Lajes Nervurada

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Lajes Nervuradas 
1- Introdução 
A laje nervurada, Figura 1, representa elemento estrutural de superfície 
superior plana, geralmente horizontal, destinada a receber as cargas de serviço 
conforme o tipo de utilização da estrutura, sendo constituída por placa 
solidarizada a sistema de vigotas que se cruzam caracterizando uma grelha. 
 
Figura 1 – Elementos de Lajes Nervuradas 
As placas são denominadas de mesas e as vigotas de nervuras, Figura 2. 
O sistema estrutural apresentará resposta mecânica de padrão intermediário 
entre uma laje maciça e uma grelha. A mesa absorverá as tensões de 
compressão enquanto a zona de tração recai nas nervuras, onde é distribuída 
a armadura principal que absorverá as tensões normais decorrentes do 
momento de flexão. 
 
Figura 2 – Seção Transversal 
É especialmente aplicada quando há a necessidade de vencer grandes vãos, 
para os quais a laje maciça torna-se antieconômica, o que representa realidade 
2 
 
freqüente nas últimas décadas em face da tendência natural dos projetos 
arquitetônicos em praticarem formas e dimensões mais ousadas. 
A solução em lajes maciças em estruturas de grandes vãos é antieconômica 
em razão de necessitar da adoção de espessuras elevadas em escala tal que o 
peso próprio representaria parcela predominante das ações solicitantes. Em 
outras palavras, a laje seria calculada, quase que exclusivamente, para 
suportar ela mesma. 
A economia da laje nervurada em relação à laje maciça decorre da existência 
de menor volume de concreto abaixo da linha neutra, Figura 3, combinado com 
o fato da geometria da seção transversal apresentar setores de sua área mais 
afastados do centro de gravidade. Este último aspecto a confere maior 
momento de inércia e, consequentemente, maior rigidez e resistência à flexão, 
resultando na otimização de desempenho mecânico com aproveitamento dos 
elementos resistentes segundo padrão mais racional. 
Normalmente, a laje nervurada é suplementada com material de enchimento de 
natureza inerte e de baixo peso especifico comparativamente ao concreto. Tal 
material podendo ser à base de isopor, rejeitos de material de construção, 
madeirit de fôrmas ou tijolos. Constitui-se em elemento mecanicamente ocioso, 
cuja função precípua é preencher os espaços vazios entre as nervuras, 
contribuindo para a estética. 
 
Figura 3 – Linha Neutra 
As lajes atuam, inclusive, como diafragmas ou chapas horizontais rígidas, 
Figura 4, recebendo ações horizontais ao longo de seu plano, contribuindo para 
sua distribuição entre os pilares do conjunto estrutural e para a ligação dos 
pilares aos elementos de contra-ventamento. Diante de tal realidade as lajes 
favorecem, portanto, a estabilidade global da estrutura em relação às ações 
3 
 
laterais, de modo que constitui membro fundamental, sobretudo, em edifícios 
altos. 
A consideração do efeito de chapa ou membrana é relevante, sobretudo, em 
lajes constituídas por painéis pré-moldados haja vista o padrão de transferência 
de forças e a intensidade das tensões comparada com a capacidade portante 
do conjunto. 
 
Figura 4 – Lajes Nervuradas – Desempenho conjunto 
As lajes nervuradas podem ser moldadas in lócus, Figura 5, ou com nervuras 
pré-moldadas, Figura 6. 
No primeiro caso todas as etapas executivas são realizadas "in loco", com o 
emprego de fôrmas, escoramentos e material de enchimento. As lajes com 
nervuras pré-moldadas dispensam o uso do tabuleiro da fôrma tradicional 
necessitando apenas de cimbramentos intermediários. As vigotas podem ser 
de três tipos, figura abaixo, sendo capazes de suportar seu peso próprio e as 
ações decorrentes do processo construtivo. 
4 
 
 
Figura 5 – Lajes moldadas in locus 
 
Figura 6 – Nervuras pré-moldadas 
 
2 - Parâmetros de Projeto 
A prática usual da concepção de lajes nervuradas consiste em adotar painéis 
com vãos maiores que os das lajes maciças, apoiados em vigas mais rígidas 
que suas nervuras, parametrizando-se pela resistência à compressão do 
concreto. 
As lajes nervuradas diretas são aquelas cujo centro de gravidade da seção 
transversal das nervuras está localizado abaixo do plano médio da mesa, como 
deve ocorrer nas lajes de piso. Sua seção transversal, considerando-se o 
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conjunto mesa-nervuras, funciona frente aos momentos fletores positivos como 
viga “T”. 
A previsão de engastes ou balanços deve ser evitada, pois, delas resultam 
esforços de compressão na face inferior, onde a área de concreto é reduzida. 
Em sendo inevitável, porém, a adoção desses tipos de solução estrutural faz-se 
necessário limitar a intensidade do momento fletor ao valor correspondente à 
resistência da nervura à compressão. Recomenda-se, inclusive, a adoção de 
mesa na parte inferior, Figura 7, resultando na versão conhecida como laje 
dupla. Como alternativa pode-se adotar uma região maciça de dimensão 
compatível com os esforços solicitantes, Figura8. 
 
Figura 7 - Lajes Nervuradas Contínuas de Mesa Dupla 
As lajes nervuradas invertidas são definidas como aquelas cujo centro de 
gravidade da seção transversal das nervuras está localizado acima do plano 
médio da mesa. Este tipo de solução pode ser adotada em cobertas. Sua 
seção transversal funciona mecanicamente tal viga “T” invertida frente aos 
momentos fletores negativos. 
No caso de Lajes Nervuradas Contínuas Invertidas aplicam-se os mesmos 
comentários apresentados com respeito à sua versão direta, adaptados à 
realidade ora abordada. Neste caso então, a mesa dupla ou a região de 
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enrijecimento deve ser posicionada na faixa de momentos fletores positivos 
maiores ao centro da laje. 
 
Figura 8– Lajes Nervuradas Contínuas com Região Maciça 
Em lajes de armadura unidirecional de flexão solicitada mediante cargas 
concentradas ou quando o vão teórico for superior a 4,00 metros, recomenda-
se a adoção de nervuras transversais de distribuição, Figura 9, também 
conhecidas como transversinas. Exigem-se, pelo menos, duas nervuras se o 
vão teórico for superior a 6,00 metros. 
 
Figura 9 – Transversinas de distribuição 
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3 - Recomendações Normativas 
Dimensões-Limites 
A espessura “hf” da mesa, caso não hajam tubulações horizontais embutidas, 
deve ser maior ou igual a 1/5 da distância entre as faces da nervuras “ao” e não 
inferior a 4 cm, Figura 10. 
Havendo tubulações embutidas de diâmetro menor que 10 mm a espessura 
mínima absoluta da mesa deve ser 5 cm. Se o diâmetro for maior que 10 mm, a 
espessura mínima absoluta da mesa deve ser de 4 cm + Φ se não houver 
cruzamento das tubulações e de 4 cm + 2Φ, em caso contrário, Figura 10. 
A espessura “bw” das nervuras, Figura 10, não pode ser inferior a 5 cm se elas 
forem isentas de armadura de compressão e a 8 cm, em caso contrário. 
 
Figura 10 – Dimensões da seção transversal 
 
4 - Análise Estrutural 
O projeto de Lajes Nervuradas com nervuras pré-moldadas deve atender, 
inclusive, as respectivas normas específicas. 
Em lajes com espaçamento entre eixos de nervuras Sx inferior a 65 cm, Figura 
11, a verificação da flexão da mesa pode ser dispensada e a verificação ao 
cisalhamento da região das nervuras pode ser realizada mediante os critérios 
aplicados a lajes. 
Se o espaçamento de que trata o parágrafo anterior for entre 65 e 110 cm, a 
verificação à flexão da mesa é exigida e a do cisalhamento deve ser realizada 
mediante os modelos aplicados a vigas, salvo se a largura média das nervuras 
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bwd for maior que 12 cm e o espaçamento entre seus eixos for até 90 cm, 
situação para a qual a verificação ao cisalhamento pode ser como lajes. 
Se o espaçamento de que trata o parágrafo anterior for superior a 110 cm a 
mesa deve ser concebida como laje maciça apoiada nas grelhas do vigamento 
obedecendo-se os limites mínimos de espessura. 
As lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas segundo a direção 
das nervuras podendo-se desprezar a rigidez transversal e a torção.As lajes nervuradas bidirecionais podem ser calculadas, para efeito de esforços 
solicitantes, como lajes maciças, NBR 14859-2, devendo o dimensionamento e 
verificação serem pautados no item 19, página 155, NBR 6118/2014 e o 
detalhamento realizado conforme seu item 20, página 169. 
Se o espaçamento entre nervuras for no máximo igual a 50 cm o efeito de 
torção é favorável permitindo a adoção do método de Marcus. 
Em lajes nervuradas invertidas deve-se prever armadura de suspensão de 
forma idêntica às lajes maciças. 
Os estribos de nervuras, quando necessário devem apresentar espaçamento 
máximo de 200 mm. 
 
5 - Esforços 
Para os casos cotidianos envolvendo pisos de edifícios de cargas distribuídas 
de moderada intensidade, em razão das espessuras mínimas praticadas para 
as mesas, elas apresentam rigidez suficiente a garantir seu desempenho 
solidariamente às nervuras. A modelagem de cálculo de esforços pode tomar 
por base a assimilação da laje nervurada a uma laje maciça de espessura 
equivalente, de idêntica rigidez à flexão. 
Ocorrendo a ação de cargas distribuídas de elevada intensidade ou de cargas 
concentradas relevantes faz-se imperativa a adoção de espessuras além da 
mínima recomendada em norma. 
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Há previsões pautadas em análise numérica de que as lajes nervuradas, ao 
contrário das maciças, apresentam fissuras para as cargas de serviço, o que 
representa indícios de Estádio II. Mesmo assim, os resultados dos cálculos dos 
deslocamentos verticais tomando-se como referência o Estádio I são de boa 
qualidade numérica, pois, os de efeitos da fluência previstos nos modelos 
normativos são superestimados compensando as conseqüências desfavoráveis 
da fissuração. Assim, a parcela de deslocamento adotada para considerar a 
fluência pode incluír o acréscimo de deformações decorrentes da fissuração. 
A determinação da laje maciça equivalente de modo mais rigoroso fundamenta-
se na equalização de trabalhos deformacionais, que exige o emprego de 
aproximação numérica especifica mais refinada. Pode-se recorrer à adoção de 
alternativas simplificadas, destacando-se o procedimento de igualar-se a 
rigidez média como sendo o mais preciso. 
Se a laje tivesse espessura igual à altura da seção transversal da nervura e 
caso sua espessura fosse igual à espessura da mesa, os momentos de inércia 
correspondentes a estas duas situações extremas seriam dados mediante: 
𝑰𝟏 = 
𝒉𝟑
𝟏𝟐
 𝒆 𝑰𝟐 = 
𝒉𝒇
𝟑
𝟏𝟐
 
O momento de inércia da laje nervurada poderia ser obtido mediante 
ponderação racional envolvendo tais momentos de inércia, na forma: 
𝑰 = (𝟏 − 𝒓)𝑰𝟏 + 𝒓𝑰𝟐 
Com o parâmetro r calculado a partir de: 
𝒓 = 
𝒂𝒐𝒙𝒂𝒐𝒚
𝑺𝒙𝑺𝒚
 
Onde aox e aoy são as distâncias interface de nervuras consecutivas e, Sx e Sy 
as distâncias entre seus eixos, definidos geometricamente na Figura 11. O 
momento de inércia da seção transversal de uma placa maciça será: 
𝑰𝒑 = 
𝒉𝒑
𝟑
𝟏𝟐
 
10 
 
sendo hp a sua espessura. Tomando-se o momento de inércia da seção 
transversal da laje nervurada pelo seu correspondente de tal placa maciça de 
rigidez equivalente deveremos ter: 
𝑰 = 𝑰𝒑 
Ou seja: 
(𝟏 − 𝒓)𝑰𝟏 + 𝒓𝑰𝟐 = 
𝒉𝒑
𝟑
𝟏𝟐
 
e: 
(𝟏 − 𝒓)
𝒉𝟑
𝟏𝟐
+ 𝒓
𝒉𝒇
𝟑
𝟏𝟐
= 
𝒉𝒑
𝟑
𝟏𝟐
 
Resultando: 
𝒉𝒑
𝟑 = (𝟏 − 𝒓)𝒉𝟑 + 𝒓𝒉𝒇
𝟑 → 𝒉𝒑 = √(𝟏 − 𝒓)𝒉𝟑 + 𝒓𝒉𝒇
𝟑𝟑 
O momento por nervura é dado pelo produto entre o momento fletor por 
unidade de comprimento calculado através do emprego dos métodos 
simplificados já abordados e os espaçamentos Sx e Sy entre eixos de nervuras. 
 
Figura 11 – Parâmetros Geométricos de Laje Nervurada 
11 
 
A armadura de flexão deve então ser calculada para a seção em “T” formada 
pelo conjunto nervura-mesa. 
Nas lajes nervuradas, geralmente, aox ≤ 1,00 m, aoy ≤ 1,00 m, e, por outro lado, 
Lx > 5,00 m; e, Ly > 5,00 m, logo, predominam as relações bfx = Sx e bfy = Sy. 
De maneira análoga ao cálculo dos momentos fletores calculam-se as reações 
dos apoios bem como os cortantes. 
 
6 - Exemplo: Determinar a seção da laje nervurada da Figura 12, 
manufaturada em concreto C 30 armado com barras de aço CA 50 e recheada 
com isopor, destinada ao suporte de piso em ambiente a ser utilizado como 
escritório, sabendo-se que será apoiada sobre vigas de 20 cm de largura e que 
receberá a carga de 1,0 kN/m2 decorrente de uma divisória. 
 
Figura 12 – Planta de Laje Nervurada 
 
A espessura “hf” da mesa, caso não hajam tubulações horizontais embutidas, 
deve ser maior ou igual a 1/5 da distância entre as faces da nervuras “ao” e não 
inferior a 4 cm. 
A espessura “bw” das nervuras não pode ser inferior a 5 cm se elas forem 
isentas de armadura de compressão e a 8 cm, em caso contrário. 
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As dimensões estimadas inicialmente para as nervuras e a mesa estão 
esquematizadas na figura 13. 
 
Figura 13 
Cálculos Preliminares 
Parâmetros geométricos: 
Altura da nervura: 
𝒉 = 𝟎, 𝟐𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟑𝟎 𝒎 
Altura útil das nervuras: 
𝑑 = 0,9ℎ = 0,9 × 0,30 = 0,27 𝑚 
Distância interfaces das nervuras: 
𝑎𝑜𝑥 = 𝑎𝑜𝑦 = 0,50 𝑚 
Distância entre eixos de nervuras: 
𝑏𝑓𝑥 = 𝑏𝑓𝑦 = 𝑆𝑥 = 𝑆𝑦 = 𝑎𝑜𝑦 + 𝑏𝑤 = 0,50 + 0,10 = 0,60 𝑚 
Vãos Teóricos: 
𝐿𝑥 = 𝐿𝑜𝑥 + 0,20 = 8,00 + 0,20 = 8,20 𝑚 
𝐿𝑦 = 𝐿𝑜𝑦 + 0,20 = 10,00 + 0,20 = 10,20 𝑚 
13 
 
 
Espessura equivalente: Será baseado na Figura 14 
 
Figura14 
𝒓 = 
𝒂𝒐𝒙𝒂𝒐𝒚
𝑺𝒙𝑺𝒚
= 
0,50 × 0,50
0,60 × 0,60
= 0,7 
ℎ𝑝 = √(1 − 𝑟)ℎ
3 + 𝑟ℎ𝑓
3 
3
= √(1 − 0,7) × 0,303 + 0,7 × 0,103
3
≅ 0,206 𝑚 
Módulo de Deformação: 
𝐸𝑐𝑖 = 5600√𝑓𝑐𝑘 = 5600√30 = 30672 𝑀𝑃𝑎 
𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2
𝑓𝑐𝑘
80
= 0,8 + 0,2
30
80
= 0,875 
𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖𝐸𝑐𝑖 = 0,875 × 30672 = 26838 𝑀𝑃𝑎 
14 
 
Rigidez à Flexão: 
𝐷 = 
𝐸𝑐𝑠ℎ𝑝
3
12(1 − 𝜈2)
= 
26838 × 0,2063
12(1 − 0,22)
= 20,36 𝑀𝑁𝑚 
Tensões Limite: 
𝑓𝑐 = 0,85
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
= 0,85 ×
30
1,4
= 18 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
=
500
1,15
= 434 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,21𝑓𝑐𝑘
2
3 = 0,21 × 30
2
3 = 2,02 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑑 = 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
=
2,02
1,4
= 1,44 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,25 × 1,44 = 0,36 𝑀𝑃𝑎 
𝑘 = 1,6 − 𝑑 = 1,6 − 0,27 = 1,33 ≥ 1,0 ( 𝑑 𝑒𝑚 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) 
Parâmetros Adimensionais: Caso 1 
𝜆 =
𝐿𝑦
𝐿𝑥
= 
10,20
8,20
= 1,244 
𝑘𝑥 = 
𝜆4
1 + 𝜆4
= 
1,2444
1 + 1,2444
= 0,706; 𝑘𝑦 = 1 − 𝑘𝑥 = 1 − 0,706 = 0,294 
𝑤𝑐 = 
5𝑘𝑥
384
= 
5 × 0,706
384
= 0,0092 
𝑚𝑥 = 
𝑘𝑥
8
= 
0,706
8
= 0,0883 𝑒 𝑚𝑦 = 
𝑘𝑦𝜆
2
8
= 
0,294 × 1,2442
8
= 0,0569 
𝛼𝑥 = 𝛼𝑦 = 8 
𝐶𝑥 = 1 − 
20𝑘𝑥
3𝛼𝑥𝜆2
= 1 − 
20 × 0,706
3 × 8 × 1,2442
= 0,62 
𝐶𝑦 = 1 − 
20𝑘𝑦𝜆
2
3𝛼𝑦
= 1 − 
20 × 0,294 × 1,2442
3 × 8
= 0,62 
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Cargas 
Peso próprio: Ver figuras 15 e 16 
 
Figura 15 
 
Figura 16 
16 
 
𝑔𝑝𝑝 = (0,60
2 × 0,30 − 0,502 × 0,20) × 25,0/0,62 = 4,03 𝑘𝑁/𝑚2 
Carga Permanente: 
𝑔 = 𝑔𝑝𝑝 + 𝑔𝑝𝑎𝑟 + 𝑔𝑟𝑒𝑣 = 4,03 + 1,00 + 1,00 = 6,03 𝑘𝑁/𝑚
2 
Onde gpar e grev correspondem às cargas devidas à divisória e ao revestimento 
da laje. 
Carga Acidental: q = 2,00 kN/m2 
Carga Total: 
𝑝 = 𝑔 + 𝑞 = 6,03 + 2,00 = 8,03 𝑘𝑁/𝑚2 
Carga de Utilização – Combinação Quase Permanente: 
𝑝𝑜 = 𝑔 + 𝜓2𝑞 = 6,03 + 0,4 × 2,00 = 6,83 𝑘𝑁/𝑚
2 
Verificação do Deslocamento Vertical: 
Deslocamento Admissível: 
𝛿𝑎𝑑𝑚 = 
𝐿𝑥
250
=
8,20
250
= 0,0328 𝑚 = 32,80 𝑚𝑚 
Deslocamento: 
𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 = 𝑤𝑐
𝑝𝑜𝐿𝑥
4
𝐷
= 0,0092 ×
0,00683 × 8,24
20,36 
= 0,0139 𝑚 
𝛿𝑑𝑖𝑓 = 𝛼𝑓𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 = 1,33 × 0,014 = 0,0186 𝑚 
𝛿 = 𝛿𝑖𝑚𝑒𝑑 + 𝛿𝑑𝑖𝑓 = 0,0139 + 0,0186 = 0,0325 𝑚 = 32,5 𝑚𝑚 < 𝛿𝑎𝑑𝑚 
Momentos Fletores: 
𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝐿𝑥
2 = 0,0883 × 0,00803 × 8,202 = 0,048 𝑀𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝐿𝑥
2 = 0,0569 × 0,00803 × 8,202 = 0,031 𝑀𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥 = 0,62 × 0,048 = 0,03 𝑀𝑁𝑚/𝑚 
𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 = 0,62 × 0,031 = 0,02 𝑀𝑁𝑚/𝑚 
17 
 
Os momentos por nervura serão: 
𝑀𝑥𝑛𝑒𝑟𝑣= 𝑆𝑥𝑀𝑥𝑜 = 0,60 × 0,03 = 0,018 𝑀𝑁𝑚 
𝑀𝑦𝑛𝑒𝑟𝑣 = 𝑆𝑦𝑀𝑦𝑜 = 0,60 × 0,02 = 0,012 𝑀𝑁𝑚 
𝑀𝑑𝑥 = 𝛾𝑓𝑀𝑥𝑛𝑒𝑟𝑣 = 1,4 × 0,018 = 0,0252 𝑀𝑁𝑚 
𝑀𝑑𝑦 = 𝛾𝑓𝑀𝑦𝑛𝑒𝑟𝑣 = 1,4 × 0,012 = 0,0168 𝑀𝑁𝑚 
 
Armaduras de Flexão: 
Nervuras 
𝜇𝑥 = 
𝑀𝑑𝑥
𝑓𝑐𝑏𝑓𝑥𝑑2
= 
0,0252
18 × 0,60 × 0,272
= 0,033 
𝑧𝑥 = (1 + √1 − 2𝜇𝑥)
𝑑
2
= (1 + √1 − 2 × 0,033)
0,27
2
= 0,265 𝑚 
𝐴𝑠𝑥 = 
𝑀𝑑𝑥
𝑓𝑦𝑑𝑧𝑥
= 
0,0252
434 × 0,265
= 2,20 𝑐𝑚2 → 3𝜙10 − 2,36 𝑐𝑚2 
𝑏𝑚𝑖𝑛 = 2(𝑐𝑜𝑏 + 𝛷𝑡) + 𝑛𝛷𝐿 + (𝑛 − 1)𝑎𝐻 
Cob = 16 mm; Φt = 5 mm; ΦL = 10 mm; aH = 22,8 mm 
𝑏𝑚𝑖𝑛 = 2 × (16 + 5) + 3 × 10 + (3 − 1) × 22,8 = 117,6 𝑚𝑚 > 𝑏 = 100 𝑚𝑚 
Adotar então 2Φ12.5 – 2,46 cm2 
𝑏𝑚𝑖𝑛 = 2 × (16 + 5) + 2 × 12,5 + (2 − 1) × 22,8 = 90 𝑚𝑚 < 𝑏 = 100 𝑚𝑚 
𝜇𝑦 = 
𝑀𝑑𝑦
𝑓𝑐𝑏𝑓𝑦𝑑2
= 
0,0168
18 × 0,60 × 0,272
= 0,022 
𝑧𝑦 = (1 + √1 − 2𝜇𝑦)
𝑑
2
= (1 + √1 − 2 × 0,022)
0,27
2
= 0,266 𝑚 
𝐴𝑠𝑦 = 
𝑀𝑑𝑦
𝑓𝑦𝑑𝑧𝑦
= 
0,0168
434 × 0,266
= 1,46 𝑐𝑚2 → 2𝜙10 − 1,57 𝑐𝑚2 
18 
 
Mesa 
Uma vez que a distância entre eixos da nervura é inferior a 65 cm a verificação 
à flexão é dispensada adotando-se armadura mínima para as mesas, ou seja: 
𝐴𝑠 = 0,15%𝐴𝑐 = 0,15%ℎ𝑓 × 100 = 0,15ℎ𝑓 = 0,15 × 5,0 = 0,75 𝑐𝑚
2/𝑚 
𝐴𝑠 = 0,75 𝑐𝑚
2/𝑚 → 𝜙5.0 𝑐25 
Smax = 330 mm 
Verificação ao cisalhamento: 
O espaçamento entre eixos das nervuras sendo inferior a 65 cm a verificação 
ao cisalhamento da região das nervuras pode ser realizada mediante os 
critérios aplicados a lajes. 
Reações de apoio: 
Conforme esquema das charneiras plástica da Figura 17: 
𝐴𝐼 = 
(2𝐿𝑦 − 𝐿𝑥)𝐿𝑥
4
= 
(2 × 10,2 − 8,2) × 8,2
4
= 25,01 
𝐴𝐼𝐼 = 
𝐿𝑥𝐿𝑥/2
2
= 
𝑎𝑥
2
4
= 
8,202
4
= 16,81 
𝑅𝑥 = 
𝑝𝐴𝐼𝐼
𝐿𝑥
= 
8,03 × 16,81
8,2
= 16,47 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦 = 
𝑝𝐴𝐼
𝐿𝑦
= 
8,03 × 25,01
10,2
= 19,69 𝑘𝑁/𝑚 
 
Figura 17 - Áreas das Charneiras Plásticas 
19 
 
Esforço cortante por nervura: 
𝑉𝑥 = 𝑆𝑥𝑅𝑥 = 0,60 × 16,47 = 9,9 𝑘𝑁 
𝑉𝑦 = 𝑆𝑦𝑅𝑦 = 0,60 × 19,69 = 11,9 𝑘𝑁 
𝑉𝑑𝑥 = 𝛾𝑓𝑉𝑥 = 1,4 × 9,9 = 13,9 𝑘𝑁 
𝑉𝑑𝑦 = 𝛾𝑓𝑦 = 1,4 × 11,9 = 16,7 𝑘𝑁 
Tensões cisalhantes: 
Nervuras na direção x: As = 2,46 cm2; 
𝜏𝑤𝑑 = 
𝑉𝑑𝑦
𝑏𝑤𝑦𝑑
= 
16,7
0,10 × 0,27
= 619 𝑘𝑁/𝑚2 = 0,62 𝑀𝑃𝑎 
𝜌1 = 
𝐴𝑠
𝑏𝑤ℎ
= 
2,46
10 × 30
= 0,0082 
𝑘 = 1,6 − 𝑑 = 1,6 − 0,27 = 1,33 > 1 
𝜏𝑅𝑑1 = 𝑘(1,2 + 40𝜌1)𝜏𝑅𝑑 = 1,33 × (1,2 + 40 × 0,0082) × 0,36 = 0,73 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑤𝑑 = 0,62 𝑀𝑃𝑎 < 0,73 𝑀𝑃𝑎 = 𝜏𝑅𝑑1 → 𝜏𝑤𝑑 < 𝜏𝑅𝑑1 
Nervuras na direção y: As = 1,57 cm2; 
𝜏𝑤𝑑 = 
𝑉𝑑𝑥
𝑏𝑤𝑥𝑑
= 
13,9
0,10 × 0,27
= 515 𝑘𝑁/𝑚2 = 0,52 𝑀𝑃𝑎 
𝜌1 = 
𝐴𝑠
𝑏𝑤ℎ
= 
1,57
10 × 30
= 0,0052 
𝜏𝑅𝑑1 = 𝑘(1,2 + 40𝜌1)𝜏𝑅𝑑 = 1,33 × (1,2 + 40 × 0,0052) × 0,36 = 0,67 𝑀𝑃𝑎 
𝜏𝑤𝑑 = 0,52 𝑀𝑃𝑎 < 0,67 𝑀𝑃𝑎 = 𝜏𝑅𝑑1 → 𝜏𝑤𝑑 < 𝜏𝑅𝑑1 
Armadura de Canto 
Deve representar 50% da armadura no centro da laje. 
Neste caso O momento no centro da laje é 𝑀𝑥𝑜 = 0,03 𝑀𝑁𝑚/𝑚 
20 
 
A armadura de canto deve ser calculada para momento de intensidade igual à 
metade deste momento que será: 
𝑀 = 0,015 𝑀𝑁𝑚/𝑚 
Daí em diante deve-se adotar o procedimento aplicável ao cálculo de armadura 
de flexão. 
𝑀𝑑 = 𝛾𝑓𝑀 = 1,4 × 0,015 = 0,021 𝑀𝑁𝑚 
𝑑 = 0,9ℎ = 0,9 × 0,206 = 0,185 𝑚 
𝜇 = 
𝑀𝑑
𝑓𝑐𝑑2
= 
0,021
18 × 0,1852
= 0,035 
𝑧 = (1 + √1 − 2𝜇)
𝑑
2
= (1 + √1 − 2 × 0,035)
0,185
2
= 0,181 𝑚 
𝐴𝑠𝑥 = 
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑𝑧
= 
0,021
434 × 0,181
= 2,68 𝑐𝑚2 → 𝜙6.3 𝑐 10 
Na Figura 18 está apresentado o esquema de distribuição das armaduras. 
 
Figura 18 - Detalhe das Armaduras