Exercícios de Econometria I

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Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 5811 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2007
Lista de Exerc´ıcios 3 - Data de Entrega 17/04/2007
1.
¡
R2, R¯2
¢
Considere o modelo
yt = x
0
1tβ1 + εt, t = 1, ..., T (1)
onde E [ε|X1] = 0 e. E [εε0|X1] = σ2I. Assuma que X1 inclui uma constante ι.
a) Mostre que R2 =
³
\Corr (y, yˆ)
´2
, onde \Corr (y, yˆ) denota a correlac¸a˜o
amostral entre y e yˆ.
b) Mostre que R2 na˜o pode diminuir quando uma outra varia´vel x2t e´ adi-
cionada a` regressa˜o.
c) Portanto, considere o R2 ajustado
¡
R¯2
¢
. Seja t2 o quadrado da estat´ıstica
t usada para testar H0 : β2 = 0 no modelo
yt = x01tβ1 + x2tβ2 + εt, t = 1, ..., T (2)
Mostre que o R¯2 aumenta de (1) para (2) se e somente se t2 ≥ 1.
2. (Teste de Hipo´tese: Func¸a˜o poder do teste)
Seja X1, ...,Xn uma amostra de varia´veis aleato´rias i.i.d., cada uma com
distribuic¸a˜o N (µ, 1). Suponha que desejemos testar H0 : 0.1 ≤ µ ≤ 0.2 contra
H1 : µ < 0.1 ou.µ > 0.2.
Considere um teste δ em que a hipo´tese H0 e´ rejeitada se X¯ ≤ c1 ou X¯ ≥ c2,
e seja π (µ|δ) o poder do teste de δ. Suponha que o tamanho da amostra seja
n = 25. Determine os valores das constantes c1 e c2 para que π (0.1|δ) =
π (0.2|δ) = 0.07 (escreva as equac¸o˜es e, posteriormente, atrave´s de “tentativa e
erro”, ache os valores aproximados de c1 e c2.
3. Seja X1, ...,Xn uma amostra de varia´veis aleato´rias i.i.d., cada uma com
distribuic¸a˜o N
¡
µ, σ2
¢
. Tanto µ quanto σ2 sa˜o desconhecidos. Considere as duas
estat´ısticas X¯ = 1n
Pn
i=1Xi e X
∗ =
Pn
i=1
¡
Xi − X¯
¢2
.
a) Mostre que X¯ ∼ N
³
µ, σ
2
n
´
e que X
∗
σ2 ∼ χ
2
n−1
b) Mostre que X¯ e X
∗
σ2 sa˜o independentes.
Dica para a) e b): Pense sobre o modelo de regressa˜o linear Xi = µ+ εi
1
Suponha que n = 9 e que uma amostra x1, ..., x9 tenha sido observada, para
a qual X¯ = 22 e X∗ = 72.
c) Conduza um teste de H0 : µ ≤ 20 contra H1 : µ > 20 ao n´ıvel de
significaˆncia de 5%.
d) Conduza um teste de H0 : µ = 20 contra H1 : µ 6= 20 ao n´ıvel de
significaˆncia de 5%, usando um teste sime´trico com probabilidade 0.025 em
cada cauda.
e) Construa um intervalo de confianc¸a de 95% para µ. Qual e´ o valor obser-
vado do intervalo de confianc¸a?
4. (Teste de Hipo´tese: F-teste)
Suponha que queiramos estimar o modelo
y = X
n×k
β + W
n×1
δ + ε
e testar H0 : δ = 0. Assuma que [X :W ] tenha posto completo.
a) Assuma que E [ε|X,W ] = 0 e que E [εε0|X,W ] = σ2I. σ2 e´ desconhecido
e precisa ser estimado. Como voceˆ testaria H0 : δ = 0?
b) Suponha que ao inve´s de ter E [ε|X,W ] = 0, tenhamos E [ε|X] = 0, e que
ε seja correlacionado com W, de modo que ε = Wγ + u, com E [u|X,W ] = 0 e
E [uu0|X,W ] = σ2I..σ2 e´ novamente desconhecido e precisa ser estimado. No´s
ainda queremos testar H0 : δ = 0.
i) A regressa˜o restrita produz um estimador na˜o viesado de β?
ii) A regressa˜o irrestrita produz estimadores na˜o viesados de β e δ?
iii) Voceˆ pode ainda utilizar o mesmo teste de a)?
c) Suponha que ao inve´s de ter E [ε|X,W ] = 0 ou E [ε|X] = 0, no´s tenhamos
E [ε|W ] = 0 e que ε seja correlacionado com X, de modo que ε = Xα+ v, com
E [v|X,W ] = 0 e E [vv0|X,W ] = σ2I. σ2 e´ novamente desconhecido e precisa
ser estimado. No´s ainda queremos testar H0 : δ = 0.
Responda i), ii) e iii) para esse caso.
5. (Teorema de Gauss-Markov, teste de hipo´tese)
Considere o modelo
yt = β1 + x2tβ2 + x3tβ3 + εt
onde todas as varia´veis sa˜o escalares, E [ε|X] = 0 e E [εε0|X] = σ2I. Seja
X2 = [x21, ..., x2T ]
0 e defina similarmente X3. Seja ι um vetor de 1’s de dimensa˜o
T × 1. Enta˜o X = [ι|X2|X3] . Assuma que X tenha posto completo.
Considere duas subamostras com T1 e T2 observac¸o˜es (T1 + T2 = T ) . Na
amostra I, X2 e X3 sa˜o bastante correlacionados. Portanto, apenas estimativas
imprecisas de β2 e β3 podem ser obtidas. Sabe-se, por outro lado, que a amostra
2
II e´ proveniente de uma populac¸a˜o na qual β3 = 0 e β2 e´ o mesmo que na amostra
I. Nenhuma suposic¸a˜o a respeito de β1 e´ feita.
a) Suponha que a amostra II seja muito grande. Enta˜o, voceˆ pode utilizar
a amostra II para obter uma boa estimativa de β2. Chame esta estimativa de
βˆ2. Agora use a amostra I para regressar yt−x2tβˆ2 em x3t e em uma constante
e obter βˆ1 e βˆ3. As estimativas sa˜o na˜o viesadas? O que o teorema de Gauss-
Markov diz sobre esse procedimento?
b) Voceˆ agora relaxa a hipo´tese de que β3 = 0 na amostra II. como voceˆ
testaria a hipo´tese de que β3 = 0 na amostra II? Voceˆ usaria ambas as amostras
ou apenas a amostra II? Por queˆ? Como voceˆ implementaria o teste se x4tβ4
tambe´m aparecesse na equac¸a˜o e voceˆ desejasse testar a hipo´tese conjunta de
que β3 = 0 e que β4 = 0 na amostra II?
6. (Exerc´ıcio emp´ırico: Estimac¸a˜o, intervalos de confianc¸a, testes de hipo´tese,
previsa˜o) Use os dados do Greene, tabela 7.1 da 4a¯ edic¸a˜o. Use Matlab para
implementar as rotinas. Salve os programas para uso futuro.
a) Estime os coeficientes e a variaˆncia do erro na func¸a˜o de produc¸a˜o Cobb-
Douglas
ln (Yi) = β1 + β2 ln (Li) + β3 ln (Ki) + εi, i=1,...,27
b) Construa um intervalo de confianc¸a de 95% para β2. Qual e´ a inter-
pretac¸a˜o?
c) Construa um intervalo de confianc¸a de 95% para β2 + β3.
d) Construa duas regio˜es de confianc¸a de 95% para β2 e β3, uma retangular
e uma que seja uma elipse usando a fo´rmula
P
ó
Rβˆ −Rβ
´0 ·
s2R
³
X
0
X
´−1
R0
¸−1 ³
Rβˆ −Rβ
´
/p ≤ F1−α,p,n−k
!
(voceˆ na˜o precisa plotar a elipse).
e) Teste H0 : β2 = 0.8 contra H1 : β2 6= 0.8 ao n´ıvel de significaˆncia de 5%.
Calcule e plote a func¸a˜o poder do teste. Qual e´ a probabilidade de efetuar um
erro do tipo I? Qual e´ a probabilidade de efetuar um erro do tipo II se o valor
verdadeiro de β2 e´ 0.5?
f) Teste as hipo´teses de retornos constantes de escala, H0 : β2 + β3 = 1
contra H1 : β2 + β3 6= 1 ao n´ıvel de significaˆncia de 5%. Qual e´ a relac¸a˜o entre
esse teste e os resultados de c) e d)?
g) Suponha que estejamos considerando a abertura de uma planta com
Li = 600 e Ki = 1000. Qual e´ a melhor previsa˜o para o logaritmo do pro-
duto, ln (Yi) , dessa planta? Construa um intervalo de previsa˜o de 95%. Qual e´
o valor observado desse intervalo?
7. Considere o modelo de regressa˜o linear
y = Xβ + ε
3
para o qual todas as hipo´teses usuais sa˜o satisfeitas. Suponha que no´s desejemos
prever o valor de y, y0, para valores dados dos regressores, x0. Denote o valor
previsto por yˆ0. No´s sabemos que o erro de previsa˜o, εˆ0 = y0 − yˆ0, condicional
em x0, tem variaˆncia dada por
V [εˆ0|x0] = σ2 + x00V
³
βˆ|x0
´
x0 = σ
2 + σ2x00 (X
0X)−1 x0
Mostre que, se X incluir uma constante, a variaˆncia condicional do erro de
previsa˜o pode ser reescrita como
V [εˆ0|x0] = σ2 + σ
2
n
+ σ2 (x0 − x¯)0 (X 0X)−1 (x0 − x¯)
4