Aula 02 de Resistência I - Prop Geom 1
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Aula 02 de Resistência I - Prop Geom 1


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à origem dos eixos 
x e y é: 
\uf05b \uf05dcmkNdAkdFdM pp . .
2\uf072\uf072 \uf03d\uf03d
O momento resultante é: 
\uf0f2\uf03d App dAkM
2\uf072
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .\uf03d
\uf072
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
O Momento Polar de Inércia [cm4] da superfície é: 
\uf0f2 \uf0f2\uf0f2 \uf03d\uf03d x yAp dydxdAI .
22 \uf072\uf072
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .\uf03d
\uf072 \uf028 \uf029 \uf05c\uf02b\uf03d \uf0f2 
22
A
p dAyxI
\uf05c\uf02b\uf03d 222 yx\uf072
yxp III \uf02b\uf03d
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
Seja uma superfície de área 
A e momento de inércia Ix 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x 
y 
xr
A
y\uf044
Seja outra superfície de mesma 
área A e mesmo momento de inércia 
Ix, porém \u2018concentrada\u2019 
a uma distância rx do 
eixo x 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
Seja uma superfície de área 
A e momento de inércia Ix 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x 
y 
xr
A
y\uf044
ArdArdAyI x
A
x
A
x
222 \uf03d\uf03d\uf03d \uf0f2\uf0f2
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .\uf03d
\uf072
ArdArdAyI x
A
x
A
x
222 \uf03d\uf03d\uf03d \uf0f2\uf0f2
A
I
r xx \uf03d
é o raio de giração 
da seção em relação 
ao eixo x 
Seja uma superfície de área 
A e momento de inércia Ix 
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos de Superfície 
Analogamente, 
A
I
r
y
y \uf03d
é o raio de giração da seção em relação ao eixo y e 
A
I
r
p
o \uf03d
é o raio de giração polar da seção 
222
yxo rrr \uf02b\uf03d
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Translação: 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
\uf028 \uf029\uf0f2\uf0f2 \uf02d\uf03d\uf03d A oAx dAyydAyS 122
oyyy \uf02d\uf03d 12
oxxx \uf02d\uf03d 12
\uf0f2\uf0f2 \uf02d\uf03d AoAx dAydAyS 12
AySS oxx \uf02d\uf03d 12
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Translação: 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
oyyy \uf02d\uf03d 12
oxxx \uf02d\uf03d 12
AySS oxx \uf02d\uf03d 12
AxSS oyy \uf02d\uf03d 12
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Translação: 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
\uf028 \uf029\uf0f2\uf0f2 \uf02d\uf03d\uf03d A oAx dAyydAyI
2
1
2
22
oyyy \uf02d\uf03d 12
oxxx \uf02d\uf03d 12
\uf0f2\uf0f2\uf0f2 \uf02b\uf02d\uf03d AoAoAx dAydAyydAyI
2
1
2
1 22
AySyII oxoxx
2
112
2 \uf02b\uf02d\uf03d
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Translação: 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
oyyy \uf02d\uf03d 12
oxxx \uf02d\uf03d 12
AyxSySxII ooyoxoyxyx \uf02b\uf02d\uf02d\uf03d 111122
AySyII oxoxx
2
112
2 \uf02b\uf02d\uf03d
AxSxII oyoyy
2
112
2 \uf02b\uf02d\uf03d
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Translação: 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
oyyy \uf02d\uf03d 12
oxxx \uf02d\uf03d 12
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029AyxSxSyII ooyoxopp 221112 2 \uf02b\uf02b\uf02b\uf02d\uf03d
222 yxp
III \uf02b\uf03d
111 yxp
III \uf02b\uf03d
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Centróide ou \u2018Centro de Gravidade\u2019 da Seção Plana (CG): 
x1 
y1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
x2 
y2 
y2 
x2 
yo 
xo 
0
22
\uf03d\uf03d yx SS
Seja 
0
12
\uf03d\uf02d\uf03d AySS oxx
A
S
yy
x
CGo
1\uf03d\uf03d
A
S
xx
y
CGo
1\uf03d\uf03d
(x2,y2): eixos centrais 
CG (xCG) 
(yCG) 
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Centróide ou \u2018Centro de Gravidade\u2019 da Seção Plana (CG): 
Sejam xCG e yCG os eixos centrais. 
As coordenadas do CG são: 
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .\uf03d
xCG 
yCG 
CGx
CGy
CG 
A
S
y xCG \uf03d
A
S
x
y
CG \uf03d
Notação alternativa: 
A
S
y x\uf03d
A
S
x
y
\uf03d
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
AyII
CGxx
2\uf02b\uf03d
AySyII CGxCGxxCG
22 \uf02b\uf02d\uf03d
AyS CGx \uf03d AyII CGxxCG
2 \uf02d\uf03d\uf05c
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .\uf03d
xCG 
yCG 
CGx
CGy
CG 
AySyII oxoxx
2
112
2 \uf02b\uf02d\uf03d
Centróide ou \u2018Centro de Gravidade\u2019 da Seção Plana (CG): 
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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
AyII CGxx CG
2\uf02b\uf03d
AxII CGyy CG
2\uf02b\uf03d
AyxII CGCGxyxy CG \uf02b\uf03d
x 
y 
x dx 
dy 
y 
dydxdA .\uf03d
xCG 
yCG 
CGx
CGy
CG 
Centróide ou \u2018Centro de Gravidade\u2019 da Seção Plana (CG):