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à origem dos eixos x e y é: cmkNdAkdFdM pp . . 2 O momento resultante é: App dAkM 2 x y x dx dy y dydxdA . Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície O Momento Polar de Inércia [cm4] da superfície é: x yAp dydxdAI . 22 x y x dx dy y dydxdA . 22 A p dAyxI 222 yx yxp III Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Seja uma superfície de área A e momento de inércia Ix x y x dx dy y dydxdA . x y xr A y Seja outra superfície de mesma área A e mesmo momento de inércia Ix, porém ‘concentrada’ a uma distância rx do eixo x Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Seja uma superfície de área A e momento de inércia Ix x y x dx dy y dydxdA . x y xr A y ArdArdAyI x A x A x 222 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície x y x dx dy y dydxdA . ArdArdAyI x A x A x 222 A I r xx é o raio de giração da seção em relação ao eixo x Seja uma superfície de área A e momento de inércia Ix Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Momentos de Superfície Analogamente, A I r y y é o raio de giração da seção em relação ao eixo y e A I r p o é o raio de giração polar da seção 222 yxo rrr Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Translação: x1 y1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 y2 x2 yo xo A oAx dAyydAyS 122 oyyy 12 oxxx 12 AoAx dAydAyS 12 AySS oxx 12 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Translação: x1 y1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 y2 x2 yo xo oyyy 12 oxxx 12 AySS oxx 12 AxSS oyy 12 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Translação: x1 y1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 y2 x2 yo xo A oAx dAyydAyI 2 1 2 22 oyyy 12 oxxx 12 AoAoAx dAydAyydAyI 2 1 2 1 22 AySyII oxoxx 2 112 2 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Translação: x1 y1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 y2 x2 yo xo oyyy 12 oxxx 12 AyxSySxII ooyoxoyxyx 111122 AySyII oxoxx 2 112 2 AxSxII oyoyy 2 112 2 Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Translação: x1 y1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 y2 x2 yo xo oyyy 12 oxxx 12 AyxSxSyII ooyoxopp 221112 2 222 yxp III 111 yxp III Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG): x1 y1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 y2 x2 yo xo 0 22 yx SS Seja 0 12 AySS oxx A S yy x CGo 1 A S xx y CGo 1 (x2,y2): eixos centrais CG (xCG) (yCG) Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG): Sejam xCG e yCG os eixos centrais. As coordenadas do CG são: x y x dx dy y dydxdA . xCG yCG CGx CGy CG A S y xCG A S x y CG Notação alternativa: A S y x A S x y Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos AyII CGxx 2 AySyII CGxCGxxCG 22 AyS CGx AyII CGxxCG 2 x y x dx dy y dydxdA . xCG yCG CGx CGy CG AySyII oxoxx 2 112 2 Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG): Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos AyII CGxx CG 2 AxII CGyy CG 2 AyxII CGCGxyxy CG x y x dx dy y dydxdA . xCG yCG CGx CGy CG Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):