Pesquisa Operacional - Modelagem

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PROFESSOR ANSELMO PESTANA 
RIBEIRO COSTA 
Pesquisa Operacional 
Apresentação da Disciplina 
 Metodologia de avaliação 
 Provas peso 80% 
 Trabalhos peso 20% 
 Disponibilidade do material de trabalho: 
 AVA 
O que veremos neste Material 
 Apresentação da Pesquisa Operacional 
 Conceito 
 Fases de um Estudo em P.O 
 Programação Linear 
 Modelo em Programação 
 Roteiro: 
 Exemplos 
 Exercícios 
Conteúdo Programático 
 O processo de modelagem e a tomada de decisão 
 Tipos de modelos 
 Processo de resolução de um problema 
 Modelos de programação matemática 
 Programação linear 
 Problemas de programação linear -Resolução gráfica 
 Problemas de programação linear -Resolução analítica 
 Programação linear e seus teoremas 
 Programação linear e a forma tabular O problema Dual 
Conteúdo Programático 
 Usando a programação linear no mundo real 
 Decisões do tipo fazer ou comprar 
 Escolha de carteira de investimentos 
 Problema de mistura de componentes 
 Problemas de produção e estoque 
 Escala de funcionários 
 Análise de sensibilidade 
 Alteração em um dos coeficientes da função objetivo 
 Alteração do valor da constante de restrição 
 Redução de custos 
 Soluções ótimas múltiplas 
 Solução degenerada 
 Teoria das Filas 
Introdução 
 Pesquisa Operacional 
 Operational Research(Inglaterra); 
 Operations Research(Estados Unidos) 
 Management Scienceou Decision Science 
 “Pesquisa Operacional (PO) é um método científico de 
tomada de decisões” (SILVA et al, 1998) 
 “Pesquisa Operacional(PO) é uma metodologia 
administrativa que agrega, em sua teoria, quatro ciências 
fundamentais para o processo de preparação, análise e 
tomada de decisão: economia, matemática, estatística e 
informática” (ANDRADE1998) 
 
Conceito 
 Pesquisa Operacional é um método científico de 
tomada de decisões. Em linhas gerais, consiste na 
descrição de um sistema organizado com o auxílio de 
um modelo, e através da experimentação com o 
modelo, na descoberta da melhor maneira de operar 
o sistema. 
Surgimento 
 A Pesquisa Operacional como a conhecemos surgiu 
durante a Segunda Guerra Mundial, resultado de 
estudos realizados por equipes interdisciplinares de 
cientistas contratados para resolver problemas 
militares de ordem estratégica e tática. 
Fases de um Estudo em P.O. 
Um estudo em Pesquisa Operacional costuma envolver 
seis fases: 
1. formulação do problema; 
2. construção do modelo do sistema; 
3. cálculo da solução através do modelo; 
4. teste do modelo e da solução; 
5. estabelecimento de controles da solução; 
6. implantação e acompanhamento. 
1 - formulação do problema 
 Nesta fase, o administrador do sistema e o responsável pelo 
estudo em P.O. deverão discutir, no sentido de colocar o 
problema de maneira clara e coerente, definindo os objetivos a 
alcançar e quais os possíveis caminhos alternativos para que isso 
ocorra. 
 Além disso, serão levantadas as limitações técnicas do sistema e 
as relações desse sistema com outros da empresa ou do ambiente 
externo, com a finalidade de criticar a validade de possíveis 
soluções em face destes obstáculos. 
 Deverá ainda ser acordada uma medida de eficiência para o 
sistema, que permita ao administrador ordenar as soluções 
encontradas, concluindo o processo decisório. 
2 - Construção do Modelo do Sistema 
 Os modelos que interessam em Pesquisa Operacional são os 
modelos matemáticos, isto é, modelos formados por um conjunto 
de equações e inequações. 
 Uma das equações do conjunto serve para medir a eficiência do 
sistema para cada solução proposta. É a função objetivo ou 
função de eficiência. 
 As outras equações geralmente descrevem as limitações ou 
restrições técnicas do sistema. 
 As variáveis que compõem as equações são de dois tipos: 
 Variáveis controladas ou de decisão 
 Variáveis não controladas 
Variáveis controladas ou de decisão 
 São variáveis cujo valor está sob controle do 
administrador. 
 Decidir, neste caso, é atribuir um particular valor a 
cada uma dessas variáveis. 
 Numa programação de produção, por exemplo, a 
variável de decisão é a quantidade a ser produzida 
em um determinado período, o que compete ao 
administrador controlar. 
Variáveis não controladas 
 São as variáveis cujos valores são arbitrados por sistemas fora do 
controle do administrador. 
 Custos de produção, demanda de produtos, preço de mercado são 
variáveis não controladas. 
Um bom modelo é aquele que tem desempenho suficientemente próximo 
do desempenho da realidade e é de fácil experimentação. Essa 
proximidade desejada é variável, dependendo do objetivo proposto. 
Um bom modelo para um objetivo pode ser péssimo para outro. 
A fidelidade de um modelo é aumentada à medida que ele incorpora 
características da realidade, com a adição de novas variáveis. Isso 
aumenta sua complexidade, dificultando a experimentação, o que nos 
leva a considerar o fator custo-benefício quando pensamos em melhorar 
o desempenho de um modelo. 
Um Bom Modelo 
3 - Cálculo da solução através do modelo 
 É feito através de técnicas matemáticas específicas. A 
construção do modelo deve levar em consideração a 
disponibilidade de uma técnica para o cálculo da 
solução. 
4 - Teste do modelo e da solução 
 Esse teste é realizado com dados empíricos do sistema. 
Se houver dados históricos, eles serão aplicados no 
modelo, gerando um desempenho que pode ser 
comparado ao desempenho observado no sistema. 
 Se o desvio verificado não for aceitável, a reformulação 
ou mesmo o abandono do modelo será inevitável. 
 Caso não haja dados históricos, os dados empíricos 
serão anotados com o sistema funcionando sem 
interferência, até que o teste possa ser realizado. 
5 - Estabelecimento de controles da solução 
 A construção e experimentação com o modelo 
identificam parâmetros fundamentais para solução 
do problema. 
 Qualquer mudança nesses parâmetros deverá ser 
controlada para garantir a validade da solução 
adotada. 
 Caso alguns desses parâmetros sofra desvio além do 
permitido, o cálculo de nova solução ou mesmo a 
reformulação do modelo poderá ser necessária. 
6 - Implementação e acompanhamento 
 Nesta fase, a solução será apresentada ao 
administrador, evitando-se o uso da linguagem 
técnica do modelo. 
 O uso da linguagem do sistema em estudo facilita a 
compreensão e gera boa vontade para a implantação 
que está sendo sugerida. 
 Essa implantação deve ser acompanhada para se 
observar o comportamento do sistema com a solução 
adotada. 
 Algum ajuste pode ser requerido. 
Programação Linear 
Modelo em Programação Linear 
 Uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de 
problemas em Pesquisa Operacional é a 
programação linear. 
 A simplicidade do modelo envolvido e a 
disponibilidade de uma técnica de solução 
programável em computador facilitam sua aplicação. 
 As aplicações mais conhecidas são feitas em sistemas 
estruturados, como os de produção, finanças, 
controles de estoques etc. 
Programação Linear 
A Programação Linear (PL) é uma técnica de pesquisa 
operacional utilizada para apoio de decisões, visando à 
otimização de sistemas reais através de modelos formados 
por um conjunto de equações e inequações lineares. Sistemas 
são entendidos como um conjunto de recursos (máquinas, 
pessoas, insumos, horas de trabalho e etc.) agrupados para 
atingir os objetivos de uma determinada organização. 
Programação Linear 
Em pesquisa operacional, os modelos são representações de 
sistemas reais, utilizados para estudar ou analisar alternativas 
variadas aos mesmos. Os modelos podem ser 
icônicos(imagens), analógicos(gráficos) ou 
simbólicos(equações/inequações). 
Programação Linear 
O objetivo de um modelo de programação linear é encontrar 
os valores das variáveis de decisão que maximizam ou 
minimizam uma determinada função objetiva, sujeita a um 
conjunto de restrições,onde todas as variáveis do problema 
são maiores ou iguais a zero. 
Programação Linear 
Tanto a função objetivo, quanto as restrições, são 
representadas por equações e inequações lineares. Os valores 
das variáveis de decisão representam os níveis de atividades 
de uma determinada organização: quantidade de produtos a 
serem fabricados, quantidade de insumos a serem utilizados e 
etc. 
Forma de Modelo de programação Linear 
Um modelo de programação linear tem a seguinte forma: 
Max F.O = c1x1 + c2x2 + c3x3 + --------- + cnxn 
Ou 
Min F.O = c1x1 + c2x2 + c3x3 + --------- + cnxn 
Sujeito a: 
a11x1 + a12x2 + ------ + a1nxn {<, ≤,=, >, ≥} b1 
a21x1 + a22x2 + ------ + a2nxn {<, ≤, ==, ≥} b2 
am1x1 + am2x2 + ------ + amnxn {<, ≤, =, >, ≥} bm 
x1 ≥ 0, x2 ≥0, ----------- xn ≥ 0 
Forma de Modelo de programação Linear 
xj: é a variável de decisão ou o nível de atividade a ser 
determinado; 
cj: é o custo ou lucro unitário; 
cjxj: custo ou lucro total da quantidade xj; 
bj: valor limitante, referente à restrição j; 
aij: coeficiente que representa a contribuição unitária da 
alternativa j a restrição i. 
Pressuposto de um Problema de Programação Linear 
(PPL) 
Proporcionalidade: a função objetiva e as restrições são 
proporcionais aos coeficientes cjxj e aijxj. O modelo não considera a 
economia de escala. 
2- Aditividade: os efeitos de cada atividade são somados: ∑ cixj e 
∑ aijxj. 
3- Divisibilidade: as variáveis de decisão podem assumir valores 
fracionários. 
4- Determinismo: não incorpora a natureza probabilística dos 
custos e da demanda. 
Modelo Matemático 
 O modelo matemático de programação linear é 
composto de um função objetiva linear; e de 
restrições técnicas representadas por um grupo de 
inequações também lineares. 
Exemplo 
 Função objetivo a ser maximizada: 
 Lucro = 2x1 + 3x2 
 
 
Exemplo 
 As variáveis controladas ou variáveis de decisão são x1 e x2. 
 A função objetivo ou função e eficiência mede o 
desempenho do sistema, no caso a capacidade de gerar 
lucro, para cada solução apresentada. 
 O objetivo é maximizar o lucro. 
 As restrições garantem que essas soluções estão de acordo 
com as limitações técnicas impostas pelo sistema. 
 As duas últimas restrições exigem a não negatividade das 
variáveis de decisão, o que deverá acontecer sempre que a 
técnica de abordagem for a de programação linear. 
Construindo o Modelo Matemático 
 A construção do modelo matemático, no caso um 
modelo linear, é a parte mais complicada de nosso 
estudo. Não há regra fixa para esse trabalho, mas 
podemos sugerir um roteiro que ajuda a ordenar o 
raciocínio. 
CO NSTRU I NDO O MO DE LO MA TE MÁ TI CO 
(LI NE A R) 
Roteiro 
a) Quais as variáveis de decisão? 
 Aqui o trabalho consiste em explicitar as decisões que 
devem ser tomadas e representar as possíveis decisões 
através de variáveis chamadas variáveis de decisão. Se o 
problema é de programação de produção, as variáveis de 
decisão são as quantidades a produzir no período; se for um 
problema de programação de investimento, as variáveis vão 
representar as decisões de investimento, isto é, quanto 
investir em cada oportunidade de investimento, e em que 
período. Nas descrições sumárias de sistemas, isso fica 
claro quando lemos a questão proposta, isto é, a pergunta 
do problema. 
b) Qual o objetivo? 
 Aqui devemos identificar o objetivo da tomada de 
decisão. Eles aparecem geralmente na forma da 
maximização de lucros ou receitas, minimização de 
custos, perdas etc. A função objetivo é a expressão 
que calcula o valor do objetivo (lucro, custo, receita, 
perda etc.), em função das variáveis de decisão. 
c) Quais as restrições? 
 Cada restrição imposta na descrição do sistema deve 
ser expressa como uma relação linear (igualdade ou 
desigualdade), montadas com as variáveis de 
decisão. 
VE J A MO S A G O RA SI TU A ÇÕ E S Q U E PO DE M SE R 
DE SCRI TA S CO M O A U XÍ LI O DE U M MO DE LO 
LI NE A R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL – INTRO DUÇÃO A PL 
Situações Reais 
Plano de Produção 
 Qual é o plano de produção para que a empresa 
maximize seus lucros nos itens apresentados? 
 Construa o modelo de programação linear para o 
caso a seguir. 
Fábrica de Produtos 
 Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. 
 O lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e 
o lucro unitário de P2 é de 1.800 unidades monetárias. 
 A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e 
de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. 
 O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 
horas. 
 A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais 
para P1 e 30 unidades anuais para P2. 
Quais as variáveis de decisão? 
 O que deve ser decidido é o plano de produção, isto é, quais as 
quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2. 
 Portanto, as variáveis de decisão serão x1 e x2 
 x1 → quantidade anual a produzir de P1 
 x2 → quantidade anual a produzir de P2. 
 Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. 
 O lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro 
unitário de P2 é de 1.800 unidades monetárias. 
 A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas 
para fabricar uma unidade de P2. 
 O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. 
 A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 
unidades anuais para P2. 
Qual o objetivo? 
 O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser 
calculado: 
 Lucro devido a P1: 1.000 . x1 (lucro por unidade de P1 x quantidade 
produzida de P1) 
 Lucro devido a P2: 1.800 . x2 (lucro por unidade de P2. x 
quantidade produzida de P2) 
 Lucro total: L = 1.000 . x1 + 1.800 . x2 
 Objetivo: maximizar L = 1.000 . x1 + 1.800 . x2 
 Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. 
 O lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário de 
P2 é de 1.800 unidades monetárias. 
 A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para 
fabricar uma unidade de P2. 
 O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. 
 A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 
unidades anuais para P2. 
As restrições impostas pelo sistema 
 Disponibilidade de horas para a produção: 1.200 horas. 
 horas ocupadas com P1: 20x1 (uso por unidade x quantidade 
produzida) 
 horas ocupadas com P2: 30x2 (uso por unidade x quantidade 
produzida) 
 Total em horas ocupadas na produção: 20x1 + 30x2 disponibilidade: 
1.200 horas. 
 Restrição descritiva da situação: 20x1 + 30x2 ≤ 1.200 
 Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. 
 O lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é 
de 1.800 unidades monetárias. 
 A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para 
fabricar uma unidade de P2. 
 O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. 
 A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades 
anuais para P2. 
As restrições impostas pelo sistema 
 Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda) 
 Disponibilidade para P1: 40 unidades 
 Quantidade a produzir de P1: x1 
 Restrição descritiva da situação: x1 ≤ 40 
 Disponibilidade para P2: 30 unidades 
 Quantidade a produzir de P2: x2 
 Restrição descritiva da situação: x2 ≤ 30 
 Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. 
 O lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro 
unitário de P2 é de 1.800 unidades monetárias. 
 A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas 
para fabricar uma unidade de P2. 
 O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. 
 A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuaispara P2. 
Resumo do modelo 
 
Exemplo Dieta 
 Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. 
A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de 
proteínas de 36 unidades por dia. 
 Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. 
 Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de 
proteínas. 
 Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de 
proteínas. 
 Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para 
suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo 
possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada 
unidade de ovo custa 2,5 unidades monetárias. 
a) Quais as variáveis de decisão? 
 Devemos decidir quais as quantidades de carne e 
ovos a pessoa deve consumir no dia. As variáveis de 
decisão serão, portanto: 
 x1 → quantidade de carne a consumir no dia 
 x2 → quantidade de ovos a consumir no dia 
Quais as 
variáveis 
de 
decisão? 
Qual o 
objetivo? 
Quais as 
restrições? 
b) Qual o objetivo? 
 O objetivo é minimizar o custo, que pode ser calculado: 
 Custo devido à carne: 3 . x1 (custo por unidade x 
quantidade a consumir de carne) 
 Custo devido aos ovos: 2,5 . x2 (custo por unidade x 
quantidade a consumir de ovos) 
 Custo total: C = 3x1 + 2,5x2 
 Objetivo: minimizar C = 3x1 + 2,5x2 
Quais as 
variáveis 
de 
decisão? 
Qual o 
objetivo? 
Quais as 
restrições
? 
c) Quais as restrições? 
 As restrições impostas pelo sistema são: 
 Necessidade mínima de vitamina: 32 unidades 
 vitamina de carne: 4 . x1 (quantidade por unidade x unidades de carne a consumir) 
 vitamina de ovos: 8 . x2 (quantidade por unidade x unidades de ovos a consumir) 
Total de vitaminas: 4x1 + 8x2 
Necessidade mínima: 32 
Restrição descritiva da situação: 4x1 + 8x2 ≥ 32 
 
 Necessidade mínima de proteína: 36 unidades 
 Proteína de carne: 6 . x1 (quantidade por unidade x unidades de carne a consumir) 
 Proteína de ovos: 6 . x2 (quantidade por unidade x unidades de ovos a consumir) 
Total de proteínas: 6x1 + 6x2 
Necessidade mínima: 36 
Restrição descritiva da situação: 6x1 + 6x2 ≥ 36 
Quais as 
variáveis 
de 
decisão? 
Qual o 
objetivo? 
Quais as 
restriçõe
s? 
Resumo do modelo 
 
CO NSTRU I R O MO DE LO MA TE MÁ TI CO DE 
PRO G RA MA ÇÃ O LI NE A R DO S SI STE MA S 
DE SCRI TO S. 
Exercícios 
1) O sapateiro 
 Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente 
sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. 
Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 
unidade de sapato e 1 unidade couro para fabricar 
uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total 
disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro 
unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o 
do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o 
modelo do sistema de produção do sapateiro, se o 
objetivo é maximizar seu lucro por hora. 
Solução 
x 1 → número de sapatos/hora 
x 2 → número de cintos/hora 
Quais as 
variáveis de 
decisão? 
máximo lucro = 5x 1 + 2x 2 
Qual o 
objetivo? 
Se são 6 sapatos por hora, isto significa que ele gasta 10 minutos para 
cada sapato, do mesmo jeito se são 5 cintos por hora ele gasta 12 
minutos para fazer cada cinto. 
Logo lembrando que 1h = 60 minutos temos: 10x1 + 12x2 ≤ 60 
Também foi tido que ele gasta 2 unidades de couro para fazer um 
sapato e 1 unidade para fazer o cinto se ele dispõe de 6 unidades de 
couro no total, temos: 2x 1 + 1x 2 ≤ 6 
Quais as 
restrições? 
Modelo completo 
 
2) Fábrica 
 Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por 
unidade de P1 é de 100 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 
150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma 
unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O 
tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 
horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram 
a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e 
P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades 
de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção 
mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 
Solução 
x1 → quantidade mensal a produzir de P1 
x2 → quantidade mensal a produzir de P2. 
Quais as 
variáveis de 
decisão? 
maximizar L = 100 . x1 + 150x2 
Qual o 
objetivo? 
 Se a empresa necessita de 2 horas para fabricar cada P1 
e 3 horas para fabricar cada P2 e dispõe de no máximo 
120 horas, temos: 2𝑥1+3𝑥2≤120 
Também foi tido que as demandas esperadas de P1 é de 
40, logo: x1 ≤ 40 E que a demanda de P2 é de 30,logo 
temos: x2 ≤ 30 
Quais as 
restrições? 
Modelo completo 
 
3) Vendedor de frutas 
 Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas 
de frutas para sua região de vendas. Ele necessita 
transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro 
por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 
u.m. de lucro por caixa, e no "máximo 200 caixas de 
tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que 
forma deverá ele carregar o caminhão para obter o 
lucro máximo? Construa o modelo do problema. 
Solução 
x1 → Quantidade de caixas de pessegos 
X2 → Quantidade de caixas de tangerinas Quais as 
variáveis de 
decisão? 
Máximo Lucro = 10x1 + 30x2 + 4.000 
Qual o 
objetivo? 
Como o caminhão comporta 800 caixas e 200 são de laranja, então o 
número de caixas de pêssego e tangerina somados deve ser de no máximo 
600, temos: x1 + x2 ≤ 600 
Como ele tem que levar no mínimo 100 caixas de pêssego, temos: 
x1 ≥ 100 
E que deve levar no máximo 200 caixas de tangerina, temos: 
x2 ≤ 200 
Quais as 
restrições? 
Modelo completo 
 
4) Rede de Televisão 
 Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi 
descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música 
e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 
telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos 
de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 
10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o 
patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para 
sua propaganda e que não há verba para mais de 80 
minutos de música. Quantas vezes por semana cada 
programa deve ser levado ao ar para obter o número 
máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema. 
Modelo completo 
 
5) Fábrica de Cintos 
 Um empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O 
modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo 
de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos 
fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 
unidades por dia. A disponibilidade de couro permite 
fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos 
empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é 
de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $ 
4,00 para M1 e $ 3,00 para M2. Qual o programa ótimo de 
produção que maximize o lucro total diário da empresa? 
 Modelo completo. 
 
6) Processo de Racionalização 
 Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou 
com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo 
sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 
produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento 
de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 
daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 150,00 por unidade. O 
departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de 
recursos. 
 
 
 
 
 Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? 
Construa o modelo do sistema. 
Solução 
x1 → quantidade a produzir de P1 
x2 → quantidade a produzir de P2 
Quais as 
variáveis de 
decisão? 
máximo lucro = 120x 1 + 150x2 
Qual o 
objetivo? 
A primeira restrição diz respeito a disponibilidade de recurso 1, 
informação dada na tabela que é de no máximo 100 por mês, 
Assim: 2x 1 + 4x 2 ≤ 100 
A segunda restrição diz respeito a disponibilidade de recurso 2, 
informação dadana tabela que é de no máximo 90 por mês, 
Assim: 3x 1 + 2x 2 ≤ 90 
A terceira restrição diz respeito a disponibilidade de recurso 3, 
informação dada na tabela que é de no máximo 120 por mês, 
Assim: 5x 1 + 3x 2 ≤ 120 
Quais as 
restrições? 
Modelo Completo 
7) Fazendeiro 
 Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades 
produtivas: 
 A (Arrendamento) - Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-
açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 
300,00 por alqueire por ano. 
 P (Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das 
pastagens requer adubação (100 kg/Alq) e irrigação (100.000 L de água/Alq) por ano. O 
lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por ano. 
 S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 
200 kg por alqueire de adubos e 200.000 L de água/Alq para irrigação por ano. O lucro 
estimado nessa atividade é de $ 500,00/alqueire no ano. 
 Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 L de água 14.000 kg de adubo 100 
alqueires de terra. 
 Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor 
retorno? Construa o modelo de decisão. 
Solução 
x 1 → alqueires para arrendamento 
x 2 → alqueires para pecuária 
x 3 → alqueires para soja 
Quais as 
variáveis de 
decisão? 
máximo lucro = 300x 1 + 400x 2 + 500x 3 
Qual o objetivo? 
A primeira restrição diz respeito a quantidade de alqueires 
disponível, assim: x 1 + x 2 + x 3 ≤ 100 
A segunda restrição diz respeito a distribuição de adubo por 
atividade, assim: 100x 2 + 200x 3 ≤ 14.000 
A terceira restrição diz respeito a distribuição de água por 
atividade, assim: 
100.000x 2 + 200.000x 3 ≤ 12. 750.000 
Quais as 
restrições? 
Modelo Completo 
8) Marketing 
 O departamento de marketing de uma empresa estuda a 
forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de 
seus dois produtos P1 e P2. As alternativas são: 
 a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo 
ramo. Esse programa requer um investimento mínimo de $3.000,00 e deve 
proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada 
$1.000,00 investidos. 
 b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $1.000,00 
investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que 
para P2 o retorno é de 10%. 
 c) A empresa dispõe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto 
deverá destinar a cada atividade? 
 Construa o modelo do sistema descrito. 
Solução 
x 1 → quantidade em $ 1. 000 para programa institucional 
x 2 → quantidade em $ 1. 000 diretamente em P1 
x 3 → quantidade em $ 1. 000 diretamente em P2 
Quais as variáveis de 
decisão? 
mínimo custo = 1. 000x 1 + 1. 000x 2 + 1. 000x 3 
Qual o objetivo? 
Usaremos aqui representar cada 1.000 como 1 unidade. Assim: A 
primeira restrição diz respeito ao programa institucional onde se 
deve investir pelo menos 3.000, assim: x 1 ≥ 3 
 A segunda restrição diz respeito o produto P1, com o programa 
institucional com aumento de 3%, mais a divulgação direta onde 
teremos um aumento de 4%, com um retorno percentual esperado de 
no mínimo 30%,, assim: 3x 1 + 4x 2 ≥ 30 
 A Terceira restrição diz respeito o produto P2, com o programa 
institucional com aumento de 3%, mais a divulgação direta onde 
teremos um aumento de 10%, com um retorno percentual esperado 
de no mínimo 30% também, assim: 3x 1 + 10x 3 ≥ 30 
 A quarta restrição fala do total que a empresa tem para investir, no 
máximo 10.000, logo temos:x 1 + x 2 + x 3 ≤ 10 
Quais as 
restrições? 
Modelo completo 
9) liga especial 
 Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida 
usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais 
recuperados: Material Recuperado 1 -MR1- Composição: Custo por kg: $ 0,20 
ferro - 60% carvão -20% silício - 20% 
 Material Recuperado 2 - MR2 - Composição: Custo por kg: $ 0,25 ferro - 70% 
carvão - 20% silício - 5% níquel -5% 
matéria-prima % mínima % Máxima % 
Ferro 60 65 
Carvão 15 20 
Silício 15 20 
Niquel 5 8 
A liga deve ter a seguinte composição final: 
• O custo dos materiais puros são (por kg): ferro: $ 0,30; carvão: $ 0,20; silício: 
$ 0,28; níquel: $ 0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos 
dos materiais disponíveis, com menor custo por kg? Construa o modelo de 
decisão. 
Solução 
→ quantidade de MR1 na mistura 
→ quantidade de MR2 na mistura 
→ quantidade de ferro puro na mistura 
→ quantidade de carvão na mistura 
→ quantidade de silício na mistura 
→ quantidade de níquel na mistura 
Quais as variáveis de decisão? 
mínimo custo = 0, 20x 1 + 0, 25x 2 + 0, 30x 3 + 0, 20x 4 + 0, 28x 5 + 0, 50x 6 Qual o objetivo? 
A primeira e segunda restrições, dizem respeito quantidade de ferro na mistura trabalhando com o mínimo e com o 
máximo, assim, no MR1 temos 60% = 0,6 de ferro no MR2 temos 70%=0,7 de ferro e temos 100%=1 na mistura pura 
(lógico), logo podemos representar a quantidade de ferro na liga: 
Mínimo: 0, 6x 1 + 0, 7x 2 + x 3 ≥ 0, 60 
Máximo: 0, 6x 1 + 0, 7x 2 + x 3 ≤ 0, 65 
A terceira e quarta restrições dizem respeito quantidade de Carvão na mistura trabalhando com o mínimo e com o 
máximo, assim, no MR1 temos 20% = 0,2 de Carvão no MR2 temos 20%=0,2 de Carvão e temos 100%=1 na mistura pura 
(lógico), logo podemos representar a quantidade de Carvão na liga: 
Mínimo: 0, 2x 1 + 0, 2x 2 + x 4 ≥ 0, 15 
Máximo: 0, 2x 1 + 0, 2x 2 + x 4 ≤ 0, 20 
A quinta e sexta restrições dizem respeito quantidade de silício na mistura trabalhando com o mínimo e com o máximo, 
assim, no MR1 temos 20% = 0,2 de silício no MR2 temos 5%=0,05 de silício e temos 100%=1 na mistura pura (lógico), 
logo podemos representar a quantidade de silício na liga: 
Mínimo: 0, 2x 1 + 0, 05x 2 + x 5 ≤ 0, 20 
Máximo: 0, 2x 1 + 0, 05x 2 + x 5 ≥ 0, 15 
A sétima e oitava restrições dizem respeito quantidade de níquel na mistura trabalhando com o mínimo e com o máximo, 
assim, no MR2 temos 5%=0,05 de níquel e temos 100%=1 na mistura pura (lógico), logo podemos representar a 
quantidade de níquel na liga desta maneira: 
Mínimo: 0, 05x 2 + x 6 ≤ 0, 08 
Máximo:0, 05x 2 + x 6 ≥ 0, 05 
A nona restrição é a mistura de tudo que no final dará 100%=1, da liga desejada. 
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 1 
Quais as 
restrições? 
 Modelo completo. 
 
x1→ quantidade de MR1 na mistura 
x2→ quantidade de MR2 na mistura 
x3→ quantidade de ferro puro na mistura 
x4→ quantidade de carvão na mistura 
x5→ quantidade de silício na mistura 
x6→ quantidade de níquel na mistura 
Rede de Depósitos 
 Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que 
devem ser abastecidas com 50m3 (loja 1), 80m3 (loja 2), 40m3 
(loja 3) e 100m3 (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser 
carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas estão 
no quadro (em km): 
O caminhão pode transportar 10m³ por viagem. Os portos tem areia 
para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que 
minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas e supra as 
necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema. 
Solução 
 a) Quais são as variáveis de decisão? 
 x 11 → número de viagens do P1 a L1 
 x 12 → número de viagens do P1 a L2 
 x 13 → número de viagens do P1 a L3 
 x 14 → número de viagens do P1 a L4 
 x 21 → número de viagens do P2 a L1 
 x 22 → número de viagens do P2 a L2 
 x 23 → número de viagens do P2 a L3 
 x 24 → número de viagens do P2 a L4 
 x 31 → número de viagens do P3 a L1 
 x 32 → número de viagens do P3 a L2 
 x 33 → número de viagens do P3 a L3 
 x 34 → número de viagens do P3 a L4 
 
Qual é a função objetivo? 
 mínimo custo = 30x11 + 20x12 + 24x13 + 18x14 + 
12x21 + 36x22 + 30x23 + 24x24 + 8x31 + 15x32 + 
25x33 + 20x34 
Quais são as restrições técnicas? 
 Como cada caminhão podetransportar 10m3 usaremos, 
10m3 = 1 unidade. 
 A primeira restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 1 
necessita, que é de 50m3 , portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: x11 + x21 + x31 = 5 
 A segunda restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 2 
necessita, que é de 80m 3, portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: x12 + x22 + x32 = 8 
 A terceira restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 3 
necessita, que é de 40m 3, portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: x13 + x23 + x33 = 4 
 A quarta restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 4 
necessita, que é de 100m 3, portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: x14 + x24 + x34 = 10 
 A primeira restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 1 
necessita, que é de 50m3 , portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: x11 + x21 + x31 = 5 
 A segunda restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 2 
necessita, que é de 80m 3, portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: x12 + x22 + x32 = 8 
 A terceira restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 3 
necessita, que é de 40m 3, portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: x13 + x23 + x33 = 4 
 A quarta restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 4 
necessita, que é de 100m 3, portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: x14+ x24 + x34 = 10 
 
Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser negativa de nenhum dos 
produtos, logo: 
restrições de não negatividade {x ij ≥ 0, com i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4 
Esportes Radicais 
 A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em 
duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 
100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e 
a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um 
dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, 
enquanto na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta 
requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar 
toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada 
pára-quedas é de R$60,00 e para cada asa-delta vendida é de 
R$40,00, encontre a programação de produção que maximize o 
lucro da Esportes Radicais S/A. 
 
 
Solução 
 x1 – Quantidade de Pára-Quedas a serem produzidos 
 x2 – Quantidade de Asa Deltas a serem produzidos 
 Max Z = 60x1 + 40x2 
 st 
 10x1 + 10x2 ≤ 100 
 3x1 + 7x2 ≤ 42 
 x1, x2 ≥ 0 
 
Bebida Energética 
 A empresa Have Fun S/A produz uma bebida energética muito consumida pelos 
freqüentadores de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação 
da bebida são soluções compradas de laboratórios terceirizados - solução Red e solução 
Blue - e que provêem os principais ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná e 
cafeína. 
 A companhia quer saber quantas doses de 10 mililitros de cada solução deve incluir em 
cada lata da bebida, para satisfazer às exigências mínimas padronizadas de 48 gramas 
de extrato de guaraná e 12 gramas de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o custo de 
produção. 
 Por acelerar o batimento cardíaco, a norma padrão também prescreve que a quantidade 
de cafeína seja de, no máximo, 20 gramas por lata. 
 Uma dose da solução Red contribui com 8 gramas de extrato de guaraná e 1 grama de 
cafeína, enquanto uma dose da solução Blue contribui com 6 gramas de extrato de 
guaraná e 2 gramas de cafeína. 
 Uma dose de solução Red custa R$0,06 e uma dose de solução Blue custa R$ 0,08. 
 
Solução 
x1 – Doses de Solução Red por lata 
x2 – Doses de Solução Blue por lata 
 
min 0.06x1+0.08x2 
st 
8x1+6x2 >= 48 (mínimo de extrato de guaraná) 
X1 +2x2 >=12 (mínimo de cafeína 
X1 +2x2 <=20 (máximo de cafeína 
x1,x2 >=0