Aula 02 de Resistência I - Prop Geom 1

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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Aula 02 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
I.2. Elementos Básicos 
 I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
 I.2.2. Esforços nas Estruturas 
 I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais 
I.3. Problemas e Métodos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Seções Planas Usuais 
Seções Maciças Seção Retangular b x h 
b 
h 
Seções sem vazios 
cujas dimensões 
são da mesma 
ordem de grandeza. Seção Circular f d 
d 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Seções Planas Usuais 
Seções Maciças Seções Compostas por Retângulos 
Seções sem vazios 
cujas dimensões 
são da mesma 
ordem de grandeza. 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Seções Planas Usuais 
Seções Vazadas Seção Retangular Vazada 
b x h / b’ x h’ 
Seções com vazios 
cujas dimensões 
são da mesma 
ordem de grandeza. Seção Circular Vazada 
f de / f di 
b 
h 
b’ 
h’ 
de 
di 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Seções Planas Usuais 
Seções Vazadas Seções Compostas por Retângulos 
Seções com vazios 
cujas dimensões 
são da mesma 
ordem de grandeza. 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Seções Planas Usuais 
Perfis Abertos 
Seções formadas 
por chapas finas 
cuja linha média é 
uma linha aberta. 
Perfis I ou H 
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção. 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Seções Planas Usuais 
Perfis Abertos 
Seções formadas 
por chapas finas 
cuja linha média é 
uma linha aberta. 
Perfis U ou C 
simples enrijecido 
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção. 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Seções Planas Usuais 
Perfis Abertos 
Seções formadas 
por chapas finas 
cuja linha média é 
uma linha aberta. 
Perfis L ou Cantoneira 
de abas iguais 
L a x a x t 
de abas desiguais 
L a x b x t 
a 
a 
a 
b 
t: espessura 
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção. 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Seções Planas Usuais 
Perfis Fechados 
Seções formadas 
por chapas finas 
cuja linha média é 
uma linha fechada. 
Tubo Retangular 
Tubo Redondo ou Circular 
As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção. 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Área de Superfície 
Área [cm2]: medida da superfície 
   x yA dydxdAA .
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
Seja uma força f distribuída na superfície da seção plana, variando 
linearmente com as distâncias dos pontos de aplicação aos eixos de 
 referência da seção: 
 2 cmkNykxkf yx 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
A força resultante na área elementar dA vale: 
Os momentos da força dF em 
relação aos eixos x e y são: 
   kNdAykxkdF yx 
   cmkNdAykxkydM yxx . 
   cmkNdAykxkxdM yxy . 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
A força resultante na superfície vale: 
   A yxA dAykxkdFF 
  A Ayx dAykdAxkF ..
ou 
xyyx SkSkF 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
Os momentos de primeira ordem ou Momentos Estáticos [cm3] da 
superfície são: 
   x yAx dydxydAyS ...
   x yAy dydxxdAxS ...
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
Os momentos resultantes em relação ao eixos de referência da 
seção são: 
    A yxx dAykxkyM
  ..
2
A
y
A
xx dAykdAyxkM
xyxyxx IkIkM 
e 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
    A yxy dAykxkxM
  ..
2
A
y
A
xy dAyxkdAxkM
xyyyxy IkIkM 
Os momentos resultantes em relação ao eixos de referência da 
seção são: 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
Os momentos de segunda ordem ou Momentos de Inércia [cm4] 
da superfície são: 
   x yAx dydxydAyI .
22
   x yAy dydxxdAxI .
22
   x yAxy dydxyxdAyxI .....
Momentos Axiais de Inércia: 
Produto de Inércia: 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
Seja uma força f distribuída na superfície da seção plana, variando 
linearmente com a distância à origem dos eixos de referência: 
 2 cmkNkf p
A força resultante na área 
elementar dA vale: 
 kNdAkdF p .x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .

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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
O momento elementar da força dF em relaçãoà origem dos eixos 
x e y é: 
 cmkNdAkdFdM pp . .
2 
O momento resultante é: 
 App dAkM
2
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .

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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
O Momento Polar de Inércia [cm4] da superfície é: 
   x yAp dydxdAI .
22 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
     
22
A
p dAyxI
 222 yx
yxp III 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
Seja uma superfície de área 
A e momento de inércia Ix 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .

x 
y 
xr
A
y
Seja outra superfície de mesma 
área A e mesmo momento de inércia 
Ix, porém ‘concentrada’ 
a uma distância rx do 
eixo x 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
Seja uma superfície de área 
A e momento de inércia Ix 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .

x 
y 
xr
A
y
ArdArdAyI x
A
x
A
x
222  
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .

ArdArdAyI x
A
x
A
x
222  
A
I
r xx 
é o raio de giração 
da seção em relação 
ao eixo x 
Seja uma superfície de área 
A e momento de inércia Ix 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
Analogamente, 
A
I
r
y
y 
é o raio de giração da seção em relação ao eixo y e 
A
I
r
p
o 
é o raio de giração polar da seção 
222
yxo rrr 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Translação: 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
   A oAx dAyydAyS 122
oyyy  12
oxxx  12
  AoAx dAydAyS 12
AySS oxx  12
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Translação: 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
oyyy  12
oxxx  12
AySS oxx  12
AxSS oyy  12
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Translação: 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
   A oAx dAyydAyI
2
1
2
22
oyyy  12
oxxx  12
  AoAoAx dAydAyydAyI
2
1
2
1 22
AySyII oxoxx
2
112
2 
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Translação: 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
oyyy  12
oxxx  12
AyxSySxII ooyoxoyxyx  111122
AySyII oxoxx
2
112
2 
AxSxII oyoyy
2
112
2 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Translação: 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
oyyy  12
oxxx  12
   AyxSxSyII ooyoxopp 221112 2 
222 yxp
III 
111 yxp
III 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG): 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
0
22
 yx SS
Seja 
0
12
 AySS oxx
A
S
yy
x
CGo
1
A
S
xx
y
CGo
1
(x2,y2): eixos centrais 
CG (xCG) 
(yCG) 
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG): 
Sejam xCG e yCG os eixos centrais. 
As coordenadas do CG são: 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
xCG 
yCG 
CGx
CGy
CG 
A
S
y xCG 
A
S
x
y
CG 
Notação alternativa: 
A
S
y x
A
S
x
y

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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
AyII
CGxx
2
AySyII CGxCGxxCG
22 
AyS CGx  AyII CGxxCG
2 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
xCG 
yCG 
CGx
CGy
CG 
AySyII oxoxx
2
112
2 
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG): 
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
AyII CGxx CG
2
AxII CGyy CG
2
AyxII CGCGxyxy CG 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .
xCG 
yCG 
CGx
CGy
CG 
Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):