Aula-2-Solow1

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Aula 3
Modelo de Solow com Tecnologia
Wilson Correa
May 15, 2015
Tecnologia - Definições
Possibilidades de inclusão de tecnologia no modelo:
1 Y = AF (K , L)→Hicks-Neutra
2 Y = F (AK , L)→Aumentadora de Capital ou Solow-Neutra
3 Y = F (K ,AL)→Aumentadora de Trabalho ou Harrod-Neutra
Progresso tecnológico ocorre quando A aumenta ao longo do
tempo
Unidade de trabalho é mais produtiva quando o ńıvel de
tecnologia é mais elevado
Surge na economia automaticamente: Taxa de crescimento
constante
Tecnologia - Definições
Ȧ
A = g ⇐⇒ A = A0e
gt onde g é a taxa de crescimento da
tecnologia.
Equação de acumulação de Capital:
K̇ = sY − dK ou K̇
K
=
sY
K
− d (1)
Função de produção pode ser escrita como:
y = kαA1−α (2)
lny = αlnk + (1− α)A (3)
ẏ
y
= α
k̇
k
+ (1− α) Ȧ
A
(4)
Tecnologia - Implicações
Notem que K será constante somente se YK for constante;
Se YK for constante então
y
k é constante e ambos devem estar
crescendo à mesma taxa pois L cresce a uma taxa fixa n e está
presente tanto no denominador quanto no numerador
(
Y
L
K
L
)
;
Neste caso capital, produto e população crescem a taxas
constantes definindo uma trajetória de crescimento
equilibrado.
Se ẏy cresce a taxa gy e
k̇
k cresce à taxa gk então o motor do
crescimento vai ser a taxa de crescimento à qual ȦA cresce que
é g ;
Progresso Tecnológico
No modelo anterior gy = gk = 0 pois não havia crescimento
per capita sustentado;
Progresso tecnológico é a fonte de crescimento per capita
sustentado;
Notem que:
Y = Kα(AL)1−α (5)
Y =
Kα
(AL)α
(AL) (6)
Y
AL
=
(
K
AL
)α
=⇒ ỹ = k̃α (7)
Modelo de Solow com Progresso Tecnológico
No modelo anterior k era uma variável constante no longo
prazo. Nesta nova formulação k crece à taxa gk = g Logo
podemos definir uma nova variável estacionária:
k̃ = KAL → representa a razão capital por trabalhador e
tecnologia ou razão “capital-tecnologia”
lnk̃ = lnK − lnA− lnL (8)
˙̃k
k̃
=
K̇
K
− Ȧ
A
− L̇
L
(9)
se ȦA = g e
L̇
L = n
Modelo de Solow com Progresso Tecnológico
Notem que podemos escrever utilizando a equação de
movimento do capital:
K̇
K
=
SY
K
− d (10)
Substituindo na equação (9) fica:
˙̃k =
sY
K
k̃ + (−d − g − n)k̃ (11)
˙̃k =
sY
K
K
AL
+ (−d − g − n)k̃ (12)
˙̃k = sỹ − (d + g + n)k̃ (13)
Gráfico 1 - Modelo de Solow com Progresso Tecnológico
Estado Estacionário e Crescimento
Economia cresce à uma taxa que representa uma trajetória de
crescimento equilibrado
Estou mutiplicando K por (n+g) logo por retornos constantes
o produto Y vai crescer a esta taxa.
Dessa forma com o capital por trabalhador e o produto por
trabalhador estarão crescendo à taxa g .
Implicações do Estado Estacionário
k̃∗ =
(
s
n + g + d
) 1
1−α
(14)
ỹ∗ =
(
s
n + g + d
) α
1−α
(15)
Notem que se A = 1 e g = 0 temos;
y∗ =
(
s
n + d
) α
1−α
(16)
Gráfico 2 - Implicações do Aumento no Investimento
Em k̃∗,com o novo ńıvel de investimento, o produto por
trabalhador aumenta mais velozmente do que a tecnologia
→
.
y
y
> g
Aumento temporário até que a razão produto por unidade
efetiva de trabalho atinja o seu novo estado estacionário.
Retorno ao ńıvel de crescimento de longo prazo.
existe um efeito no ńıvel de produto que é permanente
(momento do novo ńıvel de investimento), mas não na taxa
de crescimento.
Gráfico 2 - Implicações do Aumento no Investimento
Implicações sobre o Consumo
Um ponto importante a ser discutido é se o consumo aumenta
após o aumento em s.
Para examinarmos este efeito notem que na trajetória de
crescimento equilibrado o consumo iguala o produto por
trabalhador f (k∗) menos o investimento que é dado por
sf (k∗). Contudo o investimento deve ser igual a
(n + g + d)k . Logo podemos escrever:
c∗ = f (k∗)− (n + g + d)k∗ (17)
Como o próprio ńıvel de capital depende de n, g e d , então
podemos escrever k∗ = k∗(s, n, g , d). Logo a equação (17)
implica que para uma variação em s:
∂c∗
∂s
= [f ′(k∗(s, n, g , d))− (n + g + d)]∂k
∗(s, n, g , d)
∂s
(18)
Implicações sobre o Consumo
Sabemos que o aumento na poupança aumenta o ńıvel de k∗.
Deste modo se este aumento na poupança aumenta ou
diminui o consumo no longo prazo depende se o produto
marginal do capital f ′(k∗ é maior ou menor que n + g + d .
Um caso de interesse é quando são iguais. Neste caso uma
alteração marginal em s não tem efeito no longo prazo e o
consumo está no seu ponto de máximo posśıvel de ser
alcançado entre as trajetórias de crescimento equilibrado. O
valor de k∗ que leva a este resultado é conhecido como a
regra de ouro do estoque de capital.