fisica 3 exercios

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Aluno: MACLAUDIO BATISTA DE MORAIS Mat: 201911240001 
 
 
1ª Avaliação-27/07/2021 
Vetores, gradiente, divergente e rotacional. 
 
 
1. Considerando os vetores �⃗� = 3�̂� + 2𝑗̂ − 4�̂� e �⃗⃗� = 6�̂� − 2𝑗̂ − 6�̂� . Calcule 
o que se pede: 
a. O módulo dos dois vetores 
|�⃗�| = √32 + 22 + (−4)2 ⟹ |�⃗�| = √9 + 4 + 16 ⟹ 
|�⃗�| = √29 
|�⃗⃗�| = √62 + (−2)2 + (−6)2 ⟹ |�⃗⃗�| = √36 + 4 + 36 ⟹ 
|�⃗⃗�| = √76 
 
b. �⃗� × �⃗� 
�⃗� × �⃗� = |
�̂� 𝑗̂ �̂�
3 2 −4
3 2 −4
| 
�⃗� × �⃗� = (2. (−4) − (−4). 2)�̂� − (3. (−4) − (−4). 3)𝑗̂ + (3.2 − 2.3)�̂� ⟹ 
�⃗� × �⃗� = 0�̂� − 0𝑗̂ + 0�̂� ⟹ 
�⃗� × �⃗� = (0,0,0) ou �⃗� × �⃗� = 0⃗⃗ 
c. �⃗� − �⃗⃗� 
�⃗� − �⃗⃗� = 3�̂� + 2𝑗̂ − 4�̂� − (6𝑖̂ − 2𝑗̂ − 6�̂�) ⟹ 
�⃗� − �⃗⃗� = 3�̂� + 2𝑗̂ − 4�̂� − 6𝑖̂ + 2𝑗̂ + 6�̂� ⟹ 
�⃗� − �⃗⃗� = −3�̂� + 4𝑗̂ + 2�̂� 
 
d. Mostre que �⃗� ∙ �⃗� = 𝑎2 
note que 𝑎 = |�⃗�| então 𝑎2 = |�⃗�|2 
pela definição de produto escalar que �⃗� ∙ �⃗� = |�⃗�||�⃗�| cos 0° e cos 0° = 1 
|�⃗�| = √32 + 22 + (−4)2 ⟹ |�⃗�| = √9 + 4 + 16 ⟹ 
|�⃗�| = √29 
Daí |�⃗�|2 = 29 
�⃗� ∙ �⃗� = √29. √29. 1 = 29 
�⃗� ∙ �⃗� = (3�̂� + 2𝑗̂ − 4�̂�) ∙ (3𝑖̂ + 2𝑗̂ − 4�̂�) ⟹ 
�⃗� ∙ �⃗� = 9 + 4 + 16 ⟹ 
�⃗� ∙ �⃗� = 29 
Portanto produto escalar de um vetor por ele mesmo é igual ao seu módulo 
ao quadrado. 
2. Considerando que: 
{
𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃
 
 Mostre que, 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
Elevando toda equação ao quadrado e somando todos os termos teremos: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2(𝑠𝑒𝑛2𝜃. cos2 𝜑 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃. 𝑠𝑒𝑛2𝜑 + cos2 𝜃) ⟹ 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2(𝑠𝑒𝑛2𝜃(cos2 𝜑 + 𝑠𝑒𝑛2𝜑) + cos2 𝜃) 
Como cos2 𝜑 + 𝑠𝑒𝑛2𝜑 = 1 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2(𝑠𝑒𝑛2𝜃 + cos2 𝜃) 
Como 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + cos2 𝜃) = 1 
Daí Temos que: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2 ou 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
 
3. Calcule o gradiente das seguintes funções a seguir: 
a. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑦3𝑥2 + 2√𝑥𝑦𝑧 
sabemos que 
 (√𝑢)
′
=
1
2√𝑢
𝑢′ 
 
∇=
{
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥
(4𝑦3𝑥2 + 2√𝑥𝑦𝑧)
𝜕
𝜕𝑦
(4𝑦3𝑥2 + 2√𝑥𝑦𝑧)
 
𝜕
𝜕𝑧
(4𝑦3𝑥2 + 2√𝑥𝑦𝑧)
 
𝜕
𝜕𝑥
(4𝑦3𝑥2 + 2√𝑥𝑦𝑧) = 8𝑦3𝑥 + 2 ∙
1
2√𝑥𝑦𝑧
∙ 𝑦𝑧 ⟹ 
𝜕
𝜕𝑥
(4𝑦3𝑥2 + 2√𝑥𝑦𝑧) = 8𝑦3𝑥 +
𝑦𝑧
√𝑥𝑦𝑧
 
𝜕
𝜕𝑦
(4𝑦3𝑥2 + 2√𝑥𝑦𝑧) = 12𝑦2𝑥2 + 2 ∙
1
2√𝑥𝑦𝑧
∙ 𝑥𝑧 ⟹ 
𝜕
𝜕𝑥
(4𝑦3𝑥2 + 2√𝑥𝑦𝑧) = 12𝑦2𝑥2 +
𝑥𝑧
√𝑥𝑦𝑧
 
 
𝜕
𝜕𝑧
(4𝑦3𝑥2 + 2√𝑥𝑦𝑧) = 0 + 2 ∙
1
2√𝑥𝑦𝑧
∙ 𝑥𝑦 ⟹ 
𝜕
𝜕𝑧
(4𝑦3𝑥2 + 2√𝑥𝑦𝑧) =
𝑦
√𝑥𝑦𝑧
 
∇=
{
 
 
 
 8𝑦
3𝑥 +
𝑦𝑧
√𝑥𝑦𝑧
 
12𝑦2𝑥2 +
𝑥𝑧
√𝑥𝑦𝑧
 
 
𝑦
√𝑥𝑦𝑧
 
 
 
 
 
 
b. 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟2 sin(2𝜃) tan(2𝜑) 
(sin(𝑢))′ = cos 𝑢 . 𝑢′′ 
(tan𝑢)′ = sec2𝑢. 𝑢′ 
 
∇=
{
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2 sin(2𝜃) tan(2𝜑))
𝜕
𝜕𝜃
(𝑟2 sin(2𝜃) tan(2𝜑))
 
𝜕
𝜕𝜑
(𝑟2 sin(2𝜃) tan(2𝜑))
 
 
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2 sin(2𝜃) tan(2𝜑)) = 2𝑟 sin(2𝜃) tan(2𝜑) 
 
𝜕
𝜕𝜃
(𝑟2 sin(2𝜃) tan(2𝜑)) = 𝑟2 cos (2𝜃). 2 . tan(2𝜑) ⟹ 
𝜕
𝜕𝜃
(𝑟2 sin(2𝜃) tan(2𝜑)) = 2𝑟2 cos (2𝜃) . tan(2𝜑) 
 
𝜕
𝜕𝜑
(𝑟2 sin(2𝜃) tan(2𝜑)) = 𝑟2 sin(2𝜃) sec2(2𝜑) . 2 ⟹ 
𝜕
𝜕𝜑
(𝑟2 sin(2𝜃) tan(2𝜑)) = 2𝑟2 sin(2𝜃) sec2(2𝜑) 
∇= {
2𝑟 sin(2𝜃) tan(2𝜑)
2𝑟2 cos (2𝜃) . tan(2𝜑) 
 2𝑟2 sin(2𝜃) sec2(2𝜑)
 
 
4. Calcule a integral em coordenadas esféricas 
∫ ∫ ∫ 𝑟2 sin𝜑 𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟
𝑅
0
𝜋
0
2𝜋
0
 
∫ ∫
𝑟3 sin𝜑
3
⌈
𝑅
0
𝜋
0
2𝜋
0
𝑑𝜑𝑑𝜃 ⟹ 
𝑟3 sin𝜑
3
⌈
𝑅
0
⟹
𝑅3 sin𝜑 − 03 sin𝜑
3
= 𝑅3 sin𝜑 
∫ ∫
𝑅3 sin𝜑
3
𝜋
0
2𝜋
0
𝑑𝜑𝑑𝜃 ⟹ 
𝑅3
3
∫ ∫ sin𝜑
𝜋
0
2𝜋
0
𝑑𝜑𝑑𝜃 
∫ sin𝜑
𝜋
0
𝑑𝜑 = −(cos𝜑 ⌈
𝜋
0
) = −(cos𝜋 − cos 0) = −(−1 − 1) = 2 
𝑅3
3
∫ 2
2𝜋
0
𝑑𝜃 =
2𝑅3
3
(𝜃 ⌈
2𝜋 
0
) =
2𝑅3
3
(2𝜋 − 0) ∴ 
∫ ∫ ∫ 𝑟2 sin𝜑 𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟 =
4
3
𝜋𝑅3
𝑅
0
𝜋
0
2𝜋
0