Aula 04

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Seções de estudo
1- Expressões algébricas
2- Valor numérico;
3- Monômios;
4- Polinômios;
5- Exercícios.
Expressões algébricas
As expressões algébricas está presente em diversas profissões, na engenharia para cálculo de 
áreas, na farmácia ou Biomedicina em remédios com cálculos de proporção, na programação 
para criação de sistemas e por aí em diante, mas o que é expressões algébricas?
Expressão algébrica é o resultado de um número finito de operações, sendo elas adição, 
subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, iremos chamar os números reais 
arbitrários de variáveis e usaremos letras do alfabeto minúsculas. O resultado deste número é 
um número real .
Exemplo. Quando queremos expressar a fórmula da área e do perímetro de uma figura:
Área: ; Perímetro: .
Podemos escrever as expressões dessa forma também, sinalizando no início as 
variáveis usadas na expressão, no caso do perímetro, .
Exemplo: Represente a expressão através dos itens:
1-
O dobro de um número: a)
O triplo de um número: b)
A metade de um número: 
 
 
 c)
A metade de um número mais a terça parte de outro número: 
 
 
 
 
Quando os expoentes das variáveis apresentam somente números naturais, a expressão é dita 
inteira, ou seja, a expressão:
 
 
 
 
 
 
Para expoentes com variáveis inteiras ou nos denominadores da fração, a expressão é dita 
racional:
 
 
 
E para expoentes com variáveis racionais, ou radiciação, a expressão é dita irracional:
 
 
 
 
 
 
d)
Valor numérico
Quando substituímos as variáveis que compõem a expressão por números reais, obtemos uma 
expressão numérica, o resultado desta expressão é chamado de valor numérico da expressão 
algébrica.
Exemplo: Determine a área e o perímetro de um retângulo de largura e comprimento . 
De acordo com o exemplo anterior:
Área: ; Perímetro: , fazendo e , substituindo os valores 
temos:
Área: 
2-
 .
Perímetro: 
 
Exemplo: Calcule o valor numérico da expressão para , 
 e .
 
 
 
 
Monômios
Monômio é uma expressão algébrica formada pela multiplicação de um número real por um 
número finito de potências com expoentes inteiros e não negativos e as bases são variáveis. 
Como o monômio é formado pelo número 2 e , chamaremos esta última de 
parte literal e o número 2 de coeficiente.
Chamamos de monômios semelhantes aqueles que possuem a mesma parte literal.
Exemplo: Os monômios e 
 
 são semelhantes, basta observar que possuem a 
mesma parte literal, ou seja, são iguais em ambos os monômios.
No exemplo acima, o grau do monômio é 12, pois grau é a soma dos expoentes. No 
caso do monômio o grau é 3.
Adição e subtração de monômios.
Para somar ou subtrair monômios semelhantes, basta somar ou subtrair os coeficientes e 
manter a parte literal.
Exemplo: .
3-
Exemplo: 
Polinômios
quinta-feira, 8 de abril de 2021 17:58
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Exemplo: 
Multiplicação e divisão de monômios.
Para multiplicar ou dividir monômios, basta multiplicar ou dividir os coeficientes e a parte literal.
Exemplo: 
Exemplo: 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Observe que neste último exemplo, as propriedades de potenciação continuam válidas.
Polinômios
Polinômio é uma expressão algébrica dada por uma soma finita de monômios. 
Nesta aula iremos estudar somente polinômios com uma variável.
Polinômios é uma expressão do tipo:
4-
 
 
 
 são os coeficientes e é a variável da parte literal de cada monômio.
Exemplos.
 a)
 
 
 
 
 b)
 
 
 
 
 
 
 c)
Grau de um polinômio é dado pelo maior grau de cada monômio que o compõem, no exemplo 
acima, o grau do polinômio é 2, é 2 e é 2021.
Dados dois polinômios genéricos.
 
 
 
 
 
 
 será igual a se e somente se , , , e . Podemos 
representar também a igualdade .
 é chamado de polinômio nulo ou identicamente nulo quando e 
 .
A raiz de um polinômio é todo valor que substituído pela variável torna .
 Calcule o valor do polinômio .
 
 
 
, 
Observe que 2 é a raiz do polinômio .
Operações com polinômios.
Adição e subtração de polinômios.
Calcule e , sabendo que:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para somar (ou subtrair) polinômios, somamos (ou subtraímos) seus monômios semelhantes.
Multiplicação de polinômios.
Calcule , sabendo que:
 
 
 
 
 
 
Para multiplicar dois polinômios, multiplica-se cada monômio do primeiro por todos os 
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Para multiplicar dois polinômios, multiplica-se cada monômio do primeiro por todos os 
monômios do segundo.
O resultado da multiplicado dos fatores será chamado de produto, o grau do produto de dois 
fatores não nulos é igual a soma dos graus dos fatores.
Observe que o grau de é 4, o grau de é 2 ( ) e o grau de Q(x) é 2 , e 
 . 
Divisão de polinômios.
Vamos ver como funciona na prática o algoritmo da divisão para polinômios
Teorema: Dados os polinômios (dividendo) e (divisor), existem únicos polinômios 
 (quociente) e (resto) tais que 
 
Onde o grau o polinômio deve ser menor que o grau do polinômio ( ), ou .
Calcule o quociente e o resto na divisão:
 
 
Para construir , devemos pensar em um número que multiplicado por resulta em , ou 
seja . O número é 
 
 
 
 
 
 
Como o grau de é maior que o grau de , devemos repetir o processo.
Agora devemos pensar em um número que multiplicado por resulta em , ou seja 
 . O número é .
 
 
 
 
 
Como o grau de é igual ao grau de , devemos repetir o processo.
Agora devemos pensar em um número que multiplicado por resulta em , ou seja 
 . O número é 1.
 
 
 
 
 
Com o grau de é menor que , portanto obedece ao teorema acima e concluímos que:
 e .
Este algoritmo pode ser também representado de uma forma mais simples:
Exercícios
Exercícios de conceitualização:
5-
De acordo com a forma genérica de um polinômio: 1)
 
 
 
O expoente pertence a qual conjunto numérico?
Seja um polinômio de grau 5 e um polinômio de grau 3, podemos afirmar que o grau de 
 é 15? Reveja a definição e explique o resultado encontrado.
Exercícios de manipulação:
2)
Sejam os polinômios e , determine:3)
 a)
 b)
 c)
 d)
Sejam os polinômios e . Determine:4)
 .a)
O quociente e o resto da divisão de por .b)
Efetue:5)
 onde e .a)
 onde 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 .b)
 c)
 onde e .
Exercícios de aplicação:
d)
O número de diagonais de um polígonoconvexo é calculado pelo polinômio: 
 
 
 . 
Determine o número de diagonais de um polígono com 6 lados (hexágono).
6)
(UERJ) A estatura de um adulto do sexo feminino pode ser estudada através das alturas de seus 
pais pela expressão 
 
 
 . Considere que é a altura da mãe e , a do pai, em . Somando-se 
ou subtraindo-se 8, 5cm da altura estimada, obtém-se, respectivamente, as alturas máxima e mínima 
que a filha pode atingir. Segundo essa formula, se João tem e sua esposa . A sua filha 
medira no máximo?
7)
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