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Lista 09
Produção – Cálculo II

Integrais Impróprias

Quando discutimos a integral definida ∫
b

a

dxxf )( , supusemos a função f

contínua e bem definida no intervalo fechado [a,b]. Estenderemos agora
aquela definição de modo a considerar, também, intervalos de integração
infinitos ou intervalos nos quais a função f possa ter pontos de
descontinuidade. Integrais desse tipo serão chamadas “Integrais Impróprias”.

No caso de haver extremo(s) de integração infinito(s), o recurso que usaremos
é relativamente simples e consiste em aplicar limites para que o(s) extremo(s)
possa(m) tender a infinito de tal modo que o cálculo da integral (usando o
Teorema Fundamental do Cálculo) ocorra supondo finitos tais extremos.

Considere o seguinte exemplo: suponha que queiramos calcular a área da
região limitada pela curva y = e–x, pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = b,
com b > 0 (ou seja, a área esboçada no gráfico abaixo). Teríamos

[ ] bbxb x eedxe −−− −=−=∫ 10
0

Se fizermos b crescer ilimitadamente, ou seja, )1(lim b
b

e−
∞→

− teremos que a
medida da área desejada é 1 u.a. Concluímos, portanto, que independente do
valor que tomarmos para b, a área da região será sempre menor que 1 unidade
quadrada.

 2

DEFINIÇÃO: Se f é contínua para todo x ≥ a, então ∫∫
∞→

∞

=

b

a
b

a

dxxfdxxf )(lim)( se

esse limite existir.

DEFINIÇÃO: Se f é contínua para todo x ≤ b, então ∫∫
−∞→

∞−

=

b

a
a

b

dxxfdxxf )(lim)(
 se

esse limite existir.

DEFINIÇÃO: Se f é contínua para todo x então
∫∫∫

∞→−∞→

∞

∞−

+=
b

b
a

a
dxxfdxxfdxxf

0

0

)(lim)(lim)( se os limites existirem.

Nas definições acima, se os limites existirem, dizemos que a integral
imprópria é convergente. Se não existirem, diremos que ela é divergente.

Resultados similares podem ser enunciados para casos em que o integrando
apresenta descontinuidades no limite de integração superior, no limite de
integração superior, ou em ambos. Antes, porém, consideremos o seguinte
exemplo (que talvez nos auxilie a compreender as definições posteriores):

Exemplo: É possível encontrar um número finito para representar a medida da
área da região limitada pela curva de equação

x
y 1= , pelo eixo dos x, pelo

eixo dos y e pela reta x = 4?

 3

DEFINIÇÃO: Se f é contínua para todo x no intervalo semi-aberto à esquerda
(a,b], então ∫∫

+
→ +

=

b

a

b

a

dxxfdxxf
ε

ε
)(lim)(

0
, se este limite existir.

DEFINIÇÃO: Se f é contínua para todo x no intervalo semi-aberto à direita
[a,b), então ∫∫

∈−

→ +
=

b

a

b

a

dxxfdxxf )(lim)(
0ε

, se este limite existir.

DEFINIÇÃO: Se f é contínua para todo x no intervalo fechado [a,b], exceto
para um ponto c tal que a < c < b, então

∫∫∫
+

→

−

→ ++
+=

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf
δδ

ε

ε
)(lim)(lim)(

00
, se estes limites existirem.

Exercícios

(1) Calcule, se convergirem, as seguintes integrais:

(a) ∫
∞−

−

2

2)4( x
dx

 (b) ∫
∞

∞−

xdx (c) ∫
∞

∞−
++ 1262 xx

dx
 (d) ∫

∞

0

senxdx

(2) É possível encontrarmos um número finito para representar a medida da
área de uma região limitada pelos gráficos de

x
y 1= , y = 0 e x = 1?

(3) Calcule ∫
−

∞→

r

r
r

xdxlim e compare o resultado obtido com aquele do exercício

(1b), dado acima.

(4) É possível encontrarmos um número finito para representar a medida do
volume do sólido formado pela rotação da região do exercício 2, acima, em
torno do eixo x?

(5) Calcule, se convergirem, as seguintes integrais

(a) ∫
−

2

0
2)1(x

dx
 (b) ∫

1

0

ln xdxx (c) ∫
∞

−1
2 1xx

dx

 4

Observação:

Dizemos que um limite existe se seu resultado é um número real. Para os
limites cujos resultados são “infinito”1 há tratamentos especiais (é exatamente
por isso que, dentre os conteúdos da disciplina Cálculo I, há um tópico
especial para limites chamados “infinitos” – limites cuja variável tende a
“infinito” ou cujos resultados são “infinitos”). Disso decorrem as afirmações
feitas nesta lista: uma integral imprópria será chamada “convergente” se seu
resultado for um número real, e será chamada “divergente” se os limites
usados para sua solução não existirem (o que comporta, pelo menos, três
casos: aquele em que os limites laterais2 existem – são números reais, portanto
– mas são diferentes; aquele em que os limites laterais resultam em “infinito”
ou não existem por algum outro motivo; e aquele em que os limites resultam
diretamente em “infinito”).

1
 “Infinito”, como sabemos, é uma noção matemática para representar “algo tão grande (positivo

ou negativo) quanto se queira”. O que se chama “infinito positivo” é o valor “tão grande quanto se
queira à direita do zero” e o chamado “infinito negativo” é o valor “tão afastado quanto possível, à
esquerda, do zero”. Ainda que essa nota de rodapé tenha imprecisões do ponto de vista formal, ela é
suficiente para encaminhar a operacionalização de elementos cujo tratamento ocorre
freqüentemente nos cursos de Cálculo.
2
 Lembramos que só tem sentido falar em lateralidade para limites com a variável tendendo a um

número real “a”. Limites de funções cuja variável tende a infinito não comportam, obviamente, o
estudo da lateralidade. Isso deve ser considerado ao atribuir a uma integral imprópria a
nomenclatura “divergente”.