MMC Aula

Prévia do material em texto

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
MMC significa mínimo múltiplo comum. O MMC é uma operação para encontrar o menor
número positivo, excluindo o zero, que é múltiplo comum entre todos os números dados.
O MMC pode ser usado, por exemplo, para encontrar um denominador comum quando
fazemos operações com frações para que o denominador seja comum durante todo o
processo.
Os múltiplos de um número podem ser encontrados multiplicando este número pelos
números naturais.
Propriedades do MMC
1. O mmc de dois números primos entre si é o produto deles.
2. O mmc de dois números em que o maior é divisível pelo menor é o maior
deles.
3. Multiplicando ou dividindo dois números por um outro número diferente
de zero, o mmc aparece multiplicado ou dividido por esse outro.
4. Dividindo-se o mínimo múltiplo comum de dois números pelo máximo
divisor comum entre eles, o quociente obtido é igual ao produto de dois
números primos entre si.
5. Multiplicando-se o mínimo múltiplo comum de dois números pelo máximo
divisor comum entre eles, o resultado obtido é o produto desses números.
Exemplo: 0, 8, 16, 24,32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, … são múltiplos de 8, 8 foi multiplicado
pelos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
O conjuntos dos múltiplos de um número é infinito. Perceba que os múltiplos do número 8
foi somando de 8 em 8.
Se quisermos saber se um número qualquer é múltiplo de outro temos que fazer a divisão
entre eles, se obtivermos uma divisão exata, isto é, com resto zero, assim podemos dizer
que tal número é múltiplo do outro.
Exemplo: No exemplo anterior mostramos os múltiplos de 8, então se quisermos saber se
48 é múltiplo de 8 basta dividir 48 por 8: 48 / 8 = 6. Então 48 é múltiplo de 8 pois ele é
divisível por 8 com resto zero.
Como calcular o MMC de dois ou mais números?
Para calcular o MMC entre os números dados devemos fazer o seguinte: decompor em
fatores primos ou fazer a decomposição simultânea.
Decomposição em fatores primos
Encontrar o MMC pela decomposição em fatores primos deve obedecer as seguintes
regras:
● Decompor os números dados em fatores primos.
● Colocar os fatores primos comuns ou não comuns com seus expoentes
maiores.
● Fazer o produto desses fatores primos.
Observação: os números primos são números que são divisíveis somente por dois
números diferentes, ele mesmo e por 1 (um).
Exemplo: Calcular o mínimo múltiplo comum para os números 4, 6 e 12.
4 = 2², 2 é um número primo.
6 = 2 x 3, três também é primo.
12 = 2² x 3.
Agora pegamos os fatores primos comuns e não comuns com os maiores expoentes. Nesse
exemplo temos 2 e 3 apenas. Pegamos o 2² e 3, aqui 3 está elevado ao expoente 1.
Assim, o MMC de 4, 6 e 12 é o produto entre 2² x 3 = 4 x 3.
Logo: MMC(4; 6; 12) = 12.
Veja outro exemplo para clarear.
Calcular o MMC de 80, 20, 25:
80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 24 x 5.
20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5.
25 = 5 x 5 = 5².
Dividimos 80 pelos menor número primo que neste caso foi o 2, continuamos dividindo o
resultado da divisão por 2, e por último por 5 que era o menor número primos que poderia
continuar dividindo.
Agora peguemos os fatores primos com os maiores expoentes: 24 e 5². Fazemos o produtos
entre eles: 24 x 5² = 16 x 25 = 400.
Daí, o MMC(80; 20; 25) = 400
Decomposição simultânea
A decomposição simultânea ou fatoração simultânea consiste em dividir sucessivamente os
números dados pelo menor fator primo, caso o número não seja divisível por aquele fator
primo ele deve ser repetido.
O MMC é obtido pela multiplicação dos fatores primos usados durante a decomposição.
Veja um exemplo para você entender melhor.
Veja como encontrar o menor múltiplo comum entre três números. Se tivermos três números
4, 6 e 8. Qual o mmc desses números através da decomposição simultânea?
Dividimos 4, 6 e 8 pelo menor número primo que fosse divisível por pelo menor um deles,
que foi o número 2. Depois verificamos se ainda tem números que podem ser dividido por 2,
2 e 4 são divisíveis por 2 e conservamos o 3.
No terceiro passo, ainda é possível dividir por 2, mantemos 1 e 3. No quarto passo, só é
possível dividir por 3, conservando o resto dos outros números. Quando todos os restos
forem 1, acaba o processo.
O mmc é a multiplicação dos números que dividimos. Utilizamos o 2 três vezes e o 3
uma vez no processo, assim temos: 2 x 2 x 2 ou 2³ e 3¹, logo, 2³ x 3¹ = 24.
Portanto, MMC(4; 6; 8) = 24
Vamos calcular o MMC para o exemplo anterior agora usando a decomposição
simultânea.
Exemplo: Calcular o MMC para 80, 20 e 25.
O MMC é usado para somar e subtrair frações, veja nossos artigos sobre soma e subtração
de frações para melhor entender.
Encontre o MMC para os números abaixo
a) O MMC de (3, 21, 2)
R: 42
b) O MMC de (39, 9, 7)
R: 819
c) O MMC de (100, 22, 10)
R: 1100
d) O MMC de (10, 20, 2)
R: 20
e) O MMC de (4, 8, 14)
R: 56
f) O MMC de (2, 4, 5, 21)
R: 420
g) O MMC de (3, 6, 5, 12)
R: 60
h) O MMC de (3, 7, 2)
R: 42