Fisca-pressão

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Pressão
Julimar Simões de Paula
Notas de FísicaNotas de Física
Termodinâmica Estatística
Pressão
Notas de Física
Termodinâmica Estatística
Pressão
A pressão é uma propriedade muito 
importante no estudo da Termodinâmica. 
Sabendo disso, construiremos juntos, a 
expressão da pressão de um gás ideal em 
um sistema a partir de seus constituintes. A 
ideia aqui é assumir que os parâmetros 
macroscópicos como a pressão do gás, 
podem ser determinados a partir de 
parâmetros microscópicos, como a 
velocidade das partículas que o constituem. 
Essa construção será possível pelo uso da 
estatística, o que nos leva à abordagem da 
termodinâmica estatística. Sendo assim, o 
modelo que iremos trabalhar será o 
assembler canônico; estrutura que garante 
que a forma como as velocidades das 
partículas irão se comportar é pela 
densidade de probabilidade de maxwell- 
boltzmann.
Pressão
Para começar efetivamente nosso 
trabalho, iremos propor algumas 
considerações. Trabalharemos com um gás 
muito simples. Esse gás está preso dentro 
de um recipiente. Ele é composto de um 
único tipo de material, ou seja, todos as 
partículas que o compõem tem a mesma 
massa m. Esse gás é suficientemente 
rarefeito para não precisarmos nos 
preocupar com interações entre seus 
constituintes. ou seja ele é um gás ideal.
Continuando, sabemos que a pressão e 
dada por 
P = dF/dA (1).
Portanto, para encontrarmos qual é a força 
média que atua sobre as paredes do 
recipiente escolhido, precisaremos saber o 
número de partículas que têm as condições 
de colidir com esse recipiente em um 
intervalo de tempo dt . Para isso usaremos 
a construção da figura a seguir.
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R
dV
dA
Figura 1: Aqui temos um pequeno elemento 
de área dA. Esse elemento está cercado por 
uma densidade de partículas n. Usaremos 
dV como elemento de volume para 
contabilizar as partículas. R determinará a 
região onde as partículas serão contadas.
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De modo mais específico, estamos 
contando os elementos a uma distância 
r<R, em um volume muito pequeno que 
atravessam a área dA com velocidade entre 
v e v + dv.
Para resolver esse problema, nós iremos 
dividi-lo por partes, e cada parte está 
relacionada a uma condição imposta pelo 
problema.
1) Existe um certo número de elementos 
em dV.
2) só podem chegar em dA os elementos de 
dV que tem velocidade apontando na 
direção de dA.
3) para calcular o numero de elementos 
com velocidade entre v e v + dv, assumimos 
a probabilidade de um elemento de dV ter 
velocidade entre esses valores. 
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A sim, a partir da condição 1, nos resta 
encontrar qual o número de elementos no 
interior de dV. Vejamos a Figura 2 abaixo
Temos que no volume dV teremos uma 
quantidade de partículas 
Ne(V) = n dV (2)
conforme o desenho, escolhemos para 
representar dV coordenadas esféricas, de 
modo que
R
dV
z
x
Figura 2.
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dV = R²sen(θ)drdθdφ.
Assim, o número de elementos Ne(V) entre 
V + V+dV é
Ne(V) = nR²sen(θ)drdθdφ. (3)
Agora encontraremos proporção dos 
elementos em dV que apontam no sentido 
de dA. Novamente iremos trabalhar com 
uma figura.
dA
z
dAcos(θ)
Figura 3.
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Note que a medida que θ se afasta do eixo 
z mais difícil de um elemento em dV 
acertar em cheio dA. Isso ocorre por que 
apesar de dA ser constante, a área efetiva 
de secção reta diminui com θ. Logo o 
número de elementos que chegam a dA é 
diretamente proporcional a dAcos(θ). 
Figura 4.
dAcos(
θ)
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Apesar disso, a área efetiva captura 
apenas uma parte de todos elementos. As 
partículas restantes podem fugir por 
outras direções em torno de dV (Figura 4). 
Sabendo que a área de escape total é o a 
esfera centrada em dV de raio R, a 
proporção dos elementos que chegam a dA 
será dada por 
PA = dAcos(θ)/ 4πR² (4)
Prosseguindo verificaremos a 
probabilidade de um elemento ter uma 
velocidade entre v e v + dv. Essa é a parte 
mais direta, essa propriedade será a 
distribuição de velocidade medida 
empiricamente para o problema. Como 
assumimos que esse problema faz parte de 
um sistema macroscópico canônico 
usaremos para definir a distribuição de 
velocidades a distribuição de 
Maxwell-Boltzmann.
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f(v)dv = (4m/2kBT√π) × (v²e^(mv²/2kBT))dv 
(5)
Agora basta apenas fazer o produto das 
grandezas encontrada até agora:
N° = Ne(V)dV×PA×f(v)dv 
N°=n×sen(θ)drdθdφ×dA(cos(θ)/ 4π) × f(v)dv 
(6)
Sabendo que as grandezas tem que esta 
dentro da esfera r<R assumiremos que dr 
= vdt. Sendo assim, Substituindo em N° 
teremos
N° = n.sen(θ)v dtdθdφ×dA(cos(θ)/4π)×f(v)dv 
(7)
Apesar N° ser uma estrutura que 
aparentemente possui muitas 
caracteristicas estatísticas e parecer uma 
simples contagem de elementos, essa 
construção é muito importante.
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Nela estão muitas das considerações 
suficientes para se propor um gás ideal. 
Aliás, será daqui que sairá a lei dos gases 
ideais assim como outras de suas 
propriedades.
Continuando, agora que já contamos os 
elementos que têm condição de exercer 
pressão sobre o recipiente em um tempo 
dt, precisamos saber como é o momento 
que essas partículas transferem. vejamos a 
figura a seguir 
θ
v
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Aqui iremos supor que a colisão é elástica, 
sendo assim, apenas a variação de 
momento na vertical contribuirá para o 
cálculo da pressão. Desta forma, a pressão
de uma única partícula deve ser dada por
q = 2mv cos(θ) (8). 
Aqui vale uma observação: como estamos 
trabalhando de forma estatística, 
trabalharemos com o módulo de q. Sendo 
assim os ângulos que nós devemos levar em 
consideração os valores 0< θ < π/2.
Agora sim voltaremos a equação (1)
P = dF/dA = dp/(dt dA). (9)
Como voce deve esta imaginando
dp = ∫∫∫q x N°dθdφdv , (10)
para todas velocidades e direções.
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Substituindo (7), (8) e (10) em (9) teremos 
a que 
P = 1/(dt dA) 
∫∫∫ 
2mv cos(θ) × 
n.sen(θ)vdθdφ × 
cos(θ)/4π × 
f(v)dv 
dAdt 
= (mn/2π) × 
∫∫cos²(θ)sen(θ)dθdφ× 
∫v²f(v)dv. (11)
fazendo a integral a baixo em 0< θ < π/2 e 
em 0<φ< 2π
∫∫cos²(θ)sen(θ)dθdφ = 2π/3 (12)
de modo semelhante para todo v
∫v²f(v)dv= <v²> (13)
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Substituindo (12), (13) em (11) teremos 
enfim 
P = (mn/2π) × 2π/3 × <v²> 
P = (mn/3) × <v²> (14)
Como poderiamos esperar a pressão 
depende media quadratica da velocidade, 
que esta diretamente ligada a energia 
cinetica média das particulas. Assumindo a 
relação entre esse termo e a temperatura
<v²> = 3kBT/m, (15)
chegamos em na lei dos gases ideais
P = n kb T => PV = N kb T (16).
Assim finalmente concluímos nosso 
objetivo. A partir de agora temos uma 
ótima ferramenta para o estudo dos gases. 
Tal equação também pode ser verificada 
experimentalmente.
Pressão
Então terminamos nossa demonstração por 
aqui. No mais, muito obrigado e até a 
próxima.
Julimar Simões de Paula
Viçosa -MG
2021