Material 01 - Fatoração de Polinômios

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Material 01 – Polinômios - Fatoração Complementos de Matemática I 
 
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 MATERIAL 01 – FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS 
 
______________________________________________________________________ 
Caro aluno 
 
Saber fatorar polinômios, é muito útil para os nossos Cursos de Cálculo. 
Só para lembrar: um polinômio com coeficientes reais, na variável , é uma expressão do tipo: 
 
 
 , onde e . 
 
Assim como operamos com os números, podemos também, operar com os polinômios. É 
importante praticar a divisão entre polinômios. 
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Nos resultados a seguir, você encontrará expressões como: 
fatores lineares, fatores quadráticos, fatorar um polinômio, decompor em fatores lineares e ou 
fatores quadráticos irredutíveis. 
Vamos explicar o que essas expressões significam. 
Fatores lineares: são polinômios de grau 1, da forma , . 
Fatores quadráticos: são polinômios de grau 2, da forma , . 
Fatorar um polinômio: é uma forma resumida de dizer "escrever o polinômio como produto de 
fatores lineares e/ou fatores quadráticos irredutíveis". 
Decompor em fatores lineares e ou fatores quadráticos irredutíveis: significa fatorar o 
polinômio, ou seja, escrever o polinômio como produto de fatores lineares e/ou fatores 
quadráticos irredutíveis. 
Exemplos de polinômios fatorados: 
 
 
 
 , onde é irredutível. 
 
 
Como estamos interessados em fatorar polinômios, vamos lembrar alguns resultados importantes 
que nos permitirá encontrar a fatoração de polinômios. 
Resultado 1: 
"Seja 
 
 um polinômio na variável , onde 
 e . Dizemos que um número real  é uma raiz do polinômio 
)( xp se, e somente se, 0)( p ". 
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Resultado 2: 
"Todo polinômio, 
 
 , onde e 
 , se decompõe em fatores lineares e ou fatores quadráticos 
irredutíveis". 
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Resultado 3: 
Em especial, vamos trabalhar com a fatoração do polinômio quadrático, polinômio de grau 2, 
cxbxaxp  2)( onde, IR,, cba , com 0a . 
Vamos, inicialmente, resolver a equação 02  cxbxa onde, IR,, cba , com 0a . 
As possíveis soluções dessa equação são raízes do polinômio cxbxaxp  2)( . 
Multiplicaremos os dois membros da equação por a : 
022  caxbaxa , que é o mesmo que 022  caxabxa . 
Completando o quadrado na variável x : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção: Caso você não lembre como se completa o quadrado, veja o texto "Completando o 
Quadrado", disponível na plataforma. 
Da igualdade 
 
 
 
 
 
 
 
 segue que: 
I) Se ,042  cab a equação dada não tem solução, pois, 
 
 
 
 
 
e, portanto, 
 
 
 
 
 nunca será igual a um número negativo. 
Neste caso o polinômio cxbxaxp  2)( é irredutível em IR , não pode ser escrito 
como produto de dois polinômios de grau 1 , com coeficientes reais. 
II) Se ,042  cab então 
 
 
 
 
 , donde 0
2

b
xa e, portanto 
a
b
x
2
 . 
Neste caso 
a
b
x
2
 é a solução da equação dada e o polinômio cxbxaxp  2)( tem 
duas raízes reais iguais, e se fatora da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III) Se ,042  cab então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Neste caso, a equação dada tem duas soluções reais distintas: 
a
cabb
x
2
42
1

 e 
a
cabb
x
2
42
2

 . 
O polinômio cxbxaxp  2)( têm duas raízes reais distintas e se fatora da seguinte 
forma: 
)()()( 21
2 xxxxacxbxaxp  . 
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Resultado 4: 
"Todo polinômio 
 
 onde , n ímpar e 
 , tem pelo menos uma raiz real". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 5: 
"Se  é uma raiz inteira do polinômio, 
 
 , onde 
 e então  é um divisor do termo independente 0a ". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 6: 
"Se 
q
p
, onde p e q são números inteiros, 0q , p e q primos entre si, é uma raiz do 
polinômio 01
1
1 .....)( axaxaxaxp
n
n
n
n 

 onde n , 1n , ia números inteiros, 
ni ...,,3,2,1,0 , então p é um divisor do termo independente 0a e q é um divisor do 
coeficiente na ". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 7: 
"O resto da divisão de um polinômio )( xp por ax é )(ap ". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 8: 
"Um polinômio )( xp é divisível por ax se, e somente se, 0)( ap ". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 9: 
"Se nxxx .......,,, 21 são raízes de um polinômio de grau n , 
01
1
1 ...)( axaxaxaxp
n
n
n
n 

 , então ))....(()()( 21 nn xxxxxxaxp  ". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 10: 
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"Um polinômio )( xp , com nxpgr ))(( é divisível pelos binômios 
)(.....,,)(,)( 21 nxxxxxx  , onde nxxx ....,,, 21 são todos distintos entre si, se, e somente se, 
)( xp é divisível pelo produto ))....(()( 21 nxxxxxx  ". 
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Vamos fatorar, em IR , alguns polinômios! 
Exemplo 1 Fatore, em IR , o polinômio 3434)( 23  xxxxp . 
Solução: 
Para fatorar )( xp precisamos conhecer as suas raízes. 
As possíveis raízes inteiras de )( xp são os divisores do termo independente 3 , que são: 
3,3,1,1  . 
Note que 120)3(;72)3(;0)1(;0)1(  pppp . 
Portanto, )( xp tem somente duas raízes inteiras, que são 1x e 1x 
Se 1x é uma raiz de )( xp então )( xp é divisível por 1)1(  xx . 
Se 1x é uma raiz de )( xp então )( xp é divisível por 1x . 
Logo, )( xp é divisível por 1)1()1( 2  xxx . 
Dividindo )( xp por 12 x , obtemos )34()1()( 2  xxxp . 
Assim a fatoração procurada é )34()1()1()(  xxxxp . 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 2 Fatore, em IR , o polinômio 3832)( 23  xxxxp . 
Solução: 
O polinômio desse exemplo 2, tal qual o polinômio do exemplo 1, também não é um 
polinômio mônico, isto é, o coeficiente do seu termo de mais alto grau não é 1. Portanto esse 
polinômio pode admitir raízes racionais, do tipo, 
 
 
 , com inteiros, primos entre si, e . 
Ao invés de começarmos a pesquisar as raízes inteiras de polinômio , podemos já pesquisar 
suas raízes racionais. Neste caso, as possíveis raízes racionais desse polinômio são os divisores do 
termo independente 3 , que são: 3,3,1,1  , divididos pelos divisores do coeficiente do 
termo de maior grau, que são 2,2,1,1  . 
Assim, as possíveis raízes racionais desse polinômio são: 
2
3
,
2
3
,
2
1
,
2
1
,3,3,1,1  . Observe que aqui também estãoincluídas as possíveis 
raízes inteiras, que também são racionais. 
 Uma forma de encontrar a fatoração é: 
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Calcular o valor de )( xp nessas possíveis raízes: 
0)1( p , 12)1( p , 60)3( p , 0)3( p , 
 
 
 
 
 
 , 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 . 
Como é um polinômio de grau 3 , então já encontramos todas as suas raízes e assim, pelo 
Resultado 9, 
 
 
 
 . 
 Outra forma de encontrar a fatoração é: 
 
 
 é divisível por . 
Dividindo por , 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, ; 
Agora podemos fatorar o trinômio de segundo grau . 
 , donde a equação possui duas 
raízes reais distintas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
, logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 . 
Fatorando, 
 
 
 . 
Portanto, . 
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Exemplo 3 O livro do matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu antes de 850, contém uma 
extensa discussão sobre problemas de herança. Como escreve C. Boyer no livro História da 
Matemática, as complicadas leis árabes que regiam a divisão de heranças parecem ter encorajado 
o estudo da álgebra na Arábia. Dentro deste tema, está o seguinte problema: 
Um pai deixa a seus filhos uma herança de R$ 1 200 000,00. Três deles, renunciando a suas 
partes, fazem com que cada um dos demais receba, além do que receberia normalmente, um 
adicional de R$ 90 000,00. Quantos filhos tinha, no total, este pai? 
Solução: 
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Considerando x o número de filhos, temos que cada um deles deveria receber: 
x
R 00,0002001$
. Como três dos seus filhos renunciaram suas partes, cada um dos demais 
recebeu: 
00,00090$
00,0002001$
R
x
R
 
Pensando de outra forma, como três dos seus filhos renunciaram suas partes, a herança foi 
dividida entre 3x filhos e cada um recebeu: 
3
00,0002001$
x
R
. 
Portanto, o número de filhos é a solução da equação: 
3
00,0002001$
00,00090$
00,0002001$


x
R
R
x
R
 
Dividindo cada membro da equação por 00,00030 temos: 
3
40
3
40


xx
. 
Mas, 









 0
3
40340
3
40340
3
40
3
40
xx
x
xx
x
xx
 



040)3()340(0
)3(
40)3()340(
xxx
xx
xxx
 
040301209304033334040 222  xxxxxxxx . 
As raízes dessa equação são: 
58
2
133
2
1693
12
)40(14)3(3 2







 xouxx 
Portanto, o número de filhos é 8 . 
 
E agora, aos exercícios: 
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Exercício 1: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que 
morreu antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor 
originou a palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe 
ao certo, originou o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o 
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ramo da Matemática que hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro 
pede que se divida o número 10 em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, 
multiplicando cada parte por si mesma, seja igual a 58 ". Resolva-o. 
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Exercício 2: Uma fatia com 3 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um 
cubo, deixando um volume de 3cm196 . Encontre o comprimento do lado do cubo original. 
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Exercício 3: Diga quais das expressões abaixo são polinômios: 
a) 2
2
1
2)( 35  xxxxp b) 5)( xt c) 53)( 2
1
3
1
 xxxq 
d) 32)( 134   xxxxs e) 
5
34
)(
3
25



x
xx
xr . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 4: Determine os valores de cba ,, , números reais, que tornam os polinômios )( xp e 
)( xq iguais: 
)1()1()1()1()(  xxcxxbxxaxp e 53)( 2  xxq . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 5: Faça as operações indicadas: 
a) 23 )14(2)14(  xx b) 44)( xhx  . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 6: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios )( xp e )( xq nos 
seguintes casos: 
a) 3423)( 345  xxxxxp 12)( 3  xxxq 
b) 121143)( 2345  xxxxxxp )54()( 22  xxxxq . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 7: Determine a , IRa , de modo que o polinômio 
axaxaxaxp 4)23()12()( 23  seja divisível por 1)(  xxq e em seguida, 
obtenha o quociente da divisão. 
______________________________________________________________________ 
Exercício 8: Fatore os seguintes polinômios: 
a) 352)( 2  xxxp b) 352)( 23  xxxxp 
c) 1)( 4  xxp d) 611692)( 234  xxxxxp 
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e) 158)( 24  xxxp f) 4472)( 234  xxxxxp 
g) 1)( 4  xxp . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 9: Será 3x um fator do polinômio 2187)( 7  xxp ? Justifique sua resposta. 
______________________________________________________________________ 
Exercício 10: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum 
número racional que seja igual ao seu cubo mais um? 
______________________________________________________________________ 
 
Bom trabalho!