadas. O Momento de Fissuração deve ser calculado a partir 
da equação: 
𝑀𝑟 = 
𝛼𝑓𝑐𝑡𝐼𝑐
𝑦𝑡
 
Onde yt representa a distancia do centro de gravidade da seção transversal 
ao bordo tracionado, ou seja: 
𝑦𝑡 = 
ℎ
2
 
100 
 
O parâmetro fct é a resistência à tração do concreto que podde ser tomada pelo seu 
valor médio: 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘
2/3
 
 é um parâmetro associado à foema da seção transversal o qual, conforme a NBR 
6118/2014, para seção retangular pode ser fixado em 1,5. O parâmetro Ic representa 
o momento de inércia da seção transversal no Estádio I. Para seção transversal 
retangular: 
𝐼𝑐 = 
𝑏ℎ3
12
 
sendo b a largura da seção transversal. 
Para efeito de cálculo do Módulo de Rigidez à flexão de uma seção de concreto 
armado deve-se levar em conta, a princípio, o seu módulo de elasticidade 
secante,que , conforme a norma, na ausência de resultados experimentais pode ser 
calculado mediante a forma: 
𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖𝐸𝑐𝑖 
Sendo i umcoeficiente dado por: 
𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2
𝑓𝑐𝑘
80
 
e Eci o Módulo de elasticidade tangente na origem, que pode ser obtido a partir de : 
𝐸𝑐𝑖 = 5600𝛼𝐸√𝑓𝑐𝑘 
Sendo αE um fator associado à resistência do material do agregado graúde que se 
for derivado de rochas graníticas deve ser avaliado como sendo igual à unidade. 
Na hipótese de o momento solicitante da seção crítica referente ao 
carregamento de serviço, Ma, ser inferior ao seu momento de fissuração, a seção de 
concreto está no estádio I e o módulo de rigidezà flexão será simplesmente: 
(𝐸𝐼)𝑒𝑞 = 𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐 
 
101 
 
 
Por outro lado, se tal momento solicitante for superior ao momento de 
fissuração da seção de concreto esta encontra-se no estádio II e o módulo de 
rigidezà flexão será dado conforme a equação de Branson: 
(𝐸𝐼)𝑒𝑞 = 𝐸𝑐𝑠 {(
𝑀𝑟
𝑀𝑎
)
3
𝐼𝑐 + [1,0 − (
𝑀𝑟
𝑀𝑎
)
3
 ] 𝐼𝐼𝐼} 
Onde o parâmetro III representa o momento de inércia da seção transversal no 
estádio II em relação à linha neutra da seção transversal, sendo expresso por: 
𝐼𝐼𝐼 = 
𝑏𝑥3
3
+ 𝐴𝑐𝑒𝑞(𝑑 − 𝑥)
2 
onde d é a altura útil da seção transversal e Aceq é a area de seçãoõ em concreto 
equivalente à área da seção transversal em aço dada mediante: 
𝐴𝑐𝑒𝑞 = 𝛼𝑒𝐴𝑠 
se As é a área da armadura e: 
𝛼𝑒 = 
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
 
sendo Es o Módulo de Elasticidade do aço, da ordem de 210 GPa. A variavel x é a 
posição da linha neutra da seção transversal em relação ao bordo comprimido, e, 
definida matematicamente a partir da raiz significativa da equação: 
𝑎1𝑥
2 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3 = 0 
se: 
𝑎1 =
𝑏
2
; 𝑎1 = 𝐴𝑐𝑒𝑞; 𝑒, 𝑎3 = 𝑑𝐴𝑐𝑒𝑞 
O deslocamento imediato deve ser calculado mediante a equação III.7 do boljo do 
método das grelhas fazendo-se, entretanto: 
𝐷 = 
(𝐸𝐼)𝑒𝑞
1 −  2
 
 
102 
 
 
4.2.2 - Deslocamento no tempo 
O deslocamento total a considerar para a verificação da laje ao Estado Limite de 
Deformações Excessivas deve incuir os deslocamentos que se desenvolvem com o 
tempo associados à fluênciae à retação do concreto. Deve ser expresso conforme o 
deslocamento imediato a partir da equação: 
𝛿𝑑𝑖𝑓 = 𝛼𝑓𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 
desde que: 
𝛼𝑓 = 
∆𝜀
1 + 50𝜌′
 
O parâmetro ’ representa a porcentagem geométrica de armadura longitudinal de 
compressão da laje. O termo  deve ser obtido mediante: 
∆𝜀 = 𝜀(𝑡) − 𝜀(𝑡𝑜) 
onde to representa a idade do concreto na data do carregamento e t sua idade 
referente à data para a qual o deslocamento deve ser calculado devendo ser 
consideradocomo sendo a vida útil estrutural ou a data programada para 
manutenção mais substancial. 
Para a definição das deformações (t) e (to) deve-se recorrer ao seguinte 
critério: 
𝜀(𝑡) = 0,68 × 0,996𝑡𝑡0,32 𝑠𝑒 𝑡 ≤ 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑒 𝜀(𝑡) = 2 𝑠𝑒 𝑡 > 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
O deslocamento total é calculado a partir de: 
𝛿 = 𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 + 𝛿𝑑𝑖𝑓 = 𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 + 𝛼𝑓𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 = (1 + 𝛼𝑓)𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 
O deslocamento assim obtido deve ser inferior aos limites estabelecidos na 
Tabela 1. 
Tratando-se de lajes em balanço os deslocamentos limite da tabela 1 devem 
ter seus valores duplicados. 
103 
 
Tabela 1 – Deslocamentos admissíveis 
 
 
Exercício IV.1 – Verificar ao Estado Limite de Deformações Excessivas a laje sobre 
apoios indeslocáveis da Figura AIV.1, em concreto C30, de 150 mm de espessura, 
armado com barras de aço CA-50, considerando sua rigidez à Torção, sabendo-se 
que será solicitada mediante uma carga de serviço de 7,0 kN/m2 à qual corresponde, 
para o painel de laje 1, momento fletor positivo de 12,5 kNm/m. Considerar que, para 
o presente caso resultou para o parâmetro adimensional associado aos 
deslocamentos wc = 0,0043. 
Uma vez que os dois painéis de laje apresentam o mesmo carregamento e as 
mesmas condições de vinculação, o painel L1, por apresentar o vão na direção x de 
maior comprimento, será tomado como referência para a verificação objeto deste 
exercício. 
Deslocamento imediato: 
Resistência à Tração: 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘
2/3
= 0,3 × 302/3 = 2,89 𝑀𝑃𝑎 
Momento de inércia da seção transversal no estádio I: 
𝐼𝑐 = 
𝑏ℎ3
12
=
1,00 × 0,153
12
= 0,000281 𝑚4 
104 
 
Fator de forma da seção transversal: 𝛼 = 1,5 
 
Figura AIV.1 
Distância do centro de gravidade da seção transversal ao bordo tracionado: 
𝑦𝑡 = 
ℎ
2
= 
0,15
2
= 0,075 𝑚 
𝑀𝑟 =
𝛼𝑓𝑐𝑡,𝑚𝐼𝑐
𝑦𝑡
= 
1,5 × 2,89 × 0,000281
0,075
= 0,0163 𝑀𝑁𝑚/𝑚 
Comparando-se este momento com o momento fletor de serviço na direção x, tem-
se: 
 𝑀𝑥𝑜,𝑠𝑒𝑟𝑣 = 12,5 kNm/m = 0,0125 𝑀𝑁𝑚/𝑚 < 𝑀𝑟 
Uma vez que o momento de serviço é inferior ao momento de fissuração a seção 
transversal está na condição não fissurada e, portanto, no estádio I, devendo-se 
adotar o módulo de rigidez à flexão correspondente. Para determiná-lo tem-se: 
𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2
𝑓𝑐𝑘
80
= 0,8 + 0,2
30
80
= 0,875 
105 
 
𝐸𝑐𝑖 = 5600𝛼𝐸√𝑓𝑐𝑘 = 5600 × 1,0 × √30 = 30672 𝑀𝑃𝑎 
𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖𝐸𝑐𝑖 = 0,875 × 30672 = 26838 𝑀𝑃𝑎 
𝐷 =
(𝐸𝐼)𝑒𝑞
1 − 𝜈2
= 
𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐
1 − 𝜈2
=
26838 × 0,000281
1 − 0,22
= 7,8557 ≅ 7,85 𝑀𝑁𝑚2 
Assim, o deslocamento máximo da Laje será: 
𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 = 𝑤𝑐
𝑝𝑠𝑒𝑟𝑣𝐿𝑥
4
𝐷
= 
0,0043 × 7,0 × 10−3 × 6,154
7,85
= 5,5 𝑚𝑚 
 
Deformações diferidas no tempo 
Não há armadura comprimida ρ’ = 0 
𝑡0 = 1,0 𝑚ê𝑠 < 70 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
𝜀(𝑡) = 0,68 × 0,996𝑡 × 𝑡0,32 
𝜀(𝑡𝑜) = 𝜀(1) = 0,68 × 0,996
1 × 10,32 = 0,67 
Convém fixar o tempo de observação em pelo menos um prazo igual à vida útil 
estrutural, que normalmente é superior a 6 anos. Assim, nestas condições pode-se 
fazer: 
 𝜺(𝒕) = 𝟐 
Consequentemente: 
𝛥𝜀 = ε(t) – ε(to) = 2 − 0,67 = 1,33 
e: 
𝛼𝑓 = 
𝛥𝜀
1 + 50𝜌′
 = 
1,33
1 + 50 × 0,0
= 1,33 
𝛿𝑑𝑖𝑓 = 𝛼𝑓𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 = 1,33 × 5,5 = 7,32 𝑚𝑚 
𝛿 = 𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 + 𝛿𝑑𝑖𝑓 = 5,5 𝑚𝑚 + 7,32 𝑚𝑚 = 12,82 𝑚𝑚 ≅ 13,0 𝑚𝑚 
106 
 
No presente caso justifica-se a verificação do efeito de aceitabilidade sensorial 
razão de limitação visual. Corforme a NBR 6118/2014 o deslocamento limite 
deve ser fixado a partir de: 
𝜹𝒂𝒅𝒎 =
𝑳𝒙
𝟐𝟓𝟎
=
𝟔, 𝟏𝟓
𝟐𝟓𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟔 𝒎 = 𝟐𝟒, 𝟔 𝒎𝒎 
𝜹 < 𝜹𝒂𝒅𝒎 
Desta forma a laje com o material e dimensões especificados atende ao Estado 
Limite de Deformações Excessivas. 
 
4.3 - Estado-Limite Último de Ruína do Material 
4.3.1 – Abordagem Preliminar 
 Para os efeitos de cálculo da armadura longitudinal de lajes a correlação entre 
a deformação do concreto em compressão e aquela referente à armadura de aço 
deve se tal que a seção transversal deva trabalhar no Dominio 2 Figura 57, pois, é 
neste dominio que se desenvolve seu processo de ruína. Assim, a posição y da 
linha neutra, Figura 58, deve atender ao critério: 
𝑦
𝑑
 ≤ 0,25, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑡é 𝐶 50 
𝑦
𝑑
 ≤ 0,15, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎é 𝐶 50 
Para a altura útil, Figura 59, resulta: 
𝑑′𝑥 = 𝑐𝑜𝑏 +

𝐿
2
 → 𝑑𝑥 = ℎ − 𝑑′𝑥 𝑒 𝒅′𝒚 = 𝒄𝒐𝒃 +
𝟑
𝑳
𝟐
 → 𝒅𝒚 = 𝒉 − 𝒅′𝒚 
Se L é a bitola nominal prevista para as barras da armadura longityudinal de aço, 
d’x e d’y representam as distâncias dos centros de gravidade das armaduras 
longitudinais de tração nas direções x e y, respectivamente, em relação ao bordo 
tracionado e cob representa o cobrimento da armadura que deve ser definido com 
base nas tabelas 3 e 4. 
 
107 
 
 
Figura 57 
Tabela 3 
Classe de 
Classificação geral do tipo de Risco de deterioração 
agressividade Agressividade 
ambiental ambiente para efeito de projeto da estrutura 
 Rural 
I Fraca Insignificante 
 Submersa 
II Moderada Urbana Pequeno 
 Marinha 
III Forte IndustriaI Grande 
 Industrial 
IV Muito forte Elevado 
 Respingos de maré 
 
Tabela 4 
Cobrimento nominal de armaduras (mm) 
Tipo de elemento Classe de agressividade ambiental 
I II III IV – 2 ) 
Laje – 1 ) 20 25 35 45 
Viga/Pilar 25 30 40 50 
- 1 - ) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com 
revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento 
tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, asfálticos e outros tantos, as exigências 
desta tabela podem ser substituídas por proteção com graute, calda de cimento Portland sem 
adições ou graxa especialmente formulada para esse fim, respeitando-se um cobrimento nominal 
de pelo menos 15 mm. 
 - 2 - ) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e 
esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e 
intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal de pelo menos 45 mm. 
108 
 
 
Figura 58 
 
Figura 59 
4.3.2 - Armadura Longitudinal Mínima 
Em se tratando de armaduras negativas ou armaduras positivas de lajes 
armadas em uma só direção adote-se os mesmos critérios aplicados a vigas. 
Para as armaduras de lajes armadas em duas direções adotar 67% dos 
valores referentes aos critérios aplicados às vigas. 
Lembre-se que conforme a NBR 6118/ 2014, a armadura longitudinal prevista 
para vigas é: 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑠𝑚𝑖𝑛𝐴𝑐 
109 
 
Onde Ac é a área da seção bruta de concreto e min representa a porcentagem 
geométrica minima de armadura estabelecida conforme Tabela 5. 
Tabela 5 
Valores de min = Asmin/Ac 
fck 20 a 30 35 40 45 50 55 60 
min 0,15 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 
 
Além do mais deve ser prevista uma armadura mínima capaz de absorver, 
pelo menos, um momento fletor de projeto de intensidade: 
𝑀𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0,8𝑊𝑜𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 
Onde Wo representa o Módulo de Resistência à Flexão da Seção Transversal 
que para seções transversais retangulares é expresso na forma: 
𝑊𝑜 = 
𝑏ℎ2
6
 
E o parâmetro fctk,sup refere-se à rtesistência à tração do concreto para o 
cálculo da qual pode ser utilizada a equação: 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 0,4𝑓𝑐𝑘
2/3
 
 
Armadura Longitudinal Máxima 
A soma das armaduras de tração e de compressão, fora da zona de emenda, 
não deve ser superior a 4%, devendo-se atentar, inclusive, para as condições de 
ductilidade. 
 
Modelo de Cálculo 
Conforme seção 14.7.1 da NBR 6118/2014, as placas podem ser analisadas 
admitindo-se que: 
 Em faixas suficientemente estreitas a seção transversal plana assim 
permanece durante e após a deformação; 
110 
 
 Elementos podem ser representados por seu plano médio; 
 Deverá ser avaliada a necessidade de consideraçãoda alternância de 
sobrecargas; 
 Carga variável de intensidade até 5 kN/m2 e de no máximo 50% da carga 
total pode-se dispensar tal alternância 
 
O momento reduzido é definido na forma: 
𝜇 = 
𝑀𝑑
𝑓𝑐𝑏𝑑2
 
E alternativamente a partir de: 
𝜇 = 0,8
𝑦
𝑑
(1 − 0,4 
𝑦
𝑑
) 
Se o concreto a ser adotado é de classe inferor a C 50, e, para esta 
alternativa, y/d  0,25, então, no limite: 
𝜇𝑙𝑖𝑚 = 0,8 × 0,25(1 − 0,4 × 0,25) = 0,18 
O braço do conjugado resistente, Figura 60, é dado a partir de: 
𝑧 = (1 + √1 − 2𝜇)
𝑑
2
 (𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) 
 
Figura 60 
A área da seção transversal de armadura de aço será então: 
𝐴𝑠 = 
𝑀𝑑
𝑧𝑓𝑦𝑑
 (𝑐𝑚2/𝑚) 
111 
 
Exercício IV.2 – Determinar a armadura longitudinal para a laje do Exercício IV.1 
atendendo ao estado limite último de ruína do material, considerando para os 
momentos fletores os seguintes valores: 
Painél de Laje 1 2 
𝑴𝒙 𝟏𝟔, 𝟏 𝒌𝑵𝒎/𝒎 𝟏𝟐, 𝟐 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒚 𝟖, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 𝟒, 𝟔 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒙𝒆 −𝟑𝟏, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 −𝟑𝟏, 𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 
 
Tensões limite: 
𝒇𝒄 = 𝟎, 𝟖𝟓
𝒇𝒄𝒌
𝜸𝒄
= 𝟎, 𝟖𝟓
𝟑𝟎
𝟏, 𝟒
≈ 𝟏𝟖, 𝟐𝟏 𝑴𝑷𝒂 → 𝟏𝟖 𝑴𝑷𝒂 
𝒇𝒄𝒕,𝒎 = 𝟎, 𝟑𝒇𝒄𝒌
𝟐/𝟑
= 𝟎, 𝟑 × 𝟑𝟎𝟐/𝟑 = 𝟐, 𝟗𝟎 𝑴𝑷𝒂 
𝒇𝒄𝒕𝒌,𝒔𝒖𝒑 = 𝟏, 𝟑𝒇𝒄𝒕,𝒎 = 𝟏, 𝟑 × 𝟐, 𝟗𝟎 = 𝟑, 𝟕𝟕 𝑴𝑷𝒂 
𝒇𝒚𝒅 = 
𝒇𝒚𝒌
𝜸𝒔
= 
𝟓𝟎𝟎
𝟏, 𝟏𝟓
= 𝟒𝟑𝟒 𝑴𝑷𝒂 
Altura Útil: 
Adotar: cob = 15 mm; ΦL = 10 mm na direção x e ΦL = 6.3 mm na direção y. 
Logo: 
𝒅𝒙 = 𝒉 − 𝒄𝒐𝒃 −
∅𝑳
𝟐
= 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟓 − 
𝟏𝟐, 𝟓
𝟐
= 𝟏𝟐𝟖, 𝟕𝟓 𝒎𝒎 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟖 𝒎 
𝒅𝒚 = 𝒉 − 𝒄𝒐𝒃 −
𝟑∅𝑳
𝟐
= 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟓 − 
𝟑 × 𝟔. 𝟑
𝟐
= 𝟏𝟐𝟓, 𝟓 𝒎𝒎 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 𝒎 
 
Armadura Mínima: 
𝑨𝒔𝒙𝒆𝒎𝒊𝒏 = 𝟎, 𝟏𝟓%𝑨𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟓 × 𝟏𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐, 𝟐𝟓 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
𝑨𝒔𝒚𝒎𝒊𝒏 = 𝑨𝒔𝒙𝒎𝒊𝒏 = 𝟎, 𝟔𝟕 × 𝟐, 𝟐𝟓 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
𝑴𝒅𝒙𝒆𝒎𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟖𝑾𝒐𝒇𝒄𝒕𝒌,𝒔𝒖𝒑 
112 
 
𝑊𝑜 =
𝑏ℎ2
6
=
1,00 × 0,152
6
= 0,00375 𝑚3 
𝑴𝒅𝒙𝒆𝒎𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟖 × 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟕𝟓 × 𝟑, 𝟕𝟕 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟏𝟑𝟏 𝑴𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒅𝒙𝒎𝒊𝒎 = 𝑴𝒅𝒚𝒎𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟔𝟕 × 𝟎, 𝟎𝟏𝟏𝟑𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟔 𝑴𝑵𝒎/𝒎 
Armadura Máxima: 
𝑨𝒔𝒎𝒂𝒙 = 𝟒%𝑨𝒄 = 𝟒% × 𝟏𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟔𝟎, 𝟎𝟎 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
Espaçamento Máximo: 
𝒔𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝒉 = 𝟐 × 𝟏𝟓 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎 
𝒔𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎 
Espaçamento Mínimo: 
𝒔𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 
 
Momentos Reduzidos: 
𝝁𝒙 = 
𝑴𝒅𝒙
𝒇𝒄𝒃𝒅𝒙
𝟐 𝝁𝒙𝒆 = 
𝑴𝒅𝒙𝒆
𝒇𝒄𝒃𝒅𝒙
𝟐 𝝁𝒚 = 
𝑴𝒅𝒚
𝒇𝒄𝒃𝒅𝒚
𝟐 
Braço do Conjugado Resistente: 
𝒛𝒙𝒆 = (𝟏 + √𝟏 − 𝟐𝝁𝒙𝒆)
𝒅𝒙
𝟐
; 𝒛𝒙 = (𝟏 + √𝟏 − 𝟐𝝁𝒙)
𝒅𝒙
𝟐
; 
 𝒛𝒚 = (𝟏 + √𝟏 − 𝟐𝝁𝒚)
𝒅𝒚
𝟐
 
Área da Seção Transversal das Armaduras: 
𝑨𝒔𝒙𝒆 = 
𝑴𝒅𝒙𝒆
𝒛𝒙𝒆𝒇𝒚𝒅
; 𝑨𝒔𝒙 = 
𝑴𝒅𝒙
𝒛𝒙𝒇𝒚𝒅
; 𝑨𝒔𝒚 = 
𝑴𝒅𝒚
𝒛𝒚𝒇𝒚𝒅
 
Assim, para o painel de laje 1: 
𝑀𝑑𝑥𝑒 = 𝛾𝑓𝑀𝑥𝑒 = 1,4 × 31,4 = 43,96 𝑘𝑁𝑚 = 0,044𝑀𝑁𝑚/𝑚 
113 
 
𝑀𝑑𝑥𝑒 = 0,044 𝑀𝑁𝑚/𝑚 > 𝑀𝑑𝑥𝑒𝑚𝑖𝑚 = 0,01131 𝑀𝑁𝑚/𝑚 
 𝝁𝒙𝒆 =
𝟎, 𝟎𝟒𝟒
𝟏𝟖 × 𝟏, 𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟏𝟐𝟖𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟓 < 0,18 
𝒛𝒙𝒆 = (𝟏 + √𝟏 − 𝟐 × 𝟎, 𝟏𝟓)
𝟎, 𝟏𝟐𝟖
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟏𝟕 𝒎 
𝑨𝒔𝒙𝒆 = 
𝑴𝒅𝒙𝒆
𝒛𝒙𝒆𝒇𝒚𝒅
= 
𝟎, 𝟎𝟒𝟒
𝟎, 𝟏𝟏𝟕 × 𝟒𝟑𝟒
= 𝟖, 𝟔𝟕 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
𝑨𝒔𝒙𝒆𝒎𝒊𝒏 = 𝟐, 𝟐𝟓 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
𝑻𝒑 = 
𝑨𝒔
𝑨𝒔𝟏𝟐
= 
𝟖, 𝟔𝟕
𝟏, 𝟐𝟐𝟕
= 𝟖 𝒑𝒆ç𝒂𝒔 
𝑺 = 
𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎
𝑻𝒑
=
𝟏𝟎𝟎
𝟕𝟖
= 𝟏𝟐, 𝟓 𝒄𝒎 
Φ12.5 c 125 
𝑴𝒅𝒙 = 𝛾𝑓𝑀𝑥 = 1,4 × 𝟏𝟔, 𝟏 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟒
𝒌𝑵𝒎
𝒎
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 𝑴𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒅𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 𝑴𝑵𝒎/𝒎 > 𝑴𝒅𝒙𝒎𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟔 𝑴𝑵𝒎/𝒎 
𝝁𝒙 =
𝟎, 𝟎𝟐𝟑
𝟏𝟖 × 𝟏, 𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟏𝟐𝟖𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟕𝟗𝟗 → 𝟎, 𝟎𝟕𝟖 < 0,18 
𝒛𝒙 = (𝟏 + √𝟏 − 𝟐 × 𝟎, 𝟎𝟕𝟖)
𝟎, 𝟏𝟐𝟖
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟐𝟐𝟖 𝒎 → 𝟎, 𝟏𝟐𝟐 𝒎 
𝑨𝒔𝒙 = 
𝟎, 𝟎𝟐𝟑
𝟎, 𝟏𝟐𝟐 × 𝟒𝟑𝟒
= 𝟒, 𝟑𝟒𝟑𝟗 𝒄𝒎𝟐/𝒎 → 𝟒, 𝟑𝟓 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
𝑨𝒔𝒙𝒎𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
𝑻𝒑 = 
𝑨𝒔
𝑨𝒔𝟖
= 
𝟒, 𝟑𝟓
𝟎, 𝟓𝟎𝟑
= 𝟖, 𝟔𝟒𝟗 → 𝟗 𝒑𝒆ç𝒂𝒔 
𝑺 = 
𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎
𝑻𝒑
=
𝟏𝟎𝟎
𝟗
= 𝟏𝟏, 𝟏𝟏 𝒄𝒎 → 𝟏𝟎 𝒄𝒎 
Φ8 c 10 
114 
 
𝑴𝒅𝒚 = 𝛾𝑓𝑀𝑦𝑥 = 𝟏, 𝟒 × 𝟖, 𝟒 = 𝟏𝟏, 𝟕𝟔 𝒌𝑵𝒎/𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐 𝑴𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒅𝒚 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐 𝑴𝑵𝒎/𝒎 > 𝑴𝒅𝒚𝒎𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟔 𝑴𝑵𝒎/𝒎 𝒆 
𝝁𝒚 =
𝟎, 𝟎𝟏𝟐
𝟏𝟖 × 𝟏, 𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟏𝟐𝟓𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟒𝟐𝟔𝟔𝟔 → 𝟎, 𝟎𝟒𝟑 < 0,18 
𝒛𝒚 = (𝟏 + √𝟏 − 𝟐 × 𝟎, 𝟎𝟒𝟑)
𝟎, 𝟏𝟐𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟐𝟐𝟐𝟓𝟐 𝒎 → 𝟎, 𝟏𝟐𝟐 𝒎 
𝑨𝒔𝒚 = 
𝟎, 𝟎𝟏𝟐
𝟎, 𝟏𝟐𝟐 × 𝟒𝟑𝟒
= 𝟐, 𝟐𝟔𝟔𝟑 𝒄𝒎𝟐/𝒎 → 𝟐, 𝟐𝟕 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
𝑨𝒔𝒚𝒎𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
𝑻𝒑 = 
𝑨𝒔
𝑨𝒔𝟔.𝟑
= 
𝟐, 𝟐𝟕
𝟎, 𝟑𝟏𝟒
= 𝟕, 𝟐𝟐𝟖 → 𝟖 𝒑𝒆ç𝒂𝒔 
𝑺 = 
𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎
𝑻𝒑
=
𝟏𝟎𝟎
𝟖
= 𝟏𝟐, 𝟓 𝒄𝒎 
Φ6.3 c 125 
Para o painel de laje L2 ficaria: 
𝑴𝒅𝒙 = 𝛾𝑓𝑀𝑥 = 1,4 × 𝟏𝟐, 𝟐 = 𝟏𝟕, 𝟎𝟖 𝒌𝑵𝒎/𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟖 𝑴𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒅𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟖 𝑴𝑵𝒎/𝒎 > 𝑴𝒅𝒙𝒎𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟔 𝑴𝑵𝒎/𝒎 
𝝁𝒙 =
𝟎, 𝟎𝟏𝟖
𝟏𝟖 × 𝟏, 𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟏𝟐𝟖𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟔𝟐 < 0,18 
𝒛𝒙 = (𝟏 + √𝟏 − 𝟐 × 𝟎, 𝟎𝟔𝟐)
𝟎, 𝟏𝟐𝟖
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟐𝟑 𝒎 
𝑨𝒔𝒙 = 
𝟎, 𝟎𝟏𝟖
𝟎, 𝟏𝟐𝟑 × 𝟒𝟑𝟒
= 𝟑, 𝟑𝟖 𝒄𝒎𝟐/𝒎 
𝑨𝒔𝒙𝒎𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
𝑻𝒑 = 
𝑨𝒔
𝑨𝒔𝟖
= 
𝟑, 𝟑𝟖
𝟎, 𝟓𝟎𝟑
= 𝟕 𝒑𝒆ç𝒂𝒔 
𝑺 = 
𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎
𝑻𝒑
=
𝟏𝟎𝟎
𝟕
= 𝟏𝟒, 𝟐𝟖 𝒄𝒎 → 𝟏𝟐, 𝟓 𝒄𝒎 
115 
 
Φ8 c 125 
𝑴𝒅𝒚 = 𝛾𝑓𝑀𝑦𝑥 = 𝟏, 𝟒 × 𝟒, 𝟔 = 𝟔, 𝟒𝟒 𝒌𝑵𝒎/𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟓 𝑴𝑵𝒎/𝒎 
𝑴𝒅𝒚 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟓 𝑴𝑵𝒎/𝒎 < 𝑀𝒅𝒚𝒎𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟔 𝑴𝑵𝒎/𝒎 𝒆 
𝝁𝒚 =
𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟔
𝟏𝟖 × 𝟏, 𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟏𝟐𝟓𝟐
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟖 < 0,18 
𝒛𝒚 = (𝟏 + √𝟏 − 𝟐 × 𝟎, 𝟎𝟐𝟖)
𝟎, 𝟏𝟐𝟓
𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟐𝟑 𝒎 
𝑨𝒔𝒚 = 
𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟔
𝟎, 𝟏𝟐𝟑 × 𝟒𝟑𝟒
= 𝟏, 𝟒𝟑 𝒄𝒎𝟐/𝒎 < 𝑨𝒔𝒚𝒎𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
Adotar: 
𝑨𝒔𝒚 = 𝑨𝒔𝒚𝒎𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒄𝒎
𝟐/𝒎 
𝑻𝒑 = 
𝑨𝒔
𝑨𝒔𝟓.𝟎
= 
𝟏, 𝟓𝟏
𝟎, 𝟏𝟗𝟔
= 𝟖 𝒑𝒆ç𝒂𝒔 
𝑺 = 
𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎
𝑻𝒑
=
𝟏𝟎𝟎
𝟖
= 𝟏𝟐, 𝟓 𝒄𝒎 
Φ5.0 c 125 
 
4.3.3 – Verificação ao Esforço Cortante 
Em estruturas usuais de edifícios residenciais e comerciais de pequeno porte, em 
geral, a intensidade do esforço cortante em lajes maciças é insuficiente para exigir o cálculo 
de armadura destinada a absorver as tensões decorrentes. 
As lajes maciças podem prescindir de armadura transversal destinadas a 
absorver esforços de tração decorrentes de esforço cortante se na seção distante 
“d” da face do apoio for atendida a condição: 
𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1 
116 
 
Sendo VSd o Esforço Cortante Solicitante de Projeto referente à Combinação Normal 
de Ações pertinente e VRd1 o Esforço Cortante Resistente de Projeto oferecido pela 
massa de concreto, avaliado mediante: 
𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑𝑘(1,2 − 40𝜌1)𝑑 
E, Rd é a Tensão Cisalhante Resistente de cálculo expressa a partir de: 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25𝑓𝑐𝑡𝑑 
O parâmetro fctd representa a Resistência de Projeto do Concreto em Tração dada 
por: 
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
 
e o parâmetro 1 é a porcentagem geométrica da armadura de tração prolongada de 
uma extensão d + Lb,Nec, além da seção considerada para a verificação do cortante, 
sendo Lb,Nec o comprimento de ancoragem necessário para a citada armadura. 
Portanto tem-se que: 
𝜌1 = 
𝐴𝑠1
𝑏𝑑
 ≤ 0,02 
K é um parâmetro adimensional calculado conforme a equação: 
𝑘 = |1,6 − 𝑑| ≥ 1,0 (𝑑 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) 
Para o estabelecimento do Esforço Cortante Solicitante a considerar deve-se 
tomar com referência a intensidade das reações de apoio, e, pode-se, até mesmo 
adotá-lo igual a tal reação. 
Para o cálculo de armaduras destinadas a absorver as tensões de tração 
associadas ao esforço cortante aplicam-se os mesmos critérios estabelecidos na 
seção 17.4.2 da NBR 6118/2014. 
Ressalte-se que, a resistência máxima prevista para o aço utilizado para a 
manufatura das armaduras deve ser fixada em: 
 250 MPa para lajes com espessura até 150 mm; e, 
117 
 
 435 MPa para lajes com espessura até 350 mm. 
Para lajes de espessura compreendida entre 150 mm e 350 mm pode-se 
proceder à interpolação linear entre os valores das tensões supra especificados.Exercício IV.3 – Verificar a laje dos Exercícios IV.1 e IV.2 ao Esforço Cortante, 
considerando que o Esforço Cortante referente à Combinação Última de Ações de 
maior intensidade é V = 24,1 kN/m. 
Uma vez que a laje apresenta espessura constante e toda a sua massa sólida é 
manufaturada com o mesmo concreto, basta verificá-la para o Esforço Cortante 
correspondente à Combinação Última de maior intensidade. O Esforço Cortante de 
Projeto correspondente é: 
𝑉𝑆𝑑 = 𝛾𝑓𝑉 = 1,4 × 24,1 = 33,8 𝑘𝑁𝑚 = 0, 0338 𝑀𝑁/𝑚 
As tensões resistentes relevantes são: 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,7 × 2,89 = 2,02 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
=
2,02
1,4
= 1,44 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,25 × 1,44 = 0,36 𝑀𝑃𝑎 
a porcentagem geométrica da armadura de tração da seção considerada é 
𝑨𝒔𝟏 = 𝟗 × 𝟎, 𝟓𝟎𝟑 = 𝟒, 𝟓𝟐𝟕 𝒄𝒎
𝟐 
𝝆𝟏 = 
𝑨𝒔𝟏
𝒅
=
𝟒, 𝟓𝟐𝟕
𝟏𝟎𝟎 × 𝟏𝟐, 𝟖
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟓𝟑𝟔𝟕 → 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟓 
e: 
𝒌 = |𝟏, 𝟔 − 𝒅| = |𝟏, 𝟔 − 𝟎, 𝟏𝟐𝟖| = 𝟏, 𝟒𝟕 
O Esforço Cortante Resistente é então: 
𝑽𝑹𝒅𝟏 = 𝝉𝑹𝒅𝒌(𝟏, 𝟐 + 𝟒𝟎𝝆𝟏)𝒅 
𝑽𝑹𝒅𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟔 × 𝟏, 𝟒𝟕 × (𝟏, 𝟐 + 𝟒𝟎 × 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟓) × 𝟎, 𝟏𝟐𝟖 
118 
 
𝑽𝑹𝒅𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟗 𝑴𝑵/𝒎 
Condição de Segurança: 
𝐕𝐝 ≤ 𝑽𝑹𝒅𝟏 
𝐕𝐒𝐝 = 0, 0338 𝑀𝑁/𝑚 < 𝟎, 𝟎𝟗𝟎 𝑴𝑵/𝒎 = 𝑽𝑹𝒅𝟏 
Consequentemente, para o caso em análise, é dispensada a previsão de armadura 
de para absorver as tensões de tração associadas ao Esforço Cortante Solicitante 
de Projeto. 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercicio IV.1 - Dimensionar a laje destinada a piso de garagem, Figura PIV.1, em 
concreto C 30, apoiadas sobre vigas de elevada rigidez, sabendo-se que será 
utilizada por veículo de peso inferior a 25 kN, e seu piso será revestido com lajotas 
cerâmicas de 8 mm de espessura, assentadas sobre leito constituído de argamassa 
de cimento portland areia e cal de 15 mm de espessura, esta última, também 
utilizada para revestir o teto do pavimento inferior à garagem. 
 
119 
 
Figura PIV.1 
Exercicio IV.2 – Dimensionar a laje, em concreto C 30, apoiadas sobre vigas de 
elevada rigidez, destinada a piso de dois ambientes contíguos separados por parede 
de alvenaria singela vazada de altura igual a 3,00 m, Figura PIV.2. Um dos 
ambientes será utilizado como refeitório e o outro como Hall. Os pisos serão 
revestidos com lajotas cerâmicas de 6 mm de espessura, assentadas sobre leito 
constituído de argamassa de cimento Portland areia e cal de 15 mm de espessura, 
esta última, também utilizada para revestir o teto do pavimento inferior. 
 
Figura PIV.2 
 
Exercício III.3 – Dimensionar a laje destinada a piso de garagem utilizada por 
veículo de peso inferior a 25 kN, Figura PIV.3, em concreto C 30, apoiadas sobre 
vigas de elevada rigidez, se seu piso será revestido com lajotas cerâmicas de 8 mm 
de espessura, assentadas sobre argamassa de cimento, areia e cal de 15 mm de 
espessura, também utilizada para revestir o teto do pavimento inferior à garagem. 
 
120 
 
 
Figura PIV.3 
 
Exercício III.4 – Dimensionar a laje destinada a piso de garagem, Figura PIV.4, em 
concreto C 30, apoiadas sobre vigas de elevada rigidez, sabendo-se que dará 
suporte a garagem para veículos de peso inferior a 25 kN, e seu piso será revestido 
com lajotas cerâmicas de 8 mm de espessura, assentadas sobre leito constituído de 
argamassa de cimento Portland, areia e cal de 15 mm de espessura, esta última, 
também utilizada para revestir o teto do pavimento inferior à garagem. 
.. 
Figura PIV.4 
121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
122 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
Volume 1 
Lajes 
Capítulo 5 - Detalhamento de Armaduras 
As armaduras de elementos de concreto armado devem ser detalhadas no 
projeto de forma que, durante sua execução, seu posicionamento previsto em 
projeto seja preservado, e, em consequência, a uniformidade das propriedades do 
concreto e a proteção adequada das armaduras em face da corrosão, sejam 
garantidos. 
Dentre as providências voltadas para a obtenção de um membro estrutural de 
boa qualidade técnica está o estabelecimento de cobrimento mínimo para a 
armadura de aço, conforme a classe de agressividade do meio ambiente. Os 
procedimentos medidas destinados à efetivação do cobrimento das armaduras 
devem ser realizados ainda na fase construtiva, o que se faz através do emprego de 
elementos espaçadores, que podem ser de plástico ou de argamassa, Figura 61. 
 
Figura 61 
Para o correto posicionamento das armaduras em face do desempenho 
mecânico deve-se promover a cobertura do diagrama de momentos fletores 
devidamente descalados. 
Deve-se, inclusive, prever o prolongamento das barras das armaduras até 
além do ponto de momento fletor nulo para assim, estabelecer-se a sua ancoragem 
à massa de concreto envolvente. 
123 
 
A ancoragem é recurso destinado a efetivar a transmissão dos esforços entre 
as armaduras e o concreto mediante aderência, Figura 62. Pode ser materializada 
por intermédio de comprimento adicional reto ou de pequena curvatura seguido ou 
não de gancho, atendendo às condições: 
 - Mediante ganchos, no caso de barras lisas; 
 - Desprovido de gancho, para barras de bitola superior a 32 mm, em 
barras comprimidas, ou se houver alternância de solicitação de tração e 
compressão; 
 - Com ou sem gancho nos demais casos. 
 
Figura 62 
Na região de ancoragem de membros estruturais fletidos deve-se ter para a 
tensão limite de aderência: 
𝑓𝑏𝑑 = 1,75123𝑓𝑐𝑡𝑑 
Onde fctd é a resistência à tração de projeto do concreto e pode ser avaliada a partir 
da equação: 
fctd = fctk,inf/γc 
η1 é o coeficiente referente à conformação superficial da barra de aço, 
adotado conforme Tabela 6. η2 para situação de boa aderência, que é o caso de 
armaduras longitudinais de lajes, deve ser fixado em 1,0. Para barras de diâmetro 
nominal inferior a 32 mm tem-se η3 = 1,0. 
 
124 
 
Tabela 6 – coeficientes de conformação superficial, NBR 6118-14 
Superfície η1 
Lisa 1,00 
Entalhada 1,40 
Nervurada 2,25 
Para fins de determinação do comprimento de ancoragem define-se um valor 
básico mediante a equação: 
𝑙𝑏 = 
𝛷
4
𝑓𝑦𝑑
𝑓𝑏𝑑
≥ 25𝛷 
onde “” é a bitola da barra, “fyd” é o limite de escoamento de projeto do aço. O 
comprimento de ancoragem será: 
𝑙𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝛼
𝐴𝑠,𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐴𝑠,𝑒𝑓𝑒𝑡
≥ 𝑙𝑏,𝑚𝑖𝑛 
Onde α = 0,7 e α = 1,0, respectivamente, para barras com gancho e para barras sem 
gancho, seção 9.4.2.5 da NBR 6118/2014. As,calc é a área calculada para a armadura 
longitudinal de flexão e, As,efet representa aquela área de armadura, efetivamente, 
adotada. O valor do lb,min deve ser o maior dentre os valores 0,3lb, 10ϕ e 100 mm. 
Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a 
h/8. As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no 
máximo igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região 
dos maiores momentos. Figura 63. 
125 
 
 
Figura 63 – Armadura longitudinal em planta 
 
Armadura Positiva 
Nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções, se for dispensada 
a armadura transversal e na ausência de avaliação explícita de acréscimos de 
armadura para absorver momentos volventes, toda a armadura positiva deve ser 
levada até os apoios, não se permitindo seu escalonamento. A armadura deve ser 
prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio. 
Para sua efetiva ancoragem as barras da armadura positiva devem estender-
se, pelo menos, de um valor igual a 10Φ a partir da face dos apoios, sendo Φ sua 
bitola nominal. Nos bordos de extremidade elas devem ser estendidas até junto a 
essas extremidades, preservando-se o cobrimento, Figura 64. 
 
Figura 64 
126 
 
Na direção do maior vão da laje da Figura 65 está indicada uma série de 
barras identificadas pela notação: 
N4 – 21Φ 6.3 c15 – 610 
Esta convenção é usada em desenhotécnico de armaduras de projetos estruturais. 
O N4 é o número de ordem desse tipo de barras na prancha de desenho, o 21 é o 
total de barras da série, o 6.3 seu diâmetro nominal, o c15 significa que as barras da 
série guardam entre si um espaçamento de 15 cm, e, o 610 é o comprimento total 
das barras em centímetros. Todas as barras de certa prancha de desenho com as 
mesmas características de bitola e geometria receberá a mesma identificação de 
ordem N4. Descrição idêntica aplica-se à identificação da série de barras: 
N7 – 28Φ 5.0 c20 – 515 
no presente caso, as barras estão posicionadas segundo a direção do menor vão e 
distribuídas ao longo da direção do maior vão. 
Para a definição da ancoragem das armaduras positivas de lajes contínuas 
sobre vigas de apoio mais flexíveis deve-se atentar para o fato de que a laje pode 
apresentar momentos positivos nas seções das lajes próximas a tais apoios. Desta 
forma essas armaduras positivas devem ser ancoradas além do eixo da viga de 
apoio garantindo-se sua emenda por traspasse, Figura 66. 
 
Figura 65 
127 
 
 
Figura 66 
Pode ser conveniente, inclusive, adotar a maior das armaduras das duas lajes 
contíguas na modalidade corrida, Figura 67. 
 
Figura 67 
 
Armadura Negativa 
O correto posicionamento das armaduras negativas com a devida cobertura do 
diagrama de momentos fletores devidamente descalado, pode ser garantido, de 
forma aproximada adotando-se a solução esquematizada na Figura 68.a. O 
comprimento “a” pode ser avaliado como sendo da ordem de 25% do comprimento 
do maior entre os vãos menores das lajes contíguas. O complemento do 
comprimento “a” para o comprimento “a1”, Figura 68.b e Figura 70.a, mais a dobra 
da barra deve desempenhar o papel de sua ancoragem. Em cada lado do apoio 
adota-se para comprimento “a1” o menor valor entre: 
128 
 
𝒂𝟏 ≥ 𝒂𝑳 + 𝑳𝒃 𝒆 𝒂𝟏 ≥ 𝟎, 𝟐𝟓𝑳 + 𝟏𝟎𝜱 
onde L é do comprimento do maior entre os vãos menores das lajes contíguas, Lb é 
o comprimento de ancoragem com gancho, Φ é o diâmetro da barra, e, 𝒂𝑳 é o 
deslocamento do diagrama de momentos fletores, também conhecido como 
descalagem, para o qual a NBR 6118/2014 recomenda adotar valor igual à altura útil 
do elemento fletido. 
 
Figura 68 
 Com o propósito voltado para a economia de barras de aço, pode-se optar 
pela solução com barras alternadas aplicável, exclusivamente, se o espaçamento 
máximo entre as barras for de 165 mm, de modo que assim existam, pelo menos, 
três barras por metro ao longo do apoio. Podem ser adotadas barras de mesmo 
comprimento, Figura 69.a e Figura 70.b, considerando-se o maior entre os valores: 
𝒂 = 𝒂𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟓𝑳 + 𝟏𝟎𝜱 + 
𝟎, 𝟐𝟓𝑳 + 𝒂𝑳
𝟐 
+ 𝟏𝟎𝜱 
e 
𝒂 = 
𝟑
𝟖
𝑳 + 𝟐𝟎𝜱 + 
 𝒂𝑳
𝟐 
= 
𝟑
𝟖
𝑳 + 𝟐𝟎𝜱 + 𝟎, 𝟕𝟓𝒅 
Podendo-se posicioná-las conforme: 
𝒂𝟐𝟏 = 
𝟐
𝟑
𝒂 𝒆 𝒂𝟐𝟐 = 
𝟏
𝟑
𝒂 
129 
 
Optando-se pela solução com barras de geometrias diferentes, aos pares, Figura 
69.b, deve-se avaliar os comprimentos “a21” e “a22”, como sendo os maiores valores 
entre: 
𝒂𝟐𝟏 = 
𝟎, 𝟐𝟓𝑳 + 𝒂𝑳
𝟐 
+ 𝑳𝒃 𝒆 𝒂𝟐𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟓𝑳 + 𝟏𝟎𝜱 
𝒂𝟐𝟐 = 𝒂𝑳 + 𝑳𝒃 𝒆 𝒂𝟐𝟏 = 
𝟎, 𝟐𝟓𝑳 + 𝒂𝑳
𝟐 
+ 𝟏𝟎𝜱 
 
Figura 69 
 
Figura 70 
130 
 
 Apesar de a dobra das barras da armadura negativa de lajes de concreto 
armado poderem desempenhar a função de gancho da ancoragem, seu objetivo 
primordial é de natureza construtiva, pois, sua função é manter as referidas barras 
devidamente fixas em posições nas proximidades do bordo superior, estabeleciadas 
conforme as diretrizes de projeto estrutural. Se “ϕ” representa o diâmetro nominal da 
barra dobrada, então o comprimento da dobra, Figura 71, pode ser calculado 
mediante: 
𝐿𝑑𝑜𝑏 = ℎ − (2𝑐𝑜𝑏 + 𝜙) 
 
Figura 71 
As dobras das barras têm para objetivo contribuir para a preservação da posição da 
armadura nas proximidades do bordo superior. 
Em geral os comprimentos são arredondados para múltiplos de 5 cm. 
 
Armadura de Distribuição 
Em lajes armadas em uma só direção deve-se prover armadura de distribuição, 
posicionadas segundo direção perpendicular à armadura principal de tração. Tal armadura 
deve apresentar área de seção transversal igual ou superior a 20% da armadura principal e 
a uma área de 0,9 cm2, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 
33 cm, Figura 63. 
Armadura de distribuição também é adotada com a finalidade de garantir o 
correto posicionamento das barras da armadura negativa sobre os apoios, com as 
mesmas áreas e espaçamentos indicados para armadura positiva secundária. Sua 
função é efetivada por uma armadura de montagem cujo efeito precípuo é evitar o 
afundamento da armadura principal quando das operações inerentes à 
131 
 
concretagem. A armadura de montagem pode ser com espaçadores do tipo 
cavalete, vulgarmente conhecidos como caranguejos, e, podem também ser 
industrializados do tipo treliçado, Figura 72. 
 
Figura 72 
Armadura de Bordo 
Nos apoios de extremidade sobre vigas de grande rigidez à torção pode 
ocorrer a incidência de momentos negativos e assim exigir-se a previsão de 
armadura de bordo, Figura 73, para o controle de fissuração, estimando-se sua área 
em 20% da armadura positiva do vão. Deve estender-se, a partir da face do apoio, 
até distância de pelo menos 0,15 do comprimento do vão menor da laje. 
As bordas livres de lajes devem ser protegidas por armaduras transversais e 
longitudinais, detalhados conforme Figura 74, devendo ser adaptados para cada 
circunstância e, quando for o caso conforme a dimensão e posicionamento da abertura, o 
carregamento da laje e a quantidade de barras da armadura interrompida pela abertura. 
Deve-se dispor pelo menos duas barras na direção paralela ao bordo uma 
inferior e uma superior. A armadura perpendicular ao bordo deve ser prolongada de 
uma distância de pelo menos 2h + Lb a partir do bordo, podendo-se fazê-lo com a 
própria barras da armadura de tração, Figura 74. 
A verificação de segurança de aberturas normais ao plano médio das lajes 
pode ser dispensada quando suas dimensões forem menores que um décimo do 
menor vão. Assim sendo, basta dispor em seu contorno as barras da armadura 
132 
 
resistente que teoricamente seriam distribuídas na área da abertura, caso a abertura 
não existisse. 
 
Figura 73 
No caso de grandes aberturas pode-se proceder cálculo simplificado 
dividindo-se a laje em painéis menores e faixas de reforço, Figura 75. Em assim 
procedendo-se, os painéis de laje L1 devem ser considerados apoiados em três lados, 
sendo o quarto lado um bordo livre. A largura da faixa de reforço é dada mediante: 
𝑏𝑤 = (0,8 − 
𝑏
𝐿𝑥
) 𝐿𝑥 
Armadura de reforço deverá ser distribuída nas faixas de reforço, sendo 
calculada para o momento fletor positivo avaliado em: 
𝑀𝑥 = 
𝑝𝐿𝑥
2
8
+ ∆𝑀𝑥 
133 
 
Sendo ΔMx o acréscimo de momento para levar em conta, indiretamente, a 
existência da abertura, devendo ser obtido a partir de: 
 
Figura 74 
∆𝑀𝑥 = [0,2
𝑎
𝐿𝑥
(
2𝑏
𝐿𝑥
)
2
] 𝑝𝐿𝑥
2 
 
Figura 75 
Armadura de Canto 
Com a finalidade de conter a fissuração nos cantos de lajes retangulares 
formados por dois bordos simplesmente apoiados, decorrente dos momentos 
torçores, neste caso particular, conhecidos como momentos volventes, deve ser 
134 
 
distribuída armadura especial, conhecida como armadura de canto. Isto ocorre 
quando a laje for calculada mediante a teoria das placas ou o método de Marcus, ou 
ainda quando a laje for integrada à viga e o cálculo é realizado a partir da teoria das 
grelhas. 
Ao contrário dos momentos fletores, o momento volvente é nulo no centro da 
laje onde as rotações são próximas de zero, apresentando valor máximo nos cantos, 
de modo que essas duas modalidades de momentos não se somam. Apesar de 
contribuírem para a redução do momento fletor provoca aumento residual de tensão 
nos cantos da laje.Na maioria dos casos a consideração do momento volvente é 
desnecessário uma vez apresentar pequena intensidade em relação aos momentos 
fletores. 
Em cantos para os quais concorrem dois bordos simplesmente apoiados 
deve-se adotar armadura de canto, e, sobretudo, se a sobrecarga da laje for 
pequena, convém prover tal região de ancoragem vertical para se opor ao seu 
levantamento. 
Na região próxima à superfície superior dos painéis de laje de extremidade, 
os momentos apresentam direção paralela à bissetriz do ângulo desses cantos 
enquanto os momentos na região próxima à superfície inferior apresentam direção 
perpendicular a tal bissetriz. Os momentos principais máximos são iguais ao 
momento torsor no canto da laje. Por esta razão a armadura de canto deve ser 
composta por barras superiores paralelas à bissetriz do ângulo do canto e barras 
inferiores a ela perpendiculares. Tanto a armadura superior quanto a inferior devem 
ter área de seção transversal, pelo menos, igual à metade da área da armadura de 
tração na flexão para o centro da laje, na direção da armadura de maior área. 
Embora a armadura de canto seja mais eficiente se posicionada na direção 
dos momentos principais, por razões de ordem prática costuma-se adotá-la em 
malha ortogonal segundo as direções x e y, estendendo-as a partir da face do apoio, 
de uma distância igual a 1/5 do comprimento do menor vão da laje, com área igual à 
maior taxa de armadura do centro da laje, incluindo-se na armadura inferior a 
armadura principal de tração, Figura 76. 
135 
 
 
Figura 76 
Uma vez que as barras da armadura positiva são distribuídas uniformemente 
ao longo de cada uma das direções da laje, armadura de canto do bordo inferior 
pode ser dispensada. A armadura superior, por sua vez, se faz necessária e, para 
facilitar a execução, recomenda-se adotar malha ortogonal com área em cada 
direção pelo menos igual à metade da taxa de armadura do centro da laje. 
 
Lajes em Balanço 
O engastamento de lajes em balanço rebaixadas em relação à laje contígua é 
efetivado mediante a adoção de um laço na armadura principal, Figura 77.a. Caso o 
laço seja omitido, Figura 77.b, a armadura principal ao trabalhar em tração promove 
o surgimento de empuxo “F” contra a massa do cobrimento da armadura, tendendo 
a provocar o fendilhamento do concreto naquela região, caracterizando equívoco de 
detalhamento que leva a deficiência adquirida que compromete a durabilidade 
estrutural. 
136 
 
 
Figura 77 
Armadura de Reforço de Apoio a Paredes 
Nas lajes armadas em sua só direção, sobre as quais se apoia uma parede 
que se desenvolve na direção da armadura principal deve-se prever na fase de 
projeto, uma faixa de reforço, Figura 78.a, destinada a melhor distribuir a carga da 
referida parede na laje. Tal faixa deve ser reforçada com armadura calculada para 
um momento fletor adicional: 
𝑴𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟏𝑷𝒂𝑳𝒙 
A quantidade de armadura de reforço assim determinada deve ser distribuída 
nas duas direções da laje na faixa sob a parede de largura “Lx”, ao longo de todo o 
vão menor, Figura 78.b. 
137 
 
 
Figura 78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
138 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
Volume 1 
Lajes 
Capítulo 6 – Tópicos Complementares 
Alternância de Sobrecarga 
A sobrecarga a que esta seção se refere é a carga de utilização, também 
denominada carga acidental ou carga variável. 
Para o cálculo de esforços em lajes deverá ser avaliada a necessidade de 
consideração da alternância de sobrecargas. 
A alternância de sobrecargas pode ser dispensada se a intensidade da carga 
variável for de até 5 kN/m2 e de no máximo 50% da carga total. 
O procedimento de alternância de sobrecargas deve ser voltado para o 
estabelecimento de arranjo do qual resulte os maiores momentos fletores possíveis. 
A consideração da alternância de cargas só resulta em diferenças relevantes na 
intensidade dos momentos fletores no centro das lajes. 
O arranjo de cargas mais desfavoráveis à intensidade do momento no centro das 
lajes corresponde à laje carregada e as vizinhas descarregadas. Para análise da 
repercussão da alternância de sobrecargas no painel de laje L1 da Figura 79, deve-
se considerar o arranjo com os painéis sombreados carregados e os painéis L2 
descarregados. 
 Para instruir a análise do desempenho do painel L1 considere-se o corte 
passando por ele apresentado na Figura 80. A Figura 80.a ilustra dois esquemas 
estruturais modelo, representado por uma viga continua, na qual a carga acidental 
está desmembrada da carga permanente. Com o objetivo de facilitar a análise, se 
realizada manualmente, os esquemas da Figura 80.a podem ser substituídos pela 
superposição dos esquemas das Figuras 80.b e 80.c, e, realmente favorece. 
Observe-se que cada um dos três vãos da Figura 80.b podem ser aproximados por 
elementos bi apoiados, pois, as cargas solicitantes dos vãos CD e DE tendem a 
139 
 
fazer essas barras girar em torno do ponto D no mesmo sentido, no caso o sentido 
anti-horário, permitido aproximar tal apoio por uma rótula. Tendência similar ocorre 
com as barras DE e EF cujas cargas induzem o giro dessas barras em torno do 
ponto F no sentido horário. Para o esquema da Figura 80.c, por sua vez, os vãos de 
extremidade têm de ser tratados como engastados na extremidade interna e 
simplesmente apoiado, obviamente, na extremidade externa, e, o vão central como 
bi engastado. Os apoios intermediários têm de ser tratados como engastes porque 
os carregamentos envolvidos tendem a girar as barras que concorrem para eles em 
sentidos mutuamente contrários. 
 
Figura 79 
 Para a análise do painel de Laje L2 mire-se atenção na configuração da Figura 
81 e na representação do corte AB ali indicado, cujos esquemas estruturais 
desmembrados pertinentes encontram-se ilustrados na Figura 82. Para a efetivação 
da análise deve-se adotar raciocínio idêntico àquele voltado para a análise do painel 
de laje L1. 
140 
 
 
Figura 80 
 
Figura 81 
141 
 
 
Figura 82 
Esforços 
A determinação dos esforços em lajes é tarefa complexa. Em face da 
interação Laje/Viga os esforços dependem da relação entre as rigidezes desses 
elementos. A rigidez de cada um desses elementos é influenciada pela fissuração do 
concreto e pelas armaduras, esta última previamente desconhecida. A fissuração 
por sua vez depende da armadura e do carregamento 
Fissuração 
Na escala de abrangência das cargas de serviço as vigas estão no estádio II 
e as lajes no estádio I. No estado limite último o quadro de fissuração e o declínio da 
rigidez são diferentes. A maior capacidade de redistribuir esforços das lajes 
influencia sua distribuição no estado limite último 
Rigidez 
O centro de gravidade da seção de vigas diretas posiciona-se abaixo do plano 
médio da laje resultando enrijecimento. 
142 
 
 
Figura 83 
O centro de gravidade da seção de vigas invertidas posiciona-se acima do 
plano médio da laje resultando declínio de rigidez. 
 
Figura 84 
Para a maioria dos casos da prática, dos métodos simplificados resultam 
resposta satisfatória. Plastificações do concreto induzem redistribuição de esforços, 
em alguns casos em magnitude significativa. As variações decorrentes da 
plastificação são mais efetivas nos momentos negativos, para mais ou menos. Na 
maioria dos casos a laje maciça é capaz de absorvê-los.