CIRCUITOS ELÉTRICOS

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CIRCUITOS ELÉTRICOS
PROF. ME. ITALO LEONARDO DE ALENCAR MARTON
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-reitor: 
Prof. Me. Ney Stival
Gestão Educacional:
Prof.a Ma. Daniela Ferreira Correa
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Gabriela de Castro Pereira
Letícia Toniete Izeppe Bisconcim 
Mariana Tait Romancini 
Produção Audiovisual:
Heber Acuña Berger 
Leonardo Mateus Gusmão Lopes
Márcio Alexandre Júnior Lara
Gestão da Produção: 
Kamila Ayumi Costa Yoshimura
Fotos: 
Shutterstock
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande 
responsabilidade sobre as escolhas que 
fazemos, e essas nos guiarão por toda a vida 
acadêmica e profissional, refletindo diretamente 
em nossa vida pessoal e em nossas relações 
com a sociedade. Hoje em dia, essa sociedade 
é exigente e busca por tecnologia, informação 
e conhecimento advindos de profissionais que 
possuam novas habilidades para liderança e 
sobrevivência no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino a 
Distância, a proporcionar um ensino de qualidade, 
capaz de formar cidadãos integrantes de uma 
sociedade justa, preparados para o mercado de 
trabalho, como planejadores e líderes atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................. 4
1 - LEI DE OHM ........................................................................................................................................................... 5
2 - GRÁFICOS ............................................................................................................................................................. 6
3 - POTÊNCIA ............................................................................................................................................................. 6
4 - CIRCUITOS EM SÉRIE ......................................................................................................................................... 8
4.1. LEI DE KIRCHHOFF ............................................................................................................................................. 11
4.2. DIVISOR DE TENSÃO EM CIRCUITOS EM SÉRIE .......................................................................................... 12
4.3. CIRCUITOS EM PARALELO .............................................................................................................................. 14
4.4. LEI DE KIRCHHOFF PARA A CORRENTE ........................................................................................................ 15
CONCEITOS BÁSICOS
PROF. ME. ITALO LEONARDO DE ALENCAR MARTON
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CIRCUITOS 
ELÉTRICOS
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INTRODUÇÃO
A eletricidade é um campo da física recente para humanidade, sendo esclarecida e dado 
início em sua utilização em meados da década de 1900. Assim, com os avanços em pesquisas, foram 
descobertas cada vez mais utilizações. Equipamentos elétricos vêm substituindo cada vez mais 
os componentes que antes utilizavam outras fontes de energia. Como fogão a gás, ferro de passar 
roupas, aquecedores, recentemente os veículos a combustão e etc. A utilização da eletricidade, 
como fonte de energia, tem suas vantagens com relação às outras, como a eficiência, facilidade no 
transporte, pouco ruído, pouco atrito, tamanho reduzido, facilidade em programação e controle, 
dificuldade no armazenamento, etc. 
Por essas vantagens a energia elétrica cada vez mais substitui as outras fontes de energia, 
porém ela não tem utilidade para a humanidade nesta forma e necessita ser transformada em 
outras energias para serem utilizadas, como a luz, que transforma energia elétrica em energia 
luminosa, o motor, que transforma energia elétrica em energia mecânica, o chuveiro, que 
transforma energia elétrica em energia térmica e assim por diante. O responsável por essas 
transformações da energia elétrica são os circuitos elétricos, que serão estudados nessa disciplina 
que apresentará os componentes utilizados nos circuitos, as técnicas de análise de circuitos e 
exemplos de utilização.
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1 - LEI DE OHM
George Simon Ohm (1789-1854) foi um físico e matemático, Alemão, professor de 
física na Universidade de Colônia (Erlangen), ficando conhecido e premiado por seu trabalho 
com circuitos elétricos e tendo também contribuições nas aéreas da física molecular, acústica e 
comunicação via telegráfica. 
A Lei de Ohm diz:
Onde: E = diferença de potencial dada em Volt (V);
 R = resistência elétrica dada em Ohm (Ω);
 I = corrente elétrica dada em Ampères (A).
A lei ohm é uma das mais importantes leis dos circuitos, pois está pode ser aplicada a 
circuitos em qualquer situação que tenha tensão, resistência e corrente correlacionadas, sendo 
amplamente utilizada.
 
Figura 1 - Circuito básico. Fonte: Boylestad (2012).
A Figura 1 mostra um circuito básico, retratando o sentido de circulação da corrente 
elétrica e a polaridade da queda de tensão ocasionada pela resistência. A corrente sempre sai da 
fonte no polo positivo indo em direção ao polo negativo, mesmo que o fluxo real de elétrons seja 
indo do polo negativo ao polo positivo. Essa inversão no sentido do fluxo ocorre por convenção, 
onde foi estabelecido que a potência consumida por um componente é positiva e a fornecida 
negativa. Você pode verificar isso em qualquer componente elétrico em sua placa de informações 
de fábrica. Para a polaridade de queda de tensão ocasionada por um componente elétrico passivo, 
está sempre será positiva onde a corrente está entrando no componente e negativa onde a corrente 
sai do componente. 
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2 - GRÁFICOS
A representação gráfica é de suma importância em componentes eletroeletrônicos pois 
através desta pode se compreender melhor como o componente funciona e extrair características 
relevantes para análise. Usualmente, na construção de gráficos são aplicados a corrente elétrica 
no eixo vertical e a tensão elétrica na horizontal. No caso da primeira lei de Ohm a equação é de 
primeiro grau, sendo representada por uma reta, onde a inclinação da reta revela a característica 
de resistência do circuito.
3 - POTÊNCIA
A potência em si representa um trabalho realizado em um determinado período de 
tempo, onde a unidade no sistema internacional de unidades – SI é dado em Watt.
1 watt (W) = 1 joule/segundo (J/s)
Em formato de equação a potência é dada como:
 
 
Onde: P é a potência, dada em watts;
 W é o trabalho realizado, ou energia, dado em joules;
 t é o tempo, dado em segundos.
 
James Watt foi um inventor escocês de grandes contribuições para época e posteriores. 
Este introduziu a unidade de potência horse power (HP) como sendo a potência de um cavalo 
robusto ao puxar uma carroça nos EUA, assim como o cavalo vapor (CV) unidade utilizada na 
Inglaterra e o British thermal unit (“unidade térmica britânica”) BTU.
Essas unidades já devem ser familiaresa você, onde potência de motores a combustão 
de veículos são dadas em CV, motores de barcos em HP e potência de ar-condicionado dado 
em BTU. Tenha em mente essas equivalências abaixo pois serão necessárias durante sua vida 
acadêmica e profissional.
1HP = 746 W
1 CV = 736 W
BTU = 1055,05585 J
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• Potência Elétrica
• Trabalho realizado sobre uma carga Q é dada como a carga multiplicado pela diferença 
de potencial V, e carga dividido pelo tempo é dado como corrente elétrica, assim:
 
• Corrente elétrica I também pode ser escrita como tensão dividido pela resistência R, 
assim:
• Tensão V também pode ser substituída por resistência R multiplicado pela corrente, 
assim:
• Energia
• A energia ou trabalho realizado sobre um objeto é dado como a potência P de um 
equipamento multiplicado pelo tempo em que o mesmo está fornecendo potência: 
• A energia em kWh você já deve ter visto em sua conta de energia elétrica, onde a tarifa 
é calculada em cima do consumo de energia em kWh, o valor é composto por um valor base 
do kWh, iluminação pública, utilização do sistema de transmissão e distribuição de energia, 
encargos, impostos e ICMS. Uma hora que estiver com a conta em mãos repare no quanto custou 
a energia utilizada e qual o valor da fatura, reparando o quão oneroso e injusto são a cobranças 
de impostos em nosso país.
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• Eficiência
• A eficiência é dada como a potência de saída de um sistema de conversão dividido pela 
potência de entrada deste sistema, ou seja, relaciona o quão bom o sistema é na conversão de 
energia, retratando as perdas internas para esta conversão.
4 - CIRCUITOS EM SÉRIE.
Um circuito elétrico significa um caminho fechado para o fluxo de elétrons, assim como 
circuitos de corrida de automóveis ou motocicletas. Nesse circuito a fonte força um fluxo de 
elétrons indo do potencial negativo para o potencial positivo. O fluxo convencional é dado 
pela corrente saindo do polo positivo e indo para o polo negativo, assim existe um aumento 
de potencial (de – para +) quando a corrente atravessa uma fonte de tensão e uma queda de 
potencial (de + para -) quando a corrente atravessa um resistor. Assim o ponto de partida para 
análise é se a corrente está entrando no potencial negativo ou positivo do componente, isso irá 
determinar um consumo ou fornecimento de energia ao sistema.
• Resistores em Série:
• A convenção do sentido da corrente em uma fonte para circuitos de corrente continua 
CC é dado como saindo do potencial positivo e indo para o potencial negativo:
Figura 2 - Fonte CC de tensão. Fonte: Boylestad (2012).
• Para os resistores a convenção de corrente é entrando no maior potencial e saindo no 
menor potencial:
Figura 3 - Polaridade de tensão em um resistor. Fonte: Boylestad (2012).
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• A caracterização de resistores em série consiste pela mesma corrente percorrendo os 
componentes, como mostra a figura abaixo, uma mesma corrente I é obrigada a passar por todos 
os componentes sem caminhos alternativos para desvios:
Figura 4 - Conexão em série de resistores. Fonte: Boylestad (2012).
• Assim a resistência equivalente ou total destes se resume a soma de todos os elementos:
• A figura a seguir esquematiza o sentido do fluxo de corrente e as polaridades devidas a 
fonte de corrente e os resistores, sendo que a corrente é a mesma em qualquer ponto do circuito.
Figura 5 - Circuito elétrico em série. Fonte: Boylestad (2012).
 Sendo assim:
Obs: Atenção especial deve ser dada ao aterramento dos circuitos, pois este irá ser sempre 
a referência para um determinado potencial, sendo assim deve estar presente junto a fonte de 
tensão ou corrente dos circuitos. 
• A potência em um circuito aplicada por uma fonte, deve ser igual a dissipada pelos 
componentes resistivos, assim:
• Instrumentação: Em circuitos físicos para se realizar medições de tensões e correntes 
são utilizados os multímetros. Estes por meio de uma chave podem realizar vários tipos de 
medidas. Deve-se ter muito cuidado ao realizar medições atentando ao tipo de medição que será 
realizada, pois esta pode causar a queima do multímetro.
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Para as medições de corrente o multímetro é inserido no circuito em série para forçar 
que a corrente circule pelo equipamento e para não ocasionar uma queda de tensão perceptível o 
mesmo possui uma resistência interna muito pequena nesta configuração. 
Para as medições de tensão o voltímetro é adicionado ao circuito de forma paralela e para 
não ocasionar mudanças significativas nas tensões e correntes do circuito o mesmo possui uma 
resistência alta (>50kΩ). Assim, se o voltímetro estiver na configuração para medir corrente e seja 
colocado de forma errônea para medir tensão, irá circular uma corrente alta pelo multímetro que 
irá queima-lo. Esse tipo de erro é muito comum entre estudantes e ocasiona falta de multímetros 
nos laboratórios das universidades pois são queimados com muita frequência. 
Figura 6 - Conexão para medir corrente através de um multímetro. Fonte: Boylestad (2012).
Figura 7 - Conexão de multímetro para medição de tensão em circuito. Fonte: Boylestad (2012).
• Fontes de tensão em série: As fontes de tensão podem ser conectadas em série em um 
circuito para aumentar ou diminuir a tensão aplicada. Sendo que o valor resultante depende da 
polaridade das mesmas no circuito, ou seja, fontes com mesma polaridade devem ser somadas 
e fontes com polaridades diferentes subtraídas. A polaridade pode ser determinada seguindo o 
caminho da corrente, onde se a corrente entra nos polos negativos das fontes, estas estão com 
mesma polaridade, caso contrário não.
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Figura 8 - Polaridade de fontes de tensão. Fonte: Boylestad (2012).
4.1. Lei de Kirchhoff
Esta lei foi desenvolvida pelo Físico Alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) e 
possui uma aplicação enorme para análise de circuitos. A lei estabelece que a soma de tensões em 
um caminho ou malha fechada é zero.
Exemplo: Seja o circuito abaixo com dois resistores em série e uma fonte de corrente 
continua, a Lei de Kirchhoff para Tensões – LKT, diz para adotar um sentido de corrente como 
sendo horário, porém pode-se adotar qualquer sentido, e somar as tensões da malha, sendo onde 
a corrente entra no componente a polaridade da tensão, assim:
 Figura 9 - Circuito em corrente continua CC. Fonte: Boylestad (2012).
Como o circuito está em série a corrente é igual para todos os componentes, adotando 
E=12V, R1 = 4Ω e R2 = 2Ω, temos:
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Assim, pode-se calcular o módulo e direção da corrente do circuito, como a corrente saiu 
positiva, o sentido adotado inicialmente é o mesmo da circulação real da corrente, caso negativo 
o sentido da corrente seria o contrário do adotado incialmente.
4.2. Divisor de tensão em circuitos em série
O divisor de tensão é uma forma pratica de se calcular a tensão sobre um ou mais 
componentes de um circuito resistivo em série, sendo que a tensão se divide proporcionalmente 
ao módulo de cada resistência em relação a resistência equivalente total.
Exemplo: Seja o circuito em serie abaixo, calcule as tensões sobre cada resistência do 
circuito.
Figura 10 - Circuito resistivo em série. Fonte: Boylestad (2012).
• Notação: A notação utilizada para níveis de tensão sempre depende de uma referência, 
geralmente é o aterramento, por isso a importância de tê-lo no circuito e este é nível de tensão 
zero. Assim, medições são sempre realizadas entre dois pontos, por exemplo:
Vab=Va-Vb
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No circuito da figura, Va significa a diferença de tensão entre o ponto a e o terra, Vb 
significa a diferença de tensão entre o ponto b e o terra, e Vab a diferença de tensão entre os 
pontos a e b.
Figura 11 - Referências de tensões em um circuito. Fonte: Boylestad (2012).
• Fonte ideal e Fonte real de tensão: As fontes até agora foram tratadas como sendo 
ideais, isso significa que não possuem limites para fornecimento de corrente e nem causam queda 
de tensão no circuito, porém na realidade esses efeitos ocorrem e podem ser relevantes em uma 
fonte real de tensão. Assim você já deve ter reparado em informações de pilhas por exemplo, onde 
tem-se os dados da tensão de cada célula e a capacidade de energia armazenada, por exemplo: 
1,2V e 1600mAh.
A tensão da pilha neste caso é de 1,2 V e a capacidade de 1600mAh significa que pode 
fornecer 1600mA durante uma hora, ou seja 1,6 A é o máximo de capacidade de fornecimento de 
corrente dessa pilha e está só a manterá por 1h, caso seja drenado correntes inferiores, o tempo 
de fornecimento aumenta inversamente proporcional.
Figura 12 - Fonte Ideal de tensão e sua característica. Fonte: Boylestad (2012).
Figura 13 - Fonte Ideal de tensão e sua característica. Fonte: Boylestad (2012).
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4.3. Circuitos em Paralelo
Os arranjos de circuitos em série e paralelo correspondem a grande parte dos circuitos, 
assim sua compreensão é essencial para analises mais complexas.
 
• Resistores em paralelo: Os componentes são ditos em paralelos quando estão conectados 
aos mesmos pontos, ou seja, sobre a mesma diferença de potencial. Lembre-se que nos circuitos 
série os componentes estão submetidos a mesma corrente elétrica.
Figura 14 - Arranjos de circuitos em paralelo. Fonte: Boylestad (2012).
Para resistores em paralelo, a resistência total ou equivalente dos mesmos é dada por:
Ou da forma:
Também pode ser escrita em função de sua condutância G dada em siemens [S]:
Para o caso de somente duas resistências a formula pode ser modificada para ficar da 
forma abaixo, sendo conhecida como produto pela soma:
Obs: A resistência total em paralelo sempre tende a diminuir com o aumento de 
resistências conectadas em paralelo.
 
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• Circuitos em paralelo: Uma analogia bastante utilizada em circuitos é imaginar 
os circuitos como sendo encanamentos de circulação de água, onde a fonte de tensão seria 
uma bomba gerando pressão em sua saída e vácuo na sua entrada, as resistências seriam os 
encanamentos onde quando menor o diâmetro do cano maior seria sua resistência ou dificuldade 
da água passar. Assim quando conectados em paralelo o fluxo de água tende a ser maior onde 
possuir o encanamento maior, ou seja, menor resistência. Com os circuitos elétricos funciona da 
mesma forma, a corrente elétrica sempre procura o caminho de menor resistência.
4.4. Lei de Kirchhoff para a corrente
Kirchhoff também chegou em uma conclusão a respeito da corrente nos circuitos em 
paralelo, esta que é amplamente utilizada e suas analogias podem ser expandidas para muitos 
outros sistemas, como o corpo humano, por exemplo.
A Lei de Kirchhoff para corrente (LKC) expõe que a soma das correntes que entram 
em um nó é igual a zero, ou seja, se correntes entram em um nó, estas devem sair por algum 
caminho, sendo igual à soma das que entram com as que saem:
Exemplo: Seja os nós abaixo, qual o módulo e sentido para as correntes desconhecidas:
Figura 15 - Configuração de dois nós. Fonte: Bylestad, (2012).
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Observe que no nó a existem três caminhos que podem ser percorridos, como em dois 
estão entrando corrente, obviamente no terceiro a corrente terá de sair. Assim como no nó b, 
onde por dois caminhos estão entrando corrente, assim pelo outro terá de sair as correntes.
 Nó a:
 Nó b:
Obs: Note que a convenção adotada foi positivo para correntes entrando no nó e 
consequentemente negativo para correntes saindo do nó. Nada impede de adotar convenção 
contrária, sendo decidido pelo analista.
• Divisor de corrente: Tendo componentes resistivos conectados em paralelo a corrente 
se dividirá sendo a maior parte pelo menor resistor seguindo a equação de proporção:
A corrente percorrida por um ramo x será igual a resistência equivalente do circuito, 
dividida pela resistência do ramo e o resultado multiplicado pela corrente total do circuito.
Exemplo: Seja o circuito abaixo, calcular as correntes que passam pelos resistores 1,2 e 3.
Figura 16 - Circuito em paralelo.
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• Fontes de tensão em paralelo: Fontes de tensão somente podem ser conectadas em 
paralelo caso possuam a mesma tensão, caso contrário a de menor tensão irá se tornar uma carga 
consumindo potência e esquentando. Baterias que trabalham com temperaturas altas acabam 
perdendo sua vida útil, por isso não devemos deixar componentes eletrônicos carregando por 
tempo mais que o necessário, como deixar os celulares carregando durante a noite, pois assim irá 
sobreaquecer a bateria diminuindo sua vida útil. Também não é recomendável deixar as baterias 
zerarem suas cargas pois algumas células podem perder a capacidade de armazenamento de 
energia quimicamente e diminuindo a capacidade de armazenamento.
• Circuitos abertos e curtos-circuitos: Um circuito aberto é a condição onde não existe 
um caminho fechado para a circulação de corrente, impossibilitando que esta ocorra, assim a 
corrente é zero e a diferença de potencial nestes pontos de abertura é a mesma da fonte.
Figura 17 - Circuito aberto. Fonte: Boylestad (2012).
Já um curto-circuito é caracterizado por um jump na resistência do circuito, fazendo 
o circuito se comportar como se a resistência não existisse, com isso a resistência do circuito 
se reduz a valores muitos baixos, devido somente a resistência dos cabos, fazendo com que a 
corrente assuma valores altos. As consequências de alta corrente são derretimentos de cabos, 
faíscamento, estouros e etc., ou seja, danificando os componentes do circuito. 
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• Caso não tenha estudado profundamente os conceitos de tensão elétrica, 
corrente elétrica e resistências elétricas leia os capítulos 2 e 3 do livro texto ou 
capítulos equivalentes nas outras referências. 
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................................... 20
1 - CIRCUITOS SÉRIE-PARALELO .......................................................................................................................... 21
2 - FONTES DE CORRENTE ..................................................................................................................................... 24
3 - MÉTODO DAS MALHAS ..................................................................................................................................... 25
4 - MÉTODO DOS NÓS ............................................................................................................................................ 29
5 - CIRCUITOS EM PONTE ...................................................................................................................................... 31
6 - CONVERSÃO Y-∆ E ∆-Y ..................................................................................................................................... 33
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
PROF. ME. ITALO LEONARDO DE ALENCAR MARTON
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CIRCUITOS 
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INTRODUÇÃO
Você já aprendeu as técnicas utilizadas para se analisar circuitos em série e em paralelo 
separadamente, porém os arranjos podem ser os mais variados possíveis, misturando essas formas 
de arranjos e formas complexas que não são nem em série e nem em paralelo. Agora, módulo 
iremos ver algumas técnicas de simplificação e análise de circuitos mistos, para se familiarizar 
com os métodos estudados no módulo anterior e identificar pontos de partida para as soluções 
desejadas. Também serão apresentados os métodos de análise de circuitos para fontes de corrente 
em vez de tensão e como os circuitos se comportam com os dois tipos de fontes presentes no 
circuito.
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1 - CIRCUITOS SÉRIE-PARALELO
Todo circuito por mais complexo que seja pode ser secionado em circuitos menores, e 
estes resolvidos individualmente para depois resolverem o problema total. Esse tipo de abordagem 
pode ser expandido para qualquer tipo de problema, onde divide-se o problema grande em 
pequenos e resolve-se os pequenos de cada vez até que o maior é solucionado. Assim, deve-se 
utilizar os conhecimentos técnicos para poder realizar essas partições e identificar por onde é 
melhor iniciar as soluções e qual caminho seguir.
A abordagem geral segue alguns passos para chegar no objetivo final que são:
1 - Olhe o circuito como um todo e tenha em mente quais informações quer extrair do 
circuito, isso ajudará a traçar estratégias de soluções, economizando tempo e energia.
2 – em seguida análise regiões dos circuitos e tente separar em circuitos somente série e 
somente paralelo, para soluciona-los separadamente. Esse procedimento simplifica o circuito e 
indicará a sequência a ser seguido para solucionar o problema.
3 – Redesenhe o circuito quando possível, aplicando as simplificações executadas, para 
facilitar a visualização de novas associações.
4 – Com o circuito solucionado, veja se as correntes estão coerentes e as potências 
fornecidas pelas fontes e consumidas pelas cargas. Também pode-se utilizar as leis de Kirchhoff 
para conferir se os resultados estão coerentes. Se não estiverem, refaça os cálculos com maior 
atenção e tente identificar o erro.
Tendo em mente os passos da abordagem geral, existem alguns métodos para solucionar 
os circuitos mistos, sendo eles: 
• Método da redução e retorno: O método da redução e retorno, consiste em simplificar 
o circuito realizando as associações série e paralelo, até que reste somente uma resistência 
equivalente, assim encontrando a corrente que flui da fonte. Sabendo esta corrente, o caminho 
executado para encontrar a resistência total equivalente é feito da forma contraria, encontrando 
a corrente e tensão dos nós até a última resistência presente no circuito. Com isso as informações 
mais relevantes do circuito estarão disponíveis, sendo a tensão e corrente sobre cada componente 
do circuito.
A figura a seguir exemplifica o processo de solução deste método, onde olhando o circuito 
inicial pode-se identificar que as resistências R3 e R4 estão e série, e a resistência equivalente de 
R3 e R4 estarão paralelas à resistência R2, assim a resistência equivalente entre R2, R3 e R4 estará 
em série com R1. 
Confira se é isso mesmo: RT= R1+R2//(R3+R4) 
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Figura 1 - Método de redução e retorno. Fonte: Boylestad (2012).
• Método do diagrama de blocos: Neste método define-se blocos formados por conjunto 
de componentes, ligados e série ou em paralelo. Encontrando a resistência equivalente de cada 
bloco o circuito torna-se menor podendo ser resolvido sem demais problema. Caso o circuito 
continue complexo mesmo após a aplicação deste método, pode-se aplicá-lo novamente até ser 
possível a resolução do circuito.
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Figura 2 - Método do diagrama de blocos. Fonte: Boylestad (2012).
• Método genérico: Uma outra forma de simplificar circuitos é o método genérico, que 
pode ser aplicado quando os outros métodos vistos anteriormente não estão claros ou não irão 
funcionar adequadamente. Este método consiste em iniciar as simplificações nos componentes 
mais distantes da fonte e ir progredindo aproximando-se da fonte, até chegar na última 
simplificação.
Ao longo dos exercícios propostos você verá que esse método é mais efetivo para encontrar 
os resultados desejados.
• Fonte com divisor de tensão e efeito de carregamento: A figura abaixo mostra uma 
fonte de corrente contínua com divisor de tensão, sendo este realizado através de três resistências. 
Quando a fonte está sem carga o nível de tensão nos pontos a, b, c e d estão indicados na figura, 
porém quando é adicionado cargas aos níveis de tensões da fonte ocorrerá o efeito de carregamento. 
O carregamento é o efeito de queda de tensão da fonte devido a corrente da carga, quanto maior 
a corrente, maior a queda de tensão. Análise o circuito da fonte e entenda os motivos desse efeito 
nas fontes reais e pense em uma forma de minimiza-lo.
Figura 3 - Fonte com divisor de tensão. Fonte: Boylestad (2012).
Após analisar o circuito você deve ter reparado que a única forma de minimizar este efeito 
é reduzindo a corrente de carga e para isso as resistências da carga devem serem significativamente 
maiores que as resistências da fonte.
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2 - FONTES DE CORRENTE
A fonte de corrente é um componente destinado a fornecer uma corrente constante 
independente do circuito a qual esteja conectada, assim como a fonte de tensão mantém uma 
tensão fixa, a fonte de corrente mantém um módulo e direção fixa para a corrente. Em circuitos 
reais são transistores que se comportam como fontes de corrente, sendo que a corrente que 
circula por este componente pode ser controlada, independente da fonte de tensão que alimenta 
o circuito.
Figura 4 - Circuito com fonte de corrente. Fonte: Bylestad, (2012).
• Conversão entre fontes: As fontes de tensão e corrente são chamadas de fontes duais, 
isso significa que podem ser substituídas uma pela outra. As fontes utilizadas nos circuitos 
geralmente são consideradas ideais, ou seja não possuem resistência interna. Já nas fontes reais 
por menor que seja sua resistência interna está estará presente nas fontes. Para a conversão de 
fonte de corrente em fonte de tensão e vice-versa, a resistência interna da fonte faz parte do 
circuito e deve ser considerada, não sendo possível realizar a conversão entre fontes ideais.
A figura abaixo mostra como a resistência interna das fontes fazem parte dos circuitos, 
sendo que na fonte de tensão a resistência interna aparece em série com a fonte e na fonte de 
corrente a resistência interna aparece em paralelo com a fonte.
Figura 5 - Fonte de tensão (a) e fonte de corrente (b). Fonte: Boylestad (2012).
As equações que correlacionam as duas fontes são:
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• Fontes de corrente em paralelo: As fontes de corrente não podem ser colocadas em 
série, pois módulos e sentidos diferente violariam a lei de Kirchhoff para os nós, assim só são 
possíveis conexões em paralelo.
Existindo mais de uma fonte de corrente no circuito, essas podem ser substituídas por 
uma única fonte de corrente equivalente, sendo seu valor estipulado pela diferença dos módulos 
de corrente, caso essas estejam em sentidos opostos e a soma dos módulos das fontes, caos essas 
estejam no mesmo sentido.
Exemplo: Seja o circuito abaixo com três fontes de corrente, determine o módulo da fonte 
de corrente resultante.
R: Primeiramente devemos adotar um sentido para as correntes, podemos adotar o 
sentido na vertical para cima como positivo, assim no sentido para baixo será negativo. Segundo 
asregras acima vista podemos fazer o equivalente entre as fontes de 7 A e 3 A, e o equivalente da 
fonte resultante com a fonte de 4 A, assim
7-3 = 4 A
4+4 = 8 A
A fonte resultando do circuito terá 8 A e sentido positivo.
3 - MÉTODO DAS MALHAS
O método das malhas é um procedimento padronizado para resolução de circuitos, a 
padronização é interessante para utilização de meios computacionais para a as soluções, pois 
sistemas são montados e você já deve ter visto em cálculo os métodos de soluções. Se não os viu, 
agora é uma oportunidade para resgatar esse conhecimento necessário ao desenvolvimento do 
conhecimento.
Procedimento para o método das malhas:
1- Associe uma corrente distinta para cada malha do circuito em sentido horário, o 
sentido da corrente não é relevante para o método, podendo ser arbitraria, porém a padronização 
é vantajosa em tempo de processamento humano e computacional;
2- Indique as polaridades de todos os resistores de acordo com a corrente de cada malha, 
observe que resistores presentes em mais de uma malha terão mais de uma polaridade;
3- Aplique as Leis de Kirchhoff para as tensões em cada malha fechada;
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4- Aplique as Leis de Kirchhoff para as correntes de forma que correlacione todas as 
correntes do circuito;
5- Monte um sistema linear com as equações, onde tenha maior ou igual números de 
equações do que incógnitas, para poder solucioná-las.
Exemplo: Seja o circuito abaixo, utilize o método das malhas para calcular as correntes 
nos ramos:
Figura 6 - Circuito com duas malhs, Fonte: Boylestad (2012).
• Primeiro passo: Indicar correntes distintas em cada uma das malhas no sentido horário, 
assim possuindo duas malhas no circuito, terão duas correntes distintas;
• Segundo passo: Indicar a polaridade de cada um dos resistores de acordo com o sentido 
de corrente, onde a corrente no resistor entra no potencial positivo e sai no potencial negativo, 
como é mostrado na figura. Repare que em R3 o resistor possui polaridades distintas para cada 
malha e estas são relevantes.
• Terceiro passo: Aplicar as Leis de Kirchhoff para obter as equações. Assim utilizamos a 
Lei diz que a soma de tensões em uma malha é igual a zero.
Malha 1: 
Malha 2: 
Realizando as multiplicações e reorganizando os termos temos:
Malha 1: 
Malha 2: 
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Montando o sistema: 
Aplicando o método de solução por determinantes resultará em:
I1=-1A e I2=-2A
• Super Malhas: O método da super malhas ocorre quando aparecem fontes de corrente 
nos circuitos, isso é uma coisa boa, pois facilita os cálculos, porém deve-se ter cuidado ao analisar 
o circuito e montar as equações. Para montar as equações da super malha deve-se imaginar o 
circuito com as fontes de corrente em aberto formando uma super malha e as equações faltantes 
sairão das fontes de corrente. 
 Exemplo 1: Seja o circuito a seguir, calcule o valor das correntes dos ramos:
Figura 7 - Método da super malha. Fonte: o autor.
Seguindo o método visto devemos analisar o circuito com a fonte de corrente em aberto, 
repare que assim a super malha foi formada.
Super malha:
Rearranjando os termos: 
10I1 + 2I2 = 32
A outra equação para poder gerar solução sai da fonte de corrente:
I1 -I2 = 4
 
 Formando o sistema:
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Exemplo 2: Seja o circuito a seguir, calcule o valor das correntes dos ramos:
Figura 8 - Circuito para super malha. Fonte: o autor.
Seguindo o método visto devemos analisar o circuito com a fonte de corrente em aberto, 
repare que assim a super malha foi formada. 
Super malha:
 Rearranjando os termos:
As outras equações para poder gerar solução sai da fonte de corrente:
Solução:
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4 - MÉTODO DOS NÓS
O método dos nós é uma outra forma de realizar a análise de circuitos, porém em vez 
de utilizar as Leis de Kirchhoff para tensões, como no método das malhas, utilizaremos as Leis 
de Kirchhoff para correntes. Neste método, devemos identificar os nós dos circuitos e estipular 
um como referência, convenientemente onde possui o aterramento, assim a tensão neste nó será 
sempre zero. Assim como no método das malhas no método dos nós existe um procedimento 
que pode ser seguido. Procedimento:
1- Identifique os nós do circuito;
2- Escolha um nó de referência que contenha o aterramento e identifique os outros nós 
com V1, V2 e etc;
3- Aplique a LKC para cada nó, supondo que todas as correntes saiam do nó. Pode-
se adotar qualquer sentido para as correntes mas a padronização ajuda no processamento dos 
dados;
4- Monte um sistema com as equações obtidas e encontre os resultados esperados.
Exemplo: A partir do circuito a seguir, calcule o valor das tensões nos nós através do 
método dos nós:
Figura 9 - Circuito com os nós assinalados. Fonte: Boylestad (2012).
• Primeiro passo: Identificar e nomear os nós, assim o nó de referência é o com aterramento 
e o outro intitulado de V1.
• Segundo passo: Vamos adotar I1 e I2 saindo do nó V1, assim:
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Substituindo I1 e I2 na primeira equação teremos:
• Super nó: Eventualmente podem aparecer fontes de tensão no circuito com fontes de 
corrente e um método de análise é o do super nó, que iremos aprender agora. O método consiste 
em curto circuitar a fonte de tensão e proceder com o método nos nós normalmente. A equação 
devido a tensão saíra dos pontos onde a fonte de tensão está inserida. Exemplo: Seja o circuito 
abaixo, calcule as tensões dos nós:
Figura 10 - Circuito para o super nó. Fonte: Boylestad (2012).
• Primeiro passo: Identificar o nó de referência e renomear os outros nós.
• Segundo passo: Identificar que existe uma fonte de tensão entre dois nós sem a presença 
de uma resistência. Assim o método do super nó pode ser aplicado.
• Terceiro passo: Montar as equações do super nó, utilizando a Lei de Kirchhoff para um 
nó onde o somatório das correntes que entram são iguais ao somatório das correntes que saem.
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Assim, pode-se montar a equação das correntes I1 e I2 :
A outra equação sai dos nós onde a fonte de tensão está presente:
V1 - V2 = E = 12V
Assim o sistema pode ser montado e solucionado:
Resultando em:
5 - CIRCUITOS EM PONTE
Os circuitos em ponte, também conhecido como circuito em treliça, possui várias 
aplicações em eletrônica e os três formatos possíveis estão mostrados na figura abaixo. 
Figura 11 - Circuitos em ponte. Fonte: Boylestad (2012).
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Os métodos de análise são os mesmos já vistos, podendo ser utilizado tanto o método 
das malhas quanto o método dos nós, para calcular as correntes das malhas e as tensões dos nós. 
Exemplo: Seja o circuito da imagem abaixo, encontre os valores das correntes das malhas e das 
tensões dos nós.
Figura 12 - Circuito a ser solucionado pelo método das malhas. Fonte: Boylestad (2012).
Examinando o circuito pelo método das malhas, você chegará ao sistema de equações 
abaixo, aproveite e resolva-o confirmando se o sistema resultante é este mesmo e encontre os 
valores das correntes.
Assim o sistema a ser solucionado de resume a:
Resultando nas correntes:
I1=4 A I2=2,67 A I3=2,67 A
Utilizando o método dos nós para encontrar uma solução, inicialmente deve-se 
transformar a fonte de tensão em uma fonte de corrente, assim de acordo com a figura abaixo, a 
análise pode ser realizada:
Figura 13 - Circuito a ser solucionado pelo método dos nós. Fonte: Boylestad (2012).
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Realizando as análises através do método dos nós, irá chegar ao sistema de três 
equações abaixo. Resolva-o normalmente e confirme as equações expostas abaixo, encontrando 
um resultado após a modelagem.
6 - CONVERSÃO Y-∆ E ∆-Y
As conversões Y-∆ e ∆-Y são muito utilizadas em circuitos. Suas aplicações acontecem 
em circuitos em que as resistências não estão nem em série e nem em paralelo e a transformação 
acaba sendo menos trabalhosa para resolver o circuito do que a aplicação do método das malhas 
ou método dos nós. Além de que essa configuração é amplamente utilizada no sistema de potência 
que é composto por geradores, subestações, linhas de transmissão e distribuição, também sendo 
utilizado em cargas de alta potência que são alimentadas por três fases. Assim essa transformação 
deve estar bem clara em sua mente pois será utilizada em sua vida acadêmica e profissional.
A figura a seguir mostra as conexões estrela e delta, como relatado utilizadas em conexões 
de geradores e transformadores. 
Figura 14 - Ligações estrla - delta. Fonte: Boylestad (2012).
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• Conversão delta para estrela ∆-Y: Seja a figura abaixo, com os mesmos pontos de 
conexão das ligações delta e estrela. Com base na figura a forma de transformação de uma em 
outra será exposta em sequência:
Figura 15 - Conversão delta - estrela. Fonte: Boylestad (2012).
Obs: Uma forma de memorizar a transformação é que cada resistor em estrela é igual ao 
produto dos resistores em delta vizinhos, dividido pela soma dos resistores do delta. (Boylestad 
2012).
• Conversão delta para estrela Y-∆: Para a conversão estrela para delta, a mesma figura 
15 pode ser utilizada, onde as equações que relacionam as duas formas de conexão são:
Obs: Para facilitar o aprendizado, o valor de cada resistor em delta é igual à soma das 
combinações dos produtos das resistências em estrela dividida pela resistência em estrela mais 
distante do resistor a ser determinado, segundo Boylestad (2012). 
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• Conversão Y-∆ para resistências iguais: Para o caso das resistências iguais no 
acoplamento delta e estrela, presentes nos sistemas de potência onde o sistema é equilibrado, a 
transformação se simplifica as equações descritas:
• Neste módulo é bom rever em cálculo os métodos de solução de sistemas e 
como resolve-los de forma matricial utilizando calculadora científica ou programas 
matemáticos para computadores.
• A partir dos próximos módulos entram cálculos com números complexos e uma 
calculadora científica complexa será necessário. Uma HP 48g é o mínimo exigido, 
o ruim dela é que não possui memória rom, assim a HP 50g ou superior seria o 
ideal.
• Existem minicursos em pdf das calculadoras no google, faça-o e leia atentamente 
o manual, pois a calculadora tem um potencial enorme e você só saberá utiliza-lo 
fazendo algum curso. 
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03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................... 37
1 - TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO ........................................................................................................................ 38
1.1. PROCEDIMENTO ............................................................................................................................................... 38
2 - TEOREMA DE THÉVENIN .................................................................................................................................. 40
3 - TEOREMA DE NORTON ..................................................................................................................................... 42
4 - TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA ............................................................................. 45
5 - ANÁLISE COMPUTACIONAL ............................................................................................................................. 47
ANÁLISE DE CIRCUITOS 
PROF. ME. ITALO LEONARDO DE ALENCAR MARTON
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CIRCUITOS 
ELÉTRICOS
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INTRODUÇÃO
Neste módulo iremos estudar mais algumas técnicas de análises de circuitos, essas 
técnicas são aplicáveis tanto a circuitos de corrente continua (CC), quanto a circuitos de corrente 
alternada (CA). 
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1 - TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
O teorema da superposição é uma ferramenta poderosíssima para análise de circuitos, 
sendo vantajosa quando existe mais de uma fonte no circuito, sendo que estas não estejam 
conectadas nem em série e nem em paralelo. Assim o teorema consiste em analisar o circuito 
para cada fonte de tensão ou corrente e somar as contribuições de cada fonte a um determinado 
componente.
1.1. Procedimento
1-Transformar as fontes de tensão em curtos-circuitos para que o circuito seja resolvido 
somente com as fontes de correntes e depois retornar as fontes de tensão ao circuito e transformar 
as fontes de correntes em circuitos abertos. A figura abaixo mostra como realizar as alterações:
Figura 1 - Transformações nas fontes para uso do teorema da superposição. Fonte: Boylestad (2012).
2- Redesenhar os circuitos com as simplificações das fontes e resolve-los para encontrar 
a tensão e corrente sobre um determinado componente. Realizar esse processo para cada fonte 
do circuito;
3 - Somar as contribuições de cada fonte obtendo um resultante de tensão e corrente.
Este teorema revela a contribuição que cada fonte realiza sobra um determinado 
componente, podendo ser utilizado para estudos sobre alterações em fontes. Exemplo: Seja 
o circuito abaixo, utilize o teorema da superposição para calcular a corrente que circula pelo 
resistor R2.
Figura 2 - Circutio para uso do teorema da superposição. Fonte: Boylestad (2012).
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Seguindo o procedimento, o primeiro passo é resolver o circuito e achar as contribuições 
de cada fonte para o elemento de análise, assim primeiramente iremos analisar a contribuição 
da fonte de tensão, com a fonte de corrente como circuito aberto e calcular a corrente no ramo:
Figura 3 - Circuito para fonte de tensão segundo superposição. Fonte: Boylestad (2012).
Com a fonte de corrente em circuito aberto, o circuito se resume em duas resistências em 
série, e a corrente em R2 pode ser calculada através da equação:
Para a situação da fonte de corrente alimentando o circuito, a fonte de tensão deve ser 
curto-circuitada, assim o circuito a se ressume a duas resistências em paralelo, como mostra a 
figura abaixo:
Figura 4 - Circuito para fonte de tensão segundo superposição. Fonte: Boylestad (2012).
Para o circuito acima aplicasse o divisor de corrente para encontrar a corrente no ramo 
de R2:
Assim, a corrente total sobre o ramo de R2:
I2 =I2’+I2’’=2+6=8 A
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2 - TEOREMA DE THÉVENIN
O teorema de Thevénin é utilizado para analisar circuitos com fontes que não estão 
conectadas em série ou paralelo. Este método de solução reduz o número de componentes 
necessários para obter as características nos terminais de saída. Com isso facilitasse o estudo de 
mudanças de componentes sobre um ponto do circuito.
Segundo Boylestad (2012), qualquer circuito de corrente contínua de dois terminais pode 
ser substituído por um circuito equivalente que consista somente de uma fonte de tensão e de um 
resistor em série, como mostra a figura a seguir.
Figura 5 - Circuito equivalente de Thévenin. Fonte: Boylestad (2012).
Procedimentopara o teorema de Thévenin:
1- Remova a parte do circuito que está conectada nos terminais ao qual se deseja o 
equivalente de Thévenin;
2- Identifique os terminais ao qual se deseja o equivalente de Thévenin;
3- Calcule a resistência de Thévenin (RTh) como sendo a resistência equivalente do 
circuito entre os terminais de onde se deseja o equivalente de Thévenin, considerando as fontes 
de tensão como fontes curtos-circuitos e as fontes de corrente circuitos-abertos.
4- Calcule a tensão de Thévenin (ETh), como sendo a tensão entre os terminais que 
se deseja o equivalente, utilizando todas as fontes normalmente. A tensão deve ser calculada 
considerando os terminais abertos de onde se deseja o equivalente de Thévenin.
5- Desenhe o equivalente de Thévenin incluindo a parte do circuito que foi removida 
anteriormente aos cálculos.
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Exemplo: Determine o equivalente de Thévenin do circuito abaixo para os terminais
a e b.
Figura 6 - Circuito para exemplo. Fonte Boylestad (2012).
Os passos 1 e 2 do procedimento podem ser visualizados na figura acima, podendo 
partir do 3 passo: A resistência de Thévenin é calculada, curto-circuitando a fonte de tensão e 
encontrando a resistência equivalente do circuito, visto pelos terminais ab. Assim:
Figura 7 - Resistência de Thévenin. Fonte: Boylestad (2012).
A resistência equivalente do circuito do exemplo acima, se resume a duas resistências em 
paralelo. Assim a solução vem da equação produto pela soma:
A tensão de Thévenin é calculada como sendo a tensão entre os terminais ab, assim a 
figura abaixo mostra o circuito para cálculo.
Figura 8 - Circuito para cálculo da tensão de Thévenin. Fonte: Boylestad (2012).
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O circuito anterior para o cálculo da tensão de Thévenin se resume a duas resistências em 
série, desta forma podemos aplicar o divisor de tensão de acordo com equação a seguir:
Desta forma, o circuito se resume ao da figura a seguir. Repare que esse teorema ajudaria 
muito em casos de circuitos maiores, onde os cálculos repetidos seriam desnecessários e maçantes.
Figura 9 - Equivalente de Thévenin para o exemplo. Fonte: Boylestad (2012).
3 - TEOREMA DE NORTON
O teorema de Norton é equivalente ao teorema de Thévenin, porém a fonte em vez de ser 
de tensão com uma resistência em série, a fonte é de corrente com uma resistência em paralelo.
Figura 10 - Equivalente de Norton. Fonte: Boylestad (2012).
Procedimento para o teorema de Norton:
1- Remova a parte do circuito que está conectada nos terminais ao qual se deseja o 
equivalente de Thévenin;
2- Identifique os terminais ao qual se deseja o equivalente de Thévenin;
3- Calcule a resistência de Norton (RN) como sendo a resistência equivalente do circuito 
entre os terminais de onde se deseja o equivalente de Thévenin, considerando as fontes de tensão 
como fontes curtos-circuitos e as fontes de corrente circuitos-abertos.
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4- Calcule a corrente de Norton (IN), como sendo a corrente entre os terminais que se 
deseja o equivalente curto-circuitados, utilizando todas as fontes normalmente. 
5- Desenhe o equivalente de Norton incluindo a parte do circuito que foi removida 
anteriormente aos cálculos.
Exemplo: Determine o circuito equivalente de Norton para o circuito abaixo:
Figura 11 - Circuito para equivalente de Norton. Fonte: Boylestad (2012).
Os primeiro e segundo passo do procedimento está mostrado na figura acima, sendo 
o terceiro passo o cálculo da resistência de Norton. A figura a seguir mostra o circuito para o 
cálculo.
Figura 12 - Circuito para cálculo da resistência de Norton. Fonte: Boylestad (2012).
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O cálculo de corrente de Norton se dá curto-circuitando os terminais de Norton, assim a 
figura abaixo descreve o circuito neste formato:
Figura 13 - Circuito para cálculo da corrente de Norton. Fonte: Boylestad (2012).
Com isso, o circuito de Norton se resume a:
Figura 14 - Equivalente de Norton. Fonte: Boylestad (2012).
Como relatado anteriormente, os equivalentes de Thévenin e Norton são equivalentes, ou 
seja, podem ser convertidos um pelo outro. Essa conversão se dá pelas equações a seguir:
Figura 15 - Conversão entre teoremas de Norton e Thévenin. Fonte: Boylestad (2012).
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 4 - TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE 
POTÊNCIA.
Boylestad explica que a potência transferida a uma carga por um circuito será máxima 
quando a resistência dessa carga for exatamente igual a resistência de Thévenin do circuito ligado 
a essa carga. A máxima transferência de potência ocorre quando a tensão e a corrente da carga 
estão na metade dos seus valores possíveis máximos. Ou seja, quando:
RL=RTh
Seja o circuito equivalente de Thévenin a seguir:
Figura 16 - Circuito equivalente de Thévenin para determinar a máxima transferência de potência. Fonte: 
Boylestad (2012).
Pela lei de Ohm, temos:
E a potência do circuito é calculada por:
P = V * i
Substituindo a corrente i em P, temos:
Aplicando o divisor de tensão, a tensão VL será:
Substituindo a tensão da carga na fórmula da potência, temos:
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Como: 
RL=RTh
Então, por fim:
Exemplo: Calcule a máxima transferência de potência para a carga RL do circuito 
equivalente de Thévenin a seguir.
Figura 17 – Ciruito para determinar a máxima transferência de potência à carga. Fonte: Boylestad (2012).
Pela fórmula do teorema da máxima transferência de potência, temos:
A curva a seguir mostra a máxima transferência de potência e em que ponto ela ocorre 
para o circuito do exemplo, sendo potência da carga (PL) e variação da carga (RL).
Figura 18 – Curva da máxima transferência de potência em relação. Fonte: Boylestad (2012).
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Obs: Se a carga RL é menor que a resistência de Thévenin, a potência sobre a carga 
diminuirá rapidamente na medida que a resistência fica menor. Já para o caso da resistência 
da carga RL ser maior que a resistência de Thévenin, a potência sobre a carga não diminui tão 
rapidamente conforme a resistência aumenta.
5 - ANÁLISE COMPUTACIONAL
A partir de agora, você começará a resolver exercícios complexos de circuitos tanto em 
corrente alternada como em corrente contínua, assim será interessante se familiarizar com alguns 
softwares de simulação de circuitos, que poderão ser utilizados em sua vida acadêmica para 
solucionar exercícios, procurar defeitos, simular funcionamentos e desenhar placas impressas.
Dois programas bastante utilizados são o PSpice e o MultiSim, que valem o esforço de 
aprender a utilizar suas ferramentas. Esses programas podem ser baixados pela internet no site 
de seus desenvolvedores em formato estudante e existem vários tutorias e apostilas de cursos 
disponibilizados pela rede.
Separe um material sobre esses programas e inicie sua utilização básica simulando os 
circuitos vistos neste módulo, visualizando informações de tensões, correntes e potências dos 
componentes, assim ao decorrer do curso você já estará familiarizado a utilizar esses softwares e 
avançará na utilização de novas ferramentas como: aplicação de filtros de frequência, varredura 
para encontrar a frequência de ressonância, gerar gráfico de Bode, Fast Forrier Transfor e muitas 
outras.
 • Procure saber sobre o teorema de Millman, enfatizando suas qualidades sobre 
os métodos estudados neste módulo.
 • Procure saber sobre o teorema da substituição, enfatizando suas qualidades 
sobre os métodos estudados neste módulo.
 • Procure saber sobre o teorema da reciprocidade, enfatizandosuas qualidades 
sobre os métodos estudados neste módulo.
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U N I D A D E
04
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................... 49
1 - CAPACITORES ..................................................................................................................................................... 50
2 - ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES ....................................................................................................................... 57
3 - INDUTORES ........................................................................................................................................................ 59
4 - ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES .......................................................................................................................... 67
4.1. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES EM SÉRIE ....................................................................................................... 67
4.2. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES EM PARALELO .............................................................................................. 68
4.3. ASSOCIAÇÃO MISTA DE INDUTORES ........................................................................................................... 68
CAPACITORES E INDUTORES 
PROF. ME. ITALO LEONARDO DE ALENCAR MARTON
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
CIRCUITOS 
ELÉTRICOS
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INTRODUÇÃO
Nos módulos anteriores foram estudadas as técnicas de análise de circuito utilizando 
somente componentes passivos, no caso o resistor. As técnicas estudadas são aplicáveis tanto a 
circuitos de corrente contínua (CC), quanto a circuito de corrente alternadas (AC), assim iremos 
apresentar agora os componentes armazenadores de energia, conhecidos como capacitores e 
indutores, além de suas características e aspectos construtivos. Vamos aprender o comportamento 
dos circuitos RC e RL: suas constantes de tempo, suas respectivas curvas de carregamento e 
descarregamento. E finalmente veremos a associações em série, paralelo e mista de capacitores e 
indutores.
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1 - CAPACITORES
Os capacitores ou condensadores são componentes elétricos passivos que armazena 
energia, essa energia é armazenada através de campos elétricos e os mesmos se comportam como 
se tivessem inercia de tensão.
Os capacitores são basicamente construídos a partir de:
• Placas condutoras (ou armaduras) dispostas paralelamente uma da outra;
• Dielétrico (isolante) entre as placas.
Figura 1 – Aspectos construtivos de capacitor. Fonte: Eletrônica Analógica (2018).
A capacitância é calculada por:
Onde:
 • C: capacitância em Farad (F);
 • ε: permissividade do material do dielétrico (F*m/m²);
 • A: área das placas condutoras em metros quadrados;
 • d: distância entre as placas condutoras em metros.
Por meio da fórmula anterior, podemos compreender que a capacitância é a capacidade 
do condensador de armazenar energia, sendo diretamente proporcional à área das placas 
condutoras e à permissividade do material do dielétrico, e inversamente proporcional à distância 
entre as placas condutoras.
O funcionamento se dá aplicando tensão aos terminais do capacitor, onde a placa 
conectada ao polo positivo da fonte irá armazenar cargas positivas e a outra placa conectada 
ao polo negativo irá armazenar cargas negativas. Quanto maior a área das placas, maior será a 
capacitância, ou seja, maior a capacidade de armazenar energia, pois mais cargas serão acumuladas 
na superfície do material. 
Entre as cargas, positivas e negativas das placas, existirá atração elétrica, ficando o mais 
próximo possível umas das outras, separadas unicamente pelo material dielétrico (isolante). 
Quanto menor for a distância entre as placas, também maior será a capacitância, pois existirá 
o aumento de densidade do campo elétrico. Portanto, a energia é armazenada sob a forma de 
campo elétrico, que é amplificado devido o material dielétrico entre as placas. 
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Assim, à eletricidade estática criada pelo acúmulo de cargas opostas nas placas, separadas 
pelo material isolante (que não permite o curto-circuito entre as cargas) é a energia potencial 
acumulada.
O capacitor é um componente muito empregado na eletrônica como filtro de sinais ou 
como componente armazenador de energia, em circuitos de partida de lâmpadas fluorescentes, 
em partida de motores elétricos de indução, e também em sistemas de transmissão ou distribuição 
em um equipamento denominado banco de capacitores que serve para injetar reativos nas linhas 
onde são instalados, realizando a correção do fator de potência. Na imagem abaixo está presente 
um banco de capacitores utilizados para correção de fator de potência industrial.
Figura 2 – Banco de capacitores trifásico Weg. Fonte: Weg (2018).
Figura 3 – Diversos tipos de capacitores. Fonte: Boylestad (2012).
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Como analisado anteriormente, uma das formas de aumentar a capacitância é aumentar 
a área das placas, assim em alguns tipos de capacitores as placas condutoras são enroladas dentro 
de um cilindro para o máximo aproveitamento da área das placas, e o material dielétrico (papel) 
é embebido de óleo, como pode ser visualizado na figura a seguir.
Figura 4 – Maneiras de aumentar a área de um capacitor: (a) enrolamento; (b) empilhamento; (c) inserção. 
Fonte: Boylestad (2012).
Existem uma infinidade de tipos de capacitores e encapsulamentos, cada um com uma 
característica especifica de operação, assim realize uma pesquisa para saber as diferenças e 
qualidades dos capacitores eletrolíticos, capacitores de filme de poliéster, capacitores de tântalo, 
capacitores de mica, capacitores imersos, capacitores a óleo e principalmente os capacitores 
variáveis, muito utilizados em eletrônica. Esses conhecimentos serão utilizados em sua vida 
acadêmica quando for montar um protótipo que utilize capacitores, saber qual o melhor utilizar 
para a determinada aplicação. 
O capacitor funciona com inércia de tensão, ou seja, se opondo a variações de tensão 
aplicada sobre seus terminais. Em um circuito com capacitor a tensão não varia instantaneamente 
e a corrente induzida em seus terminais segue a seguinte equação:
Pode-se verificar pela fórmula que a corrente de um capacitor é proporcional à variação 
da tensão em função do tempo. Desta forma, na ausência da variação de tensão, correspondendo 
a corrente contínua em regime permanente, o capacitor não terá uma corrente induzida nos seus 
terminais:
A corrente sendo zero configura um circuito aberto. Desta forma, em um circuito de 
corrente contínua, o capacitor é um circuito aberto em regime permanente.
Vejamos agora o circuito RC a seguir: 
Figura 5 – Circuito RC com chave. Fonte: College Physics Labs Electricity and Magnetism (2018).
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O circuito acima possui duas situações possíveis para a chave S: uma com a chave em S=1 
e outra com a chave em S=2.
• Chave na posição S=1 (carregamento): Com a chave na posição S=1, o circuito terá 
uma fonte de tensão (V) alimentando um capacitor (C) com um resistor (R) conectado em série. 
Como a fonte de tensão é em corrente contínua, este circuito se comportará como um circuito 
aberto em regime permanente. Porém, o capacitor será carregado até que atinja a tensão da fonte 
e cesse a circulação de corrente. A equação que modela o carregamento de um capacitor é:
• Chave na posição S=2 (descarregamento): Com a chave na posição S=2, a fonte 
será desconectada e teremos apenas o capacitor e o resistor conectados em série. Assimo 
capacitor irá descarregar sua energia acumulada sobre a resistência. A equação que modela esse 
descarregamento é:
Repare que existe uma constante denominada constante de tempo τ que está presente nas 
equações de carregamento e descarregamento do capacitor. Esta constante é definida por:
Figura 6 - Gráfico de carregamento e descarregamento de um circuito RC. Fonte: Boylestad (2012).
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O gráfico plota as curvas de carregamento do capacitor (curva crescente) e a curva de 
descarregamento do capacitor (curva decrescente), em função da constante de tempo. Repare que 
para uma constante de tempo circuito de carregamento está com 63,2% da tensão total da fonte 
e no circuito de descarregamento a tensão do capacitor está em 36,8% da tensão da fonte. Para 
cinco constantes de tempo, no circuito de carregamento a tensão sobre o capacitor será 99,3% da 
tensão da fonte, estando praticamente carregado, assim como no circuito de descarregamento a 
tensão sobre o capacitor será 0,7% da tensão da fonte, estando praticamente descarregado.
A figura a seguir mostra as situações de tensão do capacitor, corrente do circuito e tensão 
sobre o resistor, para o tempo contínuo com chaveamento em cinco constantes de tempo.
Figura 7 - Vc, Ic e Vr para chaveamento de um circuito RC com 5 constantes de tempo.
Figura 7 - Vc, Ic e Vr para chaveamento de um circuito RC com 5 constantes de tempo. Fonte: Boylestad 
(2012).
Exemplo: Determine a constante de tempo τ e monte as curvas de carga e descarga para 
a corrente e tensão em relação ao tempo utilizando uma variação de tempo de 1,25 ms de 0 até 
10 ms. 
A constante de tempo do circuito será:
τ=RC=100*20*10-6=0,002=2 ms
Temos que a carga em um capacitor é dada por:
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Para cada instante de tempo, temos a tensão em função do tempo:
Carga do capacitor
t (ms) 0 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00
V (V) 0,000 2,324 3,567 4,233 4,590 4,780 4,882 4,937 4,966
I (A) 0,050 0,027 0,014 0,004 0,004 0,002 0,001 0,001 0,000
Tabela 1 – Dados de carga do capacitor. Fonte: Schram (2018).
A descarga em um capacitor é dada por: 
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Para cada instante de tempo, temos a tensão em função do tempo:
Descarga do capacitor
t (ms) 0 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00
V (V) 5,000 2,676 1,433 0,767 0,410 0,220 0,118 0,063 0,034
I (A) 0,000 0,023 0,036 0,042 0,046 0,048 0,049 0,049 0,050
Tabela 2 – Dados de descarga do capacitor. Fonte: Schram (2018).
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Assim, temos as seguintes curvas de carregamento e descarregamento de tensão e de 
corrente.
Figura 8 – Comportamento da tensão e corrente em relação ao tempo na carga e descarga de um 
capacitor. Fonte: Neuroscience and Robotics Lab (2018).
2 - ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
• Associação de capacitores em série: Na associação em série os capacitores são 
percorridos pela mesma corrente elétrica e a tensão é dividida entre todos os capacitores, da 
mesma forma que na associação de resistores em série.
Figura 9 - Associação de capacitores em série. Fonte: o autor.
Com isso, o inverso da capacitância equivalente será a soma de cada inverso das 
capacitâncias em série no circuito, assim como na associação de resistores em paralelo:
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Para apenas dois capacitores, a capacitância equivalente se ressume na equação produto 
pela soma, assim como na equivalência de dois resistores em paralelo.
• Associação de capacitores em paralelo: Na associação em paralelo os componentes 
são colocados paralelamente entre si, sendo a tensão sobre os capacitores a mesma e a corrente 
elétrica é dividida entre todos os capacitores, da mesma forma que na associação de resistores em 
paralelo.
Figura 10 - Associação de capacitores em série. Fonte: Boylestad (2012).
Desta forma, a capacitância equivalente será a soma de todas as capacitâncias em paralelo 
no circuito, assim como na associação de resistores em série:
• Associação mista de capacitores: Na associação mista o método de análise é idêntico 
aos realizados com resistores, porém os capacitores em série são tratados como os resistores em 
paralelo e os capacitores em paralelo são tratados como os resistores em série.
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3 - INDUTORES
Um indutor é um componente elétrico passivo que armazena energia na forma de campo 
magnético, o mesmo é muito utilizado em circuitos e uma grande aplicação são os tasers por 
exemplo. Os indutores possuem inércia de corrente e são basicamente construído a partir de:
• Enrolamento de um material condutor;
• Núcleo permissivo.
 Figura 11 - Indutor. Fonte: Boylestad (2012).
Sua indutância é dada por:
Onde:
 • L: indutância dada em Henries (H);
 • sN: número de espiras;
 • μ: permeabilidade do núcleo (H*m/m²);
 • A: área da espira (m²);
 • l: comprimento do indutor (m).
Segundo Boylestad (2012), um Henry é o nível de indutância que estabelecerá uma tensão 
de 1 volt através da bobina devido a uma variação na corrente de 1 A/s através da bobina.
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Por meio da fórmula anterior, podemos entender que a indutância é a capacidade 
do indutor de armazenar energia sendo diretamente proporcional ao número de espiras, à 
permeabilidade do núcleo e à área da espira, e inversamente proporcional ao comprimento do 
indutor. 
Seu funcionamento se dá por uma corrente elétrica que atravessa as espiras do enrolamento 
e, pela lei de Ampère: todo condutor elétrico percorrido por uma corrente elétrica possui um 
campo magnético associado. Assim, cada espira do enrolamento do indutor terá sua parcela 
de campo magnético, o que, consequentemente, irá resultar na soma de todas as contribuições 
de cada espira e finalmente criar um campo magnético total no indutor. Portanto, a energia é 
armazenada sob a forma de campo magnético nas espiras do indutor.
O indutor é um componente muito utilizado em eletrônica como filtro de sinais ou 
componente armazenador de energia, em circuitos de flash de máquinas fotográficas, em circuitos 
de ignição de veículos a combustão, entre outras diversas aplicações.
Figura 12 - Tipos e aplicações de indutores. Fonte: Boylestad (2012).
O indutor funciona se opondo à variação de corrente estabelecida sobre ele, ou seja, em 
um circuito com indutor a corrente não pode variar instantaneamente. E uma tensão é induzida 
nos seus terminais pela seguinte fórmula:
 Ou,
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A tensão nos terminais de um indutor é proporcional à variação da corrente elétrica em 
função do tempo. Assim, na ausência da variação da corrente elétrica, ou seja, na presença de 
corrente contínua, o indutor não terá uma tensão induzida nos seus terminais:
A tensão sendo zero configura um curto-circuito. Assim, podemos dizer que em um 
circuito de corrente contínua, o indutor é um curto-circuito em regime permanente.
• Circuito de carregamento:
Figura 13 - Circuito RL. Fonte: Boylestad (2012).
Seja o circuito RL acima com uma fonte de corrente contínua, como o circuito possui 
uma fonte de tensão em corrente contínua, este circuito se comportará como um curto-circuito 
em regime permanente nos terminais do indutor. Nesta situação o indutor estará completamente 
carregado com energia armazenada nos campos magnéticos. Assim, o indutor será carregado até 
que seus terminais atinjam a corrente da fonte, através da equação:
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Figura 14 - IL, VL e VR para umcircuito RL. Fonte: Boylestad (2012).
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• Circuito de descarregamento:
Figura 15 - Circuito RL para descarregamento. Fonte: Boylestad (2012).
Na figura, após o indutor estar carregado a chave irá se abrir e o circuito irá se desconectar 
da fonte permanecendo apenas o indutor e os resistores em série. Desta forma, ocorrerá o 
descarregamento da energia acumulada pelo indutor no resistor, através da seguinte fórmula:
A constante de tempo τ tanto para o carregamento, quanto para o descarregamento do 
indutor, pode ser definida pela seguinte relação:
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Desta forma o circuito irá se comportar em função do tempo de acordo com a figura:
Figura 16 - Carga e descarga de um circuito RL em função do tempo. Fonte: Boylestad (2012).
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Exemplo:
Considere o circuito da figura anterior com as seguintes características:
L=200 mH
R=100 Ω
V=5 V
Determine a constante de tempo τ e monte as curvas de carga e descarga para a corrente 
e tensão em relação ao tempo utilizando uma variação de tempo de 1,25 ms de 0 até 10 ms.
Carga do indutor
t (ms) 0 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00
V (V) 5,000 2,676 1,433 0,767 0,410 0,220 0,118 0,063 0,034
I (A) 0,000 0,023 0,036 0,042 0,046 0,048 0,049 0,049 0,050
Tabela 3 – Dados de carga do indutor. Fonte: Igor Bertolino Schram (2018).
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Descarga do indutor
t (ms) 0 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00
V (V) 0,000 2,324 3,567 4,233 4,590 4,780 4,882 4,937 4,966
I (A) 0,050 0,027 0,014 0,008 0,004 0,002 0,001 0,001 0,000
Tabela 4 – Dados de descarga do indutor. Fonte: Igor Bertolino Schram (2018).
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Figura 17 – Comportamento da tensão e corrente em relação ao tempo na carga e descarga de um indutor. 
Fonte: Neuroscience and Robotics Lab (2018).
4 - ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
4.1. Associação de indutores em série
A associação de indutores em série se dá exatamente como no caso dos resistores elétricos, 
onde soma-se todos os componentes em série para se obter o equivalente. Isso se dá devido serem 
percorridos pela mesma corrente, assim acumulando energia proporcionalmente de acordo com 
as indutâncias de cada um.
Figura 18 - Indutores e série. Fonte: Boylestad (2012).
Assim, a indutância equivalente será a soma de todas as indutâncias em série no circuito:
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4.2. Associação de indutores em paralelo
Na associação em paralelo os componentes são colocados paralelamente entre si, e em 
um circuito de indutores em paralelo a tensão sobre os indutores é a mesma e a corrente elétrica 
é dividida entre todos os indutores, da mesma forma que na associação de resistores em paralelo.
Figura 19 - Indutores e paralelo. Fonte: Boylestad (2012).
Assim, o inverso da indutância equivalente será a soma de cada inverso das indutâncias 
em paralelo no circuito:
Para apenas dois indutores, a indutância equivalente será dada pela equação produto pela 
soma, assim como na equivalência de dois resistores em paralelo.
4.3. Associação mista de indutores
Na associação mista de indutores temos a mistura de associação em série e paralelo. O 
método de associação é exatamente o mesmo dos resistores visto anteriormente.
 • Realize uma pesquisa sobre as formas de rotulagem dos capacitores e como 
identificar suas características;
 • Realize uma pesquisa sobre os tipos de capacitores existentes e quais suas 
particularidades operativas;
 • Realize uma pesquisa sobre as formas de rotulagem dos indutores e como 
identificar suas características;
 • Realize uma pesquisa sobre os tipos de indutores existentes e quais suas 
particularidades operativas;
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REFERÊNCIAS
ALEXANDRE. C. K.; SADIKU. M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5ª ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013. 
BIRD. J. Circuitos Elétricos: Teoria e tecnologia. 3ª ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009. 
BOYLESTAD. R. L. Introdução à Análise de Circuitos – Prentice Hall/Pearson, 12ª. Ed. São 
Paulo: 2012. 
FOWLER. R. J. Fundamentos de Eletricidade: Corrente contínua e magnetismo. 7ª ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013. 
JOHNSON. D. E.; HILBURN. J. L.; JOHNSON. J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos 
Elétricos. 4ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
NILSSON. J. W.; RIEDEL. S. A. Circuitos Elétricos. 8ª ed. São Paulo: Pearson, 2009.