Exercicios 06 Estado Plano de Tensoes - Solucao

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ESTADO PLANO DE TENSÕES 
Exercícios 
1. Para um elemento plano submetido ao 
seguinte estado de tensão σx = 1,0 MPa, 
σy = 2,0 MPa e τxy = 0,866 MPa, 
pede-se: 
a) determinar as tensões principais e o 
plano onde elas atuam; 
b) determinar a tensão máxima de 
cisalhamento; 
c) desenhar o Círculo de Mohr. 
Representação do estado plano de tensões 
σ = 2,0 MPa
= 0,866 MPa
yσ
xy
τ
σx
τ
xy
y
σx = 1,0 MPa
 
Solução 
Centro do Círculo de Mohr 
2
yx
C
σσ +
= MPaC 50,1
2
0,20,1
=
+
= 
Raio do Círculo de Mohr ou tensão máxima de cisalhamento 
2
2
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
= MPaR 00,1866,0
2
0,20,1 2
2
=+




 −
= 
Tensões principais 
RC +=1σ 
MPa50,200,150,11 =+=σ 
RC −=2σ 
MPa50,000,150,12 =−=σ 
Plano onde atuam as tensões principais 
yx
xy
itg
σσ
τ
θ
−
−=
2
2
732,1
0,20,1
866,02
2 =
−
×
−=itg θ 
º60)732,1(2 == arctgiθ º30=iθ 
Representação do Círculo de Mohr 
yσ
m
= 2,0
xy
= 12,76σ
τ
σ2 = 0,5
maxτ = 1,0
60°
σx = 1,0
=
 0
,8
6
6
τ (MPa)
maxτ = 1,0
xy
τ
=
 4
,9
(MPa)σ
= 2,5σ1
 
Respostas dos itens a e b. 
a) σ1=2,50 MPa, σ2 =0,50 MPa; θi = 30º b) τmáx = 1,0 MPa. 
2 
 
 
2. Para um elemento plano submetido ao 
seguinte estado de tensão σx = -20 MPa, 
σy = -12,5 MPa e τxy = 5,0 MPa, 
pede-se: 
a) determinar as tensões principais e o 
plano onde elas atuam; 
b) determinar a tensão máxima de 
cisalhamento; 
c) desenhar o Círculo de Mohr. 
 
Representação do estado plano de tensões 
σ
τ
yσ
σx
xy
xy
τ
σx = -20,0 MPa
= 5,0 MPa
y = -12,5 MPa
 
 
Solução 
Centro do Círculo de Mohr 
2
yx
C
σσ +
= 
( )
MPaC 25,16
2
5,120,20
−=
+−−
= 
Raio do Círculo de Mohr ou tensão máxima de cisalhamento 
2
2
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
= 
( )
MPaR 25,60,5
2
5,120,20 2
2
=+




 −−−
= 
 
Tensões principais 
RC +=1σ 
MPa0,1025,625,161 −=+−=σ 
RC −=2σ 
MPa50,2225,625,162 −=−−=σ 
Plano onde atuam as tensões principais 
yx
xy
itg
σσ
τ
θ
−
−=
2
2
( )
333,1
50,120,20
0,52
2 =
−−−
×
−=itg θ 
º13,53)333,1(2 == arctgiθ º57,26=iθ 
Representação do Círculo de Mohr 
= -20
= -16,25
=
5
,0
σ2
xy
τ
σ(MPa)
mσ
τ = 6,25máx
53,13°
= -22,25
xσ
τ = 6,25máx
σy = -12,5
x y
τ
=
5
,0
σ
1=-10,00
τ (MPa)
 
Respostas dos itens a e b. 
a) σ1 = -10,0 MPa; σ2 = -22,5 MPa; θi =26,56º b) τmáx = 6,25 MPa. 
 
3 
 
3. Para um elemento de viga que esteja submetido ao seguinte estado plano de tensão: 
σx = 20 MPa, σy = –10 MPa e τxy = 8 MPa, pede-se determinar as tensões nas faces que 
estão giradas a 30º no sentido anti-horário. 
τ
σ
xy
30°
τ
σx = 20 MPa
= 5 MPa
 
Solução 
Tensão normal 
( ) ( ) θτθσσσσσ 22cos5,05,0 senxyyxyx +×−×−+×= 
( )[ ] ( )( )[ ] ( ) MPasen 4,4º608º60cos10205,010205,0 =×+×−−×−−+×=σ 
 
Tensão de cisalhamento 
( ) θτθσστ 2cos25,0 xyyx sen +×−×= 
( )[ ] ( ) MPasen 0,17º60cos8º6010205,0 =×+×−−×=τ 
 
Respostas 
a) σ30º = 4,4 MPa b) τ30º = 17,0 MPa. 
 
4 
 
 
4. Para um elemento plano submetido ao 
seguinte estado de tensão σx = 6 MPa, 
σy = 12 MPa e τxy = 4 MPa, pede-se: 
a) determinar as tensões principais e o 
plano onde elas atuam; 
b) determinar a tensão máxima de 
cisalhamento; 
c) desenhar o Círculo de Mohr. 
Representação do estado plano de tensões 
σx
=12 MPaσy
τxy=4 MPa
τxy
σy
σx=6 MPa
 
Solução 
Centro do Círculo de Mohr 
2
yx
C
σσ +
= MPaC 9
2
126
=
+
= 
Raio do Círculo de Mohr ou tensão máxima de cisalhamento 
2
2
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
= MPaR 54
2
126 2
2
=+




 −
= 
 
Tensões principais 
RC +=1σ 
MPa14591 =+=σ 
RC −=2σ 
MPa4592 =−=σ 
Plano onde atuam as tensões principais 
yx
xy
itg
σσ
τ
θ
−
−=
2
2 
333,1
126
42
2 =
−
×
−=itg θ 
º13,53)333,1(2 == arctgiθ 
º56,26=iθ 
Representação do Círculo de Mohr 
τxy
τ
max
= 14σ1
53.13°
τ
θ2 i
σx
σ2
= 6
= 4
= 9σm
σy = 12
τ
max= 5
τxy = 4
(MPa)
σ
= 4
= 5
 
Respostas dos itens a e b. 
a) σ1 = 14,0 MPa; σ2 = 4,0 MPa; θi = 26,56º b) τmáx = 5,0 MPa.