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UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI CAMPUS CRATO LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA MATEMÁTICA INSTRUMENTAL CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS Noções preliminares: Números reais O sistema de numérico da Matemática começou com os números usados para contar, a saber: 1, 2, 3, 4, ... Estes são os números naturais. Esse conjunto, originalmente tinha a capacidade de representar “todas” as quantidades. A representação geométrica dos números naturais pode ser pensada como pontos sobre uma semi-reta, em que cada ponto é separado do anterior por uma unidade de comprimento. Sua representação algébrica é dada na forma de conjunto, denotada por 1,2,3,4,5,6,7,8,9,...= . Um membro de um conjunto de números é chamado elemento do conjunto. O quadro a seguir fornece a notação usada para indicar a relação de pertinência entre um número x qualquer e um conjunto numérico A. Notação Significado Exemplos Ax x é um elemento de A x pertence a A N9876543 Ax x não é um elemento de A x não pertence a A N15,1 N−5 O conjunto dos números naturais é fechado em relação à soma e à multiplicação, isto é, NyxeNyxNyx + ., O símbolo significa “para todo” ou “qualquer que seja”. Como uma extensão do conjunto dos números naturais, pois neste não é possível, por exemplo, fazer operações de subtração entre todos os seus elementos, uma vez que se podem obter números fora do conjunto- operação de subtração não é fechada nos naturais. Surgem então, os números inteiros, compreendendo os números negativos, o zero e os positivos. Sua representação geométrica é dada como pontos sobre uma reta. Sua representação algébrica é ...,4,3,2,1,0,1,2,3,4..., −−−−= . Vamos destacar alguns subconjuntos de Z: - O conjunto dos números inteiros positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .}. - O conjunto dos números inteiros negativos: Z− = {. . . , −3, −2, −1, 0}. - O conjunto dos números inteiros menos o zero: *Z = Z − {0}. O surgimento dos números racionais está diretamente associado a noção de medidas. Matematicamente, os racionais surgem pelo fato de que dentro do conjunto dos números inteiros não há como fazer a operação de divisão entre todos os seus elementos, por exemplo, como representar a divisão 1:2. O termo “racional” deriva da palavra “razão” que, em matemática, denota o quociente entre dois números. Assim, todo número racional pode ser representado pela divisão de dois números inteiros, ou seja, por uma fração na qual o numerador e o denominador são inteiros. Definem-se os números racionais como todos aqueles numerais que podem ser escrito na forma b a , com a e b inteiros, e 0b . A representação geométrica dos números racionais é também dada por pontos sobre uma reta. Algebricamente, o conjunto é representado por: = 0,/ bcombea b a Q Quando b = 1, temos Za a b a == 1 , assim, Z é subconjunto de Q ( )QZ . Exemplo Marque sobre a reta numérica os números: a) 1 2 b) 1 3 c) 3 5 Observação. Todo número racional a b ocupa um ponto bem definido na reta e, reciprocamente, a todo ponto racional na reta corresponde um número racional. Exemplo Transforme as seguintes frações em números decimais. a) 3 5 b) 3 2 c) 55 3 d) 3 16 e) 3 20 f) 3 7 g) 30 7 h) 2 3 i) 3 50 Observando os resultados obtidos, quando podemos dizer que a representação decimal resulta em decimais finitas? E quando surgem as decimais periódicas? Todo número racional a b pode ser representado por um número decimal. Passa-se um número racional a b para a forma de número decimal dividindo o inteiro a pelo inteiro b. Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos: 1) O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, é uma decimal exata. 2) O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica. O termo periódico indica que, apesar de haver um número infinito de algarismos depois da vírgula, estes aparecem em grupos que se repetem, Observação: todo número na forma decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração a b e portanto representa um número racional. Exemplo. Escreva na forma de fração os números racionais: a) 0,4444... b) 0,323232... c) 0,32 d) 6,434343... e) 0,2171717... f) 0,3511111... Infelizmente, os números racionais ainda não são suficientes para representar alguns números com os quais trabalhamos com frequência, como 2 ou o número . Números como esses são denominados de irracionais, pois não podem ser escritos como a razão de dois números inteiros. A forma decimal dos irracionais é infinita e não periódica, ou seja, inclui um número infinito de algarismos, mas esses não formam grupos que se repetem. Desse modo, não é possível representar exatamente um número irracional na forma decimal, mas é possível apresentar valores aproximados indicados pelo símbolo “ " . Assim, tem-se que 414,12 e 14,3 A seguir alguns exemplos de números irracionais: a) 0,3131131113... c) ...71828182,2=e b) 2,1112131415... d) ...73205080,13 = Da união dos números racionais com os irracionais surge o conjunto que pode ser colocado em correspondência biunívoca com os pontos da reta, denominado conjunto dos números reais, denotado por R Q I= . Assim, para um segmento de reta qualquer sempre existe um número real que representa a medida do seu comprimento. Temos que: RQZN e RI . Além desses subconjuntos (N, Z, Q e I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: Conjunto dos números reais não nulos: 00/* −== RxRxR Conjunto dos números reais não negativos: 0/ =+ xRxR Conjunto dos números reais positivos: 0/* =+ xRxR Conjunto dos números reais não positivos: 0/ =− xRxR Conjunto dos números reais negativos: 0/* =− xRxR Obs.: Operação com conjuntos Sejam A={1,3,5,7,9, 11} e B={1,2,3,4,5,6,7,8,9} ➢ União de Conjuntos: A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B. Indicaremos a união pelo símbolo . BxouAxxBA = / ➢ Interseção de Conjuntos: A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. Indicaremos a interseção pelo símbolo . BxeAxxBA = / ➢ Diferença de conjuntos: A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. BxeAxxBA =− / Intervalos Reais O conjunto dos números reais possui subconjuntos chamados intervalos. Tipos de intervalos: Sejam os números reais a e b, com ba = axRxa = /, axRxa = /, axRxa =− /, axRxa =− /, Em muitas ocasiões também denota-se R = ( , )− . O intervalo [a,b] pode ser degenerado, isto é, a pode ser igual a b e, então [a, a] = {a}. Atividades 1) Represente sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos: a) ,1 6A x N x= b) , 2 4A x Z x= − c) ,1 2A x R x= d) ,1 2A x R x= e) , 0 ou 2A x R x x= f) ,1 6A x N x= g) [2,8] h) , 2 5x R x i) ( , 2− j) [0, [ 2) Represente no plano cartesiano os subconjuntos abaixo: a) ( , ) |A x y N N x y= = b) ( , ) |A x y Z Z x y= = c) ( , ) |A x y R R x y= = d) 2( , ) 0 |A x y Z N x y= = e) ( , ) | 1A x y R R y x= = − 3) Dados os intervalos 32/ −= xRxA , 11/ −= xouxRxB e 2,−=C . Determine os conjuntos: ,,,,, CABACBACABA CBA e BA− . Operações envolvendo Potenciação A potenciação é utilizada em muitos cálculos em matemática e o objetivo aqui é estudar as propriedades, para serem utilizadas. Sendo a um número real e m número natural, definimos: 0,10 = aa aa =1 aaaaam .......= (m fatores), m = 2,3,4,.... Observação: m m a a 1 =− m = 1,2,3,.... Exemplo 4. Cálculo de potência a) = 3 52 b) = 3 5 2 c) ( ) =− 42 d) =− 42 e) = − 42 f) = −3 5 2 Propriedades: Sejam a e b números reais, m e n inteiros positivos, tem-se: nmnm aaa += nm n m a a a −= ( ) nmnm aa = ( ) mmm baab = m m m b a b a = Exemplo . Escreva na forma de uma só potência cada uma das seguintes expressões: a) 3 5 2 10 = b) 2 1 2 33 = c) 4 1 3 1 22 = d) 8 1 2 1 55 Exemplo . Utilizando as propriedades da potência, calcule as expressões abaixo: 223 4 4 4 21 5 2 )( 3) ) 3 )3 ) ) 5 3 a b c d e − − − − f) ( )238 g) 7 56 6− h) ( )25 3+ i) 4 5 10 10 Operações envolvendo Radicais Se a um número real positivo, e r um racional. Escrevendo qpr /= , p e q inteiros, 0q , definimos q pqpr aaa == / Exemplo 7. Transforme em radicais os números abaixo: 1 1 21 2 2 1/3 52 2 2 )2 )3 )4 ) ) 9 5 a b c d e − Exemplo 8. Transforme em potências os números abaixo 3 23 3) 4 ) 5 ) 2 ) 2 a b c d As propriedades da potenciação com expoentes inteiros continuam válidas para expoentes fracionários. A existência da operação inversa entre potenciação e radiciação implica que NnnBABA nn == ,2, a) . . , , 0 ) , 0, 0 n n nn n n A A A B A B A B b A B B B = = Atividade. Resolva as expressões abaixo: Notação Científica Observe as frases abaixo e descubra o que elas têm em comum: - “No início de 2012, a população mundial era estimada em 7.068.000.000 habitantes.” - “O rinovírus (causador do resfriado) tem cerca de 0,00000003 metros de diâmetro.” - “O número de moléculas de água em um litro do líquido é de aproximadamente 33.400.000.000.000.000.000.000.000.” - “Um átomo de Carbono 12 tem massa atômica equivalente a cerca de 0,0000000000000000000000000199 gramas.” Quando queremos expressar valores muito grandes ou muito pequenos, utilizamos uma notação especial, denominada notação científica. A notação científica utiliza sempre um número m entre 1 e 10, com 101 m , multiplicado por uma potência de base 10 com expoente inteiro, da seguinte forma: nm 10 onde m é a mantissa, 1 10m e o expoente n é um numero inteiro. Conversão para a notação científica Converta os números abaixo para a notação científica. a) 500.000 b) 7.068.000.000 c) 0,00000003 d) 33.400.000.000.000.000.000.000.000 e) 0,0000000000000000000000000199 Conversão para a notação decimal Converta os números abaixo para a notação decimal. a) 7 × 104 b) −2,178 × 107 c) 2 × 10-5 d) 8,031 × 10-9 Analisando os exemplos, percebe-se que existe uma relação entre o expoente da potência e o número de zeros antes e depois da vírgula decimal. Cada vez que movimenta-se a vírgula um algarismo para a direita, aumenta-se o expoente de 10 em uma unidade. Por outro lado, ao movimentar a vírgula um algarismo para a esquerda, o expoente de 10 é reduzido em uma unidade. Cálculos em notação científica Efetue os cálculos a seguir. a) 1,2 × 104 + 7,4 × 104 b) 3,5 × 103 + 6,91 × 105 c) 9,81 × 10-2 + 4,2 × 10-3 d) 2,83 × 109 − 1,4 × 107 e) 5,2 × 105 − 1,9 × 106 f) (2 × 106) . (4 × 103) g) (−6,1 × 105) .(3 × 10-2) h) (1,2 × 107): (4 × 105) i) (8 × 10-2):(2 × 10-4) Noções de álgebra O desenvolvimento do pensamento algébrico se expressa por abstrações e generalizações, especialmente as provenientes do estudo de regularidades e padrões, expressos e representados por uma linguagem simbólica cujo domínio proporciona a substituição, quando necessária, da linguagem usual pela linguagem matemática. 1. Produtos Notáveis a) Considere a figura abaixo e determine sua área. b) Determine a área da figura abaixo, decompondo a figura em função da medida dos seus lados. c) Representar geometricamente um quadrado de lado a. Do lado desse quadrado, subtrair um valor b. Pintar a região correspondente a 2( )a b− e encontrar a expressão que representa a área dessa região. Resumindo: a) O quadrado da soma de dois termos ( ) ( )( )=++=+ bababa 2 b) O quadrado da diferença de dois termos ( ) ( )( ) =−−=− bababa 2 c) O produto da soma pela diferença de dois termos ( )( ) =−+ baba d) O cubo da soma de dois termos ( ) ( )( ) =++=+ 23 bababa e) O cubo da diferença de dois termos ( ) ( )( ) =−−=− 23 bababa
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