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Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 1
RACIOCINIO LOGICO 
Ao procurarmos a solução de um problema 
quando dispomos de dados como um ponto de partida e 
temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos 
como chegar a esse objetivo temos um problema. Mas 
se depois de examinarmos os dados chegamos a uma 
conclusão que aceitamos como certa, concluímos que 
estivemos raciocinando. Se a conclusão decorre dos 
dados, o raciocínio é dito lógico. 4 
LÓGICA 
Com o aparecimento dos diversos sistemas 
filosóficos e depois de disseminado pela Grécia antiga o 
gosto pelas teorias racionais abstratas, impôs-se a 
necessidade de uma ciência que disciplinasse a 
argumentação e o pensamento, estabelecendo critérios 
de validade e veracidade das proposições. 
Lógica é a ciência que tem por objeto determinar, 
entre as operações intelectuais orientadas para o 
conhecimento da verdade, as que são válidas e as que 
não são. Estuda os processos e as condições de 
verdade de todo e qualquer raciocínio. O conhecimento 
só é científico quando, além de universal, é metódico e 
sistemático, ou seja, lógico. Assim, a lógica se entende 
como método, ou caminho que as ciências trilham para 
determinar e conhecer seu objeto, e como característica 
geral do conhecimento científico. 
Do ponto de vista didático, a lógica se alinha com a 
metafísica, a ética, a estética etc. como disciplina da 
filosofia. Assim entendida, chama-se mais propriamente 
lógica formal, pois não se aplica ao conteúdo do que 
enuncia, mas unicamente aos conceitos, aos juízos e 
raciocínios. 
Origens. A lógica foi desenvolvida de forma 
independente e chegou a certo grau de sistematização 
na China, entre os séculos V e III a.C., e na Índia, do 
século V a.C. até os séculos XVI e XVII da era cristã. Na 
forma como é conhecida no Ocidente, tem origem na 
Grécia. O mais remoto precursor da lógica formal é 
Parmênides de Eléia, que formulou pela primeira vez o 
princípio de identidade e de não contradição. Seu 
discípulo Zenão foi o fundador da dialética, segundo 
Aristóteles, por ter empregado a argumentação erística 
(arte da disputa ou da discussão) para refutar quem 
contestasse as teses referentes à unidade e à 
imobilidade do ser. 
Os sofistas, mestres da arte de debater contra ou a 
favor de qualquer opinião com argumentos que 
envolviam falácias e sofismas, também contribuíram para 
a evolução da lógica, pois foram os primeiros a analisar a 
estrutura e as formas da linguagem. Foi sobretudo em 
vista do emprego vicioso do raciocínio pelos sofistas que 
o antecederam que Aristóteles foi levado a sistematizar a 
lógica. 
Sócrates definiu o universal, ou essência das coisas, 
como o objeto do conhecimento científico e, com isso, 
preparou a doutrina platônica das idéias. Ao empregar o 
diálogo como método de procura e descobrimento das 
essências, antecipou a dialética platônica, bem como a 
divisão dos universais em gêneros e espécies (e das 
espécies em subespécies), o que permitiu situar ou inclu-
ir cada objeto ou essência no lugar lógico corresponden-
te. 
Lógica aristotélica. Aristóteles é considerado o 
fundador da lógica formal por ter determinado que a 
validade lógica de um raciocínio depende somente de 
sua forma ou estrutura, e não de seu conteúdo. 
Introduziu a análise da quantificação dos enunciados e 
das variáveis, realizou o estudo sistemático dos casos 
em que dois enunciados implicam um terceiro, 
estabeleceu o primeiro sistema dedutivo ou silogístico e 
criou a primeira lógica modal, que, ao contrário da lógica 
pré-aristotélica, admitia outras possibilidades além de 
"verdadeiro" e "falso". No século II da era cristã, as obras de Aristóteles 
sobre lógica foram reunidas por Alexandre de Afrodísia 
sob a designação geral de Órganon. Inclui seis tratados, 
cuja seqüência corresponde à divisão do objeto da 
lógica. Estuda as três operações da inteligência: o 
conceito, o juízo e o raciocínio. 
Conceito é a mera representação mental do objeto. 
Juízo é um ato mental de afirmação ou de negação de 
uma idéia a respeito de outra, isto é, da coexistência de 
um sujeito e um predicado. Raciocínio é a articulação de 
vários juízos. O objeto próprio da lógica não é o conceito 
nem o juízo, mas o raciocínio, que permite a progressão 
do pensamento. Em outras palavras, não há pensamento 
estruturado quando se consideram idéias isoladas. 
Em Perí hermeneías (Da interpretação), um dos 
tratados do Órganon, Aristóteles estuda a proposição, 
que é a expressão verbal do juízo. O juízo é verdadeiro 
quando une na proposição o que está unido na 
realidade, ou separa, na proposição, o que está 
realmente separado. A verdade é, assim, a adequação 
ou a correspondência entre o juízo e a realidade. Esse 
tratado procura principalmente determinar as oposições 
possíveis entre as proposições. 
A partir do juízo de existência ou de realidade, 
considerado primordial, Aristóteles estabelece as 
seguintes modalidades de oposição e de negação: o 
animal é; o animal não é; o não-animal é; o não-animal 
não é. As proposições simples apresentam as mesmas 
modalidades. Outro tipo de proposições admite maior 
número de modalidades: o homem é mortal; o homem 
não é mortal; o homem é não-mortal; o homem não é 
não-mortal; o não-homem é mortal; o não-homem não é 
mortal etc. Os juízos se dividem de acordo com a qualidade, a 
quantidade, a relação e a modalidade. Quanto à 
qualidade, podem ser afirmativos ou negativos. Os 
afirmativos sustentam a conveniência do predicado ao 
sujeito (o homem é racional), enquanto os negativos 
sustentam a não conveniência entre eles (o homem não 
é imortal). De acordo com a quantidade, os juízos podem 
ser de três tipos: universais, quando o sujeito é tomado 
em toda sua extensão (todo homem é mortal); 
particulares, quando o sujeito é tomado em parte de sua 
extensão (alguns homens são brasileiros); e individuais 
ou singulares, situações em que o sujeito é tomado no 
mínimo de sua extensão (Aristóteles é filósofo). 
Com relação à quantificação do sujeito, distingue-se 
a compreensão, que é o contéudo do conceito, e a ex-
tensão, que indica a quantidade de objetos aos quais o 
conceito se aplica. Quanto maior for o conteúdo, ou con-
junto de atributos característicos do conceito, menor será 
a extensão. Por exemplo, o conceito "mesa" abrange 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 2
todos os membros da classe. Quando se acrescenta o 
atributo "branca", aumenta-se a compreensão, mas limi-
ta-se a quantidade de mesas individuais a que se refere 
e diminui-se a extensão. 
Do ponto de vista da relação, os juízos se distinguem 
em categóricos, hipotéticos e disjuntivos. No juízo 
categórico, o enunciado independe de condições 
(Aristóteles é grego); no hipotético, é condicional (se fizer 
bom tempo, sairemos); no disjuntivo, também 
condicional, a condição está na própria predicação (o 
objeto real é físico ou psíquico). 
De acordo com a modalidade, os juízos podem ser 
assertóricos, problemáticos e apodícticos. No juízo 
assertórico, a validade do enunciado é de fato e não de 
direito (o livro está aberto, mas poderia estar fechado); 
no problemático, a validade é apenas possível (talvez as 
injustiças sejam reparadas); no apodíctico a validade é 
necessária e de direito, e não de fato (dois mais dois são 
quatro). 
Raciocinar, em lógica, significa estabelecer uma 
relação necessária entre duas proposições ou 
enunciados. No tratado Analysis próté (Primeiras 
analíticas), terceira parte do Órganon, Aristóteles estuda 
o silogismo, cuja doutrina criou, para estabelecer as 
condições fundamentais do conhecimento científico. O 
silogismo é "um argumento do qual, admitidas certas 
coisas, algo diferente resulta necessariamente de sua 
verdade, sem que se precise de qualquer outro termo". 
Aristóteles distingue o silogismo, ou dedução, da 
indução. A dedução vai do universal ao particular, e a 
indução do particular ao universal. Mesmo assim, 
compreende que a indução é no fundo silogística. 
No tratado do Órganonintitulado Análysis deutera 
(Segundas analíticas), Aristóteles estuda a 
demonstração e a definição. A propósito, indica os temas 
possíveis da investigação científica: (1) o que a palavra 
significa; (2) o que o objeto correspondente é; (3) qual a 
essência desse objeto; (4) quais são suas propriedades; 
(5) por que tem essas propriedades. Assim, o método 
científico começa com a determinação de um objeto 
conhecido apenas pelo nome, e prossegue com a 
determinação da essência e da existência do objeto. 
A demonstração é um silogismo científico cujas 
premissas devem ser verdadeiras, primeiras, 
indemonstráveis e mais inteligíveis do que a conclusão e 
a causa da conclusão. Os princípios, ou pontos de 
partida do conhecimento científico, são os axiomas e as 
teses das diversas ciências, subdivididas em hipóteses e 
definições. Acrescentam-se ainda os postulados que, ao 
contrário dos tipos de proposição mencionados, só 
devem ser admitidos depois de demonstrados. 
A ciência consiste no encadeamento lógico das 
proposições que, tomadas isoladamente, não poderiam 
ser conhecidas como verdadeiras. A rigor, a 
demonstração trata de evidenciar, por meio de 
mediações sucessivas, o que é inicialmente admitido 
como simples hipótese ou suposição. Além da 
demonstração ou da prova, Aristóteles admite, como 
forma de conhecimento, os primeiros princípios, que 
excluem a demonstração. Perguntar o que é alguma coisa é perguntar qual é a 
essência dessa coisa, e responder à pergunta é expor 
essa essência em sua definição. Aristóteles classifica 
três espécies de definição: a indemonstrável (a unidade 
em aritmética, por exemplo); a definição causal ou real; e 
a definição nominal. A propósito da definição da espécie, 
recomenda: (1) só tomar como características de espécie 
os atributos que pertencem a sua essência; (2) apresen-
tar os atributos em ordem, do determinável ao determi-
nando; (3) dar as indicações necessárias para distinguir 
o definido de tudo o que dele difere. A obediência a es-
sas regras permitirá definir, pela indicação do gênero 
próximo e da diferença específica, determinações que, 
por hipótese, devem conter a essência do objeto defini-
do. 
Por consistir numa redução à evidência, a 
demonstração implica a apreensão dos primeiros 
princípios, indemonstráveis. No processo que conduz da 
percepção à ciência, Aristóteles vê que o primeiro 
momento é a memória ("persistência da percepção") e o 
seguinte é a experiência, que é a lembrança das 
percepções dos mesmos objetos e a abstração daquilo 
que apresentam em comum. A passagem do particular 
ao universal é possível porque o que se percebe no 
objeto particular não é o que o particulariza, mas os 
caracteres que tem em comum com objetos 
semelhantes. Ao ascender a universais cada vez mais 
extensos, chega-se, pela razão intuitiva, aos primeiros 
princípios da ciência, os axiomas, as definições, os 
postulados e as hipóteses. Segundo Aristóteles, é por 
indução que se aprendem os primeiros princípios, pois é 
assim que a percepção produz o universal. 
Lógica na Idade Média. Traduzidos para o latim por 
Boécio, alguns tratados da obra de Aristóteles passaram 
a ser usados, na Idade Média, no ensino da lógica, 
incluída nas disciplinas dos cursos de direito e teologia. 
A esterilidade criativa que predominou durante cerca de 
cinco séculos só foi interrompida no século XII com a 
dialética de Abelardo, teólogo eminente e controvertido, 
autor de Sic et non (Sim e não). 
Durante o século XII, traduções complementares do 
Órganon de Aristóteles acrescentaram tópicos 
desconhecidos da "velha lógica" que foram agrupados 
sob o nome geral de "nova lógica". No século XIII, houve 
uma cisão entre os lógicos: alguns aderiram à ortodoxia 
aristotélica, enquanto outros adotaram uma visão mais 
liberal e, nas escolas de artes e nas recém-criadas 
universidades, propuseram a lógica moderna. 
Guilherme de Sherwood e seu discípulo Pedro 
Hispano (posteriormente papa João XXI), autor do livro 
sobre lógica mais utilizado nos 300 anos que se 
seguiram, foram os principais representantes dessa nova 
tendência. Entre os lógicos do século XIV, deve-se pelo 
menos mencionar Guilherme de Occam, além de Jean 
Buridan e seu aluno Alberto da Saxônia. No século 
seguinte, Paulo Vêneto, teólogo agostiniano, produziu 
uma extensa obra intitulada Logica magna, usada como 
livro didático durante os séculos XV e XVI. 
No mundo grego, a tradição de parafrasear e 
comentar os tratados lógicos de Aristóteles teve 
continuidade nas obras de João Filopono e Estêvão de 
Alexandria, neoplatonista do século VII, entre outros. Nos 
séculos XI e XIII, foram produzidos vários compêndios de 
lógica. 
Os árabes também cultivaram a lógica e, no início do 
século IX, já contavam com traduções de alguns tratados 
do Órganon de Aristóteles. Entretanto, a produção dos 
representantes da escola de Bagdá, surgida no século 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 3
seguinte, quase toda perdida, foi criticada pelo filósofo 
Avicena, que a considerava exageradamente servil à 
doutrina de Aristóteles. Avicena defendeu uma linha mais 
independente e expressou seu conceito de lógica no livro 
Kitab al-shifa (O livro da cura). 
O valor da contribuição árabe ao desenvolvimento da 
lógica não é muito grande, exceto pelo fato de ter manti-
do vivo o interesse na lógica aristotélica numa época em 
que, no Ocidente, era pouco divulgada. No mundo medi-
eval, em que houve a lógica bizantina, a árabe e a esco-
lástica, a vertente escolástica parece ter trazido as maio-
res contribuições. 
Lógica no Renascimento. A tradição da lógica medie-
val sobreviveu por mais três séculos após ter atingido a 
maturidade no século XIV. Entretanto, o clima intelectual 
que se estabeleceu no Ocidente com o advento do Re-
nascimento e do humanismo não estimulava o estudo da 
lógica. O crescimento das ciências naturais também 
contribuiu para o abandono da lógica que, como discipli-
na dedutiva, cedeu lugar às pesquisas metodológicas. 
Uma nova atitude em relação à lógica surgiu no sécu-
lo XVI com Petrus Ramus (Pierre de La Ramée), lógico 
antiaristotélico e reformador educacional. Ramus descre-
veu a lógica como a "arte de discutir" e distinguiu-a da 
gramática e da retórica que, a seu ver, concentravam-se 
nas questões relativas ao estilo. De acordo com Ramus, 
a lógica deveria tratar de conceitos, juízos, inferências e 
provas, nessa ordem de prioridade. Entre as inferências, 
incluía os silogismos categóricos e hipotéticos. 
As divisões da lógica sugeridas por Ramus foram a-
dotadas pelos jansenistas Antoine Arnauld e Pierre Nico-
le, autores de La Logique: ou l'art de penser (1662), 
traduzido e publicado em inglês em 1851 sob o título The 
Port-Royal Logic (A lógica de Port-Royal). As duas pri-
meiras de suas quatro partes trazem poucas contribui-
ções originais, muito mais no campo da epistemologia 
que da lógica. A terceira, sobre o raciocínio, trata da 
validade dos silogismos. Na quarta parte, sobre o méto-
do, a obra Elementos de Euclides é recomendada como 
modelo do método científico. Como René Descartes, 
fundador da filosofia moderna, os autores insistiam que, 
em qualquer investigação científica, termos obscuros ou 
equívocos devem ser definidos; que somente termos 
perfeitamente conhecidos devem ser usados em defini-
ções; que somente verdades auto-evidentes devem ser 
usadas como axiomas; e que todas as proposições que 
não são auto-evidentes devem ser confirmadas com o 
auxílio de axiomas, definições e proposições já compro-
vados. Apesar de competir com uma concepção inteira-
mente nova da lógica apresentada por Leibniz, raciona-
lista alemão, as idéias expostas pela lógica de Port-
Royal mantiveram sua reputação durante o século XIX. 
Lógica moderna. Com Leibniz, no século XVII, teve 
início a lógica moderna, que se desenvolveu em coope-
ração com a matemática. Leibniz influenciou seus con-
temporâneos e sucessores com um ambicioso plano 
para a lógica, que para ele deixava deser "uma diversão 
para acadêmicos" e começava a tomar a forma de uma 
"matemática universal". Seu plano propunha uma lingua-
gem universal baseada num alfabeto do pensamento (ou 
characteristica universalis), um cálculo geral do raciocí-
nio e uma metodologia geral. 
A linguagem universal, na visão de Leibniz, seria co-
mo a álgebra ou como uma versão de ideogramas chine-
ses, formada de sinais básicos representativos de no-
ções não analisáveis. Noções complexas seriam repre-
sentadas por conjuntos apropriados de sinais que, por 
sua vez, representariam a estrutura de noções comple-
xas e, em última análise, a noção de realidade. 
Uma das contribuições mais positivas de Leibniz para 
o desenvolvimento da lógica foi a aplicação bem-
sucedida dos métodos matemáticos à interpretação da 
silogística aristotélica. Outra foi sua proposta de um 
"cálculo de adição real", em que demonstra que partes 
da álgebra são passíveis de interpretação não aritmética. 
Sua forma de interpretação se comprovaria adequada 
mesmo à intrincada regra da rejeição proposta para os 
silogismos pelo polonês Jerzy Stupecki, da escola de 
lógica de Varsóvia, na década de 1940. 
Na segunda metade do século XIX, foram lançados 
os alicerces para os mais notáveis progressos da história 
da lógica. Merece menção a obra do matemático francês 
Joseph-Diez Gergonne, cuja grande inovação foi a ex-
pansão do vocabulário do silogismo e a proposição de 
novos tipos de inferência baseados na expansão. A axi-
omatização de seu trabalho, no entanto, coube ao lógico 
John Acheson Faris, de Belfast. Também trouxeram 
contribuições importantes o metafísico escocês William 
Hamilton e os ingleses George Bentham, botânico, e 
Augustus De Morgan. 
Ainda no século XIX, as novas idéias de George Boo-
le, matemático autodidata, representaram um grande 
progresso para a lógica. A chamada álgebra de Boole foi 
aprimorada por vários pesquisadores, entre eles o eco-
nomista e lógico britânico William Stanley Jevons; o 
lógico, engenheiro e filósofo americano Charles Sanders 
Peirce; e o lógico e matemático alemão Ernst Schröder. 
Coube, porém, ao matemático e filósofo alemão Gottlob 
Frege estabelecer a relação entre os dois sistemas lógi-
cos tratados por Boole, e outros importantes estudos 
relativos à teoria da linguagem e à redução da aritmética 
à lógica. Outra tendência no estudo da lógica e dos fun-
damentos da matemática foi introduzida pelo matemático 
e filósofo alemão Georg Cantor. 
Lógica no século XX. Quando, no início do século XX, 
Bertrand Russell se dispôs a mostrar que a aritmética era 
uma extensão da lógica, foi beneficiado pelas pesquisas 
anteriores de Giuseppe Peano, matemático e lógico 
italiano que, no fim do século XIX e início do XX, questi-
onara noções primárias da aritmética. Após escrever The 
Principles of Mathematics (1903; Princípios da matemáti-
ca), Russell produziu, em cooperação com o também 
britânico Alfred North Whitehead, a monumental Principia 
Mathematica (1910-1913), que se tornou um clássico da 
lógica. A obra, em três volumes, reuniu os resultados das 
pesquisas sobre lógica e fundamentos da matemática 
que vinham sendo realizadas desde a época de Leibniz e 
tornou-se o ponto de partida para a evolução da lógica 
no século XX. 
A visão da matemática como continuação da lógica, 
sem uma linha delimitadora clara entre as duas discipli-
nas, como defendeu Russell, chamou-se logicismo. A 
essa abordagem se opõem o intuicionismo, associado 
aos nomes de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, matemáti-
co holandês, e seu discípulo Arend Heyting, e o forma-
lismo, fundado por David Hilbert. 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 4
Bertrand Russell afirmou que há duas vertentes da 
pesquisa em matemática: uma visa à expansão, e a 
outra explora os fundamentos. O mesmo se pode dizer 
sobre qualquer outra disciplina, mas na exploração dos 
fundamentos de uma ciência o pesquisador volta a en-
contrar a lógica, pois todas as ciências que pretendem 
descrever e comprovar algum aspecto da realidade fa-
zem uso do vocabulário lógico. Isso quer dizer que a 
lógica, localizada no ponto mais alto de uma hierarquia 
de ciências, pode ser entendida como a mais abstrata e 
mais geral descrição da realidade. ©Encyclopaedia Bri-
tannica do Brasil Publicações Ltda. 
SILOGISMO 
A doutrina do silogismo desenvolvida pelo filósofo 
grego Aristóteles no século IV a.C. constituiu até a era 
moderna o principal instrumento da lógica. 
Silogismo, segundo a definição de Aristóteles, é uma 
expressão proposicional na qual, admitidas certas pre-
missas, delas resultará, apenas por serem o que são, 
outra proposição diferente das estabelecidas anterior-
mente. O termo vem do grego syllogismós, que significa 
argumento ou raciocínio. Posteriormente, a terminologia 
tradicional passou a definir essa operação lógica como 
um argumento formado de três proposições -- duas pre-
missas e uma conclusão -- que apresentam a forma 
"sujeito-predicado". 
Indubitavelmente, o silogismo é a forma mais simples 
de demonstração ou de argumento inferencial. É sempre 
precedido de uma pergunta: quer-se saber se um dado 
predicado convém ou não, necessariamente, a um sujei-
to. A resposta, quando está de acordo com as regras do 
silogismo, é rigorosa e necessariamente certa. O exem-
plo mais clássico é o seguinte: "Todo animal é mortal; 
todo homem é animal; logo, todo homem é mortal." 
As duas premissas, estruturadas segundo a fórmula 
"sujeito-predicado", são denominadas maior e menor. 
Por meio delas, dois termos (maior e menor) são postos 
em relação com um terceiro (médio). No exemplo citado, 
"mortal" é o termo de maior extensão, e portanto o termo 
maior. O termo de menor extensão, chamado termo 
menor, é "homem". O termo médio, que contém ambos, 
é "animal". Por ser afirmativo, esse tipo de silogismo é 
chamado categórico e se baseia na lei de generalização 
do universal para o particular. 
Os termos que compõem cada premissa são sempre os 
mesmos -- maior e médio na premissa maior, menor e 
médio na premissa menor -- mas sua ordem pode mu-
dar. O termo médio pode assumir quatro posições dife-
rentes, segundo as quais se definem as quatro "figuras" 
do silogismo. Tais figuras, em função do caráter e das 
combinações de suas proposições (universais ou particu-
lares, afirmativas ou negativas) dão lugar aos 23 tipos de 
silogismo conhecidos como silogismos modais. 
Os chamados silogismos hipotéticos são mais com-
plexos que os categóricos e os modais, ainda que deri-
vem das mesmas leis. A denominação se explica devido 
à ocorrência de premissas hipotéticas, que de acordo 
com sua forma podem ser condicionais ou disjuntivas. 
Uma formulação clássica de silogismo hipotético condi-
cional seria, por exemplo: se P então Q; se Q então não 
R; logo, se P então não R. 
A teoria silogística teve grande desenvolvimento du-
rante a Idade Média. A distinção entre os termos maior, 
menor e médio foi elaborada pelos pensadores escolás-
ticos, que distinguiam três espécies de silogismo: regula-
res, irregulares e compostos. Os regulares se constituem 
dos três termos clássicos. Os irregulares e os compostos 
se caracterizam por terem termos implícitos (ocultos), ou 
por terem mais de três proposições. Um exemplo de 
silogismo irregular, conhecido como entimema, expres-
sa-se na frase "penso, logo existo", na qual está suben-
tendida a premissa maior, que poderia ser "tudo o que 
pensa existe". 
Os pensadores renascentistas, no entanto, assim 
como os racionalistas do século XVII, criticaram o silo-
gismo como insuficiente e tautológico. Para eles, todas 
as conclusões se encontram implícitas nas premissas e 
portanto nada acrescentam ao conhecimento. A moderna 
lógica formal, contudo, reconheceu o valor histórico do 
silogismo como instrumento de formalização e integrou 
os antigos esquemas silogísticos à lógica quantificativa e 
à lógica de classes. ©Encyclopaedia Britannica do Brasil 
Publicações Ltda. 
LÓGICA MATEMÁTICA 
Por influência do pensamentode Aristóteles, a lógica 
dizia respeito, tradicionalmente, apenas às proposições 
da linguagem verbal. A partir do século XIX, no entanto, 
seus princípios foram aplicados à linguagem simbólica 
da matemática. 
Lógica matemática é o conjunto de estudos que vi-
sam a expressar em signos matemáticos as estruturas e 
operações do pensamento, deduzindo-as de um peque-
no número de axiomas, com o propósito de criar uma 
linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, 
da qual estejam afastadas as ambigüidades próprias da 
linguagem comum. Fundamenta-se na construção de 
sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição 
se enunciam certos axiomas (conceitos básicos) e méto-
dos de dedução ou demonstração. 
Evolução histórica. O termo "sistema" foi proposto por 
Laozi (Lao-tsé) 500 anos antes da era cristã, ao dizer 
que "uma carroça é mais que a soma de suas partes", ou 
seja, que a relação entre os diversos elementos que 
formam a carroça faz com que ela tenha propriedades 
especiais e diferentes da soma das propriedades de 
cada um de seus componentes em separado. Aristóteles 
já assinalara um princípio de abstração ao descrever 
sistema como um conjunto de funções, características e 
atributos que podem ser definidos. No entanto, o termo 
lógica matemática denota preferencialmente o conjunto 
de regras e raciocínios dedutivos elaborado a partir da 
segunda metade do século XIX. Mediante a eliminação 
das imprecisões e erros lógicos da linguagem comum e a 
adoção de critérios de formalização e emprego de sím-
bolos, a lógica formal converteu-se numa disciplina as-
sociada à matemática. 
Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, 
ou operadores, propostos por Aristóteles para as propo-
sições (do tipo "e", "ou", "não" etc.) seguiam regras simi-
lares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a 
chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica 
binária de "verdadeiro" e "falso" como alternativas para 
cada proposição. 
Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos con-
juntos e suas operações. Definiu conjunto como a união 
de objetos que satisfazem propriedades exprimíveis, e 
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Raciocínio Lógico 5
conjunto de conjuntos como um novo conjunto que con-
tém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. 
Bertrand Russell detectou o paradoxo desse raciocínio e 
argumentou que um conjunto pertence à primeira catego-
ria se não contém a si mesmo, e à segunda se contém a 
si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem 
como elementos os conjuntos da primeira categoria, não 
pode, por dedução, pertencer a nenhuma das duas cate-
gorias mencionadas, ainda que inicialmente se atribuísse 
uma categoria a cada conjunto. 
Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de esco-
lha sobre conjuntos não-vazios, isto é, que contêm ele-
mentos. Numa família de conjuntos não-vazios, qualquer 
que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo 
tempo um elemento de cada conjunto e considerar o 
conjunto A, que não podia pertencer a nenhuma catego-
ria, como constituído desses elementos. Com esse axi-
oma puderam ser demonstrados teoremas matemáticos 
clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo 
tempo começou a polêmica quanto à validade dos teo-
remas demonstrados com base nele, e a equiparação 
destes com aqueles que não necessitam desse axioma 
para sua demonstração. Enfim, tornou-se prática indicar 
se em determinado teorema havia sido usado ou não o 
axioma de escolha. 
Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só fos-
se suficiente para a aritmética clássica seria necessaria-
mente incompleto. Acrescentou que qualquer sistema 
pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de es-
colha, e assim se mantém quando nele se inclui a nega-
ção desse mesmo axioma. A hipótese de continuidade 
geral também é coerente com a matemática comum, que 
mantém a coerência quando se lhe acrescentam simul-
taneamente o axioma de escolha e a hipótese de conti-
nuidade geral. Essa hipótese propõe uma explicação 
provável de um fato ou série de fatos cuja verdadeira 
causa se desconhece. 
Sistemas e subsistemas lógicos. No século XX, defi-
ne-se sistema como um conjunto cujos elementos estão 
em interação e no qual prevalecem as relações recípro-
cas entre os elementos, e não os elementos em si. Por 
sua própria natureza, sistema é um conjunto de partes, o 
que significa que pode ser analisado. O conjunto como 
um todo, porém, não pode ser obtido pela simples acu-
mulação das partes. A trama das relações entre os ele-
mentos constitui a estrutura do sistema, ou, o que é a 
mesma coisa, o mecanismo de articulação de suas par-
tes. 
As grandezas tomadas para descrever um sistema 
não são sempre as mesmas. Se uma delas se comporta 
de forma particular, deve ter propriedades que suscitam 
tal comportamento e dêem lugar a certas regras de or-
ganização. Os sistemas têm limites precisos, de modo 
que é possível determinar sem ambigüidades se um 
elemento pretence a um ou a outro sistema. 
Os sistemas classificam-se em fechados, se não 
permutam matéria com o exterior, mesmo que haja per-
muta de energia para chegar ao equilíbrio, e abertos, se 
podem permutar matéria e energia com o exterior e ten-
dem à estabilidade. Os últimos se caracterizam por um 
comportamento não plenamente determinado por uma 
cadeia causal, nem por puro acaso. Os sistemas abertos 
tendem a se manter no estado em que melhor se adequ-
am a possíveis perturbações. Essa tendência à estabili-
dade lhes permite alcançar um estado final característico 
a partir de estados iniciais distintos e caminhos diferen-
tes. A atuação ou comportamento de cada subsistema 
ou componente de um sistema se difunde pelo sistema 
inteiro. Os sistemas são representados formalmente 
mediante modelos, e chama-se simulação a geração de 
possíveis estados do sistema pelo modelo que represen-
ta. 
Conceitos de lógica matemática. O processo dedutivo 
matemático exige rigor. O modelo tradicional de um sis-
tema consiste na apresentação das assertivas principais 
em forma de teoremas, como já o fizera Euclides na 
Grécia antiga. Formalmente, dá-se o nome de teorema a 
uma proposição cuja validade se prova por demonstra-
ção. Assim, os axiomas, que se definem como primeiros 
teoremas e se admitem sem demonstração, pertencem a 
uma categoria lógica diferente. Os teoremas se demons-
tram a partir de outros teoremas, mediante procedimen-
tos de dedução ou indução nos quais se encadeiam 
conseqüências lógicas. A axiomática da matemática, e 
das ciências em geral, constitui o elemento básico para a 
dedução de teoremas derivados, e a escolha adequada 
dos axiomas é um dos pontos mais delicados na elabo-
ração dos modelos de qualquer sistema. Um conjunto de 
axiomas é aceitável, do ponto de vista matemático, 
quando tem coerência lógica, o que implica que de um 
mesmo axioma não é possível deduzir dois teoremas 
contraditórios. 
Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além 
dos axiomas, as próprias regras de dedução deveriam 
estar sujeitas a variações. Quando os axiomas e regras 
de dedução são abertos, fala-se de sistema matemático, 
ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma 
vez estabelecido o método. Quando se pode demonstrar 
uma proposição ou sua negativa, o sistema é completo. 
Se um sistema que contém um teorema se altera, a 
mesma proposição, ou a que corresponde à nova enti-
dade, passa a ser duvidosa ou inteiramente falsa. Mes-
mo que sua validade se mantenha, seria preciso uma 
nova demonstração, devido à possibilidade de que os 
axiomas ou as regras de dedução do sistema tenham 
perdido sua pertinência. 
As regras básicas da lógica matemática exigem a 
formulação de enunciados, nos quais se definem previ-
amente os conceitos da proposição, e predicados ou 
sentenças matemáticas que empregam os enunciados 
descritos anteriormente. 
A terminologia e a metodologia da lógica matemática 
tiveram, ao longo do século XX, importante papel no 
progresso das novas ciências da informática e cibernéti-
ca. Desdeas origens, elas adotaram as estruturas for-
mais da lógica binária e da álgebra de Boole e emprega-
ram a filosofia de enunciado-predicado em suas proposi-
ções, numa axiomática e num conjunto de regras hipoté-
tico-dedutivas definidas previamente. Fonte: ©Encyclo-
paedia Britannica do Brasil Publicações Ltda. 
 
1 Compreensão de estruturas lógicas. 
 
INTRODUÇÃO 
Neste roteiro, o principal objetivo será a investigação da 
validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados 
dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMIS-
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 6
SAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos 
em DEDUTIVOS e INDUTIVOS. 
ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas pre-
missas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadei-
ra. 
Premissa : "Todo homem é mortal." 
Premissa : "João é homem." 
Conclusão : "João é mortal." 
Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro. 
ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não 
basta para assegurar a verdade da conclusão. 
Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." 
Premissa : "Está chovendo." 
Conclusão: "Ficará nublado." 
 
Não trataremos do estudo desses argumentos neste 
roteiro. 
As premissas e a conclusão de um argumento, formula-
das em uma linguagem estruturada, permitem que o 
argumento possa ter uma análise lógica apropriada para 
a verificação de sua validade. Tais técnicas de análise 
serão tratadas no decorrer deste roteiro. 
UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA 
LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da probabi-
lidade, não será abordada neste roteiro. 
LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em : 
 LÓGICA CLÁSSICA- Considerada como o núcleo 
da lógica dedutiva. É o que chamamos hoje de 
CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM com 
ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas. 
Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clás-
sica: da IDENTIDADE, da CONTRADIÇÃO e do 
TERCEIRO EXCLUÍDO os quais serão abordados 
mais adiante. 
 LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA: 
Complementam de algum modo a lógica clássica es-
tendendo o seu domínio. Exemplos: lógicas modal , 
deôntica, epistêmica , etc. 
 LÓGICAS NÃO - CLÁSSICAS: Assim caracteriza-
das por derrogarem algum ou alguns dos princípios 
da lógica clássica. Exemplos: paracompletas e intui-
cionistas (derrogam o princípio do terceiro excluído); 
paraconsistentes (derrogam o princípio da contradi-
ção); não-aléticas (derrogam o terceiro excluído e o 
da contradição); não-reflexivas (derrogam o princípio 
da identidade); probabilísticas, polivalentes, fuzzy-
logic, etc... 
"ESBOÇO" DO DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA 
 PERÍODO ARISTOTÉLICO ( 390 a.C. a  1840 
d.C.) 
A história da Lógica tem início com o filósofo grego A-
RISTÓTELES (384 - 322a.C.) de Estagira (hoje Estavo) 
na Macedônia. Aristóteles criou a ciência da Lógica cuja 
essência era a teoria do silogismo (certa forma de argu-
mento válido). Seus escritos foram reunidos na obra 
denominada Organon ou Instrumento da Ciência. 
Na Grécia, distinguiram-se duas grandes escolas de 
Lógica, a PERIPATÉTICA (que derivava de Aristóteles) e 
a ESTÓICA fundada por Zenão (326-264a.C.). A escola 
ESTÓICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250a.C.) a 
partir da escola MEGÁRIA (fundada por Euclides, um 
seguidor de Sócrates). Segundo Kneale e Kneale (O 
Desenvolvimento da Lógica), houve durante muitos anos 
uma certa rivalidade entre os Peripatéticos e os Megários 
e que isto talvez tenha prejudicado o desenvolvimento da 
lógica, embora na verdade as teorias destas escolas 
fossem complementares. 
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) merece 
ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca 
influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados 
e conhecidos no século XIX . 
 PERÍODO BOOLEANO: ( 1840 a  1910) 
Inicia-se com GEORGE BOOLE (1815-1864) e AUGUS-
TUS DE MORGAN (1806-1871). Publicaram os funda-
mentos da chamada Álgebra da lógica, respectivamente 
com MATHEMATICAL ANALYSIS OF LOGIC e FORMAL 
LOGIC. 
GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no 
desenvolvimento da lógica com a obra BEGRIFFSSC-
HRIFT de 1879. As idéias de Frege só foram reconheci-
das pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É 
devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se se-
guiu. 
GIUSEPPE PEANO (1858-1932) e sua escola com Bura-
li-Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda 
simbologia da matemática se deve a essa escola italiana. 
 PERÍODO ATUAL: (1910- ........) 
Com BERTRAND RUSSELL (1872-1970) e ALFRED 
NORTH WHITEHEAD (1861-1947) se inicia o período 
atual da lógica, com a obra PRINCIPIA MATHEMATICA. 
DAVID HILBERT (1862-1943) e sua escola alemã com 
von Neuman, Bernays, Ackerman e outros. 
KURT GÖDEL (1906-1978) e ALFRED TARSKI (1902-
1983) com suas importantes contribuições. 
Surgem as Lógicas não-clássicas : N.C.A. DA COSTA 
(Universidade de São Paulo) com as lógicas paraconsis-
tentes , L. A. 
ZADEH (Universidade de Berkeley-USA) com a lógica 
"fuzzy" e as contribuições dessas lógicas para a Informá-
tica, no campo da Inteligência Artificial com os Sistemas 
Especialistas. 
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em 
Lógica englobam muitas áreas do conhecimento. 
CÁLCULO PROPOSICIONAL 
 
Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemá-
tica temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCU-
LO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTEN-
ÇAS. 
 
CONCEITO DE PROPOSIÇÃO 
PROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas 
(expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido 
afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. 
 A lua é quadrada. 
 A neve é branca. 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 7
 Matemática é uma ciência. 
Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas 
ou exclamativas. 
 
OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PRO-
POSICIONAL 
 VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas mi-
núsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições 
(fórmulas atômicas) . 
Exemplos: A lua é quadrada : p 
 A neve é branca : q 
 CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas 
podem ser combinadas entre si e, para representar 
tais combinações usaremos os conectivos lógicos : 
: e , : ou ,  : se...então ,  
: se e somente se , : não 
Exemplos: 
 A lua é quadrada e a neve é branca. : p  q (p e q 
são chamados conjunctos) 
 A lua é quadrada ou a neve é branca. : p  q ( p e q 
são chamados disjunctos) 
 Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p  q 
( p é o antecedente e q o conseqüente) 
 A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. 
: p  q 
 A lua não é quadrada. : p 
 
 SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) , parênteses que 
servem para denotar o "alcance" dos conectivos; 
Exemplos: 
 Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua 
não é quadrada. : 
 
 ((p  q)   p) 
 A lua não é quadrada se e somente se a neve é 
branca. : 
 (( p) q)) 
DEFINIÇÃO DE FÓRMULA : 
 
1. Toda fórmula atômica é uma fórmula. 
2. Se A e B são fórmulas então 
(A  B) , (A  B) , (A  B) , (A  B) e ( A) também são 
fórmulas. 
 
3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. . 
Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem 
dos conectivos: ,  ,  , ,  . 
Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela 
direita. 
Exemplo: a fórmula p  q   r  p   q deve ser 
entendida como 
 (((p  q)  ( r))  ( p  ( q))) 
AS TABELAS VERDADE 
A lógica clássica é governada por três princípios (entre 
outros) que podem ser formulados como segue: 
 Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si 
mesmo. 
 Princípio da Contradição: Dadas duas proposições 
contraditórias (uma é negação da outra), uma delas 
é falsa. 
 Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas pro-
posições contraditórias, uma delas é verdadeira. 
Com base nesses princípios as proposições simples são 
ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos 
os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. 
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das pro-
posições compostas(moleculares), conhecidos os valo-
res das proposições simples (atômicas) que as compõem 
usaremos tabelas-verdade : 
1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) 
se e somente se p é falsa (verdadeira). 
p ~p 
V F 
F V 
2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verda-
deira se e somente os conjuntos são verdadeiros. 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, 
e somente, os disjuntos são falsos. 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa 
se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conse-
qüente é falso. 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é 
verdadeira se, e somente se seus componentes são ou 
ambos verdadeiros ou ambos falsos 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula : ((p  
q)  ~p)  (q  p) 
p q ((p  q)  ~p)  (q  p) 
V V V F F V V 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 8
V F V F F V F 
F V V V V F F 
F F F V V F F 

NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE: 
Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V 
ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há 
tantas possibilidades quantos são os arranjos com repe-
tição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o 
número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim, para 
duas proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições 
são 23 = 8; etc. 
Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p  q)  r) 
terá 8 linhas como segue : 
p q r ((p  q)  r ) 
V V V V V 
V V F V F 
V F V F V 
V F F F V 
F V V F V 
F V F F V 
F F V F V 
F F F F V 
 
NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que 
"ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclu-
sivo (disjunção)  ("vel") e exclusivo  ( "aut") 
onde p q significa ((p  q)  (p  q)). 
 
p q ((p  q)   (p  q)) 
V V V F F V 
V F V V V F 
F V V V V F 
F F F F V F 
Construção de Tabelas-Verdade 
1. TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO 
COMPOSTA 
 
Dadas várias proposições simples p, q, r,..., po-
demos combiná-las pelos conectivos lógicos: 
 
 ,  , V ,  ,  
 
e construir proposições compostas, tais como: 
 
P (p, q) =  p V (p q) 
Q (p, q) = (p   q) q 
R (p, q, r) = ( p   q V r )   ( q V ( p   r ) ) 
 
Então, com o emprego das tabelas-verdade das ope-
rações lógicas fundamentais: 
  p, p  q, p V q, p q, p  q 
 
é possível construir a tabela-verdade correspondente 
a qualquer proposição composta dada, tabela-verdade 
esta que mostrará exatamente os casos em que a pro-
posição composta será verdadeira(V) ou falsa(F), admi-
tindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só de-
pende dos valores lógicos das proposições simples com-
ponentes. 
 
2. NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-
VERDADE 
 
O número de linhas da tabela-verdade de uma 
proposição composta depende do número de proposi-
ções simples que a integram, sendo dado pelo seguinte 
teorema: 
A tabela-verdade de uma proposição composta 
com n proposições simples componentes contém 2n 
linhas. 
 
Dem. Com efeito, toda proposição simples tem dois 
valores lógicos: V e F, que se excluem. Portanto, para 
uma proposição composta P(p1, p2, ... pn) com n 
proposições simples componentes p1, p2, ... pn há 
tantas possibilidades de atribuição dos valores lógicos V 
e F a tais componentes quantos são os arranjos com 
repetição n a n dos dois elementos V e F, isto é, A2, n = 
2n, segundo ensina a Análise Combinatória. 
 
3. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE UMA 
PROPOSIÇÃO COMPOSTA 
 
Para a construção prática da tabela-verdade de uma 
proposição composta começa-se por contar o número de 
proposições simples que a integram. Se há n proposi-
ções simples componentes: p1, p2, ... pn então a 
tabela-verdade contém 2n linhas. Posto isto, à 1ª propo-
sição simples p1 atribuem-se 2n/2 = 2n - 1 valores V 
seguidos de 2n – 2 valores F; à 2ª proposição simples 
p2 atribuem-se 2n/4 = 2n - 2 valores V, seguidos de 
2n - 2 valores F, seguidos de 2n - 2 valores V,seguidos, 
finalmente, de 2n - 2 valores F; e assim por diante. De 
modo genérico, a k-ésima proposição simples pk(k  
n) atribuem-se alternadamente 2n/ 2k = 2n - k valores 
V seguidos de igual número de valores F. 
 
No caso, p. ex., de uma proposição composta com 
cinco (5) proposições simples componentes, a tabela-
verdade contém 25 = 32 linhas, e os grupos de valores 
V e F se alternam de 16 em 16 para a 1ª proposição 
simples p1, de 8 em 8 para a 2ª proposição simples p2, 
de 4 em 4 para a 3ª proposição simples p3, de 2 em 2 
para a 4ª proposição simples p4, e, enfim, de 1 em 1 
para a 5ª proposição simples p5. 
 
4. EXEMPLIFICAÇAO 
 
(1) Construir a tabela-verdade da proposição: 
 
P ( p, q) =  (p   q) 
 
1ª Resolução - Forma-se, em primeiro lugar, o par 
de colunas correspondentes às duas proposições sim-
ples componentes p e q. Em seguida, forma-se a coluna 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 9
para  q. Depois, forma-se a coluna para p   q. Afinal, 
forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da propo-
sição composta dada. 
 
 
p q  q p   q  (p   q) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V F V 
 
2.ª Resolução — Formam-se primeiro as colunas cor-
respondentes às duas proposições simples p e q. Em 
seguida, à direita, traça-se uma coluna para cada uma 
dessas proposições e para cada um dos conectivos que 
figuram na proposição composta dada. 
 
 
p q  (p   q) 
V F 
V V 
F V 
F F 
 
Depois, numa certa ordem, completam-se essas co-
lunas, escrevendo cm cada uma delas os valores lógicos 
convenientes, no modo abaixo indicado: 
 
p q  (p   q) 
V V V V F F F 
V F F V V V F 
F V V F F F V 
F F V F F V F 
 4 1 3 2 1 
 
Os valores lógicos da proposição composta dada en-
contram-se na coluna completada em último lugar (colu-
na 4). 
 
Portanto, os valores lógicos da proposição composta 
dada correspondentes a todas as possíveis atribuições 
dos valores lógicos V e F às proposições simples com-
ponentes p e q (VV, VF, FV e FF) são V, F, V e V, isto é, 
simbolicamente: 
 
P(VV)=V, P(VF)=F, P(FV)=V, P(FF)=V 
 
ou seja, abreviadamente: 
P(VV, VF, FV, FF) = VFVV 
 
Observe-se que a proposição P(p, q) associa a cada 
um dos elementos do conjunto U — { VV, VF, FV, FF } 
um único elemento do conjunto {V, F} isto é, P(p, q) 
outra coisa não é que uma função de U em {V, F} 
 
P(p,q) : U  {V,F} 
 
cuja representação gráfica por um diagrama sagital é 
a seguinte: 
 
 
3ª Resolução — Resulta de suprimir na tabela-
verdade anterior as duas primeiras colunas da esquerda 
relativas às proposições simples componentes p e q que 
dá a seguinte tabela-verdade simplificada para a propo-
sição composta dada: 
 
 (p   q) 
V V F F V 
F V V V F 
V F F F V 
V F F V F 
4 1 3 2 1 
 
(2) Construir a tabela-verdade da proposição: 
 
P (p, q) =  ( p  q) V  (q  p) 
 
1ª Resolução: 
 
 
p q p  q q  p  ( p  q)  (q  p)  ( p  q) V 
 (q  p) 
V V V V F F F 
V F F F V V V 
F V F F V V V 
F F F V V F V 
 
 
2ª Resolução: 
 
p q  ( p  q) V  (q  p) 
V V F V V V F F V V V 
V F V V F F V V F F V 
F V V F F V V V V F F 
F F V F F F V F F V F 
 3 1 2 1 4 3 1 2 1 
 
Portanto, simbolicamente: 
 
P(VV)=F, P(VF)=V, P(FV)=V, P(FF)=V 
 
ou seja, abreviadamente: 
 
P(VV, VF, FV, FF) = FVVV 
 
Observe-se que P(p, a) outra coisa não é que uma 
função de U = { VV, VF, FV, FF} em (V, F} , cuja repre-
sentação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte: 
 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 10
 
 
3ª Resolução: 
 
 
 ( p  q) V  (q  p) 
F V V V F F V V V 
V V F F V V F F V 
V F F V V V V F F 
V F F F V F F V F 
3 1 2 1 4 3 1 2 1 
 
(3) Construir a tabela-verdade da proposição: 
 
P(p, q, r) = p V  r  q   r 
 
1ª Resolução: 
 
p q r  r p V  r q   r p V  r  q   rV V V F V F F 
V V F V V V V 
V F V F V F F 
V F F V V F F 
F V V F F F V 
F V F V V V V 
F F V F F F V 
F F F V V F F 
 
 
 
 
 
2ª Resolução: 
 
p q r p V  r  q   r 
V V V V V F V F V F F V 
V V F V V V F V V V V F 
V F V V V F V F F F F V 
V F F V V V F F F F V F 
F V V F F F V V V F F V 
F V F F V V F V V V V F 
F F V F F F V V F F F V 
F F F F V V F F F F V F 
 1 3 2 1 4 1 3 2 1 
 
 
Portanto, simbolicamente: 
 
P(VVV) = F, P(VVF) = V, 
P(VFV) = F, P(VFF) = F 
P(FVV) = V, P(FVF) V, 
 P(FFV) = V, P(FFF) = F 
 
ou seja, abreviadamente: 
 
P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = 
FVFFVVVF 
 
 
Observe-se que a proposição P(p, q, r) outra coisa 
n~o é que uma função de U = {VVV, VVF, VFV, VFF, 
FVV, FVF, FFV, FFF} em {V, F} , cuja representação 
gráfica por um diagrama sagital é a seguinte: 
 
 
 
3ª Resolução: 
 
p V  r  q   r 
V V F V F V F F V 
V V V F V V V V F 
V V F V F F F F V 
V V V F F F F V F 
F F F V V V F F V 
F V V F V V V V F 
F F F V V F F F V 
F V V F F F F V F 
1 3 2 1 4 1 3 2 1 
 
 
(4) Construir a tabela-verdade da proposição: 
 
P(p, q, r) = (p  q)  (q  r)  (p  r) 
 
Resolução: 
 
p q r (p  q)  (q  r)  (p  r) 
V V V V V V V V V V V V V V 
V V F V V V F V F F V V F F 
V F V V F F F F V V V V V V 
V F F V F F F F V F V V F F 
F V V F V V V V V V V F V V 
F V F F V V F V F F V F V F 
F F V F V F V F V V V F V V 
F F F F V F V F V F V F V F 
 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 
 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 11
 Portanto, simbolicamente: 
 
 P(VVV) = V, P(VVF) = V, P(VFV) = V,
 P(VFF) = V 
 P(FVV) = V, P(FVF) V, P(FFV) = V,
 P(FFF) = V 
 
ou seja, abreviadamente: 
 
P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = 
VVVVVVVV 
 
Observe-se que a última coluna (coluna 4) da tabela-
verdade da proposição P(p, q, r) só encerra a letra 
V(verdade), isto é, o valor lógico desta proposição é 
sempre V quaisquer que sejam os valores lógicos das 
proposições componentes p, q e r. 
 
(5) Construir a tabela-verdade da proposição: 
 
P(p, q, r) =(p  ( ~ q V r ))  ~ (q V (p ~ r)) 
 
Resolução: 
 
(p  ( ~ q V r 
)) 
 ~ (q V (p  ~ r)) 
V V F V V V F F V V V F F V 
V F F V F F F F V V V V V F 
V V V F V V V V F F V F F V 
V V V F V F F F F V V V V F 
F V F V V V F F V V F V F V 
F V F V F F F F V V F F V F 
F V V F V V F F F V F V F V 
F V V F V F V V F F F F V F 
1 4 2 1 3 1 6 5 1 4 1 3 2 1 
 
Note-se que é uma tabela-verdade simplificada da 
proposição P(p, q, r), pois, não encerra as colunas relati-
vas às proposições componentes p, q e r. 
 
Portanto, simbolicamente: 
 
P(VVV) = F, P(VVF) = F, 
P(VFV) = V, P(VFF) = F 
P(FVV) = F, P(FVF)= F, 
P(PFV) = F, P(FFF) = V 
 
ou seja, abreviadamente: 
 
P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) = 
FFVFFFFV 
 
5. VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COM-
POSTA 
 
Dada uma proposição composta P(p, q, r,.. .), pode-
se sempre determinar o seu valor lógico (V ou F) quando 
são dados ou conhecidos os valores lógicos respectivos 
das proposições componentes p, q, r . 
 
Exemplos: 
 
(1) Sabendo que os valores lógicos das proposi-
ções p e q são respectivamente V e F, determi-
nar o valor lógico (V ou F) da proposição: 
 
P(p, q) =  (p V q)   p   q 
 
Resolução — Temos, sucessivamente: 
 
V(P) = (V V F)   V   F =  V  F  V = F  F = V 
 
(2) Sejam as proposições p:  =3 e q: sen 
2

 =0. 
Determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: 
 
P(p, q) = (p  q)  (p  p  q) 
 
Resolução — As proposições componentes p e q são 
ambas falsas, isto é, V(p) = F e V(q) = F. Portanto: 
 
V(P) = (F F) (F  F  F) = V  (F  F) = V  V = V 
 
(3) Sabendo que V(p) = V, V(q) = F e V(r) E, determi-
nar o valor lógico (V ou F) da proposição: 
 
P(p, q, r) = (q  (r  p)) V (( q  p)  r) 
 
Resolução - Temos, sucessivamente: 
 
V(P) = ( F  ( F   V)) V (( F  V )  F) = 
 = ( F  ( F  F)) V ((V  V )  F) = 
 = ( F  V)) V (( V F ) = F V F = F 
 
(4) Sabendo que V(r) V, determinar o valor lógico (V 
ou F) da proposição: 
p  q V r. 
 
Resolução — Como r é verdadeira (V), a disjunção  
q V r é verdadeira(V). Logo, a condicional dada é verda-
deira(V), pois, o seu consequente é verdadeiro (V). 
 
 
(5) Sabendo que V(q) = V, determinar o valor lógico 
(V ou F) da proposição: 
 
(p  q)  (  q   p). 
 
Resolução — Como q é verdadeira (V), então  q é 
falsa (F). Logo, a condicional  q  p é verdadeira(V), 
pois, o seu antecedente é falso(F). Por conseqüência, a 
condicional dada é verdadeira(V), pois, o seu conse-
quente é verdadeiro(V). 
 
(6) Sabendo que as proposições “x = 0”, e “x = y” são 
verdadeiras e que a proposição “y = z” é falsa, determi-
nar o valor lógico (V ou F) da proposição: 
 
x  0 V x  y  y z 
 
Resolução - Temos, sucessivamente: 
 
 V V V  F = F V F  V = F  V = V 
 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 12
Argumentos. Regras de Inferência 
 
1. DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO 
 
Sejam P1, P2, ... , Pn ( n  1) e Q proposições 
quaisquer, simples ou compostas. 
 
Definição - Chama-se argumento toda a afirmação 
de que uma dada sequência finita P1, P2, ... , Pn ( n  1) 
de proposições tem como consequência ou acarreta uma 
proposição final Q. 
 
As proposições P1, P2, ... , Pn dizem-se as premis-
sas do argumento, e a proposição final Q diz-se a con-
clusão do argumento. 
 
Um argumento de premissas P1, P2, ... , Pn e de 
conclusão Q indica-se por: 
 
P1, P2, ... , Pn |— Q 
 
 
e se lê de uma das seguintes maneiras: 
 
(i) “P1, P2 ,..., Pn acarretam Q” 
(ii) “Q decorre de P1, P2 ,..., Pn” 
(iii) “ Q se deduz de P1, P2 ,..., Pn” 
(iv) “Q se infere de P1, P2 ,..., Pn” 
 
Um argumento que consiste em duas premissas e 
uma conclusão chama-se silogismo. 
 
2. VALIDADE DE UM ARGUMENTO 
 
Definição - Um argumento P1, P2, ... , Pn |— Q diz-
se válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira 
todas as vezes que as premissas P1, P2 ,..., Pn são 
verdadeiras. 
 
Em outros termos, um argumento P1, P2, ... , Pn |— 
Q é válido se e somente se for V o valor lógico da con-
clusão Q todas as vezes que as premissas P1, P2 ,..., Pn 
tiverem o valor lógico V. 
 
Portanto, todo argumento válido goza da seguinte 
propriedade característica: A verdade das premissas é 
incompatível com a falsidade da conclusão. 
 
Um argumento não-válido diz-se um sofisma. 
 
Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, di-
gamos V se é válido (correto, legítimo) ou F se é um 
sofisma (incorreto, ilegítimo). 
 
As premissas dos argumentos são verdadeiras ou, 
pelo menos admitidas como tal. Aliás, a Lógica só se 
preocupa com a validade dos argumentos e não com a 
verdade ou a falsidade das premissas e das conclusões. 
 
A validade de um argumento depende exclusivamen-
te da relação existente entre as premissas e a conclusão. 
Portanto, afirmar que um dado argumento é válido signi-
fica afirmar que as premissas estão de tal modo relacio-
nadas com a conclusão que não é possível ter a conclu-
são falsa se as premissas são verdadeiras. 
 
3. CRITÉRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO 
 
Teorema — Um argumento P1, P2, ... , Pn |— Q é 
válido se e somente se a condicional: 
 
(P1  P2  ...  Pn )  Q (1) 
 
é tautológica. 
 
Dem. Com efeito, as premissas P1, P2, ... , Pn são 
todas verdadeiras se e somente se a proposição 
P1  P2  ...  Pn é verdadeira. Logo, o argumento P1, 
P2, ... , Pn |— Q é válido se e somente se a conclusão 
Q é verdadeira todas as vezes que a proposição P1  P2 
 ...  Pn é verdadeira, ou seja, se e somente se a 
proposição P1  P2  ...  Pn implica logicamente a 
conclusão Q: 
P1  P2  ...  Pn  Q ou, o que é equivalente, se 
a condicional (1) é tautológica. 
 
NOTA - Se o argumento 
 
P1 (p, q, r,...),..., Pn(p, q, r,...) |— Q(p, q, r,...) 
 
é válido, então o argumento da “mesma forma”: 
 
P1 (P, Q, R,...),..., Pn(P, Q, R,...) |— Q(P, Q, R,...) 
 
também é válido, quaisquer que sejam as proposi-
ções R, S, T, ... 
 
Exemplificando, do argumento válidop |— p V q (1) 
segue-se a validade dos argumentos: 
 
(~p  r) |— (~ p  r) V (~ s  r ); 
(p  V s) |— (p  r V s) V (~ r  s) 
 
pois, ambos têm a mesma forma de (1). 
 
Portanto, a validade ou não-validade de um argumen-
to depende apenas da sua forma e não de seu conteúdo 
ou da verdade c falsidade das proposições que o inte-
gram. Argumentos diversos podem ter a mesma forma, e 
como é a forma que determina a validade, é lícito falar da 
validade de uma dada forma ao invés de falar da valida-
de de um dado argumento. E afirmar que uma dada 
forma é válida equivale a asseverar que não existe ar-
gumento algum dessa forma com premissas verdadeiras 
e uma conclusão falsa, isto é, todo argumento de forma 
válida é um argumento válido. Vice-versa, dizer que um 
argumento é válido equivale a dizer que tem forma váli-
da. 
 
4. CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMEN-
TO 
 
Consoante o Teorema anterior (§3), dado um argu-
mento qualquer: 
 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 13
P1, P2, ... , Pn |— Q 
 
a este argumento corresponde a condicional: 
 
(P1  P2  ...  Pn )  Q 
 
com antecedente é a conjunção das premissas e cujo 
consequente é a conclusão, denominada “condicional 
associada” ao argumento dado. 
 
Reciprocamente, a toda condicional corresponde um 
argumento cujas premissas são as diferentes proposi-
ções cuja conjunção formam o antecedente e cuja con-
clusão é o consequente. 
 
Exemplificando, a “condicional associada” ao argu-
mento: 
 
p  ~q, p  ~ r, q V ~ s |— ~ (r V s) 
 
é 
( p  ~q)  ( p  ~ r)  ( q V ~ s)  ~ (r V s) 
 
e o “argumento correspondente” à condicional: 
 
( p  q V r )  ~ s  ( q V r  s)  ( s  p V ~q ) 
 
é 
 
p  q V r , ~ s, q V r  s |— s  p V ~q 
 
5. ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS 
 
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de 
uso corrente) os constantes da seguinte lista: 
 
I . Adição (AD): 
 
(i) p |— p V q; (ii) p |— q V p 
 
II. Simplificação (SIMP): 
 
(i) p  q |— p; (ii) p  q |— q 
 
III. Conjunção (CONJ): 
 
(i) p, q |— p  q; (ii) p, q |— q  p 
 
IV. Absorção (ABS): 
 
p  q |— p  ( p  q) 
 
 
V. Modus ponens (MP): 
 
 pq, p |—q 
 
VI. Modus tollens (MI): 
 
 pq, ~ q|— p 
 
VII. Silogismo disjuntivo (SD): 
 
(i) p V q, ~ p |— q; (ii) p V q, ~ q |— p 
 
VIII. Silogismo hipotético (5H): 
 
p  q, q  r |— p  r 
 
IX. Dilema construtivo (DC): 
 
p  q, r  s, p V r |— q V s 
 
X. Dilema destrutivo (DD): 
 p  q, r  s, ~ q V ~ s |— ~ p V ~ r 
 
A validade destes dez argumentos é conse-
quência imediata das tabelas-verdade. 
 
6. REGRAS DE INFERÊNCIA 
 
Os argumentos básicos da lista anterior são usados 
para fazer “inferências”, isto é, executar os “passos” de 
uma dedução ou demonstração, e por isso chamam-se 
também, regras de inferência, sendo habitual escrevê-los 
na forma padronizada abaixo indicada colocando as 
premissas sobre um traço horizontal e, em seguida, a 
conclusão sob o mesmo traço. 
 
I. Regra da Adição (AD): 
 
(i) p (ii) p 
 p V q 
 
 q V p 
 
II. Regra de Simplificação (SIMP): 
 
(i) p  q (ii) p  q 
 p 
 
 q 
 
III. Regra da Conjunção (CONJ): 
 
 p p 
(i) q (ii) q 
 p V q 
 
 q V p 
 
IV. Regra da Absorção (ABS): 
 
 p  q 
 p  (p  q) 
 
V. Regra Modus ponens (MP): 
 
 p  q 
 p 
 q 
 
VI: Regra Modus tollens (MI): 
 
 p  q 
 ~ q 
 ~ p 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 14
 
VII. Regra do Silogismo disjuntivo (SD): 
 
(i) p V q (ii) p V q 
 ~ p ~ q 
 q 
 
 p 
 
VIII. Regra do Silogismo hipotético (SH): 
 
 p  q 
 q  r 
 p  r 
 
IX. Regra do Dilema construtivo (DC): 
 p  q 
 r  s 
 p V r 
 q V s 
 
X. Regra do Dilema destrutivo (DD): 
 
 p  q 
 r  s 
 ~ q V ~ s 
 ~ p V ~ r 
 
Com o auxílio destas dez regras de inferência pode-
se demonstrar a validade de uni grande número de ar-
gumentos mais complexos. 
 
7. EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFE-
RÊNCIA 
 
Damos a seguir exemplos simples do uso de cada 
uma das regras de inferência na dedução de conclusões 
a partir de premissas dadas. 
 
1. Regra da Adição - Dada uma proposição p, dela 
se pode deduzir a sua disjunção com qualquer outra 
proposição, isto é, deduzir p V q, ou p V r, ou s V p, ou t 
V p, etc. 
 
Exemplos: 
 
(a) (1) p P (b) (1) ~ p P 
 (2) p V ~ q 
 
 (2) q V ~ p 
 
(c) (1) p  q P (b) (1) p V q P 
 (2) (p  q) V r 
 
 (2) (r  s) V (p V 
q) 
 
(c) (1) x  0 P (b) (1) x  0 P 
 (2) x  0 V x  1 
 
 (2) x = 2 V x < 1 
 
II. Regra da Simplificação — Da conjunção p  q 
de duas proposições se pode deduzir cada uma das 
proposições, p ou q. 
 
Exemplos: 
 
(a) (1) (p V q)  r P (b) (1) p  ~ q P 
 (2) p V q 
 
 (2) ~ q 
 
(c) (1) x > 0  x  1 P (b) (1) x  A  x  B P 
 (2) x  1 
 
 (2) x  A 
 
III. Regra da Conjunção -- Permite deduzir de duas 
proposições dadas p e q (premissas) a sua conjunção 
p  q ou q  p (conclusão). 
 
(a) (1) p V q P (b) (1) p V q P 
 (2) ~ r P (2) q V r P 
 (3) (p V q)  ~ r 
 
 (3) (p  q) V (q V r) 
 
(c) (1) x < 5 P (d) (1) x  A P 
 (2) x > 1 P (2) x  B P 
 (3) x > 1 x < 5 
 
 (3) x  B  x  A 
 
 
IV. Regra da Absorção Esta regra permite, dada 
uma condicional - como premissa, dela deduzir como 
conclusão uma outra condicional com o mesmo antece-
dente p e cujo consequente é a conjunção p  q das 
duas proposições que integram a premissa, isto é, p  p 
 q. 
 
Exemplos: 
 
(a) (1) x = 2  x < 3 
P 
 (2) x = 2  x = 2  x 
< 3 
 
(b) (1) x  A  x  A  B 
P 
 (2) x  A  x  A  x  A 
 B 
 
V. Regra Modus ponens - Também é chamada Regra 
de separação e permite deduzir q (conclusão) a partir de 
p  q e p (premissas). 
 
Exemplos: 
 
(a) (1) ~ p  ~ q P 
 (2) ~ p P 
 (3) ~ q 
 
(b) (1) p  q  r P 
 (2) p  q P 
 (3) r 
 
 
(b) (1) p  q  r P 
 (2) p P 
 (3) q  r 
 
(c) (1) ~ p V r  s  ~ q P 
 (2) ~ p V r P 
 (3) s  ~ q 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 15
 
 
(e) (1) x  0  x + y > 1 P 
 (2) x  0 P 
 (3) x + y > 1 
 
(f) (1) x  A  B  x  A P 
 (2) x  A  B P 
 (3) x  A 
 
VI. Regra Modus tollens - Permite, a partir das 
premissas p  q (condicional) o ~ q (negação do conse-
quente), deduzir como conclusão ~ p (negação do ante-
cedente). 
 
Exemplos: 
 
(a) (1) q  r  s P 
 (2) ~ s P 
 (3) ~ (q  r) 
 
(b) (1) p  ~ q P 
 (2) ~ ~ q P 
 (3) ~ p 
 
 
(b) (1) p  q  r P 
 (2) ~(q  r) P 
 (3) ~ p 
 
(d) (1) x  0  x = y P 
 (2) x  y P 
 (3) x = 0 
 
 
VII. Regra do Silogismo disjuntivo — Permite dedu-
zir da disjunção p V q de duas proposições e da negação 
~ p (ou ~ q) de uma delas a outra proposição q (ou p). 
 
Exemplos: 
 
(a) (1) (p  q) V r P 
 (2) ~ r 
 (3) p  q 
 
 
(b) (1) ~ p V ~ q P 
 (2) ~~ p 
 (3) ~ q 
 
(b) (1) x = 0 V x = 1 P 
 (2) x 1 P 
 (3) x = 0 
 
 
(d) (1) ~ (p  q) V r P 
 (2) ~ ~ (p  q) P 
 (3) r 
 
VIII. Regra do Silogismo hipotético Esta regra permi-
te, dadas duas condicionais: p  q e q  r (premissas), 
tais que o consequente da primeira coincide com o ante-
cedente da segunda, deduzir uma terceira condicional p 
 r (conclusão) cujo antecedente e consequente são 
respectivamente o antecedente da premissa p  q e o 
consequente da outra premissa q  r (transitividade da 
seta  ). 
 
(a) (1) ~ p  ~ q P 
 (2) ~ q  ~ r P 
 (3) ~ p  ~ r 
 
 
(b) (1) ~ p  q V r P 
 (2) q V r  ~ s P 
 (3) ~ p  ~s 
 
(c) (1) (p  q)  r P 
 (2) r  (q  s) P 
 (3) (p  q)  (q  s) 
 
 
(d) (1) | x | = 0  x = 0 P 
 (2) x = 0  x + 1 = 1 P 
 (3) | x | = 0  x + 1 = 1 
 
 
IX. Regra do Dilema construtivo — Nesta regra,as 
premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus 
antecedentes, e a conclusão é a disjunção dos conse-
quentes destas condicionais. 
 
(a) (1) (p  q)  ~ r P 
 (2) s  t P 
 (3) (p  q) V s P 
 (4) ~ r V t 
 
 
(b) (1) x < y  x = 2 P 
 (2) x < y  x = 2 P 
 (3) x < y V x < y P 
 (4) x = 2 V x > 2 
 
 
X. Regra do Dilema destrutivo Nesta regra, as 
premissas são duas condicionais e a disjunção da nega-
ção dos seus consequentes, e a conclusão é a disjunção 
da negação dos antecedentes destas condicionais. 
 
(a) (1) ~ q  r P 
 (2) p  ~ s P 
 (3) ~ r V ~~s P 
 (4) ~~ q V ~p 
 
(b) (1) x + y = 7 x = 2 P 
 (2) y - x =2  x = 3 P 
 (3) x  2 V x  3 P 
 (4) x + y  7 V y –x  2 
 
 
Testes 
 
1. Todos os marinheiros são republicanos. Assim 
sendo, 
 
(A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto 
dos republicanos. 
(B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto 
dos marinheiros. 
(C) todos os republicanos são marinheiros. 
(D) algum marinheiro não é republicano. 
(E) nenhum marinheiro é republicano. 
 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 16
2. Assinale a alternativa que apresenta uma contradi-
ção. 
 
(A) Todo espião não é vegetariano e algum vegeta-
riano é espião. 
(B) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano 
não é espião. 
(C) Nenhum espião é vegetariano e algum es pião 
não é vegetariano. 
(D) Algum espião é vegetariano e algum es pião 
não é vegetariano. 
(E) Todo vegetariano é espião e algum espião não 
é vegetariano. 
 
2. Todos os que conhecem João e Maria admiram 
Maria. Alguns que conhecem Maria não a admi-
ram. Logo, 
 
(A) todos os que conhecem Maria a admiram. 
(B) ninguém admira Maria. 
(C) alguns que conhecem Maria não conhecem Jo-
ão. 
(D) quem conhece João admira Maria. 
(E) só quem conhece João e Maria conhece Maria. 
 
3. Válter tem inveja de quem é mais rico do que ele. 
Geraldo não é mais rico do que quem o inveja. 
Logo, 
 
(A) quem não é mais rico do que Válter é mais pobre 
do que Válter. 
(B) Geraldo é mais rico do que Válter. 
(C) Válter não tem inveja de quem não é mais rico 
do que ele. 
(D) Válter inveja só quem é mais rico do que ele. 
(E) Geraldo não é mais rico do que Válter. 
 
4. Em uma avenida reta, a padaria fica entre o pos-
to de gasolina e a banca de jornal, e o posto de 
gasolina fica entre a banca de jornal e a sapata-
ria. Logo, 
 
(A) a sapataria fica entre a banca de jornal e a pada-
ria. 
(B) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e 
a padaria. 
(C) o posto de gasolina fica entre a padaria e a ban-
ca de jornal. 
(D) a padaria fica entre a sapataria e o posto de ga-
solina. 
(E) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a pa-
daria. 
 
5. Um técnica de futebol, animado com as vitórias 
obtidas pela sua equipe nos últimos quatro jo-
gos, decide apostar que essa equipe também 
vencerá o próximo jogo. Indique a Informação 
adicional que tornaria menos provável a vitória 
esperada. 
 
(A) Sua equipe venceu os últimos seis jogos, em vez 
de apenas quatro. 
(B) Choveu nos últimos quatro jogos e há previsão 
de que não choverá no próximo jogo. 
(C) Cada um dos últimos quatro jogos foi ganho por 
uma diferença de mais de um gol. 
(D) O artilheiro de sua equipe recuperou-se do esti-
ramento muscular. 
(E) Dois dos últimos quatro jogos foram realizados 
em seu campo e os outros dois, em campo adversá-
rio. 
 
6. Marta corre tanto quanto Rita e menos do que 
Juliana. Fátima corre tanto quanto Juliana. Logo, 
 
(A) Fátima corre menos do que Rita. 
(B) Fátima corre mais do que Marta. 
(C) Juliana corre menos do que Rita. 
(D) Marta corre mais do que Juliana. 
(E) Jullana corre menos do que Marta. 
 
8. Há 4 caminhos para se ir de X a Y e 6 caminhos 
para se ir de Y a Z. O número de caminhos de X a Z 
que passam por Y é 
(A) 10. 
(B) 12. 
(C) 18. 
(D) 24. 
(E) 32. 
 
9. Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas 
plantas que tem clorofila são comestíveis. Logo, 
(A) algumas plantas verdes são comestíveis. 
(B) algumas plantas verdes não são comestíveis. 
(C) algumas plantas comestíveis têm clorofila. 
(D) todas as plantas que têm clorofila são comestí-
veis. 
(E) todas as plantas vendes são comestíveis. 
 
10. A proposição 'É necessário que todo aconteci-
mento tenha causa' é equivalente a 
(A) É possível que algum acontecimento não tenha 
causa. 
(B) Não é possível que algum acontecimento não te-
nha causa. 
(C) É necessário que algum acontecimento não tenha 
causa. 
(D) Não é necessário que todo acontecimento tenha 
causa. 
(E) É impossível que algum acontecimento tenha 
causa. 
 
11. Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26, ... , 
temos 
(A) 21. 
(B) 22. 
(C) 23. 
(D) 24. 
(E) 25. 
 
12. ' ... ó pensador crítico precisa ter uma tolerância e 
até predileção por estados cognitivos de conflito, em 
que o problema ainda não é totalmente compreendi-
do. Se ele ficar aflito quando não sabe 'a resposta 
correta', essa ansiedade pode impedir a exploração 
mais completa do problema.' (David Canaher, Senso 
Crítico). 
O autor quer dizer que o pensador crítico 
(A) precisa tolerar respostas corretas. 
(B) nunca sabe a resposta correta. 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 17
(C) precisa gostar dos estados em que não sabe a 
resposta correta. 
(D) que não fica aflito explora com mais dificuldades 
os problemas. 
(E) não deve tolerar estados cognitivos de conflito. 
 
13. As rosas são mais baratas do que os lírios. Não 
tenho dinheiro suficiente para comprar duas dúzias 
de rosas. Logo, 
 
 
(A) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia 
de rosas. 
(B) não tenho dinheiro suficiente para comprar uma 
dúzia de rosas. 
(C) não tenho dinheiro. suficiente para comprar meia 
dúzia de lírios. 
(D) não tenho dinheiro suficiente para comprar duas 
dúzias de lírios. 
(E) tenho dinheiro suficiente para comprar uma dúzia 
de lírios. 
 
14. Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sen-
do, 
 
(A) seu esforço é condição suficiente para vencer. 
(8) seu esforço é condição necessária para vencer. 
(C) se você não se esforçar, então não irá vencer. 
(D) você vencerá só se se esforçar. 
(E) mesmo que se esforce, você não vencerá. 
 
15. Se os tios de músicos sempre são músicos, en-
tão 
(A) os sobrinhos de não músicos nunca são músicos. 
(B) os sobrinhos de não músicos sempre são músi-
cos. 
(C) os sobrinhos de músicos sempre são músicos. 
(D) os sobrinhos de músicos nunca são músicos. 
(E) os sobrinhos de músicos quase sempre são mú-
sicos. 
 
16. O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. 
O paciente está bem. Logo, o paciente 
(A) tem febre e não está bem. 
(B) tem febre ou não está bem. 
(C) tem febre. 
(D) não tem febre. 
(E) não está bem. 
 
INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder às 
questões de nº 17 e 18. 
 
"O primeiro impacto da nova tecnologia de apren-
dizado será sobre a educação universal. Através dos 
tempos, as escolas, em sua maioria, gastaram horas 
intermináveis tentando ensinar coisas que eram melhor 
aprendidas do que ensinadas, isto é, coisas que são 
aprendidas de forma comportamental e através de exer-
cícios, repetição e feedback. Pertencem a esta categoria 
todas as matérias ensinadas no primeiro grau, mas tam-
bém muitas daquelas ensinadas em estágios posteriores 
do processo educacional. Essas matérias - seja ler e 
escrever, aritmética, ortografia, história, biologia, ou 
mesmo matérias avançadas como neurocirurgia, diag-
nóstico médico e a maior parte da engenharia - são me-
lhor aprendidas através de programas de computador. O 
professor motiva, dirige, incentiva. Na verdade, ele passa 
a ser um líder e um recurso. 
Na escola de amanhã os estudantes serão seus 
próprios instrutores, com programas de computador 
como ferramentas. Na verdade, quanto mais jovens 
forem os estudantes, maior o apelo do computador para 
eles e maior o seu sucesso na sua orientação e instru-
ção. Historicamente, a escola de primeiro grautem sido 
totalmente intensiva de mão-de-obra. A escola de primei-
ro grau de amanhã será fortemente intensiva de capital. 
Contudo, apesar da tecnologia disponível, a edu-
cação universal apresenta tremendos desafios. Os con-
ceitos tradicionais de educação não são mais suficientes. 
Ler, escrever e aritmética continuarão a ser necessários 
como hoje, mas a educação precisará ir muito além des-
ses itens básicos. Ela irá exigir familiaridade com núme-
ros e cálculos; uma compreensão básica de ciência e da 
dinâmica da tecnologia; conhecimento de línguas estran-
geiras. Também será necessário aprender a ser eficaz 
como membro de uma organização, como empregado." 
(Peter Drucker, A sociedade pós-capitalista). 
17. Para Peter Drucker, o ensino de matérias como 
aritmética, ortografia, história e biologia 
 
(A) deve ocorrer apenas no primeiro grau. 
(B) deve ser diferente do ensino de matérias como 
neurocirurgia e diagnóstico médico. 
(C) será afetado pelo desenvolvimento da informáti-
ca. 
(D) não deverá se modificar, nas próximas décadas. 
(E) deve se dar através de meras repetições e exer-
cícios. 
 
18. Para o autor, neste novo cenário, o computador 
 
(A) terá maior eficácia educacional quanto mais jo-
vem for o estudante. 
(B) tende a substituir totalmente o professor em sala 
de aula. 
(C) será a ferramenta de aprendizado para os profes-
sores. 
(D) tende a ser mais utilizado por médicos. 
(E) será uma ferramenta acessória na educação. 
 
19. Assinale a alternativa em que se chega a uma 
conclusão por um processo de dedução. 
 
(A) Vejo um cisne branco, outro cisne branco, outro 
cisne branco ... então todos os cisnes são bran-
cos. 
(B) Vi um cisne, então ele é branco. 
(C) Vi dois cisnes brancos, então outros cisnes de-
vem ser brancos. 
(D) Todos os cisnes são brancos, então este cisne é 
branco. 
(E) Todos os cisnes são brancos, então este cisne 
pode ser branco. 
 
20. Cátia é mais gorda do que Bruna. Vera é menos 
gorda do que Bruna. Logo, 
(A) Vera é mais gorda do que Bruna. 
(B) Cátia é menos gorda do que Bruna. 
(C) Bruna é mais gorda do que Cátia. 
(D) Vera é menos gorda do que Cátia. 
(E) Bruna é menos gorda do que Vera. 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 18
 
21. Todo cavalo é um animal. Logo, 
(A) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. 
(B) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. 
(C) todo animal é cavalo. 
(D) nem todo cavalo é animal. 
(E) nenhum animal é cavalo. 
 
22. Em uma classe, há 20 alunos que praticam fute-
bol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que prati-
cam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que 
praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que 
não praticam futebol. O número de alunos da classe 
é 
(A) 30. 
(B) 35. 
(C) 37. 
(D) 42. 
(E) 44. 
 
INSTRUÇÃO: Utilize o texto a seguir para responder às 
questões de nº 23 e 24. 
 
"Os homens atribuem autoridade a comunica-
ções de posições superiores, com a condição de que 
estas comunicações sejam razoavelmente consistentes 
com as vantagens de escopo e perspectiva que são 
creditadas a estas posições. Esta autoridade é, até um 
grau considerável, independente da habilidade pessoal 
do sujeito que ocupa a posição. E muitas vezes reconhe-
cido que, embora este sujeito possa ter habilidade pes-
soal limitada, sua recomendação deve ser superior pela 
simples razão da vantagem de posição. Esta é a autori-
dade de posição. 
 
Mas é óbvio que alguns homens têm habilidade 
superior. O seu conhecimento e a sua compreensão, 
independentemente da posição, geram respeito. Os 
homens atribuem autoridade ao que eles dizem, em uma 
organização, apenas por esta razão. Esta é a autoridade 
de liderança.' 
(Chester Barnard, The Functions of the Executive). 
 
23. Para o autor, 
(A) autoridade de posição e autoridade de liderança 
são sinônimos. 
(B) autoridade de posição é uma autoridade superior 
à autoridade de liderança. 
(C) a autoridade de liderança se estabelece por ca-
racterísticas individuais de alguns homens. 
(D) a autoridade de posição se estabelece por habili-
dades pessoais superiores de alguns líderes. 
(E) tanto a autoridade de posição quanto a autoridade 
de liderança são ineficazes. 
 
24. Durante o texto, o autor procura mostrar que as 
pessoas 
(A) não costumam respeitar a autoridade de posição. 
(B) também respeitam autoridade que não esteja li-
gada a posições hierárquicas superiores. 
(C) respeitam mais a autoridade de liderança do que 
de posição. 
(D) acham incompatíveis os dois tipos de autoridade. 
(E) confundem autoridade de posição e liderança. 
 
25. Utilizando-se de um conjunto de hipóteses, um 
cientista deduz uma predição sobre a ocorrência de 
um certo eclipse solar. Todavia, sua predição mos-
tra-se falsa. O cientista deve logicamente concluir 
que 
(A) todas as hipóteses desse conjunto são falsas. 
(B) a maioria das hipóteses desse conjunto é falsa. 
(C) pelo menos uma hipótese desse conjunto é falsa. 
(D) pelo menos uma hipótese desse conjunto é ver-
dadeira. 
(E) a maioria das hipóteses desse conjunto é verda-
deira. 
 
26. Se Francisco desviou dinheiro da campanha as-
sistencial, então ele cometeu um grave delito. Mas 
Francisco não desviou dinheiro da campanha assis-
tencial. Logo, 
(A) Francisco desviou dinheiro da campanha assis-
tencial. 
(B) Francisco não cometeu um grave delito. 
(C) Francisco cometeu um grave delito. 
(D) alguém desviou dinheiro da campanha assisten-
cial. 
(E) alguém não desviou dinheiro da campanha assis-
tencial. 
 
27. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo, 
(A) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. 
(B) Rodrigo é culpado. 
(C) se Rodrigo não mentiu. então ele não é culpado. 
(D) Rodrigo mentiu. 
(E) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. 
 
28. Continuando a seqüência de letras F, N, G, M, H . . 
..., ..., temos, respectivamente, 
(A) O, P. 
(B) I, O. 
(C) E, P. 
(D) L, I. 
(E) D, L. 
 
29. Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, ..., temos 
(A) 236. 
(B) 244. 
(C) 246. 
(D) 254. 
(E) 256. 
 
30. Assinale a alternativa em que ocorre uma conclu-
são verdadeira (que corresponde à realidade) e o 
argumento inválido (do ponto de vista lógico). 
(A) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, por-
tanto Sócrates é mortal. 
(B) Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é 
um ser, e todo ser é homem. 
(C) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto 
cachorros não são gatos. 
(D) Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo 
pensamento é um movimento, visto que todos os ra-
ciocínios são movimentos. 
(E) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco 
pés, portanto algumas cadeiras tem quatro pés. 
 
31. Cinco ciclistas apostaram uma corrida. 
• "A" chegou depois de "B". 
• "C" e "E" chegaram ao mesmo tempo. 
• "D" chegou antes de "B". 
• quem ganhou, chegou sozinho. 
Quem ganhou a corrida foi 
Apostilas Exitus 
Raciocínio Lógico 19
 
(A) A. 
(B) B. 
(C) C. 
(D) D. 
(E) E. 
 
Gabarito: 
1-B; 2-A; 3-C; 4-E; 5-E; 6-B; 7-B; 8-D; 9-C; 10-B; 11-C; 
12-C; 13-D; 14-A; 15-A; 16-D; 17-C; 18-A; 19-D; 20-D; 
21-B; 22-E; 23-C; 24-B; 25-C; 26-E; 27-A; 28-D; 29-B; 
30-E; 31-D. 
 
BIBLIOGRAFIA 
©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Lt-
da. 
INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 
Edgard de Alencar Filho 
Livraria Nobrel S/A - São Paulo, SP 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Princípio fundamental da contagem (PFC) 
 
Se um primeiro evento pode ocorrer de m maneiras 
diferentes e um segundo evento, de k maneiras diferen-
tes, então, para ocorrerem os dois sucessivamente, 
existem m . k maneiras diferentes. 
 
Aplicações 
1) Uma moça dispõe de 4 blusas e 3 saias. De 
quantos modos distintos ela pode se vestir? 
Solução: 
A escolha de uma blusa pode ser feita de 4 maneiras 
diferentes e a de uma saia, de 3 maneiras diferentes. 
 
Pelo PFC, temos: 4 . 3 = 12 possibilidades para a es-
colha da blusa e saia. Podemos resumir a resolução no 
seguinte esquema; 
 
 
Blusa saia 
 
 
 
 4 . 3 = 12 modos diferentes 
 
2) Existem 4 caminhos ligando