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Aula 03 de Resistência I - Esforços 2

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y


 .z
w
z



Logo, 
uuxB 
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma-
ção, este ponto se deslocará para uma posição C’. 
 : projeção do ponto C’ no plano x-y 
'
xyC
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
uuxB 
'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y 
v: deslocamento do ponto A na direção y 
yC = v + v : deslocamento do ponto C na direção y 
uuxB 
'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
uuxB 
Por definição, a deformação angular média do plano ABC é: 
yxxyxyxym CABCABABC qq  ˆˆ
vvyC 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
vy
u
ux
v
vyy
ux
uxx
vy
CBcC
C
BB
B
mABC 











'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
uuxB 
vvyC 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
vy
u
ux
v
vyy
ux
uxx
vy
CBcC
C
BB
B
mABC 











'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
ACAB
ABC
m
C
m
B
C
C
B
B
m
yuxv
yv
yu
xu
xv
 











1111A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
uuxB 
vvyC 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
ACAB
ABC
m
C
m
B
C
C
B
B
m
yuxv
yv
yu
xu
xv
 











1111
,111 Como 
ACAB mm

CB
m
y
u
x
v
ABC




A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
uuxB 
vvyC 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é: 
y
u
x
v
y
u
x
v
CB
y
x
m
AC
AB
xy
C
B
ABC 











 







0
0
0
0
limlim 
,
y
u
x
v
xy






Logo, 
e 
z
v
y
w
yz





 .
x
w
z
u
zx






A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
Finalmente, as relações entre 
deslocamentos e deformações são: 
y
u
x
v
xy






z
v
y
w
yz






x
w
z
u
zx






x
u
x



y
v
y



z
w
z



deformações lineares 
deformações angulares 
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
xs
zs
ys
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo ou Triaxial 
s
s
s
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triaxial Uniforme 
ssss  zyx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
Estado Plano 
xs
ys
xyt
yxt
x
y
z
dx
dy
dz
xs
ys
xyt
yxt
x
y
dx
dy
notação alternativa 
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
Estado Duplo ou Biaxial 
xs
ys
x
y
dx
dy
s
s
x
y
dx
dy
Estado Biaxial Uniforme 
sss  yx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
Estado Simples 
xs
x
y
dx
dy
xyt
yxt
x
y
dx
dy
Estado de Cisalhamento Puro 
yxxy tt 
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
x
z
y
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo ou Triaxial 



x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triaxial Uniforme 
  zyx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
Estado Plano 
x
y
xy
yx
x
y
z
dx
dy
dz
x
y
xy
yx
x
y
dx
dy
notação alternativa 
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
Estado Duplo ou Biaxial 
x
y
x
y
dx
dy


x
y
dx
dy
Estado Biaxial Uniforme 
  yx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
Estado Simples 
x
x
y
dx
dy
xy
yx
x
y
dx
dy
Estado de Cisalhamento Puro 
yxxy  
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
Às tensões normais correspondem 
deformações lineares 
xsxs
xx s 
xy s 
xz s 
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” 
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
dxdx x