Explicando as Relações

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Exemplo 1: A relação R sobre o conjunto A={a, b, c} descrita por: 
R = {(a, a), (b, b), (c, c)} 
 
é uma relação reflexiva. 
 
O diagrama de flechas que representa a R é dado a seguir por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(*) R é reflexiva, observe que todo elemento do conjunto A possui um laço 
 
 
A relação R é dita SIMÉTRICA se quando x está relacionado com y, implicar em 
y estar relacionado com x, ou seja: 
(x, y) R (y, x)  R, para x, y  A 
Exemplo2 : A relação R no conjunto A={a, b, c} descrita por: 
R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b)} 
é uma relação simétrica. 
 
 
 
 
 
 
(*) R é simétrica, observe que toda flecha possui duas pontas 
A 
 
 
a b 
 
 
 
c 
A 
 
 
 
 
a 
b 
c 
 
 
A relação R é dita TRANSITIVA se quando x está relacionado com y e 
y está relacionado com z, implicar em x estar relacionado com z, ou seja: 
(x, y) R e (y, z) R(x, z)  R, para x, y, z  A. 
 
Exemplo 3: A relação R no conjunto A={a, b, c}, descrita por: 
R = {(a, a), (a, c), (c, b), (a, b)} 
 
é uma relação transitiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(*) R é transitiva, para um par de flechas consecutivas existe uma flecha cuja origem 
está na origem da primeira e a extremidade está na extremidade da segunda. 
A relação R é dita ANTISSIMÉTRICA se quando x está relacionado com y e y 
está relacionado com x somente quando x = y. 
(x, y)R e (y, x) R x = y, para x e y  A 
 
Exemplo: Uma relação R no conjunto A={a, b, c}, descrita por 
R = {(a, a), (b, b), (a, b), (a, c)} 
 
é antissimétrica. 
A 
 a b 
 
 
 
 
 c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(*) R é antissimétrica, observe que não existem flechas com duas pontas 
Resumindo: 
Uma relação R sobre o conjunto A pode ser classificada como: 
 
 Reflexiva quando para todo x ∈ A , (x, x) ∈ R ou xRx. 
 Simétrica quando para quaisquer x, y ∈A , se xRy então yRx . 
 Antissimétrica quando para quaisquer x, y ∈A , se xRy e yRx então x = y . 
 Transitiva quando para quaisquer x, y, z ∈A, se xRy e yRz então xRz . 
 
 
Exemplo: Considere o conjunto Z dos números inteiros. 
 
 
 
 
A 
 a b 
 
 
 
 
 c