Lista de exercícios de cálculo

Prévia do material em texto

LISTA EXERCÍCIOS 4 
4.1 Suponha que um pesquisador, usando dados sobre o tamanho da classe (CS) e as pontuações 
médias dos testes de 50 classes da terceira série, estima a regressão OLS 
 
a. Uma sala de aula tem 25 alunos. Qual é a previsão da regressão para essa pontuação média 
no teste da sala de aula? 
b. No ano passado uma sala de aula teve 21 alunos, e neste ano 24 alunos. Qual é a previsão da 
regressão para a mudança na média da sala de aula pontuação do teste? 
c. O tamanho médio da classe da amostra nas 50 salas de aula é de 22,8. O que é a média da 
amostra das pontuações dos testes nas 50 salas de aula? (Dica: Revise as fórmulas para os estimadores 
OLS.) 
d. Qual é o desvio padrão da amostra das pontuações dos testes entre as 50 salas de aula? (Dica: 
Revise as fórmulas para o R2 e REGRESSÃO LINEAR SIMPLES) 
4. 5 Um pesquisador realiza um experimento para medir o impacto de uma soneca curta para a 
memória. Existem 200 participantes e eles podem tirar uma soneca de 60 minutos ou 75 minutos. 
Depois de acordar, cada participante leva um breve teste para memória de curto prazo. Cada 
participante recebe aleatoriamente um dos tempos de exame, com base no lançamento de uma 
moeda. Deixe Yi denotar o número de pontos marcados no teste pelo i-ésimo participante (0 ... Yi ... 
100), deixe Xi denotar a quantidade de tempo que o participante dormiu antes de fazer o teste (Xi = 60 
ou 75), e considere o modelo de regressão Yi = β0 + βi Xi + ui. 
a. . Explique o que o termo ui representa. Por que diferentes participantes terão valores 
diferentes de ui? 
b. O que é E (ui | Xi )? Os coeficientes estimados são imparciais? 
c. Que preocupações o pesquisador pode ter sobre como garantir a conformidade entre os 
participantes? 
d. A regressão estimada é Yi = 55 + 0,17 Xi 
i) Calcule a previsão da regressão estimada para a média pontuação dos participantes que 
dormiram 60 minutos antes de fazer o teste. Repita por 75 minutos e 90 minutos 
ii) Calcule o ganho estimado em pontuação para um participante que recebe 5 minutos 
adicionais para tirar uma soneca. 
4.6 Mostre que a primeira suposição dos mínimos quadrados, E (ui |Xi) = 0, implica que 
E (Yi |Xi)= β0 + β1Xi 
 
5.1 Suponha um pesquisador, usando dados sobre o tamanho da classe (CS) e as pontuações 
médias dos testes de 50 classes da terceira série, estima a regressão OLS 
 
a. . Construa um intervalo de confiança de 95% para β1, o coeficiente da inclinação da regressão 
b. . Calcule o p-valor para o teste bilateral da hipótese nula 0. Você rejeita a hipótese nula no 
nível de 5%? No nível de 1%? 
c. . Calcule o p-valor para o teste bilateral da hipótese nula H0: β1 = -5,0. Sem fazer cálculos 
adicionais, determine se -5,0 está contido no intervalo de confiança de 95% para β0. 
d. Construa um intervalo de confiança de 90% para β0. 
5.4 Leia o quadro “O valor econômico de um ano de educação: homoscedasticidade ou 
heteroscedasticidade? ” na Seção 5.4. Use a regressão relatada na Equação (5.23) para responder o 
seguinte. 
a. Um trabalhador de 30 anos selecionado aleatoriamente relata um nível de educação de 16 
anos. Qual é o salário médio por hora esperado do trabalhador? 
b. Um graduado do ensino médio (12 anos de estudo) está pensando em ir para uma faculdade 
comunitária para um diploma de 2 anos. Quanto é esperado que o salário médio por hora deste 
trabalhador aumente? 
c. Um conselheiro de ensino médio diz a um aluno que, em média, os formados na faculdade 
ganham US $ 10 por hora a mais do que os formados no ensino médio. Esta declaração é consistente 
com a evidência de regressão? Qual intervalo de valores é consistente com a evidência de regressão? 
 
ANEXO – TEXTO “The Economic Value of a Year of Education: Homoskedasticity or 
Heteroskedasticity?” 
O valor econômico de um ano de educação: homoscedasticidade ou heteroscedasticidade? 
Em média, trabalhadores com mais escolaridade têm rendimentos mais elevados do que 
trabalhadores com menos Educação. Mas se os empregos mais bem pagos forem principalmente para 
os universitários, também pode ser que a propagação da distribuição de rendimentos é maior para os 
trabalhadores com mais educação. A distribuição dos rendimentos se espalha à medida que a 
educação aumenta? 
Esta é uma questão empírica, então respondê-la requer a análise de dados. A Figura 5.3 é um 
gráfico de dispersão dos ganhos por hora e o número de anos de educação para uma amostra de 2731 
trabalhadores em tempo integral nos Estados Unidos em 2015, com idades entre 29 e 30 anos, que 
possuem entre 8 e 18 anos de escolaridade. Os dados vêm da Pesquisa da População de março de 
2016, que é descrito no Apêndice 3.1. 
 
 
A Figura 5.3 tem duas características marcantes. A primeira é aquele a média da distribuição de 
ganhos aumenta com o número de anos de escolaridade. Este aumento é resumido pela linha de 
regressão OLS, 
 
Esta linha é traçada na Figura 5.3. O coeficiente de 2,37 na linha de regressão OLS significa que, 
em média, os ganhos por hora aumentam em $ 2,37 para cada ano adicional de educação. O intervalo 
de confiança de 95%para este coeficiente é 2,37 ±1,96 x 0,10, ou $ 2,17 a $ 2,57. 
A segunda característica marcante da Figura 5.3 é que a propagação da distribuição de ganhos 
aumenta com os anos de educação. Enquanto alguns trabalhadores com muitos anos de educação têm 
empregos mal remunerados, muito poucos trabalhadores com baixos níveis de educação têm 
empregos bem remunerados. Isso pode ser quantificado olhando na propagação dos resíduos em 
torno da linha de regressão OLS. Para trabalhadores com dez anos de escolaridade, o desvio padrão 
dos resíduos é $ 6,31; para trabalhadores com diploma de ensino médio, este padrão o desvio é $ 8,54; 
e para trabalhadores com faculdade, esse desvio padrão aumenta para $ 13,55. Como esses desvios-
padrão diferem para diferentes níveis de educação, a variância dos resíduos na regressão da Equação 
(5.23) depende do valor do regressor (os anos de estudo). Em outras palavras, os erros de regressão 
são heteroscedásticos. Em termos do mundo real, nem todos os graduados estar ganhando US$ 75 por 
hora quando chegarem aos 29, mas alguns o farão, e os trabalhadores com apenas dez anos de 
educação não têm chance de conseguir esses empregos.