Aula 03 de Resistência I - Esforços 2
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Aula 03 de Resistência I - Esforços 2


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y
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf065 .z
w
z
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf065
Logo, 
uuxB \uf044\uf02b\uf03d\uf044
A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
A\u2019xy 
Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma-
ção, este ponto se deslocará para uma posição C\u2019. 
 : projeção do ponto C\u2019 no plano x-y 
'
xyC
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By\uf044
Bx\uf044
x
'
x
A '
x
B
uuxB \uf044\uf02b\uf03d\uf044
'
xyC
C
'
yC
C
y\uf044
C
y
xq
yq
'
yA
C
x\uf044
A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
A\u2019xy 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By\uf044
Bx\uf044
x
'
x
A '
x
B
yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y 
v: deslocamento do ponto A na direção y 
\uf044yC = v + \uf044v : deslocamento do ponto C na direção y 
uuxB \uf044\uf02b\uf03d\uf044
'
xyC
C
'
yC
C
y\uf044
C
y
xq
yq
'
yA
C
x\uf044
A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
A\u2019xy 
uuxB \uf044\uf02b\uf03d\uf044
Por definição, a deformação angular média do plano ABC é: 
yxxyxyxym CABCABABC qq\uf067 \uf02b\uf03d\uf02d\uf0a2\uf0a2\uf0a2\uf03d \u2c6\u2c6
vvyC \uf044\uf02b\uf03d\uf044
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By\uf044
Bx\uf044
x
'
x
A '
x
B
vy
u
ux
v
vyy
ux
uxx
vy
CBcC
C
BB
B
mABC \uf044\uf02b
\uf044
\uf02b
\uf044\uf02b
\uf044
\uf03d
\uf02d\uf044\uf02b
\uf02d\uf044
\uf02b
\uf02d\uf044\uf02b
\uf02d\uf044
\uf03d\uf067
'
xyC
C
'
yC
C
y\uf044
C
y
xq
yq
'
yA
C
x\uf044
A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
A\u2019xy 
uuxB \uf044\uf02b\uf03d\uf044
vvyC \uf044\uf02b\uf03d\uf044
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By\uf044
Bx\uf044
x
'
x
A '
x
B
vy
u
ux
v
vyy
ux
uxx
vy
CBcC
C
BB
B
mABC \uf044\uf02b
\uf044
\uf02b
\uf044\uf02b
\uf044
\uf03d
\uf02d\uf044\uf02b
\uf02d\uf044
\uf02b
\uf02d\uf044\uf02b
\uf02d\uf044
\uf03d\uf067
'
xyC
C
'
yC
C
y\uf044
C
y
xq
yq
'
yA
C
x\uf044
ACAB
ABC
m
C
m
B
C
C
B
B
m
yuxv
yv
yu
xu
xv
\uf065\uf065\uf067 \uf02b
\uf044
\uf02b
\uf02b
\uf044
\uf03d
\uf044\uf02b
\uf044
\uf02b
\uf044\uf02b
\uf044
\uf03d
1111A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
A\u2019xy 
uuxB \uf044\uf02b\uf03d\uf044
vvyC \uf044\uf02b\uf03d\uf044
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By\uf044
Bx\uf044
x
'
x
A '
x
B
'
xyC
C
'
yC
C
y\uf044
C
y
xq
yq
'
yA
C
x\uf044
ACAB
ABC
m
C
m
B
C
C
B
B
m
yuxv
yv
yu
xu
xv
\uf065\uf065\uf067 \uf02b
\uf044
\uf02b
\uf02b
\uf044
\uf03d
\uf044\uf02b
\uf044
\uf02b
\uf044\uf02b
\uf044
\uf03d
1111
,111 Como \uf040\uf02b\uf03d\uf02b
ACAB mm
\uf065\uf065
CB
m
y
u
x
v
ABC
\uf044
\uf02b
\uf044
\uf03d\uf067
A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
A\u2019xy 
uuxB \uf044\uf02b\uf03d\uf044
vvyC \uf044\uf02b\uf03d\uf044
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By\uf044
Bx\uf044
x
'
x
A '
x
B
'
xyC
C
'
yC
C
y\uf044
C
y
xq
yq
'
yA
C
x\uf044
Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é: 
y
u
x
v
y
u
x
v
CB
y
x
m
AC
AB
xy
C
B
ABC \uf0b6
\uf0b6
\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf044
\uf02b
\uf044
\uf03d\uf03d
\uf0ae
\uf0ae
\uf0ae
\uf0ae
0
0
0
0
limlim \uf067\uf067
,
y
u
x
v
xy
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf067
Logo, 
e 
z
v
y
w
yz
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf067 .
x
w
z
u
zx
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf067
A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
A\u2019xy 
Finalmente, as relações entre 
deslocamentos e deformações são: 
y
u
x
v
xy
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf067
z
v
y
w
yz
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf067
x
w
z
u
zx
\uf0b6
\uf0b6
\uf02b
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf067
x
u
x
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf065
y
v
y
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf065
z
w
z
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf065
deformações lineares 
deformações angulares 
A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
xs
zs
ys
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo ou Triaxial 
s
s
s
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triaxial Uniforme 
ssss \uf03d\uf03d\uf03d zyx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
Estado Plano 
xs
ys
xyt
yxt
x
y
z
dx
dy
dz
xs
ys
xyt
yxt
x
y
dx
dy
notação alternativa 
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
Estado Duplo ou Biaxial 
xs
ys
x
y
dx
dy
s
s
x
y
dx
dy
Estado Biaxial Uniforme 
sss \uf03d\uf03d yx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
Estado Simples 
xs
x
y
dx
dy
xyt
yxt
x
y
dx
dy
Estado de Cisalhamento Puro 
yxxy tt \uf03d
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
x\uf065
z\uf065
y\uf065
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo ou Triaxial 
\uf065
\uf065
\uf065
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triaxial Uniforme 
\uf065\uf065\uf065\uf065 \uf03d\uf03d\uf03d zyx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
Estado Plano 
x\uf065
y\uf065
xy\uf067
yx\uf067
x
y
z
dx
dy
dz
x\uf065
y\uf065
xy\uf067
yx\uf067
x
y
dx
dy
notação alternativa 
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
Estado Duplo ou Biaxial 
x\uf065
y\uf065
x
y
dx
dy
\uf065
\uf065
x
y
dx
dy
Estado Biaxial Uniforme 
\uf065\uf065\uf065 \uf03d\uf03d yx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
Estado Simples 
x\uf065
x
y
dx
dy
xy\uf067
yx\uf067
x
y
dx
dy
Estado de Cisalhamento Puro 
yxxy \uf067\uf067 \uf03d
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
Às tensões normais correspondem 
deformações lineares 
xsxs
xx s\uf065 \uf0b5
xy s\uf065 \uf0b5
xz s\uf065 \uf0b5
\u201cAs tensões são proporcionais às deformações até um certo limite\u201d 
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
dxdx x\uf065\uf02b