Exercicios 04 Tensoes e Deformacoes - Solucao

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Exercícios – Tensões e Deformações 
 
1. Duas barras de aço são ligadas 
por dois rebites, como indicado na 
figura. Se o diâmetro do rebite é 19 
mm e a carga P = 120 kN, qual é a 
tensão de cisalhamento nos rebites? 
 
D=19 mm
120 kN
120 kN
 
Solução 
Área do parafuso: 2
2
8353,2
4
9,1
cmA =
×
=
π
 
Força cortante atuante nos parafusos (Cada parafuso possui somente uma face de corte) 
2
P
V = kNV 60
2
120
== 
A
V
=τ 
2
16,21
8353,2
60
cm
kNkN
==τ Resposta:τ = 21,16 kN/cm2. 
 
2. Determinar o valor de a, sabendo-se que a deformação total da peça não deve exceder a 
δ = 0,3 cm. Dados: P = 100 kN; E = 21.000 kN/cm2; L1 = 3 m; L2 = 2 m; L3 = 1 m. 
Seções transversais: AB = 3a×3a; BC = 2a×2a; CD = a×a. 
P
3a
2a
3a
2a
a
a
P
A
L1 L2
B
L3
DC
A=(2a x 2a)
A= (a x a)
P
A=(3a x 3a)
P
 
Solução 
cmCDBcAB 3,0≤++ δδδ 
( ) ( ) ( )
cm
cmaa
cm
kN
cmkN
cmaa
cm
kN
cmkN
cmaa
cm
kN
cmkN
3,0
00021
100100
2200021
200100
3300021
300100
2
2
2
2
2
2
=
××
×
+
××
×
+
××
×
cm
aaa
3,0
4762,02381,01587,0
222 =++ 
cm
a
3,0
8730,0
2 = cma 71,13,0
8730,02 == Resposta: a = 1,71 cm. 
2 
 
3. A barra da Figura é constituída de 2 trechos: o trecho AB tem área de 10 cm2 e o trecho 
BC tem área de 24 cm2 e é solicitada pelo sistema de forças indicado. Determinar as 
tensões (σ), e as deformações específicas (ε) de cada trecho, bem como o alongamento (δ) 
total. Dado: E = 21 000 kN/cm2. 
120 cm
80 kN
A
40 kN
100 cm
B
120 kN
C
 
Solução 
2810
80
cm
kN
AB ==σ 2524
120
cm
kN
BC ==σ 
cm
cm
cm
kN
cmkN
AB 0381,0
1000021
10080
2
2
=
×
×
=δ cm
cm
cm
kN
cmkN
BC 02857,0
2400021
120120
2
2
=
×
×
=δ 
cmT 06667,002857,00381,0 =+=δ 
00038,0
100
0381,0
==
cm
cm
ABε 00024,0120
02857,0
==
cm
cm
BCε 
 
Respostas: alongamento total δtotal = 0,06667 cm 
σAB= 8 kN/cm
2 σBC= 5 kN/cm
2 εAB= 0,00038 εBC= 0,00024 
 
 
4. Um cabo de aço com 50 m de comprimento é submetido a uma tensão de tração 
σ = 12,3 kN/cm2. Sabendo-se que Eaço = 210 GPa e α = 11,7 × 10
-6/ºC, pede-se determinar: 
a. o alongamento do fio (δ) em cm. 
b. qual o aumento de temperatura (∆T =ºC) necessário para se obter o mesmo 
alongamento? 
Solução OBS: 200021210
cm
kN
GPa = 
EA
PL
=δ 
E
L.σ
δ = cm
cm
kN
cm
cm
kN
93,2
00021
00053,12
2
2
=
×
=δ 
TL∆= αδ 
L
T
α
δ
=∆ C
cm
C
cm
T º06,50
0005
º
1
107,11
93,2
6
=
××
=∆
−
 
3 
 
ou 
TE ∆= ασ 
α
σ
E
T =∆ C
Ccm
kN
cm
T º06,50
º
1
107,1100021
3,12
6
2
=
××
=∆
−
 
Respostas: δ = 2,93 cm ∆T= 50,06º C 
 
 
5. A viga da figura está apoiada no ponto A por meio de um pino com φ = 12,5 mm de 
diâmetro e sustentada no ponto B por meio de um cabo de aço com φ =4 mm de diâmetro. 
Ao se aplicar uma carga P no ponto C, o cabo sofre um alongamento de 0,2 cm. 
Determinar a carga P e a tensão de cisalhamento no ponto do suporte A. Desprezar o peso 
próprio da barra. Dado: Eaço=200 000 MPa. 
Vista Frontal
Vista Superior
A
4 m
P
2 m
C B
2 
m
 
Solução 
Determinação da força de tração no cabo devido a aplicação da carga P. 
Área do cabo 2
2
1257,0
4
4,0
cmAcabo =
×
=
π
 
OBS: 200020000200
cm
kN
MPa = 
EA
LRB ×=δ 
L
EA
RB
δ
= kN
cm
cm
cm
kN
cm
RB 51,2200
1257,0000202,0 2
2
=
××
= 
Determinação da carga P. 
0=Σ AM 064 =×+×− RBP 4
6×
= B
R
P kNP 77,3
4
651,2
=
×
= 
Determinação de RA. 
0=ΣFx 0=+− BA RPR BA RPR −= kNRA 26,151,277,3 =−= 
Área do pino 2
2
2272,1
4
25,1
cmAcabo =
×
=
π
 
4 
 
Tensão de cisalhamento no pino (ao observar a vista superior da figura, percebe-se que o 
pino possui duas faces de corte). 
2
A
A
R
V = 
A
VA
A =τ MPa
cm
kN
A 14,5514,02272,12
26,1
2
==
×
=τ 
Respostas: P = 3,77 kN τA = 5,14 MPa. 
 
6. Sabendo-se que o cabo de aço do exercício anterior possui coeficiente de Poisson 
3,0=υ , determinar o diâmetro do cabo após a aplicação da carga P. 
Solução 
Deformação específica longitudinal: 
L
L
δ
ε = 001,0
200
02,0
==Lε 
Deformação específica: 
L
t
ε
ε
υ = 0003,001,03,0 =×=tε 
Deformação específica transversal: 
L
t
t
δ
ε = 
D
t
t
δ
ε = 
Encurtamento transversal: cmt 00012,04,00003,0 =×=δ 
Após a aplicação da carga de tração o diâmetro do cabo diminui para 
cmf 39988,000012,04,0 =−=φ Resposta: φf = 3,9988 mm 
 
7. Uma barra com 2 m de comprimento e 10 cm2 de área da seção transversal alonga-se 
0,8 mm ao ser-lhe aplicada uma força axial de tração de 80 kN. Determinar o módulo de 
elasticidade do material da barra. 
Solução 
AE
LP
=δ 
A
LP
E
δ
= 
GPa
cm
kN
cmcm
cmkN
E 20000020
1008,0
20080
22
==
×
×
= Resposta: E = 200 GPa 
5 
 
8. A barra rígida da figura é suportada por dois cabos de aço nos pontos A e B e submetida 
a uma carga concentrada de 60 kN no ponto C. A área da seção transversal dos cabos é 
2 cm2. O aço possui comportamento estrutural representado no gráfico tensão-deformação 
ilustrado. Determinar o alongamento dos cabos A e B. 
0,0021
0
ε
(MPa)σ
420
escoamento
 
2.0 m 1.0 m 0.5 m0.5 m
P=60 kN
A B
2
.0
 m
C
 
Solução 
0=Σ yF kNRR BA 60=+ 
0=Σ AM 03260 =×+×− BR kNRB 403
120
== 
kNRA 6040 =+ kNRA 20= 
 
Módulo de Elasticidade (do diagrama tensão-deformação) 
εσ E= → 
ε
σ
=E 
2
00020000200
0021,0
420
cm
kN
MPa
MPa
E === 
Alongamento do cabo A 
EA
PL
=δ mmcm
cm
cm
kN
cmkN
A 0,11,0
0,200020
20020
2
2
==
×
×
=δ 
Alongamento do cabo B 
EA
PL
=δ mmcm
cm
cm
kN
cmkN
B 0,22,0
0,200020
20040
2
2
==
×
×
=δ 
 
Respostas: mmA 0,1=δ e mmB 0,2=δ